Sin là một trong những hàm lượng giác cơ bản, việc sử dụng nó không chỉ giới hạn ở hình học. Các bảng tính các hàm lượng giác, như máy tính kỹ thuật, không phải lúc nào cũng có sẵn và việc tính sin đôi khi cần thiết để giải nhiệm vụ khác nhau. Nhìn chung, việc tính sin sẽ giúp củng cố kỹ năng vẽ và kiến ​​thức về nhận thức lượng giác.

Trò chơi với thước kẻ và bút chì

Một nhiệm vụ đơn giản: làm thế nào để tìm sin của một góc vẽ trên giấy? Để giải, bạn sẽ cần thước thông thường, hình tam giác (hoặc la bàn) và bút chì. Cách đơn giản nhất để tính sin của một góc là chia cạnh xa của một tam giác có góc vuông cho cạnh dài - cạnh huyền. Vì vậy, trước tiên bạn cần hoàn thiện góc nhọn thành hình tam giác vuông bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc với một trong các tia ở một khoảng cách tùy ý tính từ đỉnh của góc. Chúng ta sẽ cần duy trì một góc chính xác là 90°, vì vậy chúng ta cần một hình tam giác nhọn.

Dùng la bàn thì chính xác hơn một chút nhưng sẽ mất nhiều thời gian hơn. Trên một trong các tia bạn cần đánh dấu 2 điểm ở một khoảng cách nhất định, điều chỉnh bán kính trên la bàn, xấp xỉ bằng khoảng cách giữa các điểm và vẽ các hình bán nguyệt có tâm tại các điểm này cho đến khi thu được giao điểm của các đường này. Bằng cách nối các điểm giao nhau của các đường tròn của chúng ta với nhau, chúng ta có được một đường vuông góc nghiêm ngặt với tia của góc của chúng ta, tất cả những gì còn lại là kéo dài đường thẳng cho đến khi nó giao nhau với một tia khác.

Trong tam giác thu được, bạn cần dùng thước để đo cạnh đối diện với góc và cạnh dài trên một trong các tia. Tỷ lệ của chiều thứ nhất với chiều thứ hai sẽ là giá trị mong muốn của sin góc nhọn.

Tìm sin cho một góc lớn hơn 90°

Vì góc tù nhiệm vụ không khó khăn hơn nhiều. Bạn cần vẽ một tia từ đỉnh tới phía đối diện dùng thước kẻ vẽ một đường thẳng chứa một trong các tia của góc mà ta quan tâm. Góc nhọn thu được phải được xử lý như mô tả ở trên, các sin các góc liền kề, tạo thành một góc ngược 180°, bằng nhau.

Tính sin bằng các hàm lượng giác khác

Ngoài ra, có thể tính sin nếu biết giá trị của các hàm lượng giác khác của góc hoặc ít nhất là độ dài các cạnh của tam giác. Đồng nhất thức lượng giác sẽ giúp chúng ta điều này. Hãy xem xét các ví dụ phổ biến.

Làm thế nào để tìm sin với cosin của một góc đã biết? Đồng nhất thức lượng giác đầu tiên, dựa trên định lý Pythagore, phát biểu rằng tổng bình phương của sin và cosin của cùng một góc bằng một.

Làm thế nào để tìm sin khi biết tiếp tuyến của một góc? Tiếp tuyến có được bằng cách chia cạnh xa cho cạnh gần hoặc chia sin cho cosin. Như vậy, sin sẽ là tích của cosin và tiếp tuyến, và bình phương của sin sẽ là bình phương của tích này. Chúng ta thay thế cosin bình phương bằng hiệu giữa 1 và sin vuông theo công thức đầu tiên nhận dạng lượng giác và thông qua các thao tác đơn giản chúng ta quy giản phương trình về phép tính sin bình phương qua tang;

Làm thế nào để tìm sin với cotang đã biết của một góc? Giá trị của cotang có thể được tính bằng cách chia chiều dài của cạnh gần góc nhất cho chiều dài của cạnh ở xa và cũng bằng cách chia cosin cho sin, nghĩa là cotang là một hàm, nghịch đảo của tiếp tuyến so với số 1. Để tính sin, bạn có thể tính tiếp tuyến bằng công thức tg α = 1 / ctg α và sử dụng công thức trong tùy chọn thứ hai. Bạn cũng có thể rút ra một công thức trực tiếp bằng cách tương tự với tiếp tuyến, trông giống như như sau.

Cách tìm sin ba cạnh của một tam giác

Có một công thức để tìm độ dài cạnh chưa biết của bất kỳ tam giác nào, không chỉ hình chữ nhật, từ hai các bên đã biết bằng cách sử dụng hàm lượng giác của cosin của góc đối diện. Cô ấy trông như thế này.

Vâng, sin có thể được tính thêm từ cosin theo các công thức trên.

Bài học về chủ đề “Sine, cosin và tang của một góc nhọn trong tam giác vuông”

Mục tiêu bài học:

giáo dục - giới thiệu khái niệm về sin, cosin, tiếp tuyến của một góc nhọn trong tam giác vuông, khám phá sự phụ thuộc và mối quan hệ giữa các đại lượng này;

phát triển - hình thành khái niệm sin, cosin, tiếp tuyến là các hàm của một góc, miền định nghĩa của hàm lượng giác, phát triển tư duy logic, phát triển lời nói toán học chính xác;

giáo dục – phát triển kỹ năng làm việc độc lập, văn hóa ứng xử, tính chính xác trong việc lưu trữ hồ sơ.

Tiến độ bài học:

1. Thời điểm tổ chức

“Giáo dục không phải là số lượng bài học được học mà là số lượng hiểu được. Cho nên, nếu muốn tiến lên thì hãy nhanh chóng từ từ và cẩn thận."

2. Động cơ bài học.

Một nhà thông thái đã nói: " Biểu hiện tối thượng tinh thần là tâm trí. Biểu hiện cao nhất của lý trí là hình học. Ô hình học là một hình tam giác. Nó vô tận như Vũ trụ. Hình tròn là linh hồn của hình học. Biết hình tròn, bạn sẽ không chỉ biết được linh hồn của hình học mà còn nâng cao tâm hồn của mình.”

Chúng tôi sẽ cố gắng thực hiện một nghiên cứu nhỏ cùng với bạn. Hãy cùng chia sẻ những ý tưởng chợt nảy ra trong đầu và đừng ngại mắc sai lầm, bất kỳ suy nghĩ nào cũng có thể cho chúng ta một hướng tìm kiếm mới. Thành tích của chúng ta có thể không lớn lao đối với ai đó, nhưng đó sẽ là thành tựu của chính chúng ta!

3. Cập nhật kiến ​​thức cơ bản.

Có thể có những góc nào?

Hình tam giác là gì?

Các yếu tố chính xác định một hình tam giác là gì?

Có những loại hình tam giác nào tùy theo các cạnh?

Dựa vào các góc có những loại hình tam giác nào?

Một chân là gì?

Cạnh huyền là gì?

Các cạnh của một tam giác vuông được gọi là gì?

Bạn biết mối quan hệ nào giữa các cạnh và các góc của tam giác này?

Tại sao cần biết mối quan hệ giữa các cạnh và các góc?

Những nhiệm vụ nào trong cuộc sống có thể dẫn đến nhu cầu tính toán các bên không xác định trong một hình tam giác?

Thuật ngữ "cạnh huyền" xuất phát từ từ Hy Lạp"hypoinuse", có nghĩa là "kéo dài trên một cái gì đó", "co lại". Từ này bắt nguồn từ hình ảnh những cây đàn hạc của Hy Lạp cổ đại, trên đó các dây được căng ở hai đầu của hai giá đỡ vuông góc với nhau. Thuật ngữ "cathetus" xuất phát từ tiếng Hy Lạp "kathetos", có nghĩa là sự bắt đầu của một "đường thẳng", "vuông góc".

Euclid đã nói: “Đôi chân là những cạnh tạo thành một góc vuông”.

TRONG Hy Lạp cổ đại phương pháp xây dựng một tam giác vuông trên mặt đất đã được biết đến. Để làm điều này, họ sử dụng một sợi dây có 13 nút thắt, ở cùng khoảng cách với nhau. Trong quá trình xây dựng các kim tự tháp ở Ai Cập, các hình tam giác vuông đã được tạo ra theo cách này. Đây có lẽ là lý do tại sao tam giác vuông có các cạnh 3,4,5 được gọi là Tam giác Ai Cập.

4. Nghiên cứu tài liệu mới.

Vào thời xa xưa, con người quan sát các vì sao và dựa trên những quan sát này mà lập lịch, tính toán ngày gieo hạt, thời gian lũ sông; những con tàu trên biển và những đoàn lữ hành trên đất liền định hướng hành trình của họ bằng các vì sao. Tất cả điều này dẫn đến nhu cầu học cách tính các cạnh của một hình tam giác, hai trong số đó có các đỉnh nằm trên mặt đất và đỉnh thứ ba được biểu thị bằng một điểm trên bầu trời đầy sao. Dựa trên nhu cầu này, khoa học lượng giác đã ra đời - một ngành khoa học nghiên cứu mối liên hệ giữa các cạnh của một tam giác.

Bạn có nghĩ những mối quan hệ mà chúng ta đã biết có đủ để giải quyết những vấn đề như vậy không?

Mục đích của bài học hôm nay là khám phá các kết nối và sự phụ thuộc mới, rút ​​ra các mối quan hệ, bằng cách sử dụng những mối quan hệ đó trong các bài học hình học tiếp theo, bạn sẽ có thể giải được những bài toán như vậy.

Hãy cảm thấy như chúng ta đang nhập vai công nhân khoa học và noi theo những thiên tài thời cổ đại Thales, Euclid, Pythagoras chúng ta hãy đi trên con đường tìm kiếm sự thật.

Đối với điều này chúng ta cần cơ sở lý thuyết.

Đánh dấu góc A và chân BC bằng màu đỏ.

Điểm nổi bật màu xanh lá chân AC.

