З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значенняфункції. Із чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.
Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом 
, нескінченним проміжком.
У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функціїоднієї змінної y = f (x).
Навігація на сторінці.
Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.
Стисло зупинимося на основних визначеннях.
Найбільшим значенням функції 
, що для будь-кого 
справедлива нерівність.
Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення 
, що для будь-кого справедлива нерівність.
Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.
Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.
Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.
Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, у яких не існує перша похідна цієї функції, а сама функція визначена.
Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні, не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.
Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.
На відрізку
На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6; 6] .
Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.
На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.
На відкритому інтервалі
На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6;6) .
На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.
На нескінченності
У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення(max y) у стаціонарній точці з абсцисою x=1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.
На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.
Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.
Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.
- Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
- Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функційз дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
- Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, переходимо до наступного пункту.
- Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
- З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.
Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.
приклад.
Знайти найбільше та найменше значення функції
- на відрізку;
- на відрізку [-4;-1].
Рішення.
Областю визначення функції є все безліч дійсних чисел, За винятком нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.
Знаходимо похідну функції по: 
Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1].
Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренемє x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.
Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 : 
Отже, найбільше значення функції 
досягається при x=1 а найменше значення 
- При x = 2.
Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки): 
Процес пошуку найменшого і максимального значення функції на відрізку нагадує цікавий обліт об'єкта (графіка функції) на гелікоптері з обстрілом з далекобійної гармати певних точок і вибором з цих точок дуже особливих точок для контрольних пострілів. Крапки вибираються певним чином і по певним правилам. За якими правилами? Про це ми далі й поговоримо.
Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [ a, b] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень . Це може статися або в точках екстремуму, або кінцях відрізка. Тому для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , безперервний на відрізку [ a, b], потрібно обчислити її значення у всіх критичних точкахі на кінцях відрізка, а потім вибрати з них найменше та найбільше.
Нехай, наприклад, потрібно визначити найбільше значення функції f(x) на відрізку [ a, b]. Для цього слід знайти всі її критичні точки, що лежать на [ a, b] .
Критичною точкою називається точка, в якій функція визначена, а її похіднаабо дорівнює нулю, або немає. Потім слід обчислити значення функції критичних точках. І, нарешті, слід порівняти між собою за величиною значення функції в критичних точках і кінцях відрізка ( f(a) та f(b)). Найбільше з цих чисел і буде найбільшим значенням функції на відрізку [a, b] .
Аналогічно вирішуються завдання на перебування найменших значень функції .
Шукаємо найменше та найбільше значення функції разом
Приклад 1. Знайти найменше та найбільше значення функції 
на відрізку [-1, 2]
.
Рішення. Знаходимо похідну цієї функції. Прирівняємо похідну нулю () та отримаємо дві критичні точки: і . Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку достатньо обчислити її значення на кінцях відрізка і в точці, оскільки точка не належить відрізку [-1, 2]. Ці значення функції - такі: , , . З цього випливає, що найменше значення функції(на графіці нижче позначено червоним), що дорівнює -7, досягається на правому кінці відрізка - у точці , а найбільше(теж червоне на графіці), дорівнює 9, - у критичній точці .
Якщо функція безперервна в деякому проміжку і цей проміжок не є відрізком (а є, наприклад, інтервалом; різниця між інтервалом та відрізком: граничні точки інтервалу не входять до інтервалу, а граничні точки відрізка входять у відрізок), то серед значень функції може і не бути найменшого та найбільшого. Так, наприклад, функція, зображена на малюнку нижче, безперервна на ]-∞, +∞[ і не має найбільшого значення.
Однак для будь-якого проміжку (закритого, відкритого чи нескінченного) справедлива наступна властивість безперервних функцій.
Приклад 4. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку [-1, 3] .
Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну приватного:
.
Прирівнюємо похідну нулю, що дає нам одну критичну точку: . Вона належить відрізку [-1, 3]. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та в знайденій критичній точці:
Порівнюємо ці значення. Висновок: , рівного -5/13, у точці та найбільшого значення, рівного 1, у точці .
Продовжуємо шукати найменше та найбільше значення функції разом
Існують викладачі, які на тему знаходження найменшого і максимального значень функції не дають студентам на вирішення приклади складніше щойно розглянутих, тобто таких, у яких функція - многочлен чи дріб, чисельник і знаменник якої - многочлены. Але ми не обмежимося такими прикладами, оскільки серед викладачів бувають любителі змусити студентів думати по повній (таблиці похідних). Тому в хід підуть логарифм та тригонометрична функція.
Приклад 6. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .
Рішення. Знаходимо похідну цієї функції як похідну твори :
Прирівнюємо похідну нулю, що дає одну критичну точку: . Вона належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:
Результат усіх дій: функція досягає найменшого значення, рівного 0, у точці та в точці та найбільшого значення, рівного e², у точці.
Приклад 7. Знайти найменше та найбільше значення функції 
на відрізку .
Рішення. Знаходимо похідну цієї функції:
Прирівнюємо похідну нулю:
Єдина критична точка належить відрізку. Для знаходження найменшого та найбільшого значень функції на заданому відрізку знаходимо її значення на кінцях відрізка та у знайденій критичній точці:
Висновок: функція досягає найменшого значення, рівного , у точці та найбільшого значення, рівного , у точці .
У прикладних екстремальних задачах знаходження найменшого (найбільшого) значень функції, як правило, зводиться до знаходження мінімуму (максимуму). Але більший практичний інтерес мають самі мінімуми чи максимуми, а ті значення аргументу, у яких досягаються. При вирішенні прикладних завдань виникає додаткові труднощі- Складання функцій, що описують аналізоване явище або процес.
Приклад 8.Резервуар ємністю 4 має форму паралелепіпеда з квадратною основоюі відкритий зверху, потрібно вилудити оловом. Якими мають бути розміри резервуара, щоб на його покриття пішло найменша кількістьматеріалу?
Рішення. Нехай x- сторона основи, h- Висота резервуара, S- площа поверхні без кришки, V- Його обсяг. Площа поверхні резервуара виражається формулою, тобто. є функцією двох змінних. Щоб висловити Sяк функцію однієї змінної, скористаємося тим, що , звідки . Підставивши знайдений вираз hу формулу для S:
Досліджуємо цю функцію на екстремум. Вона визначена і диференційована всюди ]0, +∞[ , причому
.
Прирівнюємо похідну нулю () і знаходимо критичну точку. Крім того, при похідна не існує, але це значення не входить в область визначення і тому не може бути точкою екстремуму. Отже, єдина критична точка. Перевіримо її на наявність екстремуму, використовуючи другу достатню ознаку. Знайдемо другу похідну. При другому похідному більше нуля (). Значить, при функція досягає мінімуму 
. Оскільки цей мінімум - єдиний екстремум цієї функції, і є її найменшим значенням. Отже, сторона основи резервуара повинна дорівнювати 2 м, а його висота .
Приклад 9.З пункту A, що знаходиться на лінії залізниці, в пункт Звіддалений від неї на відстані l, повинні переправити вантажі. Вартість провезення вагової одиниці на одиницю відстані залізницею дорівнює, а шосе вона дорівнює. До якої точки Млінії залізниціслід провести шосе, щоб транспортування вантажу з Ав Збула найбільш економічною (ділянка АВзалізниці передбачається прямолінійним)?
Найбільше (найменше) значення функції – це найбільше (маленьке) значення ординати, що приймається, на аналізованому інтервалі.
Щоб знайти найбільше чи найменше значення функції, необхідно:
- Перевірити, які стаціонарні точки входять у заданий відрізок.
- Обчислити значення функції на кінцях відрізка та стаціонарних точках з п.3
- Вибрати з отриманих результатів найбільше чи найменше значення.
Щоб знайти точки максимуму чи мінімуму необхідно:
- Знайти похідну функції $f"(х)$
- Знайти стаціонарні точки, розв'язавши рівняння $f"(х)=0$
- Розкласти похідну функції на множники.
- Накреслити координатну пряму, розставити на ній стаціонарні точки і визначити похідні знаки в отриманих інтервалах, користуючись записом п.3.
- Знайти точки максимуму чи мінімуму за правилом: якщо в точці похідна змінює знак із плюсу на мінус, то це буде точка максимуму (якщо з мінуса на плюс, то це буде точка мінімуму). На практиці зручно використовувати зображення стрілок на проміжках: на проміжку, де позитивна похідна, стрілка малюється вгору і навпаки.
Таблиця похідних деяких елементарних функцій:
| Функція | Похідна |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Основні правила диференціювання
1. Похідна суми та різниці дорівнює похідній кожного доданку
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Знайти похідну функції $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Похідна суми та різниці дорівнює похідній кожного доданку
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Похідна робота.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Знайти похідну $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Похідна приватного
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Знайти похідну $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Похідна складної функціїдорівнює твору похідної зовнішньої функціїна похідну внутрішньої функції
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Знайдіть точку мінімуму функції $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Знайдемо ОДЗ функції: $х+11>0; х>-11$
2. Знайдемо похідну функції $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Знайдемо стаціонарні точки, прирівнявши похідну до нуля
$(2x+21)/(x+11)=0$
Дроб дорівнює нулю якщо чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю
$2x+21=0; x≠-11$
4. Накреслимо координатну пряму, розставимо на ній стаціонарні точки та визначимо знаки похідної в отриманих інтервалах. Для цього підставимо похідну будь-яке число з крайньої правої області, наприклад, нуль.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. У точці мінімуму похідна змінює знак із мінуса на плюс, отже, точка $-10,5$ - це точка мінімуму.
Відповідь: $-10,5 $
Знайдіть найбільше значення функції $y=6x^5-90x^3-5$ на відрізку $[-5;1]$
1. Знайдемо похідну функції $y′=30x^4-270x^2$
2. Прирівняємо похідну до нуля та знайдемо стаціонарні точки
$30x^4-270x^2=0$
Винесемо загальний множник$30x^2$ за дужки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х+3)=0$
Прирівняємо кожен множник до нуля
$ x ^ 2 = 0; х-3 = 0; х +3 = 0 $
$х=0;х=3;х=-3$
3. Виберемо стаціонарні точки, що належать заданому відрізку $[-5;1]$
Нам підходять стаціонарні точки $х=0$ та $х=-3$
4. Обчислимо значення функції на кінцях відрізка та в стаціонарних точках з п.3