Ряд фурье по тригонометрической системе функций. Представление периодических сигналов рядом фурье

ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида

или в комплексной форме

где a k , b k или, соответственно, c k наз. коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения

В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о свободном колебании струны возник вопрос о возможности представления функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий, лучших аналитиков того времени - Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д"Аламбера (J. D"Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu1ег). Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитич. аданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость для функции, графиком к-рой является достаточно произвольная кривая, построить Т. р., представляющий эту функцию. Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математич. анализа вообще,- представление функций рядами Тейлора и аналитич. родолжение функций, использование расходящихся рядов, перестановка пределов, бесконечные системы уравнений, интерполирование функций многочленами и др.
И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория Т. р. служила источником новых идей математи. Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решен в 1807 Ж. Фурье (J. Fourier), указавшим формулы для вычисления коэффициентов Т. р. (1), к-рый должен. представлять на функцию f(x):

и применившим их при решении задач теплопроводности. Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро (A. Clairaut, 1754), а Л. Эйлер (1777) приходил к ним с помощью почленного интегрирования. Т. р. (1), коэффициенты к-рого определяются по формулам (2), наз. рядом Фурье функции f, а числа а k , b k - коэффициентами Фурье.
Характер получаемых результатов зависит от того, как понимается представление функции рядом, как понимается интеграл в формулах (2). Современный вид теория Т. р. приобрела после появления интеграла Лебега.
Теорию Т. р. можно условно разделить на два больших раздела - теорию Фурье рядов, в к-рой предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье нек-рой функции, и теорию общих Т. р., где такое предположение не делается. Ниже указываются основные результаты, полученные в теории общих Т. р. (при этом мера множеств и измеримость функций понимаются по Лебегу).
Первым систематич. исследованием Т. р., в к-ром не предполагалось, что эти ряды являются рядами Фурье, была диссертация В. Римана (В. Riemann, 1853). Поэтому теорию общих Т. р. наз. иногда римановской теорией Т. р.
Для изучения свойств произвольного Т. р. (1) со стремящимися к нулю коэффициентами Б. Риман рассматривал непрерывную функцию F(х), являющуюся суммой равномерно сходящегося ряда

полученного после двукратного почленного интегрирования ряда (1). Если ряд (1) сходится в нек-рой точке хк числу s, то в этой точке существует и равна s вторая симметрич. производная функции F:

то это приводит к суммированию ряда (1), порождаемому множителями наз. методом суммирования Римана. С помощью функции Fформулируется принцип локализации Римана, согласно к-рому поведение ряда (1) в точке хзависит только от поведения функции Fв произвольно малой окрестности этой точки.
Если Т. р. сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю (теорема Кантора - Лебега). Стремление к нулю коэффициентов Т. р. следует также из его сходимости на множестве второй категории (У. Юнг, W. Young, 1909).
Одной из центральных проблем теории общих Т. р. является задача о представлении произвольной функции Т. р. Усилив результаты Н. Н. Лузина (1915) о представлении функций Т. р., суммируемыми почти всюду методами Абеля - Пуассона и Римана, Д. Е. Меньшов доказал (1940) следующую теорему, относящуюся к наиболее важному случаю, когда представление функции f понимается как сходимость Т. р. к f (x)почти всюду. Для каждой измеримой и конечной почти всюду функции f существует Т. р., сходящийся к ней почти всюду (теорема Меньшова). Следует отметить, что если даже функция f интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять ряд Фурье функции f, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.
Приведенная теорема Меньшова допускает следующее уточнение: если функция f измерима и конечна почти всюду, то существует такая непрерывная функция что почти всюду и почленно продифференцированный ряд Фурье функции j сходится к f(х)почти всюду (Н. К. Бари, 1952).
Неизвестно (1984), можно ли в теореме Меньшова опустить условие конечности функции f почти всюду. В частности, неизвестно (1984), может ли Т. р. сходиться почти всюду к
Поэтому задача о представлении функций, к-рые могут принимать бесконечные значения на множестве положительной меры, была рассмотрена для случая, когда сходимость почти всюду заменяется на более слабое требование - сходимость по мере. Сходимость по мере к функциям, к-рые могут принимать бесконечные значения, определяется так: последовательность частных сумм Т. p. s n (x)сходится по мере к функции f(х). если где f n (x)сходятся к / (х)почти всюду, а последовательность сходится по мере к нулю. В этой постановке вопрос о представлении функций решен до конца: для каждой измеримой функции существует Т. р., сходящийся к ней по мере (Д. Е. Меньшов, 1948).
Много исследований посвящено проблеме единственности Т. р.: могут ли два разных Т. расходиться к одной и той же функции; в др. формулировке: если Т. р. сходится к нулю, то следует ли отсюда, что все коэффициенты ряда равны нулю. Здесь можно иметь в виду сходимость во всех точках или во всех точках вне нек-рого множества. Ответ на эти вопросы существенно зависит от свойств того множества, вне к-рого сходимость не предполагается.
Установилась следующая терминология. Множество наз. единственности множеством или U- множеством, если из сходимости Т. р. к нулю на всюду, кроме, быть может, точек множества Е, следует, что все коэффициенты этого ряда равны нулю. В противном случае Еназ. М-множеством.
Как показал Г. Кантор (G. Cantor, 1872), пустое множество, а также любое конечное множество являются U-множествами. Произвольное счетное множество также является U-множеством (У. Юнг, 1909). С др. стороны, каждое множество положительной меры является М-множеством.
Существование М-множеств меры нуль было установлено Д. Е. Меньшовым (1916), к-рый построил первый пример совершенного множества, обладающего этими свойствами. Этот результат имеет принципиальное значение в проблеме единственности. Из существования М-множеств меры нуль следует, что при представлении функций Т. р., сходящимися почти всюду, эти ряды определяются заведомо неоднозначно.
Совершенные множества могут быть и U-множествами (Н. К. Бари; А. Райхман, A. Rajchman, 1921). В проблеме единственности существенную роль играют весьма тонкие характеристики множеств меры нуль. Общий вопрос о классификации множеств нулевой меры на М- и U-множества остается (1984) открытым. Он не решен даже для совершенных множеств.
К проблеме единственности примыкает следующая задача. Если Т. р. сходится к функции то должен ли этот ряд быть рядом Фурье функции /. П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond, 1877) дал положительный ответ на этот вопрос, если f интегрируема в смысле Римана, а ряд сходится к f(х)во всех точках. Из результатов III. Ж. Bалле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) следует, что ответ положителен и в том случае, когда всюду, кроме счетного множества точек, ряд сходится и его сумма конечна.
Если Т. р, в нек-рой точке x 0 сходится абсолютно, то точки сходимости этого ряда, а также точки его абсолютной сходимости расположены симметрично относительно точки x 0 (П. Фату, P. Fatou, 1906).
Согласно Данжуа - Лузина теореме из абсолютной сходимости Т. р. (1) на множестве положительной меры следует сходимость ряда и, следовательно, абсолютная сходимость ряда (1) для всех х. Этим свойством обладают и множества второй категории, а также нек-рые множества меры нуль.
Приведенный обзор охватывает только одномерные Т. р. (1). Имеются отдельные результаты, относящиеся к общим Т. р. от нескольких переменных. Здесь во многих случаях нужно еще найти естественные постановки задач.

Лит. : Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 225-61.
С. А. Теляковский.

• - конечная тригонометрическая сумма,- выражение вида с действительными коэффициентами а 0, а k, bk, k=l, . . ., п;число n наз. порядком Т. 0)...

  Математическая энциклопедия

• - ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида или в комплексной форме где ak, bk или, соответственно, ck наз. коэффициентами Т. р. Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера...

  Математическая энциклопедия

• - триангуляционный пункт, - геодезический пункт, положение к-рого на земной поверхности определено методом триангуляции...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - см. Триангуляция...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - в геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах. Т. з. состоит из двух частей - наружной и подземной...

  Большая Советская энциклопедия

• - функциональный ряд вида, то есть ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме...

В ряде случаев, исследуя коэффициенты рядов вида (С) или можно установить, что эти ряды сходятся (исключая, быть может, отдельные точки) и являются рядами Фурье для своих сумм (см., например, предыдущий п°), но во всех этих случаях естественно возникает вопрос,

как найти суммы этих рядов или - точнее - как выразить их в конечном виде через элементарные функции, если они, вообще, в таком виде выражаются. Еще Эйлер (а также Лагранж) с успехом применял для суммирования тригонометрических рядов в конечном виде аналитические функции комплексной переменной. Идея метода Эйлера состоит в следующем.

Допустим, что при некотором наборе коэффициентов ряды (С) и сходятся к функциям повсюду в промежутке исключая разве лишь отдельные точки. Рассмотрим теперь степенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной

На окружности единичного круга т. е. при этот ряд по предположению сходится, исключая отдельные точки:

В таком случае, по известному свойству степенных рядов ряд (5) заведомо сходится при т. е. внутри единичного круга, определяя там некоторую функцию комплексной переменной. Используя известные нам [см. § 5 главы XII] разложения элементарных функций комплексной переменной, часто удается свести к ним и функцию Тогда для имеем:

и по теореме Абеля , лишь только ряд (6) сходится, его сумма получается как предел

Обычно этот предел равен попросту что и позволяет вычислить в конечном виде функции

Пусть, например, предложены ряды

Доказанные в предыдущем п° утверждения приводят к заключению, что оба эти ряда сходятся (первый - исключая точки 0 и

служат рядами Фурье для определяемых ими функций Но что это за функции? Для ответа на этот вопрос составим ряд

По сходству с логарифмическим рядом легко устанавливается его сумма:

следовательно,

Теперь легкое вычисление дает:

так что модуль этого выражения есть , а аргумент .

и, таким образом, окончательно

Результаты эти нам знакомы и даже были однажды получены с помощью «комплексных» соображений ; но в первом случае мы исходили из функций и , а во втором - из аналитической функции Здесь же впервые нам отправной точкой послужили сами ряды. Дальнейшие примеры подобного рода читатель найдет в следующем п°.

Подчеркнем еще раз, что нужно наперед быть уверенным в сходи и рядов (С) и чтобы иметь право определить их суммы с помощью предельного равенства (7). Одно существование предела в правой части этого равенства еще не позволяет сделать заключение о сходимости упомянутых рядов. Чтобы показать это на примере, рассмотрим ряды

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими процессами: колебательными движениями деталей машин, приборов, движением небесных тел и элементарных частиц, электромагнитными колебаниями и т.д. Математически такие процессы описываются периодическими функциями.

Функция f (x ), определенная на всей числовой оси, кроме, может быть, некоторых точек, называется периодической с периодом Т, если существует такое число Т≠0, что для любого значения х из области определения функции выполняется равенство:

f (x + T ) = f (x ).

Если число Т является периодом функции f (x ), то число Т·п при любом целом п так же будет периодом этой функции.

Наименьший из положительных периодов данной функции называют основным периодом функции.

Например, любую константу можно рассматривать как периодическую функцию с каким угодно периодом. Наиболее известными периодическими функциями с периодом Т = 2π являются тригонометрические функции у = sin х, у = cos х..

Свойства периодических функций

Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с периодом Т есть периодическая функция с тем же периодом.

2. Если функция f (x ) имеет период Т, то функция f (a · x ) имеет период , гдеа ≠0, а = const .

Например, так как функции y = sinx , y = cosx являются периодическими с периодом Т=2π, то функции y = sinkx и y = coskx также являются периодическими и имеют период
. Функцииy = sinkx и у = coskx называют «простыни гармониками».

3. Определенный интеграл от периодической функции по отрезку, который равен периоду, не зависит от положения отрезка интегрирования на оси, т.е. если f (x ) = f (x + T ), тo
.

Геометрически для неотрицательных функций это свойство означаетравенство площадей закрашенных областей фигур (рисунок 2).

Рисунок 2

4.2. Ортогональные системы функций

Рассмотрим несколько вспомогательных понятий, которые потребуются нам в дальнейшем.

Функции f (x ) и φ(х) называются ортогональными на отрезке [а, b ], если они определены, интегрируемы на этом отрезке и выполняется равенство

.

Например, рассмотрим функции f (x )= х и
на отрезке. Они определены и непрерывны на отрезке . Найдем определенный интеграл от произведения этих функций по указанному отрезку:

.

Следовательно, функции f (x ) = x и
ортогональны на отрезке.

Система функций f ,(x ), f 2 (x ),…, f n (x ) называется ортогональной на отрезке [a , b ], если любые две различные функции ортогональны, т.е.

В качестве примера приведем систему {1, cosx , sinx , cos2x , sin2x ,..., cosnx , sinnx ,... }, п Z, которая является ортогональной системой функций на отрезке [-π, π], т.е. является ортогональной системой на отрезке, равном периоду этих функций.

4.3. Гармонические колебания. Тригонометрический ряд

Одним, из важнейших понятий в радиоэлектронике являются электрические колебания. Это колебания напряжения, тока, заряда. Например, радиоволны представляют собой колебания электромагнитного поля. Гармоническим колебанием будем называть любой процесс, который описывается периодической функцией с периодом

или, что равносильно, функцией вида

Эту функцию называют синусоидальной или гармоникой; А - амплитуда колебания, это наибольшее значение размаха колебания; ω -угловая частота, показывает, сколько раз данное периодическое явление повторится за 2π (единицу времени); φ - начальная фаза гармонического колебания.

Если мы сложим периодические функции

частоты которых ω, 2ω,…, k ω,… кратны наименьшей из них, а периоды соответственно равны
, то в результате получим функцию

которая также является периодической с периодом Т, но будет значительно отличаться от синусоидальной функции.

Оказывается, что если взять бесконечное множество простых гармоник, то любую периодическую функцию, с определенными, правда, свойствами, можно представить в виде их суммы или, как говорят, в виде тригонометрического ряда.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

=
.

Числа а п и b n , где n =1,2,3,..., называют коэффициентами ряда. Свободный член (нулевую гармонику) записывают в виде для единообразия последующих формул.

Для изучения сложного колебания, описываемого функцией f (x ), периодической с периодом Т=2π, можно представить его в виде суммы простых гармонических колебаний, т.е. разложить в функцию в тригонометрический ряд

.

Поставленная задача требует решения трех вопросов:

При каких условиях периодическую функцию f (x ) с периодом Т можно представить в виде тригонометрического ряда?

Единственно ли это разложение?

Как вычислить коэффициенты этого ряда?

Мы начнем с решения последних двух вопросов.

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся через определённый промежуток времени T , называемый периодом. Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: Asin (x + ), гармоническое колебание, где есть «частота», связанная с периодом соотношением: . Из таких простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине той же частоты. Если сложить несколько величин вида

Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин: . Рассмотрим график этой функции

Этот график значительно отличается от синусоиды. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, составленного из слагаемых этого вида. Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин? Оказывается, по отношению к большому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но это только если привлечь именно всю бесконечную последовательность таких слагаемых. Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же рассматривать каждую синусоидальную величину как некоторое гармоническое колебательное движение, то можно сказать, что это сложное колебание, характеризуемое функцией или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.

Важно отметить, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

Или (1).

Действительные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда. Этот ряд можно записать и так:

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма является периодической функцией с периодом 2p.

Определение. Коэффициентами Фурье тригонометрического ряда называются: (2)

(3)

(4)

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.

Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция имеет период 2p и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях х , причем в точках непрерывности функции его сумма S(x) равна , а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.

При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .

Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке .

Рассмотрим примеры на разложение функции в ряд Фурье.

Пример 1 . Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1-x , имеющую период 2p и заданную на отрезке .

Решение . Построим график этой функции

Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда: .

Применим формулу интегрирования по частям и найдем и по формулам (3) и (4) соответственно:

Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем или .

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек и (точки склейки графиков). В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .

Приведем алгоритм разложения функции в ряд Фурье.

Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему.