Fractals ቀላል ማብራሪያ. ታሪካዊ ዳራ፣ ወይም ሁሉም እንዴት እንደተጀመረ

በሂሳብ ውስጥ ያልተለመዱ ባህሪያት ያላቸው እራሳቸውን የሚመስሉ ስብስቦች

ከ 19 ኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ጀምሮ ፣ ከጥንታዊ ትንተና እይታ አንፃር ከተወሰደ ንብረቶች ጋር እራሳቸውን የሚመስሉ ነገሮች ምሳሌዎች በሂሳብ ውስጥ ታይተዋል። እነዚህም የሚከተሉትን ያካትታሉ:

የካንቶር ስብስብ የትም ጥቅጥቅ የማይባል ፍጹም ስብስብ ነው። የአሰራር ሂደቱን በማስተካከል አንድ ሰው የትም ቦታ ጥቅጥቅ ያለ አዎንታዊ ርዝመት ሊኖረው ይችላል;
የ Sierpinski ትሪያንግል ("የጠረጴዛ ልብስ") እና የ Sierpinski ምንጣፍ በአውሮፕላኑ ላይ የተቀመጠው የካንቶር ተምሳሌቶች ናቸው.
Menger's ስፖንጅ በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የተቀመጠው የካንቶር አናሎግ ነው;
በWeierstrass እና በቫን ደር ዋየርደን የትም የማይለይ ቀጣይነት ያለው ተግባር ምሳሌዎች።
Koch ከርቭ በማንኛውም ቦታ ላይ ታንጀንት የሌለው ማለቂያ የሌለው ርዝመት ያለው ራሱን የማያስተላልፍ የማያቋርጥ ኩርባ ነው።
የፔኖ ኩርባ - በሁሉም የካሬው ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የማያቋርጥ ኩርባ;
የብራውንያን ቅንጣት አቅጣጫ እንዲሁ የትም ቢሆን ከፕሮባቢሊቲ ጋር ሊለያይ የሚችል አይደለም 1. የሃውስዶርፍ መጠኑ ሁለት ነው. ] .

የ fractal ኩርባዎችን ለማግኘት ተደጋጋሚ ሂደት

Fractals እንደ የማመቂያ ካርታዎች ቋሚ ነጥቦች

የራስ መመሳሰል ንብረቱ በሂሳብ በጥብቅ እንደሚከተለው ሊገለጽ ይችላል. የአውሮፕላኑ ኮንትራት ካርታዎች ይሁኑ። በሁሉም የታመቁ (የተዘጉ እና የታሰሩ) የአውሮፕላኑ ንዑስ ስብስቦች ስብስብ ላይ የሚከተለውን የካርታ ስራ አስቡበት፡- Ψ፡ K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\ displaystyle \ Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

የካርታ ስራውን ማሳየት ይቻላል Ψ (\ displaystyle \ Psi )ከሃውስዶርፍፍ መለኪያ ጋር በኮምፓክት ስብስብ ላይ ያለ የኮንትራት ካርታ ነው። ስለዚህ፣ በBaach's theorem፣ ይህ ካርታ ስራ ልዩ የሆነ ቋሚ ነጥብ አለው። ይህ ቋሚ ነጥብ የእኛ ክፍልፋይ ይሆናል.

ከላይ የተገለጹትን የፍራክቲክ ኩርባዎችን ለማግኘት ተደጋጋሚ አሰራር የዚህ ግንባታ ልዩ ጉዳይ ነው. ሁሉንም ማሳያዎች ይዟል ψ i , i = 1 , … , n (\የማሳያ ዘይቤ \psi _(i),\,i=1,\ ነጥቦች, n)- ተመሳሳይነት ማሳያዎች, እና n (\ displaystyle n)- የጄነሬተር ማገናኛዎች ብዛት.

በተዛማጅ ተለዋዋጭ ስርዓቶች ባህሪ ላይ በመመስረት የአውሮፕላን ነጥቦችን በማቅለም ውስብስብ በሆኑ ተለዋዋጭ ሁኔታዎች ላይ የተመሰረቱ ውብ ግራፊክ ምስሎችን መፍጠር ታዋቂ ነው። ለምሳሌ የማንዴልብሮት ስብስብን ለማጠናቀቅ እንደ ምኞት ፍጥነት ነጥቦቹን ቀለም መቀባት ይችላሉ። z n (\ displaystyle z_(n))እስከ ወሰን አልባ (እንደ ትንሹ ቁጥር ይገለጻል። n (\ displaystyle n)፣ በየትኛው | z n | (\ displaystyle |z_(n)|)ከቋሚ ትልቅ እሴት ይበልጣል ሀ (\ማሳያ ዘይቤ ሀ)).

ባዮሞርፎች በተወሳሰቡ ተለዋዋጭ ሁኔታዎች ላይ የተገነቡ እና ህይወት ያላቸው ፍጥረታትን የሚያስታውሱ ፍርስራሾች ናቸው።

Stochastic fractals

ተፈጥሯዊ ነገሮች ብዙውን ጊዜ የተቆራረጠ ቅርጽ አላቸው. ስቶካስቲክ (የዘፈቀደ) ፍራክታሎች እነሱን ለመቅረጽ ሊያገለግሉ ይችላሉ። የ stochastic fractals ምሳሌዎች፡-

በአውሮፕላኑ እና በጠፈር ላይ የብራውንያን እንቅስቃሴ አቅጣጫ;
በአውሮፕላን ላይ የብራውንያን እንቅስቃሴ አቅጣጫ ወሰን። እ.ኤ.አ. በ2001 ላውለር፣ ሽራም እና ቨርነር የማንደልብሮት መላምት መጠኑ 4/3 መሆኑን አረጋግጠዋል።
Schramm-Löwner ዝግመተ ለውጥ እንደ ኢሲንግ ሞዴል እና ፐርኮሌሽን ባሉ ወሳኝ ባለ ሁለት-ልኬት የስታቲስቲካዊ መካኒኮች ሞዴሎች ውስጥ የሚነሱ መደበኛ የማይለዋወጡ የክፍልፋይ ኩርባዎች ናቸው።
የተለያዩ የዘፈቀደ fractals ዓይነቶች ፣ ማለትም ፣ በእያንዳንዱ ደረጃ የዘፈቀደ ግቤት ወደ ሚገባበት ተደጋጋሚ ሂደት በመጠቀም የተገኙ fractals። ፕላዝማ በኮምፒተር ግራፊክስ ውስጥ እንደዚህ ያለ ፍራክታል አጠቃቀም ምሳሌ ነው።

የ fractal ባህርያት ያላቸው የተፈጥሮ ነገሮች

የተፈጥሮ ቁሳቁሶች ( quasi-fractals) የመዋቅሩ ድግግሞሽ አለመሟላት እና አለመሟላት ከሀሳብ አብስትራክት ፈረሶች ይለያል። በተፈጥሮ ውስጥ የሚገኙት አብዛኞቹ ፍራክታል መሰል አወቃቀሮች (የደመና ድንበሮች፣ የባህር ዳርቻዎች፣ ዛፎች፣ የእፅዋት ቅጠሎች፣ ኮራሎች፣ ...) ኳሲ-ፍራክታሎች ናቸው፣ ምክንያቱም በተወሰነ ደረጃ የ fractal መዋቅር ይጠፋል። በህያው ሴል መጠን እና በመጨረሻም በሞለኪውሎች መጠን በሚጫኑ ገደቦች ምክንያት የተፈጥሮ መዋቅሮች ፍፁም ፍርስራሾች ሊሆኑ አይችሉም።

በዱር እንስሳት ውስጥ;
- ስታርፊሽ እና urchins
- አበቦች እና ተክሎች (ብሮኮሊ, ጎመን)
- የዛፍ ዘውዶች እና የእፅዋት ቅጠሎች
- ፍራፍሬ (አናናስ)
- የደም ዝውውር ስርዓት እና የሰዎች እና የእንስሳት ብሮንካይተስ
ግዑዝ ተፈጥሮ፡-
- የጂኦግራፊያዊ ነገሮች ድንበሮች (ሀገሮች ፣ ክልሎች ፣ ከተሞች)
- በመስኮት መስታወት ላይ ቀዝቃዛ ቅጦች
- ስታላቲትስ ፣ ስታላጊትስ ፣ ሄሊቲትስ።

መተግበሪያ

የተፈጥሮ ሳይንሶች

በፊዚክስ ውስጥ፣ ፍራክታሎች በተፈጥሯቸው ይነሳሉ የመስመር ላይ ያልሆኑ ሂደቶችን፣ ለምሳሌ የተዘበራረቀ ፈሳሽ ፍሰት፣ ውስብስብ ስርጭት-ማስታወቂያ ሂደቶች፣ ነበልባል፣ ደመና እና የመሳሰሉት። ፍራክታሎች የተቦረቦረ ቁሳቁሶችን ለመቅረጽ ያገለግላሉ ፣ ለምሳሌ ፣ በፔትሮኬሚካል። በባዮሎጂ ውስጥ የህዝብ ብዛትን ለመቅረጽ እና የውስጥ አካላትን (የደም ቧንቧ ስርዓትን) ለመግለፅ ያገለግላሉ. የኩች ኩርባ ከተፈጠረ በኋላ የባህር ዳርቻውን ርዝመት ሲያሰላ ጥቅም ላይ እንዲውል ታቅዶ ነበር.

የሬዲዮ ምህንድስና

Fractal አንቴናዎች

በንድፍ ውስጥ fractal ጂኦሜትሪ መጠቀም

ፍራክታሎች ለአንድ ምዕተ ዓመት ያህል ይታወቃሉ ፣ በደንብ የተጠኑ እና በህይወት ውስጥ ብዙ መተግበሪያዎች አሏቸው። ይህ ክስተት በጣም ቀላል በሆነ ሀሳብ ላይ የተመሰረተ ነው፡- ውበት እና ልዩነት ያላቸው ወሰን የለሽ ቁጥር ያላቸው ቅርጾች በአንጻራዊነት ቀላል ንድፎችን ሁለት ስራዎችን በመጠቀም - መቅዳት እና ማመጣጠን ማግኘት ይቻላል.

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ ጥብቅ ፍቺ የለውም. ስለዚህ "fractal" የሚለው ቃል የሂሳብ ቃል አይደለም. ይህ ብዙውን ጊዜ ከሚከተሉት ንብረቶች ውስጥ አንዱን ወይም ከዚያ በላይ የሚያረካ ለጂኦሜትሪክ ምስል የተሰጠው ስም ነው።

በማንኛውም ማጉላት ላይ ውስብስብ መዋቅር አለው;
(በግምት) ከራሱ ጋር ይመሳሰላል;
ክፍልፋይ Hausdorff (fractal) ልኬት አለው፣ እሱም ከቶፖሎጂያዊው ይበልጣል።
በተደጋጋሚ ሂደቶች መገንባት ይቻላል.

በ 19 ኛው እና በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን መባቻ ላይ, የፍራክታሎች ጥናት ከስልታዊነት የበለጠ ነው, ምክንያቱም ቀደም ሲል የሂሳብ ሊቃውንት በአጠቃላይ አጠቃላይ ዘዴዎችን እና ንድፈ ሐሳቦችን በመጠቀም ሊጠኑ የሚችሉ "ጥሩ" ነገሮችን ያጠኑ ነበር. እ.ኤ.አ. በ 1872 ጀርመናዊው የሂሳብ ሊቅ ካርል ዌየርስትራስ የትም ሊለያይ የማይችል ቀጣይነት ያለው ተግባር ምሳሌ ሠራ። ሆኖም ግን ግንባታው ሙሉ በሙሉ ረቂቅ እና ለመረዳት የሚያስቸግር ነበር። ስለዚህ፣ በ1904፣ ስዊድናዊው ሄልጌ ቮን ኮች በየትኛውም ቦታ ታንጀንት የሌለው እና ለመሳል በጣም ቀላል የሆነ ቀጣይ ኩርባ አመጣ። የ fractal ባህሪያት እንዳለው ታወቀ. የዚህ ኩርባ አንዱ ልዩነት "Koch snowflake" ይባላል.

የቁጥሮች ራስን የመመሳሰል ሃሳቦች በፈረንሳዊው ፖል ፒየር ሌቪ፣ የወደፊት የቤኖይት ማንደልብሮት አማካሪ ወስደዋል። እ.ኤ.አ. በ 1938 “አውሮፕላን እና የቦታ ኩርባዎች እና ከጠቅላላው ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ክፍሎችን ያቀፈ” ጽሁፉ ታትሟል ፣ እሱም ሌላ ክፍልፋይ - ሌቪ ሲ-ከርቭ ገልጿል። እነዚህ ከላይ የተዘረዘሩት ሁሉም ፍርስራሾች በሁኔታዊ ሁኔታ እንደ አንድ ገንቢ (ጂኦሜትሪክ) ክፍልፋዮች ሊመደቡ ይችላሉ።

ሌላው ክፍል የማንደልብሮት ስብስብን የሚያጠቃልለው ተለዋዋጭ (አልጀብራ) ፍራክታሎች ነው። በዚህ አቅጣጫ የመጀመሪያው ጥናት የተጀመረው በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ሲሆን ከፈረንሳዊው የሂሳብ ሊቃውንት ጋስተን ጁሊያ እና ፒየር ፋቱ ስም ጋር የተያያዘ ነው. እ.ኤ.አ. በ 1918 ጁሊያ ፣ ከማንዴልብሮት ስብስብ ጋር በቅርበት የሚዛመዱ የፍራክታሎች ቤተሰብ - ጁሊያ ስብስቦችን የገለፀው ውስብስብ ምክንያታዊ ተግባራትን በመድገም ላይ ሁለት መቶ ገጽ ያለው ሥራ አሳተመ። ይህ ሥራ በፈረንሳይ አካዳሚ ሽልማት ተሰጥቶታል, ነገር ግን አንድም ምሳሌ አልያዘም, ስለዚህ የተከፈቱ ዕቃዎችን ውበት ማድነቅ አይቻልም. ምንም እንኳን ይህ ሥራ ጁሊያን በወቅቱ በሂሳብ ሊቃውንት ዘንድ ታዋቂ ቢያደርግም, በፍጥነት ተረሳ.

ትኩረት እንደገና ጁሊያ እና ፋቱ ሥራ ከግማሽ ምዕተ-አመት በኋላ ፣ ኮምፒውተሮች መምጣት ጋር ተለውጠዋል-የፍራክታሎች ዓለም ብልጽግና እና ውበት እንዲታይ ያደረጉት እነሱ ነበሩ ። ከሁሉም በላይ, ፋቱ አሁን የማንደልብሮት ስብስብ ምስሎች ብለን የምናውቃቸውን ምስሎች ፈጽሞ ማየት አትችልም, ምክንያቱም የሚፈለገው የስሌቶች ብዛት በእጅ ሊሠራ አይችልም. ለዚህ ኮምፒውተር ለመጀመሪያ ጊዜ የተጠቀመው ቤኖይት ማንደልብሮት ነው።

እ.ኤ.አ. በ 1982 የማንደልብሮት መጽሃፍ “ፍራክታል ጂኦሜትሪ ኦቭ ተፈጥሮ” ታትሟል ፣ በዚህ ውስጥ ደራሲው በዚያን ጊዜ ስለ ፍራክታሎች ሁሉንም መረጃዎች ሰብስቦ እና በስርዓት በማዘጋጀት ቀላል እና ተደራሽ በሆነ መንገድ አቅርቧል ። ማንደልብሮት በአቀራረቡ ውስጥ ዋናውን ትኩረት ያደረገው በከባድ ቀመሮች እና የሂሳብ ግንባታዎች ላይ ሳይሆን በአንባቢዎች ጂኦሜትሪ ግንዛቤ ላይ ነው። ኮምፒውተር እና ታሪካዊ ታሪኮችን በመጠቀም ለተገኙት ምሳሌዎች ምስጋና ይግባውና ደራሲው የሞኖግራፉን ሳይንሳዊ ክፍል በዘዴ በማሟሟት መጽሐፉ በጣም የተሸጠው እና ፍራክታሎች በሕዝብ ዘንድ ታዋቂ ሆነዋል። በሂሳብ ሊቃውንት መካከል ያለው ስኬት በአብዛኛው የተመካው በጣም ቀላል በሆኑ ግንባታዎች እና ቀመሮች በመታገዝ የሁለተኛ ደረጃ ተማሪ እንኳን ሳይቀር ሊረዳው በሚችል መልኩ አስገራሚ ውስብስብ እና ውበት ያላቸው ምስሎች ይገኛሉ. የግል ኮምፒውተሮች በበቂ ሁኔታ ኃይለኛ ሲሆኑ ፣ በኪነጥበብ ውስጥ አንድ ሙሉ አቅጣጫ እንኳን ታየ - የ fractal ሥዕል ፣ እና ማንኛውም የኮምፒተር ባለቤት ይህንን ማድረግ ይችላል። አሁን በይነመረብ ላይ ለዚህ ርዕስ ያደሩ ብዙ ጣቢያዎችን በቀላሉ ማግኘት ይችላሉ።

በእጃችን ያሉት ዛፍ፣ የባህር ዳርቻ፣ ደመና ወይም የደም ሥሮች ምን የሚያመሳስላቸው ነገር አለ? በመጀመሪያ ሲታይ, እነዚህ ሁሉ ነገሮች አንድ የሚያመሳስላቸው ነገር የሌላቸው ሊመስሉ ይችላሉ. ሆኖም ግን, በእውነቱ, በተዘረዘሩት ነገሮች ሁሉ ውስጥ የሚገኝ አንድ የመዋቅር ባህሪ አለ: እነሱ ከራሳቸው ጋር ተመሳሳይ ናቸው. ከቅርንጫፉ ፣ ከዛፉ ግንድ ፣ ትናንሽ ቡቃያዎች ይራዘማሉ ፣ ከእነሱ ትንሽ ትናንሽ ፣ ወዘተ ፣ ማለትም ፣ ቅርንጫፍ ከጠቅላላው ዛፍ ጋር ይመሳሰላል። የደም ዝውውር ስርዓቱ ተመሳሳይ በሆነ መንገድ የተዋቀረ ነው-አርቲሪዮልስ ከደም ወሳጅ ቧንቧዎች ይወጣሉ, እና ከነሱ ውስጥ ኦክስጅን ወደ አካላት እና ሕብረ ሕዋሳት ውስጥ የሚገቡበት ትንሹ ካፒላሎች. የባህር ዳርቻ የሳተላይት ምስሎችን እንይ: የባህር ዳርቻዎችን እና ባሕረ ገብ መሬትን እናያለን; እስቲ እንመልከተው, ነገር ግን ከወፍ ዓይን እይታ: የባህር ወሽመጥ እና ካፕስ እናያለን; አሁን በባህር ዳርቻ ላይ ቆመን እግሮቻችንን እየተመለከትን እንደሆነ አስብ: ሁልጊዜ ከቀሪው የበለጠ ወደ ውሃ ውስጥ የሚወጡ ጠጠሮች ይኖራሉ. ማለትም የባህር ዳርቻው ሲጎላ ከራሱ ጋር ተመሳሳይ ሆኖ ይቆያል። አሜሪካዊው የሒሳብ ሊቅ (በፈረንሳይ ውስጥ ያደገ ቢሆንም) ቤኖይት ማንደልብሮት የነገሮችን ስብራት (fractality) ንብረቱን እና እንደነዚህ ያሉ ነገሮች እራሳቸው - fractals (ከላቲን ፍራክተስ - የተሰበረ) ብለው ጠሩት።

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ ጥብቅ ፍቺ የለውም. ስለዚህ "fractal" የሚለው ቃል የሂሳብ ቃል አይደለም. በተለምዶ, fractal ከሚከተሉት ንብረቶች ውስጥ አንዱን ወይም ከዚያ በላይ የሚያረካ የጂኦሜትሪክ ምስል ነው: በማንኛውም የመጠን መጨመር ውስብስብ መዋቅር አለው (በተለየ መልኩ, ቀጥተኛ መስመር, ማንኛውም ክፍል ቀላሉ የጂኦሜትሪክ ምስል - ክፍል). ). (በግምት) ከራስ ጋር ይመሳሰላል። ክፍልፋይ ሃውስዶርፍ (fractal) ልኬት አለው፣ እሱም ከቶፖሎጂያዊው ይበልጣል። ተደጋጋሚ ሂደቶችን በመጠቀም መገንባት ይቻላል.

ጂኦሜትሪ እና አልጀብራ

በ 19 ኛው እና በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን መገባደጃ ላይ የፍራክታሎች ጥናት ከስልታዊነት የበለጠ ወቅታዊ ነበር ፣ ምክንያቱም ቀደም ሲል የሂሳብ ሊቃውንት በዋነኛነት አጠቃላይ ዘዴዎችን እና ንድፈ ሐሳቦችን በመጠቀም ሊጠኑ የሚችሉ “ጥሩ” ነገሮችን ያጠኑ ነበር። እ.ኤ.አ. በ 1872 ጀርመናዊው የሂሳብ ሊቅ ካርል ዌየርስትራስ የትም ሊለያይ የማይችል ቀጣይነት ያለው ተግባር ምሳሌ ሠራ። ሆኖም ግን ግንባታው ሙሉ በሙሉ ረቂቅ እና ለመረዳት የሚያስቸግር ነበር። ስለዚህ፣ በ1904፣ ስዊድናዊው ሄልጌ ቮን ኮች በየትኛውም ቦታ ታንጀንት የሌለው እና ለመሳል በጣም ቀላል የሆነ ቀጣይ ኩርባ አመጣ። የ fractal ባህሪያት እንዳለው ታወቀ. የዚህ ኩርባ አንዱ ልዩነት "Koch snowflake" ይባላል.

የቁጥሮች ራስን የመመሳሰል ሃሳቦች በፈረንሳዊው ፖል ፒየር ሌቪ፣ የወደፊት የቤኖይት ማንደልብሮት አማካሪ ወስደዋል። እ.ኤ.አ. በ 1938 ፣ “አውሮፕላን እና የቦታ ኩርባዎች እና ከጠቅላላው ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ክፍሎችን ያቀፈ” ጽሁፉ ታትሟል ፣ እሱም ሌላ ክፍልፋይ - ሌቪ ሲ-ከርቭ ገልጿል። እነዚህ ከላይ የተዘረዘሩት ሁሉም ፍርስራሾች በሁኔታዊ ሁኔታ እንደ አንድ ገንቢ (ጂኦሜትሪክ) ክፍልፋዮች ሊመደቡ ይችላሉ።

ሌላው ክፍል የማንደልብሮት ስብስብን የሚያጠቃልለው ተለዋዋጭ (አልጀብራ) ፍራክታሎች ነው። በዚህ አቅጣጫ የመጀመሪያው ጥናት የተጀመረው በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን መጀመሪያ ላይ ሲሆን ከፈረንሣይ የሂሳብ ሊቃውንት ጋስተን ጁሊያ እና ፒየር ፋቱ ስም ጋር የተያያዘ ነው. እ.ኤ.አ. በ 1918 ጁሊያ ከማንዴልብሮት ስብስብ ጋር በቅርበት የተገናኘው ጁሊያ ስብስቦችን የገለፀችውን ስለ ውስብስብ ምክንያታዊ ተግባራት ድግግሞሽ ወደ ሁለት መቶ ገጽ የሚጠጋ ማስታወሻ አሳተመች። ይህ ሥራ በፈረንሳይ አካዳሚ ሽልማት ተሰጥቶታል, ነገር ግን አንድም ምሳሌ አልያዘም, ስለዚህ የተከፈቱ ዕቃዎችን ውበት ማድነቅ አይቻልም. ምንም እንኳን ይህ ሥራ ጁሊያን በወቅቱ በሂሳብ ሊቃውንት ዘንድ ታዋቂ ቢያደርግም, በፍጥነት ተረሳ. ትኩረት እንደገና ወደ እሱ ዞሯል ከግማሽ ምዕተ-ዓመት በኋላ በኮምፒዩተሮች መፈጠር ምክንያት የፍራክታሎች ዓለም ብልጽግና እና ውበት እንዲታይ ያደረጉት እነሱ ነበሩ ።

ክፍልፋይ ልኬቶች

እንደሚያውቁት የጂኦሜትሪክ ምስል ልኬት (የልኬቶች ብዛት) በዚህ ምስል ላይ የተቀመጠበትን ቦታ ለመወሰን አስፈላጊ የሆኑ መጋጠሚያዎች ብዛት ነው.
ለምሳሌ, በአንድ ጥምዝ ላይ ያለው የነጥብ አቀማመጥ በአንድ መጋጠሚያ, በአንድ ወለል ላይ (በግድ አውሮፕላን አይደለም) በሁለት መጋጠሚያዎች እና በሶስት-ልኬት ቦታ በሶስት መጋጠሚያዎች ይወሰናል.
ከአጠቃላይ የሒሳብ አተያይ አንፃር አንድ ሰው ልኬቱን በዚህ መንገድ መግለፅ ይችላል-የመስመራዊ ልኬቶች መጨመር ፣በሁለት እጥፍ ይበሉ ፣ለአንድ-ልኬት (ከሥነ-ምድራዊ እይታ) ዕቃዎች (ክፍል) ወደ ይመራል ። የመጠን (ርዝመት) በሁለት እጥፍ መጨመር, ለሁለት-ገጽታዎች (ካሬ) ተመሳሳይ የሊኒየር ልኬቶች መጨመር ወደ መጠኑ (አካባቢ) በ 4 እጥፍ ይጨምራል, ለሶስት-ልኬት (ኩብ) - በ 8 ጊዜ. ማለትም ፣ “እውነተኛ” (ሃውስዶርፍ ተብሎ የሚጠራው) ልኬት የአንድን ነገር “መጠን” የመጨመር የሎጋሪዝም ሬሾ እና የመስመራዊ መጠን መጨመር ሎጋሪዝም ሬሾ ሆኖ ሊሰላ ይችላል። ማለትም ለክፍል D=log (2)/ሎግ (2)=1፣ ለአውሮፕላን D=ሎግ (4)/ሎግ (2)=2፣ ለድምፅ D=ሎግ (8)/ሎግ (2)። =3.
አሁን የ Koch ጥምዝ ስፋትን እናሰላለን, ለመገንባት የትኛው ክፍል በሦስት እኩል ክፍሎች የተከፈለ እና መካከለኛው ክፍተት ያለዚህ ክፍል በእኩል ትሪያንግል ይተካል. የዝቅተኛው ክፍል መስመራዊ ልኬቶች ሶስት ጊዜ ሲጨምሩ ፣ የ Koch ከርቭ ርዝመት በሎግ (4) / ሎግ (3) ~ 1.26 ይጨምራል። ያም ማለት የኮክ ኩርባው ስፋት ክፍልፋይ ነው!

ሳይንስ እና ጥበብ

የ Koch ኩርባ ለማግኘት እቅድ

ጦርነት እና ሰላም

ከላይ እንደተገለፀው የፍራክታል ባህሪያት ካላቸው የተፈጥሮ ነገሮች አንዱ የባህር ዳርቻ ነው. አንድ አስደሳች ታሪክ ከማንዴልብሮት ሳይንሳዊ መጣጥፍ መሰረት የሆነውን ርዝመቱን ለመለካት በሚደረገው ሙከራ እና እንዲሁም “Fractal Geometry of Nature” በተሰኘው መጽሃፉ ውስጥ ተብራርቷል። እየተነጋገርን ያለነው በሌዊስ ሪቻርድሰን፣ በጣም ጎበዝ እና ከባቢያዊ የሂሳብ ሊቅ፣ የፊዚክስ ሊቅ እና የሜትሮሎጂ ባለሙያ ስለተከናወነው ሙከራ ነው። የጥናታቸው አንዱ አቅጣጫ በሁለት ሀገራት መካከል የትጥቅ ግጭት መንስኤ እና ሊሆን እንደሚችል የሂሳብ መግለጫ ለማግኘት ሙከራ ነበር። ከግምት ካስገባቸው መለኪያዎች መካከል የሁለቱ ተፋላሚ አገሮች የጋራ ድንበር ርዝመት ይገኝበታል። ለቁጥር ሙከራዎች መረጃን ሲሰበስብ በስፔን እና ፖርቱጋል የጋራ ድንበር ላይ ያለው መረጃ ከተለያዩ ምንጮች በጣም እንደሚለያይ አወቀ። ይህም ወደሚከተለው ግኝት አመራው፡ የአንድ ሀገር ድንበር ርዝመት በምንለካበት ገዥ ላይ የተመሰረተ ነው። መጠኑ አነስተኛ ነው, ድንበሩ ይረዝማል. ይህ የሆነበት ምክንያት በከፍተኛ ማጉላት ፣ ከዚህ በፊት በመለኪያዎቹ ውፍረት ምክንያት ችላ የተባሉትን የባህር ዳርቻዎችን ተጨማሪ እና ተጨማሪ አዲስ መታጠፊያዎችን ከግምት ውስጥ ማስገባት ስለሚቻል ነው። እና በእያንዳንዱ ልኬት መጨመር ፣ ቀደም ሲል ያልታወቁ የመስመሮች መታጠፊያዎች ከተገለጡ ፣ የድንበሩ ርዝመት ማለቂያ የሌለው ነው! እውነት ነው, ይህ በእውነቱ አይከሰትም - የመለኪያዎቻችን ትክክለኛነት የተወሰነ ገደብ አለው. ይህ አያዎ (ፓራዶክስ) ሪቻርድሰን ውጤት ይባላል።

ገንቢ (ጂኦሜትሪክ) ፍራክሎች

በአጠቃላይ ሁኔታ ውስጥ ገንቢ ፍራክታልን ለመገንባት ስልተ ቀመር እንደሚከተለው ነው. በመጀመሪያ ደረጃ, ሁለት ተስማሚ የጂኦሜትሪክ ቅርጾች ያስፈልጉናል, መሰረቱን እና ቁርጥራጮቹን እንጥራ. በመጀመሪያ ደረጃ, የወደፊቱ የፍራክቲክ መሠረት ይገለጻል. ከዚያም አንዳንድ ክፍሎቹ በተገቢው መጠን በተወሰደ ቁርጥራጭ ይተካሉ - ይህ የግንባታው የመጀመሪያ ድግግሞሽ ነው. ከዚያ የተገኘው አኃዝ እንደገና አንዳንድ ክፍሎችን ወደ ቁርጥራጮች ወደ ተመሳሳይ ምስሎች ይለውጣል ፣ ወዘተ. ይህንን ሂደት ማስታወቂያ ኢንፊኒተም ከቀጠልን ፣ ከዚያ በገደቡ ውስጥ fractal እናገኛለን።

ይህንን ሂደት እንደ ምሳሌ የ Koch ከርቭን በመጠቀም እንመልከተው (በቀደመው ገጽ ላይ ያለውን የጎን አሞሌ ይመልከቱ)። ማንኛውም ኩርባ ለ Koch ጥምዝ መሰረት ሆኖ ሊወሰድ ይችላል (ለ "Koch የበረዶ ቅንጣት" ሶስት ማዕዘን ነው). ግን እራሳችንን በጣም ቀላል በሆነው ጉዳይ ላይ እንገድባለን - ክፍል። ስብርባሪው የተሰበረ መስመር ነው, በሥዕሉ ላይ ከላይ ይታያል. ከአልጎሪዝም የመጀመሪያ ድግግሞሽ በኋላ ፣ በዚህ ሁኔታ ፣ የመጀመሪያው ክፍል ከቁራሹ ጋር ይጣመራል ፣ ከዚያ እያንዳንዱ ክፍልፋዮች ራሱ ከቁርጭምጭሚቱ ጋር በሚመሳሰል በተሰበረ መስመር ይተካል ፣ ወዘተ ። ምስሉ የዚህን የመጀመሪያዎቹን አራት ደረጃዎች ያሳያል ። ሂደት.

በሂሳብ ቋንቋ፡ ተለዋዋጭ (አልጀብራ) ፍራክታሎች

የዚህ ዓይነቱ ክፍልፋዮች የሚነሱት የመስመር ላይ ያልሆኑ ተለዋዋጭ ስርዓቶችን (ስለዚህ ስሙ) ሲያጠኑ ነው. የእንደዚህ አይነት ስርዓት ባህሪ ውስብስብ ባልሆነ ተግባር (polynomial) f (z) ሊገለጽ ይችላል. በውስብስብ አውሮፕላኑ ላይ አንዳንድ የመጀመሪያ ነጥብ z0ን እንውሰድ (የጎን አሞሌን ተመልከት)። አሁን ውስብስብ በሆነው አውሮፕላኑ ላይ እንደዚህ ያለ ገደብ የለሽ የቁጥሮች ቅደም ተከተል አስብባቸው፣ እያንዳንዳቸውም ከቀዳሚው አንድ የተገኙ ናቸው፡ z0፣ z1=f (z0)፣ z2=f (z1)፣ ... zn+1=f (zn) ). እንደ መጀመሪያው ነጥብ z0, እንዲህ ዓይነቱ ቅደም ተከተል የተለየ ባህሪ ሊኖረው ይችላል: እንደ n -> ∞ ማለቂያ የሌለው ዝንባሌ; ወደ አንድ የመጨረሻ ነጥብ መቀላቀል; በተከታታይ ቋሚ እሴቶችን በብስክሌት ይውሰዱ; ተጨማሪ ውስብስብ አማራጮችም ይቻላል.

ውስብስብ ቁጥሮች

ውስብስብ ቁጥር ሁለት ክፍሎችን ያቀፈ ቁጥር ነው - እውነተኛ እና ምናባዊ ፣ ማለትም ፣ መደበኛ ድምር x + i (x እና y እዚህ እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው)። እኔ ነኝ የሚባለው ምናባዊ አሃድ ፣ ማለትም ፣ ማለትም ፣ እኩልታውን የሚያረካ ቁጥር i^ 2 = -1. ውስብስብ ቁጥሮች ላይ መሰረታዊ የሂሳብ ስራዎች ተገልጸዋል: መደመር, ማባዛት, ማካፈል, መቀነስ (የማነፃፀሪያው አሠራር ብቻ አልተገለጸም). ውስብስብ ቁጥሮችን ለማሳየት ፣ የጂኦሜትሪክ ውክልና ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል - በአውሮፕላኑ ላይ (ውስብስብ ተብሎ የሚጠራው) ፣ እውነተኛው ክፍል በ abscissa ዘንግ ላይ ተዘርግቷል ፣ እና ምናባዊው ክፍል በተራራው ዘንግ ላይ ተዘርግቷል ፣ እና ውስብስብ ቁጥሩ ከዚህ ጋር ይዛመዳል። አንድ ነጥብ ከካርቴሲያን መጋጠሚያዎች x እና y ጋር።

ስለዚህ, ውስብስብ አውሮፕላን ማንኛውም ነጥብ z ተግባር f (z) መካከል ድግግሞሾች ጊዜ የራሱ ባህሪ አለው, እና መላው አውሮፕላን ክፍሎች የተከፋፈለ ነው. ከዚህም በላይ በእነዚህ ክፍሎች ድንበሮች ላይ የተቀመጡት ነጥቦች የሚከተለው ንብረት አላቸው: በዘፈቀደ አነስተኛ መፈናቀል, የባህሪያቸው ባህሪ በከፍተኛ ሁኔታ ይለወጣል (እንደዚህ ያሉ ነጥቦች የሁለትዮሽ ነጥቦች ይባላሉ). ስለዚህ፣ አንድ የተወሰነ የባህሪ አይነት ያላቸው የነጥብ ስብስቦች፣ እንዲሁም የሁለትዮሽ ነጥቦች ስብስቦች ብዙውን ጊዜ የ fractal ንብረቶች አሏቸው። እነዚህ የጁሊያ ስብስቦች ለ f (z) ተግባር ናቸው።

የድራጎን ቤተሰብ

መሰረቱን እና ቁርጥራጭን በመለወጥ, አስደናቂ የሆኑ የተለያዩ ገንቢ ፍራክተሮችን ማግኘት ይችላሉ.
ከዚህም በላይ ተመሳሳይ ክዋኔዎች በሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ሊከናወኑ ይችላሉ. የቮልሜትሪክ ፍራክታሎች ምሳሌዎች "Menger ስፖንጅ", "Sierpinski ፒራሚድ" እና ሌሎችም ያካትታሉ.
የድራጎን ቤተሰብ እንደ ገንቢ ክፍልፋዮችም ይቆጠራል። አንዳንድ ጊዜ በአግኚዎቻቸው ስም ይጠራሉ "ሄቪ-ሃርተር ድራጎኖች" (በቅርጻቸው የቻይናውያን ድራጎኖች ይመስላሉ). ይህንን ኩርባ ለመገንባት ብዙ መንገዶች አሉ። ከእነሱ በጣም ቀላሉ እና በጣም ምስላዊ የሆነው ይህ ነው-በትክክለኛ ረጅም ወረቀት መውሰድ ያስፈልግዎታል (ቀጭኑ ወረቀቱ የተሻለ ነው) እና በግማሽ ማጠፍ ያስፈልግዎታል። ከዚያም ልክ እንደ መጀመሪያው ጊዜ በተመሳሳይ አቅጣጫ እንደገና በግማሽ ያጥፉት. ከበርካታ ድግግሞሾች በኋላ (ብዙውን ጊዜ ከአምስት ወይም ከስድስት እጥፋት በኋላ ክርቱ በጣም ወፍራም ይሆናል ቀስ ብሎ ወደ ፊት ለመታጠፍ) ፣ ክርቱን ወደ ኋላ ማጠፍ እና 90˚ ማእዘኖችን በማጠፊያው ላይ ለመፍጠር ይሞክሩ። ከዚያ በመገለጫ ውስጥ የድራጎን ኩርባ ያገኛሉ። እርግጥ ነው፣ ልክ እንደ ሁሉም የተበጣጠሱ ነገሮችን ለማሳየት እንደሞከርነው ይህ በግምት ብቻ ይሆናል። ኮምፒዩተሩ የዚህን ሂደት ብዙ ተጨማሪ ደረጃዎች እንዲያሳዩ ያስችላቸዋል, ውጤቱም በጣም የሚያምር ምስል ነው.

