علم المثلثات الكروية

مثلثات كروية.على سطح الكرة، يتم قياس أقصر مسافة بين نقطتين على طول محيط دائرة كبيرة، أي الدائرة التي يمر مستواها بمركز الكرة. رؤوس المثلث الكرويهي نقاط تقاطع ثلاثة أشعة منبثقة من مركز الكرة والسطح الكروي. حفلات أ, ب, جيُطلق على المثلث الكروي تلك الزوايا الموجودة بين الأشعة الأصغر (إذا كانت إحدى هذه الزوايا تساوي، فإن المثلث الكروي يتحول إلى نصف دائرة من دائرة كبيرة). ويقابل كل ضلع من أضلاع المثلث قوس دائرة كبيرة على سطح الكرة (انظر الشكل).

الزوايا أ, ب, جمثلث كروي، الجانبين المتقابلين أ, ب, جوبناءً على ذلك، فهي، حسب التعريف، زوايا أقل من، بين أقواس الدوائر الكبرى المقابلة لأضلاع المثلث، أو الزوايا بين المستويات المحددة بهذه الأشعة.

علم المثلثات الكرويةيدرس العلاقات بين جوانب وزوايا المثلثات الكروية (على سبيل المثال، على سطح الأرض وعلى الكرة السماوية). ومع ذلك، يفضل الفيزيائيون والمهندسون استخدام التحويلات الدورانية بدلاً من حساب المثلثات الكروية في العديد من المسائل.

خصائص المثلثات الكروية.كل جانب وزاوية للمثلث الكروي أصغر بحكم التعريف.

الهندسة على سطح الكرة غير إقليدية؛ في كل مثلث كروي، مجموع الجوانب يتراوح بين 0 و ، مجموع الزوايا يقع بين و . في كل مثلث كروي، الزاوية الأكبر تقع مقابل الضلع الأكبر. مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث، ومجموع أي زاويتين أقل من موجب الزاوية الثالثة.

قصة هذا العرض التوضيحي هي كما يلي: في أحد الأيام، قام أحد أصدقائي بإنشاء مولد خريطة كوكب للعبته وأراد أن تظهر الخرائط التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة على شكل كرة دوارة. ومع ذلك، فهو لم يرغب في استخدام الرسومات ثلاثية الأبعاد، بل قام بدلاً من ذلك بإنشاء العديد من الإطارات مع تدوير هذه الكرة بزوايا مختلفة. كانت كمية الذاكرة المستخدمة... دعنا نقول، مفرطة، وتأثرت سرعة إنشاء الإطارات (وكذلك جودة تنفيذها) بشكل كبير. بعد التفكير قليلاً، تمكنت من مساعدته على تحسين هذه العملية، لكن بشكل عام لم أستطع التخلص من الشعور العادل بأن هذه كانت مهمة OpenGL، وليس الرسومات ثنائية الأبعاد على الإطلاق.

وهكذا، في أحد الأيام، عندما كنت أعاني من الأرق، قررت أن أحاول الجمع بين هذين النهجين: رسم كرة دوارة (مع خريطة كوكب ممتدة فوقها) من خلال OpenGL، ولكن في نفس الوقت تركها مسطحة.

ويجب أن أقول أنني نجحت. ولكن أول الأشياء أولا.

رياضيات العملية

أولا، دعونا نحدد المهمة نفسها. لكل نقطة على الشاشة، لدينا إحداثيان للشاشة في نظام الإحداثيات الديكارتية، ونحتاج إلى العثور على إحداثيات كروية لها (في الواقع، خط العرض وخط الطول)، والتي تعد في الأساس إحداثيات نسيج لخريطة الكوكب.

لذا. يتم الانتقال من نظام الإحداثيات الديكارتية إلى النظام الكروي من خلال نظام المعادلات (مأخوذ من ويكيبيديا):

والانتقال العكسي - بالمعادلات التالية:

تنسيق زيمكننا الحصول عليها بسهولة Xو يبمعرفة نصف القطر، يمكننا أن نأخذ نصف القطر نفسه يساوي واحدًا.
في المستقبل، سوف نتفق على أننا سنقوم بتغيير المعادلات المذكورة أعلاه بشكل طفيف من خلال تبادل المفاهيم ي(بالنسبة لنا ستكون هذه الشاشة عمودية) و ز(وهذا سيكون عمق المشهد).

الجزء الفني

إن تنفيذ الفكرة سيتطلب منا استخدام رباعي (لقد كتبت بالفعل عن كيفية استخدامه، لذلك لن أكرر ذلك، خاصة وأن أدناه رابط للكود المصدري الكامل للمشروع)، بالإضافة إلى اثنين القوام: خريطة الكوكب نفسها (استخدمت نسيج الأرض بحجم 2048 × 1024) وخرائط إحداثيات النسيج. يكرر كود إنشاء النسيج الثاني بدقة رياضيات التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات الكروية:

حجم كثافة العمليات = 1024; مزدوج ص = texSize * 0.5؛ عدد البكسلات = عدد صحيح جديد؛ ل(int الصف = 0، idx = 0؛ الصف< texSize; row++) { double y = (r - row) / r; double sin_theta = Math.sqrt(1 - y*y); double theta = Math.acos(y); long v = Math.round(255 * theta / Math.PI); for (int col = 0; col < texSize; col++) { double x = (r - col) / r; long u = 0, a = 0; if (x >= -sin_theta && x<= sin_theta) { double z = Math.sqrt(1 - y*y - x*x); double phi = Math.atan2(z, x); u = Math.round(255 * phi / (2 * Math.PI)); a = Math.round(255 * z); } pixels = (int) ((a << 24) + (v << 8) + u); } } GLES20.glGenTextures(1, genbuf, 0); offsetTex = genbuf; if (offsetTex != 0) { GLES20.glBindTexture(GLES20.GL_TEXTURE_2D, offsetTex); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MIN_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_MAG_FILTER, GLES20.GL_NEAREST); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_S, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexParameteri(GLES20.GL_TEXTURE_2D, GLES20.GL_TEXTURE_WRAP_T, GLES20.GL_NONE); GLES20.glTexImage2D(GLES20.GL_TEXTURE_2D, 0, GLES20.GL_RGBA, texSize, texSize, 0, GLES20.GL_RGBA, GLES20.GL_UNSIGNED_BYTE, IntBuffer.wrap(pixels)); }

لاحظ أن الإحداثيات Xو يتتم ترجمتها من نطاق إلى نطاق [-1..1]، وإحداثيات الملمس شو الخامسيتم تحويلها من الراديان إلى النطاق، وبعد ذلك يتم كتابتها على التوالي إلى المكونات الحمراء والخضراء للنسيج 32 بت. يتم استخدام قناة ألفا للحفاظ على "العمق" (الإحداثيات ز)، ويظل اللون الأزرق غير مستخدم في الوقت الحالي. إن تعطيل التصفية الثنائية ليس عرضيًا أيضًا: في هذه المرحلة لا يعطي أي تأثير (النقاط المجاورة لها على أي حال نفس القيم، مع قفزات حادة إلى حد ما)، وفي ما سأعرضه بعد ذلك، سيكون ضارًا. ولكن المزيد عن ذلك أدناه.

سلسلة نهائية خاصة QuadFS = "الدقة المتوسطة التعويم؛ n" + "النموذج الموحد2D uTexture0;n" + "النموذج الموحد2D uTexture1;n" + "التعويم الموحد uOffset;n" + "vec4 TexCoord0;n" + "void main() (n" + " vec4 vTex = Texture2D(uTexture0, TexCoord0.xy);n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = Floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2(n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0 + uOffset,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) ) / 4095.0);n" + " vec3 vCol = Texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * vTex.w, (vTex.w > 0.0 ? 1.0: 0.0));n" + ")ن";

حسنًا، هذا أمر مختلف تمامًا! مع تغييرات طفيفة (إضافة قرصة التكبير/التصغير وتدوير الإصبع)، عرضت هذا البرنامج على أصدقائي وزملائي، وفي الوقت نفسه سألتهم عن عدد المثلثات التي يعتقدون أنها موجودة في هذا المشهد. وتباينت النتائج، وكان السؤال في حد ذاته يثير الشكوك حول وجود خدعة (في هذه الحالة، قال المشاركون مازحين "واحد"، وهو ما لم يكن بعيداً عن الحقيقة)، ولكن الإجابة الصحيحة كانت مفاجئة باستمرار. وتساءل الجميع كواحد: لماذا يمكن أن تدور الكرة حول محور واحد ولا تميل؟.. حسنًا.

يميل

لكن الحقيقة هي أن تنفيذ المنحدر في هذا المخطط أصعب بكثير. في الواقع، المهمة ليست مستعصية على الحل، حتى أنني تعاملت معها، ولكن كانت هناك بعض الفروق الدقيقة.

في جوهرها، تتلخص المهمة في أخذ الإحداثيات المتغيرة الخامس، بينما الإحداثيات شلا يتغير: يحدث هذا لأننا نضيف الدوران حول المحور X. الخطة هي كما يلي: نقوم بتحويل إحداثيات النسيج إلى إحداثيات الشاشة (في النطاق [-1..1])، ونطبق عليها مصفوفة دوران حول المحور الأفقي (لهذا نكتب مسبقًا بثابت جديد uTiltجيب التمام وجيب التمام لزاوية الميل)، ثم سنستخدم الإحداثيات الجديدة يلأخذ العينات في نسيج القالب لدينا. الإحداثيات "المستديرة". زسيكون مفيدًا لنا أيضًا، فبمساعدته سنعكس خط الطول للجانب الخلفي من الكرة). إحداثيات الشاشة زسيتعين عليك حسابها بشكل صريح حتى لا يتم إنشاء عينتين من مادة واحدة، وفي نفس الوقت سيؤدي ذلك إلى زيادة دقتها.

