في إطار هذه المادة سوف نتطرق إليها موضوع مهممثل الإضافة أرقام سلبية. في الفقرة الأولى سنخبرك بالقاعدة الأساسية لهذا الإجراء، وفي الثانية سنقوم بالتحليل أمثلة محددةحل مشاكل مماثلة.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
القاعدة الأساسية لجمع الأعداد الطبيعية
قبل أن نستنتج القاعدة، دعونا نتذكر ما نعرفه بشكل عام عن الأعداد الموجبة والسالبة. لقد اتفقنا سابقًا على أن الأرقام السالبة يجب أن يُنظر إليها على أنها دين وخسارة. يعبر عن معامل الرقم السالب الأبعاد الدقيقةهذه الخسارة. ومن ثم يمكن تمثيل إضافة الأرقام السالبة على أنها إضافة خسارتين.
باستخدام هذا المنطق، نقوم بصياغة القاعدة الأساسية لإضافة الأرقام السالبة.
التعريف 1
من أجل إكمال إضافة أرقام سلبية، تحتاج إلى إضافة قيم وحداتها ووضع علامة ناقص أمام النتيجة. بشكل حرفي، تبدو الصيغة كما يلي (− a) + (− b) = − (a + b) .
بناءً على هذه القاعدة، يمكننا أن نستنتج أن إضافة أرقام سالبة يشبه إضافة أرقام موجبة، فقط في النهاية يجب أن نحصل على رقم سالب، لأنه يجب علينا وضع علامة الطرح أمام مجموع الوحدات.
ما هو الدليل الذي يمكن تقديمه على هذه القاعدة؟ للقيام بذلك، نحتاج إلى تذكر الخصائص الأساسية للعمليات مع الأعداد الحقيقية (أو مع الأعداد الصحيحة، أو مع الأعداد النسبية - فهي نفسها لجميع هذه الأنواع من الأرقام). لإثبات ذلك، نحتاج فقط إلى إثبات أن الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة (− a) + (− b) = − (a + b) يساوي 0.
إن طرح رقم من آخر هو نفس إضافة نفس الرقم المقابل إليه. وبالتالي, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . تذكر أن التعبيرات العددية مع الجمع لها خاصيتان رئيسيتان - الترابط والتبادلية. ثم يمكننا أن نستنتج أن (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . نظرًا لأنه بإضافة أرقام متضادة، نحصل دائمًا على 0، إذن (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0، و0 + 0 = 0. يمكن اعتبار مساواتنا مثبتة، مما يعني قاعدة إضافة الأرقام السالبة أثبتنا ذلك أيضًا.
في الفقرة الثانية سنأخذ مهام محددة، حيث تحتاج إلى إضافة أرقام سالبة، ودعنا نحاول تطبيق القاعدة التي تعلمناها عليها.
مثال 1
أوجد مجموع رقمين سالبين - 304 و - 18007.
حل
دعونا ننفذ الخطوات خطوة بخطوة. نحتاج أولاً إلى إيجاد وحدات الأرقام التي سيتم إضافتها: - 304 = 304، - 180007 = 180007. بعد ذلك نحتاج إلى تنفيذ إجراء الإضافة، والذي نستخدم فيه طريقة حساب الأعمدة:
كل ما تبقى لنا هو وضع علامة ناقص أمام النتيجة والحصول على - 18311.
إجابة: - - 18 311 .
تعتمد الأرقام التي لدينا على ما يمكننا تقليل عملية الجمع من أجل: إيجاد المجموع الأعداد الطبيعية، بالإضافة إلى العادي أو الكسور العشرية. دعونا نحلل المشكلة مع هذه الأرقام.
مثال ن
أوجد مجموع رقمين سالبين - 2 5 و − 4, (12).
حل
نجد وحدات الأرقام المطلوبة ونحصل على 2 5 و 4 (12). لقد حصلنا على اثنين كسور مختلفة. دعونا نقلل المشكلة إلى إضافة اثنين الكسور العاديةلماذا دعونا نتخيل جزء دوريعلى شكل عادي:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
ونتيجة لذلك، حصلنا على كسر سيكون من السهل إضافته مع الحد الأصلي الأول (إذا كنت قد نسيت كيفية إضافة الكسور بشكل صحيح مع قواسم مختلفة، كرر المواد ذات الصلة).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
في النهاية حصلنا رقم مختلط، أمامها علينا فقط أن نضع علامة ناقص. هذا يكمل الحسابات.
إجابة: - 4 86 105 .
يتم جمع الأرقام السالبة الحقيقية بطريقة مماثلة. عادة ما يتم تدوين نتيجة مثل هذا الإجراء التعبير العددي. ولا يجوز حساب قيمتها أو قصرها على الحسابات التقريبية. لذا، على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد المجموع - 3 + (− 5)، فسنكتب الإجابة بالشكل - 3 − 5. إضافة أرقام حقيقيةلقد خصصنا مادة منفصلة يمكنك من خلالها العثور على أمثلة أخرى.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
في هذه المقالة سننظر في كيفية القيام بذلك طرح الأرقام السالبةمن الأرقام التعسفية. وسنقدم هنا قاعدة لطرح الأعداد السالبة، وننظر في أمثلة لتطبيق هذه القاعدة.
التنقل في الصفحة.
قاعدة لطرح الأرقام السالبة
يحدث ما يلي قاعدة لطرح الأرقام السالبة: من أجل طرح رقم سالب b من رقم، عليك أن تضيف إلى الطرح a الرقم −b، مقابل المطروح b.
بشكل حرفي، قاعدة طرح عدد سالب ب منه أي رقميبدو مثل هذا: أ−ب=أ+(−ب) .
دعونا نثبت صحة هذه القاعدة لطرح الأعداد.
أولا، دعونا نتذكر معنى طرح الأرقام أ و ب. إن إيجاد الفرق بين الرقمين a وb يعني العثور على الرقم c الذي يساوي مجموعه مع الرقم b a (انظر العلاقة بين الطرح والجمع). أي أنه إذا تم العثور على رقم c بحيث يكون c+b=a، فإن الفرق a−b يساوي c.
وبالتالي، لإثبات قاعدة الطرح المذكورة، يكفي إظهار أن إضافة الرقم b إلى المجموع a+(−b) سيعطي الرقم a. لإظهار هذا، دعونا ننتقل إلى خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية. بالقوة الخصائص النقابيةوالجمع صحيح: (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . بما أن مجموع الأعداد المتضادة يساوي صفرًا، فإن a+((−b)+b)=a+0، ومجموع a+0 يساوي a، لأن إضافة الصفر لا يغير الرقم. وهكذا تم إثبات المساواة a−b=a+(−b)، مما يعني أنه تم أيضًا إثبات صحة القاعدة المعطاة لطرح الأعداد السالبة.
لقد أثبتنا هذه القاعدة للأعداد الحقيقية a وb. ومع ذلك، فإن هذه القاعدة تنطبق أيضًا على أي أرقام نسبية a وb، وكذلك على أي أعداد صحيحة a وb، نظرًا لأن الإجراءات ذات الأعداد النسبية والأعداد الصحيحة لها أيضًا الخصائص التي استخدمناها في الدليل. لاحظ أنه باستخدام القاعدة التي تم تحليلها، يمكنك طرح رقم سالب من رقم موجب ومن رقم سالب، وكذلك من الصفر.
يبقى أن ننظر في كيفية إجراء طرح الأرقام السالبة باستخدام قاعدة التحليل.
أمثلة على طرح الأعداد السالبة
دعونا نفكر أمثلة على طرح الأعداد السالبة. لنبدأ بالحل مثال بسيطلفهم كل تعقيدات العملية دون الحاجة إلى إجراء حسابات.
مثال.
اطرح الرقم السالب −7 من الرقم السالب −13.
حل.
الرقم المقابل لطرح −7 هو الرقم 7. بعد ذلك، وفقًا لقاعدة طرح الأعداد السالبة، لدينا (−13)−(−7)=(−13)+7. يبقى لإضافة أرقام بعلامات مختلفة، نحصل على (−13)+7=−(13−7)=−6.
إليك الحل بأكمله: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
إجابة:
(−13)−(−7)=−6 .
يمكن إجراء طرح الكسور السالبة عن طريق التحويل إلى الكسور المقابلة أو الأعداد الكسرية أو الكسور العشرية. هنا يجدر البدء بالأرقام الأكثر ملاءمة للعمل بها.
مثال.
اطرح رقمًا سالبًا من 3.4.
حل.
وبتطبيق قاعدة طرح الأعداد السالبة، لدينا 
. الآن استبدل الكسر العشري 3.4 برقم كسري: 
(انظر تحويل الكسور العشرية إلى الكسور العادية)، نحصل عليها 
. يبقى إجراء عملية إضافة الأعداد الكسرية: .
بهذا يكمل طرح رقم سالب من 3.4. فيما يلي ملخص قصير للحل: .
إجابة:
.
مثال.
اطرح الرقم السالب −0.(326) من الصفر.
حل.
وفقا لقاعدة طرح الأعداد السالبة لدينا 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . الانتقال الأخير صالح بسبب خاصية إضافة رقم بصفر.
لنبدأ بمثال بسيط. دعونا نحدد ما يساويه التعبير 2-5. من النقطة +2 سنضع خمسة أقسام، اثنان إلى صفر وثلاثة تحت الصفر. لنتوقف عند النقطة -3. أي 2-5=-3. لاحظ الآن أن 2-5 لا يساوي 5-2 على الإطلاق. إذا كان ترتيبها لا يهم في حالة إضافة الأرقام، ففي حالة الطرح، كل شيء مختلف. ترتيب الأرقام مهم.
الآن دعنا نذهب إلى منطقة سلبيةالمقاييس. لنفترض أننا بحاجة إلى إضافة +5 إلى -2. (من الآن فصاعدا سنضع علامة "+" أمام الأعداد الموجبة ونضع كل من الأعداد الموجبة والسالبة بين قوسين حتى لا نخلط بين العلامات التي أمام الأعداد وعلامات الجمع والطرح.) الآن يمكن كتابة مسألتنا كـ (-2)+ (+5). لحلها، نصعد خمسة أقسام من النقطة -2 وننتهي عند النقطة +3.
هل هناك أي المعنى العملي؟ بالطبع هناك. لنفترض أن لديك دينًا بقيمة 2 دولارًا أمريكيًا وحصلت على 5 دولارات أمريكية (أو ما يعادلها بالعملة المحلية). بهذه الطريقة، بعد سداد الدين، سيتبقى لديك 3 دولارات.
يمكنك أيضًا التحرك لأسفل المنطقة السلبية من المقياس. لنفترض أنك بحاجة إلى طرح 5 من -2، أو (-2)-(+5). من النقطة -2 على المقياس، تحرك للأسفل خمسة أقسام وانتهى عند النقطة -7. ما هو المعنى العملي لهذه المهمة؟ لنفترض أنك مدين بمبلغ دولارين واضطررت إلى اقتراض 5 دولارات إضافية، فأنت الآن مدين بمبلغ 7 دولارات.
نرى أنه مع الأرقام السالبة يمكننا القيام بنفس الشيء عمليات الجمع والطرح، كما هو الحال مع الإيجابية.
صحيح أننا لم نتقن بعد جميع العمليات. أضفنا فقط إلى الأرقام السالبة وطرحنا الأرقام الموجبة فقط من الأرقام السالبة. ماذا يجب أن تفعل إذا كنت بحاجة إلى إضافة أرقام سالبة أو طرح أرقام سالبة من أرقام سالبة؟
ومن الناحية العملية، هذا يشبه معاملات الديون. لنفترض أنه تم تحميلك دينًا بقيمة 5 دولارات، فهذا يعني نفس الشيء كما لو كنت قد تلقيت 5 دولارات. ومن ناحية أخرى، إذا أجبرتك بطريقة أو بأخرى على قبول المسؤولية عن ديون شخص آخر بقيمة 5 دولارات، فسيكون ذلك بمثابة أخذ تلك الدولارات منك. أي أن طرح -5 هو نفس إضافة +5. وإضافة -5 هو نفس طرح +5.
هذا يسمح لنا بالتخلص من عملية الطرح. في الواقع، "5-2" هو نفسه (+5)-(+2) أو حسب قاعدتنا (+5)+(-2). وفي كلتا الحالتين نحصل على نفس النتيجة. من النقطة +5 على المقياس نحتاج إلى النزول قسمين ونحصل على +3. وفي حالة 5-2، يكون هذا واضحًا، لأن الطرح هو حركة هبوطية.
في حالة (+5)+(-2) يكون هذا أقل وضوحًا. نضيف رقمًا، مما يعني أننا نتحرك لأعلى في المقياس، ولكننا نضيف رقمًا سالبًا، مما يعني أننا نتحرك العمل العكسيوهذان العاملان معًا يعني أننا لا نحتاج إلى الارتقاء في المستوى، بل إلى الداخل الاتجاه المعاكس، أي إلى الأسفل.
وهكذا نحصل مرة أخرى على الجواب +3.
لماذا، بالضبط، هو ضروري؟ استبدال الطرح مع الجمع؟ لماذا الصعود "بالمعنى المعاكس"؟ أليس من الأسهل التحرك للأسفل؟ والسبب هو أنه في حالة الجمع لا يهم ترتيب الحدود، أما في حالة الطرح فهو مهم جداً.
لقد اكتشفنا سابقًا أن (+5)-(+2) ليس مثل (+2)-(+5) على الإطلاق. في الحالة الأولى يكون الجواب +3، وفي الثانية -3. من ناحية أخرى، (-2)+(+5) و (+5)+(-2) ينتج عنها +3. وبالتالي، من خلال التحول إلى الجمع والتخلي عن عمليات الطرح، يمكننا تجنب الأخطاء العشوائية المرتبطة بإعادة ترتيب الإضافات.
يمكنك أن تفعل الشيء نفسه عند طرح نتيجة سلبية. (+5)-(-2) هو نفسه (+5)+(+2). وفي كلتا الحالتين نحصل على الجواب +7. نبدأ من النقطة +5 ونتحرك "لأسفل في الاتجاه المعاكس"، أي للأعلى. سنتصرف بنفس الطريقة تمامًا عند حل التعبير (+5)+(+2).
