Чтобы найти делитель надо делимое разделить. Как найти неизвестный делитель

Нередко можно встретить такие уравнения, в которых неизвестен делитель. Например 350: Х = 50, где 350 - делимое, Х - делитель, а 50 - частное. Для решения этих примеров необходимо произвести определенный набор действий с теми числами, которые известны.

Вам понадобится

- карандаш или ручка;
- лист бумаги или тетрадь.

Инструкция

Представьте, что одна женщина имела некоторое количество детей. В магазине она приобрела 30 конфет. Вернувшись домой, дама разделила сладости поровну между детьми. Таким образом каждый ребенок получил на десерт по 5 конфет. Вопрос: Сколько детей было у женщины?
Составьте простое уравнение, где неизвестное, т.е. Х - это количество детей, 5 - это число конфет, полученных каждым ребенком, а 30 - это количество сладостей, которое было куплено. Таким образом вы должны получить пример: 30: Х = 5. В этом математическом выражении 30 называется делимым, Х - делителем, а получившееся частное равно 5.
Теперь приступайте к решению. Известно: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Получается:Х = 30: 5;30: 5 = 6;Х = 6.
Сделайте проверку, подставив в уравнение получившееся число. Итак, 30: Х = 5, вы нашли неизвестный делитель, т.е. Х = 6, таким образом: 30: 6 = 5. Выражение верно, а из этого следует, что уравнение решено правильно. Разумеется, при решении примеров, в которых фигурируют простые числа, проверку выполнять необязательно. Но когда уравнения состоят из двузначных, трехзначных, четырехзначных и т.д. чисел, обязательно проверяйте себя. Ведь это не отнимает много времени, но дает абсолютную уверенность в полученном результате.

Долгий путь наработки навыков решения уравнений начинается с решения самых первых и относительно простых уравнений. Под такими уравнениями мы подразумеваем уравнения, в левой части которых находится сумма, разность, произведение или частное двух чисел, одно из которых неизвестно, а в правой части стоит число. То есть, эти уравнения содержат неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое или делитель. О решении таких уравнений и пойдет речь в этой статье.

Здесь мы приведем правила, позволяющие находить неизвестное слагаемое, множитель и т.п. Причем будем сразу рассматривать применение этих правил на практике, решая характерные уравнения.

Навигация по странице.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5 , получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Связь между сложением и вычитанием чисел, про которую мы уже упоминали в предыдущем пункте, позволяет получить правило нахождения неизвестного уменьшаемого через известное вычитаемое и разность, а также правило нахождения неизвестного вычитаемого через известное уменьшаемое и разность. Будем формулировать их по очереди, и сразу приводить решение соответствующих уравнений.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5 . Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2 , имеем 5+2=7 . Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7 .

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5 . Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Можно переходить к нахождению неизвестного вычитаемого. Оно находится с помощью сложения по следующему правилу: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность .

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4 , имеем 9−4=5 . Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5 .

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5 , при этом получаем числовое равенство 9−5=4 . Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

И прежде чем переходить к следующему правилу заметим, что в 6 классе рассматривается правило решения уравнений, которое позволяет выполнять перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Так вот все рассмотренные выше правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого с ним полностью согласованы.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6 . В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c , в котором a≠0 и b≠0 следует, что c:a=b и c:b=c , и обратно.

Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12 . Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3 . Проведем : 12:3=4 . Таким образом, неизвестный множитель равен 4 .

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12 ,
x=12:3 ,
x=4 .

Желательно еще сделать проверку результата: подставляем в исходное уравнение вместо буквы найденное значение, получаем 4·3=12 – верное числовое равенство, поэтому мы верно нашли значение неизвестного множителя.

И еще один момент: действуя по изученному правилу, мы фактически выполняем деление обеих частей уравнения на отличный от нуля известный множитель. В 6 классе будет сказано, что обе части уравнения можно умножать и делить на одно и то же отличное от нуля число, это не влияет на корни уравнения.

Как найти неизвестное делимое, делитель?

В рамках нашей темы осталось разобраться, как найти неизвестное делимое при известном делителе и частном, а также как найти неизвестный делитель при известном делимом и частном. Ответить на эти вопросы позволяет уже упомянутая в предыдущем пункте связь между умножением и делением.

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x:5=9 . Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5 , то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45 . Таким образом, искомое делимое равно 45 .

Покажем краткую запись решения:
x:5=9 ,
x=9·5 ,
x=45 .

