حجم الهرم الثلاثي. الصيغ والأمثلة لحل المشكلة

نظرية. حجم الهرم يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته وثلث ارتفاعه.

أولاً نثبت هذه النظرية للهرم الثلاثي، ثم للهرم متعدد الأضلاع.

1) بناءً على الهرم الثلاثي SABC (الشكل 102)، سنقوم ببناء منشور SABCDE، الذي يساوي ارتفاعه ارتفاع الهرم، وتتزامن حافة جانبية واحدة مع الحافة SB. دعونا نثبت أن حجم الهرم يساوي ثلث حجم هذا المنشور. دعونا نفصل هذا الهرم عن المنشور. ما سيبقى بعد ذلك هو الهرم الرباعي SADEC (والذي يظهر بشكل منفصل للتوضيح). دعونا نرسم فيه مستوى القطع من خلال قمة الرأس S وقطر القاعدة DC. الهرمان المثلثان الناتجان لهما قمة مشتركة S وقاعدتان متساويتان DEC وDAC، تقعان في نفس المستوى؛ وهذا يعني أنه وفقًا للهرم المثبت أعلاه، فإنهما متساويان في الحجم. دعونا نقارن واحد منهم، وهو SDEC، مع هذا الهرم. يمكن اعتبار قاعدة هرم SDEC على أنها $\Delta$SDE؛ فإن قمته ستكون عند النقطة C وسيكون ارتفاعه مساويًا لارتفاع الهرم المحدد. نظرًا لأن $\Delta$SDE = $\Delta$ABC، فوفقًا لنفس lemma، فإن الهرمين SDEC وSABC متساويان في الحجم.

قمنا بتقسيم منشور ABCDES إلى ثلاثة أهرامات متساوية الحجم: SABC، وSDEC، وSDAC. (من الواضح أن أي منشور ثلاثي يمكن أن يتعرض لمثل هذا التقسيم. وهذه إحدى الخصائص المهمة للمنشور الثلاثي.) وبالتالي، فإن مجموع أحجام ثلاثة أهرامات متساوية في الحجم مع هذا الهرم يشكل حجم المنشور؛ لذلك،

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

حيث H هو ارتفاع الهرم .

2) من خلال بعض قمة E (الشكل 103) لقاعدة الهرم متعدد الأضلاع SABCDE نرسم القطرين EB و EC.

ثم نرسم مستويات القطع عبر الحافة SE وكل قطر من هذه الأقطار. بعد ذلك، سيتم تقسيم الهرم متعدد الأضلاع إلى عدة هرم مثلثي، له ارتفاع مشترك مع الهرم المحدد. -الدلالة على مساحات قواعد الأهرامات المثلثة ب 1 ،ب 2 ،ب 3 والارتفاع حتى H، سيكون لدينا:

حجم SABCDE = 1/3 ب 1 ح + 1/3 ب 2ح + 1/3 ب 3 ح = ( ب 1 + ب 2 + ب 3) ح/3 =

= (المساحة ABCDE) H / 3 .

عاقبة. إذا كانت V وB وH تعني أرقامًا تعبر بالوحدات المقابلة عن الحجم ومساحة القاعدة والارتفاع لأي هرم، إذن

نظرية. حجم الهرم المقطوع يساوي مجموع أحجام الأهرامات الثلاثة التي لها نفس ارتفاع الهرم المقطوع، والقواعد: إحداها هي القاعدة السفلية لهذا الهرم، والأخرى هي القاعدة العلوية، ومساحة قاعدة الهرم الثالث تساوي الوسط الهندسي لمساحة القاعدتين العلوية والسفلية.

لتكن مساحات قواعد الهرم المقطوع (شكل 104) B و بوالارتفاع H والحجم V (يمكن أن يكون الهرم المقطوع ثلاثيًا أو متعدد الأضلاع - لا يهم).

مطلوب إثبات ذلك

الخامس = 1/3 BH + 1/3 بح+1/3 ح√ب ب= 1/3 ح(ب+ ب+√ب ب ),

حيث √ ب بهو الوسط الهندسي بين B و ب.

لإثبات ذلك، دعونا نضع هرمًا صغيرًا على قاعدة أصغر تكمل هذا الهرم المقطوع إلى هرم كامل. ثم يمكننا اعتبار حجم الهرم المقطوع V كالفرق بين مجلدين - الهرم الكامل والجزء العلوي الإضافي.

بعد تحديد ارتفاع الهرم الإضافي بالحرف X، سوف نجد ذلك

الخامس = 1/3 فولت (ح + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B س - بكس) = 1/3 [ВH + (В - ب)X].

للعثور على الارتفاع Xدعونا نستخدم النظرية من والتي يمكننا من خلالها كتابة المعادلة:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

لتبسيط هذه المعادلة نأخذ الجذر التربيعي الحسابي للطرفين:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

من هذه المعادلة (التي يمكن اعتبارها نسبة) نحصل على:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

وبالتالي

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

وبالتعويض بهذا التعبير في الصيغة التي استنتجناها للمجلد الخامس نجد:

$$ V = \frac(1)(3)\left $$

منذ ب - ب= (√ب + √ ب) (√ب - √ ب)، ثم عن طريق تقليل الكسر بالفرق √B - √ بنحن نحصل:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

أي أننا حصلنا على الصيغة المطلوب إثباتها.

مواد اخرى

السمة الرئيسية لأي شكل هندسي في الفضاء هو حجمه. في هذه المقالة، سننظر إلى ما هو الهرم ذو المثلث في القاعدة، وسنوضح أيضًا كيفية العثور على حجم الهرم الثلاثي - العادي الكامل والمبتور.

ما هذا - الهرم الثلاثي؟

لقد سمع الجميع عن الأهرامات المصرية القديمة، لكنها ذات شكل رباعي منتظم وليست مثلثة. دعونا نشرح كيفية الحصول على الهرم الثلاثي.

لنأخذ مثلثًا عشوائيًا ونربط جميع رؤوسه بنقطة واحدة تقع خارج مستوى هذا المثلث. سيتم تسمية الشكل الناتج بالهرم الثلاثي. هو مبين في الشكل أدناه.

كما ترون، الشكل المعني يتكون من أربعة مثلثات، والتي بشكل عام مختلفة. وكل مثلث هو أضلاع الهرم أو وجهه. غالبًا ما يُطلق على هذا الهرم اسم رباعي السطوح، أي شكل رباعي السطوح ثلاثي الأبعاد.

بالإضافة إلى الجوانب، يحتوي الهرم أيضًا على حواف (توجد 6 منها) ورؤوس (من 4).

مع قاعدة الثلاثي

الشكل الذي يتم الحصول عليه باستخدام مثلث عشوائي ونقطة في الفضاء سيكون هرمًا مائلًا غير منتظم في الحالة العامة. تخيل الآن أن المثلث الأصلي له أضلاع متطابقة، وأن هناك نقطة في الفضاء تقع بالضبط فوق مركزه الهندسي على مسافة h من مستوى المثلث. سيكون الهرم الذي تم إنشاؤه باستخدام هذه البيانات الأولية صحيحًا.

من الواضح أن عدد الحواف والجوانب والقمم للهرم الثلاثي المنتظم سيكون هو نفس عدد الهرم المبني من مثلث عشوائي.

ومع ذلك، فإن الرقم الصحيح لديه بعض السمات المميزة:

ارتفاعه المرسوم من الرأس سوف يتقاطع تمامًا مع القاعدة عند المركز الهندسي (نقطة تقاطع المتوسطات)؛
ويتكون السطح الجانبي لهذا الهرم من ثلاثة مثلثات متطابقة، وهي متساوية الساقين أو متساوية الأضلاع.

الهرم الثلاثي المنتظم ليس مجرد كائن هندسي نظري بحت. بعض الهياكل في الطبيعة لها شكلها، على سبيل المثال الشبكة البلورية الماسية، حيث ترتبط ذرة الكربون بأربع من نفس الذرات بواسطة روابط تساهمية، أو جزيء الميثان، حيث تتشكل رؤوس الهرم بواسطة ذرات الهيدروجين.

الهرم الثلاثي

يمكنك تحديد حجم أي هرم باستخدام n-gon اختياري في القاعدة باستخدام التعبير التالي:

هنا الرمز S o يدل على مساحة القاعدة، h هو ارتفاع الشكل المرسوم على القاعدة المحددة من أعلى الهرم.

بما أن مساحة المثلث التعسفي تساوي نصف منتج طول ضلعه أ والارتفاع ح أ المسقط على هذا الجانب، يمكن كتابة صيغة حجم الهرم الثلاثي بالشكل التالي:

V = 1/6 × أ × ح أ × ح

بالنسبة للنوع العام، فإن تحديد الارتفاع ليس بالمهمة السهلة. لحلها، أسهل طريقة هي استخدام صيغة المسافة بين نقطة (الرأس) ومستوى (قاعدة مثلثية)، ممثلة بمعادلة عامة.

أما الصحيح فهو ذو مظهر محدد. مساحة القاعدة (مثلث متساوي الأضلاع) لها تساوي:

وبالتعويض في التعبير العام لـ V نحصل على:

V = √3/12 × أ 2 × ح

هناك حالة خاصة هي الموقف الذي تتحول فيه جميع جوانب رباعي السطوح إلى مثلثات متساوية الأضلاع. في هذه الحالة، لا يمكن تحديد حجمه إلا بناءً على معرفة معلمة حافته أ. يبدو التعبير المقابل كما يلي:

الهرم المقطوع

إذا تم قطع الجزء العلوي الذي يحتوي على قمة الرأس من هرم ثلاثي منتظم، فستحصل على شكل مقطوع. على عكس الشكل الأصلي، سيتكون من قاعدتين مثلثتين متساويتين الأضلاع وثلاثة شبه منحرف متساوي الساقين.

توضح الصورة أدناه كيف يبدو الهرم الثلاثي المقطوع المنتظم المصنوع من الورق.

لتحديد حجم الهرم الثلاثي المقطوع، عليك معرفة خصائصه الخطية الثلاث: كل جانب من جوانب القواعد وارتفاع الشكل يساوي المسافة بين القاعدتين العلوية والسفلية. تتم كتابة الصيغة المقابلة للحجم على النحو التالي:

V = √3/12 × ح × (أ 2 + أ 2 + أ × أ)

هنا h هو ارتفاع الشكل، A وa هما أطوال أضلاع المثلثات متساوية الأضلاع الكبيرة (السفلى) والصغيرة (العلوية)، على التوالي.

حل المشكلة

ولجعل المعلومات الواردة في المقال أكثر وضوحا للقارئ، سنوضح بمثال واضح كيفية استخدام بعض الصيغ المكتوبة.

ليكون حجم الهرم الثلاثي 15 سم3 . ومن المعروف أن هذا الرقم صحيح. يجب أن تجد الارتفاع a b للحافة الجانبية إذا علمت أن ارتفاع الهرم هو 4 سم.

بما أن حجم الشكل وارتفاعه معروفان، فيمكنك استخدام الصيغة المناسبة لحساب طول ضلع قاعدته. لدينا:

V = √3/12 × أ 2 × ح =>
أ = 12 × الخامس / (√3 × ح) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 سم

أ ب = √(ح 2 + أ 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 سم

تبين أن الطول المحسوب لحجم الشكل أكبر من ارتفاعه، وهو ما ينطبق على أي نوع من الهرم.

نظرية.

حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

دليل:

أولا نثبت نظرية الهرم الثلاثي، ثم الهرم الاعتباطي.

1. النظر في الهرم الثلاثيأوابكمع الحجم V، مساحة القاعدةسوالارتفاع ح. لنرسم المحور اوه (OM2- الارتفاع)، النظر في القسمأ1 ب1 ج1الهرم مع مستوى عمودي على المحورأوهوبالتالي، موازية لمستوى القاعدة. دعونا نشير بواسطةXنقطة الإحداثي م1 تقاطع هذا المستوى مع المحور x ومن خلالهس(س)- مساحة المقطع العرضي. دعونا نعرب س(س)خلال س, حو X. لاحظ أن المثلثين A1 في1 مع1 و ABC متشابهة. بالفعل أ1 في1 II AB، مثلث إذنالزراعة العضوية 1 في 1 على غرار المثلث OAB. معلذلك، أ1 في1 : أب=الزراعة العضوية 1: الزراعة العضوية .

المثلثات الصحيحةالزراعة العضوية 1 في 1 و أواف متشابهة أيضًا (لها زاوية حادة مشتركة مع قمة الرأس O). لذلك، الزراعة العضوية 1: الزراعة العضوية = س 1 م1 : أوم = س: ح. هكذاأ 1 في 1 : أ ب = س: ح.وكذا ثبت ذلكب1 ج1:شمس = العاشر: حو أ1 ج1:التيار المتردد =العاشر: ح.إذن مثلثأ1 ب1 ج1و اي بي سيمماثلة مع معامل التشابهالعاشر: ح.وبالتالي، S(x) :س = (س: ح)²، أوق(س) = س ×²/ ح².

دعونا الآن نطبق الصيغة الأساسية لحساب أحجام الأجسامأ= 0, ب =حنحن نحصل

2. دعونا الآن نثبت نظرية الهرم الاختياري مع الارتفاع حومنطقة القاعدة س. يمكن تقسيم هذا الهرم إلى أهرامات ثلاثية بارتفاع إجمالي ح.دعونا نعبر عن حجم كل هرم مثلث باستخدام الصيغة التي أثبتناها ونجمع هذه الحجوم. بإخراج العامل المشترك 1/3h من الأقواس، نحصل بين الأقواس على مجموع قواعد الأهرامات المثلثة، أي. المنطقة S من قواعد الهرم الأصلي.

وبذلك يكون حجم الهرم الأصلي 1/3Sh. لقد تم إثبات النظرية.

عاقبة:

المجلد الخامس لهرم مقطوع ارتفاعه h ومساحة قاعدته S وS1 ، يتم حسابها بواسطة الصيغة

ح - ارتفاع الهرم

قف - مساحة القاعدة العلوية

أبطأ - مساحة القاعدة السفلية

الهرم هو متعدد السطوح مع مضلع في قاعدته. تشكل جميع الوجوه بدورها مثلثات تتقارب في قمة واحدة. الأهرامات مثلثة، ورباعية الزوايا، وهكذا. من أجل تحديد الهرم الذي أمامك، يكفي حساب عدد الزوايا عند قاعدته. غالبًا ما يتم العثور على تعريف "ارتفاع الهرم" في المشكلات الهندسية في المناهج المدرسية. سنحاول في هذه المقالة إلقاء نظرة على طرق مختلفة للعثور عليه.

أجزاء الهرم

ويتكون كل هرم من العناصر التالية:

الوجوه الجانبية، التي لها ثلاث زوايا وتتقارب عند القمة؛
يمثل الارتفاع الارتفاع الذي ينحدر من قمته.
قمة الهرم هي النقطة التي تربط بين الأضلاع الجانبية ولكنها لا تقع في مستوى القاعدة.
القاعدة عبارة عن مضلع لا يقع عليه الرأس؛
ارتفاع الهرم هو الجزء الذي يتقاطع مع قمة الهرم ويشكل زاوية قائمة مع قاعدته.

كيفية العثور على ارتفاع الهرم إذا كان حجمه معروفا

من خلال الصيغة V = (S*h)/3 (في الصيغة V هو الحجم، S هي مساحة القاعدة، h هو ارتفاع الهرم) نجد أن h = (3*V)/ س. لتوحيد المواد، دعونا نحل المشكلة على الفور. حجم القاعدة المثلثة 50 سم2 وحجمها 125 سم3. ارتفاع الهرم الثلاثي غير معروف، وهو ما نحتاج إلى إيجاده. كل شيء بسيط هنا: نقوم بإدخال البيانات في صيغتنا. نحصل على ح = (3*125)/50 = 7.5 سم.

كيفية العثور على ارتفاع الهرم إذا كان طول القطر وحوافه معروفا

وكما نتذكر، فإن ارتفاع الهرم يشكل زاوية قائمة مع قاعدته. هذا يعني أن الارتفاع والحافة ونصف القطر معًا يشكلان الكثير، بالطبع، تذكروا نظرية فيثاغورس. وبمعرفة بعدين، لن يكون من الصعب إيجاد الكمية الثالثة. دعونا نتذكر النظرية المعروفة a² = b² + c²، حيث a هو الوتر، وفي حالتنا حافة الهرم؛ ب - الرجل الأولى أو نصف القطر و ج - على التوالي الرجل الثانية أو ارتفاع الهرم. من هذه الصيغة ج² = أ² - ب².

المشكلة الآن: في الهرم العادي يكون القطر 20 سم، عندما يكون طول الحافة 30 سم، عليك إيجاد الارتفاع. نحل: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. وبالتالي، c = √ 500 = حوالي 22.4.

كيفية العثور على ارتفاع الهرم المقطوع

وهو مضلع ذو مقطع عرضي موازي لقاعدته. ارتفاع الهرم المقطوع هو القطعة التي تصل بين قاعدتيه. يمكن معرفة الارتفاع للهرم المنتظم إذا كانت أطوال أقطار القاعدتين معروفة وكذلك حافة الهرم. اجعل قطر القاعدة الكبرى d1، بينما قطر القاعدة الأصغر هو d2، وطول الحافة l. للعثور على الارتفاع، يمكنك خفض الارتفاعات من النقطتين العلويتين المتقابلتين للمخطط إلى قاعدته. نلاحظ أن لدينا مثلثين قائمي الزاوية، وكل ما تبقى هو إيجاد أطوال أرجلهما. للقيام بذلك، اطرح الأصغر من القطر الأكبر واقسمه على 2. لذلك سنجد ساقًا واحدة: أ = (d1-d2)/2. وبعد ذلك، وفقًا لنظرية فيثاغورس، كل ما علينا فعله هو إيجاد الساق الثانية، وهي ارتفاع الهرم.

الآن دعونا نلقي نظرة على هذا الأمر برمته في الممارسة العملية. لدينا مهمة أمامنا. هرم مقطوع له مربع في قاعدته، طول قطر القاعدة الكبرى 10 سم، بينما الأصغر 6 سم، وطول الحافة 4 سم، وعليك إيجاد الارتفاع. أولا نجد ساق واحدة: أ = (10-6)/2 = 2 سم، والساق الواحدة تساوي 2 سم، والوتر 4 سم، ويتبين أن الرجل الثانية أو الارتفاع سيكون يساوي 16- 4 = 12، أي h = √12 = حوالي 3.5 سم.

هرميسمى متعدد السطوح، قاعدته مضلع اعتباطي، وجميع الوجوه مثلثات ذات قمة مشتركة وهي قمة الهرم.

الهرم هو شكل ثلاثي الأبعاد. وهذا هو السبب في أنه من الضروري في كثير من الأحيان العثور ليس فقط على مساحتها، ولكن أيضًا على حجمها. صيغة حجم الهرم بسيطة للغاية:

حيث S هي مساحة القاعدة، و h هو ارتفاع الهرم.

ارتفاعويسمى الهرم بخط مستقيم ينحدر من قمته إلى القاعدة بزاوية قائمة. وبناء على ذلك، للعثور على حجم الهرم، من الضروري تحديد المضلع الذي يقع في القاعدة، وحساب مساحته، ومعرفة ارتفاع الهرم والعثور على حجمه. لنفكر في مثال لحساب حجم الهرم.

المشكلة: إعطاء هرم رباعي الزوايا منتظم.

أطوال أضلاع القاعدة أ = 3 سم، جميع أضلاعها ب = 4 سم، أوجد حجم الهرم.
أولاً، تذكر أنه لحساب الحجم، ستحتاج إلى ارتفاع الهرم. يمكننا إيجادها باستخدام نظرية فيثاغورس. للقيام بذلك، نحتاج إلى طول القطر، أو بالأحرى نصفه. وبعد معرفة طولي ضلعي المثلث القائم الزاوية، يمكننا إيجاد الارتفاع. أولاً، ابحث عن القطر:

دعنا نستبدل القيم في الصيغة:

نجد الارتفاع h باستخدام d والحافة b:

الآن دعونا نجد