Основы теории колебаний. Классификация колебательных систем

Программа курса теория колебаний для студентов 4 курса ФАКИ

Дисциплина опирается на результаты таких дисциплин, как классическая общая алгебра, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теоретическая механика, теория функций комплексного переменного. Особенностью изучения дисциплины является частое обращение к аппарату математического анализа и других смежных математических дисциплин, использование практически важных примеров из предметной области теоретической механики, физики, электротехники, акустики.

1. Качественный анализ движения в консервативной системе с одной степенью свободы

• Метод фазовой плоскости
• Зависимость периода колебаний от амплитуды. Мягкие и жесткие системы

2. Уравнение Дюффинга

• Выражение для общего решения уравнения Дюффинга в эллиптических функциях

3. Квазилинейные системы

• Переменные Ван-дер-Поля
• Метод усреднения

4. Релаксационные колебания

• Уравнение Ван-дер-Поля
• Сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений

5. Динамика нелинейных автономных систем общего вида с одной степенью свободы

• Понятие «грубости» динамической системы
• Бифуркации динамических систем

6. Элементы теории Флоке

• Нормальные решения и мультипликаторы линейных систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
• Параметрический резонанс

7. Уравнение Хилла

• Анализ поведения решений уравнения типа Хилла как иллюстрация применения теории Флоке к линейным гамильтоновым системам с периодическими коэффициентами
• Уравнение Матье как частный случай уравнения типа Хилла. Диаграмма Айнса-Стретта

8. Вынужденные колебания в системе с нелинейной восстанавливающей силой

• Связь амплитуды колебаний с величиной вынуждающей силы, прикладываемой к системе
• Изменение режима движения при изменении частоты вынуждающей силы. Понятие о «динамическом» гистерезисе

9. Адиабатические инварианты

• Переменные «действие-угол»
• Сохранение адиабатических инвариантов при качественном изменении характера движения

10. Динамика многомерных динамических систем

• Понятие об эргодичности и перемешивании в динамических системах
• Отображение Пуанкаре

11. Уравнения Лоренца. Странный аттрактор

• Уравнения Лоренца как модель термоконвекции
• Бифуркации решений уравнений Лоренца. Переход к хаосу
• Фрактальная структура странного аттрактора

12. Одномерные отображения. Универсальность Фейгенбаума

• Квадратичное отображение – простейшее нелинейное отображение
• Периодические орбиты отображений. Бифуркации периодических орбит

Литература (основная)

1. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. – М.: Наука, 1981.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Изд. 2-е. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.

3. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1974.

4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1987.

5. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990.

6. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры.. – М.: Физматлит, 2003.

Литература (дополнительная)

7. Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. Издательство «Наука», 1988.

8. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. – М.: Иностранная литература, 1952.

9. Старжинский В.М., Прикладные методы нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1977.

10. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. – М.: Мир, 1968.

11. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.

Понятие о колебаниях. Рассмотрим некоторую систему, т. е. совокупность объектов, взаимодействующих между собой и с окружающей средой по некоторому закону. Это может быть как механическая система материальных точек, абсолютно твердых тел, упругие и вообще деформируемые тела и т. п., так и электрическая, биологическая и смешанная (например, электромеханическая) системы. Пусть состояние системы в каждый момент времени описывается некоторым набором параметров. Задача теории состоит в том, чтобы предсказать эволюцию системы во времени, если задано начальное состояние системы и внешнее воздействие на нее.

Возьмем один из числовых параметров системы, обозначив его через и. Это может быть скалярная величина, одна из компонент вектора или тензора и т. п. Рассмотрим изменение этого параметра на некотором отрезке времени, например, при Это изменение может быть монотонным, немонотонным, существенно немонотонным (рис. 1). Наибольший интерес представляет последний случай.

Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями, а соответствующий параметр называется колеблющейся величиной.

Невозможно установить четкую границу, отделяющую колебательные процессы от неколебательных. Например, в экономике процесс такого типа, как на рис. 1,б, может быть отнесен к колебательным процессам. Можно сформулировать более общее определение колебательного процесса: параметр совершает на заданном отрезке времени колебания относительно параметра (и наоборот), если разность на этом отрезке многократно изменяет знак (рис. 1,г). Например, можно говорить о колебательном изменении угла вращения диска относительно равномерного вращения с постоянной угловой скоростью

Если все или наиболее существенные параметры системы - колеблющиеся величины, то говорят, что система испытывает колебания. Система, способная при определенных условиях совершать колебания, называется колебательной системой. Строго говоря, под это определение подходит любая система, так как для любой системы можно выбрать такое воздействие, при котором она будет совершать колебательное движение. Поэтому обычно используют более узкое определение: система называется колебательной, если она способна совершать колебания при отсутствии внешних воздействий (только за счет первоначально накопленной энергии).