Проверка подтверждает, что значение неизвестного делимого найдено верно. Действительно, при подстановке в исходное уравнение вместо переменной x числа 45 оно обращается в верное числовое равенство 45:5=9 .

Заметим, что разобранное правило можно трактовать как умножение обеих частей уравнения на известный делитель. Такое преобразование не влияет на корни уравнения.

Переходим к правилу нахождения неизвестного делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное .

Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18:x=3 . Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3 , имеем 18:3=6 . Таким образом, искомый делитель равен шести.

Решение можно оформить и так:
18:x=3 ,
x=18:3 ,
x=6 .

Проверим этот результат для надежности: 18:6=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0:x=0 , то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5:x=0 , оно не имеет решений.

Совместное использование правил

Последовательное применение правил нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого и делителя позволяет решать и уравнения с единственной переменной более сложного вида. Разберемся с этим на примере.

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7 . Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x , для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1 , получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6 . Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3 , имеем x=6:3 , откуда x=2 . Так найден корень исходного уравнения.

Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7):3−5=2 .
(2·x−7):3−5=2 ,
(2·x−7):3=2+5 ,
(2·x−7):3=7 ,
2·x−7=7·3 ,
2·x−7=21 ,
2·x=21+7 ,
2·x=28 ,
x=28:2 ,
x=14 .

Список литературы.

Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.].- 8-е изд. - М.: Просвещение, 2011. - 112 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-023769-7.
Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Уравнения, решение уравнений

решения уравнений

3+x=8,
x=8−3,
x=5.

сделать проверку

К началу страницы

x−2=5,
x=5+2,
x=7.

9−x=4,
x=9−4,
x=5.

К началу страницы

Как найти делитель

x·3=12,
x=123,
x=4.

К началу страницы

x5=9,
x=9·5,
x=45.

Решение можно оформить и так:
18x=3,
x=183,
x=6.

К началу страницы

(2·x−7)3−5=2,
(2·x−7)3=2+5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2·x=21+7,
2·x=28,
x=282,
x=14.

К началу страницы

Математика.
Математика

Деление. Деление с остатком

Определение деления

Разделить число a на число b — значит найти такое новое число, на которое надо умножить b, чтобы получить a.

Отсюда вытекает следующее определение действия:делением называется такое арифметическое действие, посредством которого по данному произведению двух чисел и одному из них (известному множителю) находят другое число (неизвестный множитель).

При делении данное произведение называется делимым , данный сомножитель — делителем , а искомый сомножитель — частным .

Отсюда ясно, что деление есть действие, обратное умножению .

Деление числа a на число b можно записать двумя способами:

1) или 2) , причем каждое из этих равенств означает, что при делении числа a на число b в частном получается натуральное число q.

Деление с остатком

При требовании, чтобы частное было целым числом, деление числа a на число b возможно не всегда.

Например, при нельзя разделить 23 на 4, потому что нет такого целого числа, на которое можно было бы умножить 4 и получить произведение, равное 23.

Но можно указать наибольшее целое число, при умножении которого на 4, получается целое число наиболее близкое к 23. Таким числом является 5. При умножении 5 на 4 получим 20.

Разность между делимым 23 и 20 равна 3 — называется остатком от деления.

Само же деление в таких случаях называется делением с остатком .

Случай, когда в частном получается целое число и никакого остатка не будет, называется делением без остатка или делением нацело , частное же называется полным частным или просто частным .

Если при делении числа a на число b получается неполное частное q и остаток r, то записывается это так.

При делении с остатком неполным частным называется наибольшее число, которое при умножении на делитель дает произведение, не превосходящее делимое. Разность между делимым и этим произведением называется остатком.

Отсюда следует, что остаток при делении должен быть всегда меньше делителя , так как если бы остаток был равен делителю или был бы больше его, то частное тогда не было бы наибольшим из возможных чисел. Если остаток вычесть из делимого, то полученная разность (a — r ) разделится на данный делитель b без остатка, причем в частном по-прежнему получится число q .

По смыслу деления разность .

Отсюда: (по смыслу деления).

Последнее равенство показывает, что в случае деления с остаткомделимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток.

Примечание . В дальнейшем, выражение: одно число делится на другое без остатка (нацело) — заменим выражением: одно число делится на другое .

Число a в этом случае называется кратным числу b .

Похожая информация:

C) Величина, характеризующая сглаженность или остроконечность эмпирического распределения по сравнению с нормальным распределением
I.
Что такое частное чисел

Определение состава общего имущества
I. Определение степени окисления в органических веществах.
II. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ ПО СЕМЕСТРАМ И ВИДАМ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ
II.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ УЧЕБНОГО ВРЕМЕНИ ПО СЕМЕСТРАМ И ВИДАМ УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ
ITC, украинское отделение международного издательского дома. 03110, Киев, просп. Лобановского (Краснозвездный), 51, тел. 270-39-03, itcpublishing.com
IV. Перепишите предложения, подчеркните определение, выраженное причастием I с zu; переведите предложения.
V. Определение продолжительности работ, сменности, состава бригад, числа исполнителей
VI. Определение абсолютной скорости
VI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ
XI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОБЕДИТЕЛЕЙ И ПРИЗЕРОВ
А. Определение диэлектрических параметров e’, tgdx, e» твердых электроизоляционных материалов

Поиск на сайте:

Уравнения, решение уравнений

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Женя с Колей решили покушать яблок, для чего начали их сшибать с яблони. Женя добыл 3 яблока, а в конце процесса у мальчиков оказалось 8 яблок. Сколько яблок сшиб Коля?

Для перевода этой типично задачи на математический язык, обозначим неизвестное число яблок, которые сшиб Коля, через x. Тогда по условию 3 Жениных яблока и x Колиных вместе составляют 8 яблок. Последней фразе соответствует уравнение вида 3+x=8. В левой части этого уравнения находится сумма, содержащая неизвестное слагаемое, в правой части стоит значение этой суммы — число 8. Так как же найти интересующее нас неизвестное слагаемое x?

Для этого существует следующее правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое .

Это правило объясняется тем, что вычитанию придается смысл, обратный смыслу сложения. Иными словами, между сложением и вычитанием чисел существует связь, которая выражается в следующем: из того, что a+b=c следует, что c−a=b и c−b=a, и наоборот, из c−a=b, как и из c−b=a следует, что a+b=c.

Озвученное правило позволяет по одному известному слагаемому и известной сумме определить другое неизвестное слагаемое. При этом не имеет значения, какое из слагаемых неизвестно, первое или второе. Рассмотрим его применение на примере.

Вернемся к нашему уравнению 3+x=8. Согласно правилу, нам надо из известной суммы 8 вычесть известное слагаемое 3. То есть, выполняем вычитание натуральных чисел: 8−3=5, так мы нашли нужное нам неизвестное слагаемое, оно равно 5.

Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:

сначала записывают исходное уравнение,
ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,
наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.

Смысл такой формы записи заключается в том, что исходное уравнение последовательно заменяется равносильными уравнениями, из которых в итоге становится очевиден корень исходного уравнения. Подробно об этом говорят на уроках алгебры в 7 классе, а пока оформим решение нашего уравнения уровня 3 класса:
3+x=8,
x=8−3,
x=5.

Чтобы убедиться в правильности полученного ответа, желательно сделать проверку . Для этого полученный корень уравнения надо подставить в исходное уравнение и посмотреть, дает ли это верное числовое равенство.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5, получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

К началу страницы

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5. Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2, имеем 5+2=7. Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5. Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4, имеем 9−4=5. Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9−5=4. Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

К началу страницы

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6. В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c, в котором a≠0 и b≠0 следует, что ca=b и cb=c, и обратно.

Для примера найдем неизвестный множитель уравнения x·3=12. Согласно правилу нам надо разделить известное произведение 12 на известный множитель 3. Проведем деление натуральных чисел: 123=4. Таким образом, неизвестный множитель равен 4.

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12,
x=123,
x=4.

Отдельно нужно обратить внимание на то, что озвученное правило нельзя применять для нахождения неизвестного множителя, когда другой множитель равен нулю. Например, это правило не подходит для решения уравнения x·0=11. Действительно, если в этом случае придерживаться правила, то чтобы найти неизвестный множитель нам надо выполнить деление произведения 11 на другой множитель, равный нулю, а на нуль делить нельзя. Эти случаи мы подробно обсудим при разговоре о линейных уравнениях.

К началу страницы

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Рассмотрим его применение на примере. Решим уравнение x5=9. Чтобы найти неизвестное делимое этого уравнения надо согласно правилу умножить известное частное 9 на известный делитель 5, то есть, выполняем умножение натуральных чисел: 9·5=45. Таким образом, искомое делимое равно 45.

Покажем краткую запись решения:
x5=9,
x=9·5,
x=45.

Рассмотрим пример. Найдем неизвестный делитель из уравнения 18x=3. Для этого нам нужно известное делимое 18 разделить на известное частное 3, имеем 183=6. Таким образом, искомый делитель равен шести.

Решение можно оформить и так:
18x=3,
x=183,
x=6.

Проверим этот результат для надежности: 186=3 – верное числовое равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0x=0, то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5x=0, оно не имеет решений.

К началу страницы

Совместное использование правил

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7. Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x, для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1, получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6. Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3, имеем x=63, откуда x=2. Так найден корень исходного уравнения.

Для закрепления материала приведем краткое решение еще одного уравнения (2·x−7)3−5=2.
(2·x−7)3−5=2,
(2·x−7)3=2+5,
(2·x−7)3=7,
2·x−7=7·3,
2·x−7=21,
2·x=21+7,
2·x=28,
x=282,
x=14.

К началу страницы

Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / .- 8-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-023769-7.
Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Уравнения, решение уравнений

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:

сначала записывают исходное уравнение,
ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,
наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5, получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

К началу страницы

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5. Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2, имеем 5+2=7. Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5. Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4, имеем 9−4=5. Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9−5=4. Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

К началу страницы

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6. В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны.

Как найти частное делимое делитель пишу правила не запоминающиеся

Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c, в котором a≠0 и b≠0 следует, что ca=b и cb=c, и обратно.

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12,
x=123,
x=4.

К началу страницы

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Покажем краткую запись решения:
x5=9,
x=9·5,
x=45.

Решение можно оформить и так:
18x=3,
x=183,
x=6.

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0x=0, то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5x=0, оно не имеет решений.

К началу страницы

Совместное использование правил

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7. Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x, для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1, получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6. Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3, имеем x=63, откуда x=2. Так найден корень исходного уравнения.

К началу страницы

Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / .- 8-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-023769-7.
Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Уравнения, решение уравнений

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:

сначала записывают исходное уравнение,
ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,
наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5, получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

К началу страницы

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5. Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2, имеем 5+2=7. Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5. Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4, имеем 9−4=5. Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9−5=4. Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

К началу страницы

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6. В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c, в котором a≠0 и b≠0 следует, что ca=b и cb=c, и обратно.

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12,
x=123,
x=4.

К началу страницы

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Покажем краткую запись решения:
x5=9,
x=9·5,
x=45.

Решение можно оформить и так:
18x=3,
x=183,
x=6.

делимое делитель частное правило

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0x=0, то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5x=0, оно не имеет решений.

К началу страницы

Совместное использование правил

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7. Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x, для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1, получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6. Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3, имеем x=63, откуда x=2. Так найден корень исходного уравнения.

К началу страницы

Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / .- 8-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-023769-7.
Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Уравнения, решение уравнений

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Принята следующая форма записи решения подобных уравнений:

сначала записывают исходное уравнение,
ниже – уравнение, получающееся после применения правила нахождения неизвестного слагаемого,
наконец, еще ниже, записывают уравнение, полученное после выполнения действий с числами.

Итак, подставляем в исходное уравнение 3+x=8 вместо x число 5, получаем 3+5=8 – это равенство верное, следовательно, мы правильно нашли неизвестное слагаемое. Если бы при проверке мы получили неверное числовое равенство, то это указало бы нам на то, что мы неверно решили уравнение. Основными причинами этого могут быть либо применение не того правила, которое нужно, либо вычислительные ошибки.

К началу страницы

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Для примера рассмотрим уравнение x−2=5. Оно содержит неизвестное уменьшаемое. Приведенное правило нам указывает, что для его отыскания мы должны к известной разности 5 прибавить известное вычитаемое 2, имеем 5+2=7. Таким образом, искомое уменьшаемое равно семи.

Если опустить пояснения, то решение записывается так:
x−2=5,
x=5+2,
x=7.

Для самоконтроля выполним проверку. Подставляем в исходное уравнение найденное уменьшаемое, при этом получаем числовое равенство 7−2=5. Оно верное, поэтому, можно быть уверенным, что мы верно определили значение неизвестного уменьшаемого.

Решим уравнение вида 9−x=4 с помощью записанного правила. В этом уравнении неизвестным является вычитаемое. Чтобы его найти, нам надо от известного уменьшаемого 9 отнять известную разность 4, имеем 9−4=5. Таким образом, искомое вычитаемое равно пяти.

Приведем краткий вариант решения этого уравнения:
9−x=4,
x=9−4,
x=5.

Остается лишь проверить правильность найденного вычитаемого. Сделаем проверку, для чего подставим в исходное уравнение вместо x найденное значение 5, при этом получаем числовое равенство 9−5=4. Оно верное, поэтому найденное нами значение вычитаемого правильное.

К началу страницы

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Давайте взглянем на уравнения x·3=12 и 2·y=6. В них неизвестное число является множителем в левой части, а произведение и второй множитель известны. Для нахождения неизвестного множителя можно использовать такое правило: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель .

В основе этого правила лежит то, что делению чисел мы придали смысл, обратный смыслу умножения. То есть, между умножением и делением существует связь: из равенства a·b=c, в котором a≠0 и b≠0 следует, что ca=b и cb=c, и обратно.

Кратко решение уравнения записывается в виде последовательности равенств:
x·3=12,
x=123,
x=4.

Что такое делимое, делитель, частное и остаток (примеры)?

Действительно, если в этом случае придерживаться правила, то чтобы найти неизвестный множитель нам надо выполнить деление произведения 11 на другой множитель, равный нулю, а на нуль делить нельзя. Эти случаи мы подробно обсудим при разговоре о линейных уравнениях.

К началу страницы

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Покажем краткую запись решения:
x5=9,
x=9·5,
x=45.

Решение можно оформить и так:
18x=3,
x=183,
x=6.

Понятно, что данное правило можно применять только тогда, когда частное отлично от нуля, чтобы не столкнуться с делением на нуль. Когда частное равно нулю, то возможны два случая. Если при этом делимое равно нулю, то есть, уравнение имеет вид 0x=0, то этому уравнению удовлетворяет любое отличное от нуля значение делителя. Иными словами, корнями такого уравнения являются любые числа, не равные нулю. Если же при равном нулю частном делимое отлично от нуля, то ни при каких значениях делителя исходное уравнение не обращается в верное числовое равенство, то есть, уравнение не имеет корней. Для иллюстрации приведем уравнение 5x=0, оно не имеет решений.

К началу страницы

Совместное использование правил

Рассмотрим уравнение 3·x+1=7. Сначала мы можем найти неизвестное слагаемое 3·x, для этого надо от суммы 7 отнять известное слагаемое 1, получаем 3·x=7−1 и дальше 3·x=6. Теперь осталось найти неизвестный множитель, разделив произведение 6 на известный множитель 3, имеем x=63, откуда x=2. Так найден корень исходного уравнения.

К началу страницы

Математика. . 4 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 / .- 8-е изд. — М.: Просвещение, 2011. — 112 с.: ил. — (Школа России). — ISBN 978-5-09-023769-7.
Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 21-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2007. — 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.

Инструкция

Чаще всего, нужно разложить число на простые множители. Это числа, которые делят исходное число без остатка, и при этом сами могут делиться без остатка только на само себя и единицу (к таким числам 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.). Причем, закономерности в ряду не найдено. Возьмите их из специальной таблицы или найдите при помощи алгоритма, который называется «решето Эратосфена».

Числа, имеющие более двух делителей, называются составными. Какие же числа могут быть составными?
Так как числа делятся на 2 нацело, то все четные числа , кроме числа 2, будут составными. Действительно, при делении 2:2 двойка делится саму на себя, то есть имеет только два делителя (1 и 2) и является простым числом.

Посмотрим, есть ли у четного числа еще каки-либо делители . Разделим его сначала на 2. Из коммутативности операции умножения очевидно, что получившееся частное также будет делителем числа . Затем, если получившееся частное будет целым, разделим опять на 2 уже это частное. Тогда получившееся в результате новое частное y = (x:2):2 = x:4 тоже будет делителем исходного числа . Аналогично, и 4 будет делителем исходного числа .

Продолжая эту цепочку, обобщим правило: последовательно делим сначала а потом получившееся частные на 2 до тех пор, пока -либо частное не станет равно нечетному числу. При этом все получившиеся частные будут делителями этого числа . Кроме этого делителями этого числа будут и числа 2^k где k = 1...n, где n - число шагов этой цепочки.Пример: 24:2 = 12, 12:2 = 6, 6:2 = 3 - нечетное число. Следовательно, 12, 6 и 3 - делители числа 24. В этой цепочке 3 шага, следовательно, делителями числа 24 будут также числа 2^1 = 2 (уже известно из четности числа 24), 2^2 = 4 и 2^3 = 8. Таким образом, числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24 будут делителями числа 24.

Однако не для всех четных чисел эта может дать все делители числа . Рассмотрим, например, число 42. 42:2 = 21. Однако, как известно, числа 3, 6 и 7 также будут делителями числа 42.
Существуют делимости на числа . Рассмотрим важнейшие из них:
Признак делимости на 3: когда сумма цифр числа делится на 3 без остатка.
Признак делимости на 5: когда последняя цифра числа 5 или 0.
Признак делимости на 7: когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Признак делимости на 9: когда сумма цифр числа делится на 9 без остатка.
Признак делимости на 11: когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо от неё на число, делящееся на 11.
Существуют также признаки делимости на 13, 17, 19, 23 и другие числа .

Как для четных, так и для нечетных чисел нужно использовать признаки деления на то или иное число. Разделив число, следует определить делители получившегося частного и.т.д. (цепочка аналогична цепочки четных чисел при делении их на 2, описанной выше).

Источники:

Признаки делимости

Из четырех основных математических действий наиболее ресурсоемкой операцией является деление. Его можно осуществлять вручную (столбиком), на калькуляторах различных конструкций, а также при помощи логарифмической линейки.

Инструкция

Чтобы поделить одно число на другое столбиком, запишите вначале делимое, затем делитель. Между ними расположите вертикальную линию. Под делителем проведите горизонтальную линию. Последовательно как бы удаляя у младшие разряды, получите число, которое больше делителя. Последовательно умножая цифры от 0 до 9 на делитель, найдите наибольшее из чисел , меньших полученного на предыдущем этапе. Запишите эту цифру как первый разряд частного. Результат умножения этой цифры на делитель запишите под делимым со сдвигом на один разряд вправо. Произведите вычитание, а с его результатом осуществите те же действия, пока не найдете все разряды частного. Расположение запятой определите, вычтя порядок делителя из порядка делимого.

Если числа не делятся друг на друга, возможны две ситуации. В первой из них одна цифра или сочетание из нескольких цифр будет повторяться бесконечно. Тогда продолжать вычисление бессмысленно - достаточно взять эту цифру или цепочку из цифр в период. Во второй ситуации какой-либо закономерности в частного не удастся. Тогда прекратите деление, добившись желаемой точности результата, а последний округлите.

Для деления одного числа на другое с использованием калькулятора с арифметической (как простейшего, так и инженерного) нажмите кнопку сброса, введите делимое, нажмите кнопку деления, введите делитель, а затем нажмите кнопку со знаком равенства. На калькуляторе с формульной записью производите деление аналогичным образом, с учетом того, что клавиша со знаком равенства может носить , например, Enter или Exe. Современные приборы этого типа являются двухстрочными: набирается в верхней строке, а результат отображается в нижней более крупными цифрами. Используя клавишу Ans, этот результат можно использовать в следующем вычислении. Во всех случаях результат автоматически округляется в пределах разрядной сетки калькулятора.

На калькуляторе с обратной польской записью вначале нажмите кнопку сброса, затем введите делимое и нажмите клавишу Enter (вместо этой надписи на ней может быть стрелка, направленная вверх). Число окажется в ячейке стека. Теперь введите делитель и нажмите клавишу со знаком деления. Произойдет деление числа из стека на число, которое отображалось до этого на индикаторе.

Логарифмическую линейку используйте в тех случаях, когда точность требуется небольшая. Уберите из обоих чисел , а затем от каждого из них возьмите по два старших разряда. На шкале A найдите делитель, а затем совместите его с делимым на шкале B. Затем найдите на последней единицу - прямо над ней на шкале A будет расположено частное . Местоположение запятой в нем определите тем же способом, что и столбиком.

Источники:

Порядок деления столбиком
частные числа это

Школьники часто встречают среди заданий по математике такую формулировку: "найдите наименьшее общее кратное чисел". Этому обязательно нужно научиться делать, чтобы выполнять различные действия с дробями с неодинаковыми знаменателями.

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия

Чтобы понять, как вычислять НОК, следует определиться в первую очередь со значением термина "кратное".

Кратным числу А называют такое натуральное число, которое без остатка делится на А. Так, числами кратными 5 можно считать 15, 20, 25 и так далее.

Делителей конкретного числа может быть ограниченное количество, а вот кратных бесконечное множество.

Общее кратное натуральных чисел - число, которое делится на них без остатка.

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел (двух, трех или больше) - это самое маленькое натурально число, которое делится на все эти числа нацело.

Чтобы найти НОК, можно использовать несколько способов.

Для небольших чисел удобно выписать в строчку все кратные этих чисел до тех пор, пока среди них не найдется общее. Кратные обозначают в записи заглавной буквой К.

Например, кратные числа 4 можно записать так:

К (4) = {8,12, 16, 20, 24, ...}

К (6) = {12, 18, 24, ...}

Так, можно увидеть, что наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является число 24. Эту запись выполняют следующим образом:

НОК (4, 6) = 24

Наибольший общий делитель - это максимальное число, на которое может делиться каждое из предлагаемых чисел. Часто этот термин используется для сокращения сложных дробей, где и числитель и знаменатель надо разделить на одинаковое число. Иногда можно определить наибольший общий делитель на глаз, однако в большинстве случаев, что того, чтобы его найти потребуется провести ряд математических операций.

Вам понадобится

Для этого вам понадобится листок бумаги или калькулятор.

Инструкция

Разложите каждое сложное число на произведение простых или множителей. Например, 60 и 80, где 60 - равно 2*2*3*5, а 80 - 2*2*2*2*5, проще это можно записать с помощью . В данном случае будет выглядеть как два во второй , умноженное на пять и три, а второй - произведение двух в четвертой и пяти.

Теперь выпишите общие для обоих чисел . В нашем варианте - это два и пять. Однако в других случаях это число может быть одно, два или три цифры и даже . Далее нужно поработать . Выберите наименьшую у каждого из множителей. В примере это два во второй степени и пять в первой.

В завершении просто нужно перемножить получившиеся цифры. В нашем случае все предельно просто: два в , умноженное на пять, равно 20. Таким образом, число 20 можно назвать наибольшим общим делителем для 60 и 80.

Видео по теме

Обратите внимание

Помните, что простым множителем является число, которое имеет только 2 делителя: единица и само это число.

Полезный совет

Кроме данного метода можно также пользоваться алгоритмом Евклида. Полное его описание, представленное в геометрической форме, можно найти в книге Евклида "Начала".

Связанная статья

Нередко можно встретить такие уравнения, в которых неизвестен . Например 350: Х = 50, где 350 - делимое, Х - делитель, а 50 - частное. Для решения этих примеров необходимо произвести определенный набор действий с теми числами, которые известны.

Вам понадобится

- карандаш или ручка;
- лист бумаги или тетрадь.

Инструкция

Составьте простое уравнение, где неизвестное, т.е. Х - это количество детей, 5 - это число конфет, полученных каждым ребенком, а 30 - это количество сладостей, которое было куплено. Таким образом вы должны получить : 30: Х = 5. В этом математическом выражении 30 называется делимым, Х - делителем, а получившееся частное равно 5.

Теперь приступайте к решению. Известно: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное. Получается:Х = 30: 5;30: 5 = 6;Х = 6.

Сделайте проверку, подставив в уравнение получившееся число. Итак, 30: Х = 5, вы нашли неизвестный делитель, т.е. Х = 6, таким образом: 30: 6 = 5. Выражение верно, а из этого следует, что уравнение решено . Разумеется, при решении примеров, в которых фигурируют простые числа, проверку выполнять необязательно. Но когда уравнения из , трехзначных, четырехзначных и т.д. чисел, обязательно проверяйте себя. Ведь это не отнимает много времени, но дает абсолютную уверенность в полученном результате.

Обратите внимание

Чтобы найти делитель надо делимое разделить. Как найти неизвестный делитель

Вам понадобится

Инструкция

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Совместное использование правил

Как найти делитель

Деление. Деление с остатком

Что такое частное чисел

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Совместное использование правил

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Как найти частное делимое делитель пишу правила не запоминающиеся

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Совместное использование правил

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Как найти неизвестное делимое, делитель?

делимое делитель частное правило

Совместное использование правил

Нахождение неизвестного слагаемого, множителя, и т.п., правила, примеры, решения

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо…

Как найти неизвестное уменьшаемое, вычитаемое?

Чтобы найти неизвестный множитель, надо…

Что такое делимое, делитель, частное и остаток (примеры)?

Как найти неизвестное делимое, делитель?

Совместное использование правил

Нахождение наименьшего общего кратного: основные понятия