İntegral kavramının ortaya çıkışı, türevinden bir antiderivatif fonksiyon bulma ihtiyacının yanı sıra, iş miktarını, karmaşık şekillerin alanını, kat edilen mesafeyi, açıklanan eğrilerle özetlenen parametrelerle belirleme ihtiyacından kaynaklanıyordu. doğrusal olmayan formüllerle.
ve bu iş, kuvvet ve mesafenin çarpımına eşittir. Tüm hareket sabit bir hızda gerçekleşirse veya mesafe aynı kuvvetle katedilirse, o zaman her şey açıktır, sadece bunları çarpmanız gerekir. Bir sabitin integrali nedir? y=kx+c formundadır.
Ancak güç, çalışma boyunca ve bir tür doğal bağımlılıkla değişebilir. Hızın sabit olmaması durumunda kat edilen mesafenin hesaplanmasında da aynı durum ortaya çıkar.
Dolayısıyla integrale neden ihtiyaç duyulduğu açıktır. Bir fonksiyonun değerlerinin, argümanın sonsuz küçük bir artışıyla çarpımlarının toplamı olarak tanımlanması, bu kavramın ana anlamını, üstte fonksiyon çizgisiyle sınırlanan bir şeklin alanı olarak tam olarak açıklar ve kenarlarda tanımın sınırlarına göre.
Fransız matematikçi Jean Gaston Darboux, 19. yüzyılın ikinci yarısında integralin ne olduğunu çok net bir şekilde açıkladı. O kadar açık bir şekilde anlatmış ki genel olarak bir ortaokul öğrencisinin bile bu konuyu anlaması zor olmayacaktır.
Diyelim ki herhangi bir karmaşık şeklin bir fonksiyonu var. Argümanın değerlerinin çizildiği koordinat ekseni küçük aralıklara bölünmüştür, ideal olarak bunlar sonsuz küçüktür, ancak sonsuzluk kavramı oldukça soyut olduğundan, değeri genellikle küçük olan küçük bölümleri hayal etmek yeterlidir. Yunanca Δ (delta) harfiyle gösterilir.
Fonksiyonun küçük tuğlalara "doğranmış" olduğu ortaya çıktı.
Her argüman değeri, ilgili fonksiyon değerlerinin çizildiği ordinat eksenindeki bir noktaya karşılık gelir. Ancak seçilen alanın iki sınırı olduğundan büyük ve küçük olmak üzere iki fonksiyon değeri de olacaktır.
Δ artışı ile daha büyük değerlerin çarpımlarının toplamına büyük Darboux toplamı denir ve S olarak gösterilir. Buna göre, sınırlı bir alandaki daha küçük değerlerin Δ ile çarpılması hep birlikte küçük bir Darboux toplamı s oluşturur. . Kesitin kendisi dikdörtgen bir yamuğa benzer, çünkü fonksiyon çizgisinin sonsuz küçük bir artışla eğriliği ihmal edilebilir. Böyle bir geometrik şeklin alanını bulmanın en kolay yolu, fonksiyonun daha büyük ve daha küçük değerlerinin çarpımlarını Δ artışıyla toplamak ve ikiye bölmektir, yani bunu aritmetik ortalama olarak belirlemektir.
Darboux integrali budur:
s=Σf(x) Δ - küçük miktar;
S= Σf(x+Δ)Δ büyük bir miktardır.
Peki integral nedir? Fonksiyon çizgisi ve tanımın sınırları ile sınırlanan alan şuna eşit olacaktır:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Yani, büyük ve küçük Darboux toplamlarının aritmetik ortalaması, farklılaşma sırasında sıfırlanan sabit bir değerdir.
Bu kavramın geometrik ifadesine dayanılarak integralin fiziksel anlamı netlik kazanmaktadır. Hız fonksiyonuyla özetlenen ve x ekseni boyunca zaman aralığıyla sınırlanan mesafe, kat edilen mesafenin uzunluğu olacaktır.
t1 ila t2 aralığında L = ∫f(x)dx,
f(x) hızın bir fonksiyonudur, yani zamanla değiştiği formüldür;
L - yol uzunluğu;
t1 - yolculuğun başlangıç zamanı;
t2 yolculuğun bitiş zamanıdır.
İş miktarını belirlemek için tam olarak aynı prensip kullanılır; sadece apsis boyunca mesafe çizilir ve her belirli noktaya uygulanan kuvvet miktarı ordinat