Інструкція
Знайдіть область визначення функції. Наприклад, функція sin(x) визначена по всьому інтервалі від -∞ до +∞, а функція 1/x - від -∞ до +∞ за винятком точки x = 0.
Визначте області безперервності та точки розриву. Зазвичай функція безперервна в тій же області, де вона визначена. Щоб виявити розриви, потрібно обчислити при наближенні аргументу до ізольованих точок всередині області визначення. Наприклад, функція 1/x прагне нескінченності, коли x→0+, і мінус нескінченності, коли x→0-. Це означає, що у точці x = 0 вона має розрив другого роду.
Якщо межі у точці розриву кінцеві, але з рівні, це розрив першого роду. Якщо вони рівні, то функція вважається безперервною, хоча у ізольованій точці вона й не визначена.
Знайдіть вертикальні асимптоти, якщо вони є. Тут вам допоможуть обчислення попереднього кроку, оскільки вертикальна асимптота практично завжди знаходиться у точці розриву другого роду. Однак іноді з області визначення виключені не окремі точки, а цілі інтервали точок, і тоді вертикальні асимптоти можуть розташовуватись на краях цих інтервалів.
Перевірте, чи має функція особливими властивостями: парністю, непарністю та періодичністю.
Функція буде парною, якщо для будь-якого x області визначення f(x) = f(-x). Наприклад, cos(x) та x^2 - парні функції.
Періодичність - властивість, що говорить про те, що є деяке число T, яке називається періодом, що для будь-якого x f(x) = f(x + T). Наприклад, всі основні тригонометричні функції(синус, косинус, тангенс) – періодичні.
Знайдіть точки. Для цього обчисліть похідну від заданої функціїі знайдіть значення x, де вона звертається в нуль. Наприклад, функція f(x) = x^3 + 9x^2 -15 має похідну g(x) = 3x^2 + 18x, яка перетворюється на нуль при x = 0 і x = -6.
Щоб визначити, які точки екстремуму є максимумами, а які мінімумами, відстежте зміну похідних знаків у знайдених нулях. g(x) змінює знак із плюса в точці x = -6, а в точці x = 0 назад з мінусу на плюс. Отже, функція f(x) у першій точці має , а у другій – мінімум.
Таким чином, ви знайшли й області монотонності: f(x) монотонно зростає на проміжку -∞;-6, монотонно зменшується на -6;0 і знову зростає на 0;+∞.
Знайдіть другу похідну. Її коріння покаже, де графік заданої функції буде опуклим, а де - увігнутим. Наприклад, другий похідний від функції f(x) буде h(x) = 6x + 18. Вона звертається в нуль при x = -3 змінюючи при цьому знак з мінусу на плюс. Отже, графік f(x) до цієї точки буде опуклим, після неї - увігнутим, а ця точка буде точкою перегину.
У функції можуть бути інші асимптоти, крім вертикальних, але тільки в тому випадку, якщо в її область визначення входить . Щоб їх знайти, обчисліть межу f(x), коли x→∞ або x→-∞. Якщо він є кінцевим, то ви знайшли горизонтальну асимптоту.
Похила асимптота – пряма виду kx + b. Щоб знайти k, обчисліть межу f(x)/x за x→∞. Щоб знайти b - межа (f(x) – kx) у тому ж x→∞.