كرة منقوشة في رباعي منتظم من الخصائص. الكرة منقوشة في شكل رباعي السطوح حافته تساوي بحيث

للتعامل بسهولة مع حل المشكلات التي تتضمن كرة منقوشة في الهرم، من المفيد مراجعة القليل من المواد النظرية.

كرة منقوشة في الهرم (أو كرة منقوشة في الهرم) - وهذا يعني أن الكرة (الكرة) تلامس كل وجه من وجوه الهرم. المستويات التي تحتوي على وجوه الهرم هي المستويات المماسية للكرة. تكون الأجزاء التي تربط مركز الكرة بنقاط الاتصال متعامدة مع مستويات الظل. أطوالها تساوي نصف قطر الكرة. مركز الكرة المنقوشة في الهرم هو نقطة تقاطع المستويات المنصفية للزوايا ثنائية السطوح عند القاعدة (أي المستويات التي تقسم هذه الزوايا إلى النصف).

في أغلب الأحيان في المهام نحن نتحدث عنحول الكرة المدرج فيها الهرم الصحيح. يمكن أن تتناسب الكرة مع أي هرم عادي. يقع مركز الكرة في هذه الحالة على ارتفاع الهرم. عند حل المشكلة، من المناسب قطع الهرم والكرة بطائرة تمر عبر الفتحة وارتفاع الهرم.

إذا كان الهرم رباعي الزوايا أو سداسي الزوايا فإن مقطعه العرضي يكون كذلك مثلث متساوي الساقين, الجانبينمنها القياسات، والقاعدة هي قطر الدائرة المنقوشة في القاعدة.

إذا كان الهرم مثلثيا أو خماسي فيكفي النظر في جزء فقط من هذا القسم - مثلث قائم، وأرجلها هي ارتفاع الهرم ونصف قطر الدائرة المرسومة في قاعدة الهرم، والوتر هو الارتفاع.

على أية حال، سينتهي بنا الأمر بالنظر إلى المثلث القائم الزاوية المقابل والمثلثات الأخرى ذات الصلة.

لذا، في المثلث القائم SOF، الساق SO=H هي ارتفاع الهرم، الساق OF=r هو نصف قطر الدائرة المدرج عند قاعدة الهرم، الوتر SF=l هو قياس الهرم. O1 هو مركز الكرة، وبالتالي الدائرة المدرج في المثلث الذي تم الحصول عليه في القسم (نحن نعتبر جزءًا منه). زاوية SFO - زاوية خطية زاوية زوجيةبين المستوى الأساسي ومستوى الوجه الجانبي لـ SBC. النقطتان K وO هما نقطتان مماسيتان، وبالتالي فإن O1K متعامد مع SF. OO1=O1K=R - نصف قطر الكرة.

المثلثان القائمان OO1F وKO1F متساويان (على طول الساقين والوتر). وبالتالي KF=OF=r.

المثلثان القائمان SKO1 وSOF متشابهان (في زاوية حادةس)، حيث يتبع ذلك

في المثلث SOF نطبق خاصية منصف المثلث:

من المثلث الأيمن OO1F

عند حل المسائل التي تنطوي على كرة منقوشة في هرم منتظم، سيكون هناك سبب آخر مفيد.

الآن دعونا نوجد نسبة حجم الهرم إلى مساحة سطحه.

183. من السهل إثبات أن منتصف القطعة الواصلة بين مراكز قواعد المنشور هو مركز الكرات المنقوشة والمحدودة. نصف قطر الدائرة الموضحة في القاعدة هو يساوي نصف القطرالكرة المكتوبة. يترك ص هو نصف قطر الكرة المحصورة، R هو نصف قطر الكرة المحصورة. خذ بعين الاعتبار مثلثًا قائمًا تكون رءوسه أحد رؤوس القاعدة ومركز القاعدة ومركز الكرات. لدينا R 2 = ص 2 + ص 2 1 حيث . من هنا

النسبة بين حجم الكرة المحصورة إلى حجم الكرة المحصورة هي

184. أنصاف أقطار المجالات المقيدة والمدرجة تساوي أجزاء ارتفاع رباعي السطوح الذي ينقسم إليه مركز مشتركهذه الكرات. ومن السهل أن نجد أن نسبة هذه الأجزاء هي 3:1.

في الواقع، من مثلثات متشابهة BQO وBPK (الشكل 188) لدينا:

بما أن أسطح الكرات مترابطة كمربعات أنصاف أقطارها، فإن النسبة المطلوبة هي 9.

______________________________________________

185. ترتبط أحجام رباعيات السطوح المنتظمة بمكعبات أنصاف أقطار المجالات الموضحة فيها. بما أن الكرة المنقوشة في رباعي السطوح الأكبر تكون محصورة حول رباعي السطوح الأصغر، فإن نسبة نصف القطر المذكور للكرات المنقوشة (انظر حل المشكلة 184) تساوي 3:1. وبالتالي فإن نسبة الحجم المطلوبة هي 3 3 = 27.

______________________________________________

186. لنفترض أن المشكلة قابلة للحل. دعونا نرسم مستوى A 1 B 1 C 1 (انظر الشكل 189، أ) مماسًا للكرة الأصغر و بالتوازي مع القاعدة ABC لرباعي الاسطح معين. تم وصف رباعي الأسطح SA 1 B 1 C 1 حول كرة نصف قطرها ص . من السهل أن تجد أن ارتفاعه SQ 1 = 4 ص (انظر المشكلة 184).

دع طول حافة رباعي السطوح SABC يكون X . ثم الجزء AQ = س √ 3 / 3 والارتفاع SQ = س √ 6 / 3 .

بعد أن قررت معادلة من الدرجة الثانية، سوف نجد

س 1,2 = ص √6 ± √ ص 2 - 3ص 2 .

في هذه الصيغة، يجب عليك فقط أخذ الجذر الذي يحمل علامة الجمع، لأن SA أكبر من 3 على أية حال ص ، و 3 ص > ص √6 .

من الواضح أن المهمة ممكنة في ظل الشرط R > √3 ص

______________________________________________

187. دع أ 1 ب 1 ج 1 د 1 ه 1 ف 1 - مسدس منتظم، تم الحصول عليها في قسم من المكعب. تكمن المشكلة في تحديد نصف قطر الكرة المدرج بشكل منتظم الهرم السداسي SA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 (الشكل 190).

جانب قاعدة الهرم هو أ √ 2 / 2 والارتفاع أ √ 3 / 2

مع الاستفادة من حقيقة أن نصف قطر الكرة المحفورة في الهرم يساوي ثلاثة أضعاف حجم الهرم مقسومًا على حجمه سطح كامل(انظر الصيغة (1) في حل المشكلة) نجد:

وبالتالي فإن النسبة المطلوبة تساوي

______________________________________________

188. دع O يكون مركز الكرة، وتكون AS وBS وCS هي الأوتار المعطاة. من الواضح أن المثلث ABC متساوي الأضلاع (الشكل 191).

ومن السهل أيضًا أن نرى أن العمود SO 1 على المستوى ABC، عند تمديده، يمر عبر مركز الكرة O، نظرًا لأن النقطة O 1 هي مركز الدائرة المحيطة بها /\ اي بي سي.

وبعد هذه الملاحظات نشير بـ د طول الوتر المطلوب. من المثلث SAB نجد:

أ ب = 2 د خطيئة α / 2

وبالتالي

بحساب مساحة المثلث متساوي الساقين SOA بطريقتين نحصل على:

______________________________________________

189. نصف قطر الكرة المنقوشة ص نجد باستخدام الصيغة (راجع الصيغة (1) في حل المشكلة)

حيث V هو حجم الهرم، وS هو سطحه الإجمالي.

دعونا أولا العثور على حجم الهرم. لهذا، لاحظ أن المثلثين القائمين BSC وBSA (الشكل 192) متساويان الوتر المتساويوالجانب العام. ونتيجة لذلك، فإن المثلث القائم ASC متساوي الساقين. لأن

AS=CS= √أ 2 -ب 2 ,

إذن،

______________________________________________

190. دعونا نشير بواسطة ص نصف قطر الكرة المحصورة، ومن خلال R نصف قطر الكرة المحصورة.

دعونا نفكر أولاً في المثلث SFE، الذي يمثل أحد أضلاعه SF ارتفاع الهرم، والآخر SE هو ارتفاع الوجه الجانبي (الشكل 193، أ). دع O يكون مركز الكرة المنقوشة. من المثلثين SFE وOFE (الشكل 193، ب) لدينا:

الحديد = ص ctg φ / 2 ,

سادس= ص ctg φ / 2 tg φ .

مدافع = EF√2

في اشارة الى الشكل. 193، ج، والذي يوضح مقطعًا مرسومًا من خلال محور الهرم ومحيطه الضلع الجانبي، يمكننا بسهولة العثور على:

DO 1 2 = O 1 F 2 + DF 2

ر 2 = (SF - ر) 2 + مدافع 2.

بما أن R = 3 ص ، إذن، باستبدال التعبيرات الموجودة مسبقًا لـ SF و DF هنا، نحصل على معادلة لـ φ :

أو بعد التبسيط

6 تيراغرام φ / 2 tg φ = 2 + تان 2 φ .

7ض 4 -6ض 2 + ل = 0.

لأن ض > 0، إذن هناك إجابتان فقط محتملتان:

______________________________________________

191. في المجموع، نحصل على 6 بيجون (حسب عدد الحواف) و 4 مثلثات (الشكل 194).

دعونا نشير بـ S 1 إلى مساحة كل مثلث وبـ S 2 إلى مساحة كل من Bigons. لدينا:

4س 1 + 6س 2 = 4 π R2. (1)

ليكن S 0 هو مجموع مساحات مثلث واحد وثلاثة أقطار متجاورة. S 0 هي المنطقة الجزء الكروي، مقطوعة بمستوى وجه رباعي السطوح. هذه المنطقة 2 π ر ح ، أين ح - ارتفاع القطعة . بما أن ارتفاع رباعي الأسطح مقسوم على مركز الكرة بنسبة 3:1 (انظر المسألة 184)، إذن

ح = ص + 1/3 ر = 4/3 ر

من أين نجدها؟ ح = 2 ر - 4 / 3 ر = 2 / 3 ر.

ق 1 + 3 ق 2 = 2 π ر 2 / 3 ر = 4 / 3 π R2. (2)

بعد حل النظام المكون من المعادلتين (1) و (2) بالنسبة للمجهولين S 1 و S 2 نحصل على:

س 1 = 2 / 3 π R2، S2 = 2/9 π ص 2

______________________________________________

192. دع R يكون نصف القطر قاعدة مخروطية, α - الزاوية بين محور المخروط والمولد، ص - نصف قطر الكرة المنقوشة. في القسم المحوريمخروط لدينا مثلث متساوي الساقين ABC (الشكل 195).

نصف قطر الدائرة الموضحة في هذا المثلث يساوي نصف القطر ص كرة منقوشة في مخروط. دع O يكون مركز الدائرة ، / OSA = β .

ثم فمن الواضح أن تيراغرام β = ص / ر. لكن حسب ظروف المشكلة

من هنا ص / ر = 1 / √ 3 وبالتالي β = π / 6. منذ، بالإضافة إلى ذلك، α +2β = π / 2، ثم α = π / 6. وبالتالي فإن الزاوية المطلوبة هي 2 α = π / 3 .

______________________________________________

193. يترك ص - نصف قطر الكرة الأرضية، R - نصف قطر قاعدة المخروط، ل -السابق للمخروط, α - الزاوية بين محور المخروط والمولد.

وفقا لظروف المشكلة لدينا

دعونا نقدم الزاوية في هذه المساواة α . للقيام بذلك، النظر في متساوي الساقين /\ ABC (الشكل 196)، مما أدى إلى القسم المحوري للمخروط. من /\ ABC نجد

ص = ل خطيئة α , ص = اركوس α = ل خطيئة α كوس α .

يتطابق مركز الكرة التي تلامس حواف رباعي السطوح ABCQ (الشكل) مع مركز رباعي السطوح (أي مع النقطة O، على مسافة متساوية من الرؤوس A، B، C، D)، ونقاط تماس الكرة مع الحواف هي نقاط المنتصف للحواف. على سبيل المثال، نقطة التماس N هي نقطة منتصف الحافة AD. في الواقع، جميع المثلثات الستة متساوية الساقين AOB وBOC وCOA وBOD وCOD وAOD (تم رسم المثلث AOD فقط) متساوية مع بعضها البعض (من ثلاثة جوانب). ولذلك، فإن ارتفاعاتها OM، ON، وما إلى ذلك متساوية. لذلك، إذا وصفنا كرة نصف قطرها ON = ص ، ثم سوف يمر عبر منتصف الحواف L، M، N، Q، K، R ويلمسها هناك (منذ ON⊥AD، وما إلى ذلك).

دعونا نرسم المستوى ADG عبر ارتفاع رباعي الأسطح DG والحافة AD. سيكون عموديًا على الحافة BC (الدليل موضح في المشكلة) وسوف يتقاطع مع هذه الحافة عند منتصفها M. في هذا القسم سوف نحصل على مثلث متساوي الساقين AMD (AM=MD). لنجد الارتفاع MN لهذا المثلث (N هي نقطة منتصف AD). يقع مركز O على MN (لأنه على مسافة متساوية من A وO). ولذلك، مو = لا. وسائل، ص = ن / 2 . يتم تحديد الارتفاع MN من المثلث ANM، حيث AN = أ / 2 و ص = أ √ 3 / 2 . (كمثال على متساوي الأضلاع المثلث ABC). لدينا

يتكون جزء الكرة الموجود خارج رباعي السطوح من أربعة أجزاء متساوية مقطوعة من الكرة بحواف رباعي السطوح. دعونا نفكر في أحد وجوه BDC. تم إدراج الدائرة LMK الموجودة في قاعدة المقطع مثلث متساوي الاضلاع BDC (لأن جوانب المثلث تلامس الكرة؛ وبالتالي، فإنها تلامس أيضًا الدائرة الصغيرة LMK الموجودة في المستوى BDC). نصف قطر هذه الدائرة FM = أ √ 3 / 6

لذلك،

الحجم المطلوب

الخامس = 4 فولت ج

تعليق. دائرة LKM منقوشة في المثلث BCD. تم تصويره على شكل قطع ناقص يمكن رسمه يدويًا بسهولة إذا قمنا أولاً، بالإضافة إلى النقاط K وL وM، بوضع علامة على ثلاث نقاط أخرى، على التوالي، متماثلة معها بالنسبة إلى F (النقطة F هي نقطة تقاطع الشكل متوسطات المثلث BDC).