Место колебательных процессов в науке и технике. Большинство наблюдаемых в природе и технике процессов являются колебательными. К колебательным процессам относятся самые разнообразные явления: от ритмов головного мозга и биения сердца до колебаний звезд, туманностей и других космических объектов; от колебаний атомов или молекул в твердом теле до климатических изменений на Земле, от вибраций звучащей струны до землетрясений. Все акустические явления и явления, связанные с распространением электромагнитных волн, также сопровождаются колебательными процессами.

Рис. I. Изменение параметра : а - монотонное; б - немонотонное; в - существенно немонотонное; г - относительное изменение параметров

В данном томе будут рассмотрены в основном механические системы. Колебательные процессы, происходящие в этих системах, называются механическими колебаниями. В технике, особенно в машиностроении, широко применяют также термин вибрация. Он является почти синонимом терминов механические колебания или колебания механической системы. Термином вибрация чаще всего пользуются там, где колебания имеют относительно малую амплитуду и не слишком низкую частоту (например, едва ли можно принять термин вибрация, говоря о колебаниях маятника часов или о раскачивании качелей).

Прикладная теория колебаний и вибротехника. Совокупность методов и средств для измерения величин, характеризующих колебания, называется виброметрией. Совокупность методов и средств для уменьшения вредного воздействия вибрации на человека, приборы и механизмы называется виброзащитой. Совокупность технологических приемов, основанных на целенаправленном использовании вибрации, называется виброобработкой, а использование вибрации для перемещения материалов, изделий и т. п. называется вибротранспортировкой. Для обеспечения способности объектов выполнять свои функции и сохранять параметры в пределах установленных норм, а также сохранять прочность в условиях вибрации необходимы расчеты на виброустойчивость и вибропрочность или, в более общей постановке, на вибронадежность. Задачей виброиспытаний является изучение виброустойчивости, вибропрочности и эффективности объектов в условиях вибраций, а также изучение эффективности виброзащиты; задачей вибродиагностики - изучение состояния объекта на основе анализа эксплуатационных или искусственно возбуждаемых вибраций.

Развитие современной техники ставит перед инженерами самые разнообразные задачи, связанные с расчетом различных сооружений, с проектированием, производством и эксплуатацией всевозможных машин и механизмов.

Исследование поведения любой механической системы всегда начинается с выбора физической модели. Переходя от реальной системы к ее физической модели обычно упрощают систему, пренебрегая несущественными для данной задачи факторами. Так, исследуя систему, состоящую из груза, подвешенного на нити, пренебрегают размерами груза, массой и податливостью нити, сопротивлением среды, трением в точке подвеса и т.д.; при этом получается известная физическая модель - математический маятник.

Ограниченность физических моделей играет существенную роль при исследовании колебательных явлений в механических системах.

Физические модели, которые описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами принято называть линейными.

Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:

С помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах;

Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является, с математической точки зрения, элементарной задачей и поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать поведение системы с помощью линейной модели.

Основные понятия и определения

Колебания системы считаются малыми, если отклонения и скорости можно рассматривать как величины первого порядка малости по сравнению с характерными размерами и скоростями точек системы.

Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Равновесие системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным (рис. 3. 8).

Рис. 3. 8 Различные виды равновесия

Равновесное положение системы является устойчивым, если система, равновесие которой нарушено весьма малым начальным отклонением и (или) малой начальной скоростью, совершает движение около этого положения.

Критерий устойчивости положения равновесия консервативных систем с голономными и стационарными связями устанавливается по виду зависимости потенциальной энергии системы от обобщённых координат. Для консервативной системы c
степенями свободы, уравнения равновесия имеют вид

, т.е.
, где
.

Сами уравнения равновесия не дают возможности оценить характер устойчивости или неустойчивости положения равновесия. Из них лишь следует, что положению равновесия соответствует экстремальное значение потенциальной энергии.

Условие устойчивости положения равновесия (достаточное) устанавливается теоремой Лагранжа – Дирихле:

если в положении равновесия системы потенциальная энергия имеет минимум, то это положение устойчиво.

Условием минимума любой функции является положительность второй производной от неё, при равенстве первой производной нулю. Поэтому

.

Если же вторая производная тоже равна нулю, то для оценки устойчивости необходимо вычислить последовательные производные

,

и если первая не равная нулю производная имеет чётный порядок и при этом положительна, то потенциальная энергия при
имеет минимум, а следовательно, это положение равновесия системы устойчиво. Если же эта производная имеет нечётный порядок, то при
нет ни максимума, ни минимума. Оценка состояния равновесия системы в положении, когда она не имеет минимума потенциальной энергии, приводится в специальных теоремах А. М. Ляпунова.

Министерство образования Российской Федерации
Ухтинский государственный технический университет

В.К. Хегай, Д.Н. Левитский,
О.Н. Харин, А.С. Попов

Основы теории колебаний
механических систем
Учебное пособие

Допущено учебно-методическим объединением вузов
по высшему нефтегазовому образованию в качестве учебного
пособия для студентов нефтегазовых вузов, обучающихся
по специальности 090800, 170200, 553600

УДК 534.01
Х-35
Основы теории колебаний механических систем / В.К. Хегай,
Д.Н. Левитский, О.Н. Харин, А.С. Попов. – Ухта: УГТУ, 2002. – 108 с.
ISBN 5-88179-285-8
В учебном пособии рассмотрены основы теории колебаний механических систем, которые опираются на общий курс теоретической механики. Особое внимание уделено применению уравнений Лагранжа второго
ряда. Пособие состоит из шести глав, каждая из которых посвящена определенному типу колебаний. Одна глава посвящена основам теории устойчивости движения и равновесия механических систем.
Для лучшего освоения теоретического материала, в пособии, приведено
большое количество примеров и задач из различных областей техники.
Учебное пособие предназначено для студентов механических специальностей, изучающих курс теоретической механики в полном объеме,
может быть также полезным и для студентов других специальностей.
Рецензенты: кафедра теоретической механики Санкт-Петербургской
государственной лесотехнической академии (зав. кафедрой д. т. н., профессор Ю.А. Добрынин); начальник комплексного отдела бурения «СеверНИПИГаз» к. т. н., доцент Ю.М. Гержберг.

© Ухтинский государственный технический университет, 2002
©Хегай В.К., Левитский Д.Н., Харин О.Н., Попов А.С., 2002
ISBN 5-88179-285-8

3
Оглавление
Предисловие..................................................................................................................... 4
Глава I. Краткие сведения из аналитической механики........................................ 5
1.1 Потенциальная энергия системы............................................................................... 5
1.2. Кинетическая энергия системы................................................................................ 6
1.3. Диссипативная функция............................................................................................ 8
1.4. Уравнение Лангранжа................................................................................................ 9
1.5. Примеры на составление уравнений Лангранжа второго рода............................. 11
Глава II. Устойчивость движения и равновесия консервативных систем......... 20
2.1. Введение...................................................................................................................... 20
2.2. Функции Ляпунова. Критерий Сильвестра............................................................. 21
2.3. Уравнение возмущенного движения........................................................................ 23
2.4. Теорема Ляпунова об устойчивости движения....................................................... 26
2.5. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
консервативной системы.................................................................................................. 29
2.6. Устойчивость равновесия консервативной системы с одной
степенью свободы............................................................................................................. 30
2.7. Примеры на устойчивость равновесия консервативной системы......................... 31
Глава III. Свободные колебания системы с одной степенью свободы................. 39
3.1. Свободные колебания консервативной системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 39
3.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии
сил сопротивления, пропорциональных скорости......................................................... 42
3.3. Примеры на свободные колебания системы с одной степенью свободы............. 46
Глава IV. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы........... 59
4.1. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы
в случае периодической возмущающей силы................................................................ 59
4.2. Явление резонанса...................................................................................................... 63
4.3. Явление биения.......................................................................................................... 66
4.4. Коэффициент динамичности..................................................................................... 68
4.5. Примеры на вынужденные колебания системы
с одной степенью свободы............................................................................................... 70
Глава V. Свободные колебания системы с двумя степенями свободы................ 78
5.1. Дифференциальные уравнения свободных колебаний системы с двумя
степенями свободы и их общее решение........................................................................ 78
5.2. Собственные формы.................................................................................................. 80
5.3. Примеры на свободное колебание системы с двумя степенями свободы............ 81
Глава VI. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы........ 93
6.1. Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний системы и их
общее решение................................................................................................................... 93
6.2. Динамический гаситель колебаний.......................................................................... 95
6.3. Примеры на вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы..... 98
Библиографический список.......................................................................................... 107

4
Предисловие
На современном этапе развития высшей школы в практику преподавания всё шире вводятся проблемные и исследовательские формы обучения.
Динамические процессы в машинах и механизмах имеют определяющее значение как для расчёта на стадии проектирования новых конструкций, так и для определения технологических режимов в процессе эксплуатации. Трудно назвать такую область техники, в которой не были бы
актуальными проблемы изучения упругих колебаний и устойчивости равновесия и движения механических систем. Они представляют особую
важность для инженеров-механиков, работающих в области машиностроения, транспорта и других областях техники.
В пособии рассмотрены некоторые отдельные вопросы из теории
колебаний и устойчивости механических систем. Теоретические сведения
пояснены примерами.
Основное назначение настоящего методического пособия − увязать
область приложений теоретической и аналитической механики с задачами
специальных кафедр, осуществляющих подготовку инженеров-механиков.

5
Глава I. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
I.I. Потенциальная энергия системы
Потенциальная энергия системы с s степенями свободы, являясь
энергией положения, зависит только от обобщённых координат

П = П (q1 , q2 ,....., qs) ,
где q j

(j = 1, 2,K , s) – обобщённые координаты системы.

Рассматривая малые отклонения системы от положения устойчивого
равновесия, обобщённые координаты qj можно рассматривать как величины первого порядка малости. Считая, что положение равновесия системы
соответствует началу отсчёта обобщённых координат, разложим выражение потенциальной энергии П в ряд Маклорена по степеням qj

∂П
1 S S ∂2 П
П = П (Ο) + ∑ (
)0 q j + ∑∑ (
)0 qi q j + K .
∂
q
2
∂
q
∂
q
j =1
i =1 j =1
j
i
j
S

Имея в виду, что потенциальная энергия определяется с точностью
до некоторой аддитивной постоянной, потенциальную энергию в положении равновесия можно принять равной нулю
П (0) = 0.

В случае консервативных сил обобщённые силы определяются формулой

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K , s) .

Так как при равновесии системы сил

(j = 1, 2,K , s) ,

То условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

⎛ ∂П
⎜⎜
⎝ ∂q j

⎞
⎟⎟ = 0
⎠0

(j = 1, 2,K , s) ,

⎛ ∂П
∑⎜
j =1 ⎜ ∂q
⎝ j

⎞
⎟⎟ q j = 0 .
⎠0

Следовательно,
s

6
Тогда равенство (1.2.) с точностью до членов второго порядка малости принимает вид

1 S S ⎛ ∂2 П
П = ∑∑⎜
2 i =1 j =1 ⎜⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ qi q j .
⎠0

Обозначим

⎛ ∂2 П
⎜⎜
⎝ ∂qi ∂q j

⎞
⎟⎟ = cij = c ji ,
⎠0

Где cij - обобщённые коэффициенты жёсткости.
Окончательно выражение потенциальной энергии имеет вид

1 S S
П = ∑∑cij qi q j .
2 i =1 j =1

Из (1.9.) видно, что потенциальная энергия системы является однородной квадратичной функцией обобщённых координат.
1.2. Кинетическая энергия системы
Кинетическая энергия системы, состоящей из n материальных точек,
равна

1 n
T = ∑mk vk2 ,
2 k =1

Где mk и vк − масса и скорость k -ой точки системы.
При переходе к обобщённым координатам будем иметь в виду, что
_

(k = 1, 2,..., n) ,

R k (q1 , q2 ,..., qs)

Где r k – радиус-вектор k -ой точки системы.
−

Воспользуемся тождеством vk2 = v k ⋅ v k и заменим вектор скорости
−

V k его значением
_

∂r k
∂q1

∂r k
∂q2

∂r k
∂qs

Тогда выражение для кинетической энергии (1.10) примет вид

7
2
2
2



1
T = (A11 q1 + A22 q 2 + ... + ASS q S + 2 A12 q1 q 2 + ... + 2 AS −1,S q S −1 q S) ,(1.13)
2

⎛ _
∂ rk
A11 = ∑ mk ⎜
⎜ ∂q1
k =1
⎝
n

⎛ _
∂ rk
Ass = ∑ mk ⎜
⎜ ∂qs
k =1
⎝
n

⎞
⎛ _
n
⎟ , A22 = ∑ mk ⎜ ∂ r k
⎟
⎜ ∂q2
k =1
⎠
⎝

⎞
⎟ ,...,
⎟
⎠

_
_
⎞
r
r
∂
∂
⎟ , A12 = ∑ mk k ⋅ k ,...,
⎟
∂q1 ∂q2
⎠
_

As −1,s = ∑ mk
k =1

∂ rk ∂ rk
.
⋅
∂qS −1 ∂qS

Разлагая каждый из этих коэффициентов в ряд Маклорена по степеням обобщённых координат, получаем

⎛ ∂Aij
Aij = (Aij)0 + ∑ ⎜
⎜
j =1 ⎝ ∂A j
S

⎞
⎟⎟ q j + ...
⎠0

(i = j = 1, 2,..., s) .

Индекс 0 соответствует значениям функций в положении равновесия. Так как рассматриваются малые отклонения системы от положения
равновесия, то в равенстве (1.14) ограничимся только первыми постоянными членами

(i = j = 1, 2,..., s) .

Aij = (Aij)0 = aij

Тогда выражение для кинетической энергии (1.13) примет вид
2
2


⎞
1⎛ 2
T = ⎜ a11 q1 + a22 q 2 + ... + aSS q S + 2a12 q1 q 2 + 2aS −1,S q S −1 q S ⎟ (1.15)
2⎝
⎠

Или в общем виде

1 S
T= ∑
2 i=1

Постоянные aij – обобщённые коэффициенты инерции.
Из (1.16) видно, что кинетическая энергия системы Т – oднородная
квадратичная функция обобщённых скоростей.

8
1.3. Диссипативная функция
В реальных условиях свободные колебания системы затухают, так
как на её точки действуют силы сопротивления. При наличии сил сопротивления происходит рассеивание механической энергии.
−

Допустим, что силы сопротивления R k (k = 1, 2,..., n) , действующие
на точки системы, пропорциональны их скоростям
_

R k = − µk v k

(k = 1, 2,..., n) ,

Где µ k – коэффициент пропорциональности.
Обобщённые силы сопротивления для голономной системы определяем по формулам
n

Q j R = ∑ Rk
k =1

∂ rk
∂r
= −∑ µ k vk k
∂q j
∂q j
k =1
n

(j = 1, 2,..., s) .

Так как
_

∂ rk
∂ rk
∂ rk
q1 +
q 2 + ... +
qS ,
∂q1
∂q2
∂qS

∂ rk
.
∂q j

Имея в виду (1.18), обобщённые силы сопротивления (1.17) перепишем в виде
n

Q = −∑ µκ vκ
R
j

(j = 1, 2,..., s) .

Введём диссипативную функцию, которая определяется формулой
n

Тогда обобщённые силы сопротивления определяем по формулам

(j = 1, 2,..., s) .

Диссипативную функцию по аналогии с кинетической энергией системы можно представить в виде однородной квадратичной функции
обобщённых скоростей

1 S S
Φ = ∑∑ вij q i q j ,
2 i =1 j =1

Где вij – обобщенные коэффициенты диссипации.
1.4. Уравнение Лагранжа второго рода
Положение голономной системы, имеющей s степеней свободы, определяется s обобщёнными координатами qj (j = 1, 2,..., s) .
Для вывода уравнений Лагранжа второго рода воспользуемся общим
уравнением динамики
S

Q иj)δ q j = 0 ,

Где Qj – обобщённая сила активных сил, соответствующая j-ой обобщённой координате;
Q uj – обобщённая сила сил инерции, соответствующая j-ой обобщённой координате;
δ q j – приращение j -ой обобщённой координаты.
Имея в виду, что все δ q j (j = 1, 2,..., s) между собой независимы,
равенство (1.23) будет справедливо лишь в случае, когда каждый из коэффициентов при δ q j в отдельности будет равен нулю, т.е.

Q j + Qиj = 0 (j = 1, 2,..., s)
или

(j = 1, 2,..., s) .

Выразим Q uj через кинетическую энергию системы.
По определению обобщённой силы , имеем

Q иj = ∑ Φ k
k =1

∂ rk
d vk ∂ r k
= − ∑ mk
⋅
1
=
k
∂q j
dt ∂q j
n

(j = 1, 2,K , s) ,

D vk
где Φ k = − mk a k = − mk
– сила инерции к -ой точки системы.
dt
_

⎛_ _
d vk ∂ r k d ⎜ ∂ r k
⋅
=
vk ⋅
⎜
dt ∂q j dt
∂q j
⎝
_

⎞ _
⎛ _
⎟ − vk ⋅ d ⎜ ∂ r k
⎟
dt ⎜ ∂q j
⎠
⎝

⎞
⎟,
⎟
⎠

R k = r k (q1 , q2 ,..., qs) ,
_

D rk ∂ rk
∂ rk
∂ rk
vk =
=
q1 +
q 2 + ... +
qs ,
dt
∂q1
∂q2
∂q s
_

⎛ _
d ⎜ ∂ rk
dt ⎜ ∂q j
⎝

_
_
⎞
∂
d
r
∂
v
k
k
⎟=
=
.
⎟ ∂q j dt
∂q j
⎠

Подставляя значения (1.27) и (1.28) в равенство (1.26), находим
_
⎛_
∂ vk ∂ r k d ⎜
∂ vk
vk ⋅
⋅
=
∂t ∂q j dt ⎜⎜
∂qj
⎝
_

_
⎞ _
⎛
∂ vk2
∂
v
d
k
⎜
⎟ − vk ⋅
=
⎟⎟
∂q j dt ⎜⎜ 2∂ q
j
⎠
⎝

⎞
2
⎟ − ∂ vk .
⎟⎟ 2∂q j
⎠

С учётом равенства (1.29) выражение (1.25) перепишем в виде

⎡ ⎛
d ⎜ ∂vk2
и
⎢
−Q j = ∑ mk
⎢ dt ⎜⎜
k =1
⎣⎢ ⎝ 2∂ q j
n

∂
−
∂q j

⎞
⎛
2 ⎤
v
∂
d⎜ ∂
k ⎥
⎟−
=
⎥
⎟⎟
dt ⎜⎜ ∂ q
2
q
∂
j ⎦
j
⎥
⎠
⎝

⎛
mk vk2 d ⎜ ∂Τ
=
∑
2
dt ⎜⎜ ∂ q
k =1
j
⎝
n

⎞
⎟ − ∂Τ .
⎟⎟ ∂q j
⎠

⎞
mk vk2 ⎟
−
∑
2 ⎟⎟
k =1
⎠
n

11
Здесь учтено, что сумма производных равна производной от суммы,
n m v2
а ∑ k k = T – кинетическая энергия системы.
k =1
2
Имея в виду равенства (1.24), окончательно находим

⎛
d ⎜ ∂Τ
dt ⎜⎜ ∂ q
⎝ j

⎞
⎟ − ∂Τ = Q
j
⎟⎟ ∂q j
⎠

(j = 1, 2,K , s) .

Уравнения (1.30) называются уравнениями Лагранжа второго рода.
Число этих уравнений равно числу степеней свободы.
Если силы, действующие на точки системы, имеют потенциал, то
для обобщённых сил справедлива формула

∂П
∂q j

(j = 1, 2,K , s) ,

Где П – потенциальная энергия системы.
Таким образом, для консервативной системы уравнения Лагранжа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ им. Х. М.БЕРБЕКОВА

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ, ЗАДАЧИ ДЛЯ ДОМАШНИХ ЗАДАНИЙ,

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ

Для студентов механических специальностей вузов

Нальчик 2003

Рецензенты:

– доктор физико-математических наук, профессор, директор НИИ прикладной математики и автоматизации РАН, засл. деятель науки РФ, академик АМАН.

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой Прикладной математики Кабардино-Балкарской государственной сельскохозяйственной академии.

Культербаев теории колебаний. Основы теории, задачи для домашних заданий, примеры решений.

Учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки дипломированных специалистов 657800 - Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств, 655800 Пищевая инженерия. –Нальчик: Издательство КБГУ им. , 20с.

В книге изложены основы теории колебаний линейных механических систем, а также приведены задачи для домашних заданий с примерами их решения. Содержание теории и задания ориентированы на студентов механических специальностей.

Рассматриваются как дискретные, так и распределённые системы. Количество несовпадающих вариантов для домашних заданий позволяет использовать их для большого потока обучаемых.

Издание может быть полезно также для преподавателей, аспирантов и специалистов различных областей науки и техники, проявляющих интерес к приложениям теории колебаний.

© Кабардино-Балкарский государственный университет им.

Предисловие

Книга написана на основе курса, читаемого автором на инженерно-техническом факультете Кабардино-Балкарского госуниверситета студентам механических специальностей.

Механизмы и конструкции современной техники зачастую работают при сложных динамических режимах нагружения, поэтому постоянный интерес к теории колебаний поддерживается запросами практики. Теория колебаний и её приложения имеют обширную библиографию , включающую немалое количество учебников и учебных пособий . Часть из них приведена в списке литературы в конце данного учебного пособия. Почти вся существующая учебная литература предназначена для читателей, изучающих данный курс в большом объёме и специализирующихся в направлениях инженерной деятельности, так или иначе, существенно связанных с динамикой конструкций. Между тем в настоящее время все инженеры механических специальностей испытывают потребность в овладении теорией колебаний на достаточно серьёзном уровне. Попытка удовлетворить таким требованиям приводит к введению в образовательные программы многих вузов небольших по объёму специальных курсов. Данное учебное пособие призвано удовлетворить именно таким запросам, и содержит основы теории, задачи для домашних заданий и примеры по их решению. Этим обоснованы ограниченный объём учебника, выбор его содержания и название: «Основы теории колебаний». Действительно, в учебнике излагаются лишь основные вопросы и методы дисциплины. Заинтересованный читатель может воспользоваться известными научными монографиями и учебными пособиями, приведёнными в конце данного издания, для углублённого изучения теории и её многочисленных приложений.

Книга рассчитана на читателя, имеющего подготовку в объёме обычных втузовских курсов высшей математики, теоретической механики и сопротивления материалов.

В изучении такого курса существенный объём занимает выполнение домашних заданий в виде курсовых, контрольных, расчётно-проектировочных, расчётно-графических и других работ, требующих достаточно большого времени. Существующие задачники и пособия по решению задач не предназначены для указанных целей. Кроме того, имеется явная целесообразность в совмещении в одном издании теории и домашних заданий, объединённых общим содержанием, тематической направленностью и дополняющих друг друга.

При выполнении и оформлении домашних заданий студент сталкивается с множеством вопросов, которые не излагаются или недостаточно поясняются в теоретической части дисциплины; у него возникают трудности изложения хода решения задачи, способов аргументирования принимаемых решений, структурирования и оформления записей.

Испытывают затруднения и преподаватели, но уже организационного характера. Им приходится часто пересматривать объёмы, содержание и структуру домашних заданий, составлять многочисленные варианты задач, обеспечивать своевременную выдачу несовпадающих заданий в массовом порядке, проводить многочисленные консультации, разъяснения и т. д.

Данное пособие предназначено, в том числе, для уменьшения и исключения трудностей и сложностей перечисленного характера в условиях массового обучения. Оно содержит две задачи, по своей тематике охватывающие наиболее важные и базовые вопросы курса:

1. Колебания систем с одной степенью свободы.

2. Колебания систем с двумя степенями свободы.

Эти задачи по своему объёму и содержанию могут стать расчётно-проектировочными работами для студентов очных, очно-заочных форм обучения или контрольными работами для студентов заочной формы обучения.

Для удобства читателей в книге использована автономная нумерация формул (уравнений) и рисунков внутри каждого параграфа с помощью обычного десятичного числа в скобках. Ссылка внутри текущего параграфа делается простым указанием такого номера. При необходимости ссылки на формулу предыдущих параграфов, указывается номер параграфа и далее через точку – номер самой формулы. Так, например, обозначение (3.2.4) соответствует формуле (4) в параграфе 3.2 данной главы. Ссылка на формулу предыдущих глав делается так же, но с указанием на первом месте номера главы и точки.

Книга является попыткой удовлетворить запросам профессиональной подготовки студентов определённых направлений. Автор отдаёт себе отчёт в том, что она, по-видимому, не будет свободна от недостатков, и поэтому примет с благодарностью возможную критику и замечания читателей для улучшения последующих изданий.

Книга может оказаться полезной также специалистам, интересующимся приложениями теории колебаний в различных областях физики, техники, строительства и других областей знаний и производственной деятельности.

Глава I

ВВЕДЕНИЕ

1.Предмет теории колебаний

Некоторая система перемещается в пространстве так, что её состояние в каждый момент времени t описывается некоторым набором параметров: https://pandia.ru/text/78/502/images/image004_140.gif" width="31" height="23 src=">.gif" width="48" height="24"> и внешние воздействия . И далее задача состоит в том, чтобы предсказать дальнейшую эволюцию системы во времени: (рис. 1).

Пусть одной из изменяющихся характеристик системы будет , . Могут быть различные характерные разновидности его изменения во времени: монотонный (рис. 2), немонотонный (рис. 3), существенно немонотонный (рис.4).

Процесс изменения параметра, который характеризуется многократным поочередным возрастанием и убыванием параметра во времени, называется колебательным процессом или просто колебаниями. Колебания широко распространены в природе, технике и человеческой деятельности: ритмы головного мозга, колебания маятника, биение сердца, колебания звезд, колебания атомов и молекул, колебания силы тока в электрической цепи, колебания температуры воздуха, колебания цен на продукты питания, вибрация звука, вибрация струны музыкального инструмента.

Предметом изучения данного курса являются механические колебания, т. е. колебания в механических системах.

2. Классификация колебательных систем

Пусть u (х , t) – вектор состояния системы, f (х , t) – вектор воздействий на систему со стороны окружающей среды (рис. 1). Динамика системы описывается операторным уравнением

Lu (х , t) = f (х , t), (1)

где оператор L задаётся уравнениями колебаний и дополнительными условиями (граничными, начальными). В таком уравнении u и f могут быть и скалярными величинами.

Наиболее простая классификация колебательных систем может быть произведена по их числу степеней свободы . Число степеней свободы – это количество независимых числовых параметров, однозначно определяющих конфигурацию системы в любой момент времени t. По этому признаку колебательные системы можно относить к одному из трёх классов:

1)Системы с одной степенью свободы .

2)Системы с конечным числом степеней свободы . Они часто называются также дискретными системами .

3)Системы с бесконечным несчётным числом степеней свободы (континуальные, распределённые системы).

На рис. 2 приведён ряд иллюстрирующих примеров по каждому их классов. Для каждой схемы в кружочках указано число степеней свободы. На последней схеме представлена распределённая система в виде упругой деформируемой балки. Для описания её конфигурации требуется функция u(x, t), т. е. бесконечное множество значений u.

Каждому классу колебательных систем соответствует своя математическая модель. Например, система с одной степенью свободы описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка, системы с конечным числом степеней свободы – системой обыкновенных дифференциальных уравнений, распределённые системы – дифференциальными уравнениями в частных производных.

В зависимости от типа оператора L в модели (1) колебательные системы делятся на линейные и нелинейные . Система считается линейной , если соответствующий ей оператор является линейной, т. е. удовлетворяет условию

https://pandia.ru/text/78/502/images/image014_61.gif" width="20 height=24" height="24">.jpg" width="569" height="97">
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил). Суть его на примере (рис..gif" width="36" height="24 src="> состоит в следующем..gif" width="39" height="24 src=">..gif" width="88" height="24">.

Стационарные и нестационарные системы. У стационарных систем на рассматриваемом отрезке времени , свойства во времени не изменяются. В противном случае системы называется нестационарными. Следующие два рисунка наглядно демонстрируют колебания в таких системах. На рис. 4 показаны колебания в стационарной системе при установившемся режиме, на рис. 5 - колебания в нестационарной системе.

Процессы в стационарных системах описываются дифференциальными уравнениями с коэффициентами, постоянными во времени, в нестационарных системах – с переменными коэффициентами.

Автономные и неавтономные системы. В автономных системах внешние воздействия отсутствуют. Колебательные процессы в них могут происходить лишь за счёт внутренних источников энергии или же за счёт энергии, сообщённой системе в начальный момент времени. В операторном уравнении (1) тогда правая часть не зависит от времени, т. е. f (x , t) = f (x ). Остальные системы являются неавтономными.

Консервативные и неконсервативные системы. https://pandia.ru/text/78/502/images/image026_20.jpg" align="left hspace=12" width="144" height="55">Свободные колебания. Свободные колебания совершаются при отсутствии переменного внешнего воздействия, без притока энергии извне. Такие колебания могут происходить лишь в автономных системах (рис. 1).

Вынужденные колебания. Такие колебания имеют место в неавтономных системах, и их источниками являются переменные внешние воздействия (рис. 2).

Параметрические колебания. Параметры колебательной системы могут изменяться во времени, и это может стать источником колебаний. Такие колебания называются параметрическими. Верхняя точка подвеса физического маятника (рис..gif" width="28" height="23 src=">, что служит причиной возникновения поперечных параметрических колебаний (рис. 5).

Автоколебания (самовозбуждающиеся колебания). У таких колебаний источники имеют неколебательную природу, и при этом сами источники включены в колебательную систему. На рис. 6 показана масса на пружине, лежащая на движущейся ленте. На неё действуют две силы: сила трения и упругая сила натяжения пружины, и они меняются во времени. Первая зависит от разности скоростей ленты и массы, вторая от величины и знака деформации пружины, поэтому масса находится под воздействием равнодействующей силы, направленной то влево, то вправо и совершает колебания.

Во втором примере (рис. 7) левый конец пружины перемещается вправо с постоянной скоростью v, вследствие чего пружина перемещает груз по неподвижной поверхности. Образуется ситуация, подобная описанной для предыдущего случая, и груз начинает колебаться.

4. Кинематика периодических колебательных процессов

Пусть процесс характеризуется одной скалярной переменной , являющейся, например, перемещением. Тогда - скорость, - ускорение..gif" width="11 height=17" height="17"> выполняется условие

,

то колебания называются периодическими (рис. 1). При этом наименьшее из таких чисел называется периодом колебаний . Единицей измерения периода колебаний является, чаще всего, секунда, обозначаемая с или сек. Употребляются ещё единицы измерения в минутах, часах и т. д. Другой, также важной характеристикой периодического колебательного процесса является частота колебаний

определяющая количество полных циклов колебаний за 1 единицу времени (например, в секунду). Такая частота измеряется в или герцах (Гц), так что означает 5 полных циклов колебаний за одну секунду. В математических выкладках теории колебаний более удобной оказывается угловая частота

,

измеряемая в https://pandia.ru/text/78/502/images/image041_25.gif" width="115 height=24" height="24">.

Наиболее простыми из периодических колебаний, но чрезвычайно важными для построения теоретической базы теории колебаний являются гармонические (синусоидальные) колебания, изменяющиеся по закону

https://pandia.ru/text/78/502/images/image043_22.gif" width="17" height="17 src="> – амплитуда, - фаза колебаний, - начальная фаза..gif" width="196" height="24">,

а затем и ускорение

Вместо (1) часто пользуются альтернативной записью

https://pandia.ru/text/78/502/images/image050_19.gif" width="80" height="21 src=">. Описания (1) и (2) могут быть представлены и в виде

Между константами в формулах (1), (2), (3) существуют легко доказуемые соотношения

Использование методов и представлений теории функций комплексных переменных во многом упрощает описание колебаний. Центральное место в таком случае занимает формула Эйлера

.

Здесь https://pandia.ru/text/78/502/images/image059_15.gif" width="111" height="28">. (4)

Формулы (1) и (2) содержатся в (4). Например, синусоидальные колебания (1) можно представлять как мнимую составляющую (4)

а (2) - в виде вещественной составляющей

Полигармонические колебания. Сумма двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами будет гармоническим колебанием с той же частотой

Слагаемые могли быть и с неодинаковыми частотами

Тогда сумма (5) будет периодической функцией с периодом , лишь в том случае, если , , где и – целые числа, причём несократимая дробь, рациональное число. Вообще же, если два и более гармонических колебаний имеют частоты с соотношениями в виде рациональных дробей, то их суммы являются периодическими, но не гармоническими колебаниями. Такие колебания называются полигармоническими .

Если периодические колебания не гармонические, то всё же их зачастую выгодно представлять в виде суммы гармонических колебаний с помощью ряда Фурье

Здесь https://pandia.ru/text/78/502/images/image074_14.gif" width="15" height="19"> – номер гармоники, характеризует среднее значение отклонений, https://pandia.ru/text/78/502/images/image077_14.gif" width="139 height=24" height="24"> – первая, основная гармоника, (https://pandia.ru/text/78/502/images/image080_11.gif" width="207" height="24"> образует частотный спектр колебаний.

П р и м е ч а н и е. Теоретическим обоснованием возможности представления функции колебательного процесса рядом Фурье служит теорема Дирихле для периодической функции:

Если функция задана на сегменте и является на нём кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её ряд Фурье сходится во всех точках сегмента https://pandia.ru/text/78/502/images/image029_34.gif" width="28" height="23 src="> – сумма тригонометрического ряда Фурье функции f(t), то во всех точках непрерывности этой функции

а во всех точках разрыва

.

Кроме того,

.

Очевидно, что реальные колебательные процессы удовлетворяют условиям теоремы Дирихле.

В частотном спектре каждой частоте соответствует амплитуда Аk и начальная фаза https://pandia.ru/text/78/502/images/image087_12.gif" width="125" height="33">, .

Они образуют амплитудный спектр https://pandia.ru/text/78/502/images/image090_9.gif" width="35" height="24">. Наглядное представление об амплитудном спектре даёт рис. 2.

Определение спектра частот и коэффициентов Фурье называется спектральным анализом . Из теории рядов Фурье известны формулы