የቪዲዮ ኮርስ "A አግኝ" ለስኬታማነት አስፈላጊ የሆኑትን ሁሉንም ርዕሶች ያካትታል የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ማለፍበሂሳብ ለ 60-65 ነጥብ. ሙሉ በሙሉ ሁሉም ችግሮች 1-13 መገለጫ የተዋሃደ የግዛት ፈተናሒሳብ. መሰረታዊ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በሂሳብ ለማለፍም ተስማሚ። የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ከ90-100 ነጥብ ለማለፍ ከፈለጉ ክፍል 1ን በ30 ደቂቃ ውስጥ እና ያለስህተት መፍታት ያስፈልግዎታል!
ከ10-11ኛ ክፍል ለተዋሃደው የስቴት ፈተና የመሰናዶ ትምህርት እንዲሁም ለመምህራን። በሒሳብ (የመጀመሪያዎቹ 12 ችግሮች) እና ችግር 13 (ትሪጎኖሜትሪ) የተዋሃደ የስቴት ፈተና ክፍል 1ን ለመፍታት የሚያስፈልግዎ ነገር ሁሉ። እና ይህ በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከ 70 ነጥብ በላይ ነው, እና አንድም ባለ 100-ነጥብ ተማሪም ሆነ የሰብአዊነት ተማሪ ያለነሱ ማድረግ አይችሉም.
ሁሉም አስፈላጊ ንድፈ ሐሳብ. ፈጣን መንገዶችየተዋሃደ የስቴት ፈተና መፍትሄዎች፣ ወጥመዶች እና ምስጢሮች። ከ FIPI ተግባር ባንክ ሁሉም ወቅታዊ የክፍል 1 ተግባራት ተተነተነዋል። ኮርሱ የተዋሃደ የስቴት ፈተና 2018 መስፈርቶችን ሙሉ በሙሉ ያሟላል።
ኮርሱ 5 ያካትታል ትላልቅ ርዕሶች, እያንዳንዳቸው 2.5 ሰዓታት. እያንዳንዱ ርዕስ ከባዶ, በቀላሉ እና በግልጽ ተሰጥቷል.
በመቶዎች የሚቆጠሩ የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት። የቃላት ችግሮችእና ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ. ችግሮችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችን ለማስታወስ ቀላል እና ቀላል። ጂኦሜትሪ ቲዎሪ፣ የማጣቀሻ ቁሳቁስ, ሁሉንም ዓይነት የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ተግባራት ትንተና. ስቴሪዮሜትሪ ተንኮለኛ መፍትሄዎች, ጠቃሚ የማጭበርበሪያ ወረቀቶች, እድገት የቦታ ምናብ. ትሪጎኖሜትሪ ከባዶ ወደ ችግር 13. ከመጨናነቅ ይልቅ መረዳት። ምስላዊ ማብራሪያ ውስብስብ ጽንሰ-ሐሳቦች. አልጀብራ ስሮች፣ ሃይሎች እና ሎጋሪዝም፣ ተግባር እና ተዋጽኦዎች። ለመፍትሄው መሠረት ውስብስብ ተግባራትየተዋሃደ የስቴት ፈተና 2 ክፍሎች።
ሲወስኑ የጂኦሜትሪክ ችግሮችበጠፈር ውስጥ ብዙውን ጊዜ በተለያዩ የቦታ ነገሮች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ለማስላት የሚያስፈልግባቸው ቦታዎች አሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በአውሮፕላኖች እና በመካከላቸው እና ቀጥታ መስመር መካከል ማዕዘኖችን የማግኘት ጉዳይ እንመለከታለን.
በጠፈር ውስጥ ቀጥተኛ መስመር
በአውሮፕላኑ ውስጥ ያለው ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በሚከተለው እኩልነት ሊገለጽ እንደሚችል ይታወቃል።
እዚህ ሀ እና b የተወሰኑ ቁጥሮች ናቸው። ተመሳሳይ አገላለጽ ተጠቅመን በህዋ ላይ ቀጥ ያለ መስመርን ካሰብን ከዚ ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን እናገኛለን። ለ የሂሳብ ትርጉምየቦታ ቀጥታ መስመር, ከሁለት-ልኬት ሁኔታ የተለየ የመፍትሄ ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል. የ "አቅጣጫ ቬክተር" ጽንሰ-ሐሳብን በመጠቀም ያካትታል.
የአውሮፕላኖችን መገናኛ አንግል በመወሰን ላይ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎች
በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ማወቅ, የሚከተለውን ችግር እንፈታዋለን. ሁለት አውሮፕላኖች ተሰጥተዋል ፣ የእነሱ እኩልታዎች ቅርፅ አላቸው-
3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0
በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል ምንድን ነው?
የችግሩን ጥያቄ ለመመለስ በአጠቃላዩ የአውሮፕላን እኩልታ ውስጥ ካሉት ተለዋዋጮች ጋር የተቆራኙት ቅንጅቶች የመመሪያው ቬክተር መጋጠሚያዎች መሆናቸውን አስታውስ። ለእነዚህ አውሮፕላኖች የመደበኛነት ሁኔታቸው የሚከተሉትን መጋጠሚያዎች አለን።
n 1 ኤን (3; 4; -1);
n 2 ኤን (-1; -2; 5)
አሁን የእነዚህን ቬክተሮች እና ሞጁሎቻቸው scalar ምርት አግኝተናል፡-
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = -3 -8 -5 = -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30
አሁን በተሰጡት ቁጥሮች ውስጥ የተገኙትን ቁጥሮች መተካት ይችላሉ የቀድሞ አንቀጽቀመር. እናገኛለን፡-
α = አርክኮስ (|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55.05 o
የተገኘው እሴት በችግር መግለጫው ውስጥ ከተገለጹት አውሮፕላኖች አጣዳፊ አንግል ጋር ይዛመዳል።
አሁን ደግሞ ሌላ ምሳሌ እንመልከት። ሁለት አውሮፕላኖች ተሰጥተዋል-
እርስ በርስ ይገናኛሉ? የአቅጣጫቸውን ቬክተሮች መጋጠሚያዎች እሴቶችን እንፃፍ እና እናሰላ scalar ምርትእነሱን እና ሞጁሎችን;
n 1 ኤን (1; 1; 0);
n 2 ኤን (3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18
ከዚያ የመገናኛው አንግል የሚከተለው ነው-
α = አርክኮስ (| 6| / (√2 * √18) =0 o .
ይህ ማዕዘን የሚያመለክተው አውሮፕላኖቹ የማይገናኙ ናቸው, ግን ትይዩ ናቸው. አንዳቸው ከሌላው ጋር የማይጣጣሙ መሆናቸው በቀላሉ ለማጣራት ቀላል ነው. ይህንን ለማድረግ የመጀመርያዎቹ ንብረት የሆነ የዘፈቀደ ነጥብ ይውሰዱ ለምሳሌ P(0; 3; 2). መጋጠሚያዎቹን ወደ ሁለተኛው እኩልነት በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-
3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0
ያም ማለት ነጥብ ፒ የመጀመሪያው አውሮፕላን ብቻ ነው.
ስለዚህ, ሁለት አውሮፕላኖች መደበኛዎቻቸው ሲሆኑ ትይዩ ናቸው.
ጠፍጣፋ እና ቀጥ ያለ
ግምት ውስጥ ከሆነ አንጻራዊ አቀማመጥበአውሮፕላን እና ቀጥታ መስመር መካከል ከሁለት አውሮፕላኖች ይልቅ ትንሽ ተጨማሪ አማራጮች አሉ። ይህ እውነታ ቀጥተኛ መስመር ባለ አንድ አቅጣጫዊ ነገር በመሆኑ ነው. ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን የሚከተሉትን ሊሆኑ ይችላሉ-
- እርስ በርስ ትይዩ, በዚህ ሁኔታ አውሮፕላኑ መስመሩን አያቋርጥም;
- የኋለኛው የአውሮፕላኑ ሊሆን ይችላል ፣ እሱ ደግሞ ከእሱ ጋር ትይዩ ይሆናል ፣
- ሁለቱም ነገሮች በተወሰነ ማዕዘን ሊገናኙ ይችላሉ.
አስቀድመን እናስብ የመጨረሻው ጉዳይ, የመገናኛ አንግል ጽንሰ-ሐሳብን ማስተዋወቅ ስለሚያስፈልግ.
ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን, በመካከላቸው ያለው አንግል ዋጋ
አንድ አውሮፕላን ቀጥ ያለ መስመርን ካቋረጠ, ከእሱ አንጻር ዘንበል ተብሎ ይጠራል. የመስቀለኛ መንገድ ነጥብ ብዙውን ጊዜ የተጠጋው መስመር መሠረት ተብሎ ይጠራል. በእነዚህ ጂኦሜትሪክ ነገሮች መካከል ያለውን አንግል ለመወሰን በአውሮፕላኑ ላይ ከየትኛውም ቦታ ላይ ቀጥ ያለ ቀጥ ያለ ዝቅ ማድረግ ያስፈልጋል. ከዚያም በአውሮፕላኑ ጋር perpendicular ያለውን መገናኛ ነጥብ እና ያዘመመበት መስመር መጋጠሚያ ከእርሱ ጋር ቀጥተኛ መስመር ይመሰረታል. የኋለኛው ደግሞ ግምት ውስጥ በማስገባት በአውሮፕላኑ ላይ የመጀመሪያውን መስመር ትንበያ ይባላል. ሻርፕ እና ትንበያው የሚፈለገው ነው.
በአውሮፕላኑ እና በዘንበል መካከል ያለው አንግል በተወሰነ ደረጃ ግራ የሚያጋባ ትርጓሜ ከዚህ በታች ባለው ምስል ይብራራል።
እዚህ አንግል ኤቢኦ በቀጥታ መስመር AB እና በአውሮፕላን መካከል ያለው አንግል ነው።
ለእሱ ቀመር ለመጻፍ, አንድ ምሳሌን ተመልከት. በእኩልታዎች የተገለጹት ቀጥተኛ መስመር እና አውሮፕላን ይኑር።
(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
ሀ * x + ለ * x + ሲ * x + ዲ = 0
በቀጥታ መስመር እና በአውሮፕላኑ መካከል ባለው የአቅጣጫ ቬክተር መካከል ያለውን ስካላር ምርት ካገኙ ለእነዚህ ነገሮች የሚፈለገውን ማዕዘን በቀላሉ ማስላት ይችላሉ። ተቀብሏል ሹል ጥግከ 90 o መቀነስ አለበት, ከዚያም ቀጥታ መስመር እና አውሮፕላን መካከል ይገኛል.
ከላይ ያለው ምስል በጥያቄ ውስጥ ያለውን አንግል ለማግኘት የተገለጸውን ስልተ ቀመር ያሳያል። እዚህ β በመደበኛ እና በመስመሩ መካከል ያለው አንግል ነው, እና α በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ ላይ ባለው ትንበያ መካከል ነው. ድምራቸው 90 o እንደሆነ ማየት ይቻላል.
ከዚህ በላይ በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ለሚለው ጥያቄ መልስ የሚሰጥ ቀመር ቀርቧል. አሁን ለቀጥታ መስመር እና ለአውሮፕላን ጉዳይ ተጓዳኝ አገላለጽ እንሰጣለን-
α = አርክሲን
በቀመር ውስጥ ያለው ሞጁል አጣዳፊ ማዕዘኖችን ብቻ ለማስላት ያስችልዎታል። በትሪግኖሜትሪክ ተግባራት (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)) መካከል ያለውን ተጓዳኝ የመቀነሻ ቀመር በመጠቀም በአርኮሳይን ምትክ የአርሴይን ተግባር ታየ።
ችግር: አንድ አውሮፕላን መስመርን ያቋርጣል
አሁን ከተሰጠው ቀመር ጋር እንዴት እንደሚሰራ እናሳያለን. ችግሩን እንፈታው: በ y-axis እና በአውሮፕላኑ መካከል ያለውን አንግል ማስላት ያስፈልገናል. በቀመር የተሰጠው:
ይህ አውሮፕላን በሥዕሉ ላይ ይታያል.
የ y እና z ዘንጎችን በነጥብ (0; -12; 0) እና (0; 0; 12) ላይ እንደሚያቋርጥ እና ከ x ዘንግ ጋር ትይዩ እንደሆነ ማየት ይቻላል.
የቀጥታ መስመር y አቅጣጫ ቬክተር መጋጠሚያዎች አሉት (0; 1; 0). የቬክተር perpendicular የተሰጠው አውሮፕላን, በመጋጠሚያዎች (0; 1; -1) ተለይቷል. ለቀጥታ መስመር እና ለአውሮፕላን መገናኛ አንግል ቀመርን እንተገብራለን ፣ እናገኛለን
α = አርክሲን (| 1| / (√1 * √2)) = አርክሲን (1 / √2) = 45 o
ችግር፡ ከአውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ መስመር
አሁን አንድ ተመሳሳይ ነገር እንፍታ ቀዳሚ ተግባርየማን ጥያቄ በተለየ መንገድ የቀረበ ነው። የአውሮፕላን እና የመስመር እኩልታዎች ይታወቃሉ፡-
x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)
እነዚህ የጂኦሜትሪክ እቃዎች መሆናቸውን ማወቅ ያስፈልጋል እርስ በርስ ትይዩለጓደኛ.
ሁለት ቬክተሮች አሉን: የመመሪያው መስመር እኩል ነው (0; 2; 2) እና የመምራት አውሮፕላን እኩል ነው (1; 1; -1). ስካላር ምርታቸውን እናገኛለን፡-
0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0
የተገኘው ዜሮ የሚያመለክተው በእነዚህ ቬክተሮች መካከል ያለው አንግል 90 o ነው, ይህም የቀጥታ መስመር እና የአውሮፕላኑን ትይዩነት ያረጋግጣል.
አሁን ይህ መስመር ትይዩ ብቻ መሆኑን ወይም በአውሮፕላኑ ውስጥ እንዳለ እንፈትሽ። ይህንን ለማድረግ በመስመር ላይ የዘፈቀደ ነጥብ ይምረጡ እና የአውሮፕላኑ መሆን አለመሆኑን ያረጋግጡ። ለምሳሌ፣ λ = 0ን እንውሰድ፣ ከዚያም ነጥቡ P(1; 0; 0) የመስመሩ ነው። አውሮፕላን Pን ወደ ቀመር እንተካለን፡-
ነጥብ ፒ የአውሮፕላኑ አካል አይደለም, እና ስለዚህ ሙሉው መስመር በእሱ ውስጥ አይተኛም.
በሚታዩት የጂኦሜትሪክ ዕቃዎች መካከል ያሉትን ማዕዘኖች ማወቅ አስፈላጊ የሆነው የት ነው?
ከላይ ያሉት ቀመሮች እና የችግር አፈታት ምሳሌዎች የንድፈ ሃሳብ ፍላጎት ብቻ አይደሉም። ብዙውን ጊዜ አስፈላጊ የሆነውን ለመወሰን ያገለግላሉ አካላዊ መጠኖችእውነተኛ የድምጽ መጠን አሃዞችእንደ ፕሪዝም ወይም ፒራሚዶች ያሉ። የአሃዞችን መጠኖች እና የቦታዎቻቸውን ቦታዎች ሲያሰሉ በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መወሰን መቻል አስፈላጊ ነው. በተጨማሪም ፣ በቀጥተኛ ፕሪዝም ሁኔታ የተጠቆሙትን መጠኖች ለመወሰን እነዚህን ቀመሮች ላለመጠቀም ከተቻለ ለማንኛውም የፒራሚድ ዓይነት አጠቃቀማቸው የማይቀር ይሆናል።
ከዚህ በታች የተጠቀሰውን ንድፈ ሐሳብ በመጠቀም የፒራሚድ ማዕዘኖችን ከካሬ መሠረት ጋር ለመወሰን አንድ ምሳሌ እንመለከታለን.
ፒራሚድ እና ማዕዘኖቹ
ከታች ያለው ምስል ፒራሚድ ያሳያል፣ ከሥሩ ጎን ሀ ያለው ካሬ ይገኛል። የምስሉ ቁመት ሸ. ሁለት ማዕዘኖችን ማግኘት ያስፈልግዎታል:
- በጎን በኩል እና በመሠረቱ መካከል;
- በጎን የጎድን አጥንት እና በመሠረቱ መካከል.
ችግሩን ለመፍታት በመጀመሪያ የማስተባበር ስርዓትን ማስተዋወቅ እና የተጓዳኙን ጫፎች መለኪያዎች መወሰን አለብዎት. ሥዕሉ እንደሚያሳየው መነሻው ከመሃል ላይ ካለው ነጥብ ጋር ይጣጣማል ካሬ መሠረት. በዚህ ሁኔታ የመሠረት አውሮፕላኑ በቀመር ይገለጻል-
ያም ማለት ለማንኛውም x እና y የሶስተኛው መጋጠሚያ ዋጋ ሁልጊዜ ዜሮ ነው. የጎን አውሮፕላን ኤቢሲ የዚ ዘንግ በነጥብ B (0; 0; h) እና y ዘንግ በነጥቡ ላይ መጋጠሚያዎች (0; a/2; 0) ያቋርጣል። የ x ዘንግ አያቋርጥም. ይህ ማለት የኤቢሲ አውሮፕላን እኩልነት እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡-
y/(a/2) + z/h = 1 ወይም
2 * ሰ * y + a * z - a * h = 0
ቬክተር ABN የጎን ጠርዝ ነው። የጅማሬውና የፍጻሜው መጋጠሚያዎች እኩል ናቸው፡ A(a/2፤ a/2፤ 0) እና B(0፤ 0፤ h)። ከዚያ የቬክተሩ ራሱ መጋጠሚያዎች፡-
ሁሉንም አስፈላጊ እኩልታዎች እና ቬክተሮች አግኝተናል. አሁን የታሰቡትን ቀመሮች መጠቀም ይቀራል.
በመጀመሪያ በፒራሚድ ውስጥ ከመሠረቱ አውሮፕላኖች እና ከጎኑ መካከል ያለውን አንግል እናሰላለን. ተጓዳኝ መደበኛ ቬክተሮች እኩል ናቸው: n 1 ¯ (0; 0; 1) እና n 2 ¯ (0; 2 * h; a). ከዚያ አንግል የሚከተለው ይሆናል:
α = አርክኮስ (a / √(4 * ሰ 2 + a 2))
በአውሮፕላኑ እና በጠርዙ AB መካከል ያለው አንግል እኩል ይሆናል፡-
β = አርክሲን (ሸ / √(a 2/2 + ሰ 2))
የቀረው ነገር መተካት ነው። የተወሰኑ እሴቶችየሚፈለጉትን ማዕዘኖች ለማግኘት የመሠረቱ ሀ እና ቁመት ሸ ጎኖች።
ይህ ጽሑፍ በአውሮፕላኖች መካከል ስላለው አንግል እና እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ነው. በመጀመሪያ, በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል ፍቺ ተሰጥቷል እና ስዕላዊ መግለጫ ተሰጥቷል. ከዚህ በኋላ የማስተባበሪያ ዘዴን በመጠቀም በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል የማግኘት መርህ የተተነተነ ሲሆን የእነዚህ አውሮፕላኖች መደበኛ ቬክተሮች የሚታወቁትን መጋጠሚያዎች በመጠቀም በተቆራረጡ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ለማስላት የሚያስችል ቀመር ተገኝቷል ። በማጠቃለያው ይታያል ዝርዝር መፍትሄዎችባህሪያዊ ተግባራት.
የገጽ አሰሳ።
በአውሮፕላኖች መካከል አንግል - ፍቺ.
ቀስ በቀስ በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ለመወሰን የሚያስችሉን ክርክሮች እናቅርብ.
ሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች ይሰጠን እና . እነዚህ አውሮፕላኖች በቀጥታ መስመር ይገናኛሉ፣ እሱም በሐ ፊደል እንጠቁማለን። ከመስመር ሐ ነጥብ M እና ቀጥታ ወደ መስመር ሐ የሚያልፍ አውሮፕላን እንሥራ። በዚህ ሁኔታ አውሮፕላኑ አውሮፕላኖቹን ያቋርጣል እና. አውሮፕላኖቹ የሚያቋርጡበትን ቀጥተኛ መስመር እንደ ሀ እና አውሮፕላኖቹ የሚያቋርጡትን ቀጥታ መስመር ለ. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው መስመሮች a እና b በ ነጥብ M ላይ ይገናኛሉ.
በተቆራረጡ መስመሮች a እና b መካከል ያለው አንግል አውሮፕላኑ በሚያልፍበት መስመር ሐ ላይ ባለው ነጥብ M ላይ እንደማይወሰን ለማሳየት ቀላል ነው።
ከመስመሩ ሐ ቀጥ ያለ እና ከአውሮፕላኑ የተለየ አውሮፕላን እንስራ። አውሮፕላኑ በአውሮፕላኖች እና በቀጥታ መስመሮች የተቆራረጡ ናቸው, ይህም እንደ 1 እና ለ 1 እንጠቁማለን.
አውሮፕላኖችን ከመገንባቱ ዘዴ በመነሳት ሀ እና b ከ መስመር ሐ ጋር ቀጥ ያሉ ናቸው፣ እና 1 እና b 1 መስመሮች ወደ መስመር ሐ ናቸው። መስመሮች ሀ እና 1 በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ስለሚዋሹ እና ከመስመር ሐ ጋር ቀጥ ያሉ ስለሆኑ ትይዩ ናቸው። በተመሳሳይ መልኩ, b እና b 1 መስመሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ እና ወደ መስመር ሐ ቀጥ ያሉ ናቸው, ስለዚህም, ትይዩ ናቸው. ስለዚህ ማድረግ ይችላሉ ትይዩ ማስተላለፍአውሮፕላን ወደ አውሮፕላን፣ በዚህ ቀጥተኛ መስመር 1 ከቀጥታ መስመር ሀ ጋር ይገጣጠማል፣ እና ቀጥታ መስመር ለ ከቀጥታ መስመር ለ 1። ስለዚህ፣ በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ሀ 1 እና ለ 1 ከማዕዘን ጋር እኩል ነውበተቆራረጡ መስመሮች መካከል a እና b.
ይህ የሚያሳየው በተቆራረጡ መስመሮች ሀ እና b መካከል ያለው አንግል በተቆራረጡ አውሮፕላኖች ውስጥ እንደሚተኛ እና አውሮፕላኑ በሚያልፉበት ነጥብ M ምርጫ ላይ የተመካ አይደለም ። ስለዚህ, ይህንን አንግል በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል አድርጎ መውሰድ ምክንያታዊ ነው.
አሁን በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች እና መካከል ያለውን አንግል ፍቺ ማሰማት ይችላሉ.
ፍቺ
በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል ቀጥ ያለ መስመር እና- ይህ በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች a እና b መካከል ያለው አንግል ሲሆን አውሮፕላኖቹ እና ከአውሮፕላኑ ጋር ቀጥታ ወደ መስመር ሐ.
በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል ትርጉም ትንሽ ለየት ባለ መልኩ ሊሰጥ ይችላል. አውሮፕላኖቹ እና እርስ በርስ በሚገናኙበት ቀጥታ መስመር ሐ ላይ ከሆነ, ነጥብ M ምልክት ያድርጉ እና ቀጥታ መስመሮችን a እና b በእሱ በኩል ይሳሉ, ከቀጥታ መስመር ሐ እና በአውሮፕላኖቹ ውስጥ ተኝተው እና በቅደም ተከተል, ቀጥ ባሉ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ሀ. እና b በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል እና. በአብዛኛው በተግባር, በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት እንደዚህ ዓይነት ግንባታዎች ይከናወናሉ.
በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለው አንግል የማይበልጥ ስለሆነ ከተጠቀሰው ፍቺ ይከተላል የዲግሪ መለኪያበሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል ይገለጻል እውነተኛ ቁጥርከመካከላቸው . በዚህ ሁኔታ, የተቆራረጡ አውሮፕላኖች ይባላሉ ቀጥ ያለ, በመካከላቸው ያለው አንግል ዘጠና ዲግሪ ከሆነ. መካከል አንግል ትይዩ አውሮፕላኖችጨርሶ አይወስኑትም ወይም ከዜሮ ጋር እኩል አድርገው ይቆጥሩታል።
በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ.
ብዙውን ጊዜ, በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል አንግል ሲፈልጉ በመጀመሪያ የተቆራረጡ ቀጥታ መስመሮችን ለማየት ተጨማሪ ግንባታዎችን ማከናወን አለብዎት, በመካከላቸው ያለው አንግል ከተፈለገው ማዕዘን ጋር እኩል ነው, ከዚያም የእኩልነት ሙከራዎችን በመጠቀም ይህንን አንግል ከዋናው ውሂብ ጋር ያገናኙት, ተመሳሳይነት. ሙከራዎች፣ የኮሳይን ቲዎረም ወይም የሳይን፣ ኮሳይን እና የማዕዘን ታንጀንት ትርጓሜዎች። በጂኦሜትሪ ሂደት ውስጥ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትተመሳሳይ ችግሮች ይከሰታሉ.
እንደ ምሳሌ, ለ 2012 በሒሳብ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ለችግሩ C2 መፍትሄ እንስጥ (ሁኔታው ሆን ተብሎ ተለወጠ, ነገር ግን ይህ የመፍትሄውን መርህ አይጎዳውም). በእሱ ውስጥ, በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ማግኘት ብቻ ያስፈልግዎታል.
ለምሳሌ.
መፍትሄ።
በመጀመሪያ, ስዕል እንሥራ.
በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል "ለመመልከት" ተጨማሪ ግንባታዎችን እናከናውን.
በመጀመሪያ፣ ኤቢሲ እና BED 1 አውሮፕላኖች የሚገናኙበትን ቀጥተኛ መስመር እንግለጽ። ነጥብ B ከጋራ ነጥቦቻቸው አንዱ ነው። የእነዚህን አውሮፕላኖች ሁለተኛ የጋራ ነጥብ እንፈልግ። መስመሮች DA እና D 1 E በተመሳሳይ አውሮፕላን ADD 1 ውስጥ ይተኛሉ, እና እነሱ ትይዩ አይደሉም, እና ስለዚህ እርስ በርስ ይገናኛሉ. በሌላ በኩል ፣ መስመር DA በአውሮፕላኑ ኤቢሲ ውስጥ ይገኛል ፣ እና መስመር D 1 ኢ - በአውሮፕላኑ BED 1 ውስጥ ፣ ስለሆነም የ DA እና D 1 E የመስመሮች መገናኛ ነጥብ ይሆናል ። የጋራ ነጥብ ኤቢሲ አውሮፕላኖችእና BED 1. ስለዚህ፣ DA እና D 1 E መስመሮችን ወደ መገናኛቸው እንቀጥል፣ የመገናኛቸውን ነጥብ ከኤፍ ፊደል ጋር በማሳየት። ከዚያ BF ABC እና BED 1 አውሮፕላኖች የሚገናኙበት ቀጥተኛ መስመር ነው።
በአውሮፕላኖቹ ABC እና BED 1 ውስጥ ሁለት መስመሮችን ለመገንባት ይቀራል ፣ በቅደም ተከተል ፣ በመስመር BF ላይ ባለው አንድ ነጥብ እና በመስመር BF ላይ አንድ ነጥብ በማለፍ - በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ፣ በፍቺ ፣ በመካከላቸው ከሚፈለገው አንግል ጋር እኩል ይሆናል ። አውሮፕላኖች ABC እና BED 1. እንስራው.
ነጥብ ሀ ነጥብ ኢ በአውሮፕላን ABC ላይ ያለው ትንበያ ነው። ቀጥ ያለ መስመር የሚያቋርጥ መስመር BF በነጥብ ኤም ላይ በቀኝ ማዕዘኖች እንሳል። ከዚያም ቀጥታ መስመር AM ቀጥታ መስመር EM በአውሮፕላኑ ኤቢሲ ላይ ያለው ትንበያ እና በሶስት ቋሚዎች ንድፈ ሃሳብ ነው.
ስለዚህ በአውሮፕላኖች ABC እና BED 1 መካከል የሚፈለገው አንግል እኩል ነው።
የዚህን አንግል ሳይን ፣ ኮሳይን ወይም ታንጀንት (እና ስለዚህ አንግል ራሱ) ከ መወሰን እንችላለን የቀኝ ሶስት ማዕዘን AEM፣ የሁለቱን ጎኖቹን ርዝመት ካወቅን። ከሁኔታው አንጻር የ AE ርዝማኔን ማግኘት ቀላል ነው፡ ነጥብ ኢ ጎን AA 1 ን ከ 4 እስከ 3 ሬሾን ስለሚከፋፍል ከ ነጥብ A በመቁጠር እና የጎን AA 1 ርዝመት 7 ነው, ከዚያም AE = 4 ነው. AM ርዝመቱን እንፈልግ.
ይህንን ለማድረግ AM ቁመቱ ባለበት ቀኝ ማዕዘን A ያለው የቀኝ ትሪያንግል ABF አስቡበት። በሁኔታ AB = 2. የጎን AF ርዝመት ከቀኝ ትሪያንግል DD 1 F እና AEF ተመሳሳይነት ማግኘት እንችላለን፡ 
የፒታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም፣ ከሶስት ማዕዘን ABF እናገኛለን። ርዝመቱን AM በሦስት ማዕዘኑ ABF አካባቢ እናገኛለን: በአንድ በኩል የ ABF የሶስት ማዕዘን ቦታ እኩል ነው. 
, በሌላ በኩል 
፣ የት 
.
ስለዚህም ከቀኝ ትሪያንግል AEM አለን። 
.
ከዚያም በአውሮፕላኖች ABC እና BED 1 መካከል የሚፈለገው አንግል እኩል ነው (አስታውስ 
).
መልስ፡-
በአንዳንድ ሁኔታዎች, በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት, Oxyz ን ለማዘጋጀት እና የማስተባበር ዘዴን ለመጠቀም ምቹ ነው. እዛ ላይ እናብቃ።
ስራውን እናዘጋጅ: በሁለት የተጠላለፉ አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እና ፈልግ. የሚፈለገውን አንግል እንደ .
በተሰጠው አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው አስተባባሪ ስርዓት ኦክሲዝ መደበኛ አውሮፕላኖችን የሚያቋርጡ ቬክተሮች መጋጠሚያዎችን እናውቃለን እና ወይም እነሱን ለማግኘት እድሉ እንዳለን እንገምታለን። ፍቀድ 
የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር ነው, እና 
የአውሮፕላኑ መደበኛ ቬክተር ነው. በተቆራረጡ አውሮፕላኖች መካከል እና በእነዚህ አውሮፕላኖች ውስጥ በተለመደው ቬክተሮች መጋጠሚያዎች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እናሳያለን.
አውሮፕላኖቹ እና የሚገናኙበትን ቀጥተኛ መስመር ሐ. በመስመር ሐ ላይ ነጥብ M በኩል አንድ አውሮፕላን ቀጥታ ወደ መስመር ሐ እንሳልለን። አውሮፕላኑ አውሮፕላኖቹን እና በመስመሮች a እና b, በቅደም ተከተል, መስመሮች a እና b በ ነጥብ M ላይ ይገናኛሉ. በትርጉም, በተቆራረጡ አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል እና በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ካለው አንግል a እና b ጋር እኩል ነው.
የተለመዱትን ቬክተሮች እና አውሮፕላኖች እና በአውሮፕላኑ ውስጥ ካለው ነጥብ M እንይ. በዚህ ሁኔታ ቬክተሩ ከመስመር ሀ ጋር ቀጥ ያለ መስመር ላይ ይተኛል እና ቬክተሩ ወደ መስመር ለ. ስለዚህ, በአውሮፕላኑ ውስጥ ቬክተር የመስመሩ መደበኛ ቬክተር ነው a, የመስመር ላይ መደበኛ ቬክተር ነው.
በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለውን አንግል በማግኘቱ መጣጥፉ ውስጥ በመደበኛ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች በመጠቀም በተቆራረጡ መስመሮች መካከል ያለውን የማዕዘን ኮሳይን ለማስላት የሚያስችል ቀመር ተቀብለናል. ስለዚህ, በመስመሮች a እና b መካከል ያለው አንግል, እና, በዚህም ምክንያት, በተቆራረጡ አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል ኮሳይንእና በቀመር ይገኛል, የት እና የአውሮፕላኖቹ መደበኛ ቬክተሮች እና በቅደም ተከተል ናቸው. ከዚያም እንደ ይሰላል 
.
የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም የቀደመውን ምሳሌ እንፍታ።
ለምሳሌ.
አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ ኤቢሲዲኤ 1 B 1 C 1 D 1 ሲሰጥ AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 እና ነጥብ ኢ ጎን AA 1 ን በ 4 እስከ 3 ሬሾን ይከፋፍላል, ከ ነጥብ ሀ በመቁጠር. በአውሮፕላኖች ABC እና BED 1 መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ።
መፍትሄ።
ከጎኖቹ ጀምሮ አራት ማዕዘን ትይዩአንድ ጫፍ በጥንድ አቅጣጫ ወደ ጎን ሲሄድ ለማስተዋወቅ ምቹ ነው። አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት Oxyzን እንደዚህ ያስተባብራል: ጅምር ከ vertex C ጋር የተስተካከለ ነው, እና መጥረቢያዎችን ማስተባበርኦክስ፣ ኦይ እና ኦዝ ወደ ጎን ሲዲ፣ CB እና CC 1 በቅደም ተከተል ይመራል።
በኤቢሲ እና በ BED 1 አውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል የእነዚህ አውሮፕላኖች መደበኛ ቬክተሮች መጋጠሚያዎች ቀመሩን በመጠቀም ማግኘት ይቻላል ፣ የት እና መደበኛ የ ABC እና BED 1 አውሮፕላኖች በቅደም ተከተል። የመደበኛ ቬክተሮች መጋጠሚያዎችን እንወስን.
\(\blacktriangleright\) Dihedral angle በሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች እና ቀጥታ መስመር \(a\) የተሰራ አንግል ሲሆን ይህም የጋራ ድንበራቸው ነው።
\(\blacktriangleright \) በአውሮፕላኖቹ \(\xi\) እና \ (\ pi \) መካከል ያለውን አንግል ለማግኘት መፈለግ ያስፈልግዎታል መስመራዊ አንግል(እና ቅመምወይም ቀጥታ) አቅጣጫዊ ማዕዘንበአውሮፕላኖች \(\xi\) እና \(\pi\) የተሰራ፡
ደረጃ 1: ፍቀድ \(\xi\cap\pi=a \) (የአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመር). በአውሮፕላኑ ውስጥ \ (\ xi \) የዘፈቀደ ነጥብ \ (F \) ምልክት እናደርጋለን እና \ (FA \ perp a \) እንሳሉ ።
ደረጃ 2: (FG\perp \pi\) ን ያከናውኑ;
ደረጃ 3: በቲቲፒ (\(FG \) - perpendicular, \ (FA \) - oblique, \ (AG \) - ትንበያ) እኛ አለን: \(AG \ perp a \) ;
ደረጃ 4፡ አንግል \(\ አንግል FAG \) በአውሮፕላኖች \(\xi\) እና \(\pi\) የተሰራውን የዲሄድራል አንግል መስመራዊ አንግል ይባላል።
ትሪያንግል \(AG\) ቀኝ-አንግል መሆኑን ልብ ይበሉ።
በተጨማሪም በዚህ መንገድ የተሰራው አውሮፕላን \(ኤኤፍጂ ስለዚህ, በተለየ መንገድ ልንለው እንችላለን. በአውሮፕላኖች መካከል አንግል(\xi ) እና \(\pi\)።
ተግባር 1 # 2875
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
ዳና አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ, ሁሉም ጠርዞች እኩል ናቸው, እና መሰረቱ ካሬ ነው. \(\ alpha \) ከጎን ፊቶች መካከል ያለው አንግል በሆነበት \(6\cos \alpha\) ፈልግ።
ፍቀድ (SABCD \) - ይህ ፒራሚድ(\(ኤስ ስለዚህ, ሁሉም ነገር የጎን ፊትእኩልዮሽ ትሪያንግል ናቸው. በፊቶች \(SAD\) እና \(SCD\) መካከል ያለውን አንግል እንፈልግ።
\(CH\perp SD\) እናድርግ። ምክንያቱም \(\triangle SAD=\triangle SCD\), ከዚያ \(AH \) የ \ (\ triangle SAD \) ቁመትም ይሆናል. ስለዚህ፣ በትርጓሜ፣ \(\ አንግል AHC=\ alpha \) በፊቶች \(SAD \) እና \(SCD \) መካከል ያለው የዲያይድራል አንግል መስመራዊ አንግል ነው።
መሰረቱ ካሬ ስለሆነ፣ ከዚያ \(AC=a\sqrt2\) . \(CH=AH\) ቁመቱ መሆኑንም ልብ ይበሉ ተመጣጣኝ ትሪያንግልከጎን \(a \) ጋር ፣ ስለሆነም \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a \)።
ከዚያ በኮሳይን ቲዎሪ ከ \(\ triangle AHC \)። \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\ቀኝ ቀስት\quad 6\cos\alpha=-2.\]
መልስ፡-2
ተግባር 2 #2876
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
አውሮፕላኖቹ \(\ pi_1 \) እና \(\ pi_2 \) ኮሳይኑ ከ \(0.2 \) ጋር እኩል በሆነ አንግል ይገናኛሉ። አውሮፕላኖቹ \(\ pi_2 \) እና \ (\ pi_3 \) በቀኝ ማዕዘኖች ይገናኛሉ ፣ እና የአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመር \ አውሮፕላኖች \(\pi_2 \) እና \ (\ pi_3 \) . በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል \(\ pi_1 \) እና \ (\ pi_3 \) ይፈልጉ።
የ \(\pi_1\) እና \(\pi_2 \) መገናኛ መስመር ቀጥተኛ መስመር ይሁን፣ የ \(\pi_2\) እና \(\pi_3 መስመር \ (b \) ፣ እና የመስቀለኛ መንገድ \ (\ pi_3 \) እና \ (\ pi_1 \) - ቀጥታ መስመር \ (c \)። ከ \(a\ parallel b \) ፣ ከዚያ \(c\ parallel a \ parallel b \) (ከቲዎሬቲካል ማመሳከሪያው ክፍል በንድፈ ሀሳቡ መሠረት "ጂኦሜትሪ በቦታ" \ (\ የቀስት ቀስት \) "የስቴሪዮሜትሪ መግቢያ ፣ ትይዩነት”)
ነጥቦቹን \(A\in a, B\in b\) ምልክት እናድርግ ስለዚህ \(AB\perp a, AB\perp b \) (ይህ ከ \(a\ parallel b \) ጀምሮ ይቻላል). \(C\ in c \) ምልክት እናድርግ ስለዚህ \(BC \ perp c \) ፣ ስለዚህ ፣ \ (BC \ perp b \)። ከዚያ \(AC \ perp c \) እና \ (AC \ perp a \)።
በእርግጥ ከ \(AB\perp b, BC\perp b\) ጀምሮ \(b\) በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ነው \ (ABC \) . ከ \(c\ parallel a \ parallel b \) ጀምሮ ፣ \ (a \) እና \ (c \) መስመሮች እንዲሁ በአውሮፕላኑ \ (ABC \) ላይ ቀጥ ያሉ ናቸው ፣ እና ስለሆነም ከዚህ አውሮፕላን ለማንኛውም መስመር ፣ በተለይም ፣ መስመር \ (AC \)።
ያንን ተከትሎ ነው። \(\ አንግል BAC=\አንግል (\pi_1፣ \pi_2)\), \(\ አንግል ABC=\ አንግል (\pi_2፣ \pi_3)=90^\circ\), \(\ አንግል BCA=\ አንግል (\pi_3፣ \pi_1)\). \(\ triangle ABC \) አራት ማዕዘን ነው ፣ ማለትም \[\ sin \angle BCA=\cos \angle BAC=0.2.\]
መልስ፡ 0.2
ተግባር 3 #2877
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
የተሰጡት ቀጥታ መስመሮች \(a፣ b፣ c \(\cos^(-1)\alpha\) ፈልግ ፣ \(\ alpha \) በመስመሮች \(a \) እና \ (c \) በተሰራው አውሮፕላን እና በመስመሮች በተሰራው አውሮፕላን መካከል ያለው አንግል \( b\) እና \(c\)። መልስዎን በዲግሪዎች ይስጡ።
መስመሮቹ በ \(O\) ነጥቡ ላይ እንዲቆራረጡ ያድርጉ. በሁለቱም መካከል ያለው አንግል ከ \(60 ^\ cir \) ጋር እኩል ስለሆነ ሦስቱም ቀጥታ መስመሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ሊዋሹ አይችሉም። ነጥቡን \(A \) በመስመር \(a \) ላይ ምልክት እናድርግ እና \(AB \ perp b \) እና \ (AC \ perp c \) እንሳል። ከዚያም \(\triangle AOB=\triangle AOC\)በ hypotenuse እና አጣዳፊ ማዕዘን በኩል አራት ማዕዘን. ስለዚህ, \ (OB=OC \) እና \ (AB=AC \) .
\(AH\perp (BOC)\) እናድርግ። ከዚያም በንድፈ ሀሳቡ ወደ ሦስት perpendiculars \(HC \ perp c \) ፣ \ (HB \ perp b \)። ከ \(AB=AC\) ጀምሮ፣ እንግዲህ \(\triangle AHB=\triangle AHC\)በ hypotenuse እና እግር ላይ እንደ አራት ማዕዘን. ስለዚህ, \(HB=HC\) . ይህ ማለት \(OH \) የማዕዘን ባለ ሁለትዮሽ ነው (BOC \) (ነጥቡ \ (H \) ከማዕዘኑ ጎኖቹ ጋር እኩል ስለሚሆን)።
በዚህ መንገድ የዲሂድራል አንግል መስመራዊ አንግል እንደሠራን ልብ ይበሉ። በአውሮፕላን ተፈጠረበመስመሮች \(a \) እና \ (c \) የተሰራ ፣ እና በመስመሮች \ (b \) እና \ (c \) የተሰራውን አውሮፕላን። ይህ አንግል \(ACH\) ነው።
ይህንን አንግል እንፈልግ። ነጥቡን \(A \) በዘፈቀደ ስለመረጥን \(OA=2 \) እንዲሆን እንመርጠው። ከዚያም በአራት ማዕዘን \(\ triangle AOC \)፡ \[\ sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ]\(OH\) bisector ስለሆነ፣ ከዚያ \(\ አንግል HOC=30^\circ\)፣ ስለዚህ፣ በአራት ማዕዘን ቅርፅ \(\ triangle HOC \)፡ \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3)\]ከዚያም ከአራት ማዕዘን \(\triangle ACH\)፡ \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]
መልስ፡ 3
ተግባር 4 #2910
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
አውሮፕላኖቹ \(\ pi_1 \) እና \ (\ pi_2 \) ነጥቦቹ \(M \) እና \ (N \) በሚተኛበት ቀጥታ መስመር \ (l \) ላይ ይገናኛሉ። ክፍሎቹ \(MA \) እና \ (MB \) ወደ ቀጥታ መስመር \(l \) ቀጥ ያሉ ናቸው እና በአውሮፕላኖች \ (\ pi_1 \) እና \ (\ pi_2 \) እና \ (MN = 15) ውስጥ ይተኛሉ ። \) ፣ \(AN = 39 \) ፣ \ (BN = 17 \) ፣ \ ( AB = 40 \) ። \ (\ alpha \) በአውሮፕላኖች \ (\ pi_1 \) እና \ (\ pi_2 \) መካከል ያለው አንግል በሆነበት \(3 \ cos \ alpha \) ን ይፈልጉ።
ትሪያንግል \(AMN\) ቀኝ-አንግል ነው፣ \(AN^2 = AM^2 + MN^2 \)፣ ከየት \ ትሪያንግል \(ቢኤምኤን \ ከዚያም \ በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለው አንግል \(\ alpha \) አጣዳፊ አንግል ነው ፣ እና \ (\ አንግል AMB \) ወደ obtuse ሆኗል ፣ ከዚያ \ (\cos \ alpha = \ dfrac5 (12) \)። ከዚያም \
መልስ፡ 1.25
ተግባር 5 #2911
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
\(ABCDA_1B_1C_1D_1 \) ትይዩ ነው፣ \(ABCD ((ABCD)\) በተጨማሪም \(M \) የካሬው ዲያግኖች መገናኛ ነጥብ ነው \(ABCD\) . መሆኑ ይታወቃል \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). በአውሮፕላኖቹ \((ABCD)\) እና \((AA_1B_1B)\) መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ። መልስዎን በዲግሪዎች ይስጡ።
በሥዕሉ ላይ እንደሚታየው \(MN \) ከ \(AB \) ጋር ቀጥ ብለን እንገንባ።
\(ABCD\) ጎን \(a \) እና \(MN \ perp AB \) እና \(BC \ perp AB \) ያለው ካሬ ነው ፣ ከዚያ \ (ኤምኤን \ ትይዩ BC \)። \(M \) የካሬው ዲያግኖች መገናኛ ነጥብ ስለሆነ \(M \) የ \(AC \) መካከለኛ ነጥብ ነው ፣ ስለሆነም \ (MN \) መካከለኛ መስመርእና \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) የ \(A_1N\) በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ትንበያ ነው \((ABCD)\) እና \(MN \) ከ \(AB \) ጋር ቀጥ ያለ ነው ፣ ከዚያ በሦስት perpendiculars ቲዎሪ ፣ \ (አ_1N
\[\mathrm(tg)\, \ማዕዘን A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\ቀኝ ቀስት\qquad\angle A_1NM = 60^(\circ)\]
መልስ፡ 60
ተግባር 6 #1854
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
በካሬው \(ABCD\) ውስጥ: \ (O \) - የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ; \ (S \) - በካሬው አውሮፕላን ውስጥ አይተኛም, \ (SO \ perp ABC \) . በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ \(ASD \) እና \ (ABC \) \ (SO = 5 \) እና \ (AB = 10 \) ከሆነ ።
የቀኝ ትሪያንግል \(\ triangle SAO \) እና \(\ triangle SDO \) በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል (\(SO \ perp ABC \) \ (\ ቀኝ ቀስት \) እኩል ናቸው ። \ (\ አንግል SOA = \ አንግል SOD = 90 ^ \ cir \); \(AO = DO \) ፣ ምክንያቱም (ኦ) - የካሬው ዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ ፣ \ (SO \) - የጋራ ጎን) \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (AS = SD \) \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ triangle ASD \) - isosceles. ነጥቡ \(K \) የ \(AD \) መሃል ነው ፣ ከዚያ \ ( SK \) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ያለው ቁመት \ (\ triangle ASD \) ነው ፣ እና \ (እሺ \) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ \ AOD \) \ (\ የቀኝ ቀስት \) አውሮፕላን \ (SOK \) በአውሮፕላኖች \(ASD \) እና \ (ABC \) \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ አንግል SKO \) - ቀጥተኛ አንግል ከሚፈለገው ጋር እኩል ነው። አቅጣጫዊ ማዕዘን.
በ \ (\ triangle SKO \) ውስጥ: \ (እሺ = \ frac (1) (2) \ cdot AB = \ frac (1) (2) \ cdot 10 = 5 = SO \)\ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ triangle SOK \) - isosceles ቀኝ ትሪያንግል \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ አንግል SKO = 45 ^ \ cir \) .
መልስ፡ 45
ተግባር 7 #1855
የተግባር ደረጃ፡ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና የበለጠ ከባድ
በካሬው \(ABCD\) ውስጥ: \ (O \) - የዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ; \ (S \) - በካሬው አውሮፕላን ውስጥ አይተኛም, \ (SO \ perp ABC \) . በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ \(ASD \) እና \ (BSC \) \ (SO = 5 \) እና \ (AB = 10 \) ከሆነ ።
የቀኝ ትሪያንግል \(\ triangle SAO \) ፣ \(\ triangle SDO \) ፣ \(\ triangle SOB \) እና \(\ triangle SOC \) በሁለት ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል (\(SO \ perp ABC) እኩል ናቸው። \) \(\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ አንግል SOA = \ አንግል SOD = \ አንግል SOB = \ አንግል SOC = 90 ^ \ cir \); \(AO = OD = OB = OC \), ምክንያቱም \ (O \) - የካሬው ዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ ፣ \ (SO \) - የጋራ ጎን) \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (AS = DS = BS = CS \) \ (\ ቀኝ ቀስት \) \( \triangle ASD \) እና \ (\ triangle BSC \) isosceles ናቸው. ነጥቡ \(K \) የ \(AD \) መሃል ነው ፣ ከዚያ \ ( SK \) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ያለው ቁመት \ (\ triangle ASD \) ነው ፣ እና \ (እሺ \) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ \ AOD \) \(\ የቀኝ ቀስት \) አውሮፕላን \(SOK \) ከአውሮፕላን \(ASD \) ጋር ቀጥ ያለ ነው። ነጥብ \(L \) የ \(BC\) መሃል ነው ፣ ከዚያ \ (SL \) በሦስት ማዕዘኑ \ (\ triangle BSC \) ውስጥ ቁመት ነው ፣ እና \ (OL \) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ \ BOC \) \ (\ የቀኝ ቀስት \) አውሮፕላን \ (SOL \) (በተባለው አውሮፕላን \ (SOK \)) በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ነው \ (BSC \)። ስለዚህም \(\ አንግል KSL \) ከሚፈለገው ዳይሄድራል አንግል ጋር እኩል የሆነ ቀጥተኛ አንግል መሆኑን እናገኛለን።
(KL = KO + OL = 2\cdot OL = AB = 10\)\ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (OL = 5 \); \ (SK = SL \) - እኩል ቁመቶች isosceles trianglesየፓይታጎሪያን ቲዎረም በመጠቀም ሊገኝ የሚችለው፡- \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). መሆኑን ልብ ማለት ይቻላል። \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\ (\ ቀኝ ቀስት \) ለሦስት ማዕዘን \ (\ ትሪያንግል KSL \) ተገላቢጦሽ የፓይታጎሪያን ቲዎረም \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ ትሪያንግል KSL \) - የቀኝ ትሪያንግል \ (\ ቀኝ ቀስት \) \ (\ አንግል KSL = 90 ይይዛል ^\ cir\)።
መልስ፡ 90
ተማሪዎችን በሂሳብ ውስጥ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን እንዲወስዱ ማዘጋጀት ፣ እንደ ደንቡ ፣ በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ለመወሰን የሚያስችልዎትን ጨምሮ መሰረታዊ ቀመሮችን በመድገም ይጀምራል። ምንም እንኳን ይህ የጂኦሜትሪ ክፍል በውስጡ በበቂ ሁኔታ የተሸፈነ ቢሆንም የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት፣ ብዙ ተመራቂዎች መሠረታዊ ነገሮችን መድገም ያስፈልጋቸዋል። የሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል እንዴት ማግኘት እንደሚችሉ በመረዳት ችግርን በሚፈቱበት ጊዜ ትክክለኛውን መልስ በፍጥነት ማስላት እና የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በማለፍ ውጤት ላይ ጥሩ ውጤቶችን እንደሚያገኙ ይቆጥራሉ።
ዋና ዋና ነገሮች
የዲኤችዲራል አንግልን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ጥያቄው ችግሮችን እንደማያመጣ ለማረጋገጥ, የተዋሃደ የስቴት ፈተና ስራዎችን ለመቋቋም የሚረዳውን የመፍትሄ ስልተ ቀመር መከተል እንመክራለን.
በመጀመሪያ አውሮፕላኖቹ የሚገናኙበትን ቀጥተኛ መስመር መወሰን ያስፈልግዎታል.
ከዚያም በዚህ መስመር ላይ አንድ ነጥብ መምረጥ እና ሁለት ቋሚዎችን ወደ እሱ መሳል ያስፈልግዎታል.
ቀጣዩ ደረጃ- ማግኘት ትሪግኖሜትሪክ ተግባርበ perpendiculars የተፈጠረ የዲይድራል አንግል። ይህንን ለማድረግ በጣም አመቺው መንገድ በተፈጠረው ትሪያንግል እርዳታ ነው, እሱም አንግል አንድ አካል ነው.
መልሱ የማእዘኑ ዋጋ ወይም ትሪግኖሜትሪክ ተግባሩ ይሆናል።
ከ Shkolkovo ጋር ለፈተና ፈተና መዘጋጀት ለስኬትዎ ቁልፍ ነው።
የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በማለፍ ዋዜማ ላይ ባሉት ክፍሎች ውስጥ ብዙ ተማሪዎች በ 2 አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል ለማስላት የሚያስችሉ ትርጓሜዎችን እና ቀመሮችን የማግኘት ችግር ይገጥማቸዋል። የትምህርት ቤት መማሪያበሚፈልጉበት ጊዜ በትክክል ሁልጊዜ በእጅ ላይ አይደለም. እና ለማግኘት አስፈላጊ ቀመሮችእና አንዳንድ ጊዜ ብዙ ጊዜ ማሳለፍን የሚጠይቀውን በኢንተርኔት በይነመረብ ላይ በአውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መፈለግን ጨምሮ ትክክለኛ አጠቃቀማቸው ምሳሌዎች።
የሂሳብ ፖርታል "Shkolkovo" ያቀርባል አዲስ አቀራረብለስቴት ፈተና ለመዘጋጀት. በድረ-ገፃችን ላይ ያሉ ክፍሎች ተማሪዎች በጣም አስቸጋሪ የሆኑትን ክፍሎች ለራሳቸው እንዲለዩ እና የእውቀት ክፍተቶችን እንዲሞሉ ይረዳቸዋል.
ሁሉንም አስፈላጊ ቁሳቁሶች አዘጋጅተን በግልፅ አቅርበናል. መሰረታዊ ፍቺዎችእና ቀመሮች በ "ቲዎሬቲካል መረጃ" ክፍል ውስጥ ቀርበዋል.
ቁሳቁሱን የበለጠ ለመረዳት, ተገቢውን ልምምድ እንዲለማመዱ እንመክራለን. ትልቅ የተግባር ምርጫ የተለያየ ዲግሪውስብስብነት ለምሳሌ በ "ካታሎግ" ክፍል ውስጥ ቀርቧል. ሁሉም ተግባራት ትክክለኛውን መልስ ለማግኘት ዝርዝር ስልተ ቀመር ይይዛሉ። በድር ጣቢያው ላይ ያሉ የአካል ብቃት እንቅስቃሴዎች ዝርዝር ያለማቋረጥ ይሟላል እና ይሻሻላል።
በሁለት አውሮፕላኖች መካከል ያለውን አንግል መፈለግ የሚጠይቁ ችግሮችን መፍታት በሚለማመዱበት ወቅት፣ ተማሪዎች ማንኛውንም ስራ በመስመር ላይ እንደ “ተወዳጆች” የመቆጠብ እድል አላቸው። ለዚህም ምስጋና ይግባውና ወደ እሱ መመለስ ይችላሉ የሚፈለገው መጠንጊዜ እና የውሳኔውን ሂደት ከ ጋር ተወያዩ የትምህርት ቤት መምህርወይም ሞግዚት.
በአውሮፕላኖች መካከል ያለው አንግል መለኪያ በእነዚህ አውሮፕላኖች ውስጥ ተኝተው በሁለት ቀጥታ መስመሮች የተገነባው አጣዳፊ አንግል እና ወደ መገናኛው መስመር ቀጥ ያለ ነው ።
የግንባታ ስልተ ቀመር
- ከ የዘፈቀደ ነጥብ K በእያንዳንዱ የተሰጡት አውሮፕላኖች ላይ ቀጥ ያሉ ቅርጾችን ይሳሉ.
- በደረጃው መስመር ዙሪያ በማሽከርከር, በ K ነጥብ ላይ ያለው ወርድ γ ° አንግል ይወሰናል.
- በአውሮፕላኖቹ መካከል ያለውን አንግል አስሉ ϕ° = 180 – γ°፣ γ° > 90° ከሆነ። γ° ከሆነ< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.
ስዕሉ አውሮፕላኖቹ α እና β በዱካዎች ሲሰጡ ጉዳዩን ያሳያል. ሁሉም አስፈላጊ ግንባታዎች በአልጎሪዝም መሰረት ተካሂደዋል እና ከዚህ በታች ተብራርተዋል.
መፍትሄ
- በሥዕሉ ውስጥ በዘፈቀደ ቦታ ላይ, ነጥብ K ምልክት ያድርጉ. ከእሱ ወርድ m እና n, በቅደም ተከተል, ወደ አውሮፕላኖች α እና β ዝቅ እናደርጋለን. የትንበያዎቹ m እና n አቅጣጫ እንደሚከተለው ነው-m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
- በመስመሮች m እና n መካከል ትክክለኛውን መጠን ∠γ ° እንወስናለን። ይህንን ለማድረግ በፊተኛው ኤፍ ዙሪያ የማዕዘኑን አውሮፕላን ከ vertex K ጋር ወደ ፊት ለፊት ካለው የፕሮጀክት አውሮፕላን ጋር ትይዩ ወደሆነ ቦታ እናዞራለን። ራዲየስ R የነጥብ K ከዋጋው ጋር እኩል ነውየቀኝ ትሪያንግል hypotenuse O""K"" K 0፣ ከጎኑ K"" K 0 = y K - y O ነው።
- የሚፈለገው አንግል ϕ° = ∠γ° ነው፣ ∠γ° አጣዳፊ ስለሆነ።
ከታች ያለው ምስል በአውሮፕላኖቹ α እና β መካከል ያለውን አንግል γ° ለማግኘት በሚያስፈልግበት ጊዜ በትይዩ እና በተጠላለፉ መስመሮች አማካይነት ለችግሩ መፍትሄ ያሳያል።
መፍትሄ
- የአግድም አቅጣጫዎችን እንወስናለን h 1, h 2 እና fronts f 1, f 2, የአውሮፕላኖች ንብረትα እና β, በቀስቶች በተጠቆመው ቅደም ተከተል. በካሬው ላይ ካለው የዘፈቀደ ነጥብ K. α እና β ፐርፔንዲኩላር e እና k እንተዋለን። በዚህ ሁኔታ ሠ""⊥f"" 1፣ ሠ"⊥" 1 እና k""⊥f" 2፣ k"⊥" 2 .
- በመስመሮች e እና k መካከል ∠γ ° እንገልጻለን። ይህንን ለማድረግ አግድም መስመር h 3 ይሳሉ እና በዙሪያው ነጥቡን K ወደ K 1 እናዞራለን ፣ በዚህ ጊዜ △CKD ከአግዳሚው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ይሆናል እና በእሱ ላይ በተፈጥሮ መጠን ይንፀባርቃል - △C “K” 1 D ". የማዞሪያው ማእከል ኦ" ወደ h በተሰየመው ላይ ይገኛል" 3 ከ K "O" ቀጥ ያለ ነው. ራዲየስ R የሚወሰነው ከቀኝ ትሪያንግል O"K"K 0 ነው, ከጎኑ K"K 0 = ዜድ ኦ - ዚ ኬ.
- አንግል γ° አጣዳፊ ስለሆነ የሚፈለገው እሴት ዋጋ ∠ϕ° = ∠γ° ነው።