ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«Политехнический техникум № 47 имени В.Г. Федорова»

(ГБПОУ ПТ № 47)

Методическая разработка

урока физики для студентов 1 курса

по теме: «Математический маятник.

Динамика колебательного движения»

преподаватель физики ВКК

Москва, 2016г.

Методическая разработка урока составлена в соответствии с требованиями ФГОС СОО и СПО. В сценарии урока реализованы элементы информационно-коммуникативной технологии и проблемно-деятельностного метода формирования и систематизации знаний в процессе предметного обучения.

Тип урока : комбинированный.

Цель урока : формирование универсальных учебных действий на уроке открытия новых знаний в технологии деятельностного метода.

Задачи урока:

1. О бразовательная: способствовать получению знаний о физических основах механических колебаний, сформировать такие понятия, как математический маятник, период, частота колебаний; экспериментальным путем установить законы колебаний математического и пружинного маятников; рассмотреть причины и особенности колебаний маятника.

2. В оспитывающая: создать условия для положительной мотивации к учебной деятельности, с целью выявления качества и уровня овладения знаниями и умениями обучающимися; сформировать коммуникативные навыки публично выступать по теме, вести диалог; поддерживать интерес к научным знаниям и к предмету «Физика».

3. Развивающая: продолжить формирование умения анализировать, систематизировать, обобщать теоретические учебные знания и данные, полученные экспериментальным путём; способствовать приобретению навыка самостоятельной работы с большим объёмом информации, умению сформулировать гипотезу и наметить пути её решения в процессе групповой проектной деятельности.

Оборудование и материалы : компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, видеоурок, лабораторное оборудование для обучающихся: штатив, нитяной маятник, пружинный маятник, грузы разной массы, пружины разной жёсткости, линейки, секундомер, раздаточный материал, учебник (базовый и профильный уровни) по физике_11 класс (авторы: Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, В.М. Чаругин, под редакцией Н.А. Парфентьевой, М. Просвещение, 2015).

Время проведения урока: 90 минут (пара).

Структура урока

Личностные:

планирование учебного сотрудничества

Звучит песня «Крылатые качели». Вступительное слово преподавателя. Девиз урока: «Способности как мускулы, растут при тренировке» (сов. геолог и географ Обручев В.А.)

Обучающиеся приветствуют преподавателя, садятся и слушают педагога.

2. Мотивация к учебной деятельности

1) Организовать актуализацию требований учебной деятельности к обучающемуся («надо »).

2) Организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок («могу »).

3) Создать условия для возникновения у обучающегося ситуации успеха и внутренней потребности включения в учебную деятельность («хочу »).

Регулятивные: волевая саморегуляция.

Личностные: действие смыслообразования.

1) Педагог предлагает найти связь песни с темой урока.

2) На доске кроссворд для отгадывания понятия, определяющего тему урока.

3) Педагог записывает дату и тему урока на доске.

4) Педагог озвучивает цель и задачи урока.

1) Обучающиеся находят ассоциацию движения качелей с маятником.

2) отгадывают ключевое слово кроссворда «колебание».

3) Записывают в тетрадях дату и тему урока.

3. Актуализация опорных знаний и фиксация затруднения в проблемном учебном действии

1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания.

2) Зафиксировать актуализированные способы действий в речи.

3) Зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны).

4) Организовать обобщение актуализированных способов действий.

5) Организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового знания.

6) Мотивировать к проблемному учебному действию («надо-могу-хочу» ).

7) Организовать самостоятельное (групповое) выполнение проблемного учебного действия.

8) Организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении обучающимися пробного учебного действия или в его обосновании.

Познавательные:

общеучебные: умение структурировать знания, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

логические: анализ, синтез, выбор оснований для сравнения.

Регулятивные:

прогнозирование (при анализе пробного действия перед его выполнением); контроль, коррекция (при проверке самостоятельного задания)

1) В таблице на доске «ЗНАЛ -УЗНАЛ-ХОЧУ УЗНАТЬ» преподаватель заполняет первую колонку

2) Демонстрация видеоурока (9:20) « Свободные и вынужденные колебания».

3) В таблице на доске «ЗНАЛ- УЗНАЛ - ХОЧУ УЗНАТЬ» преподаватель заполняет вторую колонку таблицы по ответам обучающихся.

1. Что такое механическое колебание.

2. Колебательные системы и маятник.

3. Свободные и вынужденные колебания.

4. Условия существования колебаний.

4) В таблице на доске «ЗНАЛ- УЗНАЛ- ХОЧУ УЗНАТЬ » преподаватель заполняет третью колонку таблицы по ответам обучающихся с помощью:

слайда «Применение маятника» из презентации к уроку;

демонстрация видеоролика «Термокомпенсационные маятники» avi . (2 мин)

1) Обучающиеся предлагают для записи знания по теме, полученные ранее.

2) Просмотр обучающимися видеоурока.

3) Обучающиеся обсуждают в парах и предлагают для записи полученные знания по теме.

4) Обучающиеся предлагают для записи полученные знания по теме.

4. Выявление места и причины затруднения

1) Организовать восстановление выполненных операций.

2) Организовать фиксацию места (шага, операции), где возникло затруднение.

3) Организовать соотнесение своих действий с используемыми эталонами (алгоритмом, понятием).

4) Организовать выявление и фиксацию во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений, навыков, которых недостает для решения исходной задачи такого типа.

Познавательные: постановка и формулирование учебной проблемы.

1) Преподаватель предлагает открыть учебник Физика11 класс, стр.58 п.20 «Математический маятник».

слайда «Математический маятник».

Педагог задаёт вопросы:

1. Что называется математическим маятником?

2. Какие силы действуют на маятник в движении?

3. Чему равна работа этих сил?

4. Куда направлено

центростремительное ускорение маятника?

5. Как меняется по модулю и направлению скорость груза на нити?

6. При каких условиях маятник свободно колеблется?

2) На экране демонстрация из презентации слайда «Динамика колебательного движения» . Объяснение педагога.

1. Уравнение движения тела, колеблющегося на пружине.

ma x = - kx;

a x = - (k/m) x X (1)

2. Уравнение движения тела, колеблющегося на нити.

ma t = - mg x sina; a t = - g x sina;

a t = - ( g / L ) Х Х (2)

3. Сделайте вывод, если умножить (1) и (2) на m , то равнодействующая сила в двух случаях…..(продолжите ответ)

4. Запишите формулы для вычисления (Физика 11 кл, стр.64-65)

периода, частоты, циклической частоты.

Формула Гюйгенса (справедлива только для малых углов отклонения).

1) Обучающиеся самостоятельно работают с учебным материалом, читают, обсуждают в парах ответы на вопросы и отвечают вслух.

2) Обучающиеся слушают и записывают в тетрадь уравнения.

3. Ответ: будет прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

4. Обучающиеся записывают в тетрадь (работа с учебником).

5. Построения проекта выхода из затруднения

Организовать построение проекта выхода из затруднения:

1) Обучающиеся ставят цель проекта (целью всегда является устранение причины возникшего затруднения).

2) Обучающиеся уточняют и согласовывают тему и цель проекта.

3) Обучающиеся определяют средства (алгоритмы, модели, справочники и т.п.).

4) Обучающиеся формулируют шаги , которые необходимо сделать для реализации проекта.

Регулятивные:

целеполагание как постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование

Познавательные:

общеучебные: знаково-символические-моделирование; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

1. Преподаватель делит группу студентов на 6 подгрупп для выполнения мини-проектов, с целью исследования зависимости величин колебательной системы.

2. Техника безопасности:

К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с её устройством и принципом действия.

Для предотвращения опрокидывания установки необходимо располагать её только на горизонтальной поверхности.

3 . На экране в презентации показать слайды с заданиями для подгрупп.

Группа №1 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от амплитуды». Начертите график этой зависимости.

Группа №2 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от массы груза». Начертите график этой зависимости.

Группа №3 «Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от длины нити». Начертите график этой зависимости.

Группа №4 «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от амплитуды». Начертите график этой зависимости.

Группа №5 «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от массы груза». Начертите график этой зависимости.

Группа №6 «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от жёсткости пружины». Начертите график этой зависимости.

Выполняют задания в группах по плану :

- выдвинуть гипотезу;

- провести эксперимент;

- записать полученные данные;

- проанализировать результат;

- построить график зависимости параметров колебательной системы;

- сделать вывод.

6. Реализация построенного проекта

1) Организовать фиксацию нового способа действия в соответствии с планом.

2) Организовать фиксацию нового способа действия в речи.

3) Организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона).

4) Организовать фиксацию преодоления затруднения.

5) Организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества со сверстниками, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; управление поведением партнеров; умение выражать свои мысли.

Познавательные:

общеучебные:

применение методов информационного поиска, смысловое чтение научного текста, умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание.

логические:

построение логической цепи рассуждений, анализ, синтез. выдвижение гипотез и их обоснование.

УУД постановки и решения проблем:

самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера.

1) Преподаватель контролирует и корректирует ход исследований в группах.

2) Преподаватель, подходя к каждой группе, задаёт вопросы :

Какие физические величины вы будете оставлять постоянными?

Какие физические величины вы будете изменять?

Какие – измерять?

Какие – вычислять?

T м.м . = 2
;

T пр.м .= 2
.

Ответы:

Группа №1: Период м.м. не зависит от амплитуды.

Группа №2: Период м.м. не зависит от массы груза.

Группа №3: Период м.м. зависит прямо пропорционально от кв. корня длины нити. Т ~

Группа №4: Период пр.м. не зависит от амплитуды.

Группа №5: Период пр.м. зависит прямо пропорционально от кв. корня массы груза. Т ~

Группа №6: Период пр.м. зависит обратно пропорционально от кв. корня жёсткости пружины. T ~

7. Первичное закрепление во внешней речи

Организовать усвоение обучающимися способа действий при решении данного типа задач с их проговариванием во внешней речи :

Фронтально;

- в парах или группах .

Коммуникативные:

Управление поведением партнера (ов);

Умение выражать свои мысли.

1) На экране в презентации на слайдах проверка полученных экспериментальных данных с эталонным ответом.

2) Изменится ли период и частота колебаний математического маятника при переносе его на Луну, где ускорение свободного падения меньше в 6 раз, чем на Земле? Если изменится, то как? Объясните.

1) Обучающиеся в тетрадях корректируют записи и графики.

2) Период м.м. увеличиться , т.к.период обратно пропорционаленg , а частота уменьшится, т.к. частота прямо пропорциональна g .

8.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

1) Организовать самостоятельное выполнение обучающимися типовых заданий на новый способ действия.

2) Организовать соотнесение работы с эталоном для самопроверки .

3) Организовать вербальное сопоставление работы с эталоном для самопроверки (организация пошаговой проверки).

4) По результатам выполнения самостоятельной работы организовать рефлексию деятельности по применению нового способа действия.

Регулятивные:

контроль в форме сравнения способа действия и его результата с заданным эталоном; оценивание качества и уровня усвоения; коррекция.

1) Качественные вопросы по теме (см. слайды презентации).

2) Решение расчётных задач (см. слайды презентации) - самостоятельно :

Начальный уровень -ознакомительный (узнавание ранее изученного);

Достаточный уровень - репродуктивный (выполнение по образцу);

Высокий уровень -продуктивный (самостоятельное решение проблемного задания).

3) На экране слайды презентации для проверки заданий вслух.

1) Устно отвечают вслух.

2) Обучающиеся сами выбирают для себя уровень задания и выполняют его самостоятельно.

9. Включение в систему знаний и повторение

1) Организовать выявление типов заданий, где используется способ действия.

2) Организовать повторение учебного содержания, необходимого для обеспечения содержательной непрерывности.

Регулятивные:

прогнозирование

На экране слайды презентации с опорным конспектом урока. Преподаватель повторяет изученный материал. Корректирует ошибки в ответах обучающихся. Нацеливает обучающихся на разрешение возникших затруднений в учебной деятельности на следующих уроках.

Слайд «Проверь себя»

Обучающиеся слушают и кратко отвечают на вопросы по ходу повторения. Обобщая полученные результаты, обучающиеся самостоятельно формулируют выводы:

- для м.м. период зависит от длины нити и ускорения свободного падения и не зависит от амплитуды колебаний массы груза;

- для пр.м. период зависит от массы груза и жёсткости пружины и не зависит от амплитуды колебаний.

10. Рефлексия учебной деятельности

1) Организовать фиксацию нового содержания , изученного на уроке.

2) Организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных обучающимся.

3) Организовать оценивание обучающимися собственной деятельности на уроке.

4) Организовать фиксацию неразрешённых затруднений на уроке как направлений будущей учебной деятельности.

5) Организовать запись и обсуждение домашнего задания.

Познавательные:

общеучебные: умение структурировать знания, оценка процесса и результатов деятельности.

Коммуникативные:

умение выражать свои мысли.

Регулятивные:

волевая саморегуляция, оценка – выделение и осознание того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, прогнозирование.

1) Анализ и практическое использование полученных знаний.

Где же используется данная зависимость?

(см. Слайд «Это интересно»)

Рефлексия организуется в конце урока при помощи модели «Циферблат» - обучающимся предлагается подрисовать стрелку в том секторе (4 сектора циферблата – «Понял хорошо, могу объяснить другим», «Понял, но решение задач вызывает трудности», «Понятно не все, решение задач вызывает трудности», «Практически ничего не понял») , который, по их мнению, более всего соответствует их уровню познания нового материала. (Данный метод может быть осуществлен на листе тетради).

3) Преподаватель резюмирует большой процент заполнения 1-2 сектора циферблата!

4) Оценки за урок.

5) Запись и обсуждение домашнего задания.

Д/З: Физика 11 кл., стр.53-66, п.18-22, вопросы.

Задание 1: Измерьте свой пульс за 30 секунд. Определите период и частоту вашего сердцебиения.

Задание 2 : Изготовьте из подручных средств математический маятник и определите его период и частоту колебаний.

Ответ: Устройство первых часов было основано на действии математического маятника. Ход этих часов регулировался длиной нити подвеса. С помощью математического маятника очень просто измерить ускорение свободного падения. Значение величины g меняется в зависимости от строения земной коры, от присутствия в ней тех или иных полезных ископаемых, поэтому геологи для разведки залежей до сих пор используют прибор, основанный на зависимости периода колебаний математического маятника от значения g . Маятник использовался для доказательства суточного вращения Земли.

Обучающиеся записывают Д/З.

11. Подведение итога урока

Зафиксировать положительную тенденцию к получению новых знаний .

Ребята, учите физику и старайтесь применять свои знания в жизни на практике. Успехов вам!

www . hrono . info / biograf / imena . html - биографии ученых;

В.Ф. Дмитриева ФИЗИКА для профессий и специальностей технического профиля, М., «Академия», 2010;

Глазунов А.Т., Кабардин О.Ф., Малинин А.Н, под редакцией А.А. Пинского ФИЗИКА_учебник для 11 класса с углубленным изучением физики, М., «Просвещение», 2008;

Л.Э. Генденштейн, Ю.И.Дик ФИЗИКА_учебник для 11 класса базового уровня, М., «Илекса»,2008;

Г.Я. Мякишев, Б.Б.Буховцев, В.М.Чаругин _ФИЗИКА_учебник для 11 класса базового и профильного уровня, М., «Просвещение», 2015.

ЛЕКЦИЯ №8

Механика

Колебания

Колебательное движение. Кинематические и динамические характеристики колебательного движения. Математический, физический и пружинный маятник.

Мы живем в мире, где колебательные процессы являются неотъемлемой частью нашего мира и встречаются повсеместно.

Колебательным процессом или колебанием называется процесс, отличающийся той или иной степенью повторяемости.

Если колеблющаяся величина повторяет свои значения через равные промежутки времени, то такие колебания называются периодическими, а эти промежутки времени называются периодом колебания.

В зависимости от физической природы явления различают колебания: механические, электромеханические, электромагнитные и т.д.

Колебания широко распространены природе и технике. Колебательные процессы лежат в основе некоторых отраслей механики. В рамках этого курса лекций мы будем говорить только о механических колебаниях.

В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают колебания: 1. Свободные или собственные, 2. Вынужденные колебания, 3. Автоколебания, 4. Параметрические колебания.

Свободными колебаниями называются колебания происходящие без внешнего воздействия и вызванные первоначальным «толчком».

Вынужденные колебания происходят под действием периодической внешней силы

Автоколебания так же совершаются под действием внешней силы, но момент воздействия силы на систему определяется самой колебательной системой.

При параметрических колебаниях за счет внешних воздействий происходит периодическое изменение параметров системы, которое и вызывает этот тип колебаний .

Простейшими по форме являются гармонические колебания

Гармоническими колебаниями называются колебания, происходящие по закону sin или cos . Примером гармонических колебаний является колебание математического маятника

Максимальное отклонение колеблющейся величины в процессе колебаний называетсяамплитудой колебаний (А). Время, за которое совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний (Т). Обратная величина периоду колебаний называется частотой колебаний (). Часто колебаний умноженная на 2 называется циклической частотой (). Таким образом гармонические колебания описываются выражением

Здесь ( t +  0 ) фаза колебания, а  0 – начальная фаза

Простейшими механическими колебательными системами являются так называемые: математический, пружинный и физический маятники. Рассмотрим эти маятники более подробно

8.1. Математический маятник

Математическим маятником называется колебательная система состоящая из массивного точечного тела подвешенного в поле сил тяжести на нерастяжимой невесомой нити.

В нижней точке маятник обладает минимумом потенциальной энергии. Отклоним маятник на угол  . Центр тяжести массивного точечного тела поднимется на высоту  h и при этом потенциальная энергия маятника возрастет на величину mg  h . Кроме того в отклоненном положении на груз действует сила тяжести и сила натяжения нити. Линии действия этих сил не совпадают, и на груз действует результирующая сила стремящаяся вернуть его в положение равновесия. Если груз не удерживать, то под действием этой силы он начнет перемещаться в исходное равновесное положение, его кинетическая энергия вследствие возрастания скорости будет увеличиваться, при этом потенциальная энергия будет уменьшаться. При достижении точки равновесия на тело уже не будет действовать результирующая сила (сила тяжести в этой точке компенсируется силой натяжения нити). Потенциальная энергия тела в этой точке будет минимальна, а кинетическая энергия напротив, будет иметь свое максимальное значение. Тело, двигаясь по инерции, пройдет положение равновесия и начнет от него удаляться, что приведет к возникновению результирующей силы (от силы натяжения и силы тяжести), которая будет направлена против движения тела, тормозя его. При этом начинается уменьшение кинетической энергии груза и возрастания его потенциальной энергии. Этот процесс будет продолжаться до полного исчерпания запасов кинетической энергии и перехода ее в потенциальную. При этом отклонение груза от положения равновесия достигнет максимальной величины и процесс повторится. Если в системе нет трения, колебания груза будут происходить бесконечно долгое время.

Таким образом, колебательные механические системы характеризуются тем, что при отклонении их из положения равновесия в системе возникает возвращающая сила стремящаяся вернуть систему в положение равновесия. При этом возникают колебания сопровождающиеся периодическим переходом потенциальной энергии системы в ее кинетическую энергию и обратно.

Рассчитаем колебательный процесс. Момент сил М действующий на маятник очевидно равен - mglsin  Знак минус отражает тот факт, что момент сил стремится вернуть груз в положение равновесия. С другой стороны по основному закону вращательного движения М= Id 2  / dt 2 . Таким образом, получим равенство

Б
удем рассматривать только малые углы отклонения маятника из положения равновесия. Тогдаsin  ≈  . И наше равенство примет вид:

Д
ля математического маятника справедливоI = ml 2 . Подставляя это равенство в полученное выражение, получаем уравнение описывающее процесс колебания математического маятника:

Это дифференциальное уравнение описывает колебательный процесс. Решением этого уравнения являются гармонические функции sin ( t +  0 ) или cos ( t +  0 ) Действительно подставим любую из этих функций в уравнение и получим:  2 = g / l . Таким образом, если это условие выполнено, то функции sin ( t +  0 ) или cos ( t +  0 ) превращают дифференциальное уравнение колебаний в тождество.

О
тсюда циклическая частота и период колебаний гармонического маятника выражается как:

Амплитуда колебаний находится из начальных условий задачи.

Как видим, частота и период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и зависят только от ускорения свободного падения и длины нити подвеса, что позволяет использовать маятник как простой, но очень точный прибор для определения ускорения свободного падения.

Другим видом маятника является любое физическое тело, подвешенное за какую либо точку тела и имеющее возможность совершать колебательное движение.

8.2. Физический маятник

Возьмем произвольное тело, пронзим его в какой либо точке несовпадающей с его центром масс осью вокруг которой тело может свободно поворачиваться. Подвесим тело на этой оси, и отклоним его из положения равновесия на некоторый угол .

Т
огда на тело с моментом инерцииI относительно оси О будет действовать возвращающий в положение равновесия момент М = - mglsin  и колебания физического маятника как и математического будут описываться дифференциальным уравнением:

Так как для разных физических маятников момент инерции будет выражаться по разному, то его не будем расписывать как в случае с математическим маятником. Это уравнение так же имеет вид уравнения колебаний, решением которого являются функции описывающие гармонических колебаний. При этом циклическая частота ( ) , период колебаний (Т) определяются как:

Мы видим, что в случае физического маятника период колебаний зависит от геометрии тела маятника, а не от его массы, как и в случае математического маятника. Действительно в выражение для момента инерции входит масса маятника в первой степени. Момент инерции в выражении для периода колебаний стоит в числителе, в то время как масса маятника входит в знаменатель и тоже в первой степени. Таким образом, масса в числителе сокращается с массой в знаменателе.

Физический маятник обладает еще одной характеристикой это приведенная длина.

Приведенной длиной физического маятника называется длина математического маятника период, которого совпадает с периодом физического маятника.

Это определение позволяет легко определить выражение для приведенной длины.

Сравнивая эти выражения получим

Если на линии проведенной от точки подвеса через центр масс физического маятника отложить (начиная от точки подвеса) приведенную длину физического маятника, то в конце этого отрезка будет точка, которая обладает замечательным свойством. Если физический маятник подвесить за эту точку, то его период колебаний будет тот же, что и в случае подвешивания маятника в прежней точке подвеса. Эти точки называются центрами качания физического маятника.

Рассмотрим еще одну простейшую колебательную систему совершающую гармонические колебания

8.3. Пружинный маятник

Представим, что к концу пружины с коэффициентом жесткостиk прикреплен груз массой m .

Если мы переместим груз вдоль оси х растянув пружину то на груз будет действовать возвращающая в положение равновесия сила F возвр = - kx . Если груз отпустить, то эта сила вызовет ускорение d 2 x / dt 2 . Согласно второму закону Ньютона мы получим:

md 2 x / dt 2 = - kx из этого уравнения получаем уравнение колебания груза на пружине в окончательном виде: d 2 x / dt 2 + (k / m ) x = 0

Э
то уравнение колебаний имеет такой же вид как и уравнения колебаний в уже рассматриваемых случаях, а это значит, что решением этого уравнения будут такие же гармонические функции. Частота и период колебаний будут соответственно равны

Причем сила тяжести ни коем образом не влияет на колебания пружинного маятника. Так как в этом случае она является постоянно действующим фактором, действующим все время в одну сторону и не имеющая ничего общего с возвращающей силой.

Таким образом как мы видим колебательный процесс в механической колебательной системе характеризуется прежде всего наличие в системе возвращающей силы действующей на систему, а сами колебания характеризуются: амплитудой колебания их периодом, частотой и фазой колебаний.

ГОУ ДОД «ПОИСК»

ёв

Динамика

Лабораторная работа № 9.7

ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Инструкция

к выполнению измерений и исследований.

Бланк отчета

Заполняется простым карандашом.

Максимально аккуратно и разборчиво.

Работу выполнил

«……» …………….20..….г.

Работу проверил

.....................................................

Оценка

...............%

«……» …………….20..….г.

Ставрополь 2011

Цель работы:

Углубить представления по теории гармонических колебаний. Освоить методику экспериментальных наблюдений и проверить законы незатухающих гармонических колебаний на примере математического и физического маятника.

Оборудование: стенд для наблюдения колебаний различных маятников, секундомер, линейка.

1. Теоретическая часть

Механические колебания – это вид движения, когда координаты, скорости и ускорения тела многократно повторяются.

Свободными называются колебания, происходящие под действием внутренних сил системы тел. Если при выведении системы из положения равновесия возникает сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению, то в такой системе возникают гармонические колебания . Здесь координаты, скорости и ускорения происходят по закону косинуса (синуса)

x=Acos( w 0 t+ a 0 ); v=–v0sin( w 0 t+ a 0 ); a=a0 Acos( w 0 t+ a 0 ) (1)

где А – амплитуда, w 0 – циклическая частота, a 0 – начальная фаза колебаний. Циклическая частота связана с периодом колебаний Т

(2)

Свободные колебания являются гармоническими лишь в том случае, когда нет трения, либо оно пренебрежительно мало.

font-size:16.0pt"> Системы тел, в которых возникают свободные колебания, часто называют маятниками.

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси О , не проходящей через центр масс С тела (рис. 1).

При выведении маятника из положения равновесия на некоторый угол j , составляющая Fn силы тяжести mg уравновешивается силой реакции N оси О , а составляющая F t стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела.

При этом

F t =–mgsin j (3)

Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила F t имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника (5-6 ° ) sin j » j (j в радианах) и F t » - mg j , т. е. возвращающая сила пропорциональна углу отклонения и направлена к положению равновесия, что и требуется для получения гармонических колебаний.

Маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О , которое описывается основным уравнение динамики вращательного движения

М = J e , (4)

где М – момент силы F t относительно оси О , J – момент инерции маятника относительно той же оси, ε - угловое ускорение маятника.

Момент силы в F t относительно оси О равен:

M = F t × l = - mg j × l , (5)

где l – плечо силы F t - кратчайшее расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

Из уравнений (4) и (5) , составленных в дифференциальной форме, получается решение в виде

j = j m × cos( w 0 t+ j 0 ) , (6)

где . (7)

Из этого решения следует, что при малых амплитудах колебания (j <5-6 ° ) физический маятник совершает гармонические колебания с угловой амплитудой колебаний j m , циклической частотой и периодом Т

font-size:16.0pt; font-weight:normal"> . (8)

Анализ формулы (8) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний физического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):

· Период колебаний физического маятника при малых смещениях не зависит от амплитуды колебаний.

· Период колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника относительно оси вращения (качания).

· Период колебаний физического маятника зависит от положения центра масс маятника относительно точки подвеса.

Простейший физический маятник – массивный груз на подвесе, находящийся в поле силы тяжести. Если подвес нерастяжим, размеры груза пренебрежимо малы по сравнению с длиной подвеса и масса нити пренебрежимо мала по сравнению с массой груза, то груз можно рассматривать как материальную точку, находящуюся на неизменном расстоянии l от точки подвеса О . Такая идеализированная модель маятника называется математическим маятником (рис. 2).

Колебания такого маятника происходят по гармоническому закону (6). Так как момент инерции материальной точки относительно оси, проходящей через точку О , равен J=ml2 , то период колебаний математического маятника равен

. (9)

Анализ формулы (9) позволяет сформулировать следующие закономерности колебаний математического маятника (при малой амплитуде и в отсутствие сил трения):

· Период колебаний математического маятника не зависит от массы маятника (что было проверено при выполнении предыдущей серии лабораторных работ).

· Период колебаний математического маятника при малых углах колебаний не зависит от амплитуды колебаний (что также было проверено ранее).

· Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из его длины.

2. Экспериментальная часть

З адание 1. Изучение колебаний физического маятника

Цель. Проверить правильность зависимости (8) периода колебаний физического маятника от его характеристик. Для этого необходимо построить соответствующие экспериментальные графики.

Используемый в данной работе физический маятник представляет собой прямой однородный стержень. Расстояние от центра тяжести стержня, т. е. его середины, до точки подвеса можно изменять. Момент инерции стержня относительно оси вращения (качания) font-size:16.0pt;font-weight:normal">font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (10)

где d – длина стержня, l – расстояние от центра тяжести (центра стержня) до оси качания.

График зависимости T=f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. Для этого преобразуем формулу (10) к виду

font-size:16.0pt; font-weight:normal"> (11)

Отсюда видно, что если построить график зависимости (T2l) = f(l2) , то должна получится прямая линия y=kx+b , угловой коэффициент которой равен https://pandia.ru/text/79/432/images/image012_32.gif" width="95" height="53 src=">.

1. Укрепите подвес в крайнем положении. Измерьте расстояние l от центра тяжести до оси

2. Измерьте период колебаний Т маятника. Для этого его необходимо отклонить на небольшой угол и измерить время 10-15 полных колебаний.

4. Последовательно уменьшая расстояние l , измерьте периоды колебаний маятника в каждом из этих положений.

5. Следует построить два графика. Первый график зависимости T=f(l) отображает сложную нелинейную зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния до оси качания. Второй график – линеаризация той же зависимости. Если точки на втором графике ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о правильности общей формулы (8) и, в данном случае, формулы (10) для периода колебаний физического маятника.

6. С помощью полученного графика зависимости (T2l) = f(l2), определите ускорение свободного падения и длину стержня, используемого в опыте. Для этого следует сначала определить угловой коэффициент наклона прямой и величину отрезка b отсекаемого прямой от вертикальной оси (рис. 3). Тогда

(12)

При вычислении длины стержня используйте экспериментально полученное значение ускорения свободного падения.

В выводе сравните полученные величины g и d с их действительными значениями.

Отчет

Таблица 1

№ п/п	l, м		t, c	T, c	l2,м2	T2l, c2 × м

T , с

l, м

График зависимости T = f(l).

l2 , м2

T2l , с2м

График зависимости T2l =f(l2)

Результаты опыта: ……………………………………………………….

Выводы: …………………………………………………………………………….

……..………………………………………………………………………………..

………… с2 /м b = …………с2 × м

font-size:16.0pt; line-height:150%"> ……… м/с2 ………м

Вывод : ……………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Задание 2. Изучение колебаний математического маятника

1. Подвесьте на нити свинцовый шарик, который лучше всего имитирует материальную точку. Длину подвеса изменяйте с шагом приблизительно 10 см так, чтобы получить 5-6 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте не менее . Угол отклонения маятника из положения равновесия не должен превышать 5-6 ° .

2. Зависимость Т=f(l) нелинейная. Поэтому для удобства экспериментальной проверки эту зависимость следует линеаризировать. Для этого постройте график зависимости квадрата периода колебаний от длины маятника Т2=f(l) . Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом (что можно объяснить погрешностями измерений), то можно сделать вывод о выполнении формулы (9). Если разброс велик, то следует повторить всю серию измерений.

3. С помощью полученного графика определите ускорение свободного падения. Предварительно следует получить точное уравнение экспериментальной прямой: y=kx+ b. Для этого примените метод наименьших квадратов (МНК) (таблица 3) и определите угловой коэффициент прямой k. Исходя из полученного значения углового коэффициента, вычислите ускорение свободного падения.

k= D T2/ D l = 4 p 2 /g , откуда g=4 p 2 /k . (13)

Отчет

Первоначальное отклонение j = ................

Таблица 2

№ п/п	l , м	N	t , c	T , c	T 2 , c 2

l, м

T 2 , с2

font-size:16.0pt">График зависимости T 2 = f ( l )

МНК Таблица 3

Обозначения: l = x , T2 = y

№ п/п		(xi-)	(xi-)2		(yi-)	(yi-)2	(xi-)(yi-)
	=	S =	S =	=	S =	S =	........................................................................................................................ Вывод:……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Вычисление ускорения свободного падения и погрешности его измерения font-size:16.0pt; font-style:normal">……… м/с2; △ g =………. м/с2 g = ……… ± ……… м/с2, d = …… % Вывод:……………………………………………………………………… ….. ……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Дополнительные задания 1. График зависимости T 2 = f ( l ) в третьем задании, скорее всего, не проходит через ноль. Чем это можно объяснить? 2. Почему для получения гармонических колебаний маятников необходимо выполнять требование j < 5-6 ° ? Ответы ДИНАМИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. Термины, законы, соотношения (знать к зачёту ) 1. Что такое колебания? гармонические колебания? периодические процессы? 2. Дайте определения амплитуды, периода, частоты, фазы, циклической частоты колебания. 3. Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени. 4. От чего зависит амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний? 5. Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии гармонических колебаний. 6. Как можно сравнить между собой массы тел, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих тел к пружине? 7. Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятника. 8. Что такое приведенная длина физического маятника? При построении этого графика вертикальную ось совсем не обязательно начинать с нуля. Лучше подобрать масштаб так, чтобы вертикальная ось начиналась с минимального значения периода колебаний маятника.

Движения, обладающие той или иной степенью повторяемости, называются колебаниями.

Если значения физических величин, изменяющихся в процессе движения, повторяются через равные промежутки времени, то такое движение называется периодическим. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают механические и электромагнитные колебания. По способу возбуждения колебания делят на: свободные (собственные), происходящие в представленной самой себе системе около положения равновесия после какого-либо первоначального воздействия; вынужденные – происходящие при периодическом внешнем воздействии.

На рисунках а -е представлены графики зависимости смещения x от времени t (коротко говоря, графики смещения) для некоторых видов колебаний:

а) синусоидальные (гармонические) колебания,

б) прямоугольные колебания,

в) пилообразные колебания,

г) пример колебаний сложного вида,

д) затухающие колебания,

е) нарастающие колебания.

Условия возникновения свободных колебаний: а) при выведении тела из положения равновесия в системе должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия; б) силы трения в системе должны быть достаточно малы.

Амплитуда А – модуль максимального отклонения колеблющейся точки от положения равновесия.

Колебания точки, происходящие с постоянной амплитудой, называютнезатухающими, а колебания с постепенно уменьшающейся амплитудой – затухающими.

Время, в течение которого совершается полное колебание, называютпериодом (Т ).

Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершаемых за единицу времени:

Единица частоты колебаний - герц (Гц). Герц – это частота колебаний, период которых равен 1 с: 1 Гц = 1 с –1 .

Циклической иликруговой частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, совершаемых за время 2p с:

. =рад/с.

Гармонические – это такие колебания, которые описываются периодическим законом:

или (1)

где – периодически изменяющаяся величина (смещение, скорость, сила и т. д.), А – амплитуда.

Система, закон движения которой имеет вид (1), называется гармоническим осциллятором . Аргумент синуса или косинуса называется фазой колебаний . Фаза колебания определяет смещение в момент времени t . Начальная фаза определяет смещение тела в момент начала отсчета времени.

Рассмотрим смещение x колеблющегося тела относительно положения равновесия. Уравнение гармонического колебания:

.

Первая производная от по времени дает выражение для скорости движения тела:

Скорость достигает своего максимального значения в момент времени, когда =1, соответственно ‑ является амплитудой скорости. Смещение же точки в этот момент рано нулю = 0.

Ускорение изменяется со временем также по гармоническому закону:

где – максимальное значение ускорения. Знак минус означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению, т. е. ускорение и смещение изменяются в противофазе. Видно, что скорость достигает максимального значения, когда колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент смещение и ускорение равны нулю.

Для того чтобы тело совершало гармоническое колебательное движение, на него должна действовать сила, всегда направленная к положению равновесия, а по величине – прямо пропорциональная смещению от этого положения. Силы, направленные к положению равновесия, называются возвращающими.

Рассмотрим свободные колебания, происходящие в системе с одной степенью свободы. Пусть тело массой т укреплено на пружине, упругость которой k. В отсутствие сил трения на тело, выведенное из положения равновесия, действует упругая сила пружины . Тогда по второму закону динамики имеем:

Если ввести обозначение , то уравнение можно переписать в следующем виде:

Это и есть дифференциальное уравнение свободных колебаний с одной степенью свободы. Его решением является функция вида или . Величина является циклической частотой Период колебаний пружинного маятника:

. (3).

Математический маятник ‑ это модель, в которой вся масса сосредоточена в материальной точке, колеблющейся на невесомой и недеформируемой нити. При отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие , на тело будет действовать возвращающая сила . Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Так как , то сила равна . Сила пропорциональна смещению, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания. Обозначим , где , имеем: или . Отсюда период колебаний математического маятника: .

Физическим маятником может служить любое тело, которое колеблется относительно оси, не проходящей через центр тяжести. Расстояние между осью колебаний и центром тяжести а . Уравнение движения в этом случае запишется , или для малых значений угла φ: . В итоге имеем уравнение гармонических колебаний с частотой и периодом . В последнем равенстве ввели приведенную длину физического маятника , чтобы сделать формулы для физического и математического маятников идентичными.

В лабораторных исследованиях часто используется крутильный маятник, позволяющий измерять момент инерции твердых тел с высокой точностью. Для таких колебаний момент в довольно широких пределах пропорционален углу закручивания φ.

Математический маятник – это модель обычного маятника. Под математическим маятником – понимается материальная точка, которая подвешена на длинной невесомой и нерастяжимой нити.

Выведем шарик из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. При движении маятника, на него еще будет действовать сила трения воздуха. Но мы будем считать её очень маленькой.

Разложим силу тяжести на две составляющих: силу, направленную вдоль нити, и силу направленную перпендикулярно касательной к траектории движения шарика.

Эти две силы составят в сумме силу тяжести. Силы упругости нити и составляющая силы тяжести Fn сообщают шарику центростремительное ускорение. Работа этих сил будет равняться нулю, и следовательно они будут лишь менять направление вектора скорости. В любой момент времени, он будет направлен по касательной к дуге окружности.

Под действием составляющей силы тяжести Fτ шарик будет двигаться по дуге окружности с нарастающей по модулю скоростью. Значение этой сила всегда изменяется по модулю, при прохождении положения равновесия она равняется нулю.

Динамика колебательного движения

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости.

Общее уравнение движения:

Колебания в системе происходят под действием силы упругости, которая согласно закону Гука прямо пропорциональна смещению груза

Тогда уравнение движения шарика примет следующий вид:

Разделим это уравнение на m, получим следующую формулу:

И так как масса и коэффициент упругости величины постоянные, то и отношение (-k/m) тоже будет постоянное. Мы получили уравнение, которые описывают колебания тела под действием силы упругости.

Проекция ускорения тела будет прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника

Уравнение движения математического маятника описывается следующей формулой:

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение движения груза на пружине. Следовательно, колебания маятника и движения шарика на пружине происходят одинаковым образом.

Смещение шарика на пружине и смещение тела маятника от положения равновесия изменяются со временем по одинаковым законам.