Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методиРішення, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно розділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різних кореня.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю- Корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний коріньіснує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не знадобився — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число— коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Винесення спільного множниказа дужку

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Наприклад, для тричлена \(3x^2+2x-7\), дискримінант дорівнюватиме \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для тричлена \(x^2-5x+11\), він дорівнюватиме \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискримінант позначається літерою \(D\) і часто використовується під час вирішення . Також за значенням дискримінанта можна зрозуміти, як виглядає графік (див. нижче).

Дискримінант та коріння рівняння

Значення дискримінанта показує кількість квадратного рівняння:
- якщо \(D\) позитивний - рівняння матиме два корені;
- якщо (D) дорівнює нулю - тільки один корінь;
- якщо \(D\) негативний - коріння немає.

Це не треба вчити, такого висновку нескладно дійти, просто знаючи, що з дискримінанта (тобто, \(\sqrt(D)\) входить у формулу для обчислення коренів рівняння: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) і \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) . Давайте розглянемо кожен випадок докладніше .

Якщо дискримінант позитивний

В цьому випадку корінь з нього - це деяке позитивне число, а значить \(x_(1)\) і \(x_(2)\) будуть різні за значенням, адже в першій формулі \(\sqrt(D)\) додається , а другий – віднімається. І ми маємо два різні корені.

приклад : Знайдіть корені рівняння \(x^2+2x-3=0\)
Рішення :

Відповідь : \ (x_ (1) = 1 \); \(x_(2)=-3\)

Якщо дискримінант дорівнює нулю

А скільки коренів буде, якщо дискримінант дорівнює нулю? Давайте розмірковувати.

Формули коренів виглядають так: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) і \(x_(2)=\)\(\frac(-b- \sqrt(D))(2a)\) . І якщо дискримінант – нуль, то й корінь із нього теж нуль. Тоді виходить:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Тобто значення коренів рівняння збігатимуться, тому що додавання або віднімання нуля нічого не змінює.

приклад : Знайдіть корені рівняння \(x^2-4x+4=0\)
Рішення :

\(x^2-4x+4=0\)		Виписуємо коефіцієнти:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Обчислюємо дискримінант за формулою \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Знаходимо коріння рівняння
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Отримали два однакових коренятому немає сенсу писати їх окремо – записуємо як один.

Відповідь : \(x=2\)

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівнянняключовим словом є "квадратне".Воно означає, що у рівнянні обов'язковоповинен бути присутнім ікс у квадраті. Крім нього, у рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) просто ікс (у першому ступені) і просто число (Вільний член).І не повинно бути іксів у мірі, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння – це рівняння виду:

Тут a, b і с- Якісь числа. b та c- Зовсім будь-які, а а- Будь-яке, крім нуля. Наприклад:

Тут а =1; b = 3; c = -4

Тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

Тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну, ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутній повний набірчленів. Ікс у квадраті з коефіцієнтом а,ікс у першому ступені з коефіцієнтом bі вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b= 0, що в нас вийде? У нас пропаде ікс у першому ступені.Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х = 0,

-х 2+4х=0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнти, bі cрівні нулю, то все ще простіше:

2х 2 = 0,

-0,3 х 2 = 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями.Що цілком логічно.) Прошу помітити, що ікс у квадраті є у всіх рівняннях.

До речі, чому ане може дорівнювати нулю? А ви підставте замість анолик.) У нас зникне ікс у квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше.

Ось і всі основні види квадратних рівнянь. Повні та неповні.

Розв'язання квадратних рівнянь.

Розв'язання повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами та точними нескладними правилами. На першому етапі треба задане рівнянняпривести до стандартного вигляду, тобто. до вигляду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, bі c.

Формула для знаходження коріння квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискримінант. Але про нього – нижче. Як бачимо, для знаходження ікса ми використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти із квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і су цю формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, у рівнянні:

а =1; b = 3; c= -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішено:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитись не можна? Ну так, як же…

Найпоширеніші помилки – плутанина зі знаками значень a, b і с. Точніше, не з їхніми знаками (де там плутатися?), а з підстановкою негативних значеньу формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

Тут a = -6; b = -5; c = -1

Допустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву строчку займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма дужками та знаками:

Це здається неймовірно важким, так старанно розписувати. Але це лише здається. Спробуйте. Ну, чи вибирайте. Що краще, швидко, чи правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час зникне потреба так ретельно все розписувати. Саме правильно виходитиме. Особливо, якщо застосовуватимете практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться просто і без помилок!

Але, часто, квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! Це неповні квадратні рівняння.

Розв'язання неповних квадратних рівнянь.

Їх також можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно збагнути, чого тут дорівнюють a, b і с.

Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4;а c? Його взагалі нема! Так, правильно. У математиці це означає, що c = 0 ! Ось і все. Підставляємо у формулу нуль замість c,і все в нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без жодних формул. Розглянемо перше неповне рівняння. Що там можна зробити у лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з того? А те, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли якийсь із множників дорівнює нулю! Чи не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульові числа, які при перемноженні нуль дадуть!
Чи не виходить? Отож…
Отже, можна впевнено записати: х 1 = 0, х 2 = 4.

Все. Це і буде коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці кожного з них у вихідне рівняння, ми отримаємо правильну тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення набагато простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а яким другим абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядку, х 1- те, що менше, а х 2- Те, що більше.

Друге рівняння також можна вирішити просто. Переносимо 9 у праву частину. Отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. Вийде:

Теж два корені . х 1 = -3, х 2 = 3.

Так вирішуються усі неповні квадратні рівняння. Або за допомогою винесення ікса за дужки, або простим перенесенням числа вправо з подальшим вилученням кореня.
Зплутати ці прийоми дуже складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь із іксу витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нема чого…

Дискримінант. Формула дискримінанту.

Чарівне слово дискримінант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість та обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанта не доводиться! Він простий і безвідмовний у зверненні.) Нагадую саму загальну формулудля вирішення будь-якихквадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискримінант позначається буквою D. Формула дискримінанта:

D = b 2 - 4ac

І чим же примітний цей вислів? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанта?Адже -b,або 2aу цій формулі спеціально ніяк не називають... Літери та літери.

Справа ось у чому. При розв'язанні квадратного рівняння за цією формулою, можливі лише три випадки.

1. Дискримінант позитивний.Це означає, що з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, або погано – питання інше. Важливо, що в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння – два корені. Два різних рішень.

2. Дискримінант дорівнює нулю.Тоді у вас буде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакові. Але, в спрощений варіант, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний.З негативного числа квадратний корінь не витягується. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому рішенніквадратних рівнянь, поняття дискримінанта не особливо й потрібне. Підставляємо на формулу значення коефіцієнтів, і вважаємо. Там все само собою виходить, і два корені, і одне, і жодне. Однак, при вирішенні більше складних завдань, без знання змісту та формули дискримінантане обійтися. Особливо – в рівняннях із параметрами. Такі рівняння - вищий пілотажна ДІА та ЄДІ!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняннячерез дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Умієте правильно визначати a, b і с. Вмієте уважнопідставляти їх у формулу коренів та уважнорахувати результат. Ви зрозуміли, що ключове словотут – уважно?

А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. За які потім буває боляче і прикро.

Прийом перший . Не лінуйтеся перед вирішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтесь! Мінус перед іксом у квадраті може дуже вас засмутити. Забути його легко… Позбавтеся мінуса. Як? Та як навчали у попередній темі! Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад. Дорішайте самостійно. У вас має вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! За теоремою Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! Перевіряємо останнєрівняння. Тобто. те, яким ми записували формулу коренів. Якщо (як у цьому прикладі) коефіцієнт а = 1, перевірити коріння легко. Достатньо їх перемножити. Має вийти вільний член, тобто. у разі -2. Зверніть увагу не 2, а -2! Вільний член зі своїм знаком . Якщо не вийшло – значить уже десь накосячили. Шукайте помилку.

Якщо вийшло – треба скласти коріння. Остання та остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт bз протилежним знаком. У разі -1+2 = +1. А коефіцієнт b, що перед іксом, дорівнює -1. Значить, все правильно!
Жаль, що це так просто тільки для прикладів, де ікс у квадраті чистий, з коефіцієнтом а = 1.Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Все менше помилокбуде.

Прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - Позбудьтеся дробів! Домножте рівняння на спільний знаменникЯк описано в уроці "Як вирішувати рівняння? Тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки чомусь так і лізуть.

До речі, я обіцяв злий приклад із купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, примножуємо рівняння на -1. Отримуємо:

Ось і все! Вирішувати – одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові – ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити на теоремі Вієта. Робіть це!

Тепер можна і вирішити.)

Розв'язати рівняння:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Відповіді (безладно):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - будь-яке число

х 1 = -3
х 2 = 3

рішень немає

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Все сходиться? Чудово! Квадратні рівняння – не ваша головний біль. Перші три вийшли, а решта – ні? Тоді проблема не у квадратних рівняннях. Проблема у тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся посиланням, це корисно.

Чи не зовсім виходить? Чи зовсім не виходить? Тоді вам допоможе Розділ 555. Там усі ці приклади розібрані по кісточках. Показано головніпомилки у вирішенні. Розповідається, зрозуміло, і про застосування тотожних перетвореньу розв'язанні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Сподіваюся, вивчивши цю статтю, Ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант негативне число(D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Розв'язати рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Розв'язати рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3

Можна помітити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо розв'язати рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння по різним формуламми отримали ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Квадратні рівняння часто з'являються під час розв'язання різних завданьфізики та математики. У цій статті ми розглянемо, як вирішувати ці рівності універсальним способом"через дискримінант". Приклади використання здобутих знань також даються у статті.

Про які рівняння йтиметься?

На малюнку нижче зображено формулу, в якій x - невідома змінна, а латинські символи a, b, c є деякі відомі числа.

Кожен із цих символів називається коефіцієнтом. Як можна помітити, число "a" стоїть перед змінною x, зведеною квадрат. Це максимальний ступіньпредставленого виразу, тому воно називається квадратним рівнянням. Часто використовують іншу назву: рівняння другого порядку. Саме значення a – це квадратний коефіцієнт(який стоїть при змінній у квадраті), b - це лінійний коефіцієнт(Він знаходиться поруч зі змінною, зведеною в перший ступінь), нарешті, число c - вільний член.

Зазначимо, що вид рівняння, зображений на малюнку вище, є загальним класичним квадратним виразом. Крім нього, існують інші рівняння другого порядку, в яких коефіцієнти b, c можуть бути нульовими.

Коли ставлять завдання вирішити розглянуту рівність, це означає, що такі значення змінної x потрібно знайти, які б йому задовольняли. Тут насамперед потрібно запам'ятати наступну річ: оскільки максимальний ступінь ікса - це 2, то даний типвиразів не може мати більше, ніж 2 рішення. Це означає, що якщо при вирішенні рівняння було знайдено 2 значення x, які йому задовольняють, то можна бути впевненим, що не існує ніякого 3-го числа, підставляючи яке замість x, рівність також була б істиною. Рішення рівняння в математиці називають його корінням.

Способи розв'язання рівнянь другого порядку

Рішення рівнянь цього потребує знання деякої теорії про них. У шкільному курсіалгебри розглядають 4 різних методурішення. Перерахуємо їх:

• за допомогою факторизації;
• використовуючи формулу для повного квадрата;
• застосовуючи графік відповідної квадратичної функції;
• Використовуючи рівняння дискримінанта.

Плюс першого методу полягає в його простоті, однак він не для всіх рівнянь може застосовуватися. Другий спосіб є універсальним, проте дещо громіздким. Третій метод відрізняється своєю наочністю, але він не завжди зручний і застосовний. І, нарешті, використання рівняння дискримінанта - це універсальний і досить простий спосіб знаходження коріння будь-якого рівняння другого порядку. Тож у статті розглянемо лише його.

Формула для здобуття коріння рівняння

Звернемося до загального виглядуквадратного рівняння. Запишемо його: a*x²+ b*x + c =0. Перед тим, як користуватися способом його вирішення "через дискримінант", слід наводити рівність завжди до записаного вигляду. Тобто воно має складатися із трьох доданків (або менше, якщо b або c дорівнює 0).

Наприклад, якщо є вираз: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², спочатку слід перенести всі його члени в один бік рівності і скласти доданки, що містять змінну x в однакових ступенях.

У даному випадкуця операція призведе до такого виразу: -6*x²-4*x+8=0, яке еквівалентне рівнянню 6*x²+4*x-8=0 (тут ліву та праву частини рівності ми помножили на -1).

У прикладі вище a = 6, b = 4, c = -8. Зауважимо, що це члени аналізованої рівності завжди підсумовуються між собою, тому якщо з'являється знак "-", це означає, що негативним є відповідний коефіцієнт, як число c у разі.

Розібравши цей момент, перейдемо тепер до самої формули, яка дає змогу одержати коріння квадратного рівняння. Вона має вигляд, представлений на фото нижче.

Як видно з цього виразу, воно дозволяє отримувати два корені (слід звернути увагу на знак "±"). Для цього в нього достатньо підставити коефіцієнти b, c та a.

Поняття про дискримінанта

У попередньому пунктібуло наведено формулу, що дозволяє швидко вирішити будь-яке рівняння другого порядку. У ній підкорене вираз називають дискримінантом, тобто D = b?-4 * a * c.

Чому цю частину формули виділяють і вона навіть має власна назва? Справа в тому, що дискримінант пов'язує в єдиний вираз усі три коефіцієнти рівняння. Останній фактозначає, що він повністю несе інформацію про коріння, яку можна виразити таким списком:

1. D>0: рівність має 2 різних рішення, причому обидва вони є дійсними числами.
2. D=0: у рівняння лише один корінь, і він є дійсним числом.

Завдання визначення дискримінанта

Наведемо простий приклад, як знайти дискримінант. Нехай дано таку рівність: 2*x² – 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Наведемо його до стандартного вигляду, отримуємо: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, звідки приходимо до рівності: -2*x² +2 * x-11 = 0. Тут a = -2, b = 2, c = -11.

Тепер можна скористатися названою формулою для дискримінанта: D = 2 ² - 4 * (-2) * (-11) = -84. Отримана кількість є у відповідь поставлене завдання. Оскільки в прикладі дискримінант менший за нуль, то можна сказати, що дане квадратне рівняння не має дійсних коренів. Його рішенням будуть лише числа комплексного типу.

Приклад нерівності через дискримінант

Розв'яжемо задачі дещо іншого типу: дано рівність -3*x²-6*x+c = 0. Необхідно знайти такі значення c, для яких D>0.

В даному випадку відомо лише 2 з 3 коефіцієнтів, тому розрахувати точне значення дискримінанта не вийде, проте відомо, що він є позитивним. Останній факт використовуємо під час упорядкування нерівності: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Вирішення отриманої нерівності призводить до результату: c>-3.

Перевіримо отримане число. Для цього обчислимо D для 2 випадків: c=-2 та c=-4. Число -2 задовольняє отриманий результат (-2>-3), відповідний дискримінант матиме значення: D = 12>0. У свою чергу, число -4 не задовольняє нерівності (-4Таким чином, будь-які числа c, які більші за -3, будуть задовольняти умові.

Приклад вирішення рівняння

Наведемо завдання, яке полягає у знаходженні дискримінанта, а й у вирішенні рівняння. Потрібно знайти коріння для рівності -2*x²+7-9*x = 0.

У цьому прикладі дискримінант дорівнює наступному значенню: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тоді коріння рівняння визначиться так: x = (9±√137)/(-4). Це точні значеннякоріння, якщо обчислити приблизно корінь, тоді вийдуть числа: x = -5,176 і x = 0,676.

Геометричне завдання

Вирішимо завдання, яке вимагатиме не тільки вміння обчислювати дискримінант, але й застосування навичок абстрактного мисленнята знання, як складати квадратні рівняння.

У Боба була пухова ковдра розміром 5 x 4 метри. Хлопчик захотів пришити до нього по всьому периметру суцільну смугукрасиві тканини. Якої товщини буде ця смуга, якщо відомо, що Боб має 10 м² тканини.

Нехай смуга матиме товщину x м, тоді площа тканини по довгій стороні ковдри становитиме (5+2*x)*x, а оскільки довгих сторін 2, маємо: 2*x*(5+2*x). По короткій стороні площа пришитої тканини складе 4x, тому що цих сторін 2, то отримуємо значення 8x. Зазначимо, що до довгої сторони було додано значення 2x, оскільки довжина ковдри збільшилася на це число. Загальна пришита до ковдри площа тканини дорівнює 10 м ². Тому одержуємо рівність: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для цього прикладу дискримінант дорівнює: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Його корінь дорівнює 22. Скориставшись формулою, знаходимо коріння: x = (-18±22)/(2*4) = (- 5; 0,5). Очевидно, що з двох коренів підходить за умовою завдання лише число 0,5.

Таким чином, смуга з тканини, яку пришиє Боб до своєї ковдри, матиме ширину 50 см.