Теорема 1.Межа алгебраїчної суми двох, трьох і взагалі певної кількостіфункцій дорівнює алгебраїчній сумімеж цих функцій, тобто.

Доказ. Проведемо доказ для двох доданків, тому що для будь-якої кількості доданків воно проводиться так само. Нехай. Тоді f(x)=b+б(x)і g(x)=c+в(x), де бі в- нескінченно малі функції. Отже,

f(x) + g(x)=(b + c) + (б(x) + в(x)).

Оскільки b + cє постійна величина, а б(x) + в(x)- функція нескінченно мала, то

Теорема 2.Межа твору двох, трьох та взагалі кінцевого числафункцій дорівнює творумеж цих функцій:

Доказ. Нехай. Отже, f(x)=b+б(x)і g(x)=c+в(x)і

fg = (b + б) (c + в) = bc + (b + cб + бв).

Твір bcє постійна величина. Функція bв + c б + бвна підставі властивостей нескінченно малих функцій є величина нескінченно мала. Тож.

Наслідок 1. Постійний множникможна виносити за знак межі:

Наслідок 2.Межа ступеня дорівнює ступенюмежі:

приклад..

Теорема 3.Межа приватного двох функцій дорівнює приватному меж цих функцій, якщо межа знаменника відмінний від нуля, тобто.

Доказ. Нехай. Отже, f(x)=b+б(x)і g(x)=c+в(x), де б, в- нескінченно малі. Розглянемо приватне

Дроб є нескінченно малою функцією, тому що чисельник є нескінченно мала функція, а знаменник має межу c 2 ?0.

3. Розглянемо. При x>1чисельник дробу прагне 1, а знаменник прагне 0. Але оскільки, тобто. є нескінченно мала функція при x> 1, то.

Теорема 4.Нехай дані три функції f(x), u(x)і v(x), що задовольняють нерівностям u (x)?f(x)? v(x). Якщо функції u(x)і v(x)мають одну і ту ж межу при x>a(або x>?), то й функція f(x)прагне ще межі, тобто. якщо

Сенс цієї теореми зрозумілий із малюнка.

Доказ теореми 4 можна знайти, наприклад, у підручнику: Піскунов Н. С. Диференційне та інтегральне обчислення, Т. 1 - М: Наука, 1985.

Теорема 5.Якщо при x>a(або x>?) функція y=f(x)набуває невід'ємних значень y?0і при цьому прагне до межі b, то ця межа не може бути негативною: b?0.

Доказ. Доказ проведемо шляхом протилежного. Припустимо, що b<0 тоді |y - b|?|b|і, отже, модуль різниці не прагне до нуля при x>a. Але тоді yне прагне до межі bпри x>aщо суперечить умові теореми.

Теорема 6.Якщо дві функції f(x)і g(x)при всіх значеннях аргументу xзадовольняють нерівності f(x)? g(x)і мають межі, то має місце нерівність b?c.

Доказ.За умовою теореми f(x)-g(x) ?0, Отже, по теоремі 5 або.

Основні теореми про межі.

1. Межа алгебраїчної суми двох, трьох і взагалі певного числа змінних дорівнює сумі алгебри меж цих змінних, тобто.

lim (u 1 + u 2 + … + u n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n

2. Межа твору певної кількості змінних дорівнює добутку меж цих змінних, тобто.

lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n

3. Межа частки двох змінних дорівнює приватному меж цих змінних, якщо межа знаменника відмінний від нуля, тобто. якщо lim V ¹ 0 .

3. Якщо для відповідних значень функцій u = u(x), z = z(x), v = v(x)виконуються нерівності u £ z £ v і при цьому u(x)і v(x)при х ® а (або х ® ¥ ) прагнуть одному й тому межі b, то z = z(x)при х ® а (або х ® ¥) прагне до того ж межі.

Теорема 4 дозволяє довести справедливість важливого співвідношення, що називається першим чудовою межею . (2.1)

З (2.1) випливає еквівалентність нескінченно малих хі sin x: sin x ~ x.

y

y = sin x

x

y = x

Мал. 2.3

Зручно пояснити це графічно. На рис. 2.3 наведено графіки функцій у = хі у = sinх. Легко бачити, що менше хвідрізняється від нуля, тим менша відмінність ординат (значень функцій) відповідних графіків, а при х = 0вони збігаються. (Це дозволяє з високою точністюпри дуже малих хвизначати наближене значення sin x).

Ще одне важливе співвідношення теорії меж, зване другою чудовою межею маєвигляд:
(2.2)

Число е- ірраціональне (так само як і число p) і може бути записано у вигляді нескінченної десяткової неперіодичного дробу е = 2,71828 ...; грає важливу рольв обчислювальної математики, служачи, зокрема, підставою натурального логарифму, що позначається ln x = log e x. функцію у = е хназивають експоненційноюфункцією (іноді позначається як ехр х). У вирішенні завдань теорії меж можуть бути корисні такі рівності: . Можна також замінювати нескінченно малі величини еквівалентними їм:

Безперервність функцій.функцію у = f(х) аякщо:

1.Ця функція визначена в деякій околиці точки аі в самій точці;

2.Існує межа функції і він дорівнює значенню функції у цій точці, тобто. . Можна запропонувати інше визначення. Нехай аргумент х 0отримає приріст Dхі набуде значення х = х 0 + Dх. У загальному випадкуфункція також отримає деяке збільшення Dу = f(х0 + Dх) - f(х0).

функцію f(х)називають безперервною в точці х 0, якщо вона визначена в цій точці і деякою околиці її і якщо нескінченно малого прирощення аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції, тобто.

(2.3) або (2.3`)

Наведемо формулювання теореми: Будь-яка елементарна функція безперервна у кожній точці, в якій вона визначенаі отримаємо важливе на вирішення завдань теорії меж слідство. Запишемо умову безперервності як
або, що те саме, . Але і, отже, (2.4), тобто. для будь-якої безперервної функціїу всіх точках області визначення її справедливе співвідношення (2.4) – межа функції дорівнює функціїмежі(Символи (і відповідні операції) межі та функції можна поміняти місцями): .

Приклад:

У ряді випадків зручно використовувати наступне співвідношення:

Говорять, що якщо функція f(x)безперервна в кожній точці деякого інтервалу (а, b), де a< b , то функція безперервна у цьому інтервалі. Точка всередині чи межі області визначення, у якій порушується умова безперервності, називається точкою розриву.Якщо існують кінцеві межі і , причому не всі три числа b 1, b 2і f(a)рівні між собою, точка аназивається точкою розриву першого роду. Ці точки поділяються на точки стрибка, коли b 1 ¹ b 2(стрибок дорівнює b 2 - b 1) та точки усуненого розриву,коли b 1 = b 2. Точки розриву, які не є точками розриву першого роду, називаються точками розриву другого роду. У цих точках немає хоча б одне з односторонніх меж (Приклад – “нескінченний” розрив: ).

Розглянемо деякі властивості безперервних функцій (докази теорем можна знайти у літературі, що рекомендується).

1. Якщо функція f(x)безперервна на деякому відрізку , то на цьому відрізку знайдеться принаймні одна точка х = х 1така, що значення функції у цій точці задовольнятиме співвідношенню f(x 1) ³ f(x) , де х– будь-яка інша точка відрізка, і знайдеться принаймні одна точка х 2така, що значення функції у цій точці задовольнятиме співвідношеннюf(x 2) ≤ f(x).

y 1

y 2

y 3

x

a

m

M

в

Мал. 2.4

f(x)на цьому відрізку. Пояснимо за допомогою рис. 2.4, на якому представлені графіки трьох безперервних на функцій у 1 , у 2і у 3. Легко бачити, що на інтервалі функція у 1один раз досягає найбільшого Мі найменшого mзначень. Функція у 2у всіх точках має одне й те саме значення – воно одночасно і найбільше та найменше. Функція у 3на двічі приймає найбільше Мі найменше mзначення. Але хоч один разнайбільше та найменше значення набуває кожна з них!

(Зазначимо, що на інтервалі (а, b)твердження теореми може виявитися невірним. Приклад: у = х– функція не має на інтервалі (а, b)найбільшого та найменшого значень, т.к. не досягає значень аі b!)

у

у 2

а

в

х

у 1

Мал. 2.5

х

2. Якщо функція f(x)безперервна на відрізку і приймає на кінцях цього відрізка значення різних знаків, то між точками aі bзнайдеться принаймні одна точка х = с, в якій функція перетворюється на нуль.(Це означає, що графік функції хоча б раз перетне вісь Оху межах цього відрізка; х = с- Саме така точка). На рис. 2.5: графіки функцій у 1і у 2такі, що на кінцях інтервалу їх ординати (значення функцій) різні. При цьому графік у 1перетинає вісь Оходин раз, а графік у 2– три рази, але хоч один раз – кожен із них.

3. Якщо функція f(x)визначена та безперервна на відрізку і на кінцях цього відрізка набуває нерівних значень f(a) = Aі f(b) = Bте, яке б не було числоm , укладене між числами Аі У, знайдеться така точка х = с, укладена між aі b, що f(c) = m (легко бачити, що теорема 2 є окремим випадком теореми 3).

ФУНКЦІЇ ТА МЕЖІ IX

§ 212. Основні теореми про межі функцій

Насамперед зауважимо, що не для будь-якої функції у = f (х ) існує межа f (х ). Так, наприклад, при x -> π / 2 значення функції у = tg х (рис. 303) або необмежено ростуть (при х < π / 2), або необмежено спадають (при х > π / 2).

Тому не можна вказати жодного числа b , якого прагнули б значення цієї функції.

Інший приклад. Нехай

Графік цієї функції представлений малюнку 304.

Коли значень аргументу х наближаються до 0, залишаючись негативними, відповідні значення функції прагнуть 1. Коли значення аргументу х наближаються до 0, залишаючись позитивними, відповідні значення функції прагнуть -2. У самій точці х = 0 функція звертається в 0. Очевидно, що вказати одне якесь число, якого прагнули б всі значення у при наближенні х до 0, не можна. Тому дана функціяне має межі при х -> 0.

Говорячи надалі про межу функції, ми завжди припускатимемо, що ця межа існує.

Припущення існування межі f (х ) ще не означає, що ця межа збігається зі значенням функції f (х ) у точці х = а . Наприклад розглянемо функцію, графік якої представлений малюнку 305.

Очевидно, що межа f (х ) існує і дорівнює 1. Але в самій точці х = 0 функція набуває значення, що дорівнює 2. Тому в даному випадку

f (х ) =/= f (0).

Якщо функція у = f (х ) задовольняє умові

f (х ) = f (a ),

то вона називається безперервнийу точці х = а . Якщо ж зазначена умова не виконується, то функція f (х ) називається розривнийу точці х = а ."

Усі елементарні функції(наприклад, у = х п , у = sin х , у = tg х , у = tg 2 х + tg х і т. д.) безперервні у кожній точці, в якій вони визначені.

Функція у = f (х ) називається безперервний в інтервалі [а, b ], якщо вона безперервна у кожній точці цього інтервалу. Наприклад, функція у = tg x безперервна в інтервалі π / 4 , π / 4], функції у = sin x і y = cos x безперервні у будь-якому інтервалі тощо.

Наведемо без доказу основні теореми про межі функцій. Ці теореми цілком аналогічні тим, які ми розглядали (також без доказу) раніше щодо меж числових послідовностей.

1. Межа константи дорівнює самій цій константі:

с = с .

2. Постійний множник можна виносити за знак межі:

[ k f (х )] = k f (х ).

3. Межа суми (різниці) функцій дорівнює сумі(Різниці) меж цих функцій:

[ f (х ) ± g (х )] = f (х ) ± g (x ).

4. Межа добутку функцій дорівнює добутку меж цих функцій:

[ f (х ) g (х )] = f (х ) g (x ).

5. Межа відносин двох функцій дорівнює відношеннюмеж цих функцій, якщо тільки межа дільника не дорівнює нулю:

Розглянемо кілька типових прикладів знаходження меж функций.

приклад 1.Знайти

При х -> 3 чисельник і знаменник даного дробу прагнуть нуля. Тому безпосереднє застосування теореми про межі частки тут неможливе. Однак цей дрібможна скоротити:

(Зверніть увагу на наступну важливу особливістьхарактерну для розглянутого прикладу. Коли ми говоримо про межу f (х ), то зазвичай припускаємо, що функція f (х ) визначена у всіх точках, досить близьких до точки х = а . Однак функція визначена лише для позитивних значень х . Тому, розглядаючи межу цієї функції, ми фактично припускаємо, що х -> 0, залишаючись постійно позитивним. У подібних випадках говорять не просто про межу, а про односторонніммежі. З аналогічними прикладами ми зустрінемося під час виконання вправ до цього параграфу.)

Наводяться формулювання основних теорем та властивостей межі функції. Дано визначення кінцевих і нескінченних межу кінцевих точках та на нескінченності (двосторонніх та односторонніх) по Коші та Гейні. Розглянуто арифметичні властивості; теореми, пов'язані з нерівностями; критерій збіжності Коші; межа складної функції; властивості нескінченно малих, нескінченно великих і монотонних функцій. Дано визначення функції.

Визначення функції

функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .

Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.

Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.

Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функціяназивається обмеженоюякщо існує таке число M, що для всіх:
.

Верхньою граннюабо точним верхнім кордоном дійсної функціїназивають найменше із чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня граньфункції може позначатися так:
.

Відповідно нижньою граннюабо точної нижнім кордоном Насправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.

Визначення межі функції

Визначення межі функції по Коші

Кінцеві межі функції у кінцевих точках

Нехай функція визначена в околиці кінцевої точкиза винятком, можливо, самої точки . у точці, якщо для будь-кого існує таке, що залежить від того, що для всіх x, для яких виконується нерівність
.
Межа функції позначається так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
.

Односторонні межі.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
.
Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:
; .

Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках

Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
.
.
.
Їх часто позначають так:
; ; .

Використання поняття околиці точки

Якщо ввести поняття проколотого околиці точки , можна дати єдине визначення кінцевої межі функції в кінцевих і нескінченно віддалених точках:
.
Тут для кінцевих точок
; ;
.
Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:
; ; .

Нескінченні межі функції

Визначення
Нехай функція визначена в деякій проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). f (x)при x → x 0 дорівнює нескінченності, якщо для будь-кого, скільки завгодно великої кількості M > 0 існує таке число δ M > 0 , що залежить від M , що для всіх x , що належать проколоті M - околиці точки : , виконується нерівність:
.
Біс кінцева межапозначають так:
.
Або при .

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Також можна запровадити визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Універсальне визначення межі функції

Використовуючи поняття околиці точки, можна дати універсальне визначеннякінцевої та нескінченно межі функції, що застосовується як для кінцевих (двосторонніх та односторонніх), так і для нескінченно віддалених точок:
.

Визначення межі функції за Гейном

Нехай функція визначена на деякій множині X: .
Число a називається межею функціїв точці:
,
якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать множині X : ,
.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

Якщо як безліч X взяти лівосторонню околицю точки x 0 , Отримаємо визначення лівої межі. Якщо правосторонню – то отримаємо визначення правої межі. Якщо як безліч X взяти околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі функції на нескінченності.

Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доказ

Властивості та теореми межі функції

Далі ми вважаємо, що ці функції визначені у відповідній околиці точки , яка є кінцевим числом або одним із символів: . Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або . Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої.

Основні властивості

Якщо значення функції f (x)змінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 1, x 2, x 3, ... x n, то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції довільній точці x 0 .

Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x 0 , на якій функція f (x)обмежена:
.

Нехай функція має у точці x 0 кінцева межа, відмінна від нуля:
.
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x 0 , Що для ,
, якщо;
якщо .

Якщо, на деякому проколоті околиці точки, - постійна, то .

Якщо існують кінцеві межі та й на деякому проколотом околиці точки x 0
,
те.

Якщо , і на деякій околиці точки
,
те.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.

Якщо на деякому проколотом околиці точки x 0 :
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.

Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості меж функції".

Арифметичні властивості межі функції

Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки. І нехай існують кінцеві межі:
та .
І нехай C - постійна, тобто задане число. Тоді
;
;
;
якщо .

Якщо, то.

Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці
"Арифметичні властивості меж функції".

Критерій Коші існування межі функції

Теорема
Для того, щоб функція , визначена на деякій проколоті околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x 0 , мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε > 0 існувала така проколота околиця точки x 0 , Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:
.

Межа складної функції

Теорема про межу складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки. Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: . Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні.
Тоді існує межа складної функції і він дорівнює:
.

Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена в точці або має значення, відмінне від граничного . Для застосування цієї теореми, має існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
.

Якщо функція безперервна в точці, то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функції:
.
Далі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку.

Теорема про межу безперервної функції від функції
Нехай існує межа функції g (t)при t → t 0 , і він дорівнює x 0 :
.
Тут точка t 0 може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .
І нехай функція f (x)безперервна в точці x 0 .
Тоді існує межа складної функції f (g(t)), і він дорівнює f (x 0):
.

Докази теорем наведено на сторінці
«Межа і безперервність складної функції».

Нескінченно малі та нескінченно великі функції

Нескінченно малі функції

Визначення
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.

Сума, різниця та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки , на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при .

Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при .

«Властивості нескінченно малих функцій».

Нескінченно великі функції

Визначення
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.

Сума чи різниця обмеженої функції, на деякому проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великою функцієюпри .

Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.

Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціямиможна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Межі монотонних функцій

Визначення
Функція, визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючою, якщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невпадаючою:
.
Для незростаючою:
.

Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.

Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.

Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена зверху, то .
Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа. Якщо не обмежена знизу, то .

Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
Цю теорему можна сформулювати компактніше.

Нехай функція не зменшується на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
;
.

Аналогічна теорема для функції, що не зростає.

Нехай функція не зростає на інтервалі, де. Тоді існують односторонні межі:
;
.

Доказ теореми викладено на сторінці
"Межі монотонних функцій".

Використана література:
Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.