Похідна функції однієї змінної.

Введення.

Справжні методичні розробки призначені для студентів факультету промислового та цивільного будівництва. Вони складені стосовно програми курсу математики по розділу «Диференціальне обчислення функцій одного змінного».

Розробки є єдиним методичним керівництвом, що включає в себе: короткі теоретичні відомості; «типові» завдання та вправи з докладними рішеннями та поясненнями до цих рішень; варіанти контрольної роботи.

Наприкінці кожного параграфа додаткові вправи. Така структура розробок робить їх придатними для самостійного оволодіння розділом за мінімальної допомоги з боку викладача.

§1. Визначення похідної.

Механічний та геометричний зміст

похідною.

Поняття похідної одна із найважливіших понять математичного анализа.Оно виникло ще 17 столітті. Формування поняття похідної історично пов'язане з двома завданнями: завданням про швидкість змінного руху та завданням щодо дотичної до кривої.

Ці завдання, незважаючи на їх різний зміст, призводять до однієї і тієї ж математичної операції, яку потрібно провести над функцією. Ця операція отримала в математиці спеціальну назву. Вона називається операцією диференціювання функції. Результат операції диференціювання називається похідною.

Отже, похідної функції y=f(x) у точці x0 називається межа (якщо він існує) відношення збільшення функції до збільшення аргументу
при
.

Похідну прийнято позначати так:
.

Таким чином, за визначенням

Для позначення похідної використовуються також символи
.

Механічний сенс похідної.

Якщо s = s (t) - закон прямолінійного руху матеріальної точки, то
є швидкість цієї точки на момент часу t.

Геометричний зміст похідної.

Якщо функція y=f(x) має похідну в точці , то кутовий коефіцієнт щодо графіку функції в точці
дорівнює
.

приклад.

Знайдіть похідну функції
у точці =2:

1) Дамо точці =2 приріст
. Зауважимо, що.

2) Знайдемо збільшення функції у точці =2:

3) Складемо відношення збільшення функції до збільшення аргументу:

Знайдемо межу відношення при
:

.

Таким чином,
.

§ 2. Похідні від деяких

найпростіших функцій.

Студенту необхідно навчитися обчислювати похідні конкретних функцій: y=x,y= і взагалі y = .

Знайдемо похідну функції у = х.

тобто. (x)′=1.

Знайдемо похідну функції

Похідна

Нехай
тоді

Легко помітити закономірність у виразах похідних від статечної функції
приn = 1,2,3.

Отже,

. (1)

Ця формула справедлива для будь-яких дійсних n.

Зокрема, використовуючи формулу (1), маємо:

;

.

приклад.

Знайдіть похідну функції

.

.

Ця функція є окремим випадком функції виду

при
.

Використовуючи формулу (1), маємо

.

Похідні функцій y=sin x та y=cos x.

Нехай y = sinx.

Розділимо на ∆x, отримаємо

Переходячи до межі при ∆x→0, маємо

Нехай y = cosx.

Переходячи до межі при ∆x→0, отримаємо

;
. (2)

§3. Основні правила диференціювання.

Розглянемо правила диференціювання.

Теорема1 . Якщо функції u = u (x) і v = v (x) диференційовані в даній точці x, то в цій точці диференційована та їх сума, причому похідна суми дорівнює сумі похідних доданків: (u + v) "= u" + v". )

Доказ: розглянемо функцію y=f(x)=u(x)+v(x).

Приросту ∆x аргументу x відповідають приросту ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функцій u та v. Тоді функція y отримає збільшення

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Отже,

Отже, (u+v)"=u"+v".

Теорема2. Якщо функції u = u (x) і v = v (x) диференційовані в даній точці x, то в тій же точці диференційовано і їх добуток. При цьому похідна твори знаходиться за такою формулою: 4)

Доказ: Нехай y=uv, де u та v – деякі функції, що диференціюються від x. Дамо x приріст ∆x; тоді u отримає приріст ∆u, v отримає приріст ∆v і y отримає приріст ∆y.

Маємо y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), або

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Отже, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Звідси

Переходячи до межі при ∆x→0 і враховуючи, щоuіvне залежать від ∆x, матимемо

Теорема 3. Похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, знаменник якої дорівнює квадрату дільника, а чисельник- різниці між твором похідної ділимого на дільник і твором поділеного на похідну дільника, тобто.

Якщо
то
(5)

Теорема 4.Похідна постійної дорівнює нулю, тобто. якщо y=C де С=const, то y"=0.

Теорема 5.Постійний множник можна виносити знак похідної, тобто. якщо y = Cu (x), де С = const, то y "= Cu" (x).

приклад 1.

Знайдіть похідну функції

.

Ця функція має вигляд
, де u = x, v = cosx. Застосовуючи правило диференціювання (4), знаходимо

.

приклад 2.

Знайдіть похідну функції

.

Застосуємо формулу (5).

Тут
;
.

Завдання.

Знайдіть похідні таких функцій:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Скласти ставлення та обчислити межу.

Звідки з'явилася таблиця похідних та правила диференціювання? Завдяки єдиній межі. Здається чаклунством, але насправді – спритність рук і ніякого шахрайства. На уроці Що таке похідна?я почав розглядати конкретні приклади, де за допомогою визначення знайшов похідні лінійної та квадратичної функції. З метою пізнавальної розминки продовжимо турбувати таблицю похідних, відточуючи алгоритм та технічні прийоми рішення:

Приклад 1

По суті, потрібно довести окремий випадок похідної статечної функції, який зазвичай фігурує в таблиці: .

Рішеннятехнічно оформляється двома способами. Почнемо з першого, вже знайомого підходу: драбинка починається з дощечки, а похідна функція – з похідною у точці.

Розглянемо деяку(конкретну) точку , що належить області визначенняфункції, у якій існує похідна. Задамо в цій точці збільшення (Зрозуміло, що не виходить за рамкио/о -я)і складемо відповідне збільшення функції:

Обчислимо межу:

Невизначеність 0:0 усувається стандартним прийомом, розглянутим ще першому столітті до нашої ери. Домножимо чисельник і знаменник на сполучене вираз :

Техніка вирішення такої межі докладно розглянута на вступному уроці про межі функцій.

Оскільки в якості можна вибрати будь-яку точку інтервалу, то, здійснивши заміну, отримуємо:

Відповідь

Вкотре порадіємо логарифмам:

Приклад 2

Знайти похідну функції, користуючись визначенням похідної

Рішення: Розглянемо інший підхід до розкручування того ж завдання. Він такий самий, але раціональніший з погляду оформлення. Ідея полягає в тому, щоб на початку рішення позбутися підрядкового індексу і замість літери використовувати літеру .

Розглянемо довільнуточку , що належить області визначенняфункції (інтервалу), і поставимо в ній збільшення . А ось тут, до речі, як і в більшості випадків, можна обійтися без застережень, оскільки логарифмічна функція диференційована в будь-якій точці області визначення.

Тоді відповідне збільшення функції:

Знайдемо похідну:

Простота оформлення врівноважується плутаниною, яка може виникнути у початківців (та й не лише). Адже ми звикли, що межі змінюється буква «ікс»! Але тут все по-іншому: – антична статуя, а – живий відвідувач, який бадьоро крокує коридором музею. Тобто «ікс» – це «ніби константа».

Усунення невизначеності закоментую покроково:

(1) Використовуємо властивість логарифму .

(2) У дужках почленно ділимо чисельник на знаменник.

(3) У знаменнику штучно домножуємо та ділимо на «ікс» щоб скористатися чудовою межею , при цьому як нескінченно малої величинивиступає.

Відповідь: за визначенням похідної:

Або скорочено:

Пропоную самостійно сконструювати ще дві табличні формули:

Приклад 3

У цьому випадку складене збільшення відразу ж зручно привести до спільного знаменника. Зразковий зразок оформлення завдання наприкінці уроку (перший спосіб).

Приклад 3:Рішення : розглянемо деяку точку , що належить області визначення функції . Задамо в цій точці збільшення і складемо відповідне збільшення функції:

Знайдемо похідну в точці :


Так як як можна вибрати будь-яку точку області визначення функції , то і
Відповідь : за визначенням похідної

Приклад 4

Знайти похідну за визначенням

А тут все необхідно звести до чудовій межі. Рішення оформлене другим способом.

Аналогічно виводиться низка інших табличних похідних. Повний список можна знайти у шкільному підручнику, або, наприклад, 1-му томі Фіхтенгольця. Не бачу особливого сенсу переписувати з книг та докази правил диференціювання – вони також породжені формулою.

Приклад 4:Рішення , що належить , і поставимо в ній приріст

Знайдемо похідну:

Використовуємо чудову межу

Відповідь : за визначенням

Приклад 5

Знайти похідну функції , використовуючи визначення похідної

Рішення: використовуємо перший стиль оформлення Розглянемо деяку точку, що належить, і віддамо в ній збільшення аргументу. Тоді відповідне збільшення функції:

Можливо, деякі читачі ще не до кінця зрозуміли принцип, за яким потрібно складати приріст. Беремо точку (число) і знаходимо в ній значення функції: , тобто у функцію замість«ікса» слід підставити. Тепер беремо теж цілком конкретне число і так само підставляємо його на функцію замість"Ікса": . Записуємо різницю, при цьому необхідно повністю взяти в дужки.

Складене збільшення функції буває вигідно відразу ж спростити. Навіщо? Полегшити та укоротити рішення подальшої межі.

Використовуємо формули, розкриваємо дужки та скорочуємо все, що можна скоротити:

Індичка випатрала, з жаркою ніяких проблем:

У результаті:

Оскільки в якості можна вибрати будь-яке дійсне число, то проведемо заміну та отримаємо .

Відповідь: за визначенням.

З метою перевірки знайдемо похідну за допомогою правил диференціювання та таблиці:

Завжди корисно і приємно знати правильну відповідь заздалегідь, тому краще подумки або на чернетці продиференціювати запропоновану функцію швидким способом на самому початку рішення.

Приклад 6

Знайти похідну функції визначення похідної

Це приклад самостійного рішення. Результат лежить на поверхні:

Приклад 6:Рішення : розглянемо деяку точку , що належить , і поставимо в ній збільшення аргументу . Тоді відповідне збільшення функції:


Обчислимо похідну:


Таким чином:
Оскільки як можна вибрати будь-яке дійсне число, то і
Відповідь : за визначенням.

Повернемося до стилю №2:

Приклад 7

Давайте негайно дізнаємося, що має вийти. за правилу диференціювання складної функції:

Рішення: Розглянемо довільну точку , що належить , задаємо в ній збільшення аргументу і складемо збільшення функції:

Знайдемо похідну:


(1) Використовуємо тригонометричну формулу .

(2) Під синусом розкриваємо дужки, під косинусом наводимо подібні доданки.

(3) Під синусом скорочуємо доданки, під косинусом почленно ділимо чисельник на знаменник.

(4) Через непарність синуса виносимо «мінус». Під косинусом вказуємо, що доданок .

(5) У знаменнику проводимо штучне домноження, щоб використовувати перша чудова межа. Таким чином, невизначеність усунена, зачісуємо результат.

Відповідь: за визначенням

Як бачите, основна труднощі розглянутої задачі впирається в складність межі + невелика своєрідність упаковки. На практиці зустрічаються і той та інший спосіб оформлення, тому я максимально докладно розписую обидва підходи. Вони рівноцінні, але все-таки, на моє суб'єктивне враження, чайникам доцільніше дотримуватися одного варіанта з «ікс нульовим».

Приклад 8

Користуючись визначенням, знайти похідну функції

Приклад 8:Рішення : розглянемо довільну точку , що належить , поставимо в ній збільшення і складемо збільшення функції:

Знайдемо похідну:

Використовуємо тригонометричну формулу і перша чудова межа:

Відповідь : за визначенням

Розберемо більш рідкісну версію завдання:

Приклад 9

Знайти похідну функції у точці , користуючись визначенням похідної.

По-перше, що має вийти у сухому залишку? Число

Обчислимо відповідь стандартним способом:

Рішення: з погляду наочності це завдання значно простіше, оскільки у формулі замість розглядається конкретне значення.

Задамо в точці збільшення і складемо відповідне збільшення функції:

Обчислимо похідну у точці:

Використовуємо дуже рідкісну формулу різниці тангенсів і вкотре зведемо рішення до першій чудовій межі:

Відповідь: визначення похідної в точці.

Завдання не так важко вирішити і «в загальному вигляді» - досить замінити або просто в залежності від способу оформлення. І тут, зрозуміло, вийде не число, а похідна функція.

Приклад 10

Використовуючи визначення, знайти похідну функції у точці (одне з яких може виявитися і нескінченним), про яке я в загальних рисах вже розповів теоретичному уроці про похідну.

Деякі кусково-задані функції диференційовані і в точках «стику» графіка, наприклад, котопес має загальну похідну і загальну дотичну (вісь абсцис) в точці . Кривий, та диференційований на ! Бажаючі можуть переконатися в цьому самостійно на зразок щойно вирішеного прикладу.

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2017-06-11

Міністерство освіти Російської Федерації

“МАТИ”- РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ

ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім. К. Е. ЦІОЛКОВСЬКОГО

Кафедра "Вища математика"

Варіанти курсових завдань

Методичні вказівки до курсового завдання

«Межі функцій. Похідні»

Кулакова Р. Д.

Титаренко В. І.

Москва 1999

Анотація

Пропоновані методичні вказівки мають на меті допомогти студентам першого курсу засвоїти теоретичний та практичний матеріал на тему «Математичний аналіз».

У кожному розділі після теоретичної частини розуміються типові завдання.

У методичних вказівках охоплені такі теми: межі функцій, диференціювання функцій, заданих у різних видах, похідні та диференціали вищих порядків, правило Лопіталя, додаток похідної до задач геометрії та механіки.

Для закріплення матеріалу студентам пропонується виконати курсову роботу з перерахованих вище тем.

Ці методичні вказівки можуть використовуватися на всіх факультетах та спеціальностях.

1. Межі функцій

Для визначення меж послідовностей та функцій використовуються деякі відомі прийоми:

Якщо необхідно знайти межу

можна попередньо привести до спільного знаменника

Поділивши на член, що має максимальний ступінь, отримаємо в чисельнику постійну величину, а в знаменнику - всі члени, що прагнуть 0, тобто

.

Тоді і підставивши x=a, отримаємо:
;

4.
, При підстановці х = 0, отримаємо
.

5. Однак, якщо необхідно знайти межу раціональної функції

, то при розподілі на член з мінімальним ступенем, отримаємо

; і, спрямувавши х до 0, отримаємо:

Якщо в межах містяться ірраціональні вирази, то доводиться вводити нові змінні для отримання раціонального виразу, або переводити ірраціональності зі знаменника в чисельник і навпаки.

6.
; Зробимо заміну змінної. Замінимо
, при
, отримаємо
.

7.
. Якщо чисельник і знаменник помножити на те саме число, то межа не зміниться. Помножимо чисельник на
і розділимо на цей вираз, щоб межа не змінилася, а знаменник помножимо на
і розділимо, на цей вираз. Тоді отримаємо:

Для визначення меж часто використовуються чудові межі:

; (1)

. (2)

8.
.

Для обчислення такої межі зведемо її до 1-ї чудової межі (1). Для цього помножимо і розділимо чисельник на
, а знаменник на
тоді.

9.
Для обчислення цієї межі зведемо її до другої чудової межі. З цією метою з раціонального вираження у дужках виділимо цілу частину та представимо її у вигляді правильного дробу. Так роблять у тих випадках, коли
, де
, а
, де
;

, а
, то остаточно
. Тут використовувалася безперервність композиції безперервних функцій.

2. Похідна

Похідний від функції
називається кінцева межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли останнє прагне до нуля:

, або
.

Геометрично похідна є кутовим коефіцієнтом дотичної до графіка функції
у точці х, тобто
.

Похідна швидкість зміни функції в точці х.

Знаходження похідної називається диференціюванням функції.

Формули диференціювання основних функцій:

3. Основні правила диференціювання

Нехай тоді:

7) Якщо , тобто
, де
і
мають похідні, то
(Правило диференціювання складної функції).

4. Логарифмічне диференціювання

Якщо потрібно знайти з рівняння
, то можна:

а) логарифмувати обидві частини рівняння

б) диференціювати обидві частини набутої рівності, де
є складна функція від х,

.

в) замінити його виразом через х

.

Приклад:

5. Диференціювання неявних функцій

Нехай рівняння
визначає як неявну функцію від x.

а) продиференціюємо по х обидві частини рівняння
, отримаємо рівняння першого ступеня щодо ;

б) з отриманого рівняння виразимо .

Приклад:
.

6. Диференціювання функцій, заданих

параметрично

Нехай функція задана параметричними рівняннями
,

тоді
, або

Приклад:

7. Додаток похідної до завдань

геометрії та механіки

Нехай
і
, де -кут, утворений з позитивним напрямом осі ОХ дотичної до кривої в точці з абсцисою .

Рівняння дотичної до кривої
у точці
має вигляд:

, де -похідна при
.

Нормаллю до кривої називається пряма, перпендикулярна дотичній і через точку торкання.

Рівняння нормалі має вигляд

.

Кут між двома кривими
і
у точці їх перетину
називається кут між дотичними до цих кривих у точці
. Цей кут знаходиться за формулою

.

8. Похідні вищих порядків

Якщо є похідна від функції
, то похідна від називається другою похідною, або похідною другого порядку і позначається , або
, або .

Аналогічно визначаються похідні будь-якого порядку: похідна третього порядку
; похіднаn-го порядку:

.

Для виконання двох функцій можна отримати похідну будь-якого n-го порядку, користуючись формулою Лейбніца:

9. Друга похідна від неявної функції

-Рівняння визначає як неявну функцію від х.

а) визначимо
;

б) продиференціюємо по ліву та праву частини рівності
,

причому, диференціюючи функцію
по змінній х, пам'ятаємо, що є функція від х:

;

в) замінюючи через
, Отримаємо:
і т.д.

10. Похідні від функцій, заданих параметрично

Знайти
якщо
.

11. Диференціали першого та вищих порядків

Диференціалом першого порядку функції
називається головна, лінійна щодо аргументу частина. Диференціалом аргументу називається збільшення аргументу:
.

Диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал аргументу:

.

Основні властивості диференціала:

де
.

Якщо приріст
аргументу мало по абсолютній величині, то
в.

Таким чином, диференціал функції може застосовуватись для наближених обчислень.

Диференціалом другого порядку функції
називається диференціал від диференціалу першого порядку:
.

Аналогічно:
.

.

Якщо
і - незалежна змінна, то диференціали вищих порядків обчислюються за формулами

Знайти диференціали першого та другого порядків функції

12. Обчислення меж за допомогою правила Лопіталя

Усі перелічені межі не використовували апарат диференціального обчислення. Однак, якщо потрібно знайти

і при
обидві ці функції нескінченно малі або обидві нескінченно великі, їхнє відношення не визначено в точці
і, отже, є невизначеністю типу або відповідно. Оскільки це ставлення у точці
може мати межу, кінцеву або нескінченну, то знаходження цієї межі називається розкриттям невизначеності (правило Лопіталя Бернулі),

і має місце така рівність:

, якщо
і
.

=
.

Аналогічне правило має місце, якщо
і
, тобто.
.

=

=
.

Правило Лопіталя дозволяє також розкривати невизначеність типу
і
. Для обчислення
, де
- нескінченно мала, а
- нескінченно велика при
(розкриття невизначеності типу
) слід перетворити твір на вигляд

(невизначеність типу) або до виду (Невизначеність типу ) і далі використовувати правило Лапіталя.

Для обчислення
, де
і
- нескінченно великі при
(розкриття невизначеності типу
) слід перетворити різницю до виду
потім розкрити невизначеність типу . Якщо
, то
.

Якщо ж
, то виходить невизначеність типу (
), яка розкривається аналогічно прикладу 12).

Бо
, то отримаємо в результаті невизначеність типу
і далі маємо

.

Правилом Лопіталя можна також використовувати для розкриття невизначеностей типу
. У цих випадках мається на увазі обчислення межі вираження
, де
у випадку
є нескінченно мала, у разі
- нескінченно велика, а у разі
- функція, межа якої дорівнює одиниці.

Функція
у перших двох випадках є нескінченно малою, а в останньому випадку – нескінченно великою функцією.

Перш ніж шукати межу таких виразів, їх логарифмують, тобто. якщо
, то
, потім знаходять межу
, і після чого знаходять межу . В усіх випадках
є невизначеністю типу
, Яку розкривають аналогічно прикладу 12).

5.

(скористаємося правилом Лопіталя) =

=
.

У цьому творі меж перший дорівнює 1, другий співмножник являє собою перший чудовий межа і він також дорівнює 1, а останній співмножник прагне 0, отже:

і тоді
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

КУРСОВУ РОБОТУ ВКЛЮЧЕНО 21 ЗАВДАННЯ.

№1-4 - Обчислення меж функцій;

№5-10 - Знайти похідні функцій;

№11 – Знайти першу похідну;

№12 – Обчислити функції, заданої параметричному вигляді;

№13 – Знайти d 2 y;

№14 – Знайти y ( n ) ;

№15 – Скласти рівняння нормалі та дотичної до кривої у точці x 0 ;

№16 – Обчислити значення функції приблизно з допомогою диференціала;

№17 – Знайти
;

№18 – Знайти ;

№19 – Знайти ;

№20-21 – Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя.

Варіант 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Обчислити похідну

№5.
.

Що таке похідна?
Визначення та сенс похідної функції

Багато хто здивується несподіваному розташуванню цієї статті в моєму авторському курсі про похідну функцію однієї змінної та її додатків. Адже як було ще зі школи: стандартний підручник насамперед дає визначення похідної, її геометричний, механічний зміст. Далі учні знаходять похідні функцій за визначенням, і, власне, лише потім відточується техніка диференціювання за допомогою таблиці похідних.

Але на мій погляд, більш прагматичний наступний підхід: перш за все, доцільно ДОБРО ЗРОЗУМІТИ межа функції, і, особливо, нескінченно малі величини. Справа в тому, що визначення похідної виходить з понятті межі, яке слабо розглянуте у шкільному курсі Саме тому значна частина молодих споживачів граніту знань погано вникають у суть похідної. Таким чином, якщо ви слабо орієнтуєтеся в диференціальному обчисленні або мудрий мозок за довгі роки успішно позбувся його багажу, будь ласка, почніть з меж функцій. Заодно освоїте/згадайте їхнє рішення.

Той самий практичний сенс підказує, що спочатку вигідно навчитися знаходити похідні, у тому числі похідні складних функцій. Теорія теорією, а диференціювати, як кажуть, хочеться завжди. У зв'язку з цим краще опрацювати перелічені базові уроки, а може й стати майстром диференціюваннянавіть не усвідомлюючи сутності своїх дій.

До матеріалів цієї сторінки рекомендую приступати після ознайомлення із статтею Найпростіші завдання з похідною, де, зокрема, розглянуто завдання про дотичну до графіку функції. Але можна і почекати. Справа в тому, що багато додатків похідної не вимагають її розуміння, і не дивно, що теоретичний урок з'явився досить пізно - коли мені потрібно було пояснювати знаходження інтервалів зростання/зменшення та екстремумівфункції. Більше того, він досить довго перебував у темі « Функції та графіки», Поки я все-таки не вирішив поставити його раніше.

Тому, шановні чайники, не поспішайте поглинати суть похідної як голодні звірі, бо насичення буде несмачним і неповним.

Поняття зростання, зменшення, максимуму, мінімуму функції

Багато навчальних посібників підводять до поняття похідної за допомогою будь-яких практичних завдань, і я теж вигадав цікавий приклад. Уявіть, що ми маємо подорож до міста, до якого можна дістатися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо лише прямі магістралі. Однак прямолінійні напрямки теж бувають різними: до міста можна дістатися рівним автобаном. Або по горбистій шосе - вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна - весь час нахил. Екстремали виберуть маршрут через ущелину з крутим урвищем та стрімким підйомом.

Але якими б не були ваші уподобання, бажано знати місцевість або, щонайменше, мати її топографічну карту. А якщо такої інформації немає? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті натрапити на гірськолижний спуск із веселими фінами. Не факт, що навігатор та навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано б формалізувати рельєф шляху засобами математики.

Розглянемо деяку дорогу (вид збоку):

Про всяк випадок нагадую елементарний факт: подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервнана ділянці, що розглядається.

Які особливості даного графіка?

На інтервалах функція зростає, тобто кожне наступне її значення більшепопереднього. Грубо кажучи, графік іде знизу вгору(забираємось на гірку). А на інтервалі функція зменшується– кожне наступне значення меншепопереднього, і наш графік йде зверху вниз(Спускаємося по схилу).

Також звернемо увагу на особливі точки. У точці ми досягаємо максимуму, тобто існуєтака ділянка шляху, на якому значення буде найбільшим (високим). У точці ж досягається мінімум, і існуєтака її околиця, у якій значення найменше (низьке).

Суворішу термінологію та визначення розглянемо на уроці про екстремуми функції, а поки що вивчимо ще одну важливу особливість: на проміжках функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі – на інтервалі графік злітає вгору набагато крутішеніж на інтервалі. Чи не можна виміряти крутість дороги за допомогою математичного інструментарію?

Швидкість зміни функції

Ідея полягає в наступному: візьмемо деяке значення (читається "дельта ікс"), яке назвемо збільшенням аргументу, і почнемо його «приміряти» до різних точок нашого шляху:

1) Подивимося на саму ліву точку: минаючи відстань, ми піднімаємося схилом на висоту (зелена лінія). Величина називається збільшенням функції, й у разі це приріст позитивно (різниця значень по осі – більше нуля). Складемо відношення, яке і буде мірилом крутості нашої дороги. Очевидно, що - це цілком конкретне число, і, оскільки обидва збільшення позитивні, то .

Увага! Позначення є ЄДИНИМсимволом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці літери окремо. Зрозуміло, коментар стосується символу збільшення функції.

Исследуем природу полученной д