Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением
|
x = x m cos (ωt + φ 0). |
Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :
Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:
На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .
При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением
В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:
Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:
следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:
Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).
(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:
где х - значение изменяющейся величины, t - время, остальные параметры - постоянные: А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.
Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде
(Любое нетривиальное решение этого дифференциального уравнения - есть гармоническое колебание с циклической частотой )
Виды колебаний
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), и в ней отсутствовала диссипация энергии (последняя вызвала бы затухание).
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодической силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).
Уравнение гармонических колебаний
|
Уравнение (1)
|
дает зависимость колеблющейся величины S от времени t; это и есть уравнение свободных гармонических колебаний в явном виде. Однако обычно под уравнением колебаний понимают иную запись этого уравнения, в дифференциальной форме. Возьмем для определенности уравнение (1) в виде
дважды продифференцируем его по времени:
Видно, что выполняется следующее соотношение:
которое и называется уравнением свободных гармонических колебаний (в дифференциальной форме). Уравнение (1) является решением дифференциального уравнения (2). Поскольку уравнение (2) - дифференциальное уравнение второго порядка, необходимы два начальных условия для получения полного решения (то есть определения входящих в уравнение (1) констант A и ); например, положение и скорость колебательной системы при t = 0.
Математи́ческий ма́ятник - осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую изматериальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен
и не зависит от амплитуды и массы маятника.
Физический маятник - осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени
График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .
Математический маятник
|
Колебания математического маятника. |
|
|
Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити (физическая модель). |
|
|
Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: . |
|
|
На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге). |
|
|
Т.к.
угол мал, то тангенциальная составляющая
равна проекции силы тяжести на
касательную к траектории: .
Угол в радианах равен отношению длины
дуги к радиусу (длине нити), а длина
дуги приблизительно равна смещению
(x ≈ s
): | |
|
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что или- циклическая частота при колебаниях математического маятника. | |
|
Период колебаний или(формула Галилея). |
Формула Галилея |
|
Важнейший вывод: период колебаний математического маятника не зависит от массы тела! | |
|
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна , а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической: |
|
|
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: . Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных: и. | |
|
Следовательно: , а значит. | |
.
|
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева – Клапейрона). |
|
|
Уравнением состояния называется уравнение, связывающее параметры физической системы и однозначно определяющее ее состояние. В 1834 г. французский физик Б. Клапейрон , работавший дли тельное время в Петербурге, вывел уравнение состояния идеального газа для постоянной массы газа. В 1874 г. Д. И. Менделеев вывел уравнение для произвольного числа молекул. | |
|
В МКТ и термодинамике идеального газа макроскопическими параметрами являются: p, V, T, m. Мы
знаем, что | |
|
Произведение
постоянных величин есть величина
постоянная, следовательно: |
|
|
Таким образом, имеем: Уравнение состояния (уравнение Менделеева – Клапейрона). | |
|
Другие формы записи уравнения состояния идеального газа. |
|
|
1.Уравнение для 1 моля вещества. Если n=1 моль, то, обозначив объем одного моля V м, получим: . Для нормальных условий получим: |
|
|
2. Запись уравнения через плотность: - плотность зависит от температуры и давления! | |
|
3. Уравнение Клапейрона. Часто
необходимо исследовать ситуацию,
когда меняется состояние газа при его
неизменном количестве (m=const) и в
отсутствие химических реакций
(M=const). Это означает, что количество
вещества n=const. Тогда: | |
|
Эта
запись означает, что для
данной массы данного газа
справедливо
равенство: | |
|
Для постоянной массы идеального газа отношение произведения давления на объем к абсолютной температуре в данном состоянии есть величина постоянная: . | |
|
Газовые законы. |
|
|
1. Закон Авогадро. В равных объемах различных газов при одинаковых внешних условиях находится одинаковое число молекул (атомов). Условие: V 1 =V 2 =…=V n ; p 1 =p 2 =…=p n ; T 1 =T 2 =…=T n | |
|
Доказательство: Следовательно, при одинаковых условиях (давление, объем, температура) число молекул не зависит от природы газа и одинаково. | |
|
2. Закон Дальтона. Давление смеси газов равно сумме парциальных (частных) давлений каждого газа. Доказать: p=p 1 +p 2 +…+p n Доказательство: | |
|
3. Закон Паскаля. Давление, производимое на жидкость или газ, передается во все стороны без изменения. | |
.
Следовательно,.
Учитывая, что
,
получим:.
-
универсальная газовая постоянная
(универсальная, т.к. для всех газов
одинаковая).
Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.
Числа степеней свободы : это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения. В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.
При
любом числе степеней свободы данной
молекулы три степени свободы всегда
поступательные. Ни одна из поступательных
степеней свободы не имеет преимущества
перед другими, значит на каждую из них
приходится в среднем одинаковая энергия,
равная 1/3 значения <ε 0 >
(энергия поступательного движения
молекул):
В
статистической физике выводится закон
Больцмана о равномерном распределении
энергии по степеням свободы молекул
:
для статистической системы, которая
находится в состоянии термодинамического
равновесия, на каждую поступательную
и вращательную степени свободы приходится
в среднем кинетическая энергия, равная
kT/2, а на каждую колебательную степень
свободы - в среднем энергия, равная kT.
Колебательная степень обладает вдвое
большей энергией, т.к. на нее приходится
как кинетическая энергия (как в случае
поступательного и вращательного
движений), так и потенциальная, причем
средние значения потенциальной и
кинетической и энергии одинаковы.
Значит, средняя энергия молекулы
где i
-
сумма числа поступательных, числа
вращательных в удвоенного числа
колеба¬тельных степеней свободы
молекулы:i
=i
пост +i
вращ +2i
колеб
В
классической теории рассматривают
молекулы с жесткой связью между атомами;
для них i
совпадает
с числом степеней свободы молекулы.
Так
как в идеальном газе взаимная потенциальная
энергия взаимодействия молекул равна
нулю (молекулы между собой не
взаимодействуют), то внутренняя энергия
для одного моля газа, будет равна сумме
кинетических энергий
N A молекул:
(1)
Внутренняя
энергия для произвольной массы m
газа.
где
М - молярная масса, ν
-
количество вещества.
Изменения какой- либо величины описывают с помощью законов синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими. Рассмотрим контур, из конденсатора (который перед включением в цепь зарядили) и катушки индуктивности (рис.1).
Рисунок 1.
Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:
$q=q_0cos({\omega }_0t+{\alpha }_0)$ (1)
где $t$-время; $q$ заряд, $q_0$-- максимальное отклонение заряда от своего среднего (нулевого) значения в ходе изменений; ${\omega }_0t+{\alpha }_0$- фаза колебаний; ${\alpha }_0$- начальная фаза; ${\omega }_0$- циклическая частота. За период фаза меняется на $2\pi $.
Уравнение вида:
уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде для колебательного контура, который не будет содержать активного сопротивления.
Любой вид периодических колебаний можно точности представить как сумму гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.
Для периода колебаний цепи, которая состоит из катушки и конденсатора мы получим формулу Томсона:
Если мы продифференцируем выражение (1) по времени, то можем получить формулу фунци $I(t)$:
Напряжение на конденсаторе, можно найти как:
Из формул (5) и (6) следует, что сила тока опережает напряжение на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}.$
Гармонические колебания можно представлять как в виде уравнений, функций так и векторными диаграммами.
Уравнение (1) представляет свободные незатухающие колебания.
Уравнение затухающих колебаний
Изменение заряда ($q$) на обкладках конденсатора в контуре, при учете сопротивления (рис.2) будет описываться дифференциальным уравнением вида:
Рисунок 2.
Если сопротивление, которое входит в состав контура $R \
где $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ -- циклическая частота колебаний. $\beta =\frac{R}{2L}-$коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний выражается как:
В том случае, если при $t=0$ заряд на конденсаторе равен $q=q_0$, тока в цепи нет, то для $A_0$ можно записать:
Фаза колебаний в начальный момент времени (${\alpha }_0$) равна:
При $R >2\sqrt{\frac{L}{C}}$ изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.
Пример 1
Задание: Максимальное значение заряда равно $q_0=10\ Кл$. Он изменяется гармонически с периодом $T= 5 c$. Определите максимально возможную силу тока.
Решение:
В качестве основания для решения задачи используем:
Для нахождения силы тока выражение (1.1) необходимо продифференцировать по времени:
где максимальным (амплитудным значением) силы тока является выражение:
Из условий задачи нам известно амплитудное значение заряда ($q_0=10\ Кл$). Следует найти собственную частоту колебаний. Ее выразим как:
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.4\right).\]
В таком случае искомая величина будет найдена при помощи уравнений (1.3) и (1.2) как:
Так как все величины в условиях задачи представлены в системе СИ, проведем вычисления:
Ответ: $I_0=12,56\ А.$
Пример 2
Задание: Каков период колебаний в контуре, который содержит катушку индуктивности $L=1$Гн и конденсатор, если сила тока в контуре изменяется по закону: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A\right)?$ Какова емкость конденсатора?
Решение:
Из уравнения колебаний силы тока, которое приведено в условиях задачи:
мы видим, что ${\omega }_0=20\pi $, следовательно, мы можем вычислить период Колебаний по формуле:
\ \
По формуле Томсона для контура, который содержит катушку индуктивности и конденсатор, мы имеем:
Вычислим емкость:
Ответ: $T=0,1$ c, $C=2,5\cdot {10}^{-4}Ф.$