Doğal sayılar

Birçok doğal sayılar, faturalama veya transfer için kullanılır.

Resmi olarak, doğal sayılar kümesi Peano aksiyom sistemi kullanılarak tanımlanabilir.

İLEPeano aksiyom sistemi

1. Birim - herhangi bir sayıyı takip etmeyen doğal sayı.

2. Herhangi bir doğal sayı için var tekil
bunu hemen takip eden şey.

3. Her doğal sayı
hemen yalnızca bir sayıyı takip eder.

4. Eğer bazı ayarlar yapılırsa
içerir ve her doğal sayıyla birlikte hemen ardından gelen sayıyı içerir
(tümevarım aksiyomu).

Bir setteki işlemler

Çarpma

Çıkarma :

Çıkarma Özellikleri: Eğer
O

Eğer
O

Doğal sayıların bölünebilirliği

Bölüm : bölünmüş
Öyle ki

Özelliklerişlemler:

1. Eğer
bölünmüştür O
bölünmüş

2. Eğer
Ve
bölünmüştür O
bölünmüş

3. Eğer
Ve şuna bölünebilir

4. Eğer o zamana kadar bölünebiliyorsa
bölünmüş

5. Eğer
a ile bölünebilir buna ve buna bölünmez
bölünemez

6. Eğer veya buna bölünmüş
bölünmüş

7. Eğer bölünebiliyorsa
sonra şuna bölünür: ve şuna bölünür:

Teoremkalanla bölme hakkında Herhangi bir doğal sayı için
sadece bir tane var pozitif sayılar
Öyle ki
Ve

Kanıt. İzin vermek
Aşağıdaki algoritmayı göz önünde bulundurun:

	Eğer Eğer o zaman başka bir çıkarma işlemi yapalım Kalan sayıdan küçük oluncaya kadar çıkarma işlemine devam ediyoruz. Bir numara var Öyle ki
	Bu algoritmanın tüm satırlarını toplayalım ve gerekli ifadeyi elde edelim.

Temsilin benzersizliğini çelişkiyle kanıtlayacağız.

Diyelim ki iki temsil var

Ve
Bir ifadeyi diğerinden çıkarın ve
Tam sayılarda son eşitlik ancak şu durumda mümkündür:
en
□

Sonuç 1. Herhangi bir doğal sayı şu şekilde temsil edilebilir:
veya veya

Sonuç 2. Eğer
ardışık doğal sayılar ise bunlardan biri bölünebilir

Sonuç 3. Eğer
Ardışık iki çift sayı varsa bunlardan biri bölünebilir

Tanım. Doğal sayı birden ve kendisinden başka böleni yoksa asal sayı denir.

Sonuçlar4. Her asal sayının formu vardır
veya

Aslında herhangi bir sayı formda temsil edilebilir, ancak bu serideki tüm sayılar hariç;
kesinlikle bileşiktir. □

Sonuçlar5 . Eğer
o zaman asal sayı
bölünmüş

Gerçekten mi,
Ardışık üç doğal sayı ve
hatta ve
garip asal. Bu nedenle çift sayılardan biri
Ve
4'e bölünebilir ve biri de bölünebilir □

Örnek 2 . Aşağıdaki ifadeler doğrudur:

1. Tek bir sayının karesi 8'e bölündüğünde kalan verir

2. Hiçbir doğal sayı için n, 3'e bölünebilen n 2 +1 sayısı değildir.

3. Yalnızca 2, 3, 7, 8 sayılarını (muhtemelen birkaç kez) kullanarak bir doğal sayının karesini almak imkansızdır.

Kanıt1. Her türlü şey tek sayışeklinde temsil edilebilir
veya
Bu sayıların her birinin karesini alalım ve gerekli ifadeyi elde edelim.

Kanıt 2. Her doğal sayı şu şekilde temsil edilebilir:
Daha sonra ifade
ifadelerden birine eşit olacaktır
hangileri bölünmez

Kanıt3. Nitekim bir doğal sayının karesinin son rakamı bu rakamların hiçbirinde bitemez.

Bölünebilirlik işaretleri

Tanım. Bir doğal sayının ondalık gösterimi, bir sayının formdaki gösterimidir.

Kısa notasyon

Bölünebilme işaretleri

Onaylandı 6İzin vermek
ondalık gösterim sayılar sayılar Sonra:

1. Sayı şuna bölünebilir:
sayı ne zaman - eşit;

2. Sayı şuna bölünebilir: sayı iki haneli olduğunda
bölünmüş

3. Sayı şuna bölünebilir: Ne zaman
veya

4. Sayı şuna bölünebilir:
Ne zaman

5. Sayı şuna bölünebilir:
sayı iki haneli olduğunda
- bölünmüş

6. Sayı şuna bölünebilir:

7. Sayı şuna bölünebilir: bir sayının rakamlarının toplamı bölündüğünde

8. Sayı şuna bölünebilir:
Bir sayının işaretli rakamları toplamı aşağıdaki sayıya bölündüğünde

Kanıt. 1)-5) işaretlerinin ispatı, sayının ondalık gösteriminden kolayca elde edilir. 6) ve 7)'yi ispatlayalım. Gerçekten mi,

Bundan şu sonuç çıkıyor: eğer bölünebilirse (veya
o zaman sayının rakamlarının toplamı da bölünebilir

11)'i kanıtlayalım. ile bölünebilir olsun. Sayıyı formda temsil edelim.

Tüm eklenen toplamlar bölünebildiğinden
o zaman miktar da □'ye bölünür

Örnek 3 . Formdaki beş basamaklı sayıların tamamını bulun
45'e bölünebilenler.

Kanıt.
Bu nedenle sayı 5'e bölünebilir ve son rakamı 0 veya 5'tir, yani.
veya
Orijinal sayı da 9'a bölünebildiği için 9'a da bölünebilir.
veya 9'a bölünebilir, yani

Cevap:

Bölünebilme testi Açık Ve

Onaylandı 7 Sayı sayısının ondalık gösterimi sayıya bölünebilir olsun
Son üç rakamı olmayan bir sayı ile son üç rakamından oluşan bir sayı arasındaki fark şu sayıya bölündüğünde:

Kanıt. Sayıdan bu yana formda temsil edelim
ile bölünmüş ve
O
ve □ ile bölünebilir

Örnek 4 . İzin vermek
Daha sonra
bölünebilir ve bu nedenle sayı
bölünmüş

İzin vermek
Daha sonra

o sayıya bölünebilir
bölünmüş

Asal sayılar

Eratostenes Eleği

(Tüm asal sayıları elde etmek için basit algoritma)

Algoritma. 1'den 100'e kadar olan tüm sayıları yazıp önce çift sayıların üzerini çiziyoruz. Daha sonra geri kalanlardan 3, 5, 7 vb. ile bölünebilenlerin üstünü çiziyoruz. Sonuç olarak geriye yalnızca asal sayılar kalır.

Öklid teoremi. Sayı asal sayılar sonsuza kadar.

Kanıt"çelişkili." Asal sayıların sayısı sonlu olsun -
Sayıyı düşünün
Soru: sayı - basit mi bileşik mi?

Bileşik sayı ise herhangi bir asal sayıya bölünebilir ve bu nedenle bir bu asal sayıya bölünür. Çelişki.

Asal sayı ise tüm asal sayılardan büyüktür
ve tüm asal sayıları yazdık ve numaralandırdık. Yine bir çelişki. □

Onaylandı 8 Bir sayı bileşik ise, o zaman öyle bir asal böleni vardır ki

Kanıt. Bileşik bir sayının en küçük asal böleni ise
O

Sonuçlar. Bir sayının asal olup olmadığını belirlemek için asal çarpanları olup olmadığını belirlemeniz gerekir.

Örnek 5 . İzin vermek
Bir sayının olup olmadığını kontrol etmek için
basit, asal sayılara bölünebilir olup olmadığını kontrol etmeniz gerekiyor Cevap: sayı
basit.

Asal sayı üreteçleri

Hipotez: Formun tüm numaraları
basit.

Şu tarihte:
- bunlar asal sayılardır
İçin
Tüm sayıların bileşik olduğu manuel olarak ve bilgisayar yardımıyla kanıtlanmıştır.

Örneğin, (Euler)

Hipotez: Formun tüm numaraları
basit.

Şu tarihte:
bu doğru, ha
17'ye bölünebilir.

Hipotez: Formun tüm numaraları
basit.

Şu tarihte:
bu doğru, ha

Hipotez: Formdaki tüm sayılar asaldır. Şu tarihte:
bu doğru, ha

Teorem.(Fermat çarpanlarına ayırma yöntemi) Tek tamsayı asal değildir
öyle doğal sayılar var ki
Kanıt.

□

Örnek 6 . Sayıları asal çarpanlara ayırma

Örnek 7 . Bir sayıyı çarpanlarına ayırın
Bu sayı 3'e bölünür
Ayrıca, faktör seçme yöntemine göre,

Örnek 8 . Sayı hangi tamsayılardadır

basit?

Şunu unutmayın:
basit, o zaman
veya
Cevap:

Onaylı 10 Bir doğal sayı tam kare olduğunda tek sayıda böleni olur mu?

Kanıt. Eğer
bölen
o zaman iki farklı bölen çifti vardır
Ve
ve ne zaman
her iki çift de eşit olacaktır.

Örnek 9 . Sayıların tam olarak 99 böleni vardır. Bir sayının tam olarak 100 böleni olabilir mi?

Cevap: hayır. Gerçekten de önceki mülke göre ve - mükemmel kareler, ama onların işi değil.

Örnek 10 . Sayılar
basit. Bulmak

Çözüm. Herhangi bir sayı şu şekilde temsil edilebilir:
Eğer
sonra üç asal sayı elde edersiniz
problemin koşullarını sağlamak. Eğer
O
kompozit. Eğer
bu sayı
bölünmüş farzedelim
bu sayı
ile bölünebilir. Dolayısıyla, dikkate alınan seçeneklerin hiçbirinde üç asal sayı elde edilemez. Cevap:

Tanım. Sayı sayıların en büyük ortak böleni olarak adlandırılır ve bölen ve bu sayıların en büyüğü ise.

Tanım:

Tanım . Sayıların ve sayıların göreceli olarak asal olduğu söylenir

Örnek 1 2 . Denklemi doğal sayılarla çözün

Çözüm.İzin vermek

Bu nedenle denklem şuna benziyor: Cevap: Çözüm yok.

HAKKINDAaritmetiğin temel teoremi

Teorem. Bundan büyük herhangi bir doğal sayı ya asal sayıdır ya da asal sayıların çarpımı olarak yazılabilir ve bu çarpım, faktörlerin sırasına göre benzersizdir.

Sonuç 1.İzin vermek

Daha sonra
ürüne eşit en küçük kuvvetlere sahip tüm ortak asal faktörler.

Sonuç 2.İzin vermek
Daha sonra
tüm farklı asal faktörlerin çarpımına eşittir büyük ölçüde. bölünmüş

10. 7 2011 + 9 2011 sayısının son rakamını bulun.

11. Birler basamağı ile onlar basamağı arasına sıfır konulursa 9 kat artan tüm doğal sayıları bulun.

12. İki basamaklı bir sayıya sağa ve sola birer tane eklendi. Sonuç, orijinalden 23 kat daha büyük bir sayıydı. Bu numarayı bulun.

Teori veya alıştırmalarla ilgili sorular Valery Petrovich Chuvakov'a sorulabilir.

chv @ uriit . ru

Daha fazla okuma

1.Vilenkin N.Ya. ve diğerleri bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. Aritmetik. Cebir. –M.: Eğitim, 2008.

2. Sevryukov P.F. Bir karara hazırlanmak olimpiyat sorunları matematikte. –M.: Ilexa, 2009.

3. Kanel-Belov A.Ya., Kovaldzhi A.K. Nasıl karar veriyorlar standart dışı görevler. -M. MCNMO, 2009.

4. Agakhanov N.A., Podlipsky O.K. Matematik Olimpiyatları Moskova bölgesi. –M.: Fizmatkniga, 2006

5. Gorbaçov N.V. Olimpiyat problemlerinin derlemesi, –M.:MCNMO, 2004

Ders

“Sayılar teorisi” dersi için ders notları

Ders

Teorinin aşağıdaki bölümleri sayılar: teori bölünebilirlik, basit ve bileşik... Teorem. x>0, xR, dN olsun. Miktar doğalsayılar d'nin katları ve x'i aşmayan, eşittir... Ders 12 13 Ders 13 15 Edebiyat. 17 Soyutdersler"Teoriler" dersinde sayılar" ...

Ulturoloji üzerine ders notları

Soyut

Pavlyuchenkov Soyutdersler kültürel çalışmalarda... eşitsiz ve içinde var olan doğalçiftlikler. Polis'te... sonsuz küçüklerin araştırılması sayılar yaratılışı büyük ölçüde tamamladık... materyal ise bölünebilir sonsuza dek. Manevi...

D A Shadrin Logic ders notları

Soyut

Temsil etmek soyutdersler"Mantık" disiplininde. Soyutdersler derlendi... tanım budur doğalsayılar. Yani eğer 1 - doğal sayı ve n - doğal sayı, sonra 1 ... tüm hacmi tüketir bölünebilir kavramlar falan...

Sayıların bölünebilirliği. Asal ve bileşik sayılar.

Doğal sayıların bölünebilirliği.................................................. ................................................................... ................................... ....................
Aritmetiğin temel teoremi................................................................. ...................................................... ...............................
Bölünebilmenin işaretleri.................................................. ...................................................... ................ ................................................. ......
Sayıların bölünebilirliği ile ilgili açıklamalar.................................................. ....... ................................................... ....
Sözlü görevler.................................................. ......... ................................................... ..... ................................... ..............
“Yarı sözlü” görevler.................................................. ................................................................... ................................................................... ..................
Tam sayı onluğa ne zaman................................................................ ...................................................................... ......................
Toplamların bölünebilme problemleri:.................................................. ....... ................................................... ......................................
Standart dışı görevler................................................. ................................ ................................ ................................................................... ..
Ders kitaplarından bazı problemler................................................. ..... ................................... ................................... ................
Karşılaştırmalar................................................................ ....... ................................................... ................................................................... .................
Fermat'ın Küçük Teoremi................................................................. ................................................................... .....................................................
Tam Sayılarda Denklem Çözme.................................................. ...................................................... ...... ..........
Referanslar:.................................................. ...................................................................... .... ....................................

Heinrich G.N.

FMS No. 146, Perm

Hedeflerden biri matematik eğitimi, yansıtılan federal bileşen devlet standardı matematikte, entelektüel gelişimöğrenciler.

Konu: Sayılarla bölünebilme. Asal ve bileşik sayılar" konusu 5. sınıftan itibaren öğrencilere öğretilen konulardan biridir. daha büyük ölçüde geliştirmek matematik becerileriçocuklar. Okulda birlikte çalışmak derinlemesine çalışma 7. sınıftan itibaren matematik, fizik ve bilgisayar bilimleri öğretiminin yapıldığı okulumuzun matematik bölümü, 5-7. sınıf öğrencilerinin bu konulara daha aşina olmalarını sağlamakla ilgilenmektedir. Bunu Genç Matematikçiler Okulu'ndaki (SYUM) sınıflarda ve okulumuzun öğretmenleriyle birlikte ders verdiğim bölgesel yaz matematik kampında uygulamaya çalışıyoruz. 5. sınıftan 11. sınıfa kadar öğrencilerin ilgisini çekecek görevleri seçmeye çalıştım. Sonuçta, okulumuzun öğrencileri okuyor bu konu programa göre. Ve son 2 yıldır okul mezunları Birleşik Devlet Sınavı'nda bu konuda (C6 tipi problemlerde) sorunlarla karşılaşmaktadır. Teorik materyal farklı durumlarda bunu farklı boyutlarda değerlendiriyorum.

Doğal sayıların bölünebilirliği.

Bazı tanımlar:

Eğer a=bc şeklinde bir doğal sayı varsa, bir a doğal sayısı bir b doğal sayısıyla bölünebilir denir. Aynı zamanda şunu yazıyorlar: a b. bunda

Bu durumda b'ye a'nın böleni denir ve a, b'nin katıdır. Bölenleri olmayan bir doğal sayıya asal sayı denir.

kendisinden ve birimden farklı (örneğin: 2, 3, 5, 7, vb.). Asal olmayan bir sayıya bileşik sayı denir. Birim ne basit ne de bileşiktir.

Bir n sayısı, yalnızca p'nin n'nin ayrıştırıldığı asal faktörler arasında bulunması durumunda bir p asal numarasına bölünebilir.

a ve b sayılarının en büyük ortak bölenine ne denir en büyük sayı hem a'nın böleni hem de b'nin böleni olan, OBEB (a;b) veya D (a;b) ile gösterilir.

En küçük ortak kata denir en küçük sayı hem a hem de b'ye bölünebilen LCM (a;b) veya K (a;b) ile gösterilir.

a ve b sayıları denir karşılıklı olarak asal eğer onların en büyüğü ise ortak bölen bire eşittir.

Heinrich G.N.

FMS No. 146, Perm

Aritmetiğin Temel Teoremi

Her doğal sayı n, benzersiz bir şekilde (faktörlerin sırasına göre) asal çarpanların kuvvetlerinin bir çarpımına genişletilebilir:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

burada p1, p2,…pm n sayısının çeşitli asal bölenleridir ve k1, k2,…km bu bölenlerin oluşum dereceleridir (çokluk dereceleri).

Bölünebilirlik işaretleri

∙ Bir sayının 2'ye bölünmesi ancak ve ancak son basamağının 2'ye (yani çift) bölünebilmesi durumunda mümkündür.

∙ Bir sayının 3'e bölünmesi ancak ve ancak rakamlarının toplamının 3'e bölünmesiyle mümkündür.

∙ Bir sayının 4'e bölünebilmesi için, son iki rakamından oluşan iki basamaklı sayının 4'e tam bölünebilmesi gerekir.

∙ Bir sayı, ancak ve ancak son rakamı 5'e bölünebilirse (yani 0 veya 5'e eşitse) 5'e bölünebilir.

∙ Bir sayının 7'ye (13'e) bölünebilir olup olmadığını öğrenmek için, ondalık gösterimini sağdan sola doğru her biri 3 basamaklı gruplara bölmeniz (en soldaki grup 1 veya 2 basamak içerebilir), ardından tek sayıları almanız gerekir. eksi işaretli "ve çift sayılı gruplar - artı işaretli. Ortaya çıkan ifade 7'ye (13'e) bölünebiliyorsa, o zaman verilen numara 7'ye (13'e) bölünebilir.

∙ Bir sayının 8'e bölünebilmesi için, son üç rakamından oluşan üç basamaklı sayının 8'e tam bölünebilmesi gerekir.

∙ Bir sayının 9'a bölünmesi ancak ve ancak rakamlarının toplamı 9'a bölünebilirse mümkündür.

∙ Bir sayının 10'a bölünmesi ancak ve ancak son rakamının sıfır olması durumunda mümkündür.

∙ Bir sayının 11'e bölünebilmesi için, ondalık gösterimde çift basamaklardaki rakamların toplamı ile ondalık gösterimde tek basamaklardaki rakamların toplamının 11'e bölündüğünde aynı kalanı vermesi gerekir.

Sayıların bölünebilirliği ile ilgili ifadeler.

∙ Eğer a b ve b c ise, o zaman a c .

∙ Eğer a m ise ab m.

∙ Eğer a m ve b m ise a+b m

∙ Eğer a+.b m ve a m ise b m

∙ Eğer a m ve a k ve m ve k aralarında asalsa, o zaman a mk

∙ Eğer ab m ve a m ile aralarında asal ise o zaman b m

Heinrich G.N.

FMS No. 146, Perm

∙ Bu konuyla ilgili derslerde öğrencilerin yaşlarına, derslerin yeri ve saatine göre çeşitli görevler. Bu problemleri esas olarak, geçmiş yılların genç matematikçilerinin Perm bölgesel turnuvasının materyallerinden ve materyaller II ve materyaller de dahil olmak üzere, çalışmanın sonunda belirtilen kaynaklardan seçiyorum. III aşamalarıÖnceki yıllarda matematikte okul çocukları için Rusya Olimpiyatları.

SHYuM1 e'de 5, 6, 7. sınıflarda “Sayıların bölünebilirliği” konusunu işlerken aşağıdaki görevleri kullanıyorum. Asal ve bileşik sayılar. Bölünebilirliğin işaretleri."

Sözlü görevler.

1. 15 sayısının 15'e tam bölünebilmesi için sağına ve soluna 1'er rakam eklenir.

Cevap: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. 10 sayısının 72'ye tam bölünebilmesi için sağına ve soluna 1'er rakam eklenir.

Cevap: 4104.

3. Belli bir sayı 6 ve 4'e bölünebilir. 24'e de bölünebilir mi?

Cevap: hayır, örneğin 12.

4. 36'nın katı olan ve tüm rakamları bir kez gösterilen en büyük doğal sayıyı bulun.

Cevap: 9876543120.

5. Verilen numara 645*7235'tir. Elde edilen sayının 3'ün katı olması için *'yi bir sayıyla değiştirin. Cevap: 1, 4, 7.

6. 72*3* sayısı verilmiştir. Elde edilen sayının 45'in katı olması için * değerini sayılarla değiştirin. Cevap: 72630, 72135.

"Yarı sözlü" görevler.

1. Bir yılda kaç Pazar olabilir?

2. Belirli bir ayda üç pazar günü çift sayılara denk geliyordu. Bu ayın 7'si haftanın hangi günüydü?

3. Parmaklarımızı saymaya başlayalım aşağıdaki gibi: bırakalım o ilk olsun baş parmak, ikinci - indeks, üçüncü - orta, dördüncü - zil sesi, beşinci - küçük parmak, altıncı - tekrar zil sesi, yedinci - orta, sekizinci - işaret parmağı, dokuzuncu - başparmak, onuncu - işaret parmağı vesaire. Hangi parmak olacak 2000 mi?

1 SHYUM - Genç Matematikçiler Okulu - 146 No'lu Fizik Okulu Cumartesi okulu

Heinrich G.N.

FMS No. 146, Perm

1111...111 sayısı hangi n'de 7'ye bölünebilir?

1111...111 sayısı hangi n'de 999.999.999'a bölünebilir?

6. b a kesri indirgenebilir. a + − b b kesri indirgenebilir mi?

7. Ançurya ülkesinde 1 Anchur, 10 Anchur, 100 Anchur, 1000 Anchur cinsinden banknotlar dolaşımda bulunmaktadır. 500.000 banknot kullanarak 1.000.000 çapayı saymak mümkün müdür?

8. İlk rakamı bu sayı ile aynı rakamlarla yazılan bir sayı arasındaki farka eşit olan iki basamaklı bir sayı bulun, ancak ters sıra.

1. Bir yılda 365 veya 366 gün olabilir, her yedinci gün Pazar'dır, yani 365 = 52 × 7 + 1 veya 366 = 52 × 7 + 2, 52 olabilir veya Pazar ayın 1'ine denk geliyorsa 53 olabilir gün.

2. Bu 3 Pazar günü ayın 2'sine, 16'sına ve 30'una denk geliyordu. Bu da bu ayın 7'sinin Cuma olacağı anlamına geliyor.

3. Sayarken parmak sayısı 8 periyot ile tekrarlanacaktır yani 2000'in 8'e bölünmesinden kalanın hesaplanması yeterlidir. 0'a eşittir. Çünkü işaret parmağı sekizinci sırada gelir, sonra 2000'inci işaret parmağı olacak.

tam olarak 7 ve 111111 = 7× 15873. Bundan şu sonuç çıkıyor: eğer kayıtta verilen numara 6 birimden fazla ise her 6 birimden sonra kalan 0 olur. Böylece,

1111...111 formundaki bir sayı ancak ve ancak miktarıyla 7'ye bölünebilir

rakamlar 6'ya bölünebilir, yani n=7× t, burada tО Z.

aynı anda. Bu sayıda birim sayısı 9'un katıdır. Ancak birinci ve ikinci sayılar olan 111 111 111 ve 111 111 111 111 111 111 999 999 999'a bölünemez. 18 birimli sayı ise 999'a bölünür. 999 999. Ayrıca 18'inden başlayarak her 18'inci sayı 999,999,999'a bölünür, yani. n=18× t, burada tО N.

6. Kesir		a azaltılabilir, yani a=bn, burada nО Z. Sonra kesri yeniden yazıyoruz					a - b
							a+b
bn−b		b(n−1)		n - 1	a a + − b b kesrinin olduğu açıktır.	indirgenebilir.
bn + b		b(n+1)		n+1

7. 1 çapa cinsinden bir banknot, 10 çapa cinsinden b, 100 çapa cinsinden c ve 1000 çapa cinsinden d banknotları olsun. Aldık

Daha önce belirtildiği gibi, eğer b ile çarpıldığında a sonucunu veren bir c doğal sayısı varsa, bir a doğal sayısı bir b doğal sayısıyla bölünebilir:

“Tamamen” kelimesi genellikle kısa olması açısından atlanır.

Eğer a, b'ye bölünebiliyorsa, o zaman a'nın b'nin katı olduğunu da söylerler. Örneğin 48 sayısı 24'ün katıdır.

Teorem 1. Eğer faktörlerden biri belirli bir sayıya bölünüyorsa, çarpım da bu sayıya bölünebilir.

Örneğin, 15 3'e bölünebilir, bu da 15∙11'in 3'e bölünebileceği anlamına gelir, çünkü 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Bu argümanlar genel durum için de geçerlidir. A sayısı c'ye bölünebilirse, a = n∙c olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. a sayısı ile keyfi bir doğal sayı b'nin çarpımını ele alalım. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Buradan tanım gereği a∙b çarpımının c'ye de bölünebildiği sonucu çıkar. Q.E.D.

Teorem 2. İlk sayı ikinciye ve ikinci sayı üçüncüye bölünüyorsa, ilk sayı üçüncüye bölünebilir.

Örneğin, 777 111'e bölünebilir çünkü 777 = 7∙111, 111 ise 3'e bölünebilir çünkü 111 = 3∙37. Buradan 777 = 3∙(37∙7) olduğundan 777'nin 3'e bölünebildiği sonucu çıkar.

İÇİNDE genel durum Bu argümanlar neredeyse kelimesi kelimesine tekrarlanabilir. A sayısını b sayısına, b sayısını da c sayısına bölelim. Bu, a = n∙b ve b = m∙c olacak şekilde n ve m doğal sayıları olduğu anlamına gelir. O halde a sayısı şu şekilde temsil edilebilir: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. a = (n∙m)∙c eşitliği, a sayısının c'ye de bölünebileceği anlamına gelir.

Teorem 3. İki sayıdan her biri belirli bir sayıya bölünüyorsa toplamları ve farkları bu sayıya bölünür.

Örneğin 100, 4'e bölünebilir çünkü 100=25∙4; 36 = 9∙4 olduğundan 36 da 4'e bölünebilir. 136'nın 4'e bölünebildiği sonucu çıkıyor çünkü

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Ayrıca 64 sayısının 4'e bölünebildiği sonucuna da varabiliriz çünkü

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Teoremi genel durumda kanıtlayalım. a ve b sayılarından her biri c sayısına bölünsün. O halde, tanım gereği, n ve m doğal sayıları vardır; öyle ki
a = n∙c ve b = m∙c. A ve b sayılarının toplamını düşünün.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Buradan a + b'nin c'ye bölünebildiği sonucu çıkar.

Benzer şekilde a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Bu nedenle a – b, c'ye bölünür.

Teorem 4. İki sayıdan biri belirli bir sayıya bölünüyorsa, diğeri o sayıya bölünemiyorsa, bunların toplamı ve farkı bu sayıya bölünmez.

Örneğin, 148, 37'ye bölünebilir çünkü 148 = 4∙37 ve 11, 37'ye bölünemez. Açıkçası, 148 + 11'in toplamı ve 148 – 11 farkı 37'ye bölünemez, aksi takdirde bu, 3 özelliğiyle çelişir. .

Bölünebilirlik işaretleri

Bir sayının sonu 0 ise 10'a bölünür.

Örneğin 4560 sayısı 0 sayısıyla biter, 456∙10'un 10'a bölümü (Teorem 1'e göre) ile temsil edilebilir.

4561 sayısı 10'a bölünemez çünkü 4561 = 4560+1, 10'a bölünebilen 4560 sayısı ile 10'a bölünmeyen 1 sayısının toplamıdır (Teorem 4'e göre).

Bir sayı 0 veya 5 rakamlarından biriyle bitiyorsa 5'e bölünür.

Örneğin 2300 sayısı 5'e bölünebilir çünkü bu sayı 10'a, 10 da 5'e bölünebilir (Teorem 2'ye göre).

2305 sayısı 5 ile biter, 5'e bölünebilen sayıların toplamı olarak yazılabildiği için 5'e bölünür: 2300 + 5 (Teorem 3'e göre).

52 sayısı 5'e bölünemez çünkü 52 = 50 + 2, 5'e bölünebilen 50 sayısı ile 5'e bölünmeyen 2 sayısının toplamıdır (Teorem 4'e göre).

Bir sayı 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biriyle bitiyorsa 2'ye bölünür.

Örneğin 130 sayısı 0 ile biter, 10'a bölünür, 10 da 2'ye bölünür, dolayısıyla 130 sayısı da 2'ye bölünür.

136 sayısı 6 ile biter, 2'ye bölünebilen sayıların toplamı olarak yazılabildiği için 2'ye bölünür: 130 + 6 (Teorem 3'e göre).

137 sayısı 2'ye bölünemez çünkü 137 = 130 + 7, 2'ye bölünebilen 130 sayısı ile 2'ye bölünmeyen 7 sayısının toplamıdır (Teorem 4'e göre).

2'ye bölünebilen sayılara çift sayı denir.

2'ye bölünmeyen sayılara tek sayı denir.

Örneğin 152 ve 790 sayıları çift, 111 ve 293 sayıları ise tektir.

Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünüyorsa sayının kendisi de 9'a bölünür..

Örneğin 7245 sayısının 7 + 2 + 4 + 5 = 18 rakamlarının toplamı 9'a bölünür. 7245 sayısı 7∙1000 + toplamı olarak gösterilebildiği için 9'a bölünür.
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), burada ilk parantez içindeki toplam 9'a bölünebilir ve ikinci parantez içinde - belirli bir sayının rakamlarının toplamı - ayrıca 9'a bölünür ( Teorem 3'e göre).

375 sayısı 3 + 7 + 5=15 rakamlarının toplamı 9'a bölünemediği için 9'a tam bölünemez. Bu şu şekilde kanıtlanabilir: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), burada ilk parantez içindeki toplam 9'a bölünebilir ve ikinci parantez içinde - 375 sayısının rakamlarının toplamı - bölünemez 9'a kadar (Teorem 4'e göre).

Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa sayının kendisi de 3'e bölünür..

Örneğin, 375 sayısının rakamlarının toplamı 3 + 7 + 5 = 15 olup 3'e bölünebilir ve kendisi de 3'e bölünebilir çünkü 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), birinci parantez içindeki toplam 3'e bölünebilir, ikinci parantez içindeki 375 sayısının rakamlarının toplamı da 3'e bölünebilir.

6 + 7 + 9 = 22'ye eşit olan 679 sayısının rakamlarının toplamı 3'e bölünemez ve sayının kendisi de 3'e bölünemez çünkü 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), burada ilk parantez içindeki toplam 3'e bölünebilir ve ikinci parantezdeki - 679 sayısının rakamlarının toplamı - 3'e bölünemez.

Not. “Sayının sonu rakamla biter...” derken şunu kastediyorlar: ondalık gösterim sayı sayıyla bitiyor..."

Asal ve bileşik sayılar

Her p doğal sayısı 1'e ve kendisine bölünebilir:

p:1=p, p:p=1.

Asal sayı, birden büyük olan ve yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen doğal sayıdır..

İşte ilk on asal sayı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Karmaşık doğal sayılar büyük birimler, kompozit olarak adlandırılır. Her bileşik sayı 1'e, kendisine ve en az bir başka doğal sayıya bölünebilir.

İşte 20'den küçük tüm bileşik sayılar:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Böylece tüm doğal sayılar kümesi asal sayılar, bileşik sayılar ve birden oluşur.

Sonsuz sayıda asal sayı vardır, ilk sayı vardır - 2, ancak son asal sayı yoktur.

Doğal sayıların bölenleri

Bir a doğal sayısı bir b doğal sayısıyla bölünüyorsa b sayısı bölen denir sayılar a.

Örneğin 13 sayısının bölenleri 1 ve 13 sayıları, 4 sayısının bölenleri 1, 2, 4 sayıları, 12 sayısının bölenleri ise 1, 2, 3, 4, 6 sayılarıdır. , 12.

Her asal sayının yalnızca iki böleni vardır; biri ve kendisi, ve her bileşik sayının, biri ve kendisi dışında başka bölenleri vardır.

Bölen asal sayı ise buna asal bölen denir. Örneğin, 13 sayısının asal çarpanı 13'tür, 4 sayısının asal çarpanı 2'dir ve 12 sayısının asal çarpanı 2 ve 3'tür.

Her bileşik sayı, asal bölenlerinin bir ürünü olarak temsil edilebilir. Örneğin,

28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;

81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .

Elde edilen eşitliklerin sağ taraflarına ayrıştırma denir. asal faktörler 28, 22, 81 ve 100 sayıları.

Belirli bir bileşik sayıyı asal çarpanlara ayırmak, onu çeşitli asal çarpanların veya bunların kuvvetlerinin bir ürünü olarak temsil etmek anlamına gelir.

90 sayısını asal çarpanlarına nasıl ayırabileceğinizi gösterelim.

1) 90, 2'ye bölünür, 90:2 = 45;

2) 45, 2'ye bölünmez, 3'e bölünür, 45:3= 15;

3) 15'in 3'e bölümü, 15:3 = 5;

4) 5, 5'e bölünebilir, 5:5 = 1.

Böylece, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

En büyük ortak bölen

12 sayısının 1, 2, 3, 4, 12 çarpanları vardır. 54 sayısının 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 çarpanları vardır. 12 ve 54 sayılarının ortak 1, 2 çarpanlarına sahip olduğunu görüyoruz. , 3 , 6.

12 ve 54 sayılarının en büyük ortak böleni 6 sayısıdır.

a ve b sayılarının en büyük ortak böleni şu şekilde gösterilir: gcd (a, b).

Örneğin, GCD (12, 54) = 6.

En az ortak kat

12'ye bölünebilen bir sayıya 12'nin katı denir. 12 sayısı, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 vb. sayıların katıdır. 18 sayısı 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 vb. sayıların katıdır.

Hem 12'nin hem de 18'in katı olan sayıların olduğunu görüyoruz. Örneğin 36, 72, 108, .... Bu sayılara 12 ve 18'in ortak katları denir.

A ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı, a ve b'ye bölünebilen en küçük doğal sayıdır. Bu sayı şu şekilde gösterilir: LOC (a, b).

İki sayının en küçük ortak katı genellikle iki yoldan biriyle bulunur. Şimdi onlara bakalım.

LCM(18, 24)'ü bulalım.

Yöntem I 24'ün katı olan sayıları (bu sayılardan büyük olanı) yazacağız ve her birinin 18'e bölünüp bölünmediğini kontrol edeceğiz: 24∙1=24 – 18'e bölünmez, 24∙2 = 48 – 18'e bölünmez, 24∙3 = 72 – 18'e bölünebilir, dolayısıyla LCM (24, 18) =
= 72.

II yöntemi. 24 ve 18 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

LCM(24, 18) hem 24 hem de 18'e bölünebilir olmalıdır. Bu nedenle gerekli sayı, daha büyük olan 24 sayısının tüm asal çarpanlarını (yani 2, 2, 2, 3 sayıları) ve genişlemedeki eksik çarpanları içerir. daha küçük sayı 18 (başka bir numara 3). Dolayısıyla LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Eş asal sayıların ortak asal çarpanları olmadığından, en küçük ortak katları bu sayıların çarpımına eşittir. Örneğin 24 ve 25 aralarında asal sayılardır. Bu nedenle LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.

İki sayıdan biri diğerine tam bölünüyorsa bu sayıların en küçük ortak katı büyük olanına eşittir. Örneğin 120, 24'e bölünebilir, dolayısıyla LCM (120, 24) = 120 olur.

Tamsayılar

Hatırlatma. Nesnelerin sayısını saymak için kullanılan sayılara ne ad verilir? doğal sayılar. Sıfır doğal sayı olarak kabul edilmez. Artan sırada ve boşluksuz yazılan doğal sayılar ve sıfır, bir tamsayı dizisi oluşturur Negatif olmayan sayılar:

Bu bölümde yeni numaralar tanıtılacak - negatif tamsayılar.

Tüm negatif sayılar

Temel örnek hayattan - bir termometre. Diyelim ki 7°C sıcaklık gösteriyor. Sıcaklık 4° düşerse termometre 3° ısıyı gösterecektir. Sıcaklıktaki bir azalma çıkarma işlemine karşılık gelir: 7 – 4 = 3. Sıcaklık 7° düşerse termometre 0°: 7 – 7 = 0'ı gösterir.

Sıcaklık 8° düşerse termometre –1° (sıfırın 1° altında) gösterecektir. Ancak 7 – 8 çıkarmanın sonucu, gerçek anlamı olmasına rağmen doğal sayılar ve sıfır kullanılarak yazılamaz.

Negatif olmayan tamsayılar dizisinde 7'den sola doğru 8 sayıyı saymak mümkün değildir. 7 – 8 eylemini mümkün kılmak için, negatif olmayan tam sayıların aralığını genişletelim. Bunu yapmak için sıfırın soluna tüm doğal sayıları sırayla (sağdan sola) yazıyoruz ve her birine bu sayının sıfırın solunda olduğunu belirten bir “-” işareti ekliyoruz.

–1, –2, –3, ... girişleri “eksi 1”, “eksi 2”, “eksi 3” vb. şeklinde okunur:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Ortaya çıkan sayı dizisine tam sayı dizisi denir. Bu girişte sol ve sağdaki noktalar serinin sağa ve sola doğru süresiz olarak devam ettirilebileceği anlamına gelir.

Bu satırda 0 sayısının sağında doğal sayı veya pozitif tam sayı adı verilen sayılar yer almaktadır.