Góc của vòng cung là gì? Vòng tròn

\[(\Large(\text(Góc giữa và nội tiếp)))\]

định nghĩa

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn.

Số đo của cung tròn là số đo của góc ở tâm chắn nó.

Định lý

Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung mà nó tựa vào.

Bằng chứng

Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh theo hai giai đoạn: thứ nhất, chúng ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề trong trường hợp một trong các cạnh của góc nội tiếp chứa đường kính. Gọi điểm $B$ là đỉnh của góc nội tiếp $ABC$ và $BC$ là đường kính của đường tròn:

Tam giác $AOB$ là tam giác cân, $AO = OB$ , $\angle AOC$ nằm ngoài thì $\góc AOC = \góc OAB + \góc ABO = 2\góc ABC$, Ở đâu $\góc ABC = 0,5\cdot\góc AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)$.

Bây giờ xét một góc nội tiếp tùy ý $ABC$ . Hãy vẽ đường kính của đường tròn $BD$ từ đỉnh của góc nội tiếp. Có hai trường hợp có thể xảy ra:

1) đường kính cắt góc thành hai góc $\angle ABD, \angle CBD$ (với mỗi góc đó, định lý đều đúng như đã được chứng minh ở trên, do đó nó cũng đúng với góc ban đầu, là tổng của các góc này hai và do đó bằng một nửa tổng số cung mà chúng nằm trên đó, nghĩa là bằng một nửa cung mà nó nằm trên đó). Cơm. 1.

2) đường kính không cắt góc thành hai góc, khi đó ta có thêm hai góc nội tiếp mới $\angle ABD, \angle CBD$, cạnh chứa đường kính nên định lý đúng với chúng, thì định lý đúng với chúng cũng đúng với góc ban đầu (bằng hiệu của hai góc này, nghĩa là nó bằng nửa hiệu của cung mà chúng tựa vào, tức là bằng nửa cung mà nó tựa vào). Cơm. 2.

Hậu quả

1. Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

2. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

3. Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.

\[(\Large(\text(Tiếp tuyến với đường tròn)))\]

định nghĩa

Có ba loại vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

1) đường thẳng $a$ cắt đường tròn tại hai điểm. Một đường như vậy được gọi là cát tuyến. Trong trường hợp này, khoảng cách $d$ từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính $R$ của đường tròn (Hình 3).

2) đường thẳng $b$ cắt đường tròn tại một điểm. Đường thẳng như vậy được gọi là tiếp tuyến và điểm chung $B$ của chúng được gọi là điểm tiếp tuyến. Trong trường hợp này $d=R$ (Hình 4).

Định lý

1. Tiếp tuyến của một đường tròn vuông góc với bán kính vẽ điểm tiếp tuyến.

2. Nếu một đường thẳng đi qua đầu bán kính của một đường tròn và vuông góc với bán kính này thì nó tiếp tuyến với đường tròn.

Kết quả

Các đoạn tiếp tuyến vẽ từ một điểm tới một đường tròn thì bằng nhau.

Bằng chứng

Vẽ hai tiếp tuyến $KA$ và $KB$ của đường tròn từ điểm $K$:

Điều này có nghĩa là $OA\perp KA, OB\perp KB$ giống như bán kính. Các tam giác vuông $\tam giác KAO$ và $\tam giác KBO$ bằng nhau về cạnh huyền và cạnh huyền, do đó $KA=KB$ .

Kết quả

Tâm của đường tròn $O$ nằm trên phân giác của góc $AKB$ tạo bởi hai tiếp tuyến cùng vẽ một điểm $K$ .

\[(\Large(\text(Các định lý liên quan đến góc)))\]

Định lý về góc giữa các cát tuyến

Góc giữa hai cát tuyến vẽ từ cùng một điểm bằng nửa độ chênh lệch của cung lớn hơn và cung nhỏ mà chúng cắt.

Bằng chứng

Gọi $M$ là điểm từ đó vẽ hai cát tuyến như trên hình:

Hãy thể hiện điều đó $\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$.

$\angle DAB$ là góc ngoài của tam giác $MAD$, thì $\góc DAB = \góc DMB + \góc MDA$, Ở đâu $\góc DMB = \góc DAB - \góc MDA$, nhưng các góc $\angle DAB$ và $\angle MDA$ nội tiếp thì $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))$, đó là điều cần chứng minh.

Định lý về góc giữa hai dây cắt nhau

Góc giữa hai dây cung cắt nhau bằng nửa tổng số đo độ của các cung mà chúng cắt: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Bằng chứng

$\angle BMA = \angle CMD$ theo chiều dọc.

Từ tam giác $AMD$ : $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)$.

Nhưng $\góc AMD = 180^\circ - \angle CMD$, từ đó chúng ta kết luận rằng \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ mỉm cười\over(CD)).\]

Định lý về góc giữa dây cung và tiếp tuyến

Góc giữa tiếp tuyến và dây cung đi qua điểm tiếp tuyến bằng nửa số đo của cung chắn bởi dây đó.

Bằng chứng

Cho đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn tại điểm $A$, $AB$ là dây của đường tròn này, $O$ là tâm của đường tròn này. Giả sử đường thẳng chứa $OB$ cắt $a$ tại điểm $M$ . Hãy chứng minh điều đó $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)$.

Hãy biểu thị $\angle OAB = \alpha$ . Vì $OA$ và $OB$ là bán kính nên $OA = OB$ và $\góc OBA = \góc OAB = \alpha$. Như vậy, $\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$.

Vì $OA$ là bán kính vẽ tới điểm tiếp tuyến, nên $OA\perp a$, tức là $\angle OAM = 90^\circ$, do đó, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)$.

Định lý về cung chắn bởi dây bằng nhau

Các dây bằng nhau tạo thành các cung bằng nhau nhỏ hơn hình bán nguyệt.

Và ngược lại: các cung bằng nhau được phụ bởi các dây bằng nhau.

Bằng chứng

1) Đặt $AB=CD$ . Hãy chứng minh rằng hình bán nguyệt nhỏ hơn của cung .

Do đó, trên ba cạnh, $\angle AOB=\angle COD$ . Nhưng bởi vì $\angle AOB, \angle COD$ - góc ở tâm được hỗ trợ bởi các cung $\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)$ theo đó thì $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$.

2) Nếu $\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)$, Cái đó $\tam giác AOB=\tam giác COD$ở hai cạnh $AO=BO=CO=DO$ và góc giữa chúng $\angle AOB=\angle COD$ . Do đó, và $AB=CD$ .

Định lý

Nếu bán kính chia đôi dây thì nó vuông góc với dây đó.

Điều ngược lại cũng đúng: nếu bán kính vuông góc với dây thì tại giao điểm nó sẽ chia đôi dây.

Bằng chứng

1) Đặt $AN=NB$ . Hãy chứng minh rằng $OQ\perp AB$ .

Xét $\tam giác AOB$ : nó là cân, bởi vì $OA=OB$ – bán kính của hình tròn. Bởi vì $ON$ là đường trung tuyến được vẽ đến đáy, sau đó nó cũng là chiều cao, do đó, $ON\perp AB$ .

2) Đặt $OQ\perp AB$ . Hãy chứng minh rằng $AN=NB$ .

Tương tự, $\tam giác AOB$ là cân, $ON$ là chiều cao nên $ON$ là đường trung tuyến. Do đó, $AN=NB$ .

\[(\Large(\text(Các định lý liên quan đến độ dài của các đoạn)))\]

Định lý tích các đoạn hợp âm

Nếu hai dây của một đường tròn cắt nhau thì tích các đoạn của dây này bằng tích các đoạn của dây kia.

Bằng chứng

Hãy để các hợp âm $AB$ và $CD$ giao nhau tại điểm $E$ .

Xét các tam giác $ADE$ và $CBE$ . Trong các tam giác này, các góc $1$ và $2$ bằng nhau, vì chúng nội tiếp và nằm trên cùng một cung $BD$, còn các góc $3$ và $4$ bằng nhau như chiều dọc. Tam giác $ADE$ và $CBE$ tương tự nhau (dựa trên tiêu chí đầu tiên về sự giống nhau của các tam giác).

Sau đó $\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)$, từ đâu $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Định lý tiếp tuyến và cát tuyến

Bình phương của một đoạn tiếp tuyến bằng tích của một cát tuyến và phần ngoài của nó.

Bằng chứng

Để tiếp tuyến đi qua điểm $M$ và chạm vào đường tròn tại điểm $A$ . Cho cát tuyến đi qua điểm $M$ và cắt đường tròn tại các điểm $B$ và $C$ sao cho $MB< MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Xét các tam giác $MBA$ và $MCA$ : $\angle M$ là chung, $\góc BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)$. Theo định lý về góc giữa tiếp tuyến và cát tuyến, $\góc BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA$. Do đó, các tam giác $MBA$ và $MCA$ đồng dạng ở hai góc.

Từ sự đồng dạng của các tam giác $MBA$ và $MCA$ ta có: $\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)$, tương đương với $MB\cdot MC = MA^2$ .

Kết quả

Tích của một cát tuyến được vẽ từ điểm $O$ bởi phần bên ngoài của nó không phụ thuộc vào việc chọn cát tuyến được vẽ từ điểm $O$ .

Phép đo phẳng là một nhánh của hình học nghiên cứu các tính chất của hình phẳng. Chúng không chỉ bao gồm các hình tam giác, hình vuông và hình chữ nhật quen thuộc mà còn cả các đường thẳng và góc. Trong phép đo mặt phẳng, cũng có những khái niệm như góc trong một đường tròn: tâm và nội tiếp. Nhưng chúng có ý nghĩa gì?

Góc ở tâm là gì?

Để hiểu góc ở tâm là gì, bạn cần xác định đường tròn. Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách đều một điểm cho trước (tâm của đường tròn).

Điều rất quan trọng là phải phân biệt nó với một vòng tròn. Bạn cần nhớ rằng hình tròn là một đường khép kín và hình tròn là một phần của mặt phẳng bị giới hạn bởi nó. Một đa giác hoặc một góc có thể được ghi trong một vòng tròn.

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn và có các cạnh cắt đường tròn tại hai điểm. Cung mà một góc giới hạn bởi giao điểm của nó được gọi là cung chứa góc cho trước.

Hãy xem ví dụ số 1.

Trong hình, góc AOB là tâm vì đỉnh của góc và tâm của đường tròn là một điểm O. Nó nằm trên cung AB không chứa điểm C.

Góc nội tiếp khác góc ở tâm như thế nào?

Tuy nhiên, ngoài góc ở tâm còn có góc nội tiếp. Sự khác biệt của họ là gì? Cũng giống như góc ở tâm, góc nội tiếp trong đường tròn nằm trên một cung nhất định. Nhưng đỉnh của nó không trùng với tâm đường tròn mà nằm trên đó.

Hãy lấy ví dụ sau.

Góc ACB được gọi là góc nội tiếp trong đường tròn có tâm tại điểm O. Điểm C thuộc đường tròn tức là nằm trên đường tròn đó. Góc nằm trên cung AB.

Để giải thành công các bài toán hình học, việc phân biệt được góc nội tiếp và góc ở tâm là chưa đủ. Theo quy định, để giải chúng, bạn cần biết chính xác cách tìm góc ở tâm trong đường tròn và có thể tính giá trị của nó theo độ.

Vì vậy, góc ở tâm bằng số đo của cung mà nó tựa vào.

Trong hình, góc AOB nằm trên cung AB bằng 66°. Điều này có nghĩa là góc AOB cũng bằng 66°.

Do đó, các góc ở tâm chắn bởi các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Trong hình vẽ, cung DC bằng cung AB. Điều này có nghĩa là góc AOB bằng góc DOC.

Có vẻ như góc nội tiếp trong đường tròn bằng góc ở tâm, được đỡ bởi cùng một cung. Tuy nhiên, đây là một sai lầm nghiêm trọng. Trên thực tế, chỉ cần nhìn vào hình vẽ và so sánh các góc này với nhau, bạn cũng có thể thấy số đo độ của chúng sẽ có giá trị khác nhau. Vậy góc nội tiếp trong một vòng tròn là gì?

Số đo của một góc nội tiếp bằng nửa cung chứa nó hoặc bằng nửa góc ở tâm nếu chúng cùng nằm trên một cung.

Hãy xem một ví dụ. Góc ASV nằm trên một cung bằng 66°.

Điều này có nghĩa là góc ACB = 66°: 2 = 33°

Hãy xem xét một số hệ quả từ định lý này.

Các góc nội tiếp nếu chúng nằm trên cùng một cung, dây cung hoặc cung bằng nhau thì bằng nhau.
Nếu các góc nội tiếp nằm trên một dây cung nhưng các đỉnh của chúng nằm đối diện nhau thì tổng số đo độ của các góc đó là 180°, vì trong trường hợp này cả hai góc đều nằm trên các cung có tổng số đo bằng 360° ( toàn bộ hình tròn), 360°: 2 = 180°
Nếu một góc nội tiếp dựa trên đường kính của một đường tròn cho trước thì số đo độ của nó là 90°, vì đường kính chắn một cung bằng 180°, 180°: 2 = 90°
Nếu góc ở tâm và góc nội tiếp trong một đường tròn nằm trên cùng một cung hoặc dây cung thì góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm.

Các vấn đề về chủ đề này có thể được tìm thấy ở đâu? Các loại và giải pháp của họ

Vì đường tròn và các tính chất của nó là một trong những phần quan trọng nhất của hình học, đặc biệt là phép đo mặt phẳng, nên các góc nội tiếp và góc ở tâm trong đường tròn là một chủ đề được nghiên cứu rộng rãi và chi tiết trong khóa học ở trường. Các vấn đề liên quan đến thuộc tính của chúng được tìm thấy trong bài kiểm tra trạng thái chính (OGE) và bài kiểm tra trạng thái thống nhất (USE). Theo quy định, để giải những bài toán này bạn cần tìm các góc trên đường tròn theo độ.

Các góc dựa trên một cung

Loại vấn đề này có lẽ là một trong những vấn đề dễ nhất, vì để giải nó, bạn chỉ cần biết hai tính chất đơn giản: nếu cả hai góc nội tiếp và dựa trên cùng một dây cung thì chúng bằng nhau, nếu một trong hai góc đó là tâm thì góc tương ứng sẽ bằng nhau. góc nội tiếp bằng một nửa góc đó. Tuy nhiên, khi giải chúng, bạn cần phải cực kỳ cẩn thận: đôi khi rất khó để nhận ra tính chất này và học sinh sẽ đi vào ngõ cụt khi giải những bài toán đơn giản như vậy. Hãy xem một ví dụ.

Nhiệm vụ số 1

Cho đường tròn tâm tại điểm O. Góc AOB bằng 54°. Tìm số đo của góc ASV.

Nhiệm vụ này được giải quyết trong một hành động. Điều duy nhất bạn cần tìm ra câu trả lời một cách nhanh chóng là nhận thấy rằng cung mà cả hai góc nằm trên đó là cung chung. Sau khi thấy điều này, bạn có thể áp dụng một thuộc tính đã quen thuộc. Góc ACB bằng nửa góc AOB. Có nghĩa,

1) AOB = 54°: 2 = 27°.

Trả lời: 54°.

Các góc chắn bởi các cung khác nhau của cùng một đường tròn

Đôi khi các điều kiện của bài toán không nêu trực tiếp kích thước của cung mà trên đó có góc mong muốn. Để tính toán nó, bạn cần phân tích độ lớn của các góc này và so sánh chúng với các tính chất đã biết của đường tròn.

Vấn đề 2

Trong đường tròn tâm tại điểm O, góc AOC là 120° và góc AOB là 30°. Tìm góc độ của BẠN.

Để bắt đầu, cần phải nói rằng có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác cân, nhưng điều này sẽ đòi hỏi nhiều phép toán hơn. Do đó, ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một phân tích về lời giải bằng cách sử dụng các tính chất của góc ở tâm và góc nội tiếp trong một vòng tròn.

Vậy góc AOS nằm trên cung AC và nằm ở tâm nên cung AC bằng góc AOS.

Tương tự, góc AOB nằm trên cung AB.

Biết điều này và số đo độ của toàn bộ đường tròn (360°), bạn có thể dễ dàng tìm được độ lớn của cung BC.

BC = 360° - AC - AB

BC = 360° - 120° - 30° = 210°

Đỉnh của góc CAB là điểm A nằm trên đường tròn. Điều này có nghĩa là góc CAB là góc nội tiếp và bằng nửa cung NE.

Góc CAB = 210°: 2 = 110°

Đáp án: 110°

Các bài toán dựa trên mối quan hệ của các cung

Một số bài toán hoàn toàn không chứa dữ liệu về giá trị góc nên chúng chỉ cần được tìm kiếm dựa trên các định lý và tính chất đã biết của đường tròn.

Vấn đề 1

Tìm góc nội tiếp trong đường tròn chứa dây cung bằng bán kính của đường tròn đã cho.

Nếu bạn nhẩm vẽ các đường nối các đầu của đoạn thẳng với tâm của hình tròn, bạn sẽ có được một hình tam giác. Khi xem xét nó, bạn có thể thấy rằng những đường này là bán kính của hình tròn, có nghĩa là tất cả các cạnh của tam giác đều bằng nhau. Biết rằng mọi góc của một tam giác đều đều bằng 60°. Điều này có nghĩa là cung AB chứa đỉnh của tam giác bằng 60°. Từ đây chúng ta tìm được cung AB chứa góc mong muốn.

AB = 360° - 60° = 300°

Góc ABC = 300°: 2 = 150°

Đáp án: 150°

Vấn đề 2

Trong một đường tròn có tâm tại điểm O, các cung có tỉ lệ 3:7. Tìm góc nội tiếp nhỏ nhất.

Để giải, hãy chỉ định một phần là X, sau đó một phần tương ứng bằng 3X và phần thứ hai tương ứng là 7X. Biết số đo độ của một hình tròn là 360°, hãy lập một phương trình.

3X + 7X = 360°

Theo điều kiện, bạn cần tìm một góc nhỏ hơn. Rõ ràng, nếu độ lớn của góc tỷ lệ thuận với cung mà nó nằm trên đó thì góc mong muốn (nhỏ hơn) tương ứng với một cung bằng 3X.

Điều này có nghĩa là góc nhỏ hơn là (36° * 3): 2 = 108°: 2 = 54°

Đáp án: 54°

Trong một đường tròn có tâm tại điểm O, góc AOB là 60° và độ dài cung nhỏ là 50. Tính độ dài cung lớn.

Để tính độ dài của một cung lớn hơn, bạn cần tạo một tỷ lệ - cung nhỏ hơn liên quan như thế nào đến cung lớn hơn. Để làm điều này, chúng tôi tính toán độ lớn của cả hai cung theo độ. Cung nhỏ hơn bằng góc nằm trên nó. Số đo độ của nó sẽ là 60°. Cung chính bằng hiệu giữa số đo độ của đường tròn (nó bằng 360° bất kể dữ liệu khác) và cung nhỏ.

Cung chính là 360° - 60° = 300°.

Vì 300°: 60° = 5 nên cung lớn gấp 5 lần cung nhỏ.

Cung lớn = 50 * 5 = 250

Vì vậy, tất nhiên, có những cách tiếp cận khác để giải các bài toán tương tự, nhưng tất cả chúng đều dựa trên các tính chất của các góc, hình tam giác và hình tròn ở tâm và nội tiếp. Để giải thành công, bạn cần nghiên cứu kỹ bản vẽ và so sánh với dữ liệu của bài toán, đồng thời có thể áp dụng kiến thức lý thuyết vào thực tế.

Khái niệm góc nội tiếp và góc ở tâm

Trước tiên chúng ta hãy giới thiệu khái niệm góc ở tâm.

Lưu ý 1

Lưu ý rằng số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung mà nó tựa vào.

Bây giờ chúng ta giới thiệu khái niệm góc nội tiếp.

Định nghĩa 2

Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và các cạnh cắt cùng một đường tròn được gọi là góc nội tiếp (Hình 2).

Hình 2. Góc nội tiếp

Định lý góc nội tiếp

Định lý 1

Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung mà nó tựa vào.

Bằng chứng.

Cho chúng ta một đường tròn có tâm tại điểm $O$. Hãy ký hiệu góc nội tiếp $ACB$ (Hình 2). Có thể xảy ra ba trường hợp sau:

Tia $CO$ trùng với mọi cạnh của góc. Gọi đây là phía $CB$ (Hình 3).

Hình 3.

Trong trường hợp này, cung $AB$ nhỏ hơn $(180)^(()^\circ )$, do đó góc ở tâm $AOB$ bằng cung $AB$. Vì $AO=OC=r$ nên tam giác $AOC$ là tam giác cân. Điều này có nghĩa là các góc đáy $CAO$ và $ACO$ bằng nhau. Theo định lý về góc ngoài của tam giác, ta có:

Tia $CO$ chia góc trong thành hai góc. Để nó cắt đường tròn tại điểm $D$ (Hình 4).

Hình 4.

chúng tôi nhận được

Tia $CO$ không chia góc trong thành hai góc và không trùng với bất kỳ cạnh nào của nó (Hình 5).

Hình 5.

Chúng ta hãy xem xét các góc $ACD$ và $DCB$ một cách riêng biệt. Theo chứng minh ở điểm 1, ta thu được

chúng tôi nhận được

Định lý đã được chứng minh.

Hãy cho đi hậu quả từ định lý này.

Hệ quả 1: Các góc nội tiếp nằm trên cùng một cung thì bằng nhau.

Hệ quả 2: Góc nội tiếp chắn đường kính là góc vuông.

Đây là góc tạo bởi hai hợp âm, xuất phát tại một điểm trên đường tròn. Một góc nội tiếp được gọi là nghỉ ngơi trên vòng cung bao quanh giữa các cạnh của nó.

Góc ghi bằng nửa cung mà nó tựa vào.

Nói cách khác, góc ghi bao gồm nhiều độ góc, phút và giây như độ cung, phút và giây được chứa trong nửa cung mà nó nằm trên đó. Để chứng minh điều này, chúng ta hãy phân tích ba trường hợp:

Trường hợp đầu tiên:

Trung tâm O nằm ở bên cạnh góc ghi ABC. Vẽ bán kính AO, ta được ΔABO, trong đó OA = OB (dưới dạng bán kính) và theo đó, ∠ABO = ∠BAO. Liên quan đến điều này tam giác, góc AOC - bên ngoài. Và điều đó có nghĩa là nó bằng tổng các góc ABO và BAO, hoặc bằng hai góc ABO. Vậy ∠ABO bằng một nửa góc ở tâm AOC. Nhưng góc này được đo bằng cung AC. Nghĩa là góc nội tiếp ABC được đo bằng nửa cung AC.

Trường hợp thứ hai:

Tâm O nằm giữa hai bên góc ghi ABC Sau khi vẽ đường kính BD, ta chia góc ABC thành hai góc, trong trường hợp đầu tiên, một góc được đo bằng một nửa. vòng cung AD và nửa còn lại của cung CD. Và theo đó, góc ABC được đo (AD+DC) /2, tức là 1/2 AC.

Trường hợp thứ ba:

Trung tâm O nằm ở bên ngoài góc ghi ABC. Vẽ đường kính BD, ta sẽ có:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Nhưng các góc ABD và CBD được đo dựa trên nửa đã căn chỉnh trước đó vòng cung AD và CD. Và vì ∠ABC được đo bằng (AD-CD)/2, tức là bằng một nửa cung AC.

Hệ quả 1. Bất kỳ cái nào dựa trên cùng một cung đều giống nhau, nghĩa là bằng nhau. Vì mỗi trong số chúng được đo bằng một nửa giống nhau vòng cung .

Hệ quả 2. Góc ghi, dựa trên đường kính - góc vuông. Vì mỗi góc như vậy được đo bằng nửa hình bán nguyệt và do đó chứa 90°.

Đầu tiên, hãy hiểu sự khác biệt giữa hình tròn và hình tròn. Để thấy sự khác biệt này, chỉ cần xem xét cả hai con số là gì là đủ. Đây là vô số điểm trên mặt phẳng, nằm cách một điểm trung tâm một khoảng bằng nhau. Tuy nhiên, nếu hình tròn cũng bao gồm không gian bên trong thì nó không thuộc về hình tròn. Hóa ra một đường tròn vừa là một đường tròn giới hạn nó (vòng tròn(r)), vừa là vô số điểm nằm bên trong đường tròn.

Đối với bất kỳ điểm L nào nằm trên đường tròn, đẳng thức OL=R được áp dụng. (Độ dài đoạn OL bằng bán kính hình tròn).

Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn là đoạn thẳng dây nhau.

Dây cung đi thẳng qua tâm của đường tròn là đường kính vòng tròn này (D). Đường kính có thể được tính bằng công thức: D=2R

Đường trònđược tính theo công thức: C=2\pi R

Diện tích hình tròn: S=\pi R^(2)

Cung của một vòng trònđược gọi là phần nằm giữa hai điểm của nó. Hai điểm này xác định hai cung của một đường tròn. CD hợp âm bao gồm hai cung: CMD và CLD. Các hợp âm giống hệt nhau có các cung bằng nhau.

Góc trung tâm Góc nằm giữa hai bán kính được gọi là.

Chiều dài cung có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức:

Dùng thước đo độ: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
Sử dụng thước đo radian: CD = \alpha R

Đường kính vuông góc với dây cung chia dây cung và các cung bị nó co lại làm đôi.

Nếu các dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại điểm N thì tích các đoạn dây cung cách nhau bởi điểm N thì bằng nhau.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tiếp tuyến với đường tròn

Tiếp tuyến với đường tròn Người ta thường gọi đường thẳng có một điểm chung với đường tròn.

Nếu một đường thẳng có hai điểm chung thì nó được gọi là cát tuyến.

Nếu vẽ bán kính tới điểm tiếp tuyến thì nó sẽ vuông góc với tiếp tuyến của đường tròn.

Hãy vẽ hai tiếp tuyến từ điểm này tới đường tròn của chúng ta. Hóa ra các đoạn tiếp tuyến sẽ bằng nhau và tâm của đường tròn sẽ nằm trên phân giác của góc có đỉnh tại điểm này.

AC = CB

Bây giờ hãy vẽ một tiếp tuyến và một cát tuyến của đường tròn từ điểm của chúng ta. Chúng ta thu được rằng bình phương độ dài của đoạn tiếp tuyến sẽ bằng tích của toàn bộ đoạn thẳng và phần bên ngoài của nó.

AC^(2) = CD \cdot BC

Chúng ta có thể kết luận: tích của toàn bộ phân đoạn của cát tuyến thứ nhất và phần bên ngoài của nó bằng tích của toàn bộ phân đoạn của cát tuyến thứ hai và phần bên ngoài của nó.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Các góc trong một vòng tròn

Số đo của góc ở tâm và cung mà nó tựa vào bằng nhau.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Góc ghi là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và các cạnh chứa dây cung.

Bạn có thể tính toán nó bằng cách biết kích thước của cung, vì nó bằng một nửa cung này.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Dựa vào đường kính, góc nội tiếp, góc vuông.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Các góc nội tiếp chắn cùng một cung thì giống nhau.

Các góc nội tiếp nằm trên một dây cung bằng nhau hoặc tổng của chúng bằng 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Trên cùng một đường tròn là các đỉnh của các tam giác có các góc bằng nhau và một đáy cho trước.

Một góc có đỉnh bên trong đường tròn và nằm giữa hai dây cung bằng một nửa tổng các giá trị góc của các cung của đường tròn nằm trong các góc đã cho và góc đứng.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Một góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và nằm giữa hai cát tuyến bằng một nửa hiệu giá trị góc của các cung của đường tròn nằm bên trong góc.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

vòng tròn ghi

vòng tròn ghi là đường tròn tiếp xúc với các cạnh của đa giác.

Tại điểm mà các đường phân giác của các góc của đa giác giao nhau thì nó nằm ở tâm.

Một vòng tròn có thể không được ghi trong mọi đa giác.

Diện tích của đa giác có đường tròn nội tiếp được tìm theo công thức:

S = pr,

p là bán chu vi của đa giác,

r là bán kính của đường tròn nội tiếp.

Suy ra bán kính của đường tròn nội tiếp bằng:

r = \frac(S)(p)

Tổng độ dài các cạnh đối diện sẽ bằng nhau nếu đường tròn nội tiếp trong một tứ giác lồi. Và ngược lại: một hình tròn được coi là tứ giác lồi nếu tổng độ dài các cạnh đối diện bằng nhau.

AB + DC = AD + BC

Có thể ghi một vòng tròn trong bất kỳ hình tam giác nào. Chỉ có một chiếc duy nhất. Tại điểm mà các đường phân giác của các góc trong của hình cắt nhau thì tâm của đường tròn nội tiếp này sẽ nằm.

Bán kính của đường tròn nội tiếp được tính theo công thức:

r = \frac(S)(p) ,

trong đó p = \frac(a + b + c)(2)

Vòng tròn

Nếu một đường tròn đi qua mỗi đỉnh của đa giác thì đường tròn đó thường được gọi là mô tả về một đa giác.

Tại điểm giao nhau của các đường trung trực của các cạnh của hình này sẽ là tâm của đường tròn ngoại tiếp.

Bán kính có thể được tìm thấy bằng cách tính nó là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác được xác định bởi 3 đỉnh bất kỳ của đa giác.

Có điều kiện sau: một hình tròn chỉ có thể được mô tả xung quanh một tứ giác nếu tổng các góc đối diện của nó bằng 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Xung quanh bất kỳ hình tam giác nào, bạn có thể mô tả một hình tròn và chỉ một hình tròn. Tâm của một đường tròn như vậy sẽ nằm ở điểm giao nhau của các đường trung trực của các cạnh của tam giác.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp có thể được tính bằng công thức:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác,

S là diện tích của tam giác.

Định lý Ptolemy

Cuối cùng, hãy xem xét định lý Ptolemy.

Định lý Ptolemy phát biểu rằng tích các đường chéo bằng tổng các tích các cạnh đối diện của một tứ giác nội tiếp.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD