1. Свойство деления двух равных натуральных чисел:
если натуральное число разделить на равное ему число, то в результате получится единица.
Осталось привести пару примеров. Частное от деления натурального числа 405 на равное ему число 405 равно 1; результат деления 73 на 73 также равен 1.
2. Свойство деления натурального числа на единицу:
результатом деления данного натурального числа на единицу является это натуральное число.
Запишем сформулированное свойство деления в буквенном виде: a: 1 = a.
Приведем примеры. Частным от деления натурального числа 23 на 1 является число 23, а результатом деления натурального числа 10 388 на единицу является число 10 388.
3. Деление натуральных чисел не обладает переместительным свойством.
Если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в силу свойства деления равных натуральных чисел, рассмотренного в первом пункте этой статьи, мы можем поменять их местами. При этом результатом деления будет все то же натуральное число 1.
Иными словами, если делимое и делитель являются равными натуральными числами, то в этом случае деление обладает переместительным свойством. 5: 5 = 1 и 5 : 5 = 1
В остальных случаях, когда делимое и делитель не являются равными натуральными числами, переместительное свойство деления не имеет места.
Итак, в общем случае деление натуральных чисел НЕ обладает переместительным свойством .
С помощью букв последнее утверждение записывается как a: b ≠ b: a
, где a и b – некоторые натуральные числа, причем a ≠ b
.
4. Свойство деления суммы двух натуральных чисел на натуральное число :
разделить сумму двух натуральных чисел на данное натуральное число – это все равно, что сложить частные от деления каждого слагаемого на данное натуральное число.
Запишем это свойство деления с помощью букв. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что a можно разделить на c и b можно разделить на c, тогда (a + b) : c = a: c + b: c.
В правой части записанного равенства в первую очередь выполняется деление, после чего – сложение.
Приведем пример, подтверждающий справедливость свойства деления суммы двух натуральных чисел на данное натуральное число. Покажем, что равенство (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 верное. Сначала вычислим значение выражения из левой части равенства. Так как 18 + 36 = 54, то (18 + 36) : 6 = 54: 6. Из таблицы умножения натуральных чисел находим 54: 6 = 9. Переходим к вычислению значения выражения 18:6+36:6. Из таблицы умножения имеем 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6, поэтому 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. Следовательно, равенство (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 верное.
5. Свойство деления разности двух натуральных чисел на натуральное число:
разделить разность двух чисел на данное число – это все равно, что отнять от частного уменьшаемого и данного числа частное вычитаемого и данного числа.
С помощью букв это свойство деление можно записать так: (a - b) : c = a: c - b: c , где a, b и c – такие натуральные числа, что a больше или равно b, а также и a и b можно разделить на c.
В качестве примера, подтверждающего рассматриваемое свойство деления, покажем справедливость равенства (45 - 25) :5 = 45: 5 - 25: 5. Так как 45 - 25 = 20 (при необходимости изучите материал статьи вычитание натуральных чисел), то (45 - 25) : 5 = 20: 5. По таблице умножения находим, что полученное частное равно 4. Теперь вычислим значение выражения 45: 5 - 25: 5, стоящего в правой части равенства. Из таблицы умножения имеем 45: 5 = 9 и 25: 5 = 5, тогда 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. Следовательно, равенство (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 верно.
6. Свойство деления произведения двух натуральных чисел на натуральное число:
результат деления произведения двух натуральных чисел на данное натуральное число, которое равно одному из множителей, равен другому множителю.
Приведем буквенный вид этого свойства деления: (a · b) : a = b или (a · b) : b = a , где a и b – некоторые натуральные числа.
В начальном курсе математики теоремы о делимости суммы «представлены» в виде св-ва «Деление суммы на число». Это св-во используется при делении двузначного числа на однозначное.
В учебнике М2М методика знакомства детей с данным свойством аналогична методике изучения свойства умножения суммы на число. А именно: сначала учащиеся анализируют два способа решения задачи, используя для этой цели рисунок, затем на конкретном примере разъясняются два способа действия при делении суммы на число, т. е. рассматривается тот случай, когда каждое слагаемое делится на данное число.
Рассмотри два способа решения примера: (6+9):3 ;
Вычислисумму и раздели полученный результат на число: (6+9):3=15:3=5;
Раздели на число каждое слагаемое, а потом сложи полученные результаты: (6+9):3=6:3+9:3=2+3=5. Сравни результаты.
Новый способ действия закрепляется в процессе выполнения упражнений: Вычисти значение каждого выражения двумя способами: (10+4):2, (8+12):4, (12+15):3.
В учебнике М2И для знакомства учащихся со свойством деления суммы на число использован другой методический подход.
Учащимся предлагается такое задание: Догадайся! По какому правилу записаны выражения в каждом столбике? Вычисли их значения: 54:9 (36+18):9 36:9+18:9; 63:7 (49+14):7 49:7+14:7.
В процессе выполнения этого задания учащиеся осознают новый способ действия. А именно: делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, затем на это число делится каждое слагаемое и полученные результаты складываются. Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания. При этом выражения, используемые в заданиях, включают только табличные случаи деления, поэтому учащиеся не испытывают затруднений в применении нового способа действия.
24. Методика ознакомления с понятием «уравнение».
Числовое выражение;
Выражение с переменной;
Равенство и неравенство;
Уравнение.
2) Раскрыть их содержание.
Понятие уравнение является одним из основных алгебраических понятий, изучаемых в курсе математики в начальной школе. В начальной школе рассматриваются только уравнения 1й степени с одним неизвестным, причем по большинству методик рекомендуется знакомить детей исключительно с простейшими уравнениями.
Простейшими уравнениями считаются уравнения, в которых для нахождения корня достаточно выполнить единственный шаг. Но по некоторым другим методикам, кроме указанных уравнений рекомендуется познакомить учащихся с более сложными уравнениями типа:
В основе решения уравнения в начальной школе лежит связь между компонентами арифметических действий и их результатом.
Задачи, стоящие перед учителем:
Познакомить учащихся с понятием уравнения и его решением;
Сформировать осознанный навык решения уравнений.
Предлагать учащимся начальной школы для решения уравнения в неявном виде, т.е. предлагать запись вида:
Вставь в окошко пропущенное число, чтобы получилось верное равенство.
Такое задание можно предлагать на различных этапах обучения в начальной школе. В зависимости от того, на каком этапе обучения предлагаются указанные задания, учащимся можно действовать 2мя способами:
1. Если дети еще не знают связей между компонентами действий и их результатами, то они выполняют указанные задания методом подбора. Т.е. подставляют в окошко различные числа и проверяют верно ли равенство.
2. Если указанные задания предлагаются, когда дети уже знакомы со связями между компонентами действий и их результатами, то находят, пользуясь этой связью.
Из вышесказанного можно сделать вывод, что на этапе подготовки учащихся к ознакомлению с понятием уравнения, они знакомятся с уравнением в неявном виде и способом решения уравнений методом подбора => 2й способ решения уравнений – способ подбора.
Так же к подготовительному этапу следует отнести ознакомление учащихся начальной школы с компонентами различных арифметических действий, их результатами и связью между ними. Если ознакомление учащихся с данными понятиями не пройдет на должном уровне и дети осознано не усвоят правила нахождения неизвестных слагаемых, вычитаемого, уменьшаемого и т.д., то ознакомление с решением уравнения не пройдет на должном уровне. В течение всего процесса изучения математики на начальном уровне до момента знакомства с уравнением нужно проводить работу, направленную на формирование у учащихся твердых умений и навыков по нахождению неизвестных компонентов арифметических действий.
Знакомство с понятием уравнение.
Детям предлагается запись:
Затем сообщается, что в математике неизвестное число принято обозначать специальными буквами, основной из которых является «х ».
и сообщается, что представленное равенство называется уравнением. Для того чтобы у детей сформировать понятие уравнение, нужно предложить ряд выражений:
Дети должны из указанных объектов выявить те, которые являются уравнениями, объяснив свой выбор. При этом они должны указать существенные свойства уравнений (равенство, есть х ).
Одновременно с понятием «уравнение» у детей формируется представление о том, что значит решить уравнение. Они должны полностью осознать тот факт, что решить уравнение – это найти такое число, которое при подстановке в уравнение вместо неизвестного превращает последнее в верное числовое равенство. Понятие «корень уравнения» не вводится, хотя определенные методики допускают введение указанного термина (по Эльконину-Давыдову).
Уже на этапе изучения уравнения в начале неплохо заняться пропедевтикой понятия «область определения уравнения». Особенно эффективно такая работа проводится…
х -10=2 (нельзя 9, т.к. …)
15:х=5 (нельзя 5, т.к. …)
При рассмотрении такого рода уравнений делается вывод, что далеко не каждое число может быть решением указанных уравнений.
Для того чтобы работа по изучению уравнений была эффективной, детям необходимо предлагать уравнения с разнообразными заданиями:
Реши уравнение и выполни проверку;
Выполни проверку решаемых уравнений, найди ошибку;
Составь уравнения с числами: х, 10, 12
12-х=10 и т.д.
Из заданных уравнений решите только те, которые решаются при помощи действия вычитания:
10-х=8 и т.д.
Из заданных уравнений решите только те, которые решаются при помощи сложения;
Детям дано уравнение, в котором пропущен знак действия
и дано решение
Особое внимание при рассмотрении понятия уравнение следует уделить проверке. Очень важно, чтобы при выполнении проверки решения уравнений учащиеся подходили к этой работе не формально, а осознано. Для этого им следует предлагать проблемные ситуации, в которых нужно выполнять конкретные действия по проверке решенных уравнений, а именно предлагать уже решенное уравнение и просить, не решая его, установить, сделана ли ошибка или нет. Чтобы контролировать действия учащихся в данном процессе необходимо предлагать их рассказывать о своих действиях вслух.
25. Методика ознакомления с понятием «выражение» (числовые выражения и выражения с переменной).
В курсе математики в начальной школе дети знакомятся со следующими алгебраическими понятиями:
Числовое выражение;
Выражение с переменной;
Равенство и неравенство;
Уравнение.
Задачи, стоящие перед учителем:
1) Сформировать представление у учащихся об указанных понятиях.
2) Раскрыть их содержание.
ЧИСЛОВОЕ ВЫРАЖЕНИЕ.
Задачи:
2) Познакомить с правилами порядка выполнения действий в выражениях. Научить ими пользоваться при вычислениях.
3) Научить детей выполнять некоторые тождественные преобразования выражений.
Ознакомление учащихся с понятием числовое выражение происходит с первых дней обучения в школе с вводом того или иного арифметического действия.
Знакомство детей начальной школы с понятием действия сложения: детям показывается то числовое выражение, которое называется суммой. Учитель должен помнить, что знак действия, поставленный между числами, имеет двоякий смысл. С одной стороны он показывает действия, которые следует выполнять над числами, а с другой стороны показывает обозначение данного числового выражения. Отсюда понятие «числовые выражения» неразрывно связано с понятием «арифметические действия» и при формировании этих понятий одно способствует формированию другого.
Ознакомление с числовыми выражениями происходит постепенно, причем сначала учащиеся знакомятся с простейшими выражениями (с одним знаком действия), а потом с более сложными выражениями (2 и более действий). Очень важным этапом является этап сравнения выражений. Через сравнение выражений дети знакомятся с такими понятиями как равенство и неравенство.
По мере усложнения выражений для нахождения их значений возникает необходимость ознакомления учащихся начальной школы с правилами выполнения действий в выражениях.
Осуществление знакомства с этими правилами происходит тоже постепенно:
1) Сначала дети знакомятся с правилом осуществления действий в выражении, в которое включены действия одной ступени, причем отсутствуют скобки.
2) Затем учащиеся знакомятся с правилами выполнения действий в выражениях с действиями одной ступени и скобками.
3) Затем – выражения с действиями разных ступеней, но без скобок.
4) Затем – выражения с действиями двух ступеней и скобками.
Ознакомление со всеми правилами происходит следующим образом: учитель сообщает – дети должны запомнить.
Для того, чтобы дети усвоили введенные правила, им следует предлагать разнообразные задания:
1) Вычисли значение данного выражения, предварительно указав порядок действий.
2) Расставь скобки, чтобы получились верные равенства.
3) Из заданных пар примеров выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий.
После объяснения ошибок можно дать задание: используя скобки изменить выражение так, чтобы оно имело заданное значение.
4) Детям предлагается указать порядок действий в следующих записях:
Особое внимание при формировании понятий числовых выражений следует обратить на выполнение детьми тождественных преобразований (преобразование является тождественным, если из одного выражения получается другое выражение ему тождественно равное).
Тождественные преобразования, которые выполняют учащиеся начальной школы:
1) Замена +, -, :, х их значениями.
2) Перестановка слагаемых.
3) Раскрытие скобок.
В основе всех тождественных преобразований, которые выполняют учащиеся начальной школы лежат правила выполнения действий над числами и свойства тех или иных арифметических действий (переместительное, сочетательное, распределительное, правило умножения суммы на число, правило вычитания суммы из числа, действия с 0 и 1 и т.д.)
При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по разному, но значения выражений при этом не изменятся.
В дальнейшем те или иные свойства учащиеся используют для тождественных преобразований выражений.
1) ученик читает выражение;
2) вспоминает соответствующее свойство;
3) опираясь на это свойство, выполняет преобразование выражения.
Для того, чтобы убедиться в правильности выполняемых преобразований, учащимся рекомендуется найти значение того же выражений другим способом.
Если получаемое значение совпадает с первым, то преобразование выполнено правильно.
Для развития математической речи и осознанного выполнения преобразований необходимо предлагать детям дать объяснение выполняемых действий.
ВЫРАЖЕНИЕ С ПЕРЕМЕННОЙ.
Задачи:
1) Дать представление о выражениях, содержащих переменную.
2) Научить находить значение выражения при различных значениях переменного.
Изучая математику в начальной школе, учащиеся на различных этапах сталкиваются с выражениями с переменными. Знакомство с этими математическими понятиями и работа с ними позволяет обобщить у учащихся понятие выражение.
Хорошей подготовкой является задание, где переменная представлена в неявном виде (пустое окошко, точки)
Например: 3+
Вставь в окошко каждое из следующих чисел 1, 2, 3, найди сумму.
Постепенно детей приводят к мысли о том, что в математике вместо пропущенного числа можно записать букву, и, придавая букве те или иные значения, получить различные значения выражения.
Так же значения с переменными используются при знакомстве с формулами для нахождения периметра и площади.
Следует отметить, что объем получаемых знаний у учащихся по указанной теме отличается друг от друга в зависимости от учебника математики.
Например:
Петерсон, Истомина, Александрова – объем и содержание выражений с переменной значительно расширены, активно используются (формирование у учащихся свойств арифметических действий)
На данном уроке учащимся предоставляется возможность повторить табличные случаи умножения и деления, познакомиться с правилом деления суммы на число, а также потренироваться в выполнении различных заданий по теме урока.
Прочитайте и сравните выражения, записанные на доске.
(6 + 4) + 2
(6 + 4) - 2
(6 + 4) * 2
(6 + 4) : 2
Вы заметили, что в каждом выражении имеется сумма чисел 6 + 4.
Прочитаем выражения.
(6 + 4) + 2
Сумму чисел 6 + 4 увеличили на 2.
(6 + 4) - 2
Сумму чисел 6 + 4 уменьшили на 2.
(6 + 4) * 2
Сумму чисел 6 + 4 увеличили в 2 раза.
(6 + 4) : 2
Сумму чисел 6 + 4 уменьшили в 2 раза
Как вы думаете, значения этих сумм будет одинаково?
Проверим. Вычислим значения выражений. Помним, что первое действие выполняем в скобках.
(6 + 4) + 2 = 12
(6 + 4) - 2 = 8
(6 + 4) * 2 = 20
(6 + 4) : 2 = 5
Мы получили разные значения.
Рассмотрим, как может быть выполнено деление суммы на число.
Рис. 1. Деление суммы на число
Способ 1.
Сначала мы сложили синие и красные квадраты, а затем их количество разделили на две равные части.
(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5
Способ 2.
Сначала мы можем синие квадраты разделить на две равные части, затем красные квадраты разделить на две равные части, а потом результаты сложить.
(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5
При выполнении действий разными способами результат получается одинаковый. Поэтому можно сделать вывод.
Чтобы разделить сумму на число, можно каждое слагаемое разделить на это число,
а полученные частные сложить.
(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2
Применим полученные знания на практике. Вычислим значения выражений.
(64 + 72) : 8
(36 + 81) : 9
(80 + 16) : 4
Чтобы разделить сумму на число, разделим каждое слагаемое на это число, а полученные значения частных сложим.
(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17
(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13
(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24
Рассмотрите выражения. Что в них общего?
(36 + 6) : 6
(10 + 32) : 6
(34 + 8) : 6
(24 + 18) : 6
Правильно. В каждом выражении необходимо делить сумму на число 6.
Разделим выражения на две группы.
В первую запишем те выражения, где можно применить свойство деления суммы на число. В этих выражениях каждое слагаемое суммы делится на 6.
(36 + 6) : 6
(24 + 18) : 6
Во вторую группу запишем выражения, где слагаемые суммы на 6 не делятся, это значит, что в них нельзя применить свойство деления суммы на число.
(10 + 32) : 6
(34 + 8) : 6
Выполним задание.
Какие из данных чисел можно записать в виде суммы двух слагаемых, в которой каждое из слагаемых будет делиться на 7?
35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70
Сначала выпишем числа, которые делятся на число 7 без остатка.
35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70
Составим выражения и найдем их значения.
(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9
(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12
(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15
Выполним следующее задание.
Вставьте пропущенные числа, применяя правило деления суммы на число.
(… + …) : 8 = 8 + 6
(… + …) : 9 = 9 + 5
(… + …) : 3 = 8 + 5
Рассуждаем так.
(… + …) : 8 = 8 + 6
Первое слагаемое разделили на 8 и получили число 8. Значит, это было число 64. Второе слагаемое разделили на 8 и получили число 6. Значит, это было число 48. Запишем решение.
(64 + 48) : 8 = 8 + 6
(… + …) : 9 = 9 + 5
Первое слагаемое разделили на 9 и получили число 9. Значит, это было число 81. Второе слагаемое разделили на 9 и получили число 5. Значит, это было число 45. Запишем решение.
(81 + 45) : 9 = 9 + 5
(… + …) : 3 = 8 + 5
Первое слагаемое разделили на 3 и получили число 8. Значит, это было число 24. Второе слагаемое разделили на 3 и получили число 5. Значит, это было число 15. Запишем решение.
(24 + 15) : 3 = 8 + 5
Сегодня на уроке мы познакомились с правилом деления суммы на число, потренировались в решении примеров по теме урока.
Список литературы
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
- М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
- «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
- С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.
Рассмотрим понятие деление на задаче:
В корзине лежало 12 яблок. Шестеро детей разобрали яблоки. У каждого ребенка получилось одинаковое количество яблок. Сколько яблок у каждого ребенка?
Решение:
Нам нужно 12 яблок поделить на шестерых детей. Запишем математически задачу 12:6.
Или по-другому можно сказать. На какое число нужно умножить число 6, чтобы получилось число 12? Запишем в виде уравнения задачу. Количество яблок нам неизвестно, поэтому обозначим их за переменную x.
Чтобы найти неизвестное x нам нужно 12:6=2
Ответ: по 2 яблока у каждого ребенка.
Рассмотрим подробно пример 12:6=2:
Число 12 называется делимым
. Это число, которое делят.
Число 6 называется делителем
. Это число, на которое делят.
И результат деления число 2 называют частным
. Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
В буквенном виде деление выглядит так:
a:b=c
a
– делимое,
b
– делитель,
c
– частное.
Так что же такое деление?
Деление – это действие, обратное одного множителя мы можем найти другой множитель.
Деление проверяется умножением, то есть:
a
:
b
=
c
, проверка с⋅
b
=
a
18:9=2, проверка 2⋅9=18
Неизвестный множитель.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 3 штуки елочных шаров. Чтобы нарядить елку нам нужно 30 шаров. Сколько нам нужно взять упаковок с елочными шарами?
Решение:
x – неизвестное количество упаковок шаров.
3 – штуки в одной упаковки шаров.
30 – всего шаров.
x⋅3=30 нам нужно столько раз взять по 3, чтобы получилось в итоге 30. x – это неизвестный множитель. То есть, чтобы найти неизвестный нужно, произведение поделить на известный множитель.
х=30:3
х=10.
Ответ: 10 упаковок шаров.
Неизвестное делимое.
Рассмотрим задачу:
В каждой упаковке по 6 цветных карандашей. Всего упаковок 3 штуки. Сколько всего карандашей было, до того пока их не разложили по упаковкам?
Решение:
x – всего карандашей,
6 – карандашей в каждой упаковке,
3 – упаковки карандашей.
Запишем уравнение задачи в виде деления.
x:6=3
x – это неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое надо, частное умножить на делитель.
х=3⋅6
х=18
Ответ: 18 карандашей.
Неизвестный делитель.
Разберём задачу:
Было 15 шаров в магазине. За день в магазин пришло 5 покупателей. Покупатели купили равное количество шаров. Сколько шаров купил каждый покупатель?
Решение:
х – количество шаров, которое купил один покупатель,
5 – количество покупателей,
15 – количество шаров.
Запишем уравнение задачи в виде деления:
15:х=5
х – в данном уравнении является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, мы делимое делим на частное.
х=15:5
х=3
Ответ: по 3 шара у каждого покупателя.
Свойства деления натурального числа на единицу.
Правило деления:
Любое число, деленное на 1 результатом будет тоже самое число.
7:1=7
a
:1=
a
Свойства деления натурального числа на нуль.
Рассмотрим пример: 6:2=3, проверить правильно ли мы поделили можно умножением 2⋅3=6.
Если мы 3:0, то сделать проверку мы не сможем, потому что любое число умноженное на нуль будет нуль. Поэтому запись 3:0 не имеет смысла.
Правило деления:
Делить на нуль нельзя.
Свойства деления нуля на натуральное число.
0:3=0 эта запись имеет смысл. Если мы ничего поделим на три части то получим ничего.
0:
a
=0
Правило деления:
При делении 0 на любое натуральное число не равное нулю, результат всегда будет равен 0.
Свойство деления одинаковых чисел.
3:3=1
a
:
a
=1
Правило деления:
При делении любого числа на себя, не равное нулю, результат будет равен 1.
Вопросы по теме “Деление”:
В записи a:b=c назовите, что здесь является частным?
Ответ: a:b и c.
Что такое частное?
Ответ: частное показывает во сколько раз делимое больше делителя.
При каком значении m запись 0⋅m=5?
Ответ: при умножении на нуль в ответе всегда будет 0. Запись не имеет смысла.
Существует ли такое n, что 0⋅n=0?
Ответ: да, запись имеет смысл. При умножении любого числа на 0 будет 0, поэтому n – любое число.
Пример №1:
Найдите значение выражение: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Ответ: а) 0:41=0 б) 41:41=1 в) 41:1=41
Пример №2:
При каких значениях переменных верно равенство: а) х:6=8 б) 54:х=9
а) х – в данном примере является делимым. Чтобы найти делимое нужно частное умножить на делитель.
х – неизвестное делимое,
6 – делитель,
8 – частное.
х=8⋅6
х=48
б) 54 – делимое,
х – делитель,
9 – частное.
Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое поделить на частное.
х=54:9
х=6
Задача №1:
У Саши 15 марок, а Миши 45 марок. Во сколько раз у Миши марок больше чем у Саши?
Решение:
Можно задачу решить двумя способами. Первый способ:
15+15+15=45
Нужно 3 числа 15, чтобы получить 45, следовательно, в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
Второй способ:
45:15=3
Ответ: в 3 раза у Миши марок больше, чем у Саши.
В рамках этой статьи мы изучим общие представления, связанные с делением натуральных чисел. Их принято называть свойствами процесса деления. Мы разберем основные из них, поясним их значение и подкрепим свои рассуждения примерами.
Деление двух равных натуральных чисел
Чтобы понять, как разделить одно натуральное число на другое, равное ему, нужно вернуться к пониманию смысла самого процесса деления. От того, какой смысл мы придаем делителю, зависит конечный результат. Разберем два возможных варианта.
Итак, мы имеем a предметов (a – произвольно взятое натуральное число). Распределим предметы по группам поровну, при этом число групп должно быть равно a. Очевидно, что в каждой группе при этом будет всего один предмет.
Переформулируем немного иначе: как распределить a предметов в группы по a предметов в каждой? Сколько групп получится в итоге? Конечно, всего одна.
Подведем итоги и выведем первое свойство деления натуральных чисел одинаковой величины:
Определение 1
Деление натурального числа на равное ему дает в итоге единицу. Иначе говоря, a: a = 1 (a – любое натуральное число).
Разберем для наглядности два примера:
Пример 1
Если 450 разделить на 450 , будет 1 . Если 67 разделить на 67 , получится 1 .
Как видно, от конкретных цифр тут ничего не зависит, результат будет один и тот же при условии равенства делимого и делителя.
Деление натурального числа на единицу
Как и в предыдущем пункте, начнем с задач. Допустим, что у нас имеются любые предметы в количестве, равном a . Необходимо разделить их на некоторое количество частей по одному предмету в каждой. Понятно, что у нас выйдет a частей.
А если мы спросим: сколько предметов будет в группе, если в нее поместить a предметов? Ответ очевиден – a .
Таким образом, мы подходим к формулированию свойства деления натуральных чисел на 1:
Определение 2
При делении любого натурального числа на единицу получится то же самое число, то есть a: 1 = a .
Разберем 2 примера:
Пример 2
Если разделить 25 на 1 , получится 25 .
Пример 3
Если разделить 11 345 на 1 , результатом будет 11 345 .
Отсутствие переместительного свойства для деления натуральных чисел
В случае с умножением мы свободно можем поменять множители местами и получить тот же результат, однако на деление это правило не распространяется. Менять местами делимое и делитель можно только в случае, если они являются равными натуральными числами (это свойство мы уже рассматривали в первом пункте). То есть можно сказать, что переместительное свойство распространяется только на случай, если в делении участвуют равные натуральные числа.
В остальных случаях менять местами делимое с делителем нельзя, поскольку это приведет к искажению результата. Объясним подробнее, почему.
Разделять любые натуральные числа на другие, также произвольно взятые, мы можем не всегда. Например, если делимое меньше делителя, то такой пример решить мы не можем (как делить натуральные числа с остатком, мы разберем в отдельном материале). Иными словами, если некоторое натуральное число, равное a , мы можем разделить на b ? И их значения при этом не равны, то a будет больше b , а запись b: a смысла иметь не будет. Выведем правило:
Определение 3
Деление суммы 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Чтобы лучше объяснить это правило, возьмем наглядные примеры.
У нас есть группа детей, между которыми надо поровну разделить мандарины. Фрукты сложены в два пакета. Возьмем условие, что количество мандаринов таково, что можно поделить их на всех детей без остатка. Можно пересыпать мандарины в один общий пакет, а потом поделить и раздать. А можно поделить сначала фрукты из одного пакета, а потом из другого. Очевидно, что и в том, и в другом случае никто не будет в обиде и все будет разделено поровну. Следовательно, мы можем сказать:
Определение 4
Результат деления суммы 2 -х натуральных чисел на другое натуральное число равен результату сложения частных от деления каждого слагаемого на то же натуральное число, т.е. (a + b) : c = a: c + b: c . При этом значения всех переменных – это натуральные числа, значение a можно разделить на c , и b также можно разделить на c без остатка.
У нас получилось равенство, в правой части которого первым выполняется деление, а вторым – сложение (вспомним, как правильно выполнять арифметические действия по порядку).
Докажем справедливость получившегося равенства на примере.
Пример 4
Возьмем для него подходящие натуральные числа: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Теперь вычислим и узнаем, верное ли оно. Подсчитаем значение левой части: 18 + 36 = 54 , и (18 + 36) : 6 = 54: 6 .
Результат мы помним из таблицы умножения (если забыли, найдите в ней нужное значение): 54: 6 = 9 .
Вспоминаем, сколько будет 18: 6 = 3 и 36: 6 = 6 . Значит, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9 .
Получается верное равенство: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .
Сумма натуральных чисел, которая стоит в примере в качестве делимого, может быть не только 2 , но и 3 и больше. Это свойство в комбинации с сочетательным свойством сложения натуральных чисел дает нам возможность выполнять и такие подсчеты.
Пример 5
Так, (14 + 8 + 4 + 2) : 2 будет равно 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 .
Деление разности 2-х натуральных чисел на другое натуральное число
Подобным образом можно вывести правило для разности натуральных чисел, которую мы будем делить на другое натуральное число:
Определение 5
Результат деления разности двух натуральных чисел на третье равен тому, что мы получим, отняв от частного уменьшаемого и третьего числа частное вычитаемого и третьего числа.
Т.е. (a - b) : c = a: c – b: c . Значения переменных – натуральные числа, при этом a больше b или равно ему, a и b можно разделить на c .
Докажем справедливость этого правила на примере.
Пример 6
Подставим подходящие значения в равенство и вычислим: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (о том, как находить разность натуральных чисел, мы уже писали ранее). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .
По таблице умножения вспоминаем, что результат будет равен 4 .
Считаем правую часть: 45: 5 - 25: 5 . 45: 5 = 9 , а 25: 5 = 5 , в итоге 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4 . 4 = 4 , выходит, что (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 – верное равенство.
Деление произведения двух натуральных чисел на другое натуральное число
Вспомним о том, какая связь существует между делением и умножением, тогда свойство деления произведения на натуральное число, равное одному из множителей, будет нам очевидно. Выведем правило:
Определение 6
Если разделить произведение двух натуральных чисел на третье, равное одному из множителей, в итоге мы получим число, равное другому множителю.
В буквенном виде это можно записать как (a · b) : a = b или (a · b) : b = a (значения a и b представляют собой натуральные числа).
Пример 7
Так, результат деления произведения 2 и 8 на 2 будет равен 8 , а (3 · 7) : 7 = 3 .
А как быть в случае, если делитель не равен ни одному из множителей, которые образуют делимое? Тогда здесь действует другое правило:
Определение 7
Результат деления произведения двух натуральных чисел на третье натуральное число равен тому, что получится, если разделить на это число один из множителей и результат умножить на другой множитель.
Мы получили весьма неочевидное на первый взгляд утверждение. Однако если учесть, что умножение натуральных чисел, по сути, сводится к сложению равных по значению слагаемых (см. материал об умножении натуральных чисел), то можно вывести этой свойство из другого, о котором мы говорили чуть выше.
Запишем это правило в буквенном виде (значения всех переменных – натуральные числа).
Если a мы можем разделить на c , то будет верно (a · b) : c = (a: c) · b .
Если b делится на c , то верно (a · b) : c = a · (b: c) .
Если и a , и b делятся на c , то можем приравнять одно равенство к другому: (a · b) : c = (a: c) · b = a · (b: c) .
С учетом рассмотренного выше свойства деления произведения на другое натуральное число будут верны равенства (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 и (8 · 6) : 2 = 8 · (6: 2) .
Мы можем записать их в виде двойного равенства: (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2) .
Деление натурального числа на произведение 2-х других натуральных чисел
И вновь мы начнем с примера. У нас есть некоторое количество призов, обозначим его a . Их надо поровну распределить между участниками команд. Обозначим число участников буквой c , а команд – буквой b . При этом возьмём такие значения переменных, при которых запись деления будет иметь смысл. Задачу можно решить двумя разными способами. Рассмотрим оба.
1. Можно вычислить общее количество участников, умножив b на c , после чего разделить все призы на полученное число. В буквенном виде это решение можно записать как a: (b · c) .
2. Можно поделить сначала призы на количество команд, а потом распределить их внутри каждой команды. Запишем это как (a: b) : c .
Очевидно, что оба способа дадут нам идентичные ответы. Поэтому оба равенства мы можем приравнять друг к другу: a: (b · c) = (a: b) : c . Это и будет буквенная запись свойства деления, которое мы рассматриваем в этом пункте. Сформулируем правило:
Определение 8
Результат деления натурального числа на произведение равен числу, которое мы получим, разделив это число на один из множителей и получившееся частное разделить на другой множитель.
Пример 8
Приведем пример задачи. Докажем, что справедливо равенство 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3 .
Подсчитаем левую часть: 2 · 3 = 6 , а 18: (2 · 3) – это 18: 6 = 3 .
Считаем правую часть: (18: 2) : 3 . 18: 2 = 9 , а 9: 3 = 3 , тогда (18: 2) : 3 = 3 .
У нас получилось, что 18: (2 · 3) = (18: 2) : 3 . Это равенство иллюстрирует нам свойство деления, которое мы привели в данном пункте.
Деление нуля на натуральное число
Что такое нуль? Ранее мы условились, что он означает отсутствие чего-либо. Нуль мы не относим к натуральным числам. Получается, что, если мы разделим нуль на натуральное число, это будет равнозначно попытке разделить пустоту на части. Понятно, что в итоге мы все равно получим «ничто», на сколько бы частей мы его не делили. Выводим отсюда правило:
Определение 9
При делении нуля на любое натуральное число мы получим нуль. В буквенном виде это записывается как 0: a = 0 , при этом значение переменной может быть любое.
Пример 9
Так, например, 0: 19 = 0 , и 0: 46869 тоже будет равно нулю.
Деление натурального числа на нуль
Это действие выполнить нельзя. Давайте выясним, почему именно.
Возьмем произвольное число a и предположим, что его можно разделить на 0 и получить в итоге некое число b . Запишем это как a: 0 = b . Теперь вспомним, как связано между собой умножение и деление, и выведем равенство b · 0 = a , которое также должно быть справедливым.
Но ранее мы уже поясняли свойство умножения натуральных чисел на ноль. Согласно ему b · 0 = 0 . Если сопоставить полученные равенства, у нас получится, что a = 0 , а это противоречит исходному условию (ведь нуль не является натуральным числом). Выходит, что у нас получилось противоречие, которое доказывает невозможность такого действия.
Определение 10
Делить натуральное число на нуль нельзя.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter