X'in keyfi pdf indir. X'in keyfi

2010 yılında Stephen Strogatz matematiğin temelleri hakkında bir dizi makale yazdı Gazeteler New York Times. Makaleler bir sevinç fırtınasına neden oldu. Her köşesi gazetenin en çok ilgi gören haberi oldu ve yüzlerce yorum aldı. Okuyucular daha fazlasını istedi ve Stephen hayal kırıklığına uğratmadı - hem önceden yayınlanmış bölümleri hem de tamamen yeni bölümleri içeren bu kitap ortaya çıktı.

Matematik biz de dahil olmak üzere bu dünyadaki her şeye nüfuz ediyor, ancak ne yazık ki çok az insan bunu anlıyor evrensel dil onun bilgeliğini ve güzelliğini takdir edecek kadar iyidir. Steven Strogatz lisede hayalini kurduğunuz matematik öğretmenidir. Bir ilgi kıvılcımını ateşleyebilen ve konusuna ömür boyu sevgi aşılayabilen bir öğretmen. Bu inanılmaz derecede hafif ve büyüleyici kitap matematiği tanımamız için hepimize ikinci bir şans veriyor. Her kısa bölümde, sayılara neden ihtiyaç duyulduğundan geometri, integral hesap, istatistik ve sonsuzluk gibi konulara kadar yeni bir şeyler keşfedeceksiniz. Yazar harika matematik fikirlerini herkesin anlayabileceği harika örneklerle basit ve zarif bir şekilde açıklıyor. Bu kitap herkes içindir. Matematiğe biraz aşina olanlar onu yakından tanıyacak, matematiği sevenler ise “bilimlerin kraliçesi” hakkındaki yazıları okumaktan keyif alacaklar.

Önsöz

Zanaatına rağmen (kendisi bir sanatçıdır) bilime tutkuyla bağlı bir arkadaşım var. Ne zaman bir araya gelsek heyecanla konuşuyor. son başarılar psikolojide veya kuantum mekaniği. Ancak matematik konuşmaya başladığımız anda dizlerinde bir titreme hissediyor ve bu onu çok üzüyor. Bunların tuhaf olduğundan şikayet ediyor matematiksel semboller Bunlar sadece onun anlayışının ötesinde olmakla kalmıyor, bazen onları nasıl telaffuz edeceğini bile bilmiyor.

Aslında onun matematiği reddetmesinin nedeni çok daha derindir. Matematikçilerin genel olarak ne yaptıkları ve belirli bir kanıtın zarif olduğunu söylerken ne demek istedikleri hakkında hiçbir fikri olmayacak. Bazen oturup ona en temel bilgilerden, kelimenin tam anlamıyla 1 + 1 = 2'den öğretmeye başlamam ve matematiğin mümkün olduğu kadar derinlerine inmem gerektiğini söyleyerek şakalaşıyoruz.

Her ne kadar bu fikir çılgınca görünse de, bu kitapta tam da bunu uygulamaya çalışacağım. Aritmetikten bilime kadar bilimin tüm ana dallarında size rehberlik edeceğim. yüksek matematik böylece ikinci bir şans isteyenler nihayet bundan yararlanabildiler. Ve bu sefer masa başında oturmanıza gerek kalmayacak. Bu kitap sizi bir matematik uzmanı yapmayacak. Ancak bu disiplinin neyi araştırdığını ve onu anlayanlar için neden bu kadar büyüleyici olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır.

Michael Jordan'ın smaçlarının temel hesabı açıklamaya nasıl yardımcı olabileceğini keşfedeceğiz. Size Öklid geometrisinin temel teoremini, Pisagor Teoremini anlamanın basit ve şaşırtıcı bir yolunu göstereceğim. Hayatın büyük ve küçük bazı gizemlerinin derinliklerine inmeye çalışacağız: Jay Simpson karısını öldürdü mü; bir yatağın mümkün olduğu kadar uzun süre dayanacak şekilde nasıl yeniden konumlandırılacağı; evlenmeden önce kaç partnerin değişmesi gerekiyor - ve neden bazı sonsuzlukların diğerlerinden daha büyük olduğunu göreceğiz.

Matematik her yerde, sadece onu tanımayı öğrenmeniz gerekiyor. Zebranın sırtındaki sinüs dalgasını görebilir, Bağımsızlık Bildirgesi'ndeki Öklid teoremlerinin yankılarını duyabilirsiniz; ne diyebilirim ki, Birinci Dünya Savaşı öncesindeki kuru raporlarda bile negatif sayılar. Ayrıca, matematiğin yeni alanlarının günümüzde hayatımızı nasıl etkilediğini de görebilirsiniz; örneğin, bilgisayarı kullanarak restoran ararken veya en azından borsadaki korkutucu dalgalanmaları anlamaya veya daha iyisi hayatta kalmaya çalıştığımızda.

— Stephen Strogatz'ın “X'in Keyfi” adlı çevrimiçi kitabını okuyun —

15 makaleden oluşan bir dizi ortak ad“Matematiğin Temelleri” Ocak 2010'un sonunda çevrimiçi olarak yayınlandı. Bunların yayınlanmasına yanıt olarak, birçok öğrenci ve öğretmen de dahil olmak üzere her yaştan okuyucudan mektuplar ve yorumlar yağdı. Ayrıca şu ya da bu nedenle anlamanın "yolunu kaybetmiş" meraklı insanlar da vardı. matematik bilimi; şimdi değerli bir şeyi kaçırdıklarını hissettiler ve yeniden denemek istediler. özel sevinç Benim yardımımla çocuklarına matematiği anlatabildikleri ve kendilerinin de matematiği daha iyi anlamaya başladıkları için ebeveynlerden şükran duydum. Görünüşe göre bu bilimin ateşli hayranları olan meslektaşlarım ve yoldaşlarım bile, beyin çocuğumu geliştirmek için her türlü tavsiyeyi sunmak için birbirleriyle yarıştıkları anlar dışında makaleleri okumaktan keyif alıyorlardı.

Aksine geleneksel bilgelik Her ne kadar bu olguya çok az ilgi gösterilse de toplumda matematiğe açık bir ilgi vardır. Tek duyduğumuz matematik korkusu ve yine de çoğu kişi onu daha iyi anlamaya çalışmak istiyor. Ve bu gerçekleştiğinde onları koparmak zor olacaktır.

Bu kitap sizi matematik dünyasının en karmaşık ve ileri düzey fikirleriyle tanıştıracak. Bölümler küçüktür, okunması kolaydır ve birbirlerine özellikle bağlı değildir. Bunların arasında New York Times'taki ilk makale dizisinde yer alanlar da var. Bu nedenle, hafif bir matematik açlığı hissettiğinizde bir sonraki bölüme geçmekten çekinmeyin. İlginizi çeken bir soruyu daha detaylı anlamak istiyorsanız kitabın sonunda notlar var. Ek Bilgiler ve bu konuda başka neler okuyabileceğinize dair öneriler.

X'in Keyfi - Steven Strogatz (indir)

(tanıtım versiyonu)

Son olarak ilginç bir video izlemenizi öneririz

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmıştır:

Kuantum

Scott Patterson

Zeki

Ken Jennings

Para topu

Michael Lewis

Esnek bilinç

Carol Dweck

Borsanın fiziği

James Weatherall

Sevinci X

Birden Sonsuza Rehberli Matematik Turu

Stephen Strogatz

Zevk X

Matematik dünyasına büyüleyici bir yolculuk en iyi öğretmenler Dünyada

Yayıncıdan gelen bilgiler

İlk kez Rusça yayınlandı

Brockman, Inc.'den Steven Strogatz'ın izniyle yayınlanmıştır.

Strogatz, P.

Zevk X. Dünyanın en iyi öğretmenlerinden biri / Stephen Strogatz'dan matematik dünyasına büyüleyici bir yolculuk; Lane İngilizce'den - M .: Mann, Ivanov ve Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Bu kitap matematiğe karşı tutumunuzu kökten değiştirebilir. Her birinde yeni bir şeyler keşfedeceğiniz kısa bölümlerden oluşur. Etrafınızdaki dünyayı incelemek için sayıların ne kadar yararlı olduğunu öğrenecek, geometrinin güzelliğini anlayacak ve zarafetle tanışacaksınız. integral hesabı, istatistiğin önemine ikna olun ve sonsuzlukla temasa geçin. Yazar, temel matematik fikirlerini basit ve zarif bir şekilde, herkesin anlayabileceği harika örneklerle açıklıyor.

Bu kitabın hiçbir bölümü, telif hakkı sahiplerinin yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz.

Yayınevine hukuki destek sağlanmaktadır. hukuk firması"Vegas-Lex"

Önsöz

Zanaatına rağmen (kendisi bir sanatçıdır) bilime tutkuyla bağlı bir arkadaşım var. Ne zaman bir araya gelsek, psikoloji ya da kuantum mekaniğindeki son gelişmelerden heyecanla bahsediyor. Ancak matematik konuşmaya başladığımız anda dizlerinde bir titreme hissediyor ve bu onu çok üzüyor. Bu garip matematiksel sembollerin sadece anlayışına meydan okumakla kalmayıp, bazen onları nasıl telaffuz edeceğini bile bilmediğinden şikayet ediyor.

Her ne kadar bu fikir çılgınca görünse de, bu kitapta tam da bunu uygulamaya çalışacağım. Aritmetikten yüksek matematiğe kadar bilimin tüm önemli dallarında size rehberlik edeceğim, böylece ikinci bir şans isteyenler nihayet bundan yararlanabilecek. Ve bu sefer masa başında oturmanıza gerek kalmayacak. Bu kitap sizi bir matematik uzmanı yapmayacak. Ancak bu disiplinin neyi araştırdığını ve onu anlayanlar için neden bu kadar büyüleyici olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır.

Matematik her yerde, sadece onu tanımayı öğrenmeniz gerekiyor. Zebranın sırtındaki sinüs dalgasını görebilir, Bağımsızlık Bildirgesi'ndeki Öklid teoremlerinin yankılarını duyabilirsiniz; ne diyeyim, Birinci Dünya Savaşı öncesindeki kuru raporlarda bile olumsuz rakamlar var. Matematikteki yeni yönelimlerin günümüzde hayatımızı nasıl etkilediğini de görebilirsiniz; örneğin, bilgisayarı kullanarak restoran ararken veya en azından borsadaki korkutucu dalgalanmaları anlamaya veya daha iyisi hayatta kalmaya çalıştığımızda.

“Matematiğin Temelleri” genel başlığı altında 15 makaleden oluşan bir dizi Ocak 2010'un sonunda çevrimiçi olarak yayınlandı. Yayınlarına yanıt olarak, birçok öğrenci ve öğretmen de dahil olmak üzere her yaştan okuyucudan mektuplar ve yorumlar yağdı. Ayrıca matematik bilimini anlamada şu ya da bu nedenle "yolunu kaybeden" meraklı insanlar da vardı; şimdi bir şeyleri kaçırdıklarını hissettiler O harika ve tekrar denemek isterim. Özellikle ailemin minnettarlığından çok memnun kaldım çünkü benim yardımımla matematiği çocuklarına anlatabildiler ve kendileri de matematiği daha iyi anlamaya başladılar. Görünüşe göre bu bilimin ateşli hayranları olan meslektaşlarım ve yoldaşlarım bile, beyin çocuğumu geliştirmek için her türlü tavsiyeyi sunmak için birbirleriyle yarıştıkları anlar dışında makaleleri okumaktan keyif alıyorlardı.

Popüler inanışın aksine toplumda matematiğe açık bir ilgi var, ancak bu olguya çok az ilgi gösteriliyor. Tek duyduğumuz matematik korkusu ve yine de çoğu kişi onu daha iyi anlamaya çalışmak istiyor. Ve bu gerçekleştiğinde onları koparmak zor olacaktır.

Bu kitap sizi matematik dünyasının en karmaşık ve ileri düzey fikirleriyle tanıştıracak. Bölümler küçüktür, okunması kolaydır ve birbirlerine özellikle bağlı değildir. Bunların arasında New York Times'taki ilk makale dizisinde yer alanlar da var. Bu nedenle, hafif bir matematik açlığı hissettiğinizde bir sonraki bölüme geçmekten çekinmeyin. İlginizi çeken konuyu daha detaylı anlamak istiyorsanız, kitabın sonunda bu konuda başka neler okuyabileceğinize dair ek bilgi ve tavsiyelerin yer aldığı notlar bulunmaktadır.

Adım adım yaklaşımı tercih eden okuyuculara kolaylık sağlamak için, materyali geleneksel çalışma konularına uygun olarak altı bölüme ayırdım.

Bölüm I "Sayılar" aritmetik yolculuğumuza başlıyor anaokulu Ve ilkokul. Sayıların ne kadar yararlı olabileceğini ve çevremizdeki dünyayı tanımlamada ne kadar sihirli bir şekilde etkili olduklarını gösteriyor.

Bölüm II, “Oranlar” dikkati sayıların kendisinden aralarındaki ilişkilere kaydırıyor. Bu fikirler cebirin kalbinde yer alır ve bir şeyin diğerini nasıl etkilediğini açıklayan, çeşitli şeylerin neden-sonuç ilişkisini gösteren ilk araçlardır: arz ve talep, uyaran ve tepki - kısacası her türlü dünyayı bu kadar zengin ve çeşitli kılan ilişkiler.

Bölüm III “Şekiller” sayılar ve sembollerden değil, geometri ve trigonometrinin alanı olan şekiller ve uzaydan bahsediyor. Bu konular, gözlemlenebilir tüm nesnelerin formlar aracılığıyla tanımlanmasıyla birlikte, mantıksal akıl yürütme ve kanıtın yardımıyla matematiği yükseltir. yeni seviye kesinlik.

Bölüm IV, Değişim Zamanı'nda matematiğin en heyecan verici ve çeşitli dalı olan kalkülüse bakacağız. Matematik, gezegenlerin yörüngesini, gelgit döngülerini tahmin etmeyi mümkün kılar ve Evrendeki ve içimizdeki periyodik olarak değişen tüm süreçleri ve olayları anlamayı ve tanımlamayı mümkün kılar. Bu bölümde önemli bir yer, pasifleştirilmesi hesaplamaların çalışmasına izin veren bir atılım haline gelen sonsuzluk çalışmasına ayrılmıştır. Hesaplamalar geçmişte ortaya çıkan birçok sorunun çözülmesine yardımcı oldu antik dünya ve bu sonuçta bilimde ve modern dünyada bir devrime yol açtı.

Bölüm V, "Verinin Birçok Yüzü" olasılık, istatistik, ağlar ve veri bilimi ile ilgilidir; bunlar hâlâ nispeten yeni alanlardır ve fırsat, şans, belirsizlik gibi hayatımızın pek de düzenli olmayan yönlerinden doğmuştur. risk, değişkenlik, kaos, karşılıklı bağımlılık. Matematiğin doğru araçlarını ve uygun veri türlerini kullanarak rastgelelik akışındaki kalıpları tespit etmeyi öğreneceğiz.

Bölüm VI "Mümkün Olanın Sınırları" yolculuğumuzun sonunda sınırlara yaklaşacağız. matematik bilgisi, zaten bilinen ile hala anlaşılması zor ve bilinmeyen arasındaki sınır bölgesine. Konuları zaten aşina olduğumuz sıraya göre tekrar ele alacağız: sayılar, oranlar, rakamlar, değişimler ve sonsuzluk - ama aynı zamanda bunların her birine, modern enkarnasyonlarında daha derinlemesine bakacağız.

Sevinci X

Birden Sonsuza Rehberli Matematik Turu

Brockman, Inc.'den Steven Strogatz'ın izniyle yayınlanmıştır.

Her hakkı saklıdır. Parça yok elektronik versiyon Bu kitap, internet ve kurumsal ağlarda yayınlamak da dahil olmak üzere, özel ve ticari amaçlarla hiçbir biçimde ve hiçbir yöntemle çoğaltılamaz. kamu kullanımı telif hakkı sahibinin yazılı izni olmadan.

Yayınevinin hukuki desteği Vegas-Lex hukuk firması tarafından sağlanmaktadır.

* * *

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmıştır:

Kuantum

Scott Patterson

Zeki

Ken Jennings

Para topu

Michael Lewis

Esnek bilinç

Carol Dweck

Borsanın fiziği

James Weatherall

Önsöz

Sayıların yaşamları ve kontrol edemediğimiz davranışları derken neyi kastettiğimi açıklığa kavuşturmak için Furry Paws Oteli'ne dönelim. Diyelim ki Humphrey siparişi vermek üzereydi ama sonra başka bir odadaki penguenler beklenmedik bir şekilde onu çağırdılar ve aynı miktarda balık istediler. Humphrey iki sipariş aldıktan sonra kaç kez "balık" kelimesini bağırmak zorunda kalacak? Eğer sayılar hakkında hiçbir şey öğrenmeseydi, her iki odada da penguenlerin sayısı kadar çığlık atmak zorunda kalacaktı. Veya sayıları kullanarak aşçıya bir sayı için altı balığa, diğer sayı için de altı balığa ihtiyacı olduğunu açıklayabilirdi. Ama asıl ihtiyacı olan şey yeni konsept- ek. Bu konuda ustalaştığında, gururla altı artı altı (ya da numara yapıyorsa on iki) balığa ihtiyacı olduğunu söyleyecektir.

Bu aynı yaratıcı süreç tıpkı sayıları bulmaya başladığımız zamanlardaki gibi. Sayılar saymayı tek tek listelemekten daha kolay hale getirdiği gibi, toplama da herhangi bir miktarı hesaplamayı kolaylaştırır. Aynı zamanda hesaplamayı yapan kişi matematikçi olarak da gelişir. Bilimsel olarak bu fikir şu şekilde formüle edilebilir: Doğru soyutlamaların kullanılması, konunun özüne dair daha derin bir anlayışa ve onu çözmede daha fazla güce yol açar.

Belki yakında Humphrey bile artık her zaman sayabildiğini anlayacaktır.

Ancak bu kadar sonsuz bir bakış açısına rağmen yaratıcılığımızın her zaman bazı sınırlamaları vardır. 6 ve + derken neyi kastettiğimize karar verebiliriz ama bunu yaptıktan sonra 6+6 gibi ifadelerin sonuçları bizim kontrolümüz dışındadır. Burada mantık bize başka seçenek bırakmayacak. Bu anlamda matematik her zaman hem buluşu hem de buluşu içerir. yani ve açılış: biz icat etmek konsept ama açık onların sonuçları. Aşağıdaki bölümlerin açıkça ortaya koyacağı gibi, matematikte özgürlüğümüz, soru sorma ve cevapları kendimiz icat etmek zorunda kalmadan arama konusunda ısrar etme yeteneğimizde yatmaktadır.

2. Taş aritmetiği

Hayattaki herhangi bir olgu gibi aritmetiğin de iki tarafı vardır: resmi ve eğlenceli (veya eğlenceli).

Resmi kısmı okulda okuduk. Orada bize sayı sütunlarıyla nasıl çalışacağımızı, bunları toplayıp çıkaracağımızı, hesaplamalar yaparken bunları nasıl kürekleyeceğimizi anlattılar. elektronik tablolar doldururken vergi beyannameleri ve hazırlık yıllık raporlar. Aritmetiğin bu tarafı birçok kişi için pratik açıdan önemli görünüyor, ancak tamamen keyifsiz.

Aritmetiğin eğlenceli tarafıyla ancak yüksek matematik eğitimi sürecinde tanışabilirsiniz. Ancak bu bir çocuğun merakı kadar doğaldır.

Paul Lockhart, "Matematikçinin Ağıtı" adlı makalesinde sayıları her zamankinden daha somut örneklerle incelemeyi öneriyor: bizden onları bir dizi taş olarak düşünmemizi istiyor. Örneğin 6 sayısı aşağıdaki çakıl taşı grubuna karşılık gelir:

Burada alışılmadık bir şey görmeniz pek mümkün değil. İşte böyle. Sayıları değiştirmeye başlayana kadar hemen hemen aynı görünüyorlar. Bir görev aldığımızda oyun başlıyor.

Örneğin 1'den 10'a kadar taş içeren setlere bakalım ve bunlardan kareler oluşturmaya çalışalım. 4 = 2 × 2 ve 9 = 3 × 3 olduğundan, bu yalnızca 4 ve 9'lu taşlardan oluşan iki takımla yapılabilir. Bu sayıları başka bir sayının karesini alarak (yani taşları kare şeklinde düzenleyerek) elde ederiz.

Burada bir görev var daha büyük sayıçözümler: taşları iki sıra halinde düzenlerseniz hangi takımların dikdörtgen oluşturacağını bulmanız gerekir. eşit miktar unsurlar. Burada 2, 4, 6, 8 veya 10 taştan oluşan setler uygundur; sayı çift olmalıdır. Geriye kalan takımları tek sayıda taşla iki sıra halinde düzenlemeye çalışırsak, her zaman fazladan bir taş elde ederiz.

Ancak bu garip rakamlar için her şey kaybedilmiş değil! Böyle iki küme alırsanız, fazladan öğeler bir çift bulur ve toplam çift olur: tek sayı + tek sayı = çift sayı.

Bu kuralları 10'dan sonraki sayılara genişletirsek ve bir dikdörtgendeki satır sayısının ikiden fazla olabileceğini varsayarsak, o zaman bazı tek sayılar bu tür dikdörtgenleri katlamanıza izin verecektir. Örneğin 15 sayısı 3×5 boyutunda bir dikdörtgen oluşturabilir.

Dolayısıyla 15 şüphesiz tek bir sayı olmasına rağmen bileşik bir sayıdır ve her biri beşer taştan oluşan üç sıra halinde temsil edilebilir. Benzer şekilde çarpım tablosundaki her girdi kendi dikdörtgen çakıl taşı grubunu üretir.

Ancak 2, 3, 5 ve 7 gibi bazı sayılar tamamen umutsuzdur. Bunları basit bir çizgi (bir satır) şeklinde düzenlemek dışında hiçbir şeyi yerleştiremezsiniz. Bu garip inatçı insanlar ünlü asal sayılardır.

Böylece sayıların onlara belirli bir karakter kazandıran tuhaf yapılara sahip olabileceğini görüyoruz. Ancak davranışlarının tamamını anlamak için bireysel sayılardan bir adım geriye çekilip etkileşimleri sırasında neler olduğunu gözlemlemeniz gerekir.

Örneğin, yalnızca iki tek sayıyı toplamak yerine, 1'den başlayarak olası tüm tek sayı dizilerini toplayalım:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Şaşırtıcı bir şekilde, bu toplamlar her zaman tam kareler olarak ortaya çıkıyor. (Daha önce 4 ve 9'un karelerle temsil edilebileceğini söylemiştik ve 16 = 4 × 4 ve 25 = 5 × 5 için de bu doğrudur.) Hızlı bir hesaplama, bu kuralın daha büyük tek sayılar ve görünüşe göre için de geçerli olduğunu gösterir. , sonsuza eğilimlidir. Peki "ekstra" taşları olan tek sayılar ile kareleri oluşturan klasik simetrik sayılar arasındaki bağlantı nedir? Çakıl taşlarını doğru şekilde yerleştirerek ne olduğunu açıkça ortaya koyabiliriz. ayırt edici özellik zarif bir kanıt.

Bunun anahtarı, tek sayıların birbirini takip eden örtüşmesi bir kare oluşturan eşkenar açılar olarak temsil edilebildiği gözlemidir!

Yakın zamanda basılan başka bir kitapta da benzer bir akıl yürütme yöntemi sunuluyor. Yoko Ogawa'nın büyüleyici romanı The Housekeeper'da ve Profesör, zeki ama eğitimsiz bir genç kadın ve onun on yaşındaki oğlunu konu alıyor. Travmatik beyin hasarı nedeniyle kısa süreli hafızası, hayatının yalnızca son 80 dakikasına ilişkin bilgileri tutan yaşlı bir matematikçinin bakımı için bir kadın işe alındı. Şu anın içinde kaybolmuş, bakımsız kulübesinde tek başına, sayılardan başka hiçbir şeyi olmayan profesör, hizmetçiyle bildiği tek yolla iletişim kurmaya çalışır: ayakkabı numarasını veya doğum tarihini sorarak ve onu yönlendirerek. küçük konuşma masrafları hakkında. Profesör aynı zamanda kahyanın oğlundan da özel olarak hoşlanıyor ve ona Ruth (Kök) adını veriyor çünkü çocuğun üst kısmı düz bir kafaya sahip ve bu ona matematikteki notasyonu hatırlatıyor. karekök √.

Bir gün profesör çocuğa teklifte bulunur. basit görev– 1'den 10'a kadar tüm sayıların toplamını bulun. Ruth dikkatlice tüm sayıları toplayıp (55) yanıtıyla geri döndükten sonra profesör ondan daha kolay bir yol aramasını ister. Cevabı bulabilecek mi? olmadan sayıların sıradan eklenmesi? Ruth bir sandalyeye tekme atıyor ve "Bu adil değil!" diye bağırıyor.

Yavaş yavaş kahya da sayıların dünyasına çekilir ve gizlice bu sorunu kendisi çözmeye çalışır. "Pratik kullanımı olmayan bir çocuk bulmacasıyla neden bu kadar ilgilendiğimi anlamıyorum" diyor. “İlk başta profesörü memnun etmek istedim ama yavaş yavaş bu ders benimle rakamlar arasında bir savaşa dönüştü. Sabah uyandığımda denklem beni bekliyordu:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

ve sanki gözlerimin retinalarına yanmış gibi bütün gün beni takip etti ve onu görmezden gelmemin imkanı yoktu. Profesörün problemini çözmenin birkaç yolu var (kaç tane bulabileceğinizi merak ediyorum). Profesörün kendisi yukarıda zaten uyguladığımız bir akıl yürütme yöntemini öneriyor. 1'den 10'a kadar olan toplamı, ilk sırada bir çakıl taşı, ikincide iki çakıl taşı olacak şekilde, onuncu sırada on çakıl taşı olacak şekilde bir çakıl taşları üçgeni olarak yorumluyor.

Bu resim negatif alan hakkında net bir fikir veriyor. Görünüşe göre sadece yarısı dolu, bu da yönü gösteriyor yaratıcı atılım. Çakıl taşlarından yapılmış bir üçgeni kopyalayıp ters çevirip mevcut üçgenle birleştirirseniz, çok basit bir şey elde edersiniz: her birinde 11 çakıl taşı bulunan on sıra içeren bir dikdörtgen ve toplam sayı Taşlar 110 olacak.

Orijinal üçgen bu dikdörtgenin yarısı olduğundan 1'den 10'a kadar olan sayıların hesaplanan toplamı 110'un yarısı yani 55 olmalıdır.

Bir sayıyı bir grup çakıl taşıyla temsil etmek alışılmadık görünebilir, ancak aslında matematiğin kendisi kadar eskidir. "Hesaplamak" kelimesi hesaplamak) bu mirası yansıtır ve Latince'den türetilmiştir. hesap Romalıların hesaplama yaparken kullandıkları "çakıl taşı" anlamına gelir. Sayıları manipüle etmekten keyif almak için Einstein (Almanca'da "tek taş" anlamına gelir) olmanıza gerek yok, ancak belki de çakıl taşlarıyla hokkabazlık yapabilmek bunu sizin için kolaylaştıracaktır.

Slam smaç, bir oyuncunun bir veya iki eliyle zıpladığı ve topu çemberin içinden yukarıdan aşağıya doğru fırlattığı bir tür basketbol atışıdır. Not çeviri

Jay Simpson ünlü bir Amerikan futbolu oyuncusudur. Ünlü “Çıplak Silah” üçlemesinde Dedektif Northberg rolünü oynadı. Cinayetle suçlandı eski eş ve arkadaşı delillere rağmen beraat etti. Not çeviri

Sayıların yaşadığı büyüleyici fikriyle tanışmak için kendi hayatı ve matematik bir sanat formu olarak kabul edilebilir, bkz. P. Lockhart, A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009). Not ed.: Lockhard'ın "Bir Matematikçinin Çığlığı" adlı makalesinin Rus İnternet'te birçok çevirisi var. İşte bunlardan biri: http://mrega.ru/biblioteka/obrazovanie/130-plachmatematika.html. Burada ve aşağıda süslü parantez içindeki dipnotlar yazarın notlarına atıfta bulunmaktadır.

Bu ünlü ifade E. Wigner'in "Matematiğin doğa bilimlerinde mantıksız etkinliği" başlıklı makalesinden alınmıştır. Communications in Pure and Applied Mathematics, Cilt. 13, Hayır. 1, (Şubat 1960), s. 1–14. Çevrimiçi versiyona http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html adresinden ulaşılabilir.

Bu konu ve matematiğin icat edilip edilmediği veya keşfedilip keşfedilmediği hakkında daha fazla bilgi için bkz. M. Livio, Tanrı Bir Matematikçi mi? (Simon ve Schuster, 2009) ve R. W. Hamming, Matematiğin makul olmayan etkililiği, American Mathematical Monthly, Cilt. 87, Hayır. 2 (Şubat 1980).

Bu bölümün büyük bir kısmını iki mükemmel kitaba borçluyum: P. Lockhart'ın polemik niteliğindeki makalesi A Mathematician's Lament (Bellevue Literary Press, 2009) ve Y. Ogawa'nın romanı The Housekeeper and the Professor (Picador, 2009). Not ed.: Lockhard'ın "Bir Matematikçinin Çığlığı" adlı makalesinden 1. yorumda bahsediliyor. Yoko Ogawa'nın romanının henüz Rusçaya çevirisi yok.

Sayıları ve yapılarını keşfetmek isteyen genç okuyucular için bkz. H. M. Enzensberger, The Number Devil (Holt Paperbacks, 2000). Not ed.: Matematiğin başlangıcı, çalışmalarına standart dışı yaklaşımlar, çocuklarda matematiksel yaratıcılığın gelişimi ve kitabın aşağıdaki bölümleriyle uyumlu benzer konular hakkında çok sayıda Rusça kitap arasında şimdilik aşağıdakileri belirteceğiz: Pukhnachev Yu., Popov Yu. Formülsüz Matematik. M.: JSC "Stoletie", 1995; Oster G. Sorun kitabı. Mutlaka edinilmesi gereken bir matematik rehberi. M.: AST, 2005; Ryzhik V.I. 30.000 matematik dersi: Öğretmenler için bir kitap. M.: Eğitim, 2003: Tuchnin N.P. Nasıl soru sorulur? Okul çocuklarının matematiksel yaratıcılığı hakkında. Yaroslavl: Verkh. -Volzh. kitap Yayınevi, 1989. Mükemmel ama daha fazlası karmaşık örnekler görselleştirme matematiksel görseller

Sevinci X

Birden Sonsuza Rehberli Matematik Turu

Brockman, Inc.'den Steven Strogatz'ın izniyle yayınlanmıştır.

R. B. Nelsen, Sözsüz Kanıtlar (Amerika Matematik Birliği, 1997)'de sunulmuştur.

Yayınevinin hukuki desteği Vegas-Lex hukuk firması tarafından sağlanmaktadır.

* * *

Her hakkı saklıdır. Bu kitabın elektronik versiyonunun hiçbir kısmı, telif hakkı sahibinin yazılı izni olmadan, internette veya kurumsal ağlarda yayınlamak da dahil olmak üzere, özel veya kamuya açık kullanım için herhangi bir biçimde veya herhangi bir yöntemle çoğaltılamaz.

Kuantum

Scott Patterson

Zeki

Ken Jennings

Para topu

Michael Lewis

Esnek bilinç

Carol Dweck

Borsanın fiziği

James Weatherall

Bu kitap aşağıdakilerle iyi bir şekilde tamamlanmıştır:

Sayıların yaşamları ve kontrol edemediğimiz davranışları derken neyi kastettiğimi açıklığa kavuşturmak için Furry Paws Oteli'ne dönelim. Diyelim ki Humphrey siparişi vermek üzereydi ama sonra başka bir odadaki penguenler beklenmedik bir şekilde onu çağırdılar ve aynı miktarda balık istediler. Humphrey iki sipariş aldıktan sonra kaç kez "balık" kelimesini bağırmak zorunda kalacak? Eğer sayılar hakkında hiçbir şey öğrenmeseydi, her iki odada da penguenlerin sayısı kadar çığlık atmak zorunda kalacaktı. Veya sayıları kullanarak aşçıya bir sayı için altı balığa, diğer sayı için de altı balığa ihtiyacı olduğunu açıklayabilirdi. Ama asıl ihtiyacı olan şey yeni bir kavram: ekleme. Bu konuda ustalaştığında, gururla altı artı altı (ya da numara yapıyorsa on iki) balığa ihtiyacı olduğunu söyleyecektir.

Bu, sayıları ilk bulduğumuz zamanki yaratıcı sürecin aynısıdır. Sayılar saymayı tek tek listelemekten daha kolay hale getirdiği gibi, toplama da herhangi bir miktarı hesaplamayı kolaylaştırır. Aynı zamanda hesaplamayı yapan kişi matematikçi olarak da gelişir. Bilimsel olarak bu fikir şu şekilde formüle edilebilir: Doğru soyutlamaların kullanılması, konunun özüne dair daha derin bir anlayışa ve onu çözmede daha fazla güce yol açar.

Belki yakında Humphrey bile artık her zaman sayabildiğini anlayacaktır.

2. Taş aritmetiği

Hayattaki herhangi bir olgu gibi aritmetiğin de iki tarafı vardır: resmi ve eğlenceli (veya eğlenceli).

Resmi kısmı okulda okuduk. Orada bize sayı sütunlarıyla nasıl çalışılacağını, bunları toplayıp çıkaracağımızı, vergi beyannamelerini doldururken ve yıllık raporlar hazırlarken elektronik tablolarda hesaplamalar yaparken bunları nasıl sıkıştıracağımızı anlattılar. Aritmetiğin bu tarafı birçok kişi için pratik açıdan önemli görünüyor, ancak tamamen keyifsiz.

Aritmetiğin eğlenceli tarafıyla ancak yüksek matematik öğrenimi sürecinde tanışabilirsiniz. {3}. Ancak bir çocuğun merakı kadar doğaldır {4}.

Burada alışılmadık bir şey görmeniz pek mümkün değil. İşte böyle. Sayıları değiştirmeye başlayana kadar hemen hemen aynı görünüyorlar. Bir görev aldığımızda oyun başlıyor.

İşte daha fazla çözümü olan bir problem: Taşları eşit sayıda elemanla iki sıra halinde düzenlerseniz hangi setlerin dikdörtgen oluşturacağını bulmanız gerekir. Burada 2, 4, 6, 8 veya 10 taştan oluşan setler uygundur; sayı çift olmalıdır. Geriye kalan takımları tek sayıda taşla iki sıra halinde düzenlemeye çalışırsak, her zaman fazladan bir taş elde ederiz.

Ancak bu garip rakamlar için her şey kaybedilmiş değil! Böyle iki küme alırsanız, fazladan öğeler bir çift bulur ve toplam çift olur: tek sayı + tek sayı = çift sayı.

Bu kuralları 10'dan sonraki sayılara genişletirsek ve bir dikdörtgendeki satır sayısının ikiden fazla olabileceğini varsayarsak, bazı tek sayılar bu tür dikdörtgenlerin eklenmesine izin verecektir. Örneğin 15 sayısı 3×5 boyutunda bir dikdörtgen oluşturabilir.

Örneğin, yalnızca iki tek sayıyı toplamak yerine, 1'den başlayarak olası tüm tek sayı dizilerini toplayalım:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Şaşırtıcı bir şekilde, bu toplamlar her zaman tam kareler olarak ortaya çıkıyor. (Daha önce 4 ve 9'un karelerle temsil edilebileceğini söylemiştik ve 16 = 4 × 4 ve 25 = 5 × 5 için de bu doğrudur.) Hızlı bir hesaplama, bu kuralın daha büyük tek sayılar ve görünüşe göre için de geçerli olduğunu gösterir. , sonsuza eğilimlidir. Peki "ekstra" taşları olan tek sayılar ile kareleri oluşturan klasik simetrik sayılar arasındaki bağlantı nedir? Çakıl taşlarını doğru bir şekilde yerleştirerek bunu açıkça ortaya koyabiliriz ki bu da zarif bir kanıtın ayırt edici özelliğidir. {5}

Bunun anahtarı, tek sayıların birbirini takip eden örtüşmesi bir kare oluşturan eşkenar açılar olarak temsil edilebildiği gözlemidir!

Yakın zamanda basılan başka bir kitapta da benzer bir akıl yürütme yöntemi sunuluyor. Yoko Ogawa'nın büyüleyici romanı Kahya ve Profesör, kurnaz ama eğitimsiz bir genç kadın ile on yaşındaki oğlunun hikayesini anlatıyor. Travmatik beyin hasarı nedeniyle kısa süreli hafızası, hayatının yalnızca son 80 dakikasına ilişkin bilgileri tutan yaşlı bir matematikçinin bakımı için bir kadın işe alındı. Şu anın içinde kaybolmuş, bakımsız kulübesinde tek başına, sayılardan başka hiçbir şeyi olmayan profesör, kahyayla bildiği tek yolla iletişim kurmaya çalışır: ayakkabı numarasını veya doğum tarihini sorarak ve harcamaları hakkında onunla havadan sudan konuşarak. Profesör aynı zamanda kahyanın oğlundan da özel olarak hoşlanıyor ve ona Ruth (Kök) adını veriyor çünkü çocuğun üst kısmı düz bir kafaya sahip ve bu ona karekök √'nin matematiksel gösterimini hatırlatıyor.

Bir gün profesör çocuğa 1'den 10'a kadar olan sayıların toplamını bulma gibi basit bir görev verir. Ruth tüm sayıları dikkatlice toplayıp yanıtla (55) geri döndüğünde, profesör ondan bir sayı aramasını ister. daha kolay bir yol. Cevabı bulabilecek mi? olmadan sayıların sıradan eklenmesi? Ruth bir sandalyeye tekme atıyor ve "Bu adil değil!" diye bağırıyor.

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Sayılar etrafımızdaki dünyayı incelemek için ne kadar faydalıdır, geometrinin güzelliği nedir, integral sayılar ne kadar zariftir ve istatistik ne kadar önemlidir? Steven Strogatz, The Pleasure of X adlı kitabında tüm bunlardan bahsediyor. Yazar temel matematik fikirlerini basit ve zarif bir şekilde açıklayarak herkesin anlayabileceği örnekler veriyor. sitede Mann, Ivanov ve Ferber tarafından yayınlanan kitabın bölümlerinden biri yayınlanıyor.

İstatistik bir anda moda bir alan haline geldi. İnternetin yaygınlaşmasıyla birlikte e-ticaret, sosyal ağlarİnsan genomunun şifresini çözmeye yönelik bir proje olan ve genel olarak dijital kültürün gelişmesiyle bağlantılı olarak dünya veriler içinde boğulmaya başladı. Pazarlamacılar zevklerimizi ve alışkanlıklarımızı inceliyor. İstihbarat hizmetleri Konumumuz, e-posta iletişimlerimiz ve telefon görüşmeleri. Spor istatistikçileri hangi oyuncuların satın alınacağına, kimin draft edileceğine ve kimin yedekleneceğine karar vermek için rakamlarla oynuyor. Herkes noktaları bir grafikte birleştirmeye ve karmaşık bir veri koleksiyonundaki bir modeli keşfetmeye çalışıyor.

Bu eğilimlerin öğretime yansıması şaşırtıcı değildir. Harvard Üniversitesi'nden ekonomist Greg Mankiw, New York Times'taki köşesinde "İstatistiklere bakalım" uyarısında bulunuyor.

"İÇİNDE müfredat matematikte liseÖklid geometrisi ve trigonometri gibi geleneksel konulara çok fazla zaman harcanıyor. Bunlar şunun için faydalıdır: sıradan insan Ancak zihinsel egzersizlerin pek faydası yoktur. günlük yaşam. Öğrenciler olasılık ve istatistik hakkında daha fazla şey öğrenmekten büyük fayda sağlayacaklar.” David Brooks daha da ileri gidiyor. İyi bir eğitim almak için dikkat edilmesi gereken disiplinlerle ilgili makalesinde şöyle yazıyor: “İstatistikleri alın. Göreceksiniz ki, standart sapmanın ne olduğunu bilmek size hayatta çok faydalı olacak.”

Büyük olasılıkla, dağıtımın ne olduğunu anlamak da iyi bir fikirdir. Bahsetmeyi düşündüğüm ilk konu bu. Ve ben buna odaklanmak istiyorum, çünkü bu istatistiğin ana derslerinden biridir: Her şey tek tek bakıldığında son derece rastlantısal ve öngörülemez görünür, ancak birlikte ele alındığında bir model ve öngörülebilirlik ortaya çıkar.

Bu prensibin bir gösterimini bazılarında görmüş olabilirsiniz. bilim müzesi(değilse videolar çevrimiçi olarak bulunabilir). Tipik bir sergi, yüzgeçleri olmayan bir tilt makinesini anımsatan, Galton tahtası adı verilen bir mekanizmadır. İçinde düzenli aralıklarla iğne sıraları bile var.

Galton'un tahtası

Deneyim şununla başlar: üst kısım Galton'un tahtası yüzlerce topu fırlatıyor. Düştüklerinde pimlerle çarpışırlar ve eşit olasılıkla sağa veya sola sıçrarlar ve daha sonra tahtanın alt kısmına dağıtılarak aynı genişlikteki bölmelere düşerler. Bir top sütununun yüksekliği, topun ne kadar muhtemel olduğunu gösterir. burası. Topların çoğu yaklaşık olarak ortaya yerleştirilir, yanlarda daha azı ve kenarlarda daha da azı vardır.

Genel olarak resim son derece öngörülebilir: Her bir topun nereye varacağını tahmin etmek imkansız olsa da, toplar her zaman çan şeklinde bir dağılım oluşturur.

İzole kazalar nasıl dönüşür? genel desenler? Ancak şans bu şekilde işler. Orta sütun en fazla topu içerir, çünkü aşağıya yuvarlanmadan önce birçoğu sağa ve sola yaklaşık olarak aynı sayıda sıçrama yapacak ve sonuç olarak ortada bir yere ulaşacaktır. Kenarlarda bulunan birkaç yalnız top, dağıtımın kuyruklarını oluşturur - bunlar, pimlerle çarpıştıklarında her zaman aynı yönde seken toplardır. Bu tür sıçramalar pek olası değildir, bu nedenle kenarlarda çok az top vardır.

Tıpkı her topun konumunun setin toplamı tarafından belirlenmesi gibi rastgele olaylar Bu dünyadaki birçok olay, birçok küçük durumun sonucudur ve aynı zamanda çan şeklindeki bir eğriye de uyar. Bu prensiple çalışıyorlar sigorta şirketleri. onlar birlikteler yüksek doğruluk her yıl ölen müşterilerinin sayısını sayabilirler. Ancak bu sefer kimin şanssız olacağını tam olarak bilmiyorlar.

Veya örneğin insan boyunu ele alalım. Genetik, biyokimya, beslenme ve sağlıkla ilgili sayısız kazaya bağlıdır. çevre. Bu nedenle, birlikte değerlendirildiğinde yetişkin erkek ve kadınların boylarının çan şeklinde bir eğri oluşturması ihtimali yüksektir.

Arkadaşlık sitesi OkCupid'in istatistik servisi, "İnsanların Çevrimiçi Olarak Kendileri Hakkında Anlattıkları Yanlış Şeyler" adlı bir blog yazısında yakın zamanda müşterilerinin boylarının, daha doğrusu kendi bildirdikleri değerlerin bir grafiğini yayınladı. Her iki cinsiyetin büyüme oranlarının beklendiği gibi çan şeklinde bir eğri oluşturduğu tespit edildi. Ancak şaşırtıcı olan şey, her iki dağılımın da beklenen değerlerin yaklaşık beş inç sağına kaydırılmış olmasıdır.

Strogatz S. H. - M .'den Keyif: Mann, Ivanov ve Ferber, 2014.

Yani OkCupid'in anketine katılan müşteriler ya ortalamanın üzerinde uzun boylular ya da internette kendilerini tanımlarken boylarını birkaç santim daha artırıyorlar.

Bu tür çan eğrilerinin idealize edilmiş bir versiyonu, matematikçilerin normal dağılım dediği şeydir. Bu bir tanesi en önemli kavramlar istatistiklerde, sahip teorik temel. Kanıtlanabilir ki normal dağılım eklendiğinde ortaya çıkar büyük miktar küçük rastgele faktörler ve her biri diğerlerinden bağımsız hareket eder. Ve birçok olay bu şekilde gerçekleşir.

Ama hepsi değil. Dikkat çekmek istediğim ikinci nokta da bu. Normal dağılım göründüğü kadar yaygın değildir. Yüzlerce yıldır, özellikle de son birkaç on yılda, bilim adamları ve istatistikçiler bu eğriden sapan ve kendi programlarını takip eden birçok olgunun varlığına dikkat çektiler. Bu tür dağılımların temel istatistik ders kitaplarında pratikte bahsedilmemesi ve bulunursa genellikle bir tür patoloji olarak kabul edilmesi ilginçtir.

Bu çok tuhaf. Pek çok olguyu açıklamaya çalışacağım modern yaşam elde etmek daha fazla anlam yeter ki bu “patolojik” dağılımlar anlaşılsın. Bu yeni normaldir. Örneğin Amerika Birleşik Devletleri'ndeki şehir büyüklüklerinin dağılımını ele alalım. Belli bir kişinin etrafında toplanmak yerine ortalama boyutçan eğrisi, şehirlerin büyük çoğunluğunda küçük boy ve dolayısıyla grafiğin sol tarafında birikir.

Strogatz S. H. - M .'den Keyif: Mann, Ivanov ve Ferber, 2014.

Ve ne daha büyük nüfusşehirler, bu tür şehirler ne kadar az bulunursa. Başka bir deyişle, toplamda dağılım çan şeklindeki bir eğriden ziyade L şeklinde bir eğri olacaktır.

Ve bu şaşırtıcı değil. Herkes küçük şehirlerden çok daha az mega şehir olduğunu biliyor. Çok açık olmasa da, logaritmik ölçekte baktığınızda şehir büyüklükleri oldukça basit bir dağılım izliyor.

Nüfusları aynı sayıda farklılık gösteriyorsa, iki şehir arasındaki farkın aynı olduğunu varsayacağız (tıpkı bir oktavla ayrılmış herhangi iki piyano tuşunun frekanslarının her zaman yarı yarıya farklı olması gibi). Aynısını dikey eksende de yapalım.

Strogatz S. H. - M .'den Keyif: Mann, Ivanov ve Ferber, 2014.

Veriler artık neredeyse mükemmel düz bir çizgi olan bir eğri üzerinde yer alıyor. Logaritmanın özelliklerine dayanarak, orijinal L şeklindeki eğrinin, formun bir fonksiyonuyla tanımlanan bir kuvvet yasası bağımlılığı olduğu sonucuna varmak kolaydır.

burada x şehrin nüfusu, y bu büyüklükteki şehirlerin sayısıdır, c bir sabittir ve a üssü (kuvvet kanunu üssü) düz çizginin negatif eğimini belirler.

Güç dağılımları geleneksel istatistikler açısından bazı mantık dışı özelliklere sahiptir. Örneğin, normal dağılımdan farklı olarak modları, medyanları ve ortalamaları, L şeklindeki eğrilerin çarpık, asimetrik şekli nedeniyle çakışmaz.

Başkan Bush bundan büyük fayda sağladı ve 2003 yılında vergi indirimlerinin her aileye ortalama 1.586 dolar tasarruf sağladığını söyledi. Bu matematiksel olarak doğru olmasına rağmen, %0,1'lik kesimin aldığı yüzbinlerce dolarlık devasa kesintileri gizleyen ortalama kesintiden yararlandı. en zengin nüfusülkeler. Gelir dağılımının sağ tarafındaki “kuyruk”un bir güç kanununa uyduğu ve benzer durum Ortalama kullanmak gerçek değerinden uzak olduğundan yanıltıcıdır. Gerçekte çoğu aile 650 dolardan daha azını geri aldı. İÇİNDE verilen dağıtım medyan ortalamadan önemli ölçüde düşüktür.

Bu örnek göstermektedir en önemli mülk kuvvet kanunu dağılımları: normal dağılımın en azından küçük sıvı kuyruklarıyla karşılaştırıldığında ağır kuyruklara sahiptirler. Bunun gibi büyük kuyruklar, nadir de olsa, veri dağılımlarında normal çan şeklindeki eğrilerden daha yaygındır.

19 Ekim 1987 Kara Pazartesi gününde Dow Jones Endüstriyel Ortalaması %22 düştü. Borsadaki olağan istikrarsızlık seviyesiyle karşılaştırıldığında bu düşüş yirmiden fazla oldu. standart sapmalar. Geleneksel istatistiklere göre (normal dağılımı kullanan), böyle bir olay neredeyse imkansızdır: olasılığı 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000'de birden azdır (10'un 50. kuvveti). Ancak bu gerçekleşti çünkü borsadaki fiyat dalgalanmaları normal bir dağılım izlemedi.

Ağır kuyruklu dağılımlar bunları tanımlamak için daha uygundur. Bu durum deprem, yangın ve su baskınlarında meydana geliyor ve sigorta şirketlerinin riski yönetmesini zorlaştırıyor.

Aynı matematiksel model savaşlardan ve terörist saldırılardan ölenlerin sayısını ve ayrıca bir romandaki kelime sayısı veya bir kişinin sahip olduğu cinsel partner sayısı gibi çok daha barışçıl şeyleri anlatır.

Uzun kuyrukları tanımlamak için kullanılan sıfatlar onları pek olumlu bir şekilde tasvir etmese de kuyruklu dağılımlar kuyruklarını gururla taşırlar. Şişman, ağır ve uzun mu? Evet, bu doğru. Ama bu durumda bana hangisinin normal olduğunu gösterin?