Hãy tính phần nào là cạnh đối diện của góc nhọn A với cạnh huyền của nó, để làm được điều này, chúng ta tạo ra tỷ số phía đối diệnđến cạnh huyền:

Mối quan hệ này có một cái tên đặc biệt - để mọi người ở mọi nơi trên hành tinh đều hiểu rằng chúng ta đang nói về về một số biểu thị tỉ số giữa cạnh đối diện của góc nhọn và cạnh huyền. Từ này là sin. Viết nó ra. Vì từ sin không có tên góc sẽ mất hết ý nghĩa nên ký hiệu toán học như sau:

Bây giờ hãy tạo mối quan hệ chân liền kềđến cạnh huyền của góc nhọn A:

Tỷ lệ này được gọi là cosin. Ký hiệu toán học của nó:

Hãy xem xét một tỷ lệ khác cho góc nhọn A: tỷ lệ của cạnh đối diện với cạnh kề:

Tỷ lệ này được gọi là tiếp tuyến. Ký hiệu toán học của nó:

5. Hợp nhất vật liệu mới.

Hãy củng cố những khám phá trung gian của chúng tôi.

Sin là...

Cosin là...

Tiếp tuyến là...

tội lỗi A =	tội lỗi VỀ =	tội lỗi A 1 =
cos A =	vì VỀ =	vì A 1 =
tan A =	tg VỀ =	tân A 1 =

Giải miệng câu số 88, 889, 892 (làm việc theo cặp).

Vận dụng kiến ​​thức đã học để giải vấn đề thực tế:

“Từ tháp hải đăng cao 70 m, có thể nhìn thấy một con tàu ở góc 3° so với đường chân trời. Nó như thế nào

khoảng cách từ ngọn hải đăng đến tàu?

Vấn đề được giải quyết trực tiếp. Trong quá trình thảo luận, chúng tôi vẽ hình và ghi chú những điều cần thiết lên bảng và vào vở.

Khi giải bài toán người ta sử dụng bảng Bradis.

Xét lời giải của bài toán tr.175.

Giải số 902(1).

6. Tập thể dục cho mắt.

Không quay đầu lại, nhìn xung quanh bức tường lớp học xung quanh chu vi theo chiều kim đồng hồ, bảng phấn quanh chu vi ngược chiều kim đồng hồ, hình tam giác được vẽ trên giá theo chiều kim đồng hồ và hình tam giác bằng ngược chiều kim đồng hồ. Quay đầu sang trái và nhìn vào đường chân trời, và bây giờ là chóp mũi của bạn. Nhắm mắt lại, đếm đến 5, mở mắt ra và...

Chúng ta sẽ đưa lòng bàn tay lên mắt,
Hãy dang rộng đôi chân mạnh mẽ của chúng ta.
Quay sang phải
Chúng ta hãy nhìn xung quanh một cách hoành tráng.
Và bạn cũng cần phải đi sang trái
Nhìn từ dưới lòng bàn tay của bạn.
Và - ở bên phải! Và một điều nữa
Qua vai trái của bạn!
Bây giờ chúng ta hãy tiếp tục làm việc.

7. Làm việc độc lập sinh viên.

Giải quyết không.

8. Tóm tắt bài học. Sự phản xạ. D/z.

Bạn đã học được những điều mới nào? Trong lớp:

bạn đã cân nhắc chưa...

bạn đã phân tích...

bạn đã nhận được...

bạn đã kết luận...

bạn đã bổ sung từ vựng các điều khoản sau đây...

Khoa học thế giới bắt đầu bằng hình học. Một người không thể thực sự phát triển về mặt văn hóa và tinh thần nếu không học hình học ở trường. Hình học không chỉ nảy sinh từ thực tiễn mà còn xuất phát từ nhu cầu tinh thần của con người.

Đây là cách cô giải thích một cách đầy chất thơ về tình yêu của mình với hình học

Tôi yêu hình học...

Tôi dạy hình học vì tôi yêu thích nó

Chúng ta cần hình học, không có nó chúng ta không thể đi đến đâu.

Sin, cosin, chu vi - mọi thứ đều quan trọng ở đây,

Mọi thứ đều cần thiết ở đây

Bạn chỉ cần học và hiểu mọi thứ thật rõ ràng,

Hoàn thành bài tập và bài kiểm tra đúng thời hạn.

Sin và cosin ban đầu nảy sinh từ nhu cầu tính các đại lượng trong tam giác vuông. Người ta nhận thấy rằng nếu số đo độ của các góc trong một tam giác vuông không thay đổi thì tỷ lệ khung hình, cho dù các cạnh này có thay đổi chiều dài bao nhiêu đi nữa, vẫn luôn giữ nguyên.

Đây là cách các khái niệm về sin và cos được giới thiệu. Sin của một góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền, và cosin là tỉ số của cạnh kề với cạnh huyền.

Định lý cosin và sin

Nhưng cos và sin có thể được sử dụng cho nhiều mục đích hơn là chỉ cho tam giác vuông. Để tìm giá trị của một góc hoặc cạnh tù hoặc nhọn của bất kỳ tam giác nào, chỉ cần áp dụng định lý cosin và sin là đủ.

Định lý cosin khá đơn giản: “Bình phương cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh này với cosin của góc giữa chúng.”

Có hai cách giải thích định lý sin: nhỏ và mở rộng. Theo nhỏ: “Trong một tam giác, các góc tỉ lệ các bên đối lập». Định lý này thường được mở rộng do tính chất của đường tròn ngoại tiếp một tam giác: “Trong một tam giác, các góc tỉ lệ với các cạnh đối diện và tỉ số của chúng bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp”.

Công cụ phái sinh

Đạo hàm là một công cụ toán học cho thấy một hàm thay đổi nhanh như thế nào so với sự thay đổi trong đối số của nó. Đạo hàm được sử dụng trong hình học và trong một số ngành kỹ thuật.

Khi giải bài toán, bạn cần biết giá trị bảng của đạo hàm của các hàm lượng giác: sin và cosin. Đạo hàm của sin là cos, và cosin là sin, nhưng có dấu trừ.

Ứng dụng trong toán học

Sin và cosin đặc biệt thường được sử dụng để giải các tam giác vuông và các bài toán liên quan đến chúng.

Sự tiện lợi của sin và cosin cũng được thể hiện ở công nghệ. Thật dễ dàng để đánh giá các góc và cạnh bằng cách sử dụng các định lý về cosin và sin, phá vỡ số liệu phức tạp và các vật thể thành các hình tam giác “đơn giản”. Các kỹ sư thường xử lý các tính toán tỷ lệ khung hình và thước đo mức độ, đã dành rất nhiều thời gian và công sức để tính cosin và sin của các góc không dạng bảng.

Sau đó, các bảng Bradis đã ra tay giải cứu, chứa hàng ngàn giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang góc độ khác nhau. TRONG thời Xô viết một số giáo viên buộc học sinh của họ phải ghi nhớ các trang trong bảng Bradis.

radian - độ lớn góc cung, chiều dài bằng bán kính hoặc 57,295779513° độ.

Độ (trong hình học) - phần 1/360 của hình tròn hoặc phần 1/90 góc vuông.

π = 3,141592653589793238462… ( giá trị gần đúng số Pi).

Bảng cosine cho các góc: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Góc x (tính bằng độ)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Góc x (tính bằng radian)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3 x π/4	5 x π/6	π	7 x π/6	5 x π/4	4 x π/3	3 x π/2	5 x π/3	7 x π/4	11 x π/6	2 x π
vì x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

Trình độ trung cấp

Tam giác vuông. Hướng dẫn minh họa đầy đủ (2019)

TAM GIÁC CHỮ NHẬT. CẤP ĐẦU VÀO.

Trong các bài toán, góc vuông hoàn toàn không cần thiết - góc dưới bên trái, vì vậy bạn cần học cách nhận biết tam giác vuông ở dạng này,

và trong này

và trong này

Điều gì tốt về một tam giác vuông? À... trước hết, có những điều đặc biệt tên đẹp cho phe của mình.

Chú ý đến bản vẽ!

Hãy nhớ và đừng nhầm lẫn: có hai chân và chỉ có một cạnh huyền(một và duy nhất, duy nhất và dài nhất)!

Chà, chúng ta đã thảo luận về những cái tên, bây giờ là điều quan trọng nhất: Định lý Pythagore.

Định lý Pythagore.

Định lý này là chìa khóa để giải nhiều bài toán liên quan đến tam giác vuông. Pythagoras đã chứng minh điều đó một cách hoàn toàn thời xa xưa, và kể từ đó cô ấy đã mang lại rất nhiều lợi ích cho những người biết đến cô ấy. Và điều tốt nhất về nó là nó rất đơn giản.

Vì thế, Định lý Pythagore:

Bạn có nhớ câu nói đùa: “Quần Pythagore các bên đều bình đẳng!” không?

Hãy vẽ những chiếc quần Pythagore tương tự này và quan sát chúng.

Trông nó không giống một loại quần short nào đó sao? Chà, ở bên nào và chúng bằng nhau ở đâu? Tại sao và trò đùa đến từ đâu? Và trò đùa này có liên quan chính xác đến định lý Pythagore, hay chính xác hơn là với cách chính Pythagoras xây dựng định lý của mình. Và anh ấy đã xây dựng nó như thế này:

"Tổng diện tích hình vuông, được xây dựng trên chân, bằng diện tích hình vuông, được xây dựng trên cạnh huyền."

Nó thực sự nghe có vẻ hơi khác một chút? Và vì vậy, khi Pythagoras vẽ ra phát biểu về định lý của mình, đây chính xác là bức tranh hiện ra.

Trong hình này, tổng diện tích của các hình vuông nhỏ bằng diện tích của hình vuông lớn. Và để trẻ có thể nhớ rõ hơn rằng tổng bình phương của hai chân bằng bình phương cạnh huyền, một người nào đó đã hóm hỉnh nghĩ ra trò đùa về chiếc quần Pythagore này.

Tại sao bây giờ chúng ta đang xây dựng định lý Pythagore?

Pythagoras có đau khổ và nói về hình vuông không?

Bạn thấy đấy, thời cổ đại không có... đại số! Không có dấu hiệu nào và vân vân. Không có chữ khắc. Bạn có thể tưởng tượng được việc những học sinh cổ đại tội nghiệp có thể ghi nhớ mọi thứ bằng lời sẽ khủng khiếp đến thế nào không??! Và chúng ta có thể vui mừng vì đã có được một công thức đơn giản của định lý Pythagore. Hãy lặp lại lần nữa để ghi nhớ tốt hơn:

Bây giờ nó sẽ dễ dàng:

Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai chân.

Vâng, định lý quan trọng nhất về tam giác vuông đã được thảo luận. Nếu bạn quan tâm đến cách nó được chứng minh, hãy đọc các cấp độ lý thuyết sau đây và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang... rừng tối... lượng giác! Với những từ khủng khiếp sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông.

Trên thực tế, mọi thứ không quá đáng sợ chút nào. Tất nhiên, định nghĩa “thực tế” của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang nên được xem xét trong bài viết. Nhưng tôi thực sự không muốn, phải không? Chúng ta có thể vui mừng: để giải các bài toán về tam giác vuông, bạn chỉ cần điền vào những điều đơn giản sau:

Tại sao mọi thứ chỉ ở góc? Góc ở đâu? Để hiểu điều này, bạn cần biết các câu 1 - 4 được viết bằng chữ như thế nào. Hãy nhìn, hiểu và ghi nhớ!

1.
Trên thực tế nó có vẻ như thế này:

Còn góc thì sao? Có một chân đối diện với góc, tức là một chân đối diện (đối với một góc) không? Tất nhiên là có! Đây là một cái chân!

Còn góc thì sao? Hãy nhìn cẩn thận. Chân nào tiếp giáp với góc? Tất nhiên là chân. Điều này có nghĩa là đối với góc thì chân liền kề và

Bây giờ, hãy chú ý! Hãy xem chúng ta có gì:

Hãy xem nó tuyệt vời thế nào:

Bây giờ chúng ta chuyển sang tiếp tuyến và cotang.

Làm sao tôi có thể viết điều này ra bằng lời bây giờ? Chân liên quan đến góc như thế nào? Tất nhiên là đối diện - nó “nằm” đối diện với góc. Còn chân thì sao? Liền kề góc. Vậy chúng ta có gì?

Hãy xem tử số và mẫu số đã đổi chỗ cho nhau như thế nào?

Và bây giờ các góc lại và thực hiện một cuộc trao đổi:

Bản tóm tắt

Hãy viết ngắn gọn tất cả những gì chúng ta đã học được.

Định lý Pythagore:

Định lý chính về tam giác vuông là định lý Pythagore.

định lý Pythagore

Nhân tiện, bạn có nhớ rõ chân và cạnh huyền là gì không? Nếu chưa hay thì xem hình - ôn lại kiến ​​thức

Rất có thể bạn đã sử dụng định lý Pythagore nhiều lần, nhưng bạn có bao giờ tự hỏi tại sao định lý đó lại đúng không? Làm thế nào tôi có thể chứng minh điều đó? Hãy làm như người Hy Lạp cổ đại. Hãy vẽ một hình vuông có một cạnh.

Hãy xem chúng tôi đã khéo léo chia các cạnh của nó thành các đoạn có độ dài như thế nào và!

Bây giờ hãy kết nối các dấu chấm được đánh dấu

Tuy nhiên, ở đây chúng tôi đã lưu ý một điều khác, nhưng chính bạn hãy nhìn vào bức vẽ và nghĩ tại sao lại như vậy.

Diện tích bằng bao nhiêu? hình vuông lớn hơn? Phải, . Diện tích nhỏ hơn thì sao? Chắc chắn, . Tổng diện tích của bốn góc vẫn còn. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lấy hai cái cùng một lúc và tựa chúng vào nhau bằng cạnh huyền. Chuyện gì đã xảy ra thế? Hai hình chữ nhật. Điều này có nghĩa là diện tích của các “vết cắt” bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy đặt tất cả lại với nhau.

Hãy chuyển đổi:

Vì vậy, chúng tôi đã đến thăm Pythagoras - chúng tôi đã chứng minh định lý của ông ấy theo cách cổ xưa.

Tam giác vuông và lượng giác

Đối với một tam giác vuông, các mối quan hệ sau giữ:

Sin của một góc nhọn bằng tỷ lệ phía đối diện với cạnh huyền

Cosin của một góc nhọn bằng tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền.

Tiếp tuyến của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.

Cotang của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện.

Và một lần nữa tất cả điều này ở dạng máy tính bảng:

Nó rất thuận tiện!

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông

I. Ở hai bên

II. Bằng chân và cạnh huyền

III. Bằng cạnh huyền và góc nhọn

IV. Dọc theo chân và góc nhọn

Một)

b)

Chú ý! Điều rất quan trọng ở đây là đôi chân phải “phù hợp”. Ví dụ: nếu nó diễn ra như thế này:

THÌ TAM GIÁC KHÔNG BẰNG, mặc dù thực tế là chúng có một góc nhọn giống hệt nhau.

Điều cần thiết là trong cả hai hình tam giác, chân liền kề hoặc trong cả hai hình tam giác thì chân đối diện.

Bạn có nhận thấy dấu bằng của các tam giác vuông khác với dấu bằng của các tam giác vuông thông thường như thế nào không? Nhìn vào chủ đề “và chú ý đến thực tế là để các tam giác “bình thường” bằng nhau, ba phần tử của chúng phải bằng nhau: hai cạnh và góc giữa chúng, hai góc và cạnh giữa chúng, hoặc ba cạnh. Nhưng để tam giác vuông bằng nhau thì chỉ cần hai phần tử tương ứng là đủ. Tuyệt vời phải không?

Tình hình cũng gần tương tự với dấu tương tự của các tam giác vuông.

Dấu hiệu tương tự của tam giác vuông

I. Dọc theo góc nhọn

II. Ở hai bên

III. Bằng chân và cạnh huyền

Đường trung bình trong tam giác vuông

Tại sao lại như vậy?

Thay vì một hình tam giác vuông, hãy xem xét toàn bộ hình chữ nhật.

Hãy vẽ một đường chéo và xem xét một điểm - điểm giao nhau của các đường chéo. Bạn biết gì về các đường chéo của hình chữ nhật?

Và điều gì xảy ra sau đó?

Hóa ra là thế

1. - trung vị:

Hãy nhớ sự thật này! Giúp ích rất nhiều!

Điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là điều ngược lại cũng đúng.

Có thể thu được điều gì tốt từ việc đường trung tuyến kéo vào cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền? Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh

Hãy nhìn cẩn thận. Chúng ta có: , tức là khoảng cách từ điểm đến cả ba đỉnh của tam giác hóa ra bằng nhau. Nhưng chỉ có một điểm trong tam giác, có khoảng cách từ đó đến cả ba đỉnh của tam giác đều bằng nhau và đây là TRUNG TÂM CỦA VÒNG TRÒN. Vậy chuyện gì đã xảy ra?

Vậy hãy bắt đầu với từ “ngoài ra…” này.

Chúng ta hãy nhìn vào và.

Nhưng tam giác đồng dạng mọi góc độ đều bằng nhau!

Điều tương tự cũng có thể nói về và

Bây giờ chúng ta hãy vẽ nó lại với nhau:

Lợi ích gì có thể được rút ra từ sự giống nhau “bộ ba” này?

Vâng, ví dụ - hai công thức tính chiều cao của tam giác vuông.

Chúng ta hãy viết ra mối quan hệ của các bên tương ứng:

Để tìm chiều cao, chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức đầu tiên "Chiều cao trong tam giác vuông":

Vì vậy, hãy áp dụng sự tương tự: .

Điều gì sẽ xảy ra bây giờ?

Một lần nữa chúng ta giải tỷ lệ và nhận được công thức thứ hai:

Bạn cần phải nhớ thật kỹ cả hai công thức này và sử dụng công thức nào thuận tiện hơn. Hãy viết chúng lại lần nữa

Định lý Pythagore:

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông: .

Dấu hiệu bằng nhau của tam giác vuông:

• ở hai phía:
• bằng chân và cạnh huyền: hoặc
• dọc theo chân và góc nhọn liền kề: hoặc
• dọc theo chân và góc nhọn đối diện: hoặc
• bởi cạnh huyền và góc nhọn: hoặc.

Dấu hiệu đồng dạng của tam giác vuông:

• một góc nhọn: hoặc
• từ tỷ lệ của hai chân:
• từ tỷ lệ của chân và cạnh huyền: hoặc.

Sin, cosin, tiếp tuyến, côtang trong một tam giác vuông

• Sin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện với cạnh huyền:
• Cosin của một góc nhọn của tam giác vuông là tỷ lệ của cạnh kề với cạnh huyền:
• Tiếp tuyến của góc nhọn của tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề:
• Cotang của góc nhọn trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh kề với cạnh đối diện: .

Chiều cao của một tam giác vuông: hoặc.

Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến vẽ từ đỉnh của góc vuông bằng một nửa cạnh huyền: .

Diện tích của một tam giác vuông:

• qua chân:

Giáo viên tin rằng mọi học sinh đều có khả năng thực hiện các phép tính, biết công thức lượng giác, nhưng không phải giáo viên nào cũng giải thích sin và cosin là gì. Ý nghĩa của chúng là gì, chúng được sử dụng ở đâu? Tại sao nói về hình tam giác mà sách giáo khoa lại vẽ hình tròn? Hãy cố gắng kết nối tất cả các sự kiện lại với nhau.

môn học

Việc học lượng giác thường bắt đầu từ lớp 7-8 trường trung học. Lúc này, học sinh được giải thích sin và cosin là gì và được yêu cầu giải bài toán hình học sử dụng các chức năng này. Nhiều hơn xuất hiện sau công thức phức tạp và các biểu thức cần biến đổi đại số (các công thức nhân và nửa góc, chức năng điện), công việc được thực hiện với một đường tròn lượng giác.

Tuy nhiên, không phải lúc nào giáo viên cũng có thể giải thích rõ ràng ý nghĩa của các khái niệm được sử dụng và khả năng áp dụng các công thức. Vì vậy, học sinh thường không hiểu được ý nghĩa của chủ đề này và thông tin được ghi nhớ sẽ nhanh chóng bị lãng quên. Tuy nhiên, cần giải thích một lần cho học sinh trung học, ví dụ, mối liên hệ giữa chức năng và chuyển động dao động, Và kết nối logic sẽ được ghi nhớ trong nhiều năm, và những câu chuyện cười về sự vô dụng của món đồ đó sẽ trở thành quá khứ.

Cách sử dụng

Để tò mò, chúng ta hãy xem xét các ngành vật lý khác nhau. Bạn có muốn xác định phạm vi của một viên đạn? Hay bạn đang tính lực ma sát giữa một vật và một bề mặt nhất định? Cho con lắc lắc lư, quan sát tia sáng truyền qua thủy tinh, tính cảm ứng? Các khái niệm lượng giác xuất hiện trong hầu hết mọi công thức. Vậy sin và cosin là gì?

định nghĩa

Sin của một góc là tỉ số của cạnh đối diện với cạnh huyền, cosin là tỉ số của cạnh kề với cùng cạnh huyền. Hoàn toàn không có gì phức tạp ở đây. Có lẽ học sinh thường bối rối trước những ý nghĩa mà họ nhìn thấy trong bảng lượng giác, vì căn bậc hai xuất hiện ở đó. Đúng, việc lấy số thập phân từ chúng không thuận tiện lắm, nhưng ai nói rằng tất cả các số trong toán học đều phải bằng nhau?

Trên thực tế, trong sách giải bài toán lượng giác, bạn có thể tìm thấy một gợi ý hài hước: hầu hết các đáp án ở đây đều là số chẵn và bằng trường hợp xấu nhất chứa gốc của hai hoặc ba. Kết luận rất đơn giản: nếu câu trả lời của bạn hóa ra là một phân số “nhiều câu chuyện”, hãy kiểm tra kỹ lời giải xem có lỗi trong phép tính hoặc lý luận hay không. Và rất có thể bạn sẽ tìm thấy chúng.

Những gì cần nhớ

Giống như bất kỳ môn khoa học nào, lượng giác có dữ liệu cần phải học.

Đầu tiên bạn nên nhớ giá trị sốđối với các sin, cosin của tam giác vuông 0 và 90, cũng như 30, 45 và 60 độ. Những chỉ số này xảy ra ở chín trên mười nhiệm vụ học tập. Bằng cách xem xét những giá trị này trong sách giáo khoa, bạn sẽ mất rất nhiều thời gian và sẽ không có chỗ nào để xem chúng trong một bài kiểm tra hoặc bài kiểm tra.

Cần phải nhớ rằng giá trị của cả hai hàm không thể vượt quá một. Nếu ở bất kỳ đâu trong phép tính của bạn, bạn nhận được giá trị nằm ngoài phạm vi 0-1, hãy dừng lại và thử lại vấn đề.

Tổng bình phương của sin và cosin bằng một. Nếu bạn đã tìm thấy một trong các giá trị, hãy sử dụng công thức này để tìm giá trị còn lại.

Định lý

Có hai định lý cơ bản trong lượng giác cơ bản: sin và cos.

Câu đầu tiên nói rằng tỉ số giữa mỗi cạnh của một tam giác với sin của góc đối diện là như nhau. Thứ hai là bình phương của bất kỳ cạnh nào có thể thu được bằng cách cộng bình phương của hai cạnh còn lại và trừ đi tích kép của chúng, nhân với cosin của góc nằm giữa chúng.

Do đó, nếu thay giá trị của góc 90 độ vào định lý cosine, chúng ta sẽ có... định lý Pythagore. Bây giờ, nếu bạn cần tính diện tích của một hình không phải là tam giác vuông, bạn không phải lo lắng nữa - hai định lý đã thảo luận sẽ đơn giản hóa đáng kể việc giải bài toán.

Mục tiêu và mục tiêu

Việc học lượng giác sẽ trở nên dễ dàng hơn nhiều khi bạn nhận ra một sự thật đơn giản: tất cả các hành động bạn thực hiện đều nhằm mục đích đạt được một mục tiêu. Bạn có thể tìm thấy bất kỳ tham số nào của một hình tam giác nếu bạn biết thông tin tối thiểu về nó - đây có thể là giá trị của một góc và độ dài của hai cạnh hoặc, ví dụ, ba cạnh.

Để xác định sin, cosin, tiếp tuyến của bất kỳ góc nào, những dữ liệu này là đủ và với sự trợ giúp của chúng, bạn có thể dễ dàng tính diện tích của hình. Hầu như luôn luôn, câu trả lời yêu cầu một trong các giá trị được đề cập và chúng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một công thức.

Mâu thuẫn trong việc học lượng giác

Một trong những câu hỏi khó hiểu mà học sinh muốn tránh là khám phá mối liên hệ giữa khái niệm khác nhau trong lượng giác. Có vẻ như các hình tam giác được sử dụng để nghiên cứu các sin và cosin của các góc, nhưng vì lý do nào đó, các ký hiệu thường được tìm thấy trong hình có hình tròn. Ngoài ra, còn có một biểu đồ giống sóng hoàn toàn không thể hiểu được gọi là sóng hình sin, không có hình dáng bên ngoài giống hình tròn hay hình tam giác.

Hơn nữa, các góc được đo bằng độ hoặc radian, và số Pi, được viết đơn giản là 3,14 (không có đơn vị), vì lý do nào đó lại xuất hiện trong các công thức, tương ứng với 180 độ. Làm thế nào tất cả điều này được kết nối?

Đơn vị đo lường

Tại sao Pi chính xác là 3,14? Bạn có nhớ ý nghĩa này là gì không? Đây là số bán kính vừa với một cung trên nửa đường tròn. Nếu đường kính của hình tròn là 2 cm thì chu vi sẽ là 3,14 * 2 hoặc 6,28.

Điểm thứ hai: bạn có thể nhận thấy sự giống nhau giữa các từ “radius” và “radius”. Thực tế là một radian về mặt số học bằng giá trị góc chắn từ tâm đường tròn lên một cung dài một bán kính.

Bây giờ chúng ta sẽ kết hợp kiến ​​​​thức thu được và hiểu tại sao “Pi làm đôi” được viết trên đầu trục tọa độ trong lượng giác và “Pi” được viết ở bên trái. Đây là giá trị góc được đo bằng radian, vì hình bán nguyệt bằng 180 độ, hay 3,14 radian. Và ở đâu có độ thì ở đó có sin và cosin. Thật dễ dàng để vẽ một hình tam giác từ điểm mong muốn, đặt các đoạn thẳng về tâm và trục tọa độ.

Hãy nhìn vào tương lai

Lượng giác, được học ở trường, đề cập đến hệ thống tuyến tính tọa độ, ở đó, dù nghe có vẻ kỳ lạ thế nào, đường thẳng vẫn là đường thẳng.

Nhưng còn nhiều hơn nữa những cách phức tạp làm việc với không gian: tổng các góc của tam giác ở đây sẽ lớn hơn 180 độ và đường thẳng trong tầm nhìn của chúng ta sẽ trông giống như một vòng cung thực sự.

Hãy chuyển từ lời nói sang hành động! Lấy một quả táo. Dùng dao thực hiện ba đường cắt để khi nhìn từ trên cao bạn sẽ có được một hình tam giác. Lấy miếng táo vừa tạo ra và quan sát phần “xương sườn” nơi vỏ kết thúc. Họ không thẳng chút nào. Thông thường, trái cây trên tay bạn có thể được gọi là hình tròn, nhưng bây giờ hãy tưởng tượng xem các công thức phải phức tạp đến mức nào để bạn có thể tìm thấy diện tích của miếng cắt. Nhưng một số chuyên gia giải quyết những vấn đề như vậy hàng ngày.

Hàm lượng giác trong cuộc sống

Bạn có nhận thấy rằng tuyến đường ngắn nhất cho một chiếc máy bay từ điểm A đến điểm B trên bề mặt hành tinh của chúng ta có hình vòng cung rõ rệt không? Lý do rất đơn giản: Trái đất có hình cầu, nghĩa là bạn không thể tính toán nhiều bằng cách sử dụng hình tam giác - bạn phải sử dụng những công thức phức tạp hơn.

Bạn không thể làm gì nếu không có sin/cosine của góc nhọn trong bất kỳ câu hỏi nào liên quan đến không gian. Điều thú vị là có rất nhiều yếu tố kết hợp ở đây: hàm lượng giácđược yêu cầu khi tính toán chuyển động của các hành tinh theo hình tròn, hình elip và các quỹ đạo khác nhau có nhiều hơn hình dạng phức tạp; quá trình phóng tên lửa, vệ tinh, tàu con thoi, tháo dỡ phương tiện nghiên cứu; giám sát những ngôi sao xa xôi và nghiên cứu về các thiên hà mà con người sẽ không thể tiếp cận được trong tương lai gần.

Nhìn chung, lĩnh vực hoạt động của một người biết lượng giác rất rộng và dường như sẽ chỉ mở rộng theo thời gian.

Phần kết luận

Hôm nay chúng ta đã học, hoặc ít nhất là lặp lại, sin và cosin là gì. Đây là những khái niệm mà bạn không cần phải sợ - chỉ cần muốn chúng và bạn sẽ hiểu ý nghĩa của chúng. Hãy nhớ rằng lượng giác không phải là mục tiêu mà chỉ là một công cụ có thể được sử dụng để đáp ứng nhu cầu thực tế. nhu cầu của con người: xây nhà, đảm bảo an toàn giao thông, thậm chí khám phá sự rộng lớn của vũ trụ.

Thật vậy, bản thân khoa học có vẻ nhàm chán, nhưng ngay khi bạn tìm ra cách để đạt được mục tiêu và nhận thức bản thân trong đó, quá trình học tập sẽ trở nên thú vị và động lực cá nhân của bạn sẽ tăng lên.

BẰNG bài tập về nhà Cố gắng tìm cách áp dụng các hàm lượng giác trong một lĩnh vực hoạt động mà cá nhân bạn quan tâm. Hãy tưởng tượng, sử dụng trí tưởng tượng của bạn và khi đó có thể bạn sẽ thấy rằng những kiến ​​thức mới sẽ hữu ích cho bạn trong tương lai. Ngoài ra, toán học còn có ích cho phát triển chung suy nghĩ.