Понятие о гармонических функциях.

Гармони́ческая фу́нкция - вещественная функция $U$, определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа :

$\backslash Delta\; U\; =\; 0,\backslash$

где $\backslash Delta=\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\_i^2\}$ - оператор Лапласа , то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд .

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$, достигает своего максимума и минимума только на границе $\backslash partial\; D$. Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума , за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на $\backslash Bbb\{R\}^n$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна .

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x\_0)$ с центром в точке $x\_0$, то её значение в точке $x\_0$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x\_0)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu(\backslash partial\; B)\}\; \backslash int\backslash limits\_\{\backslash partial\; B\}\; u\; dS\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mu\; (B)\}\; \backslash int\backslash limits\_\{B\}\; u\; dV$

где $\backslash mu\; (B)$ - объём шара $B(x\_0)$ и $\backslash mu(\backslash partial\; B)$ - площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция $U(M)=U(x\_1,...x\_k)$, гармоническая в к-мерном шаре $Q\_r$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M\_0$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: $\{\{R^\{k-2\}\}\{\backslash frac\{R-r\}\{(R+r)^\{k-1\}\}\}U(M\_0)\}\backslash le\{U(M)\}\backslash le\{R^\{k-2\}\backslash frac\{R+r\}\{(R-r)^\{k-1\}\}U(M\_0)\}$, где

Теорема Гарнака

Пусть $v\_n(z)$ - положительные гармонические функции в некоторой области $D$. Если ряд $\backslash sum\_\{1\}^\backslash infty\; v\_\{n\}(z)$ сходится хотя бы в одной точке области $D$, то он равномерно сходится внутри $D$.

См. также

Напишите отзыв о статье "Гармоническая функция"

Примечания

Литература

• Владимиров В. С. , Жаринов В. В. Уравнения математической физики. - Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .

Отрывок, характеризующий Гармоническая функция

– Фр… фр… – фыркал князь Николай Андреич.
– Князь от имени своего воспитанника… сына, тебе делает пропозицию. Хочешь ли ты или нет быть женою князя Анатоля Курагина? Ты говори: да или нет! – закричал он, – а потом я удерживаю за собой право сказать и свое мнение. Да, мое мнение и только свое мнение, – прибавил князь Николай Андреич, обращаясь к князю Василью и отвечая на его умоляющее выражение. – Да или нет?
– Мое желание, mon pere, никогда не покидать вас, никогда не разделять своей жизни с вашей. Я не хочу выходить замуж, – сказала она решительно, взглянув своими прекрасными глазами на князя Василья и на отца.
– Вздор, глупости! Вздор, вздор, вздор! – нахмурившись, закричал князь Николай Андреич, взял дочь за руку, пригнул к себе и не поцеловал, но только пригнув свой лоб к ее лбу, дотронулся до нее и так сжал руку, которую он держал, что она поморщилась и вскрикнула.
Князь Василий встал.
– Ma chere, je vous dirai, que c"est un moment que je n"oublrai jamais, jamais; mais, ma bonne, est ce que vous ne nous donnerez pas un peu d"esperance de toucher ce coeur si bon, si genereux. Dites, que peut etre… L"avenir est si grand. Dites: peut etre. [Моя милая, я вам скажу, что эту минуту я никогда не забуду, но, моя добрейшая, дайте нам хоть малую надежду возможности тронуть это сердце, столь доброе и великодушное. Скажите: может быть… Будущность так велика. Скажите: может быть.]
– Князь, то, что я сказала, есть всё, что есть в моем сердце. Я благодарю за честь, но никогда не буду женой вашего сына.
– Ну, и кончено, мой милый. Очень рад тебя видеть, очень рад тебя видеть. Поди к себе, княжна, поди, – говорил старый князь. – Очень, очень рад тебя видеть, – повторял он, обнимая князя Василья.
«Мое призвание другое, – думала про себя княжна Марья, мое призвание – быть счастливой другим счастием, счастием любви и самопожертвования. И что бы мне это ни стоило, я сделаю счастие бедной Ame. Она так страстно его любит. Она так страстно раскаивается. Я все сделаю, чтобы устроить ее брак с ним. Ежели он не богат, я дам ей средства, я попрошу отца, я попрошу Андрея. Я так буду счастлива, когда она будет его женою. Она так несчастлива, чужая, одинокая, без помощи! И Боже мой, как страстно она любит, ежели она так могла забыть себя. Может быть, и я сделала бы то же!…» думала княжна Марья.

Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.

Связь с аналитическими функциями. Аналитические функции тесно связаны с гармоническими функциями от двух переменных, т. е. с решениями двумерного уравнения Лапласа

В самом деле, дифференцируя первое из условий аналитичности

Мы найдем, что функция и- действительная часть аналитической функции - является гармонической функцией. Точно так же доказывается, что и мнимая часть аналитической функции является функцией гармонической.

будет аналитической в D. В самом деле, в силу уравнения (1)

в односвязной области вляется точным дифференциалом некоторой функции v, которая и является искомой. Таким образом, сопряженные гармонические функции находятся простым интегрированием.

Из свойств аналитических функций можно выводить соответствующие свойства функций гармонических (при желании можно поступать и наоборот). Так, мы можем утверждать, что каждая гармоническая функция бесконечно дифференцируема. Из формулы (19) предыдущего параграфа отделением действительных частей мы получаем теорему о среднем для гармонических функций:

принадлежит области гармоничности и.

Эта теорема является одним из основополагающих фактов теории гармонических функций. Из нее, в частности, получается важный принцип экстремума: непостоянная гармоническая в области D функция не может достигать внутри D ни максимума, ни минимума.

должна достигать и мак-

всюду в D.

Возникает естественная задача восстановления гармонической в области функции по ее граничным значениям. Эта задача является основной в теории гармонических функций и ее приложениях и называется задачей Дирихле. Вот как она формулируется:

Приведенное выше рассуждение показывает, что задача Дирихле не может иметь двух различных решений, т. е. доказывает единственность решения этой задачи. Более тонким и сложно доказываемым фактом является существование решения задачи Дирихле. Впрочем, для ряда простейших областей существование решения можно доказать прямой конструкцией.

применить интегральную формулу Коши:

и, следовательно,воспользуемся теоремой

Теперь мы вычтем это равенство из предыдущего, предварительно подсчитав, что

1 мы имеем

мы получим

теперь стоит действительный множитель. Отделяя в последней формуле действительные части, мы получим так называемый интеграл Пуассона

определяет гармоническую в круге функцию u(z) с заданными граничными значениями.

Преобразованием формулы Коши (4), похожим на описанное, можно получить также интеграл Шварца, который восстанавливает аналитическую в единичном круге функцию f(z) по граничным значениям ее действительной части:

эта задача, очевидно, решается с точностью до мнимой постоянной.

обозначают, соответственно, значения действительной части f на нижней и верхней границах полосы.

гармонична в А. Теорема доказывается прямым подсчетом, по которому оператор Лапласа

В частности, гармоничность сохраняется при конформных отображениях, которые представляют собой взаимно однозначные аналитические преобразования.

Связь теории гармонических функций с теорией конформных отображений проявляется также в связи соответствующих граничных задач. Основной граничной задачей теории конформных отображений служит следующая задача Римана:

Реализующую конформное отображение одной из этих областей на другую.

Остается вернуться к переменной г и воспользоваться сохранением гармоничности при конформных отображениях; мы получим искомое решение:

Которую искомое

отображение f переводит в центр круга w = 0 (рис. 19).

В ней функция f должна иметь нуль, и притом первого порядка, ибо в окрестности нулей высшего порядка аналитическая функция не взаимно однозначна (она имеет там характер степени). Поэтому в окрестности z0 функция f должна иметь тейлоровское разложение вида

Но тогда логарифм этой

функции аналитичен в D, а значит, его действительная часть, т. е. функция

должна быть гармонической в D.

Теперь уже нетрудно понять замысел проведенных построений: ведь если f отображает D на единичный круг, то должен равняться 1 на границе D, а значит, еще не зная самого конформного отображения, мы знаем граничные значения функции (9), они равны

и определяются геометрической формой границы области и выбранной точкой z0 (рис. 19). Чтобы найти искомое конформное отображение, нужно, следовательно, выполнить следующие операции: 1) по известным граничным значениям (1СН построить гармоническую в D

функцию и(z) (задача Дирихле), 2) найти функцию v(z), гармонически сопряженную с и (интегрирование). Теперь мы знаем функцию

откуда искомое отображение находится по формуле

Хочется обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с построенным решением. Из конструкции видно, что функция f аналитична в D и что на границе D ее модуль равен 1. Однако остается еще доказать, что эта функция взаимно однозначно отображает D на единичный круг. Это можно сделать прямой (но отнюдь не простой) проверкой. Если же у нас есть уверенность, что наша задача разрешима (т. е. мы умеем доказывать теорему существования конформного отображения D на круг), то такая проверка излишня - проведенные выше рассуждения показывают, что если искомое отображение есть, то оно непременно восстанавливается по формуле (11).

будет искомым конформным отображением.

Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина (6) к этой функции U и к гармонической функции , получим, в силу

т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу , получим

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (13).

Отметим, что интегралы в формулах (12) и (13) не содержат производных второго порядка функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (S). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы (12) и (13) для сжатой области (D), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D) до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой . Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV.

Применим формулу (13) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в и радиусом R, считая, конечно, что

функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности (21)

В данном случае направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

и формула (13) дает

Но на поверхности сферы величина имеет постоянное значение R, так что

или, в силу (12), будем иметь окончательно

Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции:

Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этого утверждения. Пусть достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке той области где гармоническая функция. Построим сферу с центром и радиусом , принадлежащую применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением на сфере Таким образом получим

причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере есть постоянная, равная . Поскольку по предположению и есть наибольшее значение в мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно,

Равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что есть постоянная и во всей области

Пусть N - любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что Соединим с N линией конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри и пусть d - кратчайшее расстояние от границы S области D (d - положительное число). В силу доказанного выше равна постоянной в шаре с центром и радиусом d. Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мы имеем и по доказанному выше равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d. Пусть последняя точка пересечения l с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что что и требовалось доказать. Можно показать также, что не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в , может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции гармонические внутри D и принимающие на поверхности S этой области одни и те же предельные значения то разность будет также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно следует, что обращается в нуль тождественно во всей области ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения задачи Дирихле должны совпадать во всей области D. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обращаться в нуль.

Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу

и теорема о среднем будет выражаться в виде

где - окружность с центром и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.

Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функция, удовлетворяющая предельному условию

откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями т. е. решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функция входящая в предельное условие внутренней задачи Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию

В заключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверхности S. При этом надо только сделать предположение о порядке малости на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства

Функция а(t) называется гармонической, если она изменяется по синусои-дальному или косинусоидальному закону:

а(t) = А m Cos(ωt + φ) = А m sin(ωt + ψ).

Здесь аргумент υ(t) = ωt + ψ называется фазой. Величина ψ = φ + π/2, равная значению фазы при t = 0 , называется начальной фазой. Наибольшее значение функции – амплитуда А m , наименьшее значение – (–А m).

Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ω её изменения называется угловой частотой и измеряется в
рад/с. Гармоническая функция – простейший вид периодической функции. Величина f, обратная периоду функции Т, называется линейной частотой и измеряется в герцах, обозначается Гц.

Установившимся режимом схемы называется такой, при котором закон изменения напряжения и тока не изменяется в течение всего исследуемого ин-

тервала времени. В противном случае режим является переходным.

Рассмотрим установившиеся процессы.

Построим график гармонической функции:

1. Выберем масштаб. По оси абсцисс – фазу ωt, чтобы определить период функции 2π. По оси ординат – амперы (если это функция тока) или вольты (если это функция напряжения). Отложим амплитуду функции А m (рис. 2.2):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на величину начальной фазы ψ. Если ψ > 0, то сдвигаем её влево, то есть функция а(ωt) опережает начало отсчета по оси абсцисс на величину ψ. Если ψ < 0, то сдвигаем вправо, то есть

функция а(ωt) отстает от начала отсчета на величину ψ.

Например, при , получим (рис. 2.4):

Пример 9 . Построить график функции тока i(t) = 2 Sin(ωt + ) А.

1. Выбираем масштаб по осям ординат (рис. 2.5).

2. Строим функцию i´(t) = 2 Sin(ωt +0) А (рис. 2.6).

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на влево, так как

Ψ = > 0 (рис. 2.7):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на вправо, так как

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Среднее и действующее значения гармонических токов и

Напряжений

Среднее значение периодической функции i(t) , u(t), за период Т определяется выражением:

Среднее значение не зависит от момента времени t 0 .

Среднее значение за период гармонической функции (а таковыми являются ток и напряжение (э.д.с.)) равно нулю.

Действующим значением периодической функции i(t) , u(t), называется среднее квадратическое значение этой функции за период Т:

.

По физическому смыслу действующее значение периодического тока за период – это такой постоянный ток, который, проходя черех неизменное сопротивление, выделяет то же количество тепла, что и данный ток.

Действующее значение I, U, E гармонической функции i(t) , u(t), в

Раз меньше амплитуды

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Следовательно,

Пример 11 . Ток i(t) = 5Sin(ωt + ). Определить среднее, действующее и
амплитудное его значения.

Среднее значение I СР = 0, так как i(t) – гармоническая функция. Амплитудное значение I m = 5 А, а действующее ) - 1 = 0,707·5 = =3,535 А.

Операции с комплексными числами

В математике и электротехнике находит достаточно широкое применение мнимая единица , лежащая в основе комплексных чисел.

В общем случае комплексные величины, за исключением тока и напряжения, обозначаются как символ и жирная черта под ним: А . Комплексные числа имеют пять форм представления.

Алгебраическая

А = а + jb; а = Rе [A ]; b = Im[А ] .

здесь а и b – соответственно действительная и мнимая составляющие числа А .

Показательная

А = А·е j ψ ,

где А = − модуль числа А , − аргумент числа А .

Полярная

Тригонометрическая

А = АCosψ + jАSinψ,

где АCosψ = а; АSinψ = b.

Геометрическая – число в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.11).

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные составляющие совпадают, а мнимые различаются только знаками, Сопряженное числу А комплексное число обозначается. Если А = а + jb, то = а – jb.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно делать в алгебраической и геометрической формах, однако в расчетах – только в алгебраической:

А 1 + А 2 = (а 1 + jb 1) ± (а 2 + jb 2) = (а 1 ± а 2) + j(b 1 ± b 2)

Умножение и деление лучше делать в показательной форме

А 1 ·А 2 = А 1 · А 2 · = А 1 ·А 2 · ,

=

Пример 12. Дано А 1 = 2 + j3; А 2 = 5 – j10. Определить сумму и разность
чисел А 1 и А 2 .

А 1 + А 2 = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

А 1 – А 2 = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Пример 13. Дано А 1 = 10·е j 30° ; А 2 = 20 е –j6 0° . Определить произведение
и частное чисел А 1 и А 2 .

Ā 3 = А 1 ·А 2 = 10·е j 30° · 20 е –j6 0° = 200·е –j3 0° .

Ā 4 = А 1 · = 10·е j 30º · (20 е –j6 0°) –1 = 0,5·е j 90º = 0,5j.

Очень часто в расчетах возникает необходимость перехода от показательной формы комплексного числа к алгебраической или наоборот. Предлагаются алгоритмы перехода.

Алгоритм перехода от показательной А·е jψ формы к алгебраической а + jb.

1. Определяем Cosψ.

2. Определяем А·Cosψ = а (сброс).

3. Определяем Sin ψ.

4. Определяем А·Sin ψ = b.

Алгоритм перехода от алгебраической а + jb формы к показательной А·е jψ .

1. Определяем – рассчитанный аргумент ψ.

2. Истинный аргумент ψ определяется по ψ РАСЧ в зависимости от квадранта в соответствии со схемой (рис. 2.12):

3. Определяем Sin ψ РАСЧ .

4. Определяем .

Пример 14 . Перевести А = 10· в алгебраическую форму.

А = 10· ; .

10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Перевести А =3 + j6 в показательную форму.

; ψ РАСЧ = arctg 2 = 63°; А = 6,7;

А = 6,7е j63° .

2.4. Представление гармонической функции на комплексной
плоскости

Установившиеся значения токов и напряжений линейных схем при воздействии гармонических сигналов в принципе могут быть найдены путем составления и решения соответствующих этим процессам дифференциальных уравнений. Однако это достаточно сложный путь.

В конце ХIХ века американскими инженерами А. Кеннели и И. Штейнметцем был предложен более простой путь, основанный на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, то есть на переводе исходных функций из временной области в частотную.

Введем понятие комплексных амплитудных значений гармонических функций тока (напряжения , э.д.с. ). Представим для этого каждую из этих функций в виде вектора на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде А m . При этом он вращается с круговой частотой ω против часовой стрелки (рис. 2.13).

+1

Если остановить вектор в произвольный момент времени t, то его проекция а(t) на мнимую ось определится:

а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) .

При t = 0 а(0) = А m ·Sinψ.

Таким образом, гармонической функции а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) соответствует комплексное число А m = А m е jψ .

Аналогично гармоническим воздействиям

i(t) = I m ·Sin (ωt + ψ i), u(t) = U m ·Sin (ωt + ψ u) и е(t) = Е m ·Sin (ωt + ψ е) значение тока или напряжения гармонической функции – это комплексное число, модуль которого равен действующему значению тока или напряжения, а аргумент равен начальной фазе гармонической функции. = 10 ()‾ 1 · = 7,07· В.

Справедливо и обратное преобразование.

Известно комплексное действующее значение тока = 0,2е j 70° А на частоте ω = 100 рад/с. Найти гармоническую функцию тока.

i(t) = I m ·Sin (ωt+ψ i) = I · ·Sin (ωt+ψ i) = 0,2· ·Sin (100t+70°) =

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, непрерывная со своими вторыми производными в области G и удовлетворяющая в G Лапласа уравнению =0. Г. ф. возникают при решении задач электростатики, теории тяготения, гидродинамики несжимаемой жидкости, теории упругости и др. Г. ф. являются, напр., потенциалы сил в точках вне источников их поля, потенциал скоростей несжимаемой жидкости. Простейшим примером Г. ф. служит фундам. решение ур-ния Лапласа, описывающее потенциал точечного источника. Любую Г. ф. можно представить в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, выражающихся через значения Г. ф. и и её нормальной производной : если r - расстояние от любой точки P 0 внутри G до переменной точки P на границе S, то в случае трёх измерений

Для Г. ф. справедлив принцип экстремума: ф-ция, гармоническая внутри G и непрерывная в замкнутой области G+S, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на S, кроме того случая, когда эта ф-ция постоянна. Этот принцип позволяет устанавливать общие свойства физ. величин, не прибегая к вычислениям. Напр., в электростатике из него следует теорема Ирншоу. Удобный метод решения задач для Г. ф. на плоскости даёт теория ф-ций комплексного переменного z=x+iy. Если w=u+iv - аналитическая ф-ция от z в G, то и(х, у )и v(х, у )являются Г. ф. в G. Поэтому мн. задачи удаётся решить с помощью конформного отображения области G в нек-рую стандартную область (круг, полуплоскость). Граничные условия для Г. ф. определяют соответствующие краевые задачи, из к-рых чаще встречаются первая краевая задача, или Дирихле задача, когда на границе S Г. ф. принимает заданные значения, и вторая краевая задача, или Неймана задача, когда в каждой точке S задана нормальная производная Г. ф.

Лита.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 21 изд., M., 1974; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд, M., 1966.

• - наименьшая гармоническая мажоранта семейства - нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант vk , семейства субгармонич...

  Математическая энциклопедия

• - термин, иногда применяемый для обозначения емкости множества в евклидовом пространстве, получаемой методом классической потенциала теории при помощи ньютонова потенциала при или логарифмического потенциала...

  Математическая энциклопедия

• - пропорция, ср. члены к-рой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: a:b = b:. Разложение числа а на два слагаемых b и а-b наз. гармонич. делением или золотым сечением...
• - функция неск. переменных, непрерывная в нек-рой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному ур-нию Лапласа...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - основная физическая характеристика квантовой системы, функция динамических переменных, полностью описывающая состояние системы...

  Начала современного Естествознания

• - последовательность вида 1/а, 1/в, 1/с..., где а, в, с и т.д. является АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЕЙ. Простейший пример - ряд чисел, обратных положительным целым: 1,1/2, 1/3, 1/4,.....

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - син. термина складчатость параллельная...

  Геологическая энциклопедия

• - А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h и h1 = 2ah/...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: а: b = b: ...

  Большая Советская энциклопедия

• - ГАРМОНИЧЕСКАЯ пропорция - пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: a:b=b:...
• - ГАРМОНИЧЕСКАЯ функция - функция нескольких переменных, непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному Лапласа уравнению...

  Большой энциклопедический словарь

• - Предназначение языка быть средством завязывания контактов между индивидами...
• - Использование языка в той или иной коммуникативной сфере вместе с другим языком в связи с тем, что он не в состоянии самостоятельно в полной мере обслуживать данную сферу...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

• - в математике три числа, имеющие такое свойство, что отношение двух из них равно отношению разностей между каждым из них и третьим числом; напр. если А: В = А - С: В - С; то А, В и С составляют гарм. пропорции...

  Словарь иностранных слов русского языка

• - Одновременное функционирование разных языков в одной и той же сфере или подсфере...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

• - Использование языка для интеллектуального, эмоционального или волевого воздействия на адресата...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

"ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в книгах

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

автора Александров Юрий

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Из книги Основы психофизиологии автора Александров Юрий

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Гармоническая фильтрация основана на обработке спектров исходного сигнала, рассчитанных, например, при помощи быстрого преобразования Фурье (Fast Fourier Transformation – FFT). Спектр Фурье представляет собой сигнал в виде набора sin и cos функций, которые при

Гармоническая организация

Из книги Чёрная музыка, белая свобода автора Барбан Ефим Семёнович

Гармоническая организация Джаз не создал собственного гармонического языка. Блюзовая гамма - не более чем слегка измененная разновидность европейского темперированного звукоряда. Возникший на ее основе афроамериканский лад (точнее, тональность) в основе своей был

Гармоническая система счисления Майя

Из книги Фактор Майя [Внетехнологический путь] автора Аргуэльес Хосе

Гармоническая система счисления Майя Майянская система счисления основана на экспоненциальной двоичной последовательности чисел с основанием степени 20. Вся последовательность записывается с использованием лишь трех условных обозначений: точки, означающей единицу;

Функция

Из книги Избранное: Социология музыки автора Адорно Теодор В

Функция

Из книги автора

Функция (лат. functio – исполнение, совершение) – обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Й. Гёте, цит. по Е. Никитину. Функция. – Философская энциклопедия, т. 5. М., 1970, с. 418.).Функция появляется у предмета (объекта, элемента) лишь

Функция

Из книги Энциклопедический словарь (Т-Ф) автора Брокгауз Ф. А.

Функция Функция (мат.). – К сказанному следует еще прибавить несколько замечаний. Предположим, что у есть Ф. от независимой переменой х. Может случиться, что эта Ф. определена не для всех значений х, а только для некоторых. Напр., Ф.у = 1. 2. 3:.. (x – 1).x определена только для целых

Гармоническая пропорция

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГА) автора БСЭ

ФУНКЦИЯ

Из книги Новейший философский словарь автора Грицанов Александр Алексеевич

Функция SUM

Из книги Обработка баз данных на Visual Basic®.NET автора Мак-Манус Джеффри П

Функция SUM Ваши возможности в подведении итогов не ограничены простым подсчетом записей. Используя функцию SUM, можно генерировать итоговые результаты для всех возвращаемых записей по любым числовым полям. Например, для создания запроса, который генерирует итоги по

Функция uni()

Из книги Fiction Book Designer 3.2. Краткое руководство автора Izekbis

Функция uni()

Из книги Fiction Book Designer Краткое руководство автора Автор неизвестен

Функция uni() Поиск/замена символа по его юникодному номеру также может быть сделана при помощи функции uni().Пример функции uni(): Boouni(107,32)Designer найдет слово Book

Функция not

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Функция sum

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества

Из книги «О текущем моменте» № 7(79), 2008 г. автора СССР Внутренний Предиктор

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества В достаточно общей теории управления (ДОТУ) есть понятие «полная функция управления». Полная функция