مارينا إيردنيجورييفا

هذا العمل هو نتيجة دراسة موضوع كمادة اختيارية في الصف الثامن. تظهر هنا التحولات الهندسية للرسوم البيانية وتطبيقها على إنشاء الرسوم البيانية باستخدام الوحدات النمطية. يتم تقديم مفهوم الوحدة وخصائصها. يتم توضيح كيفية بناء الرسوم البيانية مع الوحدات بطرق مختلفة: استخدام التحويلات وبناءً على مفهوم الوحدة، يعد موضوع المشروع من أصعب المواضيع في دورة الرياضيات، فهو يتعلق بالقضايا التي يتم تناولها في المواد الاختيارية، وهو كذلك. درس في فصول مع الرياضيات المتقدمة. ومع ذلك، يتم إعطاء هذه المهام في الجزء الثاني من GIA، في امتحان الدولة الموحدة. سيساعدك هذا العمل على فهم كيفية إنشاء الرسوم البيانية بوحدات ليس فقط خطية، ولكن أيضًا وظائف أخرى (تربيعية، متناسبة عكسيًا، وما إلى ذلك). سيساعدك هذا العمل في التحضير لامتحان الدولة واختبار الدولة الموحدة.

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

الرسوم البيانية للدالة الخطية مع الوحدات النمطية عمل Erdnigoryaeva Marina، طالبة الصف الثامن في MCOU "Kamyshovskaya OOSH" المشرف Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna، مدرس الرياضيات MCOU "Kamyshovskaya OOSH" ص. كاميشيفو، 2013

هدف المشروع: الإجابة على سؤال كيفية بناء الرسوم البيانية للدوال الخطية باستخدام الوحدات النمطية. أهداف المشروع: دراسة الأدبيات المتعلقة بهذا الموضوع. دراسة التحولات الهندسية للرسوم البيانية وتطبيقها في بناء الرسوم البيانية بالوحدات. دراسة مفهوم الوحدة وخصائصها. تعلم كيفية إنشاء الرسوم البيانية باستخدام الوحدات بطرق مختلفة.

التناسب المباشر التناسب المباشر هو دالة يمكن تحديدها بصيغة y=kx، حيث x هو متغير مستقل، وk هو رقم غير الصفر.

لنرسم الدالة y = x x 0 2 y 0 2

التحويل الهندسي للرسوم البيانية القاعدة رقم 1 الرسم البياني للدالة y = f (x) + k - دالة خطية - يتم الحصول عليه عن طريق النقل المتوازي للرسم البياني للدالة y = f (x) بواسطة + k وحدات أعلى O المحور y لـ k> 0 أو |- k| وحدات أسفل المحور O y عند k

دعونا نبني الرسوم البيانية y=x+3 y=x-2

القاعدة رقم 2 يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y=kf(x) عن طريق تمديد الرسم البياني للدالة y = f (x) على طول المحور O y مرات عند a>1 وضغطه على طول المحور O y a مرات في 0الشريحة 9

دعونا نبني رسمًا بيانيًا y=x y= 2 x

القاعدة رقم 3 يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y = - f (x) عن طريق عرض الرسم البياني y = f (x) بشكل متماثل بالنسبة إلى المحور O x

القاعدة رقم 4 يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y = f (- x) عن طريق عرض الرسم البياني للدالة y = f (x) بشكل متماثل بالنسبة إلى المحور O y

القاعدة رقم 5 يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y=f(x+c) عن طريق النقل المتوازي للرسم البياني للدالة y=f(x) على طول المحور O x إلى اليمين، إذا كان c 0.

دعونا نبني الرسوم البيانية y=f(x) y=f(x+2)

تعريف المعامل معامل الرقم غير السالب a يساوي الرقم a نفسه؛ معامل الرقم السالب a يساوي الرقم الموجب المقابل له -a. أو |a|=a، إذا كان ≥0 |a|=-a، إذا كان a

يتم إنشاء الرسوم البيانية للوظائف الخطية مع الوحدات النمطية: باستخدام التحولات الهندسية من خلال توسيع تعريف الوحدة النمطية.

القاعدة رقم 6 الرسم البياني للدالة y=|f(x)| يتم الحصول عليها على النحو التالي: يتم الاحتفاظ بجزء الرسم البياني y=f(x) الواقع فوق المحور O x؛ يتم عرض الجزء الموجود أسفل محور O x بشكل متناظر بالنسبة لمحور O x.

ارسم بيانيًا الدالة y=-2| x-3|+4 أنشئ y ₁=| س | نبني y₂= |x - 3 | → ترجمة متوازية بمقدار +3 وحدات على طول محور الثور (التحول إلى اليمين) نبني y ₃ =+2|x-3| → تمتد على طول المحور O y 2 مرات = 2 y₂ نبني y ₄ =-2|x-3| → التماثل حول المحور x = - y₃ نبني y₅ =-2|x-3|+4 → ترجمة متوازية بمقدار +4 وحدات على طول المحور O y (تحول تصاعدي) = y ₄ +4

رسم بياني للدالة y =-2|x-3|+4

رسم بياني للدالة y= 3|x|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → التمدد بمقدار 3 مرات y₃=3|x| +2= y₄+2 → إزاحة لأعلى بمقدار وحدتين

القاعدة رقم 7 يتم الحصول على الرسم البياني للدالة y=f(| x |) من الرسم البياني للدالة y=f(x) على النحو التالي: بالنسبة لـ x > 0، يتم الاحتفاظ بالرسم البياني للدالة، ونفس الشيء يتم عرض جزء من الرسم البياني بشكل متماثل بالنسبة للمحور O y

قم برسم الدالة y = || س-1 | -2 |

ص₁= |س| ص₂=|س-1| y₃= y₂-2 y₄= |y₃| ص=||س-1|-2|

خوارزمية إنشاء رسم بياني للوظيفة y=│f(│x│)│ إنشاء رسم بياني للوظيفة y=f(│x│) . ثم اترك جميع أجزاء الرسم البياني التي تم إنشاؤها والتي تقع فوق المحور x دون تغيير. يتم عرض الأجزاء الموجودة أسفل المحور السيني بشكل متناظر حول هذا المحور.

ص=|2|س|-3| البناء: أ) y=2x-3 لـ x>0، ب) y=-2x-3 لـ x الشريحة 26

القاعدة رقم 8 الرسم البياني للتبعية | يتم الحصول على y|=f(x) من الرسم البياني للدالة y=f(x) إذا تم الحفاظ على جميع النقاط التي f(x) > 0 ويتم نقلها أيضًا بشكل متناظر بالنسبة إلى محور الإحداثي السيني.

أنشئ مجموعة من النقاط على المستوى التي تحقق إحداثياتها الديكارتية x وy المعادلة |y|=||x-1|-1|.

| ص|=||س-1| -1| نقوم ببناء رسمين بيانيين 1) y=||x-1|-1| و 2) ص =-|| س-1|-1| ص₁=|س| ص₂=| س-1 | → التحول على طول محور الثور إلى اليمين بمقدار وحدة واحدة y₃ = | x -1 |- 1= → إزاحة لأسفل بمقدار وحدة واحدة y ₄ = || س-1|- 1| → تماثل نقاط الرسم البياني التي y₃ 0 بالنسبة إلى O x

رسم بياني للمعادلة |y|=||x-1|-1| نحصل على ما يلي: 1) إنشاء رسم بياني للدالة y=f(x) وترك الجزء منه بدون تغيير حيث y≥0 2) باستخدام التماثل حول محور الثور، قم ببناء جزء آخر من الرسم البياني المقابل لـ y

ارسم بيانيًا الدالة y =|x | - | 2 - س | . حل. هنا تظهر علامة المعامل في مصطلحين مختلفين ويجب إزالتها. 1) أوجد جذور التعبيرات الجزئية: x=0, 2-x=0, x=2 2) ضع العلامات على الفواصل:

رسم بياني للدالة

الاستنتاج: يعد موضوع المشروع من المواضيع الصعبة في مقرر الرياضيات، فهو يتعلق بالقضايا التي يتم تناولها في المقررات الاختيارية، ويتم دراسته في الفصول للدراسة المتعمقة لمقرر الرياضيات. ومع ذلك، يتم إعطاء هذه المهام في الجزء الثاني من GIA. سيساعدك هذا العمل على فهم كيفية إنشاء الرسوم البيانية باستخدام معاملات ليس فقط للدوال الخطية، ولكن أيضًا للدوال الأخرى (التربيعية، والمتناسبة عكسيًا، وما إلى ذلك). سيساعدك العمل في التحضير لامتحان الدولة واختبار الدولة الموحدة وسيسمح لك بالحصول على درجات عالية في الرياضيات.

أدب فيلينكين ن.يا. ، جوخوف السادس.. الرياضيات. الكتاب المدرسي للصف السادس موسكو. دار النشر "Mnemosyne"، 2010 Vilenkin N.Ya.، Vilenkin L.N.، Survillo G.S. والجبر. الصف الثامن: تعليمي. دليل للطلاب والفصول مع دراسة متقدمة للرياضيات. - موسكو. التنوير، 2009 جايدوكوف آي. "القيمة المطلقة." موسكو. التنوير، 1968. جورسكي آي.بي. "الوظائف والرسوم البيانية." موسكو. التنوير، 1968. Yashchina N.V. تقنيات إنشاء الرسوم البيانية التي تحتوي على وحدات. مجلة "الرياضيات في المدرسة"، العدد 3، 1994 موسوعة الأطفال. موسكو. "علم أصول التدريس"، 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. مشاكل الرياضيات. م.، "العلم"، 1993. بتراكوف إ.س. نوادي الرياضيات في الصفوف 8-10. م، "التنوير"، 1987. جاليتسكي إم إل. وغيرها مجموعة من المشاكل في الجبر للصفوف 8-9: كتاب مدرسي للطلاب والفصول ذات الدراسة المتقدمة للرياضيات. – الطبعة الثانية عشرة. – م: التربية، 2006. – 301 ص. ماكريشيف يو.إن.، مينديوك إن.جي. الجبر: فصول إضافية للكتاب المدرسي للصف التاسع: كتاب مدرسي لطلاب المدارس والفصول الدراسية مع دراسة متعمقة للرياضيات / تحرير ج.ف.دوروفييف. – م: التربية، 1997. – 224 ص. Sadykina N. بناء الرسوم البيانية والتبعيات التي تحتوي على علامة المعامل / الرياضيات. - رقم 33. – 2004. – ص 19-21 .. كوستريكينا ن.ب “مشاكل الصعوبة المتزايدة في مقرر الجبر للصفوف 7-9”... موسكو: التعليم، 2008.

ربما تكون علامة المعامل واحدة من أكثر الظواهر إثارة للاهتمام في الرياضيات. في هذا الصدد، لدى العديد من تلاميذ المدارس سؤال حول كيفية بناء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدة نمطية. دعونا ننظر في هذه المسألة بالتفصيل.

1. رسم الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدة نمطية

مثال 1.

ارسم بيانيًا الدالة y = x 2 – 8|x| + 12.

حل.

دعونا نحدد تكافؤ الوظيفة. قيمة y(-x) هي نفس قيمة y(x)، لذا فإن هذه الدالة زوجية. ومن ثم يكون الرسم البياني متماثلًا حول محور أوي. نرسم الدالة y = x 2 - 8x + 12 لـ x ≥ 0 ونعرض الرسم البياني بشكل متناظر بالنسبة لـ Oy لـ x السالب (الشكل 1).

مثال 2.

يبدو الرسم البياني التالي مثل y = |x 2 – 8x + 12|.

- ما هو نطاق قيم الدالة المقترحة؟ (ص ≥ 0).

– كيف يقع الجدول الزمني؟ (فوق أو لمس المحور السيني).

هذا يعني أنه يتم الحصول على الرسم البياني للدالة على النحو التالي: ارسم الرسم البياني للدالة y = x 2 – 8x + 12، واترك جزء الرسم البياني الذي يقع فوق محور الثور دون تغيير، وجزء الرسم البياني الذي يقع فوق المحور Ox تحت محور الإحداثي السيني يتم عرضه بشكل متناظر بالنسبة لمحور الثور (الشكل 2).

مثال 3.

لرسم الدالة y = |x 2 – 8|x| +12| تنفيذ مجموعة من التحولات:

ص = س 2 – 8س + 12 → ص = س 2 – 8|س| + 12 → ص = |س 2 – 8|س| +12|.

الجواب: الشكل 3.

التحويلات التي تم النظر فيها صالحة لجميع أنواع الوظائف. لنقم بعمل جدول:

2. رسم الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على "وحدات متداخلة" في الصيغة

لقد تعرفنا بالفعل على أمثلة للدالة التربيعية التي تحتوي على معامل، وكذلك القواعد العامة لإنشاء الرسوم البيانية للدوال بالشكل y = f(|x|)، y = |f(x)| و ص = |f(|x|)|. ستساعدنا هذه التحولات عند النظر في المثال التالي.

مثال 4.

خذ بعين الاعتبار دالة بالصيغة y = |2 – |1 – |x|||. يحتوي تعبير الدالة على "وحدات متداخلة".

حل.

دعونا نستخدم طريقة التحولات الهندسية.

لنكتب سلسلة من التحولات المتسلسلة ونرسم الرسم المقابل (الشكل 4):

ص = س → ص = |س| → ص = -|س| → ص = -|س| + 1 → ص = |-|س| + 1|← ص = -|-|س| + 1|← ص = -|-|س| +1| + 2 → ص = |2 –|1 – |س|||.

دعونا نفكر في الحالات التي لا تكون فيها تحويلات التماثل والترجمة المتوازية هي التقنية الرئيسية عند إنشاء الرسوم البيانية.

مثال 5.

أنشئ رسمًا بيانيًا لدالة على الصورة y = (x 2 – 4)/√(x + 2) 2.

حل.

قبل إنشاء الرسم البياني، نقوم بتحويل الصيغة التي تحدد الدالة ونحصل على تخصيص تحليلي آخر للدالة (الشكل 5).

ص = (س 2 – 4)/√(س + 2) 2 = (س – 2)(س + 2)/|x + 2|.

دعونا نوسع الوحدة في المقام:

بالنسبة لـ x > -2، y = x - 2، وبالنسبة لـ x< -2, y = -(x – 2).

المجال D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞).

نطاق القيم E(y) = (-4; +∞).

النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع محور الإحداثيات: (0؛ -2) و (2؛ 0).

تتناقص الدالة لكل x من الفاصل الزمني (-∞; -2)، وتزيد لـ x من -2 إلى +∞.

هنا كان علينا الكشف عن علامة المعامل ورسم الوظيفة لكل حالة.

مثال 6.

خذ بعين الاعتبار الدالة y = |x + 1| – |س – 2|.

حل.

عند توسيع علامة الوحدة، من الضروري مراعاة كل مجموعة ممكنة من علامات التعبيرات الفرعية.

هناك أربع حالات محتملة:

(x + 1 – x + 2 = 3، لـ x ≥ -1 وx ≥ 2؛

(-x – 1 + x – 2 = -3، عند x< -1 и x < 2;

(س + 1 + س – 2 = 2س - 1، لـ س ≥ -1 و س< 2;

(-x – 1 – x + 2 = -2x + 1، عند x< -1 и x ≥ 2 – пустое множество.

ثم ستبدو الوظيفة الأصلية كما يلي:

(3، ل س ≥ 2؛

ص = (-3، في س< -1;

(2س - 1، مع -1 ≥ س< 2.

لقد حصلنا على دالة متعددة التعريف، ويظهر الرسم البياني لها في الشكل 6.

3. خوارزمية بناء الرسوم البيانية لوظائف النموذج

ص = أ 1 |س – س 1 | + أ 2 |س – س 2 | + … + أ ن |س – س ن | + الفأس + ب.

في المثال السابق، كان من السهل جدًا الكشف عن علامات المعامل. إذا كان هناك المزيد من مجموعات الوحدات، فمن الصعب النظر في جميع المجموعات الممكنة من علامات التعبيرات الفرعية. كيف، في هذه الحالة، إنشاء رسم بياني للوظيفة؟

لاحظ أن الرسم البياني عبارة عن خط متقطع، مع وجود نقاط عند النقاط ذات الإحداثيات الإحداثية -1 و2. عند x = -1 وx = 2، تكون التعبيرات الجزئية تساوي الصفر. من الناحية العملية، اقتربنا من قاعدة إنشاء مثل هذه الرسوم البيانية:

رسم بياني لدالة من النموذج y = a 1 |x – x 1 | + أ 2 |س – س 2 | + … + أ ن |س – س ن | + ax + b هو خط متقطع ذو روابط متطرفة لا نهائية. لبناء مثل هذا الخط المتقطع، يكفي معرفة جميع رؤوسه (حاديات القمم هي أصفار التعبيرات الجزئية) ونقطة تحكم واحدة على الروابط اللانهائية اليمنى واليسرى.

مهمة.

ارسم بيانيًا الدالة y = |x| + |س – 1| + |س + 1| وإيجاد أصغر قيمة لها.

حل:

أصفار التعبيرات الجزئية: 0؛ -1؛ 1. رؤوس الخط المتقطع (0؛ 2)؛ (-1؛ 3)؛ (1 ؛ 3). نقطة التحكم على اليمين (2؛ 6)، على اليسار (-2؛ 6). نقوم ببناء رسم بياني (الشكل 7). دقيقة و(س) = 2.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا تعرف كيفية رسم دالة بمعامل؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

رمل

باراك أداما 3 مارس 2013 الساعة 7:43 مساءً

GIA - وظائف التخطيط بعلامة المعامل

أهلاً بكم! اليوم أود أن أشرح موضوعا مثل الرسوم البيانية. ربما يعرف معظم الأشخاص كيفية رسم رسوم بيانية بسيطة للوظائف مثل y=x^2 أو y=1/x. كيفية بناء الرسوم البيانية مع علامة المعامل؟

المهمة 1.أنشئ رسومًا بيانية للدوال y=|x| ص=|س-1|.
حل.دعونا نقارنها بالرسم البياني للدالة y=|x|. بالنسبة إلى x الموجب لدينا |x|=x. وهذا يعني أنه بالنسبة للقيم الإيجابية للوسيطة فإن الرسم البياني y=|x| يتزامن مع الرسم البياني y=x، أي أن هذا الجزء من الرسم البياني عبارة عن شعاع يخرج من الأصل بزاوية 45 درجة إلى محور الإحداثي السيني. في العاشر< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
ومع ذلك، من السهل الحصول على النصف الثاني من الرسم البياني (للسالب X) من النصف الأول إذا لاحظت أن الدالة y=|x| - حتى منذ |-a|=|a|. وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة y=|x| متماثل حول المحور Oy، ويمكن الحصول على النصف الثاني من الرسم البياني من خلال عكس الجزء المرسوم لـ x الموجب حول المحور y. يبدو الرسم البياني الناتج كما يلي:

للبناء، نأخذ النقاط (-2؛ 2) (-1؛ 1) (0؛ 0) (1؛ 1) (2؛ 2).

الآن الرسم البياني هو y=|x-1|. إذا كانت A نقطة رسم بياني y=|x| بالإحداثيات (a;|a|)، ثم نقطة الرسم البياني y=|x-1| بنفس قيمة الإحداثي Y ستكون هناك نقطة A1(a+1;|a|). (لماذا؟) يمكن الحصول على هذه النقطة من الرسم البياني الثاني من النقطة A(a;|a|) من الرسم البياني الأول عن طريق التحول الموازي لمحور الثور إلى اليمين. وهذا يعني أنه يتم الحصول على الرسم البياني الكامل للدالة y=|x-1|من الرسم البياني للدالة y=|x| التحول الموازي لمحور الثور إلى اليمين بمقدار 1.

دعونا نبني الرسوم البيانية:

ص=|س-1|

للبناء، نأخذ النقاط (-2؛ 3) (-1؛ 2) (0؛ 1) (1؛ 0) (2؛ 1).

لقد كانت مهمة بسيطة. الآن هذا ما يخيف الكثيرين.

المهمة 2.ارسم الدالة y=3*|x-4| - س + |س+1|.
حل.دعونا نجد النقاط التي تختفي عندها التعبيرات الجزئية، أي. ما يسمى بالنقاط "الحرجة" للوظيفة. ستكون هذه النقاط x=-1 وx=4. في هذه النقاط، يمكن للتعبيرات الفرعية تغيير الإشارة.

دع س<-1. ثم س+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
اسمحوا -1< = x < = 4. ثم x+1>0, |x+1|=x+1; س-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(х+1)= -3х+13.
دع x>4.ثم x+1>0, |x+1|=x+1, x-4>0; |س-4|=س-4; وبالتالي ص= 3(س-4)-س+س+1= 3س-11.

هذا يعني أننا بحاجة إلى بناء رسم بياني للوظيفة (واحد بالضبط)
( ص = -5س+11، في س<-1
(ص= -3x+13، عند -1< = x < = 4.
( ص = 3س-11، ل س> 4

لبناء النقطة الأولى، خذ النقاط (1؛ 6) (2؛ 1)
لبناء النقطة الثانية، خذ النقاط (3؛ 4) (4؛ 1)
لبناء الثالث نأخذ النقاط (3؛ -2) (4؛ 1)

حسنًا، المهمة الأخيرة لهذا اليوم والتي سنقوم بتحليلها.
المهمة 3.ارسم بيانيًا الدالة y= |1/4 x^2 - |x| - 3|.
حل.الدالة y= |f(|x|)| حتى من الضروري إنشاء رسم بياني للدالة لـ x>=0 y= f(x)، ثم عكسه بشكل متماثل بالنسبة لمحور Oy (هذا هو الرسم البياني y= |1/4 x^2 - x - 3| .) وأخيرًا، ينعكس هذا الجزء من الرسومات الناتجة، والموجود في النصف السفلي من المستوى، بشكل متماثل بالنسبة لمحور الثور (y= 1/4 x^2 - |x| - 3.) .
وهنا ما يخرج منه:

ص= |1/4 x^2 - |x| - 3|

لذلك، شكرا لكم جميعا! الآن لدينا قاعدة المعرفة اللازمة لرسم الرسوم البيانية باستخدام علامة المعامل! لأن الجميع يخافون منه.

العلامات: الرياضيات