የማንደልብሮት ስብስብ የተገነባው በተወሰነ መልኩ ነው። ተግባር fc (z) = z 2 +cን ተመልከት፣ ሐ ውስብስብ ቁጥር ነው። የዚህን ተግባር ቅደም ተከተል በ z0=0 እንገንባ፤ እንደ መለኪያው ሐ፣ ወደ ወሰን አልባነት ሊለያይ ወይም ውሱን ሆኖ ሊቆይ ይችላል። በተጨማሪም ፣ ይህ ቅደም ተከተል የተገደበባቸው ሁሉም የ c እሴቶች የማንደልብሮት ስብስብ ይመሰርታሉ። በማንዴልብሮት እራሱ እና በሌሎች የሂሳብ ሊቃውንት በዝርዝር አጥንቷል, እሱም የዚህን ስብስብ ብዙ አስደሳች ባህሪያትን አግኝቷል.

የጁሊያ እና ማንዴልብሮት ስብስቦች ትርጓሜዎች እርስ በእርሳቸው ተመሳሳይ መሆናቸውን ማየት ይቻላል. እንደ እውነቱ ከሆነ, እነዚህ ሁለት ስብስቦች በቅርበት የተያያዙ ናቸው. ማለትም የማንደልብሮት ስብስብ የጁሊያ ስብስብ fc (z) የተገናኘበት ውስብስብ ግቤት ሐ ሁሉም እሴቶች ናቸው (ስብስቡ በሁለት የተከፋፈሉ ክፍሎች ሊከፈል የማይችል ከሆነ ፣ ከተወሰኑ ተጨማሪ ሁኔታዎች ጋር ተገናኝቷል)።

Fractals እና ሕይወት

በአሁኑ ጊዜ የፍራክታሎች ጽንሰ-ሐሳብ በተለያዩ የሰዎች እንቅስቃሴ ውስጥ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላል. ለምርምር ከንፁህ ሳይንሳዊ ነገር እና ቀደም ሲል ከተጠቀሰው የ fractal ስዕል በተጨማሪ ፣ fractals በመረጃ ፅንሰ-ሀሳብ ውስጥ ግራፊክ መረጃን ለመጭመቅ ያገለግላሉ (የ fractals ራስን መመሳሰል ባህሪ እዚህ ላይ በዋነኝነት ጥቅም ላይ የሚውለው - ከሁሉም በኋላ ፣ የሥዕል ትንሽ ቁራጭ ለማስታወስ ነው) እና የተቀሩትን ክፍሎች ማግኘት የሚችሉባቸው ለውጦች, ሙሉውን ፋይል ከማከማቸት በጣም ያነሰ የሚፈለገው ማህደረ ትውስታ ነው). Fractalን በሚወስኑት ቀመሮች ላይ የዘፈቀደ ረብሻዎችን በመጨመር አንዳንድ እውነተኛ ዕቃዎችን በትክክል የሚያስተላልፉ ስቶካስቲክ ፍርስራሾችን ማግኘት ይችላሉ - የእርዳታ ንጥረ ነገሮች ፣ የውሃ ማጠራቀሚያዎች ወለል ፣ አንዳንድ እፅዋት ፣ በፊዚክስ ፣ ጂኦግራፊ እና የኮምፒተር ግራፊክስ በተሳካ ሁኔታ የበለጠ ለማሳካት ጥቅም ላይ ይውላል። የተመሳሰሉ ነገሮች ከእውነተኛ ጋር ተመሳሳይነት. በሬዲዮ ኤሌክትሮኒክስ ውስጥ, ባለፉት አስርት ዓመታት ውስጥ, የተቆራረጠ ቅርጽ ያላቸው አንቴናዎች ማምረት ጀመሩ. ትንሽ ቦታ በመያዝ, ከፍተኛ ጥራት ያለው የምልክት መቀበያ ይሰጣሉ. ኢኮኖሚስቶች የምንዛሪ መዋዠቅ ኩርባዎችን ለመግለጽ fractals ይጠቀማሉ (ይህ ንብረት በማንዴልብሮት የተገኘው ከ30 ዓመታት በፊት ነው)። ይህ ወደ አስደናቂው ውብ እና ልዩ ልዩ የፍራክታሎች ዓለም ይህን አጭር ጉብኝት ያጠናቅቃል።

በ 70 ዎቹ መገባደጃ ላይ የታዩት የ fractal እና fractal ጂኦሜትሪ ፅንሰ-ሀሳቦች ከ 80 ዎቹ አጋማሽ ጀምሮ በሂሳብ ሊቃውንት እና ፕሮግራመሮች መካከል በጥብቅ ተመስርተዋል። ፍራክታል የሚለው ቃል ከላቲን ፍራክተስ የተገኘ ሲሆን ትርጉሙም ቁርጥራጮችን ያካተተ ነው። በ1975 በቤኖይት ማንደልብሮት እሱ ያሳሰበውን መደበኛ ያልሆኑ ግን ከራስ ጋር ተመሳሳይነት ያላቸውን አወቃቀሮችን ለማመልከት ቀርቦ ነበር። የፍራክታል ጂኦሜትሪ መወለድ ብዙውን ጊዜ የማንዴልብሮት መጽሃፍ “The Fractal Geometry of Nature” በ1977 ከመታተም ጋር የተያያዘ ነው። ስራዎቹ እ.ኤ.አ. በ1875-1925 በተመሳሳይ መስክ የሰሩትን ሌሎች ሳይንቲስቶች ሳይንሳዊ ውጤቶችን ተጠቅመዋል (Poincaré, Fatou, ጁሊያ, ካንቶር, ሃውስዶርፍ ግን በእኛ ጊዜ ብቻ ሥራቸውን ወደ አንድ ነጠላ ሥርዓት ማዋሃድ ተችሏል.
ዛሬ በኮምፒተር ግራፊክስ ውስጥ የ fractals ሚና በጣም ትልቅ ነው። በጣም ውስብስብ ቅርጾችን መስመሮችን እና ንጣፎችን ለመለየት, ለምሳሌ, አስፈላጊ ሆኖ ሲገኝ, በርካታ ውህዶችን በመጠቀም ለማዳን ይመጣሉ. ከኮምፒዩተር ግራፊክስ አንፃር፣ ሰው ሰራሽ ደመናን፣ ተራራዎችን እና የባህር ላይ ንጣፎችን ሲፈጥሩ ፍራክታል ጂኦሜትሪ በጣም አስፈላጊ ነው። እንደ እውነቱ ከሆነ, ውስብስብ ያልሆኑ Euclidean ዕቃዎችን በቀላሉ የሚወክልበት መንገድ ተገኝቷል, ምስሎቹ ከተፈጥሯዊ ነገሮች ጋር በጣም ተመሳሳይ ናቸው.
የ fractals ዋና ዋና ባህሪያት አንዱ ራስን መመሳሰል ነው. በጣም ቀላል በሆነ ሁኔታ, የ fractal ትንሽ ክፍል ስለ ሙሉ fractal መረጃ ይዟል. ማንዴልብሮት ስለ fractal የሰጠው ትርጓሜ፡- “fractal ማለት በተወሰነ መልኩ ከጠቅላላው ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ክፍሎችን ያቀፈ መዋቅር ነው።

fractals (Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano ከርቭ, ማንደልብሮት ስብስብ እና ሎሬንትዝ ማራኪዎች) የሚባሉ በርካታ የሂሳብ ቁሶች አሉ። ፍራክታሎች የገሃዱ ዓለም ብዙ አካላዊ ክስተቶችን እና አወቃቀሮችን በከፍተኛ ትክክለኛነት ይገልፃሉ፡- ተራራዎች፣ ደመናዎች፣ ግርግር (አዙሪት) ፍሰቶች፣ ሥሮች፣ ቅርንጫፎች እና የዛፎች ቅጠሎች፣ የደም ሥሮች፣ ከቀላል የጂኦሜትሪክ አሃዞች ጋር የማይዛመድ። ለመጀመሪያ ጊዜ ቤኖይት ማንደልብሮት በሴሚናል ሥራው "የተፈጥሮ ጂኦሜትሪ" በሚለው የዓለማችን ክፍልፋይ ተፈጥሮ ተናግሯል.
Fractal የሚለው ቃል በቤኖይት ማንደልብሮት በ 1977 በመሠረታዊ ሥራው Fractals, Form, Chaos and Dimension አስተዋወቀ። እንደ ማንደልብሮት ገለጻ፣ ፍራክታል የሚለው ቃል የመጣው ፍራክተስ ከሚሉት የላቲን ቃላቶች ነው - ክፍልፋይ እና ፍሬንጀር - ለመስበር፣ ይህም የ fractal ምንነት እንደ “የተሰበረ”፣ መደበኛ ያልሆነ ስብስብ ያንፀባርቃል።

የ fractals ምደባ.

ሁሉንም ዓይነት ፍራክታሎች ለማቅረብ በአጠቃላይ ተቀባይነት ያለው ምደባቸውን ለመጠቀም ምቹ ነው. ሶስት የ fractals ምድቦች አሉ።

1. ጂኦሜትሪክ ፍራክተሮች.

የዚህ ክፍል ክፍልፋዮች በጣም የሚታዩ ናቸው። በሁለት-ልኬት ሁኔታ ፣ ጄነሬተር ተብሎ የሚጠራው የተሰበረ መስመር (ወይም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ መያዣ) በመጠቀም ያገኛሉ። በአልጎሪዝም አንድ ደረጃ, ፖሊላይን የሚሠሩት እያንዳንዳቸው ክፍሎች በጄነሬተር ፖሊላይን በተገቢው ሚዛን ይተካሉ. የዚህ አሰራር ማለቂያ በሌለው ድግግሞሽ ምክንያት, የጂኦሜትሪክ ፍራክታል ተገኝቷል.

ከእነዚህ fractal ነገሮች መካከል አንዱን ምሳሌ እንመልከት - ባለሶስት Koch ከርቭ።

የሶስትዮሽ Koch ጥምዝ ግንባታ.

ቀጥ ያለ የርዝመት ክፍል እንውሰድ 1. እንጥራው ዘር. ዘሩን 1/3 ርዝማኔ በሦስት እኩል ክፍሎችን እናካፍል, መካከለኛውን ክፍል አስወግድ እና በተሰበረ መስመር በሁለት ማያያዣዎች 1/3 ርዝመት ይቀይሩት.

በአጠቃላይ 4/3 ርዝመት ያለው 4 አገናኞችን ያካተተ የተሰበረ መስመር እናገኛለን - የሚባሉት የመጀመሪያው ትውልድ.

ወደ ቀጣዩ የ Koch ጥምዝ ትውልድ ለመሄድ የእያንዳንዱን አገናኝ መካከለኛ ክፍል መጣል እና መተካት አስፈላጊ ነው. በዚህ መሠረት የሁለተኛው ትውልድ ርዝመት 16/9, ሦስተኛው - 64/27 ይሆናል. ይህን ሂደት ማስታወቂያ ኢንፊኒተም ከቀጠልን ውጤቱ ባለሶስት Koch ከርቭ ነው።

አሁን የሶስትዮዲክ ኮክ ኩርባ ባህሪያትን እናስብ እና ፍራክታሎች ለምን "ጭራቆች" ተብለው እንደተጠሩ ለማወቅ እንሞክር.

በመጀመሪያ ፣ ይህ ኩርባ ምንም ርዝመት የለውም - እንደተመለከትነው ፣ ከትውልድ ብዛት ጋር ርዝመቱ ወደ ማለቂያ የለውም።

በሁለተኛ ደረጃ, በዚህ ኩርባ ላይ ታንጀንት መገንባት የማይቻል ነው - እያንዳንዱ ነጥቦቹ የመነሻው የማይኖርበት የመቀየሪያ ነጥብ ነው - ይህ ኩርባ ለስላሳ አይደለም.

ርዝመት እና ቅልጥፍና ኩርባዎች መሰረታዊ ባህሪያት ናቸው, እነዚህም በ Euclidean ጂኦሜትሪ እና በሎባቼቭስኪ እና ሪማን ጂኦሜትሪ ያጠኑታል. ባህላዊ የጂኦሜትሪክ ትንተና ዘዴዎች ለሶስትዮሽ Koch ጥምዝ የማይተገበር ሆኖ ተገኝቷል ፣ ስለሆነም የኩሽ ኩርባው ጭራቅ ሆነ - በባህላዊ ጂኦሜትሪ ለስላሳ ነዋሪዎች መካከል “ጭራቅ”።

የሃርተር-ሃይትዌይ "ድራጎን" ግንባታ.

ሌላ ክፍልፋይ ነገር ለማግኘት የግንባታ ደንቦቹን መለወጥ ያስፈልግዎታል. የሚፈጠረው አካል በቀኝ ማዕዘኖች የተገናኙ ሁለት እኩል ክፍሎች ይሁኑ። በዜሮው ትውልድ ውስጥ, አንግል ከላይ እንዲሆን የንጥል ክፍሉን በዚህ አመንጪ አካል እንተካለን. በእንደዚህ አይነት ምትክ የአገናኝ መንገዱ መሃከል መፈናቀል አለ ማለት እንችላለን. ተከታይ ትውልዶችን በሚገነቡበት ጊዜ, ደንቡ ይከተላል-በግራ በኩል ያለው የመጀመሪያው አገናኝ በሚፈጥረው አካል ተተክቷል ስለዚህም የግንኙነቱ መሃከል ወደ እንቅስቃሴው አቅጣጫ ወደ ግራ እንዲቀየር እና ቀጣይ አገናኞችን በሚተካበት ጊዜ, አቅጣጫዎች. የክፍሎቹ መሃከል መፈናቀል ተለዋጭ መሆን አለበት. ስዕሉ ከላይ በተገለጸው መርህ መሰረት የተገነባውን የመጀመሪያዎቹን ትውልዶች እና የ 11 ኛ ትውልዶች ያሳያል. ወደ ወሰን የለሽነት ዝንባሌ ያለው ኩርባ የሃርተር-ሃይትዌይ ድራጎን ይባላል።
በኮምፒተር ግራፊክስ ውስጥ የዛፎችን እና ቁጥቋጦዎችን ምስሎች ሲያገኙ የጂኦሜትሪክ ፍራክተሮችን መጠቀም አስፈላጊ ነው. ባለ ሁለት ገጽታ ጂኦሜትሪክ ፍርስራሾች ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ሸካራማነቶችን (በአንድ ነገር ላይ ያሉ ንድፎችን) ለመፍጠር ያገለግላሉ።

2.አልጀብራ ፍራክታሎች

ይህ ትልቁ የ fractals ቡድን ነው። በ n-dimensional ቦታዎች ውስጥ መደበኛ ያልሆኑ ሂደቶችን በመጠቀም የተገኙ ናቸው. ባለ ሁለት ገጽታ ሂደቶች በጣም የተጠኑ ናቸው. ያልተለመደ የድግግሞሽ ሂደትን እንደ ተለዋዋጭ ተለዋዋጭ ስርዓት ሲተረጉሙ የእነዚህን ስርዓቶች ንድፈ ሀሳብ የቃላት ቃላቶችን መጠቀም ይችላሉ-የደረጃ የቁም አቀማመጥ ፣ ስቴዲ-ስቴት ሂደት ፣ ማራኪ ፣ ወዘተ.
መደበኛ ያልሆኑ ተለዋዋጭ ስርዓቶች በርካታ የተረጋጋ ግዛቶች እንዳላቸው ይታወቃል. ከተወሰኑ ድግግሞሽ በኋላ ተለዋዋጭ ስርዓቱ እራሱን የሚያገኝበት ሁኔታ እንደ መጀመሪያው ሁኔታ ይወሰናል. ስለዚህ እያንዳንዱ የተረጋጋ ሁኔታ (ወይም እነሱ እንደሚሉት ፣ የሚስብ) የተወሰኑ የመነሻ ግዛቶች ክልል አላቸው ፣ ከዚያ ስርዓቱ ከግምት ውስጥ በሚገቡ የመጨረሻ ግዛቶች ውስጥ ይወድቃል። ስለዚህ የስርዓቱ ደረጃ ቦታ ወደ ማራኪዎች መስህቦች ተከፋፍሏል. የደረጃው ቦታ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ቦታ ከሆነ ፣ ከዚያ የሚስቡ ቦታዎችን በተለያዩ ቀለሞች በመቀባት አንድ ሰው የዚህን ስርዓት የቀለም ደረጃ ምስል ማግኘት ይችላል (የተደጋጋሚ ሂደት)። የቀለም መምረጫ ስልተ ቀመርን በመቀየር፣ ውስብስብ የሆኑ የ fractal ቅጦችን ከቢዛር ባለብዙ ቀለም ቅጦች ጋር ማግኘት ይችላሉ። ለሂሳብ ሊቃውንት አስገራሚው ነገር የጥንታዊ ስልተ ቀመሮችን በመጠቀም በጣም ውስብስብ ቀላል ያልሆኑ አወቃቀሮችን ማፍለቅ መቻላቸው ነው።

ማንደልብሮት ስብስብ።

እንደ ምሳሌ የማንደልብሮትን ስብስብ ተመልከት። ለግንባታው ስልተ ቀመር በጣም ቀላል እና በቀላል አገላለጽ ላይ የተመሠረተ ነው- Z = Z[i] * Z[i] + ሲ፣ የት ዚእና ሲ- ውስብስብ ተለዋዋጮች. ድግግሞሾች ለእያንዳንዱ የመነሻ ነጥብ ከአራት ማዕዘን ወይም ካሬ ክልል ይከናወናሉ - የተወሳሰበ አውሮፕላኑ ንዑስ ክፍል። የመድገም ሂደቱ እስከሚቀጥለው ድረስ ይቀጥላል ዚ[i]ከ ራዲየስ 2 ክበብ በላይ አይሄድም ፣ መሃሉ በነጥቡ (0,0) ላይ ይተኛል ፣ (ይህ ማለት የተለዋዋጭ ስርዓቱ ማራኪው ማለቂያ የሌለው ነው) ወይም በበቂ ሁኔታ ከተደጋገሙ በኋላ (ለምሳሌ ፣ , 200-500) ዚ[i]በክበቡ ላይ ወደ አንድ ነጥብ ይሰበሰባል. በየትኛው የድግግሞሽ ብዛት ላይ በመመስረት ዚ[i]በክበቡ ውስጥ ቀርቷል, የነጥቡን ቀለም ማዘጋጀት ይችላሉ ሲ( ከሆነ ዚ[i]በክበቡ ውስጥ በበቂ ሁኔታ ብዙ ድግግሞሾች ይቀራሉ ፣ የመድገም ሂደቱ ይቆማል እና ይህ የራስተር ነጥብ በጥቁር ቀለም የተቀባ ነው)።

3. Stochastic fractals

ሌላው በጣም የታወቀው የ fractals ክፍል ስቶካስቲክ ፍራክታሎች ናቸው, እነዚህም አንዳንድ መመዘኛዎቹ በአጋጣሚ በተለዋዋጭ ሂደት ውስጥ ከተቀየሩ. በዚህ ሁኔታ, የተገኙት ነገሮች ከተፈጥሯዊዎች ጋር በጣም ተመሳሳይ ናቸው - ያልተመጣጣኝ ዛፎች, ወጣ ገባ የባህር ዳርቻዎች, ወዘተ. ባለ ሁለት ገጽታ ስቶካስቲክ ፍራክታሎች የመሬት አቀማመጥን እና የባህር ወለልን ለመቅረጽ ያገለግላሉ።
ሌሎች የ fractals ምደባዎች አሉ ፣ ለምሳሌ ፣ fractals ወደ ቆራጥነት (አልጀብራ እና ጂኦሜትሪክ) እና የማይወሰን (ስቶካስቲክ) መከፋፈል።

ስለ fractals አጠቃቀም

በመጀመሪያ ደረጃ ፍራክታሎች እጅግ በጣም ቀላል በሆኑ ቀመሮች እና ስልተ ቀመሮች እገዛ ልዩ ውበት እና ውስብስብነት ያላቸው ስዕሎች ሲገኙ አስደናቂ የሂሳብ ጥበብ መስክ ናቸው! ቅጠሎች, ዛፎች እና አበቦች ብዙውን ጊዜ በተሠሩት ምስሎች ቅርጾች ላይ ይታያሉ.

አንዳንድ በጣም ኃይለኛ የ Fractals መተግበሪያዎች በኮምፒተር ግራፊክስ ውስጥ ይገኛሉ። በመጀመሪያ ፣ ይህ የምስሎች ክፍልፋዮች መጨናነቅ ነው ፣ ሁለተኛም ፣ የመሬት ገጽታዎች ፣ ዛፎች ፣ እፅዋት እና የ fractal ሸካራማነቶች መፈጠር። ዘመናዊ ፊዚክስ እና ሜካኒክስ የፍራክታል ዕቃዎችን ባህሪ ማጥናት ገና መጀመሩ ነው። እና በእርግጥ, ፍራክታሎች በቀጥታ በሂሳብ ውስጥ ጥቅም ላይ ይውላሉ.
የ fractal ምስል መጭመቂያ ስልተ ቀመሮች ጥቅሞች የታሸገው ፋይል መጠን በጣም ትንሽ እና አጭር ምስል መልሶ ማግኛ ጊዜ ነው። በፍራክታል የታሸጉ ምስሎች ፒክሴላይሽን ሳያስከትሉ ሊመዘኑ ይችላሉ። ነገር ግን የመጨመቂያው ሂደት ረጅም ጊዜ የሚወስድ ሲሆን አንዳንዴም ለሰዓታት ይቆያል. የ fractal lossy packaging አልጎሪዝም ልክ እንደ jpeg ቅርፀት የጨመቁትን ደረጃ እንዲያዘጋጁ ያስችልዎታል። አልጎሪዝም ከአንዳንድ ትናንሽ ቁርጥራጮች ጋር ተመሳሳይነት ያላቸውን ትላልቅ የምስሉ ክፍሎች በመፈለግ ላይ የተመሰረተ ነው. እና የትኛው ቁራጭ ብቻ ወደ ውፅዓት ፋይሉ ከተጻፈው ጋር ተመሳሳይ ነው። በሚጨመቅበት ጊዜ የካሬ ፍርግርግ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል (ቁራጮቹ ካሬዎች ናቸው) ይህም ምስሉን ወደነበረበት በሚመልስበት ጊዜ ወደ ትንሽ አንግል ይመራል ፣ ባለ ስድስት ጎን ፍርግርግ ይህ ችግር የለውም።
ኢቴሬት አዲስ የምስል ፎርማት አዘጋጅቷል "Sting"፣ እሱም fractal እና "wave" (እንደ jpeg ያለ) ኪሳራ የሌለው መጭመቅን ያጣምራል። አዲሱ ቅርጸት በቀጣይ ከፍተኛ ጥራት ያለው የመጠን እድል ያላቸውን ምስሎች እንዲፈጥሩ ይፈቅድልዎታል, እና የግራፊክ ፋይሎች መጠን ከ15-20% ያልተጨመቁ ምስሎች መጠን ነው.
የፍራክታሎች ተራሮችን ፣ አበቦችን እና ዛፎችን የመምሰል ዝንባሌ በአንዳንድ ግራፊክ አርታኢዎች ጥቅም ላይ ይውላል ፣ ለምሳሌ ፣ ከ 3D ስቱዲዮ MAX ፣ fractal ተራሮች በዓለም ገንቢ። የተቆራረጡ ዛፎች፣ ተራሮች እና አጠቃላይ መልክዓ ምድሮች በቀላል ቀመሮች ይገለፃሉ፣ ለማቀድ ቀላል እና ሲቃረቡ ወደ ተለያዩ ትሪያንግሎች እና ኪዩቦች አይለያዩም።
አንድ ሰው በሂሳብ ውስጥ የ fractals አጠቃቀምን ችላ ማለት አይችልም። በሴንት ንድፈ ሐሳብ፣ የካንቶር ስብስብ ፍጹም የሆነ የትም ጥቅጥቅ ያሉ ስብስቦች መኖራቸውን ያረጋግጣል፣ በመለኪያ ንድፈ ሐሳብ፣ የራስ-አፊን ተግባር “የካንቶር መሰላል” የአንድ ነጠላ መለኪያ የማከፋፈያ ተግባር ጥሩ ምሳሌ ነው።
በሜካኒክስ እና ፊዚክስ ውስጥ ፍራክታሎች የብዙ የተፈጥሮ ቁሳቁሶችን ዝርዝር በመድገም ልዩ ባህሪያቸው ምክንያት ጥቅም ላይ ይውላሉ። ፍራክታሎች የዛፎችን ፣ የተራራ ንጣፎችን እና ስንጥቆችን የክፍሎች ወይም ፖሊጎኖች ስብስቦችን በመጠቀም (በተመሳሳይ የተከማቸ መረጃ መጠን) ከግምገማዎች በበለጠ ትክክለኛነት እንዲገመግሙ ያስችሉዎታል። Fractal ሞዴሎች, እንደ ተፈጥሯዊ ነገሮች, "ሸካራነት" አላቸው, እና ይህ ንብረት የአምሳያው ማጉላት ምንም ያህል ትልቅ ቢሆን ተጠብቆ ይቆያል. በፍራክታሎች ላይ አንድ ወጥ የሆነ መለኪያ መኖሩ ውህደትን፣ እምቅ ፅንሰ-ሀሳብን እንዲተገበር እና ቀደም ሲል በተጠኑ እኩልታዎች ውስጥ ከመደበኛ ዕቃዎች ይልቅ እነሱን እንዲጠቀም ያስችለዋል።
በ fractal አቀራረብ፣ ትርምስ ሰማያዊ መታወክ መሆኑ ያቆማል እና ጥሩ መዋቅር ያገኛል። የፍራክታል ሳይንስ አሁንም በጣም ወጣት ነው እና ወደፊት ታላቅ የወደፊት ዕጣ አለው። የ fractals ውበት ከመሟጠጥ የራቀ ነው እና አሁንም ብዙ ድንቅ ስራዎችን ይሰጠናል - ዓይንን የሚያስደስቱ እና ለአእምሮ እውነተኛ ደስታን የሚያመጡ።

Fractals ስለመገንባት

ተከታታይ የተጠጋጋ ዘዴ

ይህንን ሥዕል ስንመለከት, እራስን የሚመስል ፍራክታል (በዚህ ጉዳይ ላይ, የ Sierpinski ፒራሚድ) እንዴት መገንባት እንደሚችሉ ለመረዳት አስቸጋሪ አይደለም. መደበኛ ፒራሚድ (tetrahedron) መውሰድ አለብን, ከዚያም መሃከለኛውን (octahedron) ይቁረጡ, በዚህም ምክንያት አራት ትናንሽ ፒራሚዶች. በእያንዳንዳቸው አንድ አይነት ቀዶ ጥገና እናደርጋለን, ወዘተ. ይህ በተወሰነ ደረጃ የዋህ ግን ግልጽ ማብራሪያ ነው።

የአሠራሩን ይዘት የበለጠ በጥብቅ እንመርምር. አንዳንድ የ IFS ስርዓት ይኑር, ማለትም. መጭመቂያ ካርታ ስርዓት ኤስ=(S 1,...,S m) S i:R n ->R n (ለምሳሌ ለፒራሚዳችን የካርታ ስራዎቹ S i (x)=1/2*x+o i፣ የት እንዳሉ የ tetrahedron ጫፎች, i = 1, ..., 4). ከዚያም አንዳንድ የታመቀ ስብስብ A 1 በ R n ውስጥ እንመርጣለን (በእኛ ሁኔታ tetrahedron እንመርጣለን). እና የቅንጅቶችን ቅደም ተከተል በማስተዋወቅ A k፡A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k) እንገልፃለን። የሚፈለገውን የስርአቱን መስህብ በተሻለ እና በተሻለ መልኩ K በመጨመር A k እንደሚያዘጋጅ ይታወቃል ኤስ.

እያንዳንዳቸው እነዚህ ድግግሞሾች ማራኪ መሆናቸውን ልብ ይበሉ የተደጋገሙ ተግባራት ስርዓት(የእንግሊዝኛ ቃል ዲግራፍ IFS, RIFSእና እንዲሁም በግራፍ-የተመራ IFS) እና ስለዚህ ፕሮግራማችንን በመጠቀም ለመገንባት ቀላል ናቸው.

ነጥብ-በ-ነጥብ ወይም ሊሆን የሚችል ዘዴ

ይህ በኮምፒተር ላይ ለመተግበር በጣም ቀላሉ ዘዴ ነው. ለቀላልነት, ጠፍጣፋ የራስ-አፊን ስብስብ ሁኔታን እንመለከታለን. ስለዚህ (ኤስ

) - አንዳንድ የአፊን መኮማተር ስርዓት. ማሳያ ኤስ

እንደ፡ ኤስ

ቋሚ የማትሪክስ መጠን 2x2 እና o

ባለ ሁለት አቅጣጫዊ የቬክተር አምድ.

የመጀመሪያውን የካርታ S 1 ቋሚ ነጥብ እንደ መነሻ እንውሰድ፡-
x:= o1;
እዚህ ሁሉም ቋሚ የጨመቁ ነጥቦች S 1,...,S m የ fractal ናቸው የሚለውን እውነታ እንጠቀማለን. እንደ መነሻ ነጥብ የዘፈቀደ ነጥብ መምረጥ ይችላሉ እና በእሱ የሚመነጩት የነጥቦች ቅደም ተከተል ወደ ፍራክታል ይሳባል ፣ ግን ከዚያ ብዙ ተጨማሪ ነጥቦች በስክሪኑ ላይ ይታያሉ።
አሁን ያለውን ነጥብ x=(x 1፣x 2) በስክሪኑ ላይ ምልክት እናድርግ፡-
ፑፒክስል (x 1, x 2,15);
በዘፈቀደ ቁጥር j ከ 1 እስከ ሜትር እንመርጥ እና የነጥብ x መጋጠሚያዎችን እንደገና እናሰላል።
j:= በዘፈቀደ(m)+1;
x:=S j (x);
ወደ ደረጃ 2 እንሄዳለን, ወይም, በቂ መጠን ያለው ድግግሞሾችን ካደረግን, እናቆማለን.

ማስታወሻ.የካርታዎቹ S i የመጨመቂያ ሬሾዎች ከተለያዩ፣ ፍርፋሪው ባልተመጣጠነ ነጥቦች ይሞላል። የካርታ ስራዎች S i ተመሳሳይ ከሆኑ ስልተ ቀመሩን በትንሹ በማወሳሰብ ይህንን ማስወገድ ይቻላል። ይህንን ለማድረግ በአልጎሪዝም 3 ኛ ደረጃ ላይ j ከ 1 እስከ ሜትር ያለው ቁጥር ከፕሮባቢሊቲዎች ጋር መመረጥ አለበት p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, r i የካርታዎችን የመጨመቂያ ቅንጅቶችን የሚያመለክት ሲ, እና ቁጥር s (ተመሳሳይነት ልኬት ተብሎ የሚጠራው) ከቁጥር r 1 s +...+r m s =1 ይገኛል። የዚህ እኩልታ መፍትሄ ለምሳሌ በኒውተን ዘዴ ሊገኝ ይችላል.

ስለ fractals እና ስልተ ቀመሮቻቸው

ፍራክታል የመጣው ከላቲን “fractus” ከሚለው ቅጽል ሲሆን በትርጉም ትርጉሙ ቁርጥራጭን ያቀፈ ማለት ሲሆን ተጓዳኝ የላቲን ግሥ “ፍራንገር” ማለት መሰባበር ማለትም መደበኛ ያልሆኑ ቁርጥራጮች መፍጠር ማለት ነው። በ 70 ዎቹ መገባደጃ ላይ የታዩት የ fractal እና fractal ጂኦሜትሪ ፅንሰ-ሀሳቦች ከ 80 ዎቹ አጋማሽ ጀምሮ በሂሳብ ሊቃውንት እና ፕሮግራመሮች መካከል በጥብቅ ተመስርተዋል። ቃሉ በ1975 በቤኖይት ማንደልብሮት የፈጠረው እሱ ያሳሰበውን መደበኛ ያልሆኑ ግን ከራሱ ጋር ተመሳሳይ የሆኑ መዋቅሮችን ለማመልከት ነው። የፍራክታል ጂኦሜትሪ መወለድ አብዛኛውን ጊዜ የማንዴልብሮት መጽሃፍ "The Fractal Geometry of Nature" በ1977 ከመታተም ጋር የተያያዘ ነው። የእሱ ስራዎች በ 1875-1925 በተመሳሳይ መስክ (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) ውስጥ የሰሩት የሌሎች ሳይንቲስቶች ሳይንሳዊ ውጤቶችን ተጠቅመዋል.

ማስተካከያዎች

በመጽሐፉ ውስጥ በ H.-O በቀረቡት ስልተ ቀመሮች ላይ አንዳንድ ማስተካከያዎችን ላድርግ። ፒትገን እና ፒኤች ሪችተር “የፍራክታልስ ውበት” M. 1993 የሕመሞችን ስህተቶች ለማጥፋት እና ሂደቶቹን ለመረዳት ለማመቻቸት ብቻ ነው ምክንያቱም እነሱን ካጠናሁ በኋላ ለእኔ እንቆቅልሽ ሆኖ ቆይቷል። እንደ አለመታደል ሆኖ እነዚህ “ሊረዱ የሚችሉ” እና “ቀላል” ስልተ ቀመሮች የሚያናድድ የአኗኗር ዘይቤ ይመራሉ ።

የፍራክታሎች ግንባታ በተወሰነው ውስብስብ ሂደት ግብረመልስ z => z 2 +c ስለሆነ z እና c ውስብስብ ቁጥሮች ናቸው, ከዚያም z = x + iy, c = p + iq መበስበስ አስፈላጊ ነው. ወደ x እና y ወደ አውሮፕላን ለመግባት ለተራው ሰው የበለጠ እውነታ ያለው፡

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p፣
y(k+1)=2*x(k)*y(k) +q.

ሁሉንም ጥንዶች (x,y) ያካተተ አውሮፕላን እንደ ቋሚ ዋጋዎች ሊቆጠር ይችላል p እና q፣ እና ከተለዋዋጭ ጋር። በመጀመሪያው ሁኔታ የአውሮፕላኑን ሁሉንም ነጥቦች (x ፣ y) በሕጉ መሠረት በማለፍ እና ከድግግሞሹ ሂደት ለመውጣት አስፈላጊው ተግባር ድግግሞሽ ብዛት ላይ በመመርኮዝ እነሱን በማቅለም (ጥቁር ቀለም) ጊዜ። የሚፈቀደው ከፍተኛ ድግግሞሽ አልፏል ፣ የጁሊያ ስብስብ ማሳያ እናገኛለን። በተቃራኒው የመጀመሪያዎቹን ጥንድ እሴቶች (x,y) ከወሰንን እና ቀለሙን እጣ ፈንታ በተለዋዋጭ ተለዋዋጭ በሆኑ የ p እና q መለኪያዎች ከተመለከትን ፣ ማንደልብሮት ስብስቦች የተባሉ ምስሎችን እናገኛለን ።

Fractals ለማቅለም በአልጎሪዝም ጥያቄ ላይ።

ብዙውን ጊዜ የአንድ ስብስብ አካል እንደ ጥቁር መስክ ይወከላል, ምንም እንኳን ጥቁር ቀለም በሌላ በማንኛውም መተካት እንደሚቻል ግልጽ ቢሆንም ይህ ደግሞ ትንሽ አስደሳች ውጤት ነው. በሁሉም ቀለማት የስብስብ ምስል ማግኘት ሳይክሊሊክ ኦፕሬሽኖችን በመጠቀም ሊፈታ የማይችል ተግባር ነው። አካልን የሚፈጥሩ ስብስቦች ድግግሞሽ ብዛት ከሚፈቀደው ከፍተኛው ጋር እኩል ነው እና ሁልጊዜ ተመሳሳይ ነው። የ loop መውጫ ሁኔታን (z_magnitude) ወይም ከእሱ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ነገርን በመፈተሽ ውጤቱን በመጠቀም በተለያየ ቀለም መቀባት ይቻላል ፣ ግን ከሌሎች የሂሳብ ስራዎች ፣ እንደ ቀለም ቁጥር።

የ"fractal ማይክሮስኮፕ" አተገባበር

የድንበር ክስተቶችን ለማሳየት.

ማራኪዎች በአውሮፕላኑ ላይ የበላይ ለመሆን የሚደረገውን ትግል የሚመሩ ማዕከሎች ናቸው. የፍሎራይድ ንድፍን የሚወክል ወሰን በመሳቢዎቹ መካከል ይታያል። በስብስቡ ድንበሮች ውስጥ ያለውን ግምት መጠን በመጨመር አንድ ሰው የመወሰኛ ትርምስ ሁኔታን የሚያንፀባርቁ ቀላል ያልሆኑ ቅጦችን ማግኘት ይችላል - በተፈጥሮው ዓለም ውስጥ የተለመደ ክስተት።

በጂኦግራፊስቶች የተጠኑት ነገሮች በጣም ውስብስብ በሆነ ሁኔታ የተደራጁ ድንበሮች ያሉት ስርዓት ይመሰርታሉ, እና ስለዚህ መለያቸው ቀላል ተግባራዊ ስራ አይደለም. የተፈጥሮ ውስብስቦች በሚርቅበት ጊዜ በግዛቱ ላይ ያላቸውን ተጽእኖ የሚያጡ እንደ ማራኪዎች ሆነው የሚያገለግሉ የዓይነተኛነት ማዕከሎች አሏቸው።

ለማንዴልብሮት እና ጁሊያ ስብስቦች የ fractal ማይክሮስኮፕ በመጠቀም ፣ የአስተሳሰብ መጠኑ ምንም ይሁን ምን ፣ የድንበር ሂደቶችን እና ክስተቶችን ሀሳብ መፍጠር እና ስለሆነም የልዩ ባለሙያውን ግንዛቤ ከተለዋዋጭ እና ምስቅልቅል ከሚመስለው የተፈጥሮ ነገር ጋር መገናኘት ይችላል። በቦታ እና በጊዜ, የ fractal ጂኦሜትሪ ተፈጥሮን ለመረዳት. ባለብዙ ቀለም እና የፍራክታል ሙዚቃ በእርግጠኝነት በተማሪዎች አእምሮ ውስጥ ጥልቅ አሻራ ይተዋል.

በሺዎች የሚቆጠሩ ህትመቶች እና ሰፊ የበይነመረብ ሀብቶች ለ fractals ያደሩ ናቸው ፣ ግን ከኮምፒዩተር ሳይንስ ርቀው ለብዙ ስፔሻሊስቶች ይህ ቃል ሙሉ በሙሉ አዲስ ይመስላል። Fractals, በተለያዩ የእውቀት ዘርፎች ውስጥ ስፔሻሊስቶች ፍላጎት እንደ ነገሮች, በኮምፒውተር ሳይንስ ኮርሶች ውስጥ ተገቢውን ቦታ ማግኘት አለባቸው.

ምሳሌዎች

ሲኢፒንስኪ ግሪድ

ይህ ማንዴልብሮት የ fractal dimensions እና ድግግሞሾችን ፅንሰ-ሀሳቦችን ሲያዳብር ከሞከረው ፍራክታሎች አንዱ ነው። የአንድ ትልቅ ትሪያንግል መካከለኛ ነጥቦችን በማገናኘት የተሰሩ ሶስት ማዕዘኖች ከዋናው ትሪያንግል የተቆረጡ ሲሆን ብዙ ቀዳዳዎች ያሉት ሶስት ማዕዘን ይመሰርታሉ። በዚህ ሁኔታ አስጀማሪው ትልቅ ትሪያንግል ሲሆን አብነት ደግሞ ከትልቁ ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ሶስት ማዕዘኖችን የመቁረጥ ተግባር ነው። እንዲሁም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ የሶስት ጎንዮሽ ስሪት ተራ ቴትራሄድሮን በመጠቀም እና ትናንሽ ቴትራሄድሮን በመቁረጥ ማግኘት ይችላሉ። የእንደዚህ አይነት fractal ልኬት ln3 / ln2 = 1.584962501 ነው.

ለማግኘት Sierpinski ምንጣፍ, አንድ ካሬ ወስደህ ወደ ዘጠኝ ካሬዎች ከፋፍለው እና መካከለኛውን ቆርጠህ አውጣ. ከቀሪው ጋር ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን, ትናንሽ ካሬዎች. በመጨረሻም ጠፍጣፋ የፍራክታል ፍርግርግ ይፈጠራል፣ ምንም አካባቢ የለውም ግን ማለቂያ ከሌላቸው ግንኙነቶች። በቦታ አቀማመጥ, የሲየርፒንስኪ ስፖንጅ ከጫፍ-እስከ-መጨረሻ ቅርጾች ስርዓት ይለወጣል, ይህም እያንዳንዱ ከጫፍ እስከ ጫፍ ያለው አካል በየጊዜው በእራሱ ዓይነት ይተካል. ይህ መዋቅር ከአጥንት ሕብረ ሕዋስ ክፍል ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው. አንድ ቀን እንደዚህ ያሉ ተደጋጋሚ መዋቅሮች የግንባታ መዋቅሮች አካል ይሆናሉ። የእነሱ ስታቲስቲክስ እና ተለዋዋጭ እንቅስቃሴ, ማንደልብሮት ያምናል, የቅርብ ጥናት ይገባቸዋል.

KOCH ከርቭ

የ Koch ጥምዝ በጣም ከተለመዱት የመወሰኛ ፈረሶች አንዱ ነው። በ 19 ኛው ክፍለ ዘመን የፈለሰፈው በጀርመናዊው የሒሳብ ሊቅ ሄልጌ ቮን ኮክ ሲሆን የጆርጅ ኮንቶር እና ካርል ዌየርስትራሴን ሥራ ሲያጠና ያልተለመደ ባህሪ ያላቸውን አንዳንድ እንግዳ ኩርባዎች ገለጻ አጋጥሞታል። አስጀማሪው ቀጥተኛ መስመር ነው። ጄነሬተር እኩል የሆነ ትሪያንግል ነው, ጎኖቹ ከትልቅ ክፍል ርዝመት አንድ ሶስተኛ ጋር እኩል ናቸው. እነዚህ ትሪያንግሎች በእያንዳንዱ ክፍል መሃል ላይ በተደጋጋሚ ይታከላሉ. ማንደልብሮት በምርምርው በኮክ ኩርባዎች ላይ ብዙ ሞክሯል እና እንደ ኮች ደሴቶች ፣ኮክ መስቀልስ ፣ኮክ ስኖውፍሌክስ እና የሶስት አቅጣጫዊ የ Koch ጥምዝ ምስሎችን ቴትራሄድሮን በመጠቀም በእያንዳንዱ ፊት ላይ ትናንሽ ቴትራህድሮን ጨምሯል። የ Koch ኩርባ ልኬት ln4/ln3 = 1.261859507 አለው።

ማንደልብሮት ፍራክታል

ይህ የማንዴልብሮት ስብስብ አይደለም፣ ብዙ ጊዜ የሚያዩት። የማንደልብሮት ስብስብ በመስመር ላይ ባልሆኑ እኩልታዎች ላይ የተመሰረተ እና ውስብስብ የሆነ ክፍልፋይ ነው። ምንም እንኳን ይህ ነገር ከእሱ ጋር ተመሳሳይ ባይሆንም ይህ የ Koch ጥምዝ ልዩነት ነው. አስጀማሪው እና ጀነሬተር በ Koch ከርቭ መርህ ላይ በመመስረት ፍራክታሎችን ለመፍጠር ከሚጠቀሙት የተለዩ ናቸው ፣ ግን ሀሳቡ ተመሳሳይ ነው። እኩልዮሽ ትሪያንግሎችን ወደ ጥምዝ ክፍል ከመቀላቀል ይልቅ ካሬዎች ከካሬ ጋር ይጣመራሉ። ይህ ክፍልፋይ በእያንዳንዱ ድግግሞሹ ውስጥ ከተመደበው ቦታ ግማሹን በትክክል ስለሚይዝ ቀላል የ fractal ልኬት 3/2 = 1.5 ነው።

DARER ፔንታጎን

ፍራክታል በአንድ ላይ የተጨመቁ የፔንታጎኖች ስብስብ ይመስላል። እንደ እውነቱ ከሆነ ግን ፒንታጎን እንደ አስጀማሪ እና ኢሶሴልስ ትሪያንግሎች በመጠቀም የተቋቋመ ሲሆን ይህም ትልቁ ጎን ከትንሹ ጎን ያለው ሬሾ ወርቃማ ሬሾ ተብሎ ከሚጠራው (1.618033989 ወይም 1/(2cos72)) እንደ ጄኔሬተር በትክክል እኩል ነው። . እነዚህ ትሪያንግሎች ከእያንዳንዱ የፔንታጎን መሃከል የተቆረጡ ናቸው, በዚህም ምክንያት 5 ትናንሽ ፔንታጎኖች በአንድ ትልቅ ላይ ተጣብቀው የሚመስሉ ቅርጾች.

የዚህ ክፍልፋይ ልዩነት ባለ ስድስት ጎን እንደ አስጀማሪ በመጠቀም ሊገኝ ይችላል። ይህ ፍራክታል የዳዊት ኮከብ ተብሎ ይጠራል እና ከኮክ የበረዶ ቅንጣት ባለ ስድስት ጎን ስሪት ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው። የዳሪር ፔንታጎን ክፍልፋይ ልኬት ln6/ln(1+g) ሲሆን g የትልቁ የሶስት ማዕዘን ጎን ርዝመት ከትንሹ ርዝመት ጋር ያለው ሬሾ ነው። በዚህ ሁኔታ, g ወርቃማው ሬሾ ነው, ስለዚህ የ fractal ልኬት በግምት 1.86171596 ነው. የዳዊት ኮከብ ln6/ln3 ወይም 1.630929754 ክፍልፋይ ልኬት።

ውስብስብ fractals

በእውነቱ ፣ ማንኛውንም የተወሳሰበ ክፍልፋዮችን ትንሽ ቦታ ካጉሉ እና ከዚያ ትንሽ አካባቢ ጋር ተመሳሳይ ካደረጉ ፣ ሁለቱ ማጉሊያዎች አንዳቸው ከሌላው በእጅጉ ይለያያሉ። ሁለቱ ምስሎች በዝርዝር በጣም ተመሳሳይ ይሆናሉ, ግን ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይነት አይኖራቸውም.

ምስል 1. Mandelbrot ስብስብ approximation

እዚህ ላይ የሚታየውን የማንዴልብሮት ስብስብ ሥዕሎችን ያወዳድሩ፣ አንደኛው የሌላውን የተወሰነ ቦታ በማስፋት ነው። እንደሚመለከቱት ፣ እነሱ በፍፁም ተመሳሳይ አይደሉም ፣ ምንም እንኳን በሁለቱም ላይ ጥቁር ክብ እናያለን ፣ ከነሱ የሚቃጠሉ ድንኳኖች በተለያዩ አቅጣጫዎች ይራዘማሉ። እነዚህ ንጥረ ነገሮች በማንዴልብሮት ስብስብ ውስጥ ላልተወሰነ ጊዜ ይደጋገማሉ።

መወሰኛ መገለጫዎች መስመሮች ናቸው, የተወሳሰቡ ስብራት ግን አይደሉም. መስመር አልባ በመሆናቸው፣ እነዚህ ፍራክታሎች የሚመነጩት ማንደልብሮት በመስመር ላይ ያልሆኑ አልጀብራ እኩልታዎች በሚሉት ነው። ጥሩ ምሳሌ የ Zn+1=ZnI + C ሂደት ነው፣ እሱም የማንዴልብሮት እና የጁሊያ የሁለተኛ ዲግሪ ስብስብን ለመገንባት የሚያገለግል ስሌት ነው። እነዚህን የሂሳብ እኩልታዎች መፍታት ውስብስብ እና ምናባዊ ቁጥሮችን ያካትታል. ውስብስብ በሆነው አውሮፕላኑ ውስጥ እኩልታው በግራፊክ ሲተረጎም ውጤቱ ምንም እንኳን ቅርጻ ቅርጾች ባይኖሩም በተለያዩ የልኬት ደረጃዎች ቀጥ ያሉ መስመሮች ወደ ኩርባዎች እና የራስ መመሳሰል ውጤቶች የሚታዩበት እንግዳ ምስል ነው። በተመሳሳይ ጊዜ, ሙሉው ምስል በአጠቃላይ የማይታወቅ እና በጣም የተመሰቃቀለ ነው.

ስዕሎቹን በመመልከት እንደሚታየው ውስብስብ ፍራክታሎች በጣም ውስብስብ ናቸው እና ያለ ኮምፒዩተር እርዳታ ሊፈጠሩ አይችሉም. በቀለማት ያሸበረቀ ውጤት ለማግኘት ይህ ኮምፒዩተር ኃይለኛ የሂሳብ ኮፕሮሰሰር እና ከፍተኛ ጥራት ያለው ማሳያ ሊኖረው ይገባል። እንደ deterministic fractals ሳይሆን፣ ውስብስብ ፍርስራሾች በ5-10 ድግግሞሽ አይሰሉም። በኮምፒዩተር ስክሪን ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ ማለት ይቻላል እንደ የተለየ ፍራክታል ነው። በሂሳብ ሂደት ውስጥ, እያንዳንዱ ነጥብ እንደ የተለየ ስዕል ይወሰዳል. እያንዳንዱ ነጥብ ከአንድ የተወሰነ እሴት ጋር ይዛመዳል. እኩልታው በእያንዳንዱ ነጥብ ውስጥ የተገነባ ሲሆን ለምሳሌ 1000 ድግግሞሽ ይከናወናል. ለቤት ኮምፒውተሮች ተቀባይነት ባለው የጊዜ ገደብ ውስጥ በአንጻራዊነት ያልተዛባ ምስል ለማግኘት ለአንድ ነጥብ 250 ድግግሞሾችን ማካሄድ ይቻላል.

ዛሬ የምናያቸው አብዛኞቹ ፍራክታሎች በሚያምር መልኩ ያሸበረቁ ናቸው። ምናልባትም የ fractal ምስሎች በቀለም እቅዶቻቸው ምክንያት በትክክል እንደዚህ አይነት ውበት ያለው ጠቀሜታ ያገኛሉ። ስሌቱ ከተሰላ በኋላ ኮምፒዩተሩ ውጤቱን ይመረምራል. ውጤቶቹ ከተረጋጉ ወይም በተወሰነ እሴት ዙሪያ ከተለዋወጡ ነጥቡ ብዙውን ጊዜ ወደ ጥቁር ይለወጣል። በአንድ ወይም በሌላ ደረጃ ላይ ያለው ዋጋ ወደ ማለቂያነት የሚመራ ከሆነ, ነጥቡ በተለያየ ቀለም, ምናልባትም ሰማያዊ ወይም ቀይ. በዚህ ሂደት ውስጥ ኮምፒዩተሩ ለሁሉም የእንቅስቃሴ ፍጥነት ቀለሞችን ይመድባል.

በተለምዶ, በፍጥነት የሚንቀሳቀሱ ነጠብጣቦች ቀይ ቀለም አላቸው, ቀርፋፋዎቹ ደግሞ ቢጫ ቀለም አላቸው, ወዘተ. ጥቁር ነጠብጣቦች ምናልባት በጣም የተረጋጉ ናቸው.

ውስብስብ fractals ገደብ የለሽ ውስብስብ ናቸው በሚል ስሜት ከወሳኝ ፍርስራሾች ይለያያሉ፣ ነገር ግን አሁንም በጣም ቀላል በሆነ ቀመር ሊፈጠሩ ይችላሉ። ቆራጥ ፍርስራሾች ቀመሮችን ወይም እኩልታዎችን አያስፈልጋቸውም። አንዳንድ የስዕል ወረቀት ብቻ ይውሰዱ እና ያለምንም ችግር እስከ 3 ወይም 4 ድግግሞሽ የሲየርፒንስኪ ወንፊት መገንባት ይችላሉ። ይህንን ከብዙ ጁሊያ ጋር ይሞክሩት! የእንግሊዝን የባህር ዳርቻ ርዝመት ለመለካት መሄድ ቀላል ነው!

ማንደልብሮት አዘጋጅ

ምስል 2. ማንደልብሮት ስብስብ

ማንዴልብሮት እና ጁሊያ ስብስቦች ምናልባት ከተወሳሰቡ ፍራክታሎች መካከል ሁለቱ በጣም የተለመዱ ናቸው። በብዙ ሳይንሳዊ መጽሔቶች፣ የመጽሐፍ ሽፋኖች፣ ፖስታ ካርዶች እና የኮምፒውተር ስክሪን ቆጣቢዎች ውስጥ ይገኛሉ። በቤኖይት ማንደልብሮት የተገነባው የማንደልብሮት ስብስብ ምናልባት ሰዎች ፍራክታል የሚለውን ቃል ሲሰሙ የሚያገኙት የመጀመሪያው ማህበር ነው። ይህ ፍራክታል፣ ከካርዲንግ ማሽን ጋር የሚመሳሰል የዛፍ መሰል እና ክብ ቅርጽ ያላቸው ቦታዎች ጋር ተያይዘው የተፈጠረ ሲሆን በቀላል ቀመር Zn+1=Zna+C የመነጨ ሲሆን ዜድ እና ሲ ውስብስብ ቁጥሮች ሲሆኑ ሀ ደግሞ አዎንታዊ ቁጥር ነው።

ብዙውን ጊዜ ሊታይ የሚችለው የማንደልብሮት ስብስብ የ 2 ኛ ዲግሪ የማንደልብሮት ስብስብ ነው ፣ ማለትም ፣ a = 2። የማንደልብሮት ስብስብ Zn+1=ZnІ+C ብቻ ሳይሆን ፍራክታል፣በቀመር ውስጥ ያለው አመልካች ማንኛውም አዎንታዊ ቁጥር ሊሆን የሚችል መሆኑ ብዙዎችን አሳስቶታል። በዚህ ገጽ ላይ የማንዴልብሮት አርቢ ለተለያዩ እሴቶች የተዘጋጀ ምሳሌ ያያሉ።
ምስል 3. የአረፋዎች ገጽታ በ a=3.5

ሂደቱ Z=Z*tg(Z+C) ተወዳጅ ነው። የታንጀንት ተግባርን በማካተት ውጤቱ የማንደልብሮት ስብስብ ፖም በሚመስል አካባቢ የተከበበ ነው። የኮሳይን ተግባር በሚጠቀሙበት ጊዜ የአየር አረፋ ውጤቶች ይገኛሉ. በአጭር አነጋገር፣ የተለያዩ የሚያምሩ ሥዕሎችን ለማምረት የማንደልብሮት ስብስብን ለማዋቀር ብዙ መንገዶች አሉ።

ብዙ ጁሊያ

በሚገርም ሁኔታ የጁሊያ ስብስቦች እንደ ማንደልብሮት ስብስብ ተመሳሳይ ቀመር በመጠቀም ይመሰረታሉ. የጁሊያ ስብስብ የተፈጠረው በፈረንሳዊው የሒሳብ ሊቅ ጋስተን ጁሊያ ሲሆን ስሙም ተሰይሟል። ከማንዴልብሮት እና ጁሊያ ስብስቦች ጋር ምስላዊ ትውውቅ ካደረጉ በኋላ የሚነሳው የመጀመሪያው ጥያቄ “ሁለቱም ፍራክሎች የሚፈጠሩት በአንድ ዓይነት ቀመር ከሆነ ለምንድነው የሚለያዩት?” የሚለው ነው። በመጀመሪያ የጁሊያ ስብስብ ምስሎችን ይመልከቱ. በሚያስገርም ሁኔታ የተለያዩ የጁሊያ ስብስቦች አሉ. የተለያዩ የመነሻ ነጥቦችን በመጠቀም (የድግግሞሹን ሂደት ለመጀመር) ፍራክታል ሲሳሉ የተለያዩ ምስሎች ይፈጠራሉ። ይህ በጁሊያ ስብስብ ላይ ብቻ ነው የሚሰራው.

ምስል 4. የጁሊያ ስብስብ

ምንም እንኳን በሥዕሉ ላይ ሊታይ ባይችልም የማንዴልብሮት ፍራክታል በእርግጥ ብዙ የጁሊያ ፍርስራሾች አንድ ላይ የተገናኙ ናቸው። የማንደልብሮት ስብስብ እያንዳንዱ ነጥብ (ወይም መጋጠሚያ) ከጁሊያ ፍራክታል ጋር ይዛመዳል። የጁሊያ ስብስቦች እነዚህን ነጥቦች እንደ የመጀመሪያ እሴቶች በቀመር Z=ZI+C ሊፈጠሩ ይችላሉ። ነገር ግን ይህ ማለት በማንዴልብሮት ፍራክታል ላይ አንድ ነጥብ ከመረጡ እና ቢያሰፋው የጁሊያ ፍራክታል ማግኘት ይችላሉ ማለት አይደለም። እነዚህ ሁለት ነጥቦች አንድ ናቸው፣ ግን በሂሳብ አገባብ ብቻ። ይህንን ነጥብ ከወሰዱ እና ይህን ቀመር በመጠቀም ካሰሉት፣ ከማንዴልብሮት ፍራክታል የተወሰነ ነጥብ ጋር የሚዛመድ የጁሊያ ፍራክታል ማግኘት ይችላሉ።

በሳይንስ ውስጥ በጣም የረቀቁ ግኝቶች የሰውን ሕይወት በእጅጉ ሊለውጡ ይችላሉ። የፈለሰፈው ክትባት በሚሊዮን የሚቆጠሩ ሰዎችን ማዳን ይችላል፡ የጦር መሳሪያዎች መፈጠር በተቃራኒው እነዚህን ህይወት ያጠፋል. በቅርቡ (በሰው ልጅ የዝግመተ ለውጥ ሚዛን) ኤሌክትሪክን “መግራት” ተምረናል - እና አሁን ኤሌክትሪክ የሚጠቀሙት እነዚህ ሁሉ ምቹ መሣሪያዎች ከሌሉ ሕይወትን መገመት አንችልም። ነገር ግን በህይወታችን ላይ ከፍተኛ ተጽዕኖ ቢያደርጉም ጥቂት ሰዎች ትኩረት የሚሰጡዋቸው ግኝቶችም አሉ።

ከእነዚህ "የማይታዩ" ግኝቶች አንዱ ፍራክታሎች ናቸው. ይህን ማራኪ ቃል ከዚህ ቀደም ሰምተውት ይሆናል፣ ግን ምን ማለት እንደሆነ እና በዚህ ቃል ውስጥ ምን ያህል አስደሳች መረጃ እንደተደበቀ ታውቃለህ?

እያንዳንዱ ሰው በተፈጥሮ የማወቅ ጉጉት, በዙሪያው ያለውን ዓለም የመረዳት ፍላጎት አለው. እናም በዚህ ጥረት ውስጥ, አንድ ሰው በፍርዶች ውስጥ ሎጂክን ለማክበር ይሞክራል. በዙሪያው ያሉትን ሂደቶች በመተንተን, ምን እየተከሰተ ያለውን ሎጂክ ለማግኘት እና አንዳንድ ንድፍ ለማውጣት ይሞክራል. በፕላኔ ላይ ያሉ ታላላቅ አእምሮዎች በዚህ ተግባር የተጠመዱ ናቸው። በግምት፣ ሳይንቲስቶች አንድ መሆን የሌለበት ንድፍ እየፈለጉ ነው። ቢሆንም፣ በግርግርም ቢሆን በክስተቶች መካከል ግንኙነቶችን ማግኘት ይቻላል። እና ይህ ግንኙነት ክፍልፋይ ነው።

የአራት ዓመት ተኩል ልጅ የሆነችው ታናሽ ሴት ልጃችን “ለምን?” የሚሉ ጥያቄዎች በሚበዙበት በዚህ አስደናቂ ዕድሜ ላይ ትገኛለች። ብዙ ጊዜ አዋቂዎች ከሚሰጡት መልሶች ብዛት ይበልጣል። ብዙም ሳይቆይ፣ ከመሬት ተነስቶ የወጣውን ቅርንጫፍ ስትመረምር፣ ልጄ በድንገት ይህ ቅርንጫፍ፣ ቀንበጦቹና ቅርንጫፎቹ ያሉት፣ ራሱ ዛፍ እንደሚመስል አየች። እና በእርግጥ, የሚከተለው የተለመደው ጥያቄ "ለምን?", ይህም ወላጆች ህጻኑ ሊረዳው የሚችል ቀላል ማብራሪያ መፈለግ ነበረባቸው.

በልጅ የተገኘ አንድ ሙሉ ዛፍ ያለው ነጠላ ቅርንጫፍ ተመሳሳይነት በጣም ትክክለኛ ምልከታ ነው, ይህም በተፈጥሮ ውስጥ በተደጋጋሚ ራስን መመሳሰልን እንደገና ይመሰክራል. በተፈጥሮ ውስጥ ብዙ ኦርጋኒክ እና ኦርጋኒክ ቅርፆች በተመሳሳይ መንገድ ተፈጥረዋል. ደመና, የባህር ዛጎሎች, የቀንድ አውጣዎች "ቤት", የዛፎች ቅርፊት እና አክሊል, የደም ዝውውር ስርዓት እና የመሳሰሉት - የእነዚህ ሁሉ ነገሮች የዘፈቀደ ቅርጾች በ fractal ስልተ ቀመር ሊገለጹ ይችላሉ.

⇡ ቤኖይት ማንደልብሮት፡ የፍራክታል ጂኦሜትሪ አባት

"fractal" የሚለው ቃል እራሱ ለታላቅ ሳይንቲስት ቤኖይት ቢ.ማንደልብሮት ምስጋና ቀረበ።

እሱ ራሱ ቃሉን የፈጠረው በ1970ዎቹ ሲሆን ፍራክተስ የሚለውን ቃል ከላቲን በመዋስ፣ ፍችውም ትርጉሙ “የተሰበረ” ወይም “የተፈጨ” ማለት ነው። ምንድነው ይሄ? ዛሬ, "fractal" የሚለው ቃል ብዙውን ጊዜ በትልቁ መጠን, ከራሱ ጋር ተመሳሳይነት ያለው የአንድ መዋቅር ስዕላዊ መግለጫ ነው.

የፍራክታሎች ጽንሰ-ሀሳብ ብቅ እንዲል የሂሳብ መሠረት ቤኖይት ማንደልብሮት ከመወለዱ ከብዙ ዓመታት በፊት ነበር ፣ ግን ሊዳብር የሚችለው የኮምፒዩተር መሣሪያዎች ሲመጡ ብቻ ነው። በሳይንሳዊ ስራው መጀመሪያ ላይ ቤኖይት በ IBM የምርምር ማዕከል ውስጥ ሰርቷል. በዚያን ጊዜ የማዕከሉ ሠራተኞች በርቀት መረጃን በማስተላለፍ ላይ ይሠሩ ነበር። በጥናቱ ወቅት ሳይንቲስቶች በድምፅ ጣልቃገብነት ከፍተኛ ኪሳራ ያጋጥሟቸዋል. ቤኖይት አስቸጋሪ እና በጣም አስፈላጊ የሆነ ተግባር አጋጥሞታል - የስታቲስቲክስ ዘዴው ውጤታማ በማይሆንበት ጊዜ በኤሌክትሮኒክስ ወረዳዎች ውስጥ የድምፅ ጣልቃገብነት መከሰት እንዴት እንደሚተነብይ ለመረዳት።

ማንዴልብሮት የጩኸት መለኪያዎችን ውጤቶች በመመልከት አንድ እንግዳ ንድፍ አስተዋለ - በተለያየ ሚዛን ላይ ያሉት የድምፅ ግራፎች ተመሳሳይ ይመስላሉ ። ለአንድ ቀን፣ ለአንድ ሳምንት ወይም ለአንድ ሰዓት የድምፅ ግራፍ ምንም ይሁን ምን ተመሳሳይ ንድፍ ታይቷል። የግራፉን መለኪያ መቀየር አስፈላጊ ነበር, እና ስዕሉ በእያንዳንዱ ጊዜ ይደገማል.

ቤኖይት ማንደልብሮት በህይወት በነበረበት ጊዜ ቀመሮችን አላጠናም ፣ ግን በቀላሉ በስዕሎች ተጫውቷል በማለት ደጋግሞ ተናግሯል። ይህ ሰው በጣም ምሳሌያዊ በሆነ መንገድ አሰበ እና ማንኛውንም የአልጀብራ ችግር ወደ ጂኦሜትሪ መስክ ተርጉሟል ፣ እሱ እንደሚለው ፣ ትክክለኛው መልስ ሁል ጊዜ ግልፅ ነው።

የፍራክታል ጂኦሜትሪ አባት የሆነው እንዲህ ያለ የበለፀገ የቦታ ምናብ ያለው ሰው መሆኑ ምንም አያስደንቅም። ደግሞም ፣ የ fractals ምንነት ግንዛቤ የሚመጣው ሥዕሎቹን ማጥናት ሲጀምሩ እና ስለ እንግዳ ሽክርክሪት ቅጦች ትርጉም ሲያስቡ ነው።

የ fractal ጥለት አንድ አይነት አካላት የሉትም፣ ግን በማንኛውም ሚዛን ተመሳሳይ ነው። እንዲህ ዓይነቱን ምስል በከፍተኛ ደረጃ በእጅ መገንባት ከዚህ ቀደም በቀላሉ የማይቻል ነበር ፣ ይህ ከፍተኛ መጠን ያለው ስሌቶችን ይፈልጋል። ለምሳሌ ፈረንሳዊው የሂሳብ ሊቅ ፒየር ጆሴፍ ሉዊስ ፋቱ ከቤኖይት ማንደልብሮት ግኝት ከሰባ ዓመታት በፊት ገልጾታል። ስለ ራስን መመሳሰል መርሆዎች ከተነጋገርን, በሊብኒዝ እና በጆርጅ ካንቶር ስራዎች ውስጥ ተጠቅሰዋል.

ከመጀመሪያዎቹ የ fractal ሥዕሎች አንዱ በጋስተን ሞሪስ ጁሊያ ምርምር ምክንያት የተወለደው የማንዴልብሮት ስብስብ ስዕላዊ ትርጓሜ ነው።

ጋስተን ጁሊያ (ሁልጊዜ ጭምብል ለብሳ - በአንደኛው የዓለም ጦርነት የደረሰባት ጉዳት)

ይህ ፈረንሳዊ የሂሳብ ሊቅ ስብስብ በግብረመልስ ምልልስ ከተደጋገመ ቀላል ቀመር ቢገነባ ምን እንደሚመስል አስቧል። "በጣቶቻችን ላይ" ካብራራነው, ይህ ማለት ለተወሰነ ቁጥር ቀመሩን በመጠቀም አዲስ እሴት እናገኛለን, ከዚያ በኋላ እንደገና ወደ ቀመር እንተካው እና ሌላ እሴት እናገኛለን. ውጤቱም ትልቅ የቁጥሮች ቅደም ተከተል ነው.

የእንደዚህ ዓይነቱን ስብስብ ሙሉ ምስል ለማግኘት እጅግ በጣም ብዙ ስሌቶችን - በመቶዎች, ሺዎች, ሚሊዮኖች ማድረግ ያስፈልግዎታል. ይህንን በእጅ ማድረግ በቀላሉ የማይቻል ነበር. ነገር ግን ኃይለኛ የኮምፒውተር መሣሪያዎች ለሂሳብ ሊቃውንት ሲቀርቡ፣ ለረጅም ጊዜ የሚስቡትን ቀመሮችን እና አባባሎችን በአዲስ መልክ መመልከት ችለዋል። ማንዴልብሮት ክላሲካል ፍራክታል ለማስላት ኮምፒውተርን የተጠቀመ የመጀመሪያው ሰው ነው። ብዙ እሴቶችን ያካተተ ቅደም ተከተል ካስኬደ በኋላ ቤኖይት ውጤቶቹን በግራፍ ላይ አወጣ። እሱ ያገኘው ነው።

በመቀጠል, ይህ ምስል ቀለም ያለው ነበር (ለምሳሌ, አንዱ የማቅለሚያ ዘዴዎች በድግግሞሽ ብዛት ነው) እና በሰው ልጅ ከተፈጠሩት በጣም ተወዳጅ ምስሎች አንዱ ሆኗል.

በኤፌሶን ሄራክሊተስ የተነገረው የጥንት አባባል “ወደ አንድ ወንዝ ሁለት ጊዜ መግባት አትችልም” ይላል። የ fractals ጂኦሜትሪ ለመተርጎም ፍጹም ተስማሚ ነው. የ fractal ምስል የቱንም ያህል በዝርዝር ብንመለከት ሁልጊዜ ተመሳሳይ ንድፍ እናያለን።

የማንደልብሮት ቦታ ምስል ብዙ ጊዜ ሲያጎላ ምን እንደሚመስል ለማየት የሚፈልጉ አኒሜሽን GIF ን በማውረድ ሊያደርጉ ይችላሉ።

⇡ ሎረን አናጺ፡ በተፈጥሮ የተፈጠረ ጥበብ

የፍራክታሎች ጽንሰ-ሀሳብ ብዙም ሳይቆይ ተግባራዊ ተግባራዊነትን አገኘ። ከራስ ጋር ተመሳሳይ የሆኑ ምስሎችን ከማየት ጋር በቅርበት የተዛመደ በመሆኑ ያልተለመዱ ቅርጾችን ለመገንባት ስልተ ቀመሮችን እና መርሆዎችን ለመጀመሪያ ጊዜ የወሰዱት አርቲስቶች መሆናቸው አያስገርምም.

የታዋቂው የፒክሳር ስቱዲዮ መስራች ሎረን ሲ አናጺ በ1967 በቦይንግ ኮምፒዩተር ሰርቪስ ውስጥ መሥራት የጀመረው ከታዋቂው ኮርፖሬሽን አዲስ አውሮፕላኖችን በማዘጋጀት ላይ ካሉት ክፍሎች አንዱ ነው።

በ 1977, በፕሮቶታይፕ የበረራ ሞዴሎች አቀራረቦችን ፈጠረ. የሎረን ኃላፊነቶች አውሮፕላኑን የተነደፉ ምስሎችን ማዘጋጀት ያካትታል. የወደፊቱን አውሮፕላኖች ከተለያዩ አቅጣጫዎች በማሳየት የአዳዲስ ሞዴሎችን ስዕሎች መፍጠር ነበረበት. በአንድ ወቅት ፣ የወደፊቱ የፒክሳር አኒሜሽን ስቱዲዮ መስራች የተራሮችን ምስል እንደ ዳራ የመጠቀም የፈጠራ ሀሳብ አቀረበ። ዛሬ ማንኛውም የትምህርት ቤት ልጅ እንዲህ ዓይነቱን ችግር መፍታት ይችላል, ነገር ግን ባለፈው ክፍለ ዘመን በሰባዎቹ መጨረሻ ላይ ኮምፒውተሮች እንደዚህ ያሉ ውስብስብ ስሌቶችን መቋቋም አልቻሉም - ለ 3-ል ግራፊክስ አፕሊኬሽኖች ሳይጠቅሱ ምንም ግራፊክ አርታኢዎች አልነበሩም. እ.ኤ.አ. በ 1978 ሎረን የቤኖይት ማንደልብሮትን Fractals: Form, Chance and Dimension መጽሐፍ በአጋጣሚ በመደብር ውስጥ አይታለች. በዚህ መጽሐፍ ውስጥ ትኩረቱን የሳበው ቤኖይት በእውነተኛ ህይወት ውስጥ ብዙ የ fractal ቅርጾችን ምሳሌዎችን መስጠቱ እና በሂሳብ አገላለጽ ሊገለጽ እንደሚችል መሟገቱ ነው።

ይህ ተመሳሳይነት በሂሳብ ሊቅ በአጋጣሚ አልተመረጠም። እውነታው ግን ጥናቱን እንዳሳተመ ብዙ ትችቶችን መጋፈጥ ነበረበት። ባልደረቦቹ የነቀፉበት ዋናው ነገር እየተገነባ ያለው ቲዎሪ ከንቱነት ነው። “አዎ፣ እነዚህ የሚያምሩ ሥዕሎች ናቸው፣ ግን ምንም ተጨማሪ አይደሉም። የፍራክታል ጽንሰ-ሀሳብ ምንም ተግባራዊ ዋጋ የለውም። በሰባዎቹ መገባደጃ ላይ ለብዙዎች በጣም የተወሳሰበ እና ሙሉ በሙሉ እምነት ሊጣልበት የማይችል ነገር መስሎ የሚመስለው የ fractal ቅጦች በቀላሉ የ‹ዲያቢሎስ ማሽኖች› ሥራ ውጤት ነው ብለው የሚያምኑም ነበሩ። ማንደልብሮት ለፍራክታል ቲዎሪ ግልጽ የሆኑ አፕሊኬሽኖችን ለማግኘት ሞክሯል፣ ነገር ግን በታላቁ የነገሮች እቅድ ውስጥ እሱ አያስፈልገውም። በሚቀጥሉት 25 ዓመታት ውስጥ የቤኖይት ማንደልብሮት ተከታዮች የእንደዚህ አይነት "የሂሳብ ጉጉት" ትልቅ ጥቅም አረጋግጠዋል እና ሎረን አናጺ በተግባር የ fractal ዘዴን ለመሞከር ከመጀመሪያዎቹ አንዱ ነበረች.

መጽሐፉን ካጠና በኋላ የወደፊቱ አኒሜተር የ fractal ጂኦሜትሪ መርሆዎችን በቁም ነገር ያጠናል እና በኮምፒተር ግራፊክስ ውስጥ ተግባራዊ ለማድረግ መንገድ መፈለግ ጀመረ። በሶስት ቀናት የስራ ጊዜ ውስጥ ሎረን በኮምፒዩተሯ ላይ የተራራውን ስርዓት ተጨባጭ ምስል ማሳየት ችሏል። በሌላ አነጋገር፣ ሙሉ በሙሉ የሚታወቅ የተራራ ገጽታን ለመሳል ቀመሮችን ተጠቀመ።

ሎረን ግቧን ለማሳካት የተጠቀመችበት መርህ በጣም ቀላል ነበር። አንድ ትልቅ የጂኦሜትሪክ ምስል ወደ ትናንሽ አካላት መከፋፈልን ያቀፈ ነው, እና እነዚህ, በተራው, በትንሽ መጠን ተመሳሳይ ምስሎች ተከፍለዋል.

አናጺ ትላልቅ ትሪያንግሎችን በመጠቀም በአራት ትንንሾቹ ከፍሎ ከኋላ ይህን ሂደት ደጋግሞ ደጋግሞ ደጋግሞ ደጋግሞ ደጋግሞ ደጋግሞ ደጋግሞ ገልጿል። ስለዚህም በኮምፒዩተር ግራፊክስ ውስጥ ምስሎችን ለመስራት ፍራክታል አልጎሪዝምን የተጠቀመ የመጀመሪያው አርቲስት ለመሆን ችሏል። የሥራው ቃል እንደታወቀ ፣ በዓለም ዙሪያ ያሉ አድናቂዎች ሀሳቡን ወሰዱ እና እውነተኛ የተፈጥሮ ቅርጾችን ለመኮረጅ fractal algorithm መጠቀም ጀመሩ።

የ fractal ስልተ ቀመር በመጠቀም ከመጀመሪያዎቹ የ3-ል እይታዎች አንዱ

ከጥቂት አመታት በኋላ፣ ሎረን አናጺ እድገቶቹን በጣም ትልቅ በሆነ ፕሮጀክት ላይ ተግባራዊ ማድረግ ቻለ። አኒሜተሩ በ1980 በሲግግራፍ ላይ የሚታየውን የቮል ሊብሬ የሁለት ደቂቃ ማሳያ ፈጠረ። ይህ ቪዲዮ ያዩትን ሁሉ አስደነገጠ፣ እና ሎረን ከሉካስፊልም ግብዣ ተቀበለች።

አኒሜሽኑ የተሰራው በVAX-11/780 ኮምፒውተር ከዲጂታል መሳሪያዎች ኮርፖሬሽን በሰአት ፍጥነት አምስት ሜጋኸርትዝ ሲሆን እያንዳንዱ ፍሬም ለመስራት ግማሽ ሰአት ፈጅቷል።

ለሉካፊልም ሊሚትድ በመስራት ላይ ያለው አኒሜተር በStar Trek ሳጋ ውስጥ ለሁለተኛው ባለ ሙሉ ርዝመት ፊልም ተመሳሳይ መርሃ ግብር በመጠቀም የ3-ል አቀማመጦችን ፈጠረ። በካን ቁጣ ውስጥ፣ አናጺ ተመሳሳይ የ fractal surface ሞዴሊንግ መርህን በመጠቀም መላውን ፕላኔት መፍጠር ችሏል።

በአሁኑ ጊዜ ሁሉም የ 3D መልክአ ምድሮችን ለመፍጠር ሁሉም ታዋቂ መተግበሪያዎች ተፈጥሯዊ ነገሮችን ለማምረት ተመሳሳይ መርህ ይጠቀማሉ. ቴራገን፣ ብራይስ፣ ቩዌ እና ሌሎች የ3-ል አርታዒያን ንጣፎችን እና ሸካራዎችን ለመቅረጽ በfractal ስልተ-ቀመር ላይ ይተማመናሉ።

⇡ ፍራክታል አንቴናዎች፡ ያነሰ ብዙ ነው።

ባለፈው ግማሽ ምዕተ-አመት ህይወት በፍጥነት መለወጥ ጀምሯል. አብዛኞቻችን የዘመናዊ ቴክኖሎጂ እድገትን እንደ ቀላል ነገር እንወስዳለን። በፍጥነት ህይወትን የበለጠ ምቹ የሚያደርገውን ነገር ሁሉ ትለምዳለህ። “ይህ ከየት መጣ?” የሚሉ ጥያቄዎችን የሚጠይቅ በጣም አልፎ አልፎ ማንም የለም። እና "እንዴት ነው የሚሰራው?" ማይክሮዌቭ ቁርስ ያሞቃል - በጣም ጥሩ, ስማርትፎን ከሌላ ሰው ጋር ለመነጋገር እድል ይሰጥዎታል - በጣም ጥሩ. ይህ ለእኛ ግልጽ ዕድል ይመስላል።

ነገር ግን አንድ ሰው ለተከሰቱት ክስተቶች ማብራሪያ ባይፈልግ ኖሮ ሕይወት ፈጽሞ የተለየ ሊሆን ይችላል. ለምሳሌ የሞባይል ስልኮችን እንውሰድ። በመጀመሪያዎቹ ሞዴሎች ላይ ሊቀለበስ የሚችል አንቴናዎችን አስታውስ? ጣልቃ ገብተዋል, የመሳሪያውን መጠን ጨምረዋል, እና በመጨረሻም, ብዙ ጊዜ ይሰበራሉ. እነሱ ለዘለአለም ወደ እርሳት ውስጥ እንደዘፈቁ እናምናለን, የዚህም አንዱ ምክንያት ... ፍራክታሎች ናቸው.

Fractal ቅጦች በስርዓተ-ጥለት ይማርካሉ። እነሱ በእርግጠኝነት የጠፈር አካላት ምስሎችን ይመስላሉ - ኔቡላዎች ፣ ጋላክሲ ስብስቦች ፣ ወዘተ. ስለዚህም ማንደልብሮት የፍራክታል ፅንሰ-ሀሳቡን ሲገልጽ፣ ያደረጋቸው ምርምሮች የስነ ፈለክ ጥናትን በተማሩት መካከል የበለጠ ፍላጎት እንዲያድርባቸው ማድረጉ ተፈጥሯዊ ነው። ከእነዚህ አማተሮች መካከል አንዱ ናታን ኮኸን በቡዳፔስት በቤኖይት ማንደልብሮት ንግግር ከተከታተለ በኋላ የተገኘውን እውቀት ተግባራዊ ተግባራዊ ማድረግ በሚለው ሃሳብ ተነሳሳ። እውነት ነው፣ ይህን ያደረገው በማስተዋል ነው፣ እና ዕድል በግኝቱ ውስጥ ትልቅ ሚና ተጫውቷል። እንደ ሬዲዮ አማተር ናታን በተቻለ መጠን ከፍተኛ ስሜት ያለው አንቴና ለመፍጠር ፈለገ።

በዚያን ጊዜ ይታወቅ የነበረው የአንቴናውን መለኪያዎች ለማሻሻል ብቸኛው መንገድ የጂኦሜትሪክ ልኬቶችን መጨመር ነበር። ነገር ግን፣ ናታን የተከራየው በቦስተን መሃል ከተማ የሚገኘው የንብረቱ ባለቤት በጣራው ላይ ትላልቅ መሳሪያዎችን ከመትከል ተቃወመ። ከዚያም ናታን ከፍተኛውን ውጤት በትንሹ መጠን ለማግኘት በመሞከር በተለያዩ የአንቴና ቅርጾች መሞከር ጀመረ. በ fractal ቅጾች ሀሳብ ተመስጦ ኮሄን እነሱ እንደሚሉት በዘፈቀደ ከሽቦ ውስጥ በጣም ዝነኛ ከሆኑት fractals አንዱን - “Koch የበረዶ ቅንጣት” ሠራ። ስዊድናዊው የሂሳብ ሊቅ ሄልጌ ቮን ኮች ይህን ኩርባ በ1904 ዓ.ም. አንድን ክፍል በሦስት ክፍሎች በመከፋፈል መካከለኛውን ክፍል በእኩል መጠን ትሪያንግል በመተካት አንድ ጎን ከዚህ ክፍል ጋር ሳይጣጣም ይገኛል. ትርጉሙ ለመረዳት ትንሽ አስቸጋሪ ነው, ነገር ግን በስዕሉ ላይ ሁሉም ነገር ግልጽ እና ቀላል ነው.

የ Koch ጥምዝ ሌሎች ልዩነቶችም አሉ ነገር ግን የቅርቡ ግምታዊ ቅርፅ ተመሳሳይ ነው.

ናታን አንቴናውን ከሬዲዮ ተቀባይ ጋር ሲያገናኝ በጣም ተገረመ - ስሜቱ በከፍተኛ ሁኔታ ጨምሯል። ከተከታታይ ሙከራዎች በኋላ የቦስተን ዩኒቨርሲቲ የወደፊት ፕሮፌሰር በፍራክታል ንድፍ መሰረት የተሰራ አንቴና ከፍተኛ ቅልጥፍና ያለው እና ከጥንታዊ መፍትሄዎች ጋር ሲነፃፀር በጣም ሰፊ የሆነ ድግግሞሽን እንደሚሸፍን ተገነዘበ። በተጨማሪም የአንቴናውን ቅርጽ በተቆራረጠ ኩርባ መልክ የጂኦሜትሪክ ልኬቶችን በእጅጉ ለመቀነስ ያስችላል. ናታን ኮኸን የብሮድባንድ አንቴና ለመፍጠር እራሱን የሚመስለውን የፍራክታል ጥምዝ ቅርጽ መስጠት በቂ መሆኑን የሚያረጋግጥ ቲዎሬም ጋር መጣ።

ደራሲው ግኝቱን የባለቤትነት መብት በማውጣት ለፍራክታል አንቴናዎች ልማት እና ዲዛይን ኩባንያ አቋቋመ።

በመርህ ደረጃ, የሆነው ይህ ነው. እውነት ነው፣ ናታን እስከ ዛሬ ድረስ ግኝቱን በሕገ-ወጥ መንገድ ኮምፓክት የመገናኛ መሳሪያዎችን ለማምረት ከሚጠቀሙት ትላልቅ ድርጅቶች ጋር ሕጋዊ ትግል እያደረገ ነው። እንደ ሞቶሮላ ያሉ አንዳንድ ታዋቂ የሞባይል መሳሪያ አምራቾች ከፍራክታል አንቴና ፈጣሪ ጋር ቀደም ብለው ስምምነት ላይ ደርሰዋል።

⇡ Fractal dimensions: በአዕምሮዎ ሊረዱት አይችሉም

ቤኖይት ይህን ጥያቄ የተዋሰው ከታዋቂው አሜሪካዊ ሳይንቲስት ኤድዋርድ ካስነር ነው።

የኋለኛው ደግሞ እንደሌሎች ታዋቂ የሂሳብ ሊቃውንት ከልጆች ጋር መግባባት፣ጥያቄዎችን በመጠየቅ እና ያልተጠበቁ መልሶች መቀበል ይወዳሉ። አንዳንድ ጊዜ ይህ አስገራሚ ውጤቶችን አስከትሏል. ለምሳሌ የኤድዋርድ ካስነር የዘጠኝ ዓመቱ የወንድም ልጅ አሁን በጣም የታወቀውን "ጎጎል" የሚለውን ቃል አወጣ, ትርጉሙ አንድ መቶ ዜሮዎች ይከተላል. ግን ወደ ፍራክታሎች እንመለስ። አሜሪካዊው የሂሳብ ሊቅ የዩኤስ የባህር ጠረፍ ስንት ነው የሚለውን ጥያቄ መጠየቅ ወደደ። የኤድዋርድ የቃለ ምልልሱን አስተያየት ካዳመጠ በኋላ ራሱ ትክክለኛውን መልስ ተናገረ። የተበላሹ ክፍሎችን በመጠቀም በካርታው ላይ ርዝመቱን ከለካው ውጤቱ የተሳሳተ ይሆናል, ምክንያቱም የባህር ዳርቻው ብዙ ቁጥር ያላቸው ጉድለቶች አሉት. በተቻለ መጠን በትክክል ከለካን ምን ይከሰታል? የእያንዳንዱን እኩልነት ርዝመት ግምት ውስጥ ማስገባት አለብዎት - እያንዳንዱን ኬፕ ፣ እያንዳንዱ የባህር ወሽመጥ ፣ ዓለት ፣ የድንጋይ ንጣፍ ርዝመት ፣ በላዩ ላይ ያለ ድንጋይ ፣ የአሸዋ ቅንጣት ፣ አቶም እና የመሳሰሉትን መለካት ያስፈልግዎታል ። የተዛባዎች ቁጥር ወደ ማለቂያነት ስለሚሄድ፣ እያንዳንዱን አዲስ ሕገወጥነት ሲለካ የባህር ዳርቻው የሚለካው ርዝመት ወደ ማለቂያ ይጨምራል።

በሚለካበት ጊዜ ትንሹ መለኪያ, የሚለካው ርዝመት ይረዝማል

የሚገርመው፣ የኤድዋርድን ጥያቄ ተከትሎ፣ ልጆቹ ትክክለኛውን መፍትሄ በመናገር ከአዋቂዎች በጣም ፈጣኖች ነበሩ፣ የኋለኛው ግን እንዲህ ያለውን አስደናቂ መልስ ለመቀበል ችግር ነበረባቸው።

ይህንን ችግር እንደ ምሳሌ በመጠቀም ማንደልብሮት አዲስ የመለኪያ ዘዴን በመጠቀም ሀሳብ አቅርቧል። የባህር ዳርቻው ወደ fractal ጥምዝ ቅርብ ስለሆነ ይህ ማለት የባህሪ መለኪያ በእሱ ላይ ሊተገበር ይችላል - fractal dimension ተብሎ የሚጠራው.

ምን ዓይነት መደበኛ ልኬት ለማንኛውም ሰው ግልጽ ነው. ልኬቱ ከአንድ ጋር እኩል ከሆነ, ቀጥታ መስመር እናገኛለን, ሁለት ከሆነ - ጠፍጣፋ ምስል, ሶስት - ጥራዝ. ነገር ግን፣ ይህ በሂሳብ ውስጥ ያለው የልኬት ግንዛቤ ከ fractal ጥምዝ ጋር አይሰራም፣ ይህ ግቤት ክፍልፋይ እሴት ካለው። በሂሳብ ውስጥ ያለው ክፍልፋይ ልኬት በተለምዶ እንደ “ሸካራነት” ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። የኩርባው ሸካራነት ከፍ ባለ መጠን የ fractal ልኬቱ የበለጠ ይሆናል። እንደ ማንደልብሮት ገለጻ፣ ከሥነ-ምድራዊ ልኬቱ ከፍ ያለ የፍራክታል ልኬት ያለው ኩርባ በመጠኖች ብዛት ላይ ያልተመሠረተ ግምታዊ ርዝመት አለው።

በአሁኑ ጊዜ ሳይንቲስቶች የፍራክታሎች ጽንሰ-ሀሳብን ተግባራዊ ለማድረግ ብዙ እና ብዙ ቦታዎችን እያገኙ ነው። Fractals ን በመጠቀም የአክሲዮን ልውውጥ ዋጋ መለዋወጥን መተንተን፣ ሁሉንም ዓይነት የተፈጥሮ ሂደቶችን ለምሳሌ የዝርያ ብዛት መለዋወጥን ማጥናት ወይም የፍሰትን ተለዋዋጭነት ማስመሰል ይችላሉ። Fractal ስልተ ቀመሮችን ለመረጃ መጭመቅ እንደ ምስል መጭመቅ መጠቀም ይቻላል። እና በነገራችን ላይ በኮምፒተርዎ ስክሪን ላይ የሚያምር ፍራክታል ለማግኘት የዶክትሬት ዲግሪ ማግኘት አያስፈልግም።

በአሳሹ ውስጥ ⇡ Fractal

የ fractal ጥለት ለማግኘት በጣም ቀላሉ መንገዶች አንዱ ከወጣት ጎበዝ ፕሮግራመር ቶቢ ሻችማን የመስመር ላይ ቬክተር አርታዒን መጠቀም ነው። የዚህ ቀላል የግራፊክ አርታዒ መሳሪያዎች በተመሳሳይ ራስን መመሳሰል መርህ ላይ የተመሰረቱ ናቸው.

በእጅዎ ላይ ሁለት ቀላል ቅርጾች ብቻ አሉ - አራት ማዕዘን እና ክብ. ወደ ሸራው ማከል፣ መመዘን (ከአንዱ መጥረቢያ ጋር ለመለካት የ Shift ቁልፍን ተጭነው) እና ማሽከርከር ይችላሉ። በቦሊያን የመደመር ኦፕሬሽኖች መርህ መሰረት ተደራራቢ ሲሆኑ፣ እነዚህ በጣም ቀላል አካላት አዲስ፣ ቀላል ያልሆኑ ቅርጾች ይመሰርታሉ። ከዚያም እነዚህ አዳዲስ ቅርጾች ወደ ፕሮጀክቱ ሊጨመሩ ይችላሉ, እና ፕሮግራሙ እነዚህን ምስሎች ማስታወቂያ ኢንፊኒተም ይፈጥራል. በ fractal ላይ በሚሰሩበት በማንኛውም ደረጃ ላይ ወደ ማንኛውም ውስብስብ ቅርጽ አካል መመለስ እና ቦታውን እና ጂኦሜትሪውን ማስተካከል ይችላሉ. አስደሳች እንቅስቃሴ ፣ በተለይም ለመፍጠር ብቸኛው መሣሪያ አሳሽ መሆኑን ሲያስቡ። ከዚህ ተደጋጋሚ የቬክተር አርታዒ ጋር የመሥራት መርሆውን ካልተረዱ, በፕሮጀክቱ ኦፊሴላዊ ድረ-ገጽ ላይ ያለውን ቪዲዮ እንዲመለከቱ እንመክርዎታለን, ይህም የ fractal የመፍጠር አጠቃላይ ሂደትን በዝርዝር ያሳያል.

⇡ XaoS፡ ለእያንዳንዱ ጣዕም ፍራክታሎች

ብዙ የግራፊክ አርታዒዎች የ fractal ቅጦችን ለመፍጠር አብሮ የተሰሩ መሳሪያዎች አሏቸው። ነገር ግን እነዚህ መሳሪያዎች አብዛኛውን ጊዜ ሁለተኛ ደረጃ ናቸው እና የተፈጠረውን የ fractal ጥለት ጥሩ ማስተካከል አይፈቅዱም። በሒሳብ ትክክለኛ የሆነ fractal መገንባት በሚያስፈልግበት ጊዜ የመስቀል መድረክ አርታኢ XaoS ለማዳን ይመጣል። ይህ ፕሮግራም እራሱን የሚመስል ምስል መገንባት ብቻ ሳይሆን የተለያዩ ማጭበርበሮችንም ለማከናወን ያስችላል። ለምሳሌ፣ በእውነተኛ ጊዜ ሚዛኑን በመቀየር በፍራክታል በኩል “መራመድ” ይችላሉ። በfractal ላይ ያለው የታነመ እንቅስቃሴ እንደ XAF ፋይል ሊቀመጥ እና ከዚያም በራሱ በፕሮግራሙ ውስጥ ሊባዛ ይችላል።

XaoS የዘፈቀደ የመለኪያዎችን ስብስብ ሊጭን ይችላል፣ እና የተለያዩ የምስል ድህረ-ማቀነባበር ማጣሪያዎችንም ይጠቀማል - የደበዘዘ የእንቅስቃሴ ውጤት ይጨምሩ፣ በፍራክታል ነጥቦች መካከል ያሉ ጥርት ያሉ ሽግግሮችን ያስተካክላሉ፣ የ3-ል ምስልን ያስመስላሉ፣ እና የመሳሰሉት።

⇡ Fractal Zoomer፡ የታመቀ fractal ጄኔሬተር

ከሌሎች የ fractal ምስል ማመንጫዎች ጋር ሲነጻጸር, በርካታ ጥቅሞች አሉት. በመጀመሪያ ፣ መጠኑ በጣም ትንሽ ነው እና መጫን አያስፈልገውም። በሁለተኛ ደረጃ, የስዕሉን የቀለም ቤተ-ስዕል የመወሰን ችሎታን ተግባራዊ ያደርጋል. በ RGB, CMYK, HVS እና HSL የቀለም ሞዴሎች ውስጥ ጥላዎችን መምረጥ ይችላሉ.

እንዲሁም የቀለም ጥላዎችን በዘፈቀደ የመምረጥ ምርጫን እና በስዕሉ ላይ ያሉትን ሁሉንም ቀለሞች የመገልበጥ ተግባርን መጠቀም በጣም ምቹ ነው። ቀለሙን ለማስተካከል የሳይክል ጥላዎች ምርጫ ተግባር አለ - ተጓዳኝ ሁነታን ሲያበሩ ፕሮግራሙ ምስሉን ይንቀሳቀሳል ፣ በላዩ ላይ ቀለሞችን በብስክሌት ይለውጣል።

Fractal Zoomer 85 የተለያዩ fractal ተግባራትን በዓይነ ሕሊናህ መመልከት ይችላል፣ እና ቀመሮቹ በፕሮግራሙ ሜኑ ውስጥ በግልጽ ይታያሉ። በፕሮግራሙ ውስጥ ለምስል ድህረ-ሂደት ማጣሪያዎች አሉ, ምንም እንኳን በትንሽ መጠን. እያንዳንዱ የተመደበ ማጣሪያ በማንኛውም ጊዜ ሊሰረዝ ይችላል።

⇡ ማንደልቡልብ3ዲ፡ 3D fractal አርታዒ

"fractal" የሚለው ቃል ጥቅም ላይ ሲውል, ብዙውን ጊዜ የሚያመለክተው ጠፍጣፋ ባለ ሁለት ገጽታ ምስል ነው. ሆኖም፣ fractal ጂኦሜትሪ ከ2D ልኬት በላይ ይሄዳል። በተፈጥሮ ውስጥ ሁለቱንም የጠፍጣፋ የፍራክቲክ ቅርጾች ምሳሌዎችን ፣ የመብረቅ ጂኦሜትሪ እና ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አሃዞችን ማግኘት ይችላሉ ። Fractal ንጣፎች ሶስት አቅጣጫዊ ሊሆኑ ይችላሉ ፣ እና በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ አንድ በጣም ግልፅ የ 3D fractals ምሳሌ የጎመን ጭንቅላት ነው። ፍራክታሎችን ለማየት በጣም ጥሩው መንገድ የሮማኔስኮ ዝርያ ፣ የአበባ ጎመን እና ብሮኮሊ ድብልቅ ነው።

እንዲሁም ይህን ፍራክታል መብላት ይችላሉ

የ Mandelbulb3D ፕሮግራም ተመሳሳይ ቅርጽ ያላቸው ባለ ሶስት አቅጣጫዊ እቃዎችን መፍጠር ይችላል. ፍራክታል አልጎሪዝምን በመጠቀም 3D ወለል ለማግኘት የዚህ መተግበሪያ ደራሲዎች ዳንኤል ዋይት እና ፖል ኒላንደር የማንደልብሮትን ስብስብ ወደ ሉላዊ መጋጠሚያዎች ቀየሩት። የፈጠሩት የማንዴልቡልብ3ዲ ፕሮግራም የተለያየ ቅርጽ ያላቸውን የፍራክታል ንጣፎችን ሞዴል የሚያደርግ እውነተኛ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ አርታኢ ነው። በተፈጥሮ ውስጥ ብዙውን ጊዜ የ fractal ቅጦችን ስለምንመለከት፣ ሰው ሰራሽ በሆነ መንገድ የተፈጠረ ፍራክታል ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ነገር በማይታመን ሁኔታ እውነተኛ እና እንዲያውም “ሕያው” ይመስላል።

ተክሉን ሊመስል ይችላል፣ እንግዳ የሆነ እንስሳ፣ ፕላኔት ወይም ሌላ ነገር ሊመስል ይችላል። ይህ ተፅእኖ የላቀ የማሳየት ስልተ-ቀመር ይሻሻላል, ይህም ተጨባጭ ነጸብራቆችን ለማግኘት, ግልጽነትን እና ጥላዎችን ለማስላት, የመስክ ጥልቀትን ተፅእኖ ለማስመሰል, ወዘተ. ማንደልቡልብ3ዲ እጅግ በጣም ብዙ የቅንብሮች እና የምስል ማሳያ አማራጮች አሉት። የብርሃን ምንጮችን ጥላዎች መቆጣጠር, የተመሰለውን ነገር ዳራ እና ዝርዝር ደረጃ መምረጥ ይችላሉ.

የ Incendia fractal አርታዒ ድርብ ምስል ማለስለስን ይደግፋል፣ ሃምሳ የተለያዩ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ፍርስራሾችን የያዘ ቤተ-መጽሐፍት ይዟል፣ እና መሰረታዊ ቅርጾችን ለማረም የተለየ ሞጁል አለው።

አፕሊኬሽኑ የ fractal ስክሪፕት ይጠቀማል፣ በዚህም አዳዲስ የ fractal ንድፎችን በግል መግለጽ ይችላሉ። ኢንሴንዲያ ሸካራነት እና የቁሳቁስ አርታዒዎች አሉት ፣ እና የማሳያ ሞተር የቮልሜትሪክ ጭጋግ ውጤቶች እና የተለያዩ ጥላዎችን እንዲጠቀሙ ይፈቅድልዎታል። ፕሮግራሙ ለረጅም ጊዜ በሚሰጥበት ጊዜ ቋት የማዳን አማራጭን ተግባራዊ ያደርጋል፣ እና አኒሜሽን መፍጠርን ይደግፋል።

ኢንሴንዲያ የ fractal ሞዴል ወደ ታዋቂ የ3-ል ግራፊክስ ቅርጸቶች - OBJ እና STL ለመላክ ያስችልዎታል። ኢንሴንዲያ ጂኦሜትሪካ የተባለ ትንሽ መገልገያ ያካትታል፣ የ fractal ወለል ወደ 3 ዲ አምሳያ መላክን ለማዘጋጀት ልዩ መሣሪያ ነው። ይህንን መገልገያ በመጠቀም የ3-ል ንጣፍ ጥራትን መወሰን እና የ fractal ድግግሞሾችን ቁጥር መግለጽ ይችላሉ። እንደ Blender, 3ds max እና ሌሎች ካሉ 3D አርታዒዎች ጋር ሲሰሩ ወደ ውጭ የተላኩ ሞዴሎች በ 3D ፕሮጀክቶች ውስጥ ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ.

በቅርቡ፣ በኢንሴዲያ ፕሮጀክት ላይ ያለው ሥራ በተወሰነ ደረጃ ቀንሷል። በአሁኑ ጊዜ ደራሲው ፕሮግራሙን እንዲያዳብር የሚያግዙ ስፖንሰሮችን ይፈልጋል።

በዚህ ፕሮግራም ውስጥ ቆንጆ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ፍራክታን ለመሳል በቂ ሀሳብ ከሌለዎት ምንም አይደለም. በINCENDIA_EX\parameters አቃፊ ውስጥ የሚገኘውን የመለኪያዎች ቤተ-መጽሐፍትን ተጠቀም። PAR ፋይሎችን በመጠቀም፣ አኒሜሽንን ጨምሮ በጣም ያልተለመዱ የፍራክታል ቅርጾችን በፍጥነት ማግኘት ይችላሉ።

⇡ Aural: fractals እንዴት እንደሚዘምሩ

ብዙውን ጊዜ ገና እየተሠሩ ስለሆኑ ፕሮጀክቶች አንነጋገርም, ነገር ግን በዚህ ጉዳይ ላይ ይህ በጣም ያልተለመደ መተግበሪያ ስለሆነ የተለየ ነገር ማድረግ አለብን. ኢንሴንዲያን በፈጠረው ሰው የፈጠረው አዉራል ተብሎ የሚጠራዉ ፕሮጀክት ነዉ። ሆኖም ግን, በዚህ ጊዜ ፕሮግራሙ የ fractal ስብስብን አይታይም, ነገር ግን ያሰማል, ወደ ኤሌክትሮኒክ ሙዚቃ ይለውጠዋል. በተለይም የ fractals ያልተለመዱ ባህሪያትን ከግምት ውስጥ በማስገባት ሀሳቡ በጣም አስደሳች ነው. Aural የ fractal algorithmsን በመጠቀም ዜማዎችን የሚያመነጭ የድምጽ አርታኢ ነው፣ ማለትም፣ በመሰረቱ፣ የኦዲዮ ሲንተናይዘር-ተከታታይ ነው።

በዚህ ፕሮግራም የሚዘጋጁት የድምጾች ቅደም ተከተል ያልተለመደ እና... ቆንጆ ነው። ዘመናዊ ሪትሞችን ለመጻፍ ጠቃሚ ሊሆን ይችላል እና ለእኛ የሚመስለን በተለይ ለቴሌቪዥን እና የሬዲዮ ፕሮግራሞች ስክሪን ሾውሮች እንዲሁም ለኮምፒዩተር ጨዋታዎች የበስተጀርባ ሙዚቃዎች "loops" ለመፍጠር ተስማሚ ነው. ራሚሮ የፕሮግራሙን ማሳያ ገና አላቀረበም ፣ ግን እሱ ሲያደርግ ፣ ከ Aural ጋር ለመስራት ፣ የ fractal ቲዎሪ ማጥናት አያስፈልግዎትም - ቅደም ተከተል ለመፍጠር ከአልጎሪዝም መለኪያዎች ጋር መጫወት ያስፈልግዎታል። ማስታወሻዎች. ፍራክታሎች እንዴት እንደሚሰሙ ያዳምጡ እና።

Fractals: የሙዚቃ እረፍት

እንደ እውነቱ ከሆነ ፍራክታሎች ያለ ሶፍትዌር እንኳን ሙዚቃን ለመጻፍ ይረዱዎታል። ነገር ግን ይህ ሊደረግ የሚችለው በተፈጥሮአዊ ስምምነት ሃሳብ በተሞላ እና ወደ አሳዛኝ “ነፍጠኞች” ባልተለወጠ ሰው ብቻ ነው። ጆናታን ኩልተን ከተባለ ሙዚቀኛ፣ ከሌሎች ነገሮች በተጨማሪ ለታዋቂ ሳይንስ መፅሄት ድርሰቶችን ከፃፈው ምሳሌ መውሰድ ተገቢ ነው። እና ከሌሎች ፈጻሚዎች በተለየ ኮልተን ሁሉንም ስራዎቹን በCreative Commons Attribution-የንግድ-ያልሆነ ፈቃድ ያትማል፣ ይህም (ለንግድ ላልሆነ ዓላማ ጥቅም ላይ ሲውል) በነጻ መቅዳት፣ ማከፋፈል፣ ስራውን ለሌሎች ማስተላለፍ እና ማሻሻያውን ያቀርባል ( የመነሻ ሥራዎችን መፍጠር) ስለዚህ ከእርስዎ ተግባራት ጋር እንዲስማማ ያድርጉት።

ጆናታን ኮልተን በርግጥ ስለ fractals ዘፈን አለው።

⇡ መደምደሚያ

በዙሪያችን ባሉት ነገሮች ሁሉ, ብዙ ጊዜ ትርምስ እናያለን, ግን በእውነቱ ይህ በአጋጣሚ አይደለም, ነገር ግን ተስማሚ ቅርጽ ነው, ይህም ፍራክቲኮችን ለመለየት ይረዳናል. ተፈጥሮ ምርጥ አርክቴክት፣ ሃሳባዊ ግንበኛ እና መሐንዲስ ነው። በጣም አመክንዮአዊ በሆነ መልኩ የተዋቀረ ነው, እና አንድ ቦታ ላይ ንድፍ ካላየን, ይህ ማለት በተለየ ሚዛን መፈለግ አለብን ማለት ነው. ሰዎች ተፈጥሯዊ ቅርጾችን በብዙ መንገዶች ለመኮረጅ በመሞከር ይህንን በተሻለ እና በተሻለ ሁኔታ ይገነዘባሉ. መሐንዲሶች የሼል ቅርጽ ያላቸው የድምፅ ማጉያ ዘዴዎችን ይቀርፃሉ, የበረዶ ቅንጣቶችን የሚመስሉ አንቴናዎችን ይፈጥራሉ, ወዘተ. እርግጠኞች ነን ፍርካሎች አሁንም ብዙ ሚስጥሮችን እንደያዙ እና ብዙዎቹ ገና በሰዎች ሊገኙ አልቻሉም።