يستخدم الطلاب بشكل نشط استبدال الطرح بالجمع عندما يبدأون في دراسة الجبر، وبالتالي تسمى هذه العملية « إضافة جبرية» . في الواقع، هذا ليس عادلا تماما، لأن مثل هذه العملية هي عملية حسابية واضحة وليست جبرية على الإطلاق.
هذه المعرفة لا تتغير بالنسبة للجميع، لذلك حتى إذا تلقيت التعليم في النمسا من خلال www.salls.ru، على الرغم من أن الدراسة في الخارج لها قيمة أعلى، إلا أنه سيكون بإمكانك تطبيق هذه القواعد هناك أيضًا.
في هذا المقال سنتحدث عنه إضافة أرقام سلبية. أولاً نعطي قاعدة جمع الأعداد السالبة ونثبتها. بعد ذلك سنقوم بتسوية الأمر أمثلة نموذجيةإضافة أرقام سلبية.
التنقل في الصفحة.
قبل صياغة قاعدة إضافة الأرقام السالبة، دعونا ننتقل إلى المادة الواردة في المقال: الأرقام الموجبة والسالبة. وقد ذكرنا هناك أنه يمكن اعتبار الأعداد السالبة بمثابة دين، ويحدد معامل الرقم في هذه الحالة مقدار هذا الدين. ولذلك فإن جمع عددين سالبين هو جمع دينين.
هذا الاستنتاج يسمح لنا أن نفهم قاعدة لإضافة الأرقام السالبة. لإضافة رقمين سالبين، تحتاج إلى:
- أضعاف وحداتهم.
- ضع علامة الطرح أمام المبلغ المستلم.
لنكتب قاعدة إضافة الأرقام السالبة −a و −b على شكل حرف: (−أ)+(−ب)=−(أ+ب) .
ومن الواضح أن القاعدة المذكورة تقلل من إضافة الأعداد السالبة إلى إضافة الأعداد الموجبة (معامل الرقم السالب هو رقم موجب). ومن الواضح أيضًا أن نتيجة إضافة رقمين سالبين هو رقم سالب، كما يتضح من علامة الطرح التي توضع أمام مجموع الوحدات.
يمكن إثبات قاعدة إضافة الأرقام السالبة بناءً على ذلك خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية(أو نفس خصائص العمليات ذات الأعداد النسبية أو الصحيحة). للقيام بذلك، يكفي إظهار أن الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة (−a)+(−b)=−(a+b) يساوي صفرًا.
بما أن طرح رقم هو نفس إضافة الرقم المقابل (راجع قاعدة طرح الأعداد الصحيحة)، إذن (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(أ+ب) . نظرًا للخصائص التبادلية والتوليفية لعملية الجمع، لدينا (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . بما أن مجموع الأعداد المتضادة يساوي صفرًا، فإن (−a+a)+(−b+b)=0+0، و0+0=0 بسبب خاصية إضافة رقم به صفر. وهذا يثبت المساواة (−a)+(−b)=−(a+b) ومن هنا قاعدة إضافة الأعداد السالبة.
وبالتالي، تنطبق قاعدة الجمع هذه على كل من الأعداد الصحيحة السالبة والأعداد النسبية، وكذلك الأعداد الحقيقية.
كل ما تبقى هو أن نتعلم كيفية تطبيق قاعدة إضافة الأعداد السالبة عمليا، وهو ما سنفعله في الفقرة التالية.
أمثلة على إضافة الأرقام السالبة
دعونا فرزها أمثلة على إضافة الأرقام السالبة. لنبدأ من البداية حالة بسيطة– تتم عملية جمع الأعداد الصحيحة السالبة وفقا للقاعدة التي تمت مناقشتها في الفقرة السابقة.
أضف الأرقام السالبة −304 و −18,007.
دعونا نتبع جميع خطوات قاعدة إضافة الأرقام السالبة.
أولاً نجد وحدات الأرقام المراد إضافتها: و 
. أنت الآن بحاجة إلى إضافة الأرقام الناتجة، ومن الملائم هنا إجراء إضافة الأعمدة: 
الآن نضع علامة الطرح أمام الرقم الناتج، ونتيجة لذلك لدينا −18,311.
دعونا نكتب الحل كله في شكل قصير: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
إضافة سلبية أرقام عقلانيةاعتمادًا على الأرقام نفسها، يمكن اختزالها إما إلى إضافة الأعداد الطبيعية، أو إلى إضافة الكسور العادية، أو إلى إضافة الكسور العشرية.
أضف رقمًا سالبًا ورقمًا سالبًا −4,(12) .
وفقًا لقاعدة إضافة الأرقام السالبة، عليك أولاً حساب مجموع الوحدات. وحدات الأرقام السالبة المضافة تساوي 2/5 و4 (12) على التوالي. يمكن تقليل إضافة الأرقام الناتجة إلى إضافة الكسور العادية. للقيام بذلك، نقوم بتحويل الكسر العشري الدوري إلى كسر عادي: . وبالتالي، 2/5+4،(12)=2/5+136/33. لنقم الآن بجمع الكسور ذات المقامات المختلفة: .
كل ما تبقى هو وضع علامة الطرح أمام الرقم الناتج: . هذا يكمل إضافة الأرقام السالبة الأصلية.
وباستخدام نفس القاعدة لإضافة الأرقام السالبة، تتم أيضًا إضافة الأرقام الحقيقية السالبة. ومن الجدير بالذكر هنا أن نتيجة إضافة الأعداد الحقيقية تكون في كثير من الأحيان مكتوبة على شكل تعبير عددي، ويتم حساب قيمة هذا التعبير بشكل تقريبي، وذلك فقط إذا لزم الأمر.
على سبيل المثال دعونا نجد المبلغالأرقام السالبة و-5. وحدات هذه الأرقام متساوية الجذر التربيعيثلاثة وخمسة على التوالي، ومجموع الأرقام الأصلية هو . هذه هي الطريقة التي يتم كتابة الجواب. يمكن العثور على أمثلة أخرى في المقالة إضافة الأعداد الحقيقية.
www.cleverstudents.ru
قاعدة إضافة رقمين سالبين
الإجراءات ذات الأرقام السلبية والإيجابية
القيمة المطلقة (المعامل). إضافة.
الطرح. الضرب. قسم.
القيمة المطلقة (المعامل). ل رقم سلبي- هو رقم موجب يتم الحصول عليه بتغيير إشارته من "-" إلى "+"؛ ل رقم إيجابي والصفر- وهذا هو الرقم نفسه. للإشارة إلى القيمة المطلقة (المعامل) لرقم ما، يتم استخدام خطين مستقيمين يُكتب ضمنهما هذا الرقم.
أمثلة: | – 5 | = 5، | 7 | = 7، | 0 | = 0.
1) عند إضافة رقمين مع علامات متطابقةأضعاف
يتم وضع قيمها المطلقة وعلامة مشتركة أمام المجموع.
2) عند إضافة رقمين مع علامات مختلفةالمطلقة لهم
يتم طرح الكميات (من الأكبر والأصغر) ووضع الإشارة
أرقام ذات قيمة مطلقة أكبر.
الطرح. يمكنك استبدال الطرح من رقمين بالجمع، حيث يحتفظ المطرح بإشارته، ويؤخذ المطروح بالإشارة المعاكسة.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
الضرب. عند ضرب عددين، تضرب قيمهما المطلقة، ويأخذ الناتج إشارة "+" إذا كانت إشارات العوامل متطابقة، وعلامة "-" إذا كانت إشارات العوامل مختلفة.
الرسم البياني التالي مفيد ( قواعد علامة الضرب):
عند ضرب عدة أرقام (رقمين أو أكثر)، يكون الناتج علامة "+" إذا كان عدد العوامل السالبة زوجيًا، وعلامة "-" إذا كان عددها فرديًا.
قسم. عند قسمة رقمين، يتم قسمة القيمة المطلقة للمقسوم على القيمة المطلقةالمقسوم عليه، ويأخذ الناتج علامة "+" إذا كانت إشارتا المقسوم والمقسوم متطابقتين، وعلامة "-" إذا كانت إشارتا المقسوم والمقسوم عليه مختلفة.
التصرف هنا نفس الشيء قواعد الإشارة هي نفسها المستخدمة في الضرب:
إضافة أرقام سلبية
إضافة الأرقام الإيجابية والسلبيةيمكن تحليلها باستخدام محور الأرقام.
جمع الأرقام باستخدام خط الإحداثيات
من الملائم إجراء إضافة أرقام معيارية صغيرة على خط الإحداثيات، والتخيل عقليًا كيف تتحرك النقطة التي تشير إلى الرقم على طول محور الرقم.
لنأخذ بعض الأرقام، على سبيل المثال، 3. دعنا نشير إليه على محور الرقم بالنقطة "أ".
دعونا نضيف الرقم الموجب 2 إلى الرقم. وهذا يعني أنه يجب تحريك النقطة "A" قطعتين في الاتجاه الإيجابي، أي إلى اليمين. ونتيجة لذلك، حصلنا على النقطة "B" مع الإحداثيات 5.
من أجل إضافة الرقم السالب "−5" إلى رقم موجب، على سبيل المثال، إلى 3، يجب تحريك النقطة "A" بمقدار 5 وحدات طول في الاتجاه السلبي، أي إلى اليسار.
في هذه الحالة، إحداثيات النقطة "ب" تساوي "2".
إذن، ترتيب جمع الأعداد النسبية باستخدام خط الأعداد سيكون كما يلي:
بالانتقال من النقطة - 2 إلى اليسار (نظرًا لوجود علامة ناقص أمام 6)، نحصل على - 8.
إضافة أرقام بنفس العلامات
يمكن أن تكون إضافة الأعداد النسبية أسهل إذا كنت تستخدم مفهوم المعامل.
دعونا نحتاج إلى إضافة أرقام لها نفس العلامات.
للقيام بذلك، نتجاهل علامات الأرقام ونأخذ وحدات هذه الأرقام. دعونا نضيف الوحدات ونضع العلامة أمام المجموع المشترك لهذه الأرقام.
مثال على إضافة الأرقام السالبة.
لإضافة أرقام من نفس العلامة، تحتاج إلى إضافة وحداتها ووضع العلامة التي كانت قبل الشروط أمام المجموع.
إضافة أرقام بعلامات مختلفة
إذا كانت الأرقام لها علامات مختلفة، فإننا نتصرف بشكل مختلف إلى حد ما عن إضافة أرقام لها نفس العلامات.
مثال على إضافة رقم سالب وموجب.
مثال على جمع الأعداد الكسرية
ل إضافة أرقام من علامات مختلفةضروري:
- اطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر؛
- قبل الفرق الناتج، ضع إشارة الرقم ذو المعامل الأكبر.
- تنفيذ إضافة وحداتهم؛
- أضف علامة "-" إلى المبلغ المستلم.
- حساب وحدات الأرقام.
- قارن بين الأرقام الناتجة:
- اطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر؛
- قبل القيمة الناتجة، ضع إشارة الرقم الذي معامله أكبر.
جمع وطرح الأعداد الموجبة والسالبة
هل هناك شيء غير واضح؟
حاول أن تطلب من معلميك المساعدة
قاعدة لإضافة الأرقام السالبة
لإضافة رقمين سالبين تحتاج إلى:
ووفقا لقاعدة الجمع يمكننا أن نكتب:
تنطبق قاعدة إضافة الأعداد السالبة على الأعداد الصحيحة السالبة، والأعداد النسبية، والأعداد الحقيقية.
أضف الأرقام السالبة $−185$ و $−23\789.$
دعونا نستخدم القاعدة لإضافة أرقام سالبة.
دعنا نضيف الأرقام الناتجة:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
ضع علامة $"–"$ أمام الرقم الذي تم العثور عليه واحصل على $−23,974$.
الحل المختصر: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
عند إضافة أرقام نسبية سالبة، يجب تحويلها إلى صورة أعداد طبيعية أو كسور عادية أو عشرية.
أضف الأرقام السالبة $-\frac $ و$−7.15$.
وفقًا لقاعدة إضافة الأرقام السالبة، عليك أولاً العثور على مجموع الوحدات:
من الملائم تقليل القيم التي تم الحصول عليها إلى كسور عشرية وإضافتها:
لنضع علامة $"–"$ أمام القيمة الناتجة ونحصل على $–7.4$.
ملخص مختصر للحل:
إضافة أرقام ذات علامات متضادة
قاعدة لإضافة أرقام مع علامات عكسية:
وإذا كانا متساويين، فإن الأعداد الأصلية متضادة ومجموعها صفر؛
إذا لم تكن متساوية، فأنت بحاجة إلى تذكر علامة الرقم الذي يكون معامله أكبر؛
إن إضافة أرقام ذات إشارات معاكسة يؤدي إلى طرح رقم سالب أصغر من رقم موجب أكبر.
تنطبق قاعدة جمع الأعداد ذات الإشارات المعاكسة على الأعداد الصحيحة والكسرية والأعداد الحقيقية.
أضف الأرقام $4$ و$−8$.
تحتاج إلى إضافة أرقام بعلامات معاكسة. دعونا نستخدم قاعدة الإضافة المقابلة.
لنجد وحدات هذه الأرقام:
معامل الرقم $−8$ أكبر من معامل الرقم $4$، أي. تذكر علامة $"-"$.
لنضع علامة $"–"$، التي تذكرناها، أمام الرقم الناتج، وسنحصل على $−4.$
كسول جدا للقراءة؟
اطرح سؤالاً على الخبراء واحصل على
الرد خلال 15 دقيقة!
لإضافة أرقام منطقية ذات علامات معاكسة، من المناسب تمثيلها في شكل كسور عادية أو عشرية.
طرح الأعداد السالبة
قاعدة طرح الأعداد السالبة:
لطرح رقم سالب $b$ من رقم $a$، من الضروري إضافة الرقم $−b$ إلى الطرف الناقص $a$، وهو عكس المطروح $b$.
وفقا لقاعدة الطرح يمكننا أن نكتب:
هذه القاعدة صالحة للأعداد الصحيحة والعقلانية والأعداد الحقيقية. يمكن استخدام القاعدة لطرح رقم سالب من رقم موجب، ومن رقم سالب، ومن الصفر.
اطرح الرقم السالب $−5$ من الرقم السالب $−28$.
الرقم المقابل للرقم $–5$ هو الرقم $5$.
وفقا لقاعدة طرح الأعداد السالبة نحصل على:
دعونا نضيف أرقامًا ذات علامات متضادة:
الحل المختصر: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
عند طرح السلبية أرقام كسريةمن الضروري تحويل الأرقام إلى شكل كسور عادية أو أرقام مختلطة أو أعداد عشرية.
