После того, как мы разобрались с понятием тождеств, можно переходить к изучению тождественно равных выражений. Цель данной статьи – объяснить, что это такое, и показать на примерах, какие выражения будут тождественно равными другим.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Тождественно равные выражения: определение
Понятие тождественно равных выражений обычно изучается вместе с самим понятием тождества в рамках школьного курса алгебры. Приведем основное определение, взятое из одного учебника:
Определение 1
Тождественно равными друг другу будут такие выражения, значения которых будут одинаковы при любых возможных значениях переменных, входящих в их состав.
Также тождественно равными считаются такие числовые выражения, которым будут отвечать одни и те же значения.
Это достаточно широкое определение, которое будет верным для всех целых выражений, смысл которых при изменении значений переменных не меняется. Однако позже возникает необходимость уточнения данного определения, поскольку помимо целых существуют и другие виды выражений, которые не будут иметь смысла при определенных переменных. Отсюда возникает понятие допустимости и недопустимости тех или иных значений переменных, а также необходимость определять область допустимых значений. Сформулируем уточненное определение.
Определение 2
Тождественно равные выражения – это те выражения, значения которых равны друг другу при любых допустимых значениях переменных, входящих в их состав. Числовые выражения будут тождественно равными друг другу при условии одинаковых значений.
Фраза «при любых допустимых значениях переменных» указывает на все те значения переменных, при которых оба выражения будут иметь смысл. Это положение мы объясним позже, когда будем приводить примеры тождественно равных выражений.
Можно указать еще и такое определение:
Определение 3
Тождественно равными выражениями называются выражения, расположенные в одном тождестве с левой и правой стороны.
Примеры выражений, тождественно равных друг другу
Используя определения, данные выше, рассмотрим несколько примеров таких выражений.
Для начала возьмем числовые выражения.
Пример 1
Так, 2 + 4 и 4 + 2 будут тождественно равными друг другу, поскольку их результаты будут равны (6 и 6).
Пример 2
Точно так же тождественно равны выражения 3 и 30: 10 , (2 2) 3 и 2 6 (для вычисления значения последнего выражений нужно знать свойства степени).
Пример 3
А вот выражения 4 - 2 и 9 - 1 равными не будут, поскольку их значения разные.
Перейдем к примерам буквенных выражений. Тождественно равными будут a + b и b + a , причем от значений переменных это не зависит (равенство выражений в данном случае определяется переместительным свойством сложения).
Пример 4
Например, если a будет равно 4 , а b – 5 , то результаты все равно будут одинаковы.
Еще один пример тождественно равных выражений с буквами – 0 · x · y · z и 0 . Какими бы ни были значения переменных в этом случае, будучи умноженными на 0 , они дадут 0 . Неравные выражения – 6 · x и 8 · x , поскольку они не будут равны при любом x .
В том случае, если области допустимых значений переменных будут совпадать, например, в выражениях a + 6 и 6 + a или a · b · 0 и 0 , или x 4 и x , и значения самих выражений будут равны при любых переменных, то такие выражения считаются тождественно равными. Так, a + 8 = 8 + a при любом значении a , и a · b · 0 = 0 тоже, поскольку умножение на 0 любого числа дает в итоге 0 . Выражения x 4 и x будут тождественно равными при любых x из промежутка [ 0 , + ∞) .
Но область допустимого значения в одном выражении может отличаться от области другого.
Пример 5
Например, возьмем два выражения: x − 1 и x - 1 · x x . Для первого из них областью допустимых значений x будет все множество действительных чисел, а для второго – множество всех действующих чисел, за исключением нуля, ведь тогда мы получим 0 в знаменателе, а такое деление не определено. У этих двух выражений есть общая область значений, образованная пересечением двух отдельных областей. Можно сделать вывод, что оба выражения x - 1 · x x и x − 1 будут иметь смысл при любых действительных значениях переменных, за исключением 0 .
Основное свойство дроби также позволяет нам заключить, что x - 1 · x x и x − 1 будут равными при любом x, которое не является 0 . Значит, на общей области допустимых значений эти выражения будут тождественно равны друг другу, а при любом действительном x говорить о тождественном равенстве нельзя.
Если мы заменяем одно выражение на другое, которое является тождественно равным ему, то этот процесс называется тождественным преобразованием. Это понятие очень важно, и подробно о нем мы поговорим в отдельном материале.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств
Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:
Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.
Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).
Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:
3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то
3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.
Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.
Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.
Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,
а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;
ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.
Тождественностями есть и такие равенства:
а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;
а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.
Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.
Пример 1. Упростить выражение:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;
2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.
Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.
Доказать тождество можно одним из следующих способов:
- выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
- выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
- выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.
Пример 2. Доказать тождество:
1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;
2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.
Р а з в’ я з а н н я.
1) Преобразуем левую часть данного равенства:
2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.
Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
2) Преобразуем правую часть данного равенства:
5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.
Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:
2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;
13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.
Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.
Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?
- (Устно) Или есть выражения тождественно равными:
1) 2а + а и 3а;
2) 7х + 6 и 6 + 7х;
3) x + x + x и x 3 ;
4) 2(х - 2) и 2х - 4;
5) m - n и n - m;
6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?
- Являются ли тождественно равными выражения:
1) 7х - 2х и 5х;
2) 5а - 4 и 4 - 5а;
3) 4m + n и n + 4m;
4) а + а и а 2 ;
5) 3(а - 4) и 3а - 12;
6) 5m ∙ n и 5m + n?
- (Устно) является Ли тождеством равенство:
1) 2а + 106 = 12аb;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(х - у) = 3х - 5у?
- Раскройте скобки:
- Раскройте скобки:
- Сведите подобные слагаемые:
- Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
- Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:
1) -2,5 х ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2 х ∙ (0,3 г);
4)- х ∙ <-7у).
- Упростите выражение:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7а ∙ (-1,2);
3) 0,2 х ∙ (-3у);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Устно) Упростите выражение:
1) 2х - 9 + 5х;
2) 7а - 3b + 2а + 3b;
4) 4а ∙ (-2b).
- Сведите подобные слагаемые:
1) 56 - 8а + 4b - а;
2) 17 - 2р + 3р + 19;
3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;
4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.
1) 4(5х - 7) + 3х + 13;
2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);
3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:
1) 3(8а - 4) + 6а;
2) 7р - 2(3р - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;
2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;
3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;
4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.
- Упростите выражение и найдите его значение:
1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;
2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;
3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;
4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.
- Докажите тождество:
1) -(2х - у)=у - 2х;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).
- Докажите тождество:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - р) + 7р = 14;
3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);
4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.
- Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
- Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.
1) х - (х - (2х - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));
4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));
5) (6а - b) - (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Раскройте скобки и упростите выражение:
1) а - (а - (3а - 1));
2) 12m - ((а - m) + 12а);
3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).
- Докажите тождество:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);
3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).
- Докажите тождество:
1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);
2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Докажите, что значение выражения
1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.
- Докажите, что при любом значении переменной значение выражения
а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)
является одним и тем же числом.
- Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
- Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.
Упражнения для повторения
- Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
- Сколько процентов составляет число 20 от своего:
1) квадрата;
- Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.
Интересные задачи для учеников ленивых
- В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.
Тема « Доказательства тождеств » 7 класс (КРО)
Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.
Цели урока
Образовательные:
ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»;
рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств;
проверить усвоение учащимися пройденного материала, сформировывать умения применения изученного для восприятия нового.
Развивающая:
Развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов),
развивать мышление,
Воспитательная: воспитывать трудолюбие, аккуратность, правильность записи решения упражнений.
Тип урока: изучение нового материала
Ход урока
1 . Организационный момент.
Проверка домашнего задания.
Вопросы по домашнему заданию.
Разбор решения у доски.
Математика нужна
Без нее никак нельзя
Учим, учим мы, друзья,
Что же помним мы с утра?
2 . Сделаем разминку.
Результат сложения. (Сумма)
Сколько цифр вы знаете? (Десять)
Сотая часть числа. (Процент)
Результат деления? (Частное)
Наименьшее натуральное число? (1)
Можно ли при делении натуральных чисел получить ноль? (нет)
Назовите наибольшее целое отрицательное число. (-1)
На какое число нельзя делить? (0)
Результат умножения? (Произведение)
Результат вычитания. (Разность)
Переместительное свойство сложения. (От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется)
Переместительное свойство умножения. (От перестановки мест множителей произведение не изменяется)
Изучение новой темы (определение с записью в тетрадь)
Найдем значение выражений при х=5 и у=4
3(х+у)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны.
Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. При х=1 и у=2 они принимают равные значения:
Однако можно указать такие значения х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, если х=3, у=4, то
Определение : Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.
Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными.
Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами.
Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.
Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались. Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами (Учащиеся комментируют каждое свойство, проговаривая его).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Приведите другие примеры тождеств
Определение : Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Тождественные преобразования выражений широко применяются при вычислении значений выражений и решении других задач. Некоторые тождественные преобразования вам уде приходилось выполнять, например приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок.
5 . № 691, № 692 (с проговариванием правил раскрытия скобок, умножения отрицательных и положительных чисел)
Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)
6 . Подведение итогов урока.
Учитель задает вопросы, а учащиеся отвечают на них по желанию.
Какие два выражения называются тождественно равными? Приведите примеры.
Какое равенство называется тождеством? Привести примером.
Какие тождественные преобразования вам известны?
7. Домашнее задание. Выучить определения, Приведите примеры тождественных выражений (не менее 5) , запишите их в тетрадь
Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.
Навигация по странице.
Что такое тождество?
Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:
Определение.
Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.
При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:
Определение.
Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.
Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.
Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.
Знак тождества
Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .
Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.
Примеры тождеств
Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.
Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .
Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .
Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.
Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.
А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .
Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .
В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются