Все книги и пособия вы можете скачать абсолютно бесплатно и без регистрации.
NEW.
Г.С. Горелик. КОЛЕБАНИЯ и ВОЛНЫ.
ВВЕДЕНИЕ В АКУСТИКУ, РАДИОФИЗИКУ И ОПТИКУ. 2-е изд. 1959 год. 572 стр. djvu. 9.5 Мб.
В книге рассматриваются колебательные и волновые процессы, изучаемые механикой, акустикой, учением об электромагнетизме, оптикой, радиотехникой. Оригинальная трактовка, данная в книге многим физическим явлениям на языке теории колебаний, помогает более глубокому их пониманию.
Книга может служить весьма ценным введением, в изучение теории колебаний.
Скачать
NEW.
Дж. Лайтхилл. Волны в жидкостях. 603 стр. djvu. 5.9 Мб.
Логически стройное и четкое изложение классических и современных проблем теории волн. Математическая строгость сочетается с глубиной физической интерпретации явлений. Автор - выдающийся английский ученый, внесший большой вклад в теорию волн, известен по переводам его статей. Для специалистов по прикладной математике, общей теории волн, гидромеханике, океанографии, геофизике, для студентов этих специальностей...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать
Андронов, Витт, Хайкин. Теория колебаний. Подробно рассмотренны нелингейные колебания. Размер 20.0 Мб. 900 стр. djvu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать
В.В. Болотин редактор. Колебания линейных систем. Том1 6-ти томного справлчника Вибрации в технике. 1978 год. 351 стр. djvu. 4.7 Мб.
В первом томе изложены современные методы аналитического исследования колебательных систем с конечным числом степеней свободы и линейных систем с распределенными параметрами. Дана теория устойчивости колебательных систем, приведены
методы аналитического описания и анализа колебательных процессов. Приведены результаты новейших достижений, методы определения собственных частот и форм колебаний систем сложной структуры. Большое внимание уделено параметрическим и
случайным колебаниям, ударным процессам и распространению волн, а также теории вибрационной надежности.
Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых проектированием, изготовлением и эксплуатацией современной техники,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать
И.И. Блехман. Вибрационная механика. 1994 год. 398 стр. djvu. 10.1 Мб.
Приводятся основные определения и теоремы, излагается математический аппарат вибрационной механики - нового направления в теории механических колебаний, характеризуемого математическим подходом к описанию и исследованию широкого круга явлений, имеющих место при действии вибрации на иелинейные механические
системы и лежащих в основе ряда современных машин и технологий. Специальные разделы посвящены вибрациониой механике механизмов и машин, синхронизации роторов, вибрационному перемещению и смещению, виброреологии. Существенно обобщается принцип автобалансировки Лаваля, рассматриваются приложения к теории резонансов в орбитальных движениях небесных тел.
Для специалистов в области теоретической и прикладной механики и математики, теории нелинейных колебаний и вибрационной техники, студентов старших курсов и аспирантов механико-математических специальностей.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать
И.И. Блехман редактор. Колебания нелинейных механических систем. Том2 6-ти томного справлчника Вибрации в технике. 1979 год. 350 стр. djvu. 5.6 Мб.
Во втором томе даны общие сведения о нелинейных механических колебательных системах, их классификация, приведены основы теории устойчивости. Изложены математические методы анализа и рассмотрены основные модели нелинейных колебательных систем Приведены результаты, относящиеся к специальным современным проблемам теории нелинейных колебаний
Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых проектированием, изготовлением и эксплуатацией современной техники
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать
И.М. Бабаков. Теория еолебаний. Уч. пособие. 4-е изд. Серия "Классики отечественной науки". 2004 год. 593 стр. djvu. 8.3 Мб.
В книге (3-е изд. - 1968 г.) содержатся традиционные разделы теории колебаний: колебания систем с конечным числом степеней свободы, колебания распределенных систем стержней и пластин), колебания нелинейных систем. Изложены основы теории
устойчивости движения. Для описания колебаний используются преимущественно классические методы, развитые Дж. Рэлеем и А. Н. Крыловым. Приводится большое число пояснительных примеров, имеющих самостоятельную прикладную ценность и служащих справочным материалом. Даны сведения из аналитической механики, матричного и операционного исчисления, не входящие в обычные вузовские программы. В приложениях приводятся данные, позволяющие получать численные решения.
Для студентов вузов и втузов, инженеров, аспирантов и научных работников.
Учебное пособие написано на основе личного многолетнего опыта преподавания общего курса физики студентам технических специальностей университета, а также работы автора в физико-математических классах гимназий и лицеев.
В связи с переходом на новые образовательные программы в школьном курсе физики отсутствует систематизированное изложение теории колебаний и волн. Курс разбит во времени (механические колебания изучаются в 9 классе, электромагнитные колебания - в 11 классе), что существенно затрудняет выявление общих закономерностей колебательных процессов. Более того, курс девятого класса носит описательный характер, ибо он не подкреплен необходимыми математическими знаниями учащихся (девятиклассники не знакомы с гармонической функцией, ее особенностями, не владеют понятием производной функции, не имеют представлений о дифференциальных уравнения). В силу указанных причин учащиеся 9 класса по существу не могут решать задачи по теме «Механические колебания и волны», ограничиваясь лишь упражнениями на применение формул расчета периода пружинного и математического маятников, которые, кстати, в 9 классе появляются «ниоткуда». Отсутствие глубоких представлений о механических колебаниях затрудняет усвоение закономерностей электромагнитных колебаний в 11 классе. Все это побудило автора написать последовательное, систематизированное пособие по теории колебаний, которое могло бы стать дополнением к базовому школьному учебнику для физико-математических классов. С другой стороны, содержание книги и глубина изложения материала соответствуют государственному стандарту курса общей физики для технических специальностей вузов. Отдельные главы пособия могут быть использованы учителем, работающим в общеобразовательных классах.
Пособие состоит из 10 глав: Свободные гармонические механические колебания, Свободные электрические колебания, Маятники в постоянных силовых полях, Сложение колебаний, Затухающие колебания, Вынужденные механические колебания, Вынужденные электрические колебания, Автоколебания, Упругие волны, Электромагнитные волны.
Структура изложения каждой главы одинаковая: глава содержит теоретический материал, примеры решения задач, упражнения для самостоятельного решения, тестовые задания по теме, задачи для самостоятельного решения.
Изложение теоретического материала построено на строгом математическом описании процесса. Большое внимание уделяется энергетическим преобразованиям в колебательных системах, аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями и волнами. В пособии рассмотрены вопросы, которые в традиционных учебниках, как правило, не представлены. Например, дано подробное математическое описание поведения маятников в постоянных силовых полях.
Примеры решения задач в каждой главе делают пособие практическим курсом, позволяющим самостоятельно научиться решать задачи. Это не просто набор различных по содержанию задач, а система заданий, построенная в соответствии с дидактическим принципом «от простого к сложному». Содержание блока задач по каждой теме таково, что позволяет, с одной стороны, расширить круг рассматриваемых процессов и систем, с другой стороны - сформировать необходимые приемы математического описания явлений. Для многих «абстрактных» задач показывается, моделью каких реальных колебательных систем или процессов они могли бы быть. Решение ряда задач представлено разными способами - с использованием законов динамики или закона сохранения энергии, с использованием законов Кирхгофа или составлением механической аналогии и т.д. Ряд задач построены на опытных фактах и требуют количественной оценки величин, характеризующих колебательный процесс, что делает такие примеры важными с практической точки зрения. Особое внимание уделено общности подходов к решению задач, вытекающих из общности закономерностей колебательных процессов разного происхождения. Это способствует формированию обобщенных навыков решения задач, способности переносить имеющиеся навыки на новую, незнакомую или нестандартную ситуацию.
Библиографическая ссылка
Перунова М.Н. Колебания и волны (учебное пособие) // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 8. – С. 126-126;URL: http://natural-sciences.ru/ru/article/view?id=30662 (дата обращения: 28.03.2019). Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. Колебаниями называются процессы, при которых движения или состояния системы регулярно повторяются во времени. Наиболее наглядно демонстрирует колебательный процесс качающийся маятник, но колебания свойственны практически всем явлениям природы. Колебательные процессы характеризуются следующими физическими величинами.
Период колебаний Т – промежуток времени, через который состояние системы принимают одинаковые значения: u (t + T ) = u (t ).
Частота колебаний n или f – число колебаний в 1 секунду, величина, обратная периоду: n = 1/Т . Измеряется в герцах (Гц), имеет размерность с –1 . Маятник, совершающий одно качание в секунду, колеблется с частотой 1 Гц. В расчетах нередко используют круговую, или цикличную частоту w = 2pn .
Фаза колебанийj – величина, показывающая, какая часть колебания прошла с начала процесса. Измеряется в угловых величинах – градусах или радианах.
Амплитуда колебанийА – максимальное значение, которое принимает колебательная система, «размах» колебания.
Периодические колебания могут иметь самую разную форму, но наибольший интерес представляют так называемые гармонические, или синусоидальные колебания. Математически они записываются в виде
u (t ) = A sin j = A sin(w t + j 0),
где A – амплитуда, j – фаза, j 0 – ее начальное значение, w – круговая частота, t – аргумент функции, текущее время. В случае строго гармонического, незатухающего колебания, величины А , w и j 0 не зависят от t .
Любое периодическое колебание самой сложной формы может быть представлено в виде суммы конечного числа гармонических колебаний, а непериодическое (например, импульс) – бесконечным их количеством (теорема Фурье).
Система, выведенная из равновесия и предоставленная сама себе, совершает свободные, или собственные колебания, частота которых определяется физическими параметрами системы. Собственные колебания также могут быть представлены в виде суммы гармонических, так называемых нормальных колебаний, или мод.
Возбуждение колебаний может происходить тремя путями. Если на систему действует периодическая сила, меняющаяся с частотой f (маятник раскачивают периодическими толчками), система будет колебаться с этой – вынужденной – частотой. Когда частота вынуждающей силы f равна или кратна частоте собственных колебаний системы n , возникает резонанс– резкое возрастание амплитуды колебаний.
Если параметры системы (например, длину подвеса маятника) периодически изменяют, происходит параметрическое возбуждение колебаний. Оно наиболее эффективно, когда частота изменения параметра системы равна ее удвоенной собственной частоте: f пар = 2n соб.
Если колебательные движения возникают самопроизвольно (система «самовозбуждается»), говорят о возникновении автоколебаний, имеющих сложный характер.
Во время колебательных процессов происходит периодическое превращение потенциальной энергии системы в кинетическую. Например, отклонив маятник в сторону и, следовательно, подняв его на высоту h , ему сообщают потенциальную энергию mgh . Она полностью переходит в кинетическую энергию движения mv 2 /2, когда груз проходит положение равновесия и скорость его максимальна. Если при этом происходит потеря энергии, колебания становятся затухающими.
В физике отдельно рассматриваются колебания механические и электромагнитные – связанные колебания электрического и магнитного поля (свет, рентгеновское излучение, радио). В пространстве они распространяются в форме волн.
Волнойназывается возмущение (изменение состояния среды), которое распространяется в пространстве и несет энергию, не перенося вещества. Наиболее часто встречаются упругие волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Упругие волны могут возбуждаться только в среде (газе, жидкости, твердом теле), а электромагнитные волны распространяются и в вакууме.
Если возмущение волны направлено перпендикулярно направлению ее распространения, волна называется поперечной, если параллельно – продольной. К поперечным относятся волны, бегущие по поверхности воды и вдоль струны, а также электромагнитные волны – векторы напряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны вектору скорости волны. Типичный пример продольной волны – звук.
Уравнение, описывающее волну, можно вывести из выражения для гармонических колебаний. Пусть в какой-то точке среды происходит периодическое движение по закону А = A 0 sin w t . Это движение будет передаваться от слоя к слою – по среде побежит упругая волна. Точка, находящаяся на расстоянии x от точки возбуждения, станет совершать колебательные движения, отставая на время t , необходимое для прохождения волной расстояния х : t = x /c , где c – скорость волны. Поэтому законом ее движения будет
A x = A 0 sin w (t – x /c ),
или, так как w = 2p /T , где T - период колебаний,
A x = A 0 sin 2p (t /T – x /cT ).
Это – уравнение синусоидальной, или монохроматической волны, распространяющейся со скоростью с в направлении х . Все точки волны в момент времени t имеют разные смещения. Но ряд точек, отстоящих на расстояние cT одна от другой, в любой момент времени смещены одинаково (т.к. аргументы синусов в уравнении отличаются на 2p и, следовательно, их значения равны). Это расстояние и есть длина волны l = сТ . Она равна пути, который проходит волна за один период колебания.
Фазы колебаний двух точек волны, находящихся на расстоянии D х одна от другой, отличаются на Dj = 2p D х /l , и, следовательно, на 2p при расстоянии, кратном длине волны. Поверхность, во всех точках которой волна имеет одинаковые фазы, называется волновым фронтом. Распространение волны происходит перпендикулярно ему, поэтому оно может рассматриваться как движение волнового фронта в среде. Точки волнового фронта формально считают фиктивными источниками вторичных сферических волн, при сложении дающих волну исходной формы (принцип Гюйгенса-Френеля).
Скорость смещения элементов среды меняется по тому же закону, что и само смещение, но со сдвигом по фазе на p /2: скорость достигает максимума, когда смещение падает до нуля. То есть волна скоростей сдвинута относительно волны смещений (деформаций среды) по времени на Т /4, а в пространстве на l /4. Волна скоростей несет кинетическую энергию, а волна деформаций – потенциальную. Энергия все время переносится в направлении распространения волны +х со скоростью с .
Введенная выше скорость с отвечает распространению только бесконечной синусоидальной (монохроматической) волны. Она определяет скорость перемещения ее фазы j и называется фазовой скоростью с ф. Но на практике гораздо чаще встречаются как волны более сложной формы, так и волны, ограниченные во времени (цуги), а также совместное распространение большого набора волн разной частоты (например, белый свет). Подобно сложным колебаниям, волновые цуги и негармонические волны могут быть представлены в виде суммы (суперпозиции) синусоидальных волн разных частот. Когда фазовые скорости всех этих волн одинаковы, то вся их группа (волновой пакет) движется с одной скоростью. Если же фазовая скорость волны зависит от ее частоты w , наблюдается дисперсия – волны различных частот идут с разной скоростью. Нормальная, или отрицательная дисперсия тем больше, чем выше частота волны. За счет дисперсии, например, луч белого света в призме разлагается в спектр, в каплях воды – в радугу. Волновой пакет, который можно представить как набор гармонических волн, лежащих в диапазоне w 0 ± Dw , из-за дисперсии расплывается. Его форма – огибающая амплитуд компонент цуга – искажается, но перемещается в пространстве со скоростью v гр, называемой групповой скоростью. Если при распространении волнового пакета максимумы волн, его составляющих, движутся быстрее огибающей, фазовая скорость сигнала выше групповой: с ф > v гр. При этом в хвостовой части пакета за счет сложения волн возникают все новые максимумы, которые передвигаются вперед и пропадают в его головной части. Примером нормальной дисперсии служат среды, прозрачные для света – стекла и жидкости.
В ряде случаев наблюдается также аномальная (положительная) дисперсия среды, при которой групповая скорость превышает фазовую: v гр > с ф, причем возможна ситуация, когда эти скорости направлены в противоположные стороны. Максимумы волн появляются в головной части пакета, перемещаются назад и исчезают в его хвосте. Аномальная дисперсия наблюдается, например, при движении очень мелких (так называемых капиллярных) волн на воде (v гр = 2с ф).
Все методы измерения времени и скорости распространения волн, базирующиеся на запаздывании сигналов, дают групповую скорость. Именно ее учитывают при лазерной, гидро- и радиолокации, зондировании атмосферы, в системах радиоуправления и т.п.
При распространении волн в среде происходит их поглощение – необратимый переход энергии волны в другие ее виды (в частности – в теплоту). Механизм поглощения волн разной природы различен, но поглощение в любом случае приводит к ослаблению амплитуды волны по экспоненциальному закону: А 1 /А 0 = е a , где a – так называемый логарифмический декремент затухания. Для звуковых волн, как правило, a ~ w 2: высокие звуки поглощаются значительно сильнее низких. Поглощение света – падение его интенсивности I – происходит по закону Бугера I = I 0 exp(–k l l ), где exp(x ) = e x , k l – показатель поглощения колебания с длиной волны l , l – путь, пройденный волной в среде.
Рассеяние звука на препятствиях и неоднородностях среды приводит к расплыванию звукового пучка и, как следствие, – к затуханию звука по мере его распространения. При размере неоднородности L < l /2 рассеяние волны отсутствует. Рассеяние света происходит по сложным законам и зависит не только от размера препятствий, но и от их физических характеристик. В природных условиях наиболее сильно проявляется рассеяние на атомах и молекулах, происходящее пропорционально w 4 или, что то же самое, l -4 (закон Рэлея). Именно рэлеевским рассеянием обусловлен голубой цвет неба и красный – Солнца на закате. Когда размер частиц становится сравним с длиной волны света (r ~ l ), рассеяние перестает зависеть от длины волны, свет рассеивается больше вперед, нежели назад. Рассеяние на крупных частицах (r >> l ) происходит с учетом законов оптики – отражения и преломления света.
При сложении волн, разность фаз которых постоянна (см . КОГЕРЕНТНОСТЬ) возникает устойчивая картина интенсивности суммарных колебаний – интерференция. Отражение волны от стенки равносильно сложению двух волн, идущих навстречу одна другой с разностью фаз p . Их суперпозиция создает стоячую волну, в которой через каждую половину периода Т /2 лежат неподвижные точки (узлы), а между ними – точки, колеблющиеся с максимальной амплитудой А (пучности).
Волна, падающая на препятствие или проходящая сквозь отверстие, огибает их края и заходит в область тени, давая картину в виде системы полос. Это явление называется дифракцией; оно становится заметным, когда размер препятствия (диаметр отверстия) D сравним с длиной волны: D ~ l .
В поперечной волне может наблюдаться явление поляризации, при котором возмущение (смещение в упругой волне, векторы напряженности электрического и магнитного полей в электромагнитной) лежит в одной плоскости (линейная поляризация) или вращается (круговая поляризация), меняя при этом интенсивность (эллиптическая поляризация).
При движении источника волн навстречу наблюдателю (или, что то же самое – наблюдателя навстречу источнику) наблюдается повышение частоты f , при удалении – понижение (эффект Доплера). Это явление можно наблюдать возле железнодорожного пути, когда мимо проносится локомотив с сиреной. В тот момент, когда он оказывается рядом с наблюдателем, происходит заметное понижение тона гудка. Математически эффект записывается как f = f 0 /(1 ± v /c ), где f – наблюдаемая частота, f 0 – частота излучаемой волны, v – относительная скорость источника, c – скорость волны. Знак «+» соответствует приближению источника, знак «–» – его удалению.
Несмотря на принципиально разную природу волн, законы, определяющие их распространение, имеют много общего. Так, упругие волны в жидкостях или газах и электромагнитные волны в однородном пространстве, излученные малым источником, описываются одним и тем же уравнением, а волны на воде, подобно свету и радиоволнам, испытывают интерференцию и дифракцию.
Сергей Транковсий
Колебания и волны, Лекции, Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А., 2001.
Пособие содержит лекции по механическим колебаниям и волнам, которые являются составной частью раздела «Механика» курса общей физики.
Для студентов физических специальностей университетов и высших учебных заведений.
Характеристики различных колебательных систем (осцилляторов).
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами) Примерами таких осцилляторов могут быть механические (рассмотренные выше), электрические (известные из школьного курса физики, например, колебательный контур), оптические (например, электрон в атоме) и другое системы.
Вначале обратимся к характеристикам наиболее распространенного осциллятора - маятника, представляющего собой тело, подвешенное на нити.
Маятник является одним из древнейших физических приборов. С помощью крутильных маятников были открыты законы гравитационного и электрического взаимодействий, измерено давление света, выполнено множество других физических экспериментов. В последнее время предложен и реализуется ряд новых экспериментов для изучения фундаментальных свойств материи, в которых очень малые силы измеряются с помощью крутильных маятников. Чувствительность таких экспериментов зависит от того, насколько ослаблены сейсмические возмущения, действующие на маятник, а также от стабильности его параметров, например, упругих свойств нити подвеса. Но даже если устранены все внешние возмущающие воздействия, остается один принципиальный источник флуктуаций его амплитуды и фазы колебаний. Это хаотическое тепловое движение молекул в нити подвеса и подвешенном теле. Действующая на него флуктуационная сила зависит oт температуры и от добротности маятника. Чем выше добротность маятника, тем медленнее затухают его колебания и диссипирует его энергия, превращаясь в тепло, т.е. хаотическое движение молекул. Это означает, что ослабевает и обратный процесс раскачки маятника хаотическим движением молекул, т.е. уменьшается флуктуационная сила, действующая на маятник. Для того, чтобы уменьшить затухание, тело и нить подвеса изготовляют из высококачественного плавленого кварца - материала с низкими потерями упругой энергии, а также принимают специальные меры для исключения других источников диссипации энергии. В результате добротность крутильных маятников достигает величины ~107.
Содержание
Предисловие
Лекция 1
Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы (6). Метод векторных диаграмм (10). Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (11). Фазовый портрет колебательной системы (14). Негармонические колебания математического маятника (18). Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением (20). Затухание колебаний в системах с сухим трением (24).
Лекция 2
Вынужденные колебания под действием гармонической силы (28). Медленные колебания (29). Быстрые колебания (29). Резонансный режим (30). Метод комплексных амплитуд (31). Вынужденные колебания с произвольной частотой (31). Баллистический режим колебаний (35). Установление колебаний (36). Характеристики различных колебательных систем (осцилляторов) (37). Параметрические колебания (39). Автоколебания (41). Маятник на вращающемся валу (маятник Фруда) (42).
Лекция 3
Свободные незатухающие колебания в системах с двумя степенями свободы (47). Методика анализа колебаний связанных осцилляторов (53). Соотношение между парциальными и нормальными частотами (55). Затухание колебаний (56). Энергия колебательной системы и ее диссипация (56). Вынужденные колебания (57). Колебания систем со многими степенями свободы (58).
Лекция 4
Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы (63). Возбуждение волн (65). Группа волн и ее скорость (68). Волновое уравнение (71). Отражение волны на конце шнура (73). Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний (75). Волны в упругих телах. Поперечные волны (79). Энергия, переносимая волной (80). Продольные волны (83). Скорость волн в тонком стержне (85). Скорость волн в толстом стержне (86). Явления на границе раздела двух сред (88).
Лекция 5
Тепловые колебания кристаллической решетки твердых тел. Акустические фононы (91). Объемные сейсмические волны (92). Поверхностные сейсмические волны (96). Волны в жидкостях и газах (97). Энергия, переносимая звуковой волной (99). Поглощение звука (100). Излучатели звука (101). Применение акустических методов (103). Основные характеристики звука (104). Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха (106). Акустические резонаторы (109). Некоторые сведения о музыкальных инструментах (111). Эффект Доплера (113). Бинауральный эффект (114). Интерференция волн (115). Дифракция волн (117).
Лекция 6
Волны на поверхности жидкости. Гравитационные волны (121). Волны глубокой воды (124). Волны мелкой воды (125). Характер движения частиц жидкости (125). Капиллярные волны (127). Волны цунами (129). Внутренние гравитационные и иные волны (130). Распространение акустических волн конечной амплитуды (130). Линейный режим (132). Нелинейный режим (132). Уединенные волны (солитоны) (139).
Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Колебания и волны, Лекции, Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А., 2001 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
ÓÄÊ 530.1 ÁÁÊ 22.236.35
АЛЕШКЕВИЧ В.А., ДЕДЕНКО Л.Г., КАРАВАЕВ В.А. Колебания и волны. Лекции. (Университетский курс общей физики). - М.: Физический факультет МГУ, 2001. - 144 с.
ISBN 5–8279–0011–7
Пособие содержит лекции по механическим колебаниям и волнам, которые являются составной частью раздела «Механика» курса общей физики.
Для студентов физических специальностей университетов и высших учебных заведений.
ISBN 5–8279–0011–7
© Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А., 2001
© Физический факультет МГУ, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
На кафедре общей физики ведется работа по подготовке и изданию оригинального курса «Общая физика», предназначенного для студентов физических специальностей вузов.
Курс будет охватывать четыре раздела: «Механика», «Молекулярная физика», «Электромагнетизм» и «Оптика», соответствовать новым учебным программам, разработанным на физическом факультете МГУ, и отражать современные тенденции и технологии физического образования.
Отличительной особенностью данного курса является то, что в нем наиболее последовательно в методическом отношении проводится точка зрения о существенном единстве основных форм обучения физике: лекций, лабораторных экспериментов и семинарских упражнений. Лекции по каждой теме начинаются с демонстрации основных экспериментальных фактов, которые затем анализируются и обобщаются в виде физических законов и соотношений. Такой подход к изложению материала закрепляется при выполнении лабораторных экспериментов, цель которых - научить студентов навыкам самостоятельной постановки и решения физических проблем, проведению экспериментальных исследований, компьютерного моделирования, а также методам интерпретации и анализа экспериментальных данных. Более глубокое понимание основных физических явлений и закономерностей достигается на семинарских занятиях.
В соответствии с поставленными задачами каждый раздел курса будет состоять из четырех пособий: «Лекции», «Лекционный эксперимент», «Лабораторный эксперимент», «Семинарские занятия». Пособия, написанные в едином методическом ключе, будут комплектоваться видеозаписями лекционных демонстраций и дискетами с описанием модельных экспериментов.
Учебное пособие «Колебания и волны. Лекции» является частью готовящегося к изданию курса «Механика» и может рассматриваться как самостоятельное учебное пособие по данной теме. Лекции написаны на основе курсов, читаемых авторами на физическом факультете МГУ. Как и в предыдущих выпусках этой серии, предлагается многоуровневый подход к изучению этого важнейшего раздела.
В части, посвященной колебаниям систем с одной степенью свободы (лекции 1–2), наряду с традиционными системами рассматриваются характеристики различ- ных осцилляторов: высокодобротного камертона, прецизионного физического маятника, используемого в качестве гравитационной антенны, колебательного контура, многоатомных молекул и оптического осциллятора - электрона в атоме. Анализируются фазовые портреты при различных режимах колебаний, а также нелинейные колебания математического маятника. Предложена упрощенная концепция количественного описания автоколебаний (маятник на вращающемся валу) и параметрических колебаний (математический маятник с изменяющейся длиной нити) с использованием условий энергетического баланса. Более детально, чем обычно, рассмотрены свободные и вынужденные колебания систем с двумя, тремя и N степенями свободы и введено дисперсионное соотношение, позволяющее связать частоту модыω и ее конфигурацию, задаваемую волновым числом k (лекции 3–4). Вводится понятие тепловых фононов в кристаллах. Стоячие волны в сплошных средах рассматриваются путем предельного перехода при N→ ∞ .
Лекции 5–6 посвящены бегущим волнам. Здесь рассматриваются не только общепринятые модели волновых движений частиц твердых тел, жидкости и газа, но также объемные и поверхностные сейсмические волны и современная сейсмическая модель Земли. На основе системы уравнений Эйлера, введенной в предыдущих учебных пособиях этой серии, предлагается адаптированный подход к описанию гравитацион- но–капиллярных волн и оцениваются характеристики таких волн, включая волны цунами. Для наиболее подготовленных студентов излагаются основные элементы нелинейного распространения акустических волн конечной амплитуды.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность ÷ë.–êîðð. РАН проф. О.В.Руденко, проф. В.П.Митрофанову, доц. В.И.Балакшию, проф. К.В.Показееву, с.н.с. Е.В.Ворониной за полезное обсуждение содержания отдельных тем, входящих в область профессиональных научных интересов наших коллег.
Мы традиционно признательны доц. М.В.Семенову и асс. А.А.Якуте за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания, а также н.с. А.В.Селиверстову, м.н.с. М.П.Виноградову, А.А.Баранову, Д.А.Баранову и Н.А.Якута за подготовку рукописи к изданию.
Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Метод векторных диаграмм. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фазовый портрет колебательной системы. Негармонические колебания математического маятника. Свободные колебания в диссипативных системах с вязким трением. Коэффициент и время затухания, логарифмический декремент, добротность. Колебания в системе с сухим трением. Явление застоя.
Окружающий нас мир полон движущихся объектов. Чрезвычайно важным классом движений являются такие, в которых объект совершает финитное (ограниченное) движение вблизи некоторого положения равновесия. Разумеется, под движением мы понимаем не только его простейшую форму - изменение положения объекта в пространстве, - но и любое изменение во времени свойств материи, распределенной в пространстве. Колебаниями называются процессы, повторяющиеся (или приблизительно повторяющиеся) во времени.
Любая система, колебания которой мы будем изучать, может быть охарактеризована некоторой физической величиной, отклонение которой f(x, y, z, t) от равновесного значения зависит от координат и времени.
В случае механических систем (а именно такие системы мы будем далее изучать в курсе «Механика») движущимися объектами являются точечные массы или физически малые элементы объема материальной среды (жидкости, газа, твердого тела и т.д.). Поэтому при описании колебаний таких систем функция f(x, y, z, t) может характеризовать смещение (линейное или угловое), скорость, ускорение, деформацию, кинети- ческую или потенциальную энергию, давление и пр.
При колебаниях в электрических системах колеблющейся величиной f может быть ток в цепи, заряд на пластинах конденсатора колебательного контура, напряжение на катушке индуктивности. В случае открытого колебательного контура в окружающем пространстве колеблются электрическое E(x, y, z, t) и магнитное B(x, y, z, t) поля.
Колебания могут быть результатом кратковременного внешнего возбуждения. Тогда они называются свободными, или собственными. Такие колебания происходят на частотах, обусловленных исключительно конструктивными особенностями системы - собственных частотах, и продолжаются в течение некоторого характерного времени - времени затухания, зависящего от диссипации энергии в системе.
Для поддержания незатухающих колебаний к системе должна непрерывно подводиться энергия от внешнего источника. В этом случае колебания будут вынужденными. В зависимости от способа поддержания незатухающих колебаний различают вынужденные колебания под действием периодической силы, автоколебания, параметрические колебания, релаксационные колебания и т.д.
Незатухающие гармонические колебания систем с одной степенью свободы. Если положение системы может быть описано одним единственным параметром f(t), зависящим от времени, то такая система имеет одну степень свободы. Примерами таких систем являются хорошо известные из школьного курса математический и пружинный маятники, изображенные на рис. 1.1, если первый из них движется в одной плоскости, а второй - по прямой.
Для математического маятника f(t) может характеризовать либо угловое смещение (f(t) = α (t)), либо линейное смещение вдоль траектории (f(t) = s(t)) точечной массы m от положения равновесия, а для пружинного маятника f(t) = s(t), где s(t) - смещение массы m от ее равновесного положения, изображенного пунктиром.
Движение таких и подобных им систем можно описать на основе второго закона Ньютона:
ma = F . |
Если пренебречь вначале силами сопротивления (в дальнейшем мы учтем их действие), то на массу m математического маятника будет действовать результирующая сила F = N + mg (N - сила натяжения нити), направленная, вообще говоря, под углом к траектории, а на массу m пружинного маятника, лежащего на гладкой горизонтальной поверхности, - горизонтальная сила Fτ , являющаяся функцией смещения s от положения равновесия.
Так как смещение s(t) в случае математического маятника определяется танген-
циальным ускорением, то уравнение (1.1) для обоих маятников запишется в виде | |||||||||
d 2 s | Fτ (s)= − mg sin | d 2 s | Fτ (s), | ||||||
где l - длина нити.
 первом уравнении использована проекция F τ (s) результирующей силы F на направление скорости в виде Fτ = –mgsinα = –mgsin(s/l).
 рассматриваемых примерах возвращающая сила F τ (s) является, вообще говоря, нелинейной функцией смещения s. Поэтому точное решение уравнений (1.2), которые являются нелинейными, получить не удается. Далее мы рассмотрим некоторые примеры таких нелинейных колебаний.
Fτ (s)= − mg | Fτ (s)= − ks. | |||
Выражение слева записано при учете условия sin(s/l) ≈ s/l, а справа - с использованием закона Гука, справедливого при малых деформациях пружины с жесткостью k.
С учетом (1.3) уравнения (1.2) примут одинаковый вид:
d 2 s | d 2 s | |||||||
dt 2 | dt 2 | |||||||
Различаются лишь коэффициенты в правых частях этих уравнений, которые численно равны отношению возвращающей силы при единичном смещении к массе колеблющегося тела и имеют размерность . Если использовать обозначения
ω 0 2 = | ω0 2 = | ||||||
то уравнения (1.4) примут вид уравнения незатухающих гармонических колебаний, или уравнения гармонического осциллятора:
d 2 s= −ω 2 s . dt 2 0
Решением уравнения (1.6) является семейство гармонических функций
s(t) = s0 sin(ω 0 t+ ϕ 0 ),
в чем легко убедиться, дважды продифференцировав функцию s(t) по времени:
cos(ω | t + ϕ | d 2 s | = −s ω2 | sin(ω | t + ϕ | ||||||||||
dt 2 | |||||||||||||||
Заметим, что если уравнение движения приводится к виду (1.6), то его решением являются гармонические функции (1.7) с частотой ω 0 , равной корню квадратному из коэффициента при s.
Значения этих гармонических функций в начальный момент времени (при t = 0) определяются начальной фазой ϕ 0 (см. ниже) и амплитудой колебаний s0 . У одной и той же системы эти значения могут быть различными при разных способах возбуждения колебаний.
Чтобы возбудить собственные колебания, надо вначале (при t = 0) либо отклонить тело (задать начальное смещение s(0)), либо толкнуть его (задать начальную скорость
ds dt (0) = v (0)), либо сделать и то, и другое одновременно. Знание начальных условий
(смещения и скорости) позволяет определить амплитуду s0 и начальную фазу колебанийϕ 0 из очевидных уравнений:
s(0) = s(t) | t = 0 = s0 sin(ω 0 t+ ϕ 0 ) | t = 0 = s0 sinϕ 0 ; | |||||||||||||||||||||||
v(0) = | cos(ω | t + ϕ | |||||||||||||||||||||||
t = 0 | t = 0 | ||||||||||||||||||||||||
Решение этих уравнений имеет вид: | |||||||||||||||||||||||||
s0 = s2 (0)+ | 2 (0) | ϕ 0 = arctg | ω 0 s(0) | ||||||||||||||||||||||
Важно отметить, что амплитуда колебаний s0 , равная величине максималь- |
||||||
ного смещения тела от положения равновесия, может пре- |
||||||
восходить начальное смещение s(0) при наличии начально- |
||||||
го толчка. | ||||||
Наряду с круговой частотой ω 0 колебания характери- |
||||||
зуются циклической частотой ν 0 =ω 0 / 2π , равной числу коле- |
||||||
времени, и | периодом колебаний |
|||||
T = 1 / ν 0 , равным длительности одного колебания. |
||||||
Период гармонических колебаний (равно как и часто- |
||||||
òû ω 0 èν 0 ) не зависит от начальных условий и равен |
||||||
T = 2π | T = 2π | |||||
Другим примером являются колебания физического маятника - тела произвольной формы массы m, закрепленного на горизонтальной оси O´ так, что его центр масс находится в точке O, удаленной от оси на расстояние а. При отклонении маятника от вертикали на небольшой угол α он будет совершать свободные гармонические колебания под действием силы тяжести, приложенной к центру масс (рис. 1.2).
Если известен момент инерции тела J относительно оси вращения, то уравнение вращательного движения запишется в виде
Для малых углов отклонения уравнение (1.12) переходит в уравнение гармонических колебаний
d 2 α | |||||
dt 2 | |||||
из вида которого сразу ясно, что частота ω 0 и период Т колебаний соответственно равны
ω 0 2 = | T = 2π | |||||
Сравнивая выражения для периода колебаний физического (1.14) и математи- ческого (1.11) маятников, легко видеть, что оба периода совпадают, если
Поэтому физический маятник характеризуется приведенной длиной (1.15), которая равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.
Период колебаний физического маятника (а, следовательно, и его приведенная длина l) немонотонно зависит от расстояния а. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Гюйгенса–Штейнера момент инерции J выразить через момент инерции J0 относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс: J = J0 + ma2 . Тогда период колебаний (1.14) будет равен:
T = 2π | Ma 2 | |||
Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс O в обе стороны на расстояние а показано на рис. 1.3.
Легко видеть, что один и тот же |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
период колебаний может реализоваться |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
относительно любой из четырех осей, рас- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положенных попарно по разные стороны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
от центра масс. Можно показать, что сум- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ма расстояний a+ è a2 + равна приведенной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a– 2 | a1 – O a+ 1 | a+ 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
длине физического маятника: l = a+ + a+ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В силу симметрии графика ясно, что | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l = a+ + a− . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это обстоятельство позволяет для любой оси вращения O+ определить сопряженную ось O– . Период колебаний относительно этих осей одинаков, а расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника.
На рис. 1.4 изображены положения осей O+ è O– , при этом ось вращения, удаленная на расстояние a2 − , при такой форме маятника находится вне его.
Физический маятник применяется для измерения ускорения свободного падения. С этой целью измеряют зависимость периода колебаний маятника от положения оси вращения и по этой экспериментальной зависимости находят в соответствии с формулой (1.17) приведенную длину. Определенная таким образом приведенная длина в сочетании с измеренным с хорошей точностью периодом колебаний относительно обеих осей позволяет рассчитать ускорение свободного падения. Важно отметить, что при таком способе измерений не требуется определение положения центра масс, что в ряде случаев повышает точность измерений.
Метод векторных диаграмм. Гармонические колебания (1.7) допускают наглядную графическую интерпретацию. Ее смысл состоит в том, что каждому гармони- ческому колебанию с частотой ω 0 можно поставить в соответствие вращающийся с угловой скоростьюω 0 вектор, длина которого равна амплитуде s0 , а его начальное (стартовое) положение задается угломϕ 0 , совпадающим с начальной фазой (рис. 1.5).
Вертикальная проекция вектора s0 изменяется со временем: s(t) = s0 sinϕ (t). Мгновенное положение вектора s0 определяется угломϕ (t), который называется фазой и равен:
ϕ(t) = ω0 t + ϕ0 . | ||||
При угловой скорости (круговой частоте) ω | вектор совершает ν = | оборотов |
||
(циклов) в секунду, а продолжительность одного оборота (период) равна отношению угла 2π к угловой скоростиω 0 : T = 2π /ω 0 .
С помощью векторных диаграмм легко осуществить сложение гармонических колебаний. Так, если необходимо сложить два колебания с одинаковыми частотами
s(t) = s1 (t) + s2 (t) = s01 sin (ω 0 t +ϕ 1 ) + s02 sin (ω 0 t +ϕ 2 ) = s0 sin (ω 0 t +ϕ 0 ),
–s0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||