Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Bài tập hình học "Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn"

Để sử dụng bản xem trước bản trình bày, hãy tạo một tài khoản cho chính bạn ( tài khoản) Google và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HÌNH HỌC THẲNG VÀ TRÒN TRÒN Lớp 8 theo SGK L.A. Atanasyan

Bạn nghĩ bao nhiêu điểm chung Một đường thẳng và một đường tròn có thể có một đường thẳng không? VỀ

O Đầu tiên, hãy nhớ cách xác định đường tròn Vòng tròn (O, r) r – bán kính r A B AB – dây cung C D CD – đường kính

Xét vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn trong trường hợp thứ nhất: d – khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng O A B N d

Trường hợp thứ hai: O N r một điểm chung d = r d – khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d

Trường hợp thứ ba: O H d r d > r d – khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng không có điểm chung

Một đường thẳng và một đường tròn có thể có bao nhiêu điểm chung? d) Hai điểm chung một điểm chung không có điểm chung Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính đường tròn thì đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung. Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn thì đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung. Nếu khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kínhđường tròn thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

Tiếp tuyến của đường tròn Định nghĩa: Đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung của chúng gọi là điểm tiếp tuyến của đường thẳng và đường tròn. O s = r M m

Tìm vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn nếu: r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5,2 cm r = 3,2 m, s = 4,7 m r = 7 cm, s = 0 ,5 dm r = 4 cm, s = 4 0 mm đường thẳng - đường cát tuyến - đường cát tuyến không có điểm chung Đường thẳng - đường cát tuyến - tiếp tuyến

Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính vẽ tại điểm tiếp tuyến. m – tiếp tuyến với đường tròn tâm O M – điểm tiếp xúc OM - bán kính O M m

Tính chất của các tiếp tuyến đi qua một điểm: ▼ Theo tính chất tiếp tuyến ∆ ABO, ∆ ACO–hình chữ nhật ∆ ABO= ∆ ACO–theo cạnh huyền và cạnh huyền: OA – tổng quát, OB=OS – bán kính AB=AC và ▲ O BCA A 1 2 3 4 Các tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ một điểm thì bằng nhau và tạo thành góc bằng nhauđường thẳng đi qua điểm này và tâm đường tròn.

Kiểm tra tiếp tuyến: Nếu một đường thẳng đi qua điểm cuối của bán kính nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính thì nó là tiếp tuyến. đường tròn tâm O bán kính OM m – đường thẳng đi qua điểm M và m – tiếp tuyến O M m

Giải số 633. Cho: OABC- bình phương AB = 6 cm Đường tròn tâm O bán kính 5 cm Tìm: cát tuyến của các đường thẳng OA, AB, BC, AC O A B C O

Giải số 638, 640. d/z: học nốt, số 631, 635

Về chủ đề: phát triển phương pháp, thuyết trình và ghi chú

Mục tiêu: củng cố khả năng xác định vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng, kiểm tra kỹ năng giải quyết vấn đề và trau dồi tinh thần làm việc nhóm. ...

vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. lớp 8.

Bài thuyết trình bao gồm bốn bài toán miệng được giải bằng cách sử dụng các hình vẽ có sẵn. Mục tiêu: chuẩn bị cho học sinh học bài mới....

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Vị trí tương đối của hai đường tròn.

Tóm tắt và trình bày cho bài học về chủ đề " Vị trí lẫn nhauđường thẳng và đường tròn. Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường tròn." Bài học lớp 6 sử dụng SGK "Toán học - 6" do G.V. Dorofeev chủ biên, tôi...

Cho một đường tròn và một số đường thẳng trên mặt phẳng. Chúng ta thả một đường vuông góc từ tâm đường tròn C lên đường thẳng này; chúng ta hãy biểu thị bằng đáy của đường vuông góc này. Một điểm có thể chiếm ba vị trí có thể có đối với đường tròn: a) nằm ngoài đường tròn, b) trên đường tròn, c) bên trong đường tròn. Tùy thuộc vào điều này, đường thẳng sẽ chiếm một trong ba vị trí có thể khác nhau so với đường tròn, được mô tả bên dưới.

a) Cho đáy đường vuông góc hạ từ tâm C của đường tròn xuống đường thẳng nằm bên ngoài đường tròn (Hình 197). Khi đó đường thẳng không cắt đường tròn; tất cả các điểm của nó đều nằm ở vùng bên ngoài. Thật vậy, trong trường hợp đã chỉ ra, theo điều kiện, nó bị đẩy ra khỏi tâm ở khoảng cách lớn hơn bán kính). Hơn nữa, với mọi điểm M nằm trên đường thẳng a ta có nghĩa là mọi điểm trên đường thẳng cho trước đều nằm ngoài đường tròn.

b) Để đáy đường vuông góc rơi vào đường tròn (Hình 198). Khi đó đường thẳng a có đúng một điểm chung với đường tròn. Thật vậy, nếu M là một điểm bất kỳ của đường thẳng thì (các đường nghiêng dài hơn đường vuông góc) điểm M nằm trong vùng bên ngoài. Một đường thẳng như vậy có một điểm chung duy nhất với đường tròn, được gọi là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm này. Hãy chứng minh rằng, ngược lại, nếu một đường thẳng có một điểm chung duy nhất với một đường tròn thì bán kính vẽ tới điểm này sẽ vuông góc với đường thẳng này. Thật vậy, chúng ta hãy vẽ một đường vuông góc từ tâm lên đường thẳng này. Nếu đáy của nó nằm bên trong đường tròn thì đường thẳng sẽ có hai điểm chung với nó, như minh họa ở hình c). Nếu nó nằm ngoài đường tròn thì do a) đường thẳng không có điểm chung với đường tròn.

Do đó, vẫn giả định rằng đường vuông góc rơi vào điểm chung của đường thẳng và đường tròn - tại điểm tiếp tuyến của chúng. Đã được chứng minh là quan trọng

Định lý. Một đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi nó vuông góc với bán kính vẽ tới điểm đó.

Lưu ý rằng định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn ở đây không được áp dụng cho các đường cong khác. Hơn định nghĩa chung tiếp tuyến của một đường thẳng với một đường cong gắn liền với các khái niệm của lý thuyết giới hạn và sẽ được thảo luận chi tiết trong khóa học này toán cao hơn. Ở đây chúng ta sẽ chỉ nói về nó khái niệm chung. Cho một đường tròn và điểm A trên đó (Hình 199).

Lấy một điểm A khác trên đường tròn và nối cả hai điểm của đường thẳng AA. Cho điểm A di chuyển dọc theo một đường tròn, chiếm một liên tiếp các vị trí mới, ngày càng tiến gần đến điểm A. Đường thẳng AA quay quanh A, đảm nhận một số vị trí: trong trường hợp này, khi điểm chuyển động tiến đến điểm A , đường thẳng có xu hướng trùng với tiếp tuyến AT. Vì vậy, chúng ta có thể nói tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến đi qua điểm này và một điểm trên đường cong tiếp cận nó mà không có giới hạn. Trong dạng này, định nghĩa tiếp tuyến có thể áp dụng cho các đường cong rất cái nhìn tổng quát(Hình 200).

c) Cuối cùng, để điểm nằm bên trong đường tròn (Hình 201). Sau đó . Chúng ta sẽ xét các đường tròn nghiêng vẽ đường thẳng a từ tâm C, với các đáy di chuyển ra xa điểm đó theo một trong hai hướng có thể. Độ dài của độ dốc sẽ tăng đơn điệu khi đáy của nó di chuyển ra khỏi điểm; sự tăng độ dài của độ dốc này xảy ra dần dần (“liên tục”) từ các giá trị gần với các giá trị lớn tùy ý, vì vậy có vẻ rõ ràng rằng tại một vị trí nhất định của căn cứ chiều dài nghiêng chúng sẽ chính xác bằng nhau điểm tương ứng K và L của đường thẳng sẽ nằm trên đường tròn.

Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn Hãy xét xem một đường thẳng và một đường tròn có thể có bao nhiêu điểm chung tùy thuộc vào vị trí tương đối của chúng. Rõ ràng nếu một đường thẳng đi qua tâm của một đường tròn thì nó cắt đường tròn tại hai đầu đường kính nằm trên đó. sơ bộ này.

Hãy để nó thẳng thắn r không đi qua tâm bán kính đường tròn r. Hãy vẽ một đường vuông góc ANH TAđến một đường thẳng r và biểu thị bằng chữ cái d chiều dài của đường vuông góc này, tức là khoảng cách từ tâm của đường tròn này đến đường thẳng (Hình 1) ). Ta khảo sát vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn tùy thuộc vào mối quan hệ giữa d Và r. Có ba trường hợp có thể xảy ra.

1) d r từ điểm Nđặt sang một bên hai phân đoạn TRÊN Và NV, có độ dài bằng nhau (Hình 1) Theo định lý Pythagore OA=,

0 B= Do đó, điểm MỘT Và TRONG nằm trên đường tròn nên là điểm chung của đường thẳng r và đường tròn đã cho.

Hãy chứng minh rằng đường thẳng r và đường tròn này không có điểm chung nào khác. Giả sử chúng có thêm một điểm chung C. Khi đó đường trung tuyến OD tam giác cân OAS. được đưa về căn cứ AC, là chiều cao của tam giác này, vì vậy VỀDP. Phân đoạn OD Và ANH TA không khớp

kể từ giữa Dđoạn AC không vừa với một dấu chấm N - trung điểm của đoạn , AB. Chúng tôi thấy rằng hai đường vuông góc được vẽ từ điểm O: ANH TA Và OD-đến một đường thẳng P,điều đó là không thể. Vì thế Nếu như khoảng cách khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính đường tròn (d< р), Cái đó đường thẳng và đường trònCó hai điểm chung. Trong trường hợp này dòng được gọi cát tuyến liên quan đến vòng tròn.

2) d=r. Trong trường hợp này Anh ấy=r, tức là điểm N nằm trên đường tròn và do đó là điểm chung của đường thẳng và đường tròn (Hình 1, b). Thẳng r và đường tròn không có điểm chung nào khác, vì với mọi điểm M trực tiếp r. khác với điểm N, OM>OH= r(xiên ôi vuông góc hơn ANH TA), và do đó , điểm M không nằm trên đường tròn. Vậy nếu chủng tộcKhoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính thì đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung.

3) d>r Trong trường hợp này -Ô> rĐó là lý do tại sao . cho bất kỳ điểm nào M trực tiếp p 0MON.>r( cơm . 1,MỘT) Do đó điểm M không thuộc đường tròn. Vì thế, .if khoảng cách từ tâm vòng trònNếu khoảng cách đến đường thẳng lớn hơn bán kính đường tròn thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

Chúng ta đã chứng minh rằng một đường thẳng và một đường tròn có thể có một hoặc hai điểm chung và có thể không có điểm chung nào. Một đường thẳng có một đường tròn chỉ một điểm chung gọi là tiếp tuyến của đường tròn và của họ điểm chung gọi là điểm tiếp tuyến của đường thẳng và đường tròn. Trong hình 2 có một đường thẳng r- Tiếp tuyến với đường tròn tâm O MỘT- điểm tiếp xúc.

Hãy chứng minh định lý về tính chất tiếp tuyến.

Định lý. Tiếp tuyến của đường tròn là vuông gócĐẾN bán kính kéo về điểm tiếp xúc.

Bằng chứng. Cho phép r- Tiếp tuyến với đường tròn tâm O. MỘT- điểm tiếp xúc (xem Hình 2). Hãy chứng minh điều đó. tiếp tuyến là gì r vuông góc với bán kính OA.

Hãy giả sử rằng đây không phải là trường hợp. Khi đó bán kính: viêm khớp nghiêng về một đường thẳng r. Vì đường vuông góc vẽ từ điểm VỀđến một đường thẳng P,ít nghiêng viêm khớp, khi đó khoảng cách từ tâm VỀđường tròn thành đường thẳng r nhỏ hơn bán kính. Vì thế, thẳng r và đường tròn có hai điểm chung. Nhưng điều này mâu thuẫn với điều kiện; thẳng r- đường tiếp tuyến. Như vậy, thẳng r vuông góc với bán kính OA.Định lý đã được chứng minh.

Xét hai tiếp tuyến của đường tròn tâm VỀ, đi qua điểm MỘT và chạm vào đường tròn tại các điểm TRONG và C (Hình 3). Phân đoạn AB Và AC hãy gọi đoạn tiếp tuyếnnyh, được vẽ từ điểm A. Chúng có tính chất sau, theo định lý đã được chứng minh:

Các đoạn tiếp tuyến của đường tròn vẽ từ một điểm thì bằng nhau và tạo thành các góc bằng nhau với một đường thẳng đi qua điểm này và tâm của đường tròn.

Để chứng minh nhận định này chúng ta quay lại Hình 3. Theo định lý về tính chất tiếp tuyến, góc 1 và góc 2 là góc vuông nên là tam giác ABO Và ASO hình chữ nhật. Chúng bằng nhau vì chúng có cạnh huyền chung viêm khớp Và chân bằng nhau OB Và hệ điều hành. Kể từ đây, AB=AC và 3=https://pandia.ru/text/78/143/images/image007_40.jpg" width="432 chiều cao=163" chiều cao="163">

Cơm. 2 Hình. 3

https://pandia.ru/text/78/143/images/image010_57.gif" width="101" Height="19 src=">.

Vẽ đường kính qua điểm tiếp xúc TÔI, ta sẽ có: ; Đó là lý do tại sao

Cơm. 1 Hình. 2

https://pandia.ru/text/78/143/images/image014_12.jpg" width="191 chiều cao=177" chiều cao="177">.jpg" chiều rộng="227 chiều cao=197" chiều cao="197" >

Sự phụ thuộc giữa cung, dây cung và khoảng cách từ tâm đến dây cung.

Định lý. Trong một vòng tròn hoặc V. vòng tròn bằng nhau :

1) nếu các cung bằng nhau thì các dây phụ chúng bằng nhau và cách đều tâm;

2) nếu hai cung nhỏ hơn hình bán nguyệt không bằng nhau thì cung lớn hơn sẽ bị dây cung lớn hơn phụ thuộc và cả hai dây cung lớn hơn sẽ nằm gần tâm hơn .

1) Hãy để vòng cung AB bằng cung đĩa CD(Hình 1), cần chứng minh dây AB và đĩa CD bằng nhau và cũng bằng nhau và vuông góc OE Và CỦA, hạ thấp từ trung tâm đến các hợp âm.

Hãy xoay khu vực OAJB xung quanh trung tâm VỀ theo hướng được chỉ bởi mũi tên sao cho bán kính VỀ trùng hợp với hệ điều hành. Sau đó vòng cung VA. sẽ đi theo hình vòng cung đĩa CD và do chúng bằng nhau nên các cung này sẽ chồng lên nhau. Điều này có nghĩa là dây AS trùng với dây đĩa CD và vuông góc OE sẽ trùng với CỦA(từ một điểm chỉ có thể hạ một đường vuông góc xuống một đường thẳng), tức là AB=đĩa CD Và OE=CỦA.

2) Hãy để vòng cung AB(Hình 2) ít cung hơn ĐĨA CD, và hơn nữa, cả hai cung đều nhỏ hơn hình bán nguyệt; cần phải chứng minh rằng dây ABít hợp âm hơn ĐĨA CD, và vuông góc OE vuông góc hơn CỦA. Hãy đặt nó trên vòng cung đĩa CD vòng cung SK, bằng AB, và vẽ một hợp âm phụ SK, theo những gì đã được chứng minh, bằng dây cung AB và cách đều nhau ở trung tâm. Tại hình tam giác C.O.D. Và NƯỚC ÉP hai cạnh của cạnh này bằng hai cạnh của cạnh kia (như bán kính), nhưng các góc xen giữa hai cạnh này không bằng nhau; trong trường hợp này, như chúng ta biết, so với góc lớn hơn, tức là. lCOD, phải nói dối mặt lớn, Có nghĩa, CD>CK, và do đó CD>AB.

Để chứng minh điều đó OE>CỦA, chúng tôi sẽ tiến hành OLXCK và lưu ý rằng, theo những gì đã được chứng minh, OE=CV; do đó, chỉ cần so sánh là đủ CỦA Với CV. Trong một tam giác vuông 0 FM(được bao phủ trong hình bằng dấu gạch ngang) cạnh huyền ôi nhiều chân hơn CỦA; Nhưng CV>ôi;điều đó thậm chí còn có ý nghĩa hơn thế CV>CỦA. và do đó OE>CỦA.

Định lý chúng ta đã chứng minh cho một đường tròn vẫn đúng với vòng tròn bằng nhau, bởi vì các vòng tròn như vậy chỉ khác nhau ở vị trí.

Định lý nghịch đảo. Vì trong đoạn trước, tất cả các trường hợp loại trừ lẫn nhau có thể xảy ra liên quan đến kích thước so sánh của hai cung có cùng bán kính đã được xem xét và đưa ra kết luận loại trừ lẫn nhau về kích thước so sánh của dây cung và khoảng cách của chúng tính từ tâm, nên cung cấp ngược lại phải đúng, c. chính xác:

TRONG một vòng tròn hoặc vòng tròn bằng nhau:

1) hợp âm bằng nhau cách đều nhau từ trung tâm và hợp đồng cung bằng nhau;

2) các dây cách xa tâm bằng nhau thì bằng nhau và nằm trên các cung bằng nhau;

3) trong hai dây không bằng nhau, dây nào lớn hơn sẽ ở gần tâm hơn và che khuất cung lớn hơn;

4) của hai dây cách nhau không đều về tâm, cái nào gần tâm hơn thì lớn hơn và tạo thành một vòng cung lớn hơn.

Những mệnh đề này có thể dễ dàng được chứng minh bằng phản chứng. Ví dụ, để chứng minh điều đầu tiên trong số chúng, chúng ta suy luận như sau: nếu các dây này phụ thuộc các cung không bằng nhau thì theo định lý trực tiếp, chúng sẽ không bằng nhau, điều này mâu thuẫn với điều kiện; Điều này có nghĩa là các dây bằng nhau phải có các cung bằng nhau; và nếu các cung bằng nhau thì theo định lý trực tiếp, các dây cung phụ chúng cách xa tâm như nhau.

Định lý. Đường kính là hợp âm lớn nhất .

Nếu chúng ta kết nối với trung tâm VỀ phần cuối của một số dây không đi qua tâm, ví dụ như một dây AB(Hình 3) thì ta được một hình tam giác AOB, trong đó một cạnh là dây cung này, hai cạnh còn lại là bán kính. Nhưng trong một tam giác, mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia; do đó hợp âm AB nhỏ hơn tổng của hai bán kính; trong khi mọi đường kính đĩa CD bằng tổng của hai bán kính. Điều này có nghĩa là đường kính lớn hơn bất kỳ dây cung nào không đi qua tâm. Nhưng vì đường kính cũng là một dây cung nên chúng ta có thể nói rằng đường kính là đường kính lớn nhất trong các dây cung.

Cơm. 1 Hình. 2

Định lý tiếp tuyến.

Như đã đề cập, các đoạn tiếp tuyến vẽ đường tròn từ một điểm có cùng chiều dài. Độ dài này được gọi là khoảng cách tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn.

Nếu không có định lý tiếp tuyến thì không thể giải được nhiều hơn một bài toán về đường tròn nội tiếp, hay nói cách khác là về đường tròn tiếp xúc với các cạnh của một đa giác.

Khoảng cách tiếp tuyến trong một tam giác.

Tìm độ dài các đoạn mà các cạnh của tam giác ABCđược chia cho các điểm tiếp tuyến có đường tròn nội tiếp (Hình 1,a), ví dụ: khoảng cách tiếp tuyến cái đó từ điểm MỘTđến vòng tròn. Hãy cộng các cạnh b Và c, rồi trừ đi cạnh của tổng MỘT. Xét sự bằng nhau của các tiếp tuyến vẽ từ một đỉnh, ta thu được 2 cái đó. Vì thế,

ta=(b+c-Một)/ 2=P-Một,

Ở đâu p=(một+b+c)/ 2 – nửa chu vi tam giác đã cho. Độ dài các đoạn cạnh kề với các đỉnh TRONG Và VỚI, lần lượt bằng nhau P-b Và P-c.

Tương tự như vậy, đối với khoanh tròn tam giác tiếp xúc với cạnh (bên ngoài) MỘT(Hình 1, b), khoảng cách tiếp tuyến từ TRONG Và VỚI tương ứng bằng nhau P-c Và P-b, và từ trên xuống MỘT- Chỉ P.

Lưu ý rằng những công thức này cũng có thể được sử dụng theo hướng ngược lại.

Hãy để nó đi vào góc BẠN một đường tròn nội tiếp và khoảng cách tiếp tuyến từ đỉnh của góc đến đường tròn bằngP hoặcP- Một, Ở đâuP- nửa chu vi của một tam giác ABC, MỘT a=BC. Khi đó đường tròn chạm vào đường thẳng Mặt trời(tương ứng bên ngoài hoặc bên trong tam giác).

Trong thực tế, ví dụ, giả sử khoảng cách tiếp tuyến bằng nhau P-Một. Khi đó các đường tròn của chúng ta tiếp xúc với các cạnh của góc tại cùng điểm với đường tròn nội tiếp tam giác ABC, có nghĩa là nó trùng với nó. Vì vậy nó chạm vào đường Mặt trời.

Tứ giác nội tiếp. Từ định lý về sự bằng nhau của các tiếp tuyến, ngay lập tức suy ra (Hình 2a) rằng

nếu một đường tròn có thể nội tiếp được trong một tứ giác thì tổng của nó các mặt đối diệnđều bằng nhau:

QUẢNG CÁO+ BC= AB+ đĩa CD

Lưu ý rằng tứ giác được mô tả nhất thiết phải lồi. Điều ngược lại cũng đúng:

Nếu tứ giác lồi và tổng các cạnh đối diện của nó bằng nhau thì có thể nội tiếp một đường tròn trong đó.

Hãy chứng minh điều này cho một tứ giác không phải là hình bình hành. Ví dụ: Cho hai cạnh đối diện của một tứ giác AB Và DC, khi tiếp tục chúng sẽ cắt nhau tại một điểm E(Hình 2, b). Hãy viết một vòng tròn thành một hình tam giác ADE. Khoảng cách tiếp tuyến của nó bạnđến mức Eđược thể hiện bằng công thức

te=½ (AE+ED-QUẢNG CÁO).

Nhưng theo điều kiện, tổng các cạnh đối diện của một tứ giác bằng nhau, nghĩa là QUẢNG CÁO+BC=AB+đĩa CD, hoặc QUẢNG CÁO=AB+ĐĨA CD-BC. Thay thế giá trị này vào biểu thức cho bạn, chúng tôi nhận được

bạn=½ ((AE-AB)+(ED-CD)+BC)= ½ (ĐƯỢC+EC+TCN),

và đây là nửa chu vi của tam giác TCN. Từ điều kiện tiếp tuyến được chứng minh ở trên suy ra rằng đường tròn của chúng ta tiếp xúc BC.

https://pandia.ru/text/78/143/images/image020_13.jpg" width="336" Height="198 src=">

Hai tiếp tuyến vẽ từ một điểm bên ngoài đường tròn vào đường tròn bằng nhau và tạo thành các góc bằng nhau với đường thẳng nối điểm này với tâm, suy ra sự bằng nhau của hai tam giác vuông AOB và AOB1

Hãy lấy vòng tròn tùy ý có tâm tại điểm O và đường thẳng a.
Nếu đường thẳng a đi qua điểm O thì cắt nhau vòng tròn đã cho tại hai điểm K và L là hai đầu của đường kính nằm trên đường thẳng a.

Nếu đường thẳng a không đi qua tâm O của đường tròn thì ta thực hiện phép dựng phụ và vẽ đường thẳng Ồ vuông góc với một đường thẳng Một và biểu thị khoảng cách thu được từ tâm đường tròn đến đường thẳng Một biến rasstoyanie. Hãy xác định xem đường thẳng sẽ có bao nhiêu điểm chung Một và đường tròn tùy thuộc vào mối quan hệ giữa biến rasstoyanie và bán kính.
Có thể có 3 lựa chọn:

1. rasstoyanie < bán kính. Trong trường hợp này, điểm H sẽ nằm ở giữa đường tròn bị giới hạn bởi đường tròn đã cho.

Hãy đặt một đoạn thẳng trên một đường thẳng HD = rchào mừng.

Trong OHD, cạnh huyền OD nhiều chân hơn HD, Đó là lý do tại sao OD > rchào mừng. Vì vậy, điểm D nằm ngoài đường tròn giới hạn bởi đường tròn đã cho. Vì vậy, một đầu của đoạn HDở giữa vòng tròn, còn người kia ở ngoài vòng tròn. Như vậy, trên đoạn HD bạn có thể đánh dấu một điểm MỘT, nằm trên đường tròn, tức là OA = rchào mừng.

Hãy mở rộng chùm tia H.A. và đặt một đoạn trên đó BH, cái mà bằng với đoạn MỘT.

Nhận được 2 hình tam giác vuông OH Và OHB, bằng nhau ở hai chân. Khi đó các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau: OB = OA = r. Kể từ đây, B cũng là điểm chung của đường tròn và đường thẳng. Vì 3 điểm của đường tròn không thể cùng nằm trên một đường thẳng nên các điểm chung khác của đường thẳng Một và vòng tròn không tồn tại.
Do đó, nếu khoảng cách giữa tâm đường tròn và đường thẳng nhỏ hơn bán kính đường tròn ( rasstoyanie < r chào mừng) thì đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung.

1. rasstoyanie= rchào mừng . Từ OH = rchào mừng, sau đó chỉ H thuộc đường tròn nên là điểm chung của đường thẳng Một và các vòng tròn.

Đối với bất kỳ điểm nào khác trên đường thẳng Một(ví dụ: điểm và M) xiên ôi nhiều phân khúc hơn Ồ, đó là OM > OH = rchào mừng, và do đó điểm M không thuộc vòng tròn đã cho.
Do đó, nếu khoảng cách giữa tâm đường tròn và đường thẳng bằng bán kính đường tròn ( rasstoyanie= rchào mừng) thì đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung.

1. rasstoyanie> rchào mừng . Vì OH > bán kính nên với mọi điểm của đường thẳng Một(ví dụ: điểm M) bất đẳng thức đúng OM > OH > rchào mừng. Vì vậy, điểm M không thuộc vòng tròn.

Do đó, nếu khoảng cách giữa tâm đường tròn và đường thẳng lớn hơn bán kính đường tròn ( rasstoyanie> rchào mừng) thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

Hãy để chúng tôi nhắc nhở bạn định nghĩa quan trọng- định nghĩa của một vòng tròn]

Sự định nghĩa:

Đường tròn tâm O, bán kính R là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách điểm O một khoảng R.

Chúng ta hãy chú ý đến thực tế rằng đường tròn là một tập hợp mọi ngườiđiểm thỏa mãn điều kiện đã nêu. Hãy xem một ví dụ:

Các điểm A, B, C, D của hình vuông cách đều điểm E nhưng không phải là hình tròn (Hình 1).

Cơm. 1. Ví dụ minh họa

TRONG trong trường hợp này hình này là một hình tròn, vì nó là một tập hợp các điểm cách đều tâm.

Nếu bạn nối hai điểm bất kỳ trên một vòng tròn, bạn sẽ có được một dây cung. Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

MB - hợp âm; AB - đường kính; MnB là một cung, nó được hợp âm MV thu gọn;

Góc được gọi là tâm.

Điểm O là tâm của đường tròn.

Cơm. 2. Ví dụ minh họa

Vì vậy, chúng tôi đã nhớ hình tròn là gì và các thành phần chính của nó. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang xem xét vị trí tương đối của đường tròn và đường thẳng.

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Đường thẳng P, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng tức là vuông góc với OM bằng d.

Giả sử điểm O không nằm trên đường thẳng P.

Cho một đường tròn và một đường thẳng, ta cần tìm số điểm chung.

Trường hợp 1 - khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính đường tròn:

Trong trường hợp đầu tiên, khi khoảng cách d nhỏ hơn bán kính của đường tròn r thì điểm M nằm bên trong đường tròn. Từ thời điểm này, chúng ta sẽ vẽ hai đoạn - MA và MB, độ dài của chúng sẽ là . Ta biết các giá trị của r và d, d nhỏ hơn r nghĩa là biểu thức tồn tại và tồn tại các điểm A, B. Hai điểm này thẳng hàng theo cách dựng. Hãy kiểm tra xem chúng có nằm trên đường tròn không. Chúng ta hãy tính khoảng cách OA và OB bằng định lý Pythagore:

Cơm. 3. Minh họa cho trường hợp 1

Khoảng cách từ tâm đến hai điểm bằng bán kính đường tròn nên ta đã chứng minh được hai điểm A và B thuộc đường tròn.

Vậy điểm A và B thuộc đường thẳng theo cách xây dựng, chúng thuộc đường tròn theo điều đã được chứng minh - đường tròn và đường thẳng có hai điểm chung. Hãy chứng minh rằng không có điểm nào khác (Hình 4).

Cơm. 4. Minh họa chứng minh

Để làm điều này, hãy đi theo đường thẳng điểm tùy ý C và giả sử nó nằm trên một đường tròn có khoảng cách OS = r. Trong trường hợp này, tam giác là tam giác cân và đường trung tuyến ON của nó không trùng với đoạn OM là chiều cao. Ta gặp mâu thuẫn: hai đường vuông góc hạ từ điểm O xuống một đường thẳng.

Như vậy, không có điểm chung nào khác trên đường thẳng P với đường tròn. Ta đã chứng minh trong trường hợp khoảng cách d nhỏ hơn bán kính đường tròn r thì đường thẳng và đường tròn chỉ có hai điểm chung.

Trường hợp hai - khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính đường tròn (Hình 5):

Cơm. 5. Minh họa cho trường hợp 2

Chúng ta hãy nhớ lại rằng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đường vuông góc, trong trường hợp này OH là đường vuông góc. Vì theo điều kiện độ dài OH bằng bán kính đường tròn nên điểm H thuộc đường tròn nên điểm H chung của đường thẳng và đường tròn.

Hãy chứng minh rằng không có điểm chung nào khác. Ngược lại: Giả sử điểm C trên đường thẳng thuộc đường tròn. Trong trường hợp này, khoảng cách OS bằng r và OS bằng OH. Nhưng trong tam giác vuông, cạnh huyền OC lớn hơn cạnh huyền OH. Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Do đó, giả định là sai và không có điểm nào ngoài H chung cho đường thẳng và đường tròn. Ta đã chứng minh được rằng trong trường hợp này chỉ có một điểm chung.

Trường hợp 3 - khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng lớn hơn bán kính đường tròn:

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đường vuông góc. Vẽ đường vuông góc từ điểm O đến đường thẳng P, ta được điểm H, điểm này không nằm trên đường tròn, vì OH có điều kiện lớn hơn bán kính của đường tròn. Hãy chứng minh rằng mọi điểm khác trên đường thẳng đều không nằm trên đường tròn. Điều này có thể thấy rõ từ tam giác vuông, cạnh huyền OM lớn hơn cạnh OH nên lớn hơn bán kính đường tròn nên điểm M không thuộc đường tròn như mọi điểm khác trên đường thẳng. Chúng ta đã chứng minh rằng trong trường hợp này đường tròn và đường thẳng không có điểm chung (Hình 6).

Cơm. 6. Minh họa cho trường hợp 3

Hãy xem xét định lý . Giả sử đường thẳng AB có hai điểm chung với đường tròn (Hình 7).

Cơm. 7. Minh họa định lý

Chúng ta có hợp âm AB. Điểm H theo quy ước là trung điểm của dây AB và nằm trên đường kính CD.

Cần chứng minh trong trường hợp này đường kính vuông góc với dây cung.

Bằng chứng:

Xét tam giác cân OAB, nó là tam giác cân vì .

Điểm H, theo quy ước, là trung điểm của dây cung, nghĩa là trung điểm của đường trung tuyến AB của một tam giác cân. Chúng ta biết rằng đường trung bình của một tam giác cân vuông góc với đáy của nó, tức là chiều cao: , do đó, người ta chứng minh rằng đường kính đi qua giữa dây cung vuông góc với nó.

Công bằng và định lý ngược : nếu đường kính vuông góc với dây thì nó đi qua điểm giữa của dây.

Cho đường tròn tâm O, đường kính CD, dây AB. Biết rằng đường kính vuông góc với dây cung; cần chứng minh rằng nó đi qua điểm giữa của nó (Hình 8).

Cơm. 8. Minh họa định lý

Bằng chứng:

Xét tam giác cân OAB, nó là tam giác cân vì . OH, theo quy ước, là chiều cao của tam giác, vì đường kính vuông góc với dây cung. Chiều cao trong tam giác cânđồng thời là đường trung tuyến nên AN = HB, nghĩa là điểm H là trung điểm của dây AB, nghĩa là đường kính vuông góc với dây cung đi qua điểm giữa của nó.

Định lý trực tiếp và nghịch đảo có thể được khái quát hóa như sau.

Định lý:

Đường kính vuông góc với dây cung khi và chỉ khi nó đi qua trung điểm của dây đó.

Vì vậy, chúng ta đã xem xét tất cả các trường hợp về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Trong bài học tiếp theo chúng ta sẽ xét tiếp tuyến của đường tròn.

Tài liệu tham khảo

1. Alexandrov A.D. v.v. Hình học lớp 8. - M.: Giáo dục, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Hình học 8. - M.: Giáo dục, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Hình học lớp 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Edu.glavsprav.ru ().
2. Webmath.exponenta.ru ().
3. Fmclass.ru ().

bài tập về nhà

Bài tập 1. Tìm độ dài của hai đoạn dây mà đường kính của đường tròn chia nó nếu độ dài của dây là 16 cm và đường kính vuông góc với nó.

Bài 2. Hãy chỉ ra số điểm chung của một đường thẳng và một đường tròn nếu:

a) khoảng cách từ đường thẳng đến tâm hình tròn là 6 cm, bán kính hình tròn là 6,05 cm;

b) khoảng cách từ đường thẳng đến tâm hình tròn là 6,05 cm, bán kính hình tròn là 6 cm;

c) Khoảng cách từ đường thẳng đến tâm hình tròn là 8 cm, bán kính hình tròn là 16 cm.

Bài tập 3. Tìm độ dài của dây nếu đường kính vuông góc với nó và một trong các đoạn bị đường kính cắt khỏi dây đó là 2 cm.