الشريحة 1

يُطلق على الشكل الذي يتكون من السطح المحدد وأحد جزأين الفضاء المحدودين به اسم زاوية متعددة السطوح. يُطلق على الرأس المشترك S رأس الزاوية متعددة السطوح. تسمى الأشعة SA1، ...، SAn بحواف الزاوية متعددة السطوح، وتسمى الزوايا المستوية نفسها A1SA2، A2SA3، ...، An-1SAn، AnSA1 بأوجه الزاوية متعددة السطوح. يُشار إلى الزاوية متعددة السطوح بالأحرف SA1...An، مما يشير إلى قمة الرأس والنقاط الواقعة على حوافها. سطح يتكون من مجموعة محدودة من الزوايا المستوية A1SA2، A2SA3، ...، An-1SAn، AnSA1 ذات قمة مشتركة S، حيث لا تحتوي الزوايا المتجاورة على نقاط مشتركة، باستثناء نقاط الشعاع المشترك والزوايا غير المتجاورة. لم يكن لديك النقاط المشتركة، بالإضافة إلى قمة مشتركة، سيتم استدعاؤها سطح متعدد السطوح.

الشريحة 2


اعتمادًا على عدد الوجوه، تكون الزوايا متعددة السطوح ثلاثية السطوح، ورباعية السطوح، وخماسية، وما إلى ذلك.

الشريحة 3

زوايا ثلاثية

نظرية. كل زاوية مستوية لزاوية ثلاثية السطوح أقل من مجموع زاويتيها المستويتين الأخريين. الدليل: النظر في زاوية ثلاثية السطوح SABC. لتكن أكبر زوايا مستواه هي الزاوية ASC. ثم يتم استيفاء المتباينات ASB ASC

الشريحة 4


ملكية. مجموع زوايا المستوى لزاوية ثلاثية السطوح أقل من 360 درجة. وبالمثل، بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح ذات الرأسين B وC، فإن المتباينات التالية: ABC

الشريحة 5

زوايا محدبة متعددة السطوح

تسمى الزاوية متعددة السطوح محدبة إذا كانت كذلك شكل محدب، أي أنه مع أي نقطتين من نقاطه، فإنه يحتوي بالكامل على الجزء الذي يربط بينهما. يوضح الشكل أمثلة على زوايا متعددة السطوح محدبة وغير محدبة. الخاصية: مجموع جميع الزوايا المستوية لزاوية متعددة السطوح المحدبة أقل من 360 درجة. والدليل مشابه لإثبات الخاصية المقابلة لزاوية ثلاثية السطوح.

الشريحة 6

زوايا متعددة السطوح عمودية

توضح الأشكال أمثلة على نظرية الزوايا العمودية ثلاثية السطوح ورباعية السطوح وخماسية السطوح. الزوايا العمودية متساوية.

الشريحة 7

قياس الزوايا متعددة السطوح

بما أن قيمة درجة الزاوية ثنائية السطوح المتطورة تقاس بقيمة درجة الزاوية الخطية المقابلة وتساوي 180 درجة، سنفترض أن قيمة درجة الفضاء بأكمله، الذي يتكون من زاويتين ثنائي السطوح المطورتين، تساوي 360 درجة. حجم الزاوية متعددة السطوح، معبرا عنه بالدرجات، يوضح مقدار المساحة التي تشغلها زاوية متعددة السطوح معينة. على سبيل المثال، زاوية ثلاثية السطوح للمكعب تشغل ثُمن المساحة، وبالتالي فإن قيمة درجتها هي 360°: 8 = 45°. زاوية ثلاثيةفي اليمين المنشور n-gonal يساوي النصفزاوية ثنائية السطوح عند الحافة الجانبية. وبما أن هذه الزاوية ثنائية السطوح متساوية، فإننا نحصل على أن زاوية المنشور ثلاثي السطوح متساوية.

الشريحة 8

قياس الزوايا المثلثية*

دعونا نشتق صيغة تعبر عن مقدار زاوية ثلاثية السطوح بدلالة زواياها ثنائية السطوح. دعونا نصف كرة وحدة بالقرب من قمة الرأس S للزاوية ثلاثية السطوح ونشير إلى نقاط تقاطع حواف الزاوية ثلاثية السطوح مع هذه الكرة بـ A، B، C. تقسم مستويات وجوه الزاوية ثلاثية السطوح هذه الكرة إلى ستة ديجونات كروية متساوية بشكل زوجي تتوافق مع الزوايا ثنائية السطوح لهذه الزاوية الثلاثية السطوح. كروية المثلث ABCوالمثلث الكروي المتماثل A"B"C" هو تقاطع ثلاثة ديجونات. وبالتالي، فإن ضعف مجموع الزوايا ثنائية السطوح يساوي 360o بالإضافة إلى أربعة أضعاف الزاوية الثلاثية السطوح، أو SA +SB + SC = 180o + 2 سابك.

الشريحة 9

قياس الزوايا متعددة السطوح*

دع SA1… زاوية محدبة ذات أوجه n. بتقسيمها إلى زوايا ثلاثية السطوح، ورسم الأقطار A1A3، ...، A1An-1 وتطبيق الصيغة الناتجة عليها، سيكون لدينا:  SA1 + ... + SAn = 180о(n – 2) + 2SA1… ان. زوايا متعددة السطوحويمكن أيضا قياسها بالأرقام. في الواقع، ثلاثمائة وستين درجة من كل الفضاء يتوافق مع الرقم 2π. بالانتقال من الدرجات إلى الأرقام في الصيغة الناتجة، سيكون لدينا: SA1+ …+SAn = π(n – 2) + 2SA1…An.

الشريحة 10

التمرين 1

هل يمكن أن تكون هناك زاوية ثلاثية السطوح ذات زوايا مسطحة: أ) 30 درجة، 60 درجة، 20 درجة؛ ب) 45 درجة، 45 درجة، 90 درجة؛ ج) 30°، 45°، 60°؟ الجواب: أ) لا؛ ب) لا؛ ج) نعم.

الشريحة 11

التمرين 2

أعط أمثلة على متعددات الوجوه التي تتقاطع وجوهها عند القمم فقط: أ) زوايا ثلاثية السطوح؛ ب) زوايا رباعي السطوح. ج) الزوايا الخماسية. الجواب: أ) رباعي السطوح، مكعب، اثني عشري؛ ب) المجسم الثماني. ج) عشروني الوجوه.

الشريحة 12

التمرين 3

الزاويتان المستويتان لزاوية ثلاثية السطوح هما 70 درجة و 80 درجة. ما هي حدود زاوية المستوى الثالث؟ الجواب: 10 س

الشريحة 13

التمرين 4

الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي 45°، 45° و60°. أوجد الزاوية بين مستويات الزوايا المستوية التي مقدارها 45°. الجواب: 90 درجة.

الشريحة 14

التمرين 5

في الزاوية ثلاثية السطوح، زاويتان مستويتان تساويان 45 درجة؛ الزاوية ثنائية السطوح بينهما صحيحة. أوجد زاوية المستوى الثالث. الجواب: 60 س.

الشريحة 15

التمرين 6

الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي 60°، 60° و90°. على أضلاعه تترسب من الأعلى شرائح متساويةالزراعة العضوية، OB، OC. أوجد الزاوية ثنائية السطوح بين مستوى الزاوية 90 درجة والمستوى ABC. الجواب: 90 درجة.

الشريحة 16

التمرين 7

كل زاوية مستوية لزاوية ثلاثية السطوح هي 60 درجة. يفرد من أعلى على أحد حافتيه قطعة طولها 3 سم، ويسقط عمودي من نهايتها على الوجه المقابل. أوجد طول هذا العمودي. الجواب: انظر

الشريحة 17

التمرين 8

يجد موضع النقاط الداخليةزاوية ثلاثية السطوح متساوية البعد عن وجوهها. الجواب: شعاع رأسه رأس زاوية ثلاثية السطوح، يقع على خط تقاطع المستويات التي تقسم الزوايا ثنائية السطوح إلى نصفين.

الشريحة 18

التمرين 9

أوجد موضع النقاط الداخلية لزاوية ثلاثية السطوح متساوية البعد عن حافتيها. الجواب: شعاع رأسه رأس زاوية ثلاثية السطوح، يقع على خط تقاطع المستويات المار بمنصفات الزوايا المستوية و عمودي على الطائراتهذه الزوايا.

الشريحة 19

التمرين 10

بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح للرباعي الاسطح لدينا: ، حيث 70o30". بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح للرباعي الاسطح لدينا: 15o45". الإجابة: 15o45". أوجد القيم التقريبية لزوايا ثلاثي السطوح لرباعي السطوح.

الشريحة 20

التمرين 11

أوجد القيم التقريبية لزوايا رباعي السطوح للمجسم الثماني. بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح للمجسم الثماني لدينا: ، حيث 109o30". بالنسبة للزوايا الرباعية السطوح للمجسم الثماني لدينا: 38o56". الجواب: 38o56".

الشريحة 21

التمرين 12

أوجد القيم التقريبية للزوايا الخماسية للمجسم العشروني. بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح في المجسم العشريني لدينا: ، حيث 138о11". بالنسبة للزوايا الخماسية في المجسم العشريني لدينا: 75о28". الجواب: 75o28".

الشريحة 22

التمرين 13

بالنسبة للزوايا ثنائية السطوح في الاثني عشر وجهًا لدينا: ، حيث 116o34". بالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح في الاثني عشر وجهًا لدينا: 84o51". الإجابة: 84o51". أوجد القيم التقريبية لزوايا ثلاثية السطوح في الاثني عشر وجهًا.

الشريحة 23

التمرين 14

في الهرم الرباعي المنتظم SABCD، طول ضلع القاعدة 2 سم، والارتفاع 1 سم. أوجد زاوية رباعي السطوح عند قمة هذا الهرم. الحل: الأهرامات المعطاة تقسم المكعب إلى ستة أهرامات متساوية تكون رؤوسها في وسط المكعب. وبالتالي فإن الزاوية الرباعية في قمة الهرم تساوي سدس الزاوية التي قياسها 360 درجة، أي. يساوي 60 درجة. الجواب: 60 س.

الشريحة 24

التمرين 15

في اليمين الهرم الثلاثي الأضلاع الجانبيةيساوي 1، زوايا الرأس 90 درجة. أوجد الزاوية الثلاثية عند قمة هذا الهرم. الحل: الأهرامات المشار إليها تقسم المجسم الثماني إلى ثمانية أهرامات متساوية تكون رؤوسها في المركز O للمجسم الثماني. وبالتالي فإن الزاوية الثلاثية التي في قمة الهرم تساوي ثمن الزاوية التي قياسها 360 درجة، أي. يساوي 45o. الجواب: 45 س.

الشريحة 25

التمرين 16

في الهرم الثلاثي المنتظم، الحواف الجانبية تساوي ١، والارتفاع أوجد الزاوية الثلاثية عند قمة هذا الهرم. الحل: الأهرامات المشار إليها مكسورة رباعي الاسطح منتظمبأربعة أهرامات متساويةمع القمم في وسط المجسم. وبالتالي فإن الزاوية الثلاثية التي في قمة الهرم تساوي ربع الزاوية التي قياسها 360 درجة، أي. يساوي 90 درجة. الجواب: 90 درجة.

عرض كافة الشرائح

دعونا نفكر في ثلاثة أشعة أ، ب، ج، تنبعث من نفس النقطة ولا تقع في نفس المستوى. الزاوية ثلاثية السطوح (abc) هي شكل مكون من ثلاث زوايا مسطحة (ab)، (bc)، و(ac) (الشكل 2)، وتسمى هذه الزوايا بأوجه زاوية ثلاثية السطوح، وتسمى جوانبها بالحواف؛ يُطلق على الرأس المشترك للزوايا المسطحة اسم قمة الزاوية ثلاثية السطوح. وتسمى الزوايا ثنائية السطوح التي تتكون من وجوه زاوية ثلاثية السطوح. زوايا ثنائي السطوحزاوية ثلاثية السطوح.

يتم تعريف مفهوم الزاوية متعددة السطوح بالمثل (الشكل 3).

متعدد السطوح

في القياس الفراغي، تتم دراسة الأشكال الموجودة في الفضاء والتي تسمى الأجسام. بصريًا، يجب تصور الجسم (الهندسي) كجزء من الفضاء المشغول الجسم الماديومحدودة بالسطح.

متعدد السطوح هو الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدودالمضلعات المسطحة (الشكل 4). يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع مستوي على سطحه. الجزء العاميسمى هذا المستوى وسطح متعدد السطوح المحدب بالوجه. وجوه متعدد السطوح المحدب مسطحة مضلعات محدبة. تسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، وتسمى القمم رؤوس متعدد السطوح.

دعونا نشرح ذلك باستخدام مثال المكعب المألوف (الشكل 5). المكعب هو متعدد السطوح محدب. ويتكون سطحه من ستة مربعات: ABCD، BEFC، .... هذه هي وجوهه. حواف المكعب هي جوانب هذه المربعات: AB، BC، BE،.... رؤوس المكعب هي رؤوس المربعات: A، B، C، D، E، .... للمكعب ستة وجوه واثني عشر حرفًا وثمانية رؤوس.

سنقدم أبسط متعددات الوجوه - المنشورات والأهرامات، والتي ستكون الهدف الرئيسي لدراستنا - التعريفات التي، في جوهرها، لا تستخدم مفهوم الجسم. وسيتم تعريفها على أنها أشكال هندسية تشير إلى جميع النقاط الموجودة في الفضاء التي تنتمي إليها. مفهوم جسم هندسيوسطحه في حالة عامةسوف تعطى لاحقا.

20. دراسة متعددة المستويات للزوايا متعددة السطوح، خصائص الزوايا المستوية لزاوية ثلاثية السطوح وزاوية متعددة السطوح.

المستوى الأساسي:

أتاناسيان

يأخذ بعين الاعتبار زاوية ثنائي السطوح فقط.

بوجوريلوف

أولاً، يأخذ في الاعتبار الزاوية ثنائية السطوح ثم على الفور الزوايا ثلاثية السطوح ومتعددة السطوح.

لنتأمل ثلاثة أشعة أ، ب، ج، تنبعث من نفس النقطة وتقع في نفس المستوى. الزاوية ثلاثية السطوح (abc) هي شكل مكون من ثلاث زوايا مسطحة (ab)، (bc)، و(ac) (الشكل 400). وتسمى هذه الزوايا بأوجه زاوية ثلاثية السطوح، وتسمى أضلاعها بالحواف. يسمى الرأس المشترك للزوايا المستوية رأس الزاوية ثلاثية السطوح. تسمى الزوايا ثنائية السطوح التي تتكون من وجوه زاوية ثلاثية السطوح زوايا ثنائية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح.

يتم تقديم مفهوم الزاوية متعددة السطوح بالمثل (الشكل 401).

الشكل 400 والشكل 401

ص مستوى الملف الشخصي(أ.د. ألكساندروف، أ.ل. فيرنر، في.آي. ريجيك):

ترك تعريف ودراسة الزوايا متعددة السطوح التعسفية حتى الفقرة 31، وسننظر الآن في أبسطها - زوايا ثلاثية السطوح. إذا كان من الممكن اعتبار الزوايا ثنائية السطوح في القياس المجسم نظائرًا للزوايا المستوية، فيمكن اعتبار الزوايا ثلاثية السطوح نظائرًا للمثلثات المستوية، وفي الفقرات التالية سنرى كيف ترتبط بشكل طبيعي بالمثلثات الكروية.

يمكنك بناء (وبالتالي تحديدها بشكل بناء) زاوية ثلاثية السطوح مثل هذه. خذ أي ثلاثة أشعة أ، ب، ج، لها بداية عامة O وعدم الاستلقاء في نفس المستوى (الشكل 150). هذه الأشعة هي جوانب ثلاث زوايا مستوية محدبة: الزاوية α مع الجوانب b، c، الزاوية β مع الجوانب a، c، والزاوية γ مع الجوانب a، b. ويسمى اتحاد هذه الزوايا الثلاث α، β، γ بالزاوية ثلاثية السطوح Oabc (أو باختصار، الزاوية ثلاثية السطوح O). تسمى الأشعة a، b، c حواف الزاوية ثلاثية السطوح Oabc، والزوايا المستوية α، β، γ هي أوجهها. تسمى النقطة O رأس الزاوية ثلاثية السطوح.

3 ملاحظة سيكون من الممكن تحديد زاوية ثلاثية السطوح بوجه غير محدب (الشكل 151)، لكننا لن نأخذ في الاعتبار مثل هذه الزوايا ثلاثية السطوح.

يتم تحديد لكل حافة من زاوية ثلاثية السطوح زاوية ثنائية السطوح مقابلة، تحتوي حافتها على الحافة المقابلة للزاوية ثلاثية السطوح، وتحتوي أوجهها على وجوه الزاوية ثلاثية السطوح المجاورة لهذه الحافة.

سيتم الإشارة إلى قيم الزوايا ثنائية السطوح للزاوية ثلاثية السطوح Oabc عند الحواف a، b، c على التوالي بواسطة a^، b^، c^ (أحرف كبيرة أعلى الحروف مباشرة).

ثلاثة وجوه α، β، γ للزاوية ثلاثية السطوح Oabc وزواياها ثنائية السطوح الثلاثة عند الضلوع أ، ب, с, وكذلك الكميات α, β, γ و а^, b^, с^ سوف نسمي عناصر زاوية ثلاثية السطوح. (تذكر أن عناصر المثلث المستوي هي أضلاعه وزواياه).

مهمتنا هي التعبير عن بعض عناصر الزاوية ثلاثية السطوح من خلال عناصرها الأخرى، أي بناء "علم المثلثات" للزوايا ثلاثية السطوح.

1) لنبدأ باشتقاق نظير لنظرية جيب التمام. أولاً، فكر في زاوية ثلاثية السطوح Oabc، والتي لها وجهان على الأقل، على سبيل المثال α و β، زوايا حادة. لنأخذ النقطة C على حافتها c ونرسم منها في الوجوه α و β عموديين CB و CA على الحافة c حتى يتقاطعوا مع الحافتين a و b عند النقطتين A و B (الشكل 152). دعونا نعبر عن المسافة AB من المثلثين OAB وCAB باستخدام نظرية جيب التمام.

AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC*BC*Cos(c^) و AB 2 =OA 2 +OB 2 -2AO*BO*Cosγ.

وبطرح المساواة الأولى من المساواة الثانية نحصل على:

OA 2 -AC 2 +OB 2 -BC 2 +2AC*BC*Cos(c^)-2AO*VO*Cosγ=0 (1). لأن المثلثان OSV وOCA قائما الزاوية، ثم AC 2 -AC 2 =OS 2 وOB 2 -VS 2 =OS 2 (2)

لذلك، من (1) و (2) يترتب على ذلك أن OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

أولئك.

لكن
,
,
,
. لهذا السبب

(3) – تماثل نظرية جيب التمام للزوايا ثلاثية السطوح – صيغة جيب التمام.

كلا الوجهين α و β زاويتان منفرجتان.

إحدى الزاويتين α و β، على سبيل المثال α، حادة، والأخرى، β، منفرجة.

تكون إحدى الزوايا α أو β على الأقل مستقيمة.

علامات تساوي الزوايا ثلاثية السطوحتشبه علامات تساوي المثلثات. ولكن هناك فرق: على سبيل المثال، زاويتان ثلاثيتان متساويتان إذا كانت زاويتهما ثنائية السطوح متساوية على التوالي. تذكر أن المثلثين المستويين اللذين تكون زواياهما المتناظرة متساوية متشابهان. وبالنسبة للزوايا ثلاثية السطوح، فإن حالة مماثلة لا تؤدي إلى التشابه، بل إلى المساواة.

زوايا ثلاثية السطوح لها ملحوظا ملكيةوهو ما يسمى الازدواجية. إذا كان في أي نظرية حول الزاوية الثلاثية السطوح Oabc فإننا نستبدلها القيم أ، ب، من إلى π-α، π-β، π-γ، وعلى العكس من ذلك، استبدل α، β، γ بـ π-a^، π-b^، π-c^، ثم نحصل مرة أخرى على بيان صحيح حول زوايا ثلاثية السطوح، المزدوج للنظرية الأصلية. صحيح، إذا تم إجراء مثل هذا الاستبدال في نظرية الجيب، فإننا نأتي مرة أخرى إلى نظرية الجيب (هو مزدوج لنفسه). لكن إذا فعلنا ذلك في نظرية جيب التمام (3)، فسنحصل على صيغة جديدة

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

سوف يصبح سبب حدوث هذه الازدواجية واضحًا إذا قمنا ببناء زاوية ثلاثية السطوح لزاوية ثلاثية السطوح تكون حوافها متعامدة مع أوجه الزاوية الأصلية (انظر القسم 33.3 والشكل 356).

بعض من أبسط الأسطح هي زوايا متعددة السطوح. وهي مكونة من زوايا عادية (سنسمي هذه الزوايا في كثير من الأحيان زوايا مسطحة)، تمامًا كما يتكون الخط المكسور المغلق من أجزاء. وهي يتم إعطاء التعريف التالي:

تسمى الزاوية متعددة السطوحشكل يتكون من زوايا مستوية بحيث تتحقق الشروط التالية:

1) لا توجد زاويتان لهما نقاط مشتركة باستثناء الرأس المشترك أو الضلع الكامل.

2) في كل زاوية من هذه الزوايا يكون كل ضلع من أضلاعها مشتركاً مع زاوية واحدة فقط من هذه الزوايا.

3) من كل زاوية يمكنك الذهاب إلى كل زاوية على طول الزوايا التي لها جوانب مشتركة.

4) لا توجد زاويتان لهما جانب مشترك في نفس المستوى (الشكل 324).

وفي هذه الحالة تسمى الزوايا المستوية التي تشكل زاوية متعددة السطوح أوجهها، وتسمى أضلاعها حوافها.

تحت هذا التعريفالزاوية ثنائية السطوح مناسبة أيضًا. وهي تتألف من زاويتين مسطحتين مفتوحتين. ويمكن اعتبار رأسه أي نقطة على حافته، وهذه النقطة تقسم الحافة إلى حافتين تلتقيان عند الرأس. ولكن بسبب عدم اليقين هذا في موضع الرأس، يتم استبعاد زاوية ثنائي السطوح من عدد الزوايا متعددة السطوح.

ص

إن مفهوم زاوية متعدد السطوح مهم، على وجه الخصوص، في دراسة متعددات السطوح - في نظرية متعددات السطوح. يتميز هيكل متعدد السطوح بنوع الوجوه التي يتكون منها وكيفية تقاربها عند القمم، أي ما هي زوايا متعدد السطوح الموجودة.

خذ بعين الاعتبار الزوايا متعددة السطوح لمتعددات السطوح المختلفة.

لاحظ أن وجوه الزوايا متعددة السطوح يمكن أن تكون أيضًا زوايا غير محدبة.

زاوية متعددة السطوح

جزء من الفضاء محدود بتجويف واحد متعدد السطوح سطح مخروطي، اتجاهه مضلع مسطح بدون تقاطعات ذاتية. وتسمى وجوه هذا السطح بأوجه الفسيفساء، ويسمى الجزء العلوي بأعلى الفسيفساء. م.ش. ويسمى صحيحا إذا كانت كلها متساوية زوايا خطيةوجميع زواياه ثنائية السطوح. ميروي م.ش. هي المنطقة التي يحدها المضلع الكروي الناتج عن تقاطع وجوه المضلع، وهي كرة نصف قطرها يساوي واحد، ومع المركز في قمة M. y. انظر أيضًا الزاوية الصلبة.

كبير الموسوعة السوفيتية. - م: الموسوعة السوفيتية. 1969-1978 .

انظر ما هي "الزاوية متعددة السطوح" في القواميس الأخرى:

انظر الزاوية الصلبة... كبير القاموس الموسوعي

انظر الزاوية الصلبة. * * * زاوية متعددة السطوح زاوية متعددة السطوح، انظر الزاوية الصلبة (انظر الزاوية الصلبة) ... القاموس الموسوعي

جزء من الفضاء محدود بتجويف واحد لمخروط متعدد السطوح. توجيه السطح إلى سرب من المضلع المسطح بدون تقاطعات ذاتية. تسمى وجوه هذا السطح. حواف M. u.، الجزء العلوي من قمة M. u. تسمى الزاوية متعددة السطوح صحيح... الموسوعة الرياضية

انظر الزاوية الصلبة... العلوم الطبيعية. القاموس الموسوعي

زاوية متعددة السطوح- الرياضيات. جزء من الفضاء تحده عدة مستويات تمر بنقطة واحدة (رأس الزاوية) ... قاموس العديد من التعبيرات

متعددة الأوجه، متعددة الأوجه، متعددة الأوجه (كتاب). 1. وجود عدة أوجه أو جوانب. حجر متعدد الأوجه. زاوية متعددة السطوح (جزء من الفضاء محدود بعدة مستويات تتقاطع عند نقطة واحدة؛ حصيرة.). 2. نقل... ... قاموسأوشاكوفا

- (حصيرة). إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة OA و0B من النقطة O على مستوى معين، فسنحصل على الزاوية AOB (الشكل 1). هراء. 1. تم استدعاء النقطة 0 قمة الزاوية، والخطوط المستقيمة OA و0B كأضلاع الزاوية. لنفترض أن الزاويتين ΒΟΑ و Β 1 Ο 1 Α 1 معطاة بحيث ... ...

- (حصيرة). إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة OA و0B من النقطة O على مستوى معين، فسنحصل على الزاوية AOB (الشكل 1). هراء. 1. تم استدعاء النقطة 0 قمة الزاوية، والخطوط المستقيمة OA و0B كأضلاع الزاوية. لنفترض أنه تم إعطاء زاويتين ΒΟΑ و Β1Ο1Α1. دعونا نركبها بحيث تكون القمم O... القاموس الموسوعي ف. بروكهاوس وآي. إيفرون

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الزاوية (المعاني). الزاوية ∠ البعد ° وحدات SI راديان ... ويكيبيديا

مستوي، الشكل الهندسييتكون من شعاعين (جانبي السطح) ينبعثان من نقطة واحدة (رأس السطح). كل U. لها قمة في المركز O لدائرة ما (U المركزية)، تحدد على الدائرة قوسًا AB يحده... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

التعاريف.

لنأخذ عدة زوايا (الشكل 37): ASB وBSC وCSD، والتي تتجاور مع بعضها البعض بشكل تسلسلي، وتقع في نفس المستوى حول الرأس المشترك S. دعونا ندير مستوى الزاوية ASB حوله SB بحيث يصنع هذا المستوى زاوية ثنائية السطوح معينة مع المستوى BSC. بعد ذلك، دون تغيير زاوية ثنائي السطوح الناتجة، نقوم بتدويرها حول الخط المستقيم SC بحيث يصنع مستوى BSC زاوية ثنائية السطوح معينة مع مستوى CSD. دعونا نواصل هذا الدوران المتسلسل حول كل جانب مشترك. إذا تزامن الجانب الأخير SF مع الجانب الأول SA، فسيتم تشكيل شكل (الشكل 38)، وهو ما يسمى زاوية متعددة السطوح. تسمى الزوايا ASB، BSC،... زوايا مسطحةأو حواف، جوانبهم SA، SB، ... تسمى الأضلاع، والقمة المشتركة S- قمةزاوية متعددة السطوح.

كل حافة هي أيضًا حافة زاوية ثنائية السطوح معينة؛ لذلك، في الزاوية متعددة السطوح يوجد عدد من الزوايا ثنائية السطوح وعدد من الزوايا المستوية يساوي عدد جميع الحواف فيها. أصغر عددهناك ثلاثة وجوه في زاوية متعددة السطوح؛ تسمى هذه الزاوية الثلاثي. قد تكون هناك زوايا رباعية السطوح وخماسية وما إلى ذلك.

يُشار إلى الزاوية متعددة السطوح إما بحرف واحد S يوضع في قمة الرأس، أو بسلسلة من الحروف SABCDE، والتي يشير الأول منها إلى قمة الرأس، والآخرون - الحواف بترتيب موقعهم.

تسمى الزاوية متعددة السطوح محدبة إذا كانت تقع بالكامل على جانب واحد من مستوى كل وجه من وجوهها، والتي تمتد إلى ما لا نهاية. هذه هي، على سبيل المثال، الزاوية الموضحة في الرسم 38. وعلى العكس من ذلك، لا يمكن تسمية الزاوية في الرسم 39 محدبة، لأنها تقع على جانبي حافة ASB أو حافة BCC.

إذا تقاطعنا جميع أوجه زاوية متعددة السطوح مع مستوى، فسيتم تشكيل مضلع في القسم ( abcde ). في زاوية متعددة السطوح المحدبة، يكون هذا المضلع محدبًا أيضًا.

سننظر فقط في زوايا متعددة السطوح المحدبة.

نظرية. في الزاوية الثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أقل من مجموع الزاويتين المستويتين الأخريين.

ولتكن أكبر زوايا المستوى في الزاوية ثلاثية السطوح SABC (الشكل 40) هي الزاوية ASC.

دعونا نرسم على هذه الزاوية الزاوية ASD، المساوية للزاوية ASB، ونرسم بعض الخطوط المستقيمة AC التي تتقاطع مع SD عند نقطة ما D. دعونا نرسم SB = SD. ومن خلال ربط B مع A وC، نحصل على \(\Delta\)ABC، حيث

م + العاصمة< АВ + ВС.

المثلثان ASD وASB متطابقان لأن كل منهما يحتوي على زاوية متساوية بينهما جوانب متساوية: وبالتالي م = AB. ومن ثم، إذا تجاهلنا في المتباينة المشتقة الحدين المتساويين AD وAB، فسنحصل على DC< ВС.

والآن نلاحظ أنه في المثلثين SCD وSCB، ضلعان لأحدهما يساوي ضلعين للآخر، أما الضلع الثالث فليس متساوياً؛ وفي هذه الحالة، تقع الزاوية الأكبر مقابل الجانب الأكبر من هذه الجوانب؛ وسائل،

∠CSD< ∠ CSВ.

وبجمع الزاوية ASD إلى الجانب الأيسر من هذه المتباينة، والزاوية ASB المساوية لها إلى الجانب الأيمن، نحصل على المتباينة التي يلزم إثباتها:

∠ASC< ∠ CSB + ∠ ASB.

لقد أثبتنا أنه حتى أكبر زاوية مستوية تكون أقل من مجموع الزاويتين الأخريين. وهذا يعني أن النظرية قد تم إثباتها.

عاقبة. اطرح من طرفي المتباينة الأخيرة الزاوية ASB أو الزاوية CSB؛ نحصل على:

∠ASC - ∠ASB< ∠ CSB;

∠ASC - ∠CSB< ∠ ASB.

مع الأخذ في الاعتبار هذه المتباينات من اليمين إلى اليسار ومراعاة تلك الزاوية ASC باعتبارها الأكبر ثلاث زواياأكبر من الفرق بين الزاويتين الأخريين، نصل إلى نتيجة مفادها أن في الزاوية الثلاثية السطوح، تكون كل زاوية مستوية أكبر من الفرق بين الزاويتين الأخريين.

نظرية. في الزاوية المحدبة متعددة السطوح، يكون مجموع زوايا المستوى أقل من 4d (360°) .

دعونا نعبر الحواف (الشكل 41) زاوية محدبة SABCDE بواسطة طائرة ما؛ من هذا نحصل على مقطع عرضي محدب ن-جون ABCDE.

وبتطبيق النظرية التي أثبتناها سابقاً على كل زاوية من الزوايا ثلاثية السطوح التي تقع رؤوسها عند النقاط A وB وC وD وE، فإننا نستنتج أن:

∠ اي بي سي< ∠ABS + ∠SВC, ∠BCD < ∠BCS + ∠SCD и т. д.

دعونا نجمع كل هذه التفاوتات مصطلحًا بعد مصطلح. ثم على الجانب الأيسر نحصل على مجموع جميع زوايا المضلع ABCDE، وهو ما يساوي 2 الاسم المميز - 4د وعلى اليمين - مجموع زوايا المثلثات ABS، SBC، وما إلى ذلك، باستثناء تلك الزوايا التي تقع في قمة الرأس S. للدلالة على مجموع هذه الزوايا الأخيرة بالحرف X ، نحصل بعد الإضافة:

2الاسم المميز - 4د < 2د - س .

منذ في الاختلافات 2 الاسم المميز - 4د و 2 د - س الطرح واحد، فإذا كان الفرق الأول أقل من الثاني، لا بد أن يكون المطروح 4 د كان أكثر من الخصم X ; وهذا يعني 4 د > X ، أي. X < 4د .

أبسط حالات تساوي الزوايا الثلاثية السطوح

نظريات. تكون الزوايا ثلاثية السطوح متساوية إذا كانت:

1) على طول زاوية ثنائية السطوح متساوية ومحاطة بين زاويتين مستويتين متساويتين ومتباعدتين بشكل مماثل، أو

2) على طول زاوية مستوية متساوية محصورة بين زاويتين ثنائيتي السطوح متساويتين ومتباعدتين بشكل مماثل.

1) لتكن S وS 1 زاويتين ثلاثيتي السطوح (الشكل 42)، حيث ∠ASB = ∠A 1 S 1 B 1، ∠ASC = ∠A 1 S 1 C 1 (وهذه زوايا متساويةتقع بشكل مماثل) والزاوية ثنائية السطوح AS تساوي زاوية ثنائي السطوح A 1 S 1 .

دعونا ندرج الزاوية S 1 في الزاوية S بحيث تتطابق نقاطها S 1 و S والخطوط المستقيمة S 1 A 1 و SA والمستويات A 1 S 1 B 1 و ASB. ثم ستمتد الحافة S 1 B 1 على طول SB (بسبب تساوي الزوايا A 1 S 1 B 1 و ASB)، فإن المستوى A 1 S 1 C 1 سوف يسير على طول ASC (بحكم مساواة الزوايا ثنائية السطوح ) والحافة S 1 C 1 ستمتد على طول الحافة SC (بسبب تساوي الزوايا A 1 S 1 C 1 و ASC). وهكذا فإن الزوايا الثلاثية السطوح سوف تتطابق مع جميع حوافها، أي. سيكونون متساوين.

2) العلامة الثانية كالأولى تثبت بالضم.

زوايا متعددة السطوح متناظرة

وكما هو معروف، زوايا عموديةمتساوية عندما نتحدث عن الزوايا التي تتكون من خطوط مستقيمة أو مستويات. دعونا نرى ما إذا كان هذا البيان صحيحًا فيما يتعلق بالزوايا متعددة السطوح.

دعونا نواصل (الشكل 43) جميع حواف الزاوية SABCDE خلف الرأس S، ثم يتم تشكيل زاوية متعددة السطوح أخرى SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1، والتي يمكن تسميتها رَأسِيّنسبة إلى الزاوية الأولى. من السهل أن نرى أن كلا الزاويتين لهما زوايا مستوية وثنائية السطوح متساوية، على التوالي، ولكن كلاهما يقعان في مكان واحد ترتيب عكسي. في الواقع، إذا تخيلنا مراقبًا ينظر من خارج زاوية متعددة السطوح في قمة رأسها، فإن الحواف SA، SB، SC، SD، SE ستبدو له وكأنها تقع في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة، بينما عند النظر إلى الزاوية SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1، يرى الحواف SA 1، SB 1، ...، تقع في اتجاه عقارب الساعة.

الزوايا متعددة السطوح ذات الزوايا المسطحة وثنائية السطوح المتساوية، ولكنها تقع في الترتيب المعاكس، لا يمكن دمجها بشكل عام عند التداخل؛ وهذا يعني أنهم ليسوا متساوين. تسمى هذه الزوايا متماثل(بالنسبة إلى قمة الرأس S). ستتم مناقشة تماثل الأشكال في الفضاء بمزيد من التفصيل أدناه.

مواد أخرى