سلسلة نهائية خاصة QuadFS = "الدقة المتوسطة التعويم؛ n" + "النموذج الموحد2D uTexture0;n" + "النموذج الموحد2D uTexture1;n" + "التعويم الموحد uOffset;n" + "النموذج الموحد vec2 uTilt;n" + "متغير vec4 TexCoord0; n" + "void main() (n" + " float sx = 2.0 * TexCoord0.x - 1.0;n" + " float sy = 2.0 * TexCoord0.y - 1.0;n" + " float z2 = 1.0 - sx * sx - sy * sy;n" + " if (z2 > 0.0) (;n" + " float sz = sqrt(z2);n" + " float y = (sy * uTilt.y - sz * uTilt.x + 1.0) * 0.5;n" + " float z = (sy * uTilt.x + sz * uTilt.y);n" + " vec4 vTex = Texture2D(uTexture0, vec2(TexCoord0.x, y));n" + " vec3 vOff = vTex.xyz * 255.0;n" + " float hiY = Floor(vOff.y / 16.0);n" + " float loY = vOff.y - 16.0 * hiY;n" + " vec2 vCoord = vec2( n" + " (256.0 * loY + vOff.x) / 4095.0,n" + " (vOff.z * 16.0 + hiY) / 4095.0);n" + " if (z)< 0.0) { vCoord.x = 1.0 - vCoord.x; }n" + " vCoord.x += uOffset;n" + " vec3 vCol = texture2D(uTexture1, vCoord).rgb;n" + " gl_FragColor = vec4(vCol * sz, 1.0);n" + " } else {n" + " gl_FragColor = vec4(0.0, 0.0, 0.0, 0.0);n" + " }n" + "}n";

يا هلا، كان الميل ناجحًا! لكن الضجيج الغريب عند حدود نصفي الكرة الأرضية مربك بعض الشيء. للأسف، لم أتمكن بعد من التعامل مع هذا. من الواضح أن المشكلة تكمن في عدم كفاية دقة المعالجة عند النقاط الحدودية (النقاط الموجودة على الدائرة نفسها تتوافق مع نطاق كبير جدًا من الإحداثيات، حيث ينتشر تيكسل واحد على فترة زمنية ذات طول ملحوظ تمامًا)، ومن غير المحتمل أن يكون هناك أي شيء يمكن حله فعلت حيال ذلك. حسنًا، يمكنك تكبير الكرة وتمريرها بنفس الطريقة تقريبًا كما هو الحال في Google Earth. مع الفارق أنه يوجد هنا مثلثان فقط.

لفترة طويلة كانت لدي أفكار حول بناء منزلي الخاص، ولكن بطريقة أو بأخرى في شكل أفكار مثيرة للاهتمام لاحظتها من الآخرين في الحياة أو في وسائل الإعلام. هنا تخيلت كيف سيبدو المنزل الذي يجسد كل هذه الأفكار - حفرة ثعلب (مخبأ) تتحول إلى كرة مرآة معلقة على شجرة: د. بشكل عام، محول أيديولوجي، سواء في الخارج أو في الداخل.

الآن أنا مهتم بالقباب والتقنيات الجيوديسية لتطبيق هذه المبادئ لبناء المباني السكنية وغيرها من الهياكل المفيدة والصناعية (على سبيل المثال، الحظائر، والحمامات، والدفيئات الزراعية، والحظائر، وورش العمل، وحظائر الطائرات).

هذا الصيف (2011) أتيحت لي الفرصة لمشاهدتها مباشرة، بل وساعدت قليلاً في بناء قبة جيوديسية سكنية (الصورة على اليسار).

والآن عثرت على بعض المعلومات المثيرة للاهتمام عنها، وتعمقت فيها، وقررت أن أكتب مقالًا للمستقبل... نوع من ورقة الغش حتى أتمكن من تذكرها والعثور عليها بسرعة. لذلك، عندما تتوفر المعلومات، سأقوم بتحديث المقال. أنا متأكد من أنه سيكون مفيدًا لقراء الموقع.

ها هم:

باختصار عن التاريخ وماذا تعني كلمة "الجيوديسية"..

كالعادة، كل ما هو جديد يُنسى جيدًا القديم.

جغرافية- الكرة الأرضية لدينا

المتبقية على د... - قسمة (قام اليونانيون القدماء بتقسيمها وقياسها... وليس هم فقط)

لذا، إذا لم تدخل في الهندسة المكانية والتفاضلية للمساحات المنحنية)))، فهذه قبة مصنوعة من جزء من الكرة، أو بالأحرى متعدد السطوح كروية، حيث يتم قياس الأرض بالنقاط الموجودة على سطحها، والتي في حالتنا هي رؤوس هذا متعدد السطوح. الميزة المهمة هي الترتيب الأمثل للقمم والوجوه التي تميل إلى المجال المثالي. عادة ما يتم بناؤه على أساس المجسم العشروني (20 وجهًا مثلثًا) أو الاثني عشر وجهًا (12 وجهًا خماسيًا).

استمر في الصفحة التالية.
1      

[تعليقات/مناقشة]

فلاديمير (20:06 05.10.2016) أندريه، شكرًا لك على الفكرة المثيرة للاهتمام والنصائح المفيدة! أنا جيولوجي وجيوفيزيائي من حيث التعليم، وأحيانا أرسم الصور وأقطع الخشب. ربما يكون هذا النوع من بيوت الورشة، المضاء من جميع الجوانب، هو الأفضل! ويذكرني بالكريستال. في المساء، عند النظر إلى النجوم، يمكنك أن تحلم بالطيران على متن "الجسم الغريب" الخاص بك في حياتك القادمة. :-))

فياتشيسلاف (18:10 14/11/2015) تبحث عن وظيفة! - 10 سنوات من الخبرة في البناء منخفض الارتفاع. تصميم وبناء الهياكل غير العادية الشكل (القباب الجيوديسية). تم بناء ثلاثة منازل وفق مشاريع مستقلة، قام ببناء أحدها بنفسه. تصميم المرافق (الكهرباء، إمدادات المياه، الصرف الصحي، الأسقف، العزل). أنا مهتم جدًا بمصادر الطاقة البديلة واستقلالية المباني السكنية. نحن نتدرب بسرعة. معدية. منضبط. متحرك. المحفظة متاحة!

نصف القطر (02:20 28/11/2014) للمهتمين - المورد الأكثر شمولاً باللغة الروسية على منتدى Domes.domesworld.ru

أندرو (19:46 03.12.2013) إلى ميخائيل مساء الخير. أرى ثلاثة أسباب: + يفضل الأشخاص المهتمون بالجيوديسيا استخدام المواد والمنتجات الطبيعية كلما أمكن ذلك عند بناء منزل صديق للبيئة، وتعتبر رغوة البولي يوريثان (PUF) محض هراء (تعتبر PUF بوليمرًا ضارًا وتحتاج إلى معرفة كيفية البناء باستخدامها بشكل آمن)؛ ); + بعض الصعوبات التكنولوجية وارتفاع التكاليف المالية؛ + لمثل هذه الغرفة البخارية تحتاج إلى استخدام التهوية المناسبة، في رأي الأغلبية - القسري

ميخائيل (12:47 03.12.2013) مساء الخير أنا مندهش من حقيقة أنه بعد الاطلاع على العديد من التقارير المصورة حول بناء المنازل المقببة، لم أكتشف أبدًا استخدام رش PPU. على العكس من ذلك، الجميع يعاني، حشو هذا المنجم غير الثلاثي. الصوف القطني إلى مثلثات، وما إلى ذلك، يعانون من حاجز البخار الخشن على السطح المستدير. لا أستطيع أن أفهم لماذا هذا الأمر. في بناء الإطار البسيط، يتم استخدام رغوة البولي يوريثان في كل مكان، ولكن هنا يوجد مثل هذا الإهمال. على الرغم من أن بعض الموصلات مغطاة بالأسطوانات ويتم وضع النوافذ والأبواب على الرغوة))) يبدو لي أن رغوة البولي يوريثان وبناء المساكن المقببة يجب أن يكون "مائيًا بالكامل" أم أن هناك بعض الخصائص واستحالة استخدام رغوة البولي يوريثان الرغوية؟

أندرو (08:38 24/09/2013) يتم تجميع المثلثات من الألواح باستخدام البراغي، ويتم تجميع المثلثات معًا باستخدام البراغي.

أمير (10:09 23/09/2013) ... تلك القبة الجيوديسية، التي ساعدت في بنائها، في الصورة الأولى في المقالة - اشرح، أو ربما يمكنك أن ترسل لي معلومات حول طرق ربط (إرفاق) عناصر إطار القبة إلى بريدي الإلكتروني عنوان. ساكون ممتنا جدا.

آدم جاجارين (13:14 30/10/2012) لم نقم بتجديد Gravitonium ru لفترة طويلة، ولكن جميع المعلومات حول القباب متاحة على www.valpak.ru & www.cupulageodesica.com/ru لقد انتهى بنا الأمر باستخدام رقائق فولاذية رقيقة عاكسة للحرارة، تم لصقها مباشرة على الأسطح الداخلية لمثلثات الخشب الرقائقي. وينعكس تأثير الترمس والوزن مثل محطة الفضاء الدولية والحرارة والبرودة بنسبة 99%. سنكون سعداء لتبادل المعلومات حول جميع الأسئلة بإخلاص، آدم جاجارين

أندرو (20:31 18/02/2012) إليك ما يقولونه في الأسئلة الشائعة حول Timberline: "الخيارات الأكثر شيوعًا هي الألياف الزجاجية أو الرغوة الصلبة. يسمح أعضاء الإطار Timberline مقاس 2 × 6 بوصة بعزل 5 1/2 بوصة، وهو ما يكفي لمعظم الظروف المناخية. وتشمل الخيارات الأخرى رش الرغوة المتوسعة والتي تكون فعالة جدًا. " "باستخدام رذاذ موسع في العزل الرغوي، فإنه يغلق القبة بشكل جيد بحيث لا تكون هناك حاجة إلى حاجز بخار داخلي." http://www.domehome.com/faqs.html لذلك لم أدرس المشكلة المتعلقة بالرغوة على وجه التحديد. نعم، هذا هو ذلك الجيودوم.

التدريج (08:53 18/02/2012) شكرا على الاجابة. أنا حقا لا أريد الرغوة. أفضل من الصوف المعدني. ولكن إذا كانت الرغوة، فما هو نوعها؟ وإليك الصورة http://www.zidar.ru/2011/09/stroim-kryishu-chast-vtoraya/#more-203 وحقيقة أنه في الأماكن التي توجد فيها شرائح مستقيمة في فجوة التهوية، هل هي من كائن واحد؟

أندرو (03:56 02/08/2012) - تستخدم شركة Timberline Geodesics عادةً الصوف الزجاجي ورغوة "البناء"؛ - عند استخدام أضلاع 2*6 بوصة (حوالي 50*150 مم) لا يتم عمل فجوة تهوية ويتم ملء جميع الفراغات بالرغوة، ويقولون أنه لا يتشكل التكثيف ولا يلزم وجود حاجز بخار؛ - عند استخدام أضلاع ذات أقسام أكبر (50*200/300)، كخيار، فإنها تعرض إجراء قطع مشابهة لقبب المساحات الطبيعية؛ - يتكون السقف من حواف مثلثة مغطاة بسجادة تحت السقف ومغطاة ببلاط البيتومين / الخشب / المعدن أو يتم استخدام طلاء خاص. لذا يمكنك محاولة تفجير كل شيء بالرغوة أو القيام بذلك وفقًا للمخطط الأقصى الكلاسيكي مع وجود فجوة تهوية: - حاجز بخار (لا يسمح بمرور الهواء والرطوبة... من الضروري إغلاق الوصلات بشريط... من الناحية المثالية بحيث تكون "مشدودة"... يبدو أنه يتم فحص NSD بحثًا عن أصغر الثقوب مع وحدة خاصة... وجميع الصناديق الكهربائية والمدخلات والمخرجات في الإطار مغلقة)؛ - عازلة؛ - حماية الرياح (غشاء يسمح للهواء بالمرور ويمنع الحرارة من "الخروج" من العزل)؛ - فجوة التهوية؛ - العزل المائي (يسمح للهواء الرطب بالمرور من العزل ولا يسمح للرطوبة بالمرور من جانب سقف القبة) ؛ - فجوة التهوية؛ - سَطح

التدريج (00:48 02/08/2012) أنا مهتم بالحل الجاهز للتهوية والعزل تحت السقف. فطيرة التسقيف. الإطار 3v 5/8 تيمبرلاين.

المثلث الكروي وتطبيقاته.

مثلث كروي- شكل هندسي على سطح كرة مكونة من تقاطع ثلاث دوائر كبيرة. ثلاث دوائر كبيرة على سطح كرة لا تتقاطع في نقطة واحدة تشكل ثمانية مثلثات كروية. يسمى المثلث الكروي الذي تكون أضلاعه كلها أقل من نصف دائرة كبيرة أويلريان.

يُقاس ضلع المثلث الكروي بحجم الزاوية المركزية المرتكزة عليه. تقاس زاوية المثلث الكروي بحجم الزاوية ثنائية السطوح بين المستويات التي تقع فيها أضلاع هذه الزاوية. يدرس علم المثلثات الكروية العلاقات بين عناصر المثلثات الكروية.

خصائص المثلث الكروي:

1. بالإضافة إلى المعايير الثلاثة لمساواة المثلثات المستوية، هناك معيار آخر ينطبق على المثلثات الكروية: مثلثان كرويان متساويان إذا كانت الزوايا المتناظرة متساوية.
2. بالنسبة لأضلاع المثلث الكروي، فإن متباينات المثلثات الثلاثة قائمة: كل ضلع أقل من مجموع الضلعين الآخرين وأكبر من الفرق بينهما.
3. مجموع جميع الجوانب a + b + c يكون دائمًا أقل من 2πR.
4. الكمية 2πR − (a + b + c) تسمى العيب الكروي
5. مجموع زوايا المثلث الكروي s = α + β + γ يكون دائمًا أقل من 3π وأكبر من π
6. وتسمى الكمية الزائدة الكروية أو التفرطح الكروي
7. يتم تحديد مساحة المثلث الكروي بواسطة الصيغة.
8. على عكس المثلث المسطح، يمكن أن يحتوي المثلث الكروي على زاويتين أو حتى ثلاث زوايا قياس كل منها 90 درجة.

من بين جميع المضلعات الكروية، يعتبر المثلث الكروي هو الأكثر أهمية. ثلاث دوائر كبيرة، تتقاطع في أزواج عند نقطتين، وتشكل ثمانية مثلثات كروية على الكرة. وبمعرفة عناصر (أضلاع وزوايا) أحدها يمكن تحديد عناصر جميع العناصر الأخرى، فننظر إلى العلاقات بين عناصر أحدها، الذي تكون جميع أضلاعه أقل من نصف الكبير دائرة. يتم قياس جوانب المثلث بواسطة الزوايا المستوية للزاوية ثلاثية السطوح OABC، ويتم قياس زوايا المثلث بواسطة الزوايا ثنائية السطوح لنفس زاوية ثلاثي السطوح، سم في الشكل.

تختلف خصائص المثلثات الكروية في نواحٍ عديدة عن خصائص المثلثات الموجودة على المستوى. وهكذا، إلى الحالات الثلاث المعروفة لتساوي المثلثات المستقيمة، تضاف حالة رابعة: المثلثان ABC و A'B'C' متساويان إذا كانت الزوايا الثلاث RA = RA'، PB = PB'، RS = RS' متساوية ، على التوالى. وبالتالي، لا توجد مثلثات مماثلة على الكرة؛ علاوة على ذلك، في الهندسة الكروية لا يوجد مفهوم التشابه، لأنه لا توجد تحويلات تغير كل المسافات بنفس عدد المرات (لا تساوي 1). ترتبط هذه الميزات بانتهاك البديهية الإقليدية للخطوط المتوازية وهي أيضًا متأصلة في هندسة Lobachevsky. المثلثات التي لها عناصر متساوية واتجاهات مختلفة تسمى متماثلة، مثل المثلثين AC'C وBCC'

مجموع زوايا أي مثلث كروي يكون دائمًا أكبر من 180 درجة. الفرق RA + PB + RS – p = d (يقاس بالراديان) هو كمية موجبة ويسمى الفائض الكروي لمثلث كروي معين. مساحة المثلث الكروي: S = R2 d حيث R هو نصف قطر الكرة و d هو الزيادة الكروية. تم نشر هذه الصيغة لأول مرة من قبل الهولندي أ.جيرارد عام 1629 وسميت باسمه.

إذا نظرنا إلى ديجون بزاوية a، فعند 226 = 2p/n (n عدد صحيح)، يمكن قطع الكرة إلى نسخ n بالضبط من هذا القطر، وتكون مساحة الكرة 4nR2 = 4p عند R = 1، وبالتالي فإن مساحة القطر هي 4p/n = 2a. هذه الصيغة صحيحة أيضًا بالنسبة لـ a = 2pt/n، وبالتالي فهي صحيحة لجميع a. إذا واصلنا جوانب المثلث الكروي ABC وعبرنا عن مساحة الكرة بدلالة مساحات البيجونات الناتجة ذات الزوايا A، B، C ومساحتها الخاصة، فيمكننا أن نصل إلى صيغة جيرار أعلاه.

المثلث الكروي يعني مثلثًا على سطح كرة، مكونًا من أقواس من دوائر عظيمة، أي دوائر مركزها مركز الكرة. زوايا المثلث الكروي هي الزوايا المحصورة بين مماسات أضلاعه والمرسومة عند رؤوسه. مثل زوايا المثلث العادي، فهي تتراوح من 0 إلى 180 درجة. على عكس المثلث المسطح، يحتوي المثلث الكروي على مجموع زوايا لا يساوي 180 درجة، ولكنه أكبر: من السهل التحقق من ذلك من خلال النظر، على سبيل المثال، في مثلث يتكون من أقواس خطي الطول وخط الاستواء على الكرة الأرضية : على الرغم من أن خطوط الطول تتلاقى عند القطب، إلا أن كلاهما متعامدان على خط الاستواء، وهذا يعني أن هذا المثلث له زاويتان قائمتان!

يمكن أن يكون للمثلث الكروي زاويتان قائمتان

بالفعل بين Varahamihira الهندي (القرنين الخامس والسادس) وبين علماء الرياضيات والفلكيين العرب بدءًا من القرن التاسع. (ثابت بن قرة، البتاني)، وبين علماء الرياضيات الغربيين، بدءًا من ريجيومونتانوس (القرن الخامس عشر)، تم العثور على نظرية رائعة حول المثلثات الكروية في صيغ مختلفة. وإليك كيفية صياغتها بالتدوين الحديث:

cosa = cosbcosc + sinbsinccosA. تعتبر نظرية جيب التمام الكروية مهمة جدًا لكل من علم الفلك والجغرافيا. تسمح لك هذه النظرية باستخدام إحداثيات المدينتين A وB لإيجاد المسافة بينهما. بالإضافة إلى ذلك، ساعدت نظرية جيب التمام الكروية علماء الرياضيات في البلدان الإسلامية في حل مشكلة عملية أخرى: في مدينة ذات إحداثيات معينة، ابحث عن الاتجاه إلى مدينة مكة المقدسة (يجب على كل مسلم متدين أن يصلي في اتجاه مكة خمس مرات في اليوم) ). عند حل هذه المشكلة، باعتبار المدينة B هي مكة، كان من الضروري إيجاد الزاوية A لنفس المثلث.

صفحة من "القواعد المجمعة لعلم الفلك"، القرن الحادي عشر، المؤلف غير معروف.

في علم الفلك، تسمح نظرية جيب التمام الكروية للمرء بالانتقال من نظام إحداثي واحد على الكرة السماوية إلى آخر. في أغلب الأحيان، يتم استخدام ثلاثة أنظمة من هذا القبيل: في واحد، يعمل خط الاستواء السماوي كخط الاستواء، والأعمدة هي أقطاب العالم، والتي يحدث حولها الدوران اليومي المرئي للنجوم؛ في مكان آخر، خط الاستواء هو مسير الشمس - الدائرة التي تحدث فيها حركة الشمس المرئية خلال العام على خلفية النجوم؛ وفي الثالث يلعب دور خط الاستواء الأفق ودور القطبين السمت والنظير. على وجه الخصوص، بفضل نظرية جيب التمام الكروية، من الممكن حساب ارتفاع الشمس فوق الأفق في أوقات مختلفة وفي أيام مختلفة من السنة.

الأشرعة في الهندسة المعمارية عبارة عن مثلث كروي يوفر انتقالًا من المساحة المربعة أسفل القبة إلى محيط القبة. الشراع، البانداتي (من pendentif الفرنسية) - جزء من القبو، وهو عنصر من عناصر هيكل القبة، والذي يتم من خلاله الانتقال من القاعدة المستطيلة إلى أرضية القبة أو أسطوانةها. للشراع شكل مثلث كروي، قمته إلى الأسفل، ويملأ الفراغ بين أقواس محيط الجسم التي تربط الأعمدة المجاورة لمربع القبة. تشكل قواعد المثلثات الكروية للأشرعة معًا دائرة وتوزع حمولة القبة على طول محيط الأقواس.

قبة على الأشرعة رسم الشراع

جورج نيلسون

"يمكن للمصمم أن يسترخي قليلاً ويستمتع؛ والنتيجة يمكن أن تكون مزحة أو تسلية. ومن المثير للدهشة عدد المرات التي يمكن أن يكون فيها هذا تسلية ذات أهمية كبيرة" جورج نيلسون

جورج نيلسون هو مصمم ومهندس معماري وناقد ومنظر تصميم أمريكي. (1908، هارتفورد، كونيتيكت - 1986، نيويورك)

قام بتصميم تركيبات الإضاءة، والساعات، والأثاث، والتغليف، وشارك في تصميم المعارض.

تمثل مشاريع التصميم الأكثر شهرة لجورج نيلسون أسلوبًا بارعًا للأشكال الهندسية بروح الفن التشكيلي أو التجريد الهندسي.

ويبني المصمم شكل كرسيه الأسود الشهير على أساس مثلث كروي، والذي كان يستخدم على نطاق واسع في التصميمات المعمارية للهياكل المقببة. على وجه الخصوص، في الكنائس البيزنطية والروسية، كان يسمى هذا المثلث الكروي "الشراع". بفضل "الشراع" كان هناك انتقال سلس من دعامة القبة السفلية إلى القبة.

جورج نيلسون (1908-1986)

نقش ايشر

مجالات متحدة المركز 1935. نقش نهائي 24 × 24 سم.

أربع مجالات متحدة المركز مجوفة مضاءة بمصدر ضوء مركزي. وتتكون كل كرة من شبكة مكونة من تسع حلقات كبيرة متقاطعة؛ يقسمون السطح الكروي إلى 48 مثلثًا كرويًا متشابهًا. موريتس كورنيليس إيشر (الهولندية: موريتس كورنيليس 17 يونيو 1898، ليوفاردن، هولندا - 27 مارس 1972، لارين، هولندا) - فنان رسومي هولندي.

تطبيق المثلث الكروي:

1. استخدام المثلثات الكروية في الرسومات ثلاثية الأبعاد
2. في علم الفلك
3. في الجغرافيا. تتيح لك نظرية المثلث الكروي استخدام إحداثيات المدينتين A وB لإيجاد المسافة بينهما.
4. في الهندسة المعمارية
5. تصميم الكرسي بواسطة جورج نيلسون
6. في النقش

مثلثات كروية.

على سطح الكرة، يتم قياس أقصر مسافة بين نقطتين على طول محيط دائرة كبيرة، أي الدائرة التي يمر مستواها بمركز الكرة. رؤوس المثلث الكروي هي نقاط تقاطع ثلاثة أشعة منبثقة من مركز الكرة والسطح الكروي. حفلات أ، ب، جيُعرف المثلث الكروي بأنه تلك الزوايا المحصورة بين الشعاعين التي يقل قياسها عن 180 درجة. يقابل كل جانب من المثلث قوسًا من دائرة كبيرة على سطح الكرة (الشكل 1). الزوايا أ، ب، جمثلث كروي، الجانبين المتقابلين أ، ب، جوبالتالي فهي، بحكم التعريف، زوايا أقل من 180° بين أقواس دوائر كبيرة تقابل أضلاع مثلث، أو زوايا بين مستويات محددة بهذه الأشعة.

خصائص المثلثات الكروية.

كل ضلع وزاوية في المثلث الكروي، حسب التعريف، أقل من 180 درجة. الهندسة على سطح الكرة غير إقليدية؛ في كل مثلث كروي، يكون مجموع أضلاعه بين 0 و360 درجة، ومجموع الزوايا بين 180 درجة و540 درجة. في كل مثلث كروي، الزاوية الأكبر تقع مقابل الجانب الأكبر. مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث، ومجموع أي زاويتين أقل من 180 درجة بالإضافة إلى الزاوية الثالثة.

يتم تعريف المثلث الكروي بشكل فريد (حتى تحويل التماثل):

• ثلاث جهات،
• ثلاث زوايا،
• الجانبين والزاوية بينهما،
• الجانب والزاويتين المتجاورتين.

حل المثلثات الكروية (الجدول)

(انظر الصيغ أدناه والشكل 1 أعلاه)

		صيغ الحساب	شروط وجود الحل
1	ثلاث جهات أ، ب، ج	أ، ب، ج	يجب أن يكون مجموع الجانبين أكبر من الثالث
2	أ، ب، ج	أ، ب، جمن (8) والتقليب الدوري	يجب أن يكون مجموع الزاويتين أقل من 180 درجة بالإضافة إلى الزاوية الثالثة
3	الضلعان والزاوية بينهما ب، ج، أ	من (6)، إذن فيو مع; أمن (7) أو (8) أو (4)
4	الزاويتان والضلع بينهما ب، ج، أ	من (6)، إذن بو مع؛ أمن (7) أو (8) أو (5)
5	الضلعان والزاوية المقابلة لأحدهما ب، ج، ب	معمن (3)؛ أو أمن (6)	خطيئة معخطيئة في≥ الخطيئة ب. يتم حفظ تلك الكميات مع، لأي منهم أ - بو أ - بلها نفس العلامة أ+ب- 180 درجة و أ + ب- 180 درجة
6	زاويتان والضلع المقابل لإحداهما ب، ج، ب	معمن (3)؛ أو أمن (6)	المشكلة لها حل أو حلين إذا خطيئة بخطيئة مع≥ الخطيئة في. يتم حفظ تلك الكميات مع، لأي منهم أ - بو أ - بلها نفس العلامة أ+ب- 180 درجة و أ + ب- 180 درجة يجب أن يكون أيضًا من نفس العلامة

صيغ حل المثلثات الكروية

بالنسب التالية أ، ب، جهي زوايا متقابلة للجانبين على التوالي أ، ب، جمثلث كروي. يتم تحديد "نصف قطر" المخاريط المقيدة والمدرجة بالرمز r و r على التوالي. يمكن الحصول على الصيغ غير المدرجة في القائمة عن طريق التقليب الدوري المتزامن أ، ب، جو أ، ب، ج. يتيح لك الجدول أعلاه حساب أضلاع وزوايا أي مثلث كروي بمعلومية الأضلاع و/أو الزوايا الثلاثة المعطاة بشكل مناسب. يجب أن تؤخذ المتباينات المذكورة في بداية الفقرة 2 في الاعتبار من أجل استبعاد النتائج الدخيلة عند حل المثلثات.

	نظرية الجيب
	نظرية جيب التمام للجوانب
	نظرية جيب التمام للزوايا
	تشبيهات نابير
	تشبيهات ديلامبر وجاوس
	وبالتالي، إذا كانت جداول الدالة hav متوفرة، فيمكن استخدام هذه الصيغ لحل المثلثات الكروية:
ويمكن الحصول على علاقات أخرى مماثلة عن طريق التقليب الدوري