طرح الأعداد ذات الإشارات المتضادة
قاعدة طرح الأعداد ذات الإشارات المعاكسة هي نفس قاعدة طرح الأعداد السالبة.
اطرح الرقم الموجب $7$ من الرقم السالب $−11$.
عكس $7$ هو $-7$.
وفقًا لقاعدة طرح الأعداد ذات الإشارات المعاكسة، نحصل على:
دعونا نضيف الأرقام السالبة:
عند طرح الأعداد الكسرية ذات الإشارات المعاكسة، من الضروري تحويل الأعداد إلى صورة كسور عادية أو عشرية.
لم يتم العثور على الجواب
على سؤالك؟
فقط اكتب ما تحتاجه
بحاجة الى مساعدة
إضافة الأرقام السالبة: القاعدة والأمثلة
في هذه المادة سوف نتطرق إلى موضوع مهم مثل إضافة الأرقام السالبة. في الفقرة الأولى، سنخبرك بالقاعدة الأساسية لهذا الإجراء، وفي الثانية سنقوم بتحليل أمثلة محددة لحل هذه المشكلات.
القاعدة الأساسية لجمع الأعداد الطبيعية
قبل أن نستنتج القاعدة، دعونا نتذكر ما نعرفه بشكل عام عن الأعداد الموجبة والسالبة. لقد اتفقنا سابقًا على أن الأرقام السالبة يجب أن يُنظر إليها على أنها دين وخسارة. يعبر معامل الرقم السالب عن الحجم الدقيق لهذه الخسارة. ومن ثم يمكن تمثيل إضافة الأرقام السالبة على أنها إضافة خسارتين.
باستخدام هذا المنطق، نقوم بصياغة القاعدة الأساسية لإضافة الأرقام السالبة.
من أجل إكمال إضافة أرقام سلبية، تحتاج إلى إضافة قيم وحداتها ووضع علامة ناقص أمام النتيجة. بشكل حرفي، تبدو الصيغة كما يلي (− a) + (− b) = − (a + b) .
بناءً على هذه القاعدة، يمكننا أن نستنتج أن إضافة أرقام سالبة يشبه إضافة أرقام موجبة، فقط في النهاية يجب أن نحصل على رقم سالب، لأنه يجب علينا وضع علامة الطرح أمام مجموع الوحدات.
ما هو الدليل الذي يمكن تقديمه على هذه القاعدة؟ للقيام بذلك، نحتاج إلى تذكر الخصائص الأساسية للعمليات مع الأعداد الحقيقية (أو مع الأعداد الصحيحة، أو مع الأعداد النسبية - فهي نفسها لجميع هذه الأنواع من الأرقام). لإثبات ذلك، نحتاج فقط إلى إثبات أن الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للمساواة (− a) + (− b) = − (a + b) يساوي 0.
إن طرح رقم من آخر هو نفس إضافة نفس الرقم المقابل إليه. وبالتالي, (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . تذكر أن التعبيرات العددية مع الجمع لها خاصيتان رئيسيتان - الترابط والتبادلية. ثم يمكننا أن نستنتج أن (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . نظرًا لأنه بإضافة أرقام متضادة، نحصل دائمًا على 0، إذن (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0، و0 + 0 = 0. يمكن اعتبار مساواتنا مثبتة، مما يعني قاعدة إضافة الأرقام السالبة أثبتنا ذلك أيضًا.
المشاكل التي تنطوي على إضافة أرقام سالبة
في الفقرة الثانية، سنتناول مسائل محددة حيث نحتاج إلى إضافة أرقام سالبة، وسنحاول تطبيق القاعدة التي تعلمناها عليها.
أوجد مجموع رقمين سالبين - 304 و - 18007.
حل
دعونا ننفذ الخطوات خطوة بخطوة. نحتاج أولاً إلى إيجاد وحدات الأرقام التي سيتم إضافتها: - 304 = 304، - 180007 = 180007. بعد ذلك نحتاج إلى تنفيذ إجراء الإضافة، والذي نستخدم فيه طريقة حساب الأعمدة:
كل ما تبقى لنا هو وضع علامة ناقص أمام النتيجة والحصول على - 18311.
إجابة: — — 18 311 .
تعتمد الأرقام التي لدينا على ما يمكننا تقليل عملية الجمع إلى: إيجاد مجموع الأعداد الطبيعية، أو إضافة الكسور العادية أو العشرية. دعونا نحلل المشكلة مع هذه الأرقام.
أوجد مجموع رقمين سالبين - 2 5 و − 4, (12).
نجد وحدات الأرقام المطلوبة ونحصل على 2 5 و 4 (12). لقد حصلنا على كسرين مختلفين. دعونا نختصر المشكلة في إضافة كسرين عاديين، حيث نمثل الكسر الدوري على شكل كسر عادي:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
نتيجة لذلك، حصلنا على كسر سيكون من السهل إضافته مع المصطلح الأصلي الأول (إذا نسيت كيفية إضافة الكسور ذات المقامات المختلفة بشكل صحيح، كرر المادة المقابلة).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
ونتيجة لذلك، حصلنا على عدد كسري، أمامه علينا فقط وضع علامة ناقص. هذا يكمل الحسابات.
إجابة: — 4 86 105 .
يتم جمع الأرقام السالبة الحقيقية بطريقة مماثلة. عادة ما يتم كتابة نتيجة مثل هذا الإجراء كتعبير رقمي. ولا يجوز حساب قيمتها أو قصرها على الحسابات التقريبية. لذا، على سبيل المثال، إذا أردنا إيجاد المجموع - 3 + (− 5)، فسنكتب الإجابة بالشكل - 3 − 5. لقد خصصنا مادة منفصلة لجمع الأعداد الحقيقية، حيث يمكنك العثور على أمثلة أخرى.
إضافة الأرقام السالبة.
مجموع الأرقام السالبة هو رقم سالب. وحدة المجموع يساوي المبلغوحدات المصطلحات.
دعونا نكتشف لماذا سيكون مجموع الأرقام السالبة رقمًا سالبًا أيضًا. سيساعدنا خط الإحداثيات في ذلك، حيث سنضيف الأرقام -3 و -5. دعونا نحدد نقطة على خط الإحداثيات تقابل الرقم -3.
إلى الرقم -3 نحتاج إلى إضافة الرقم -5. إلى أين نتجه من النقطة المقابلة للرقم -3؟ هذا صحيح، اليسار! لمدة 5 قطاعات الوحدة. نحدد نقطة ونكتب الرقم المقابل لها. هذا الرقم هو -8.
لذا، عند إضافة أرقام سالبة باستخدام خط الإحداثيات، نكون دائمًا على يسار نقطة الأصل، وبالتالي فمن الواضح أن نتيجة إضافة أرقام سالبة هي أيضًا رقم سالب.
ملحوظة.أضفنا الأرقام -3 و -5، أي. تم العثور على قيمة التعبير -3+(-5). عادة، عند إضافة أرقام عقلانية، فإنهم ببساطة يكتبون هذه الأرقام بعلاماتهم، كما لو كانوا يقومون بإدراج جميع الأرقام التي تحتاج إلى إضافتها. يسمى هذا السجل مجموع جبري. قم بتطبيق (في مثالنا) الإدخال: -3-5=-8.
مثال.أوجد مجموع الأرقام السالبة: -23-42-54. (هل توافق على أن هذا الإدخال أقصر وأكثر ملاءمة مثل هذا: -23+(-42)+(-54))؟
دعونا نقررحسب قاعدة جمع الأعداد السالبة: نضيف وحدات المصطلحات: 23+42+54=119. وستكون النتيجة علامة ناقص.
عادةً ما يكتبونها على النحو التالي: -23-42-54=-119.
إضافة أرقام بعلامات مختلفة.
مجموع رقمين بعلامات مختلفة له علامة مصطلح بقيمة مطلقة كبيرة. للعثور على معامل المجموع، تحتاج إلى طرح المعامل الأصغر من المعامل الأكبر..
لنقم بجمع أرقام ذات إشارات مختلفة باستخدام خط الإحداثيات.
1) -4+6. تحتاج إلى إضافة الرقم 6 إلى الرقم -4 لنضع علامة على الرقم -4 بنقطة على خط الإحداثيات. الرقم 6 موجب، مما يعني أنه من النقطة ذات الإحداثيات -4 نحتاج إلى التوجه إلى اليمين بمقدار 6 أجزاء وحدة. وجدنا أنفسنا على يمين النقطة المرجعية (من الصفر) بمقدار قطعتين من الوحدات.
نتيجة مجموع الأرقام -4 و 6 هي الرقم الموجب 2:
- 4+6=2. كيف يمكنك الحصول على الرقم 2؟ اطرح 4 من 6، أي. اطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر. والنتيجة لها نفس علامة المصطلح ذو المعامل الكبير.
2) دعونا نحسب: -7+3 باستخدام خط الإحداثيات. ضع علامة على النقطة المقابلة للرقم-7. نذهب إلى اليمين لثلاث قطع من الوحدات ونحصل على نقطة بإحداثيات -4. كنا ولا نزال على يسار الأصل: فالجواب رقم سالب.
— 7+3=-4. يمكننا الحصول على هذه النتيجة بهذه الطريقة: اطرح الوحدة الأصغر من الوحدة الأكبر، أي. 7-3=4. ونتيجة لذلك، وضعنا إشارة الحد بالمعامل الأكبر: |-7|>|3|.
أمثلة.احسب: أ) -4+5-9+2-6-3; ب) -10-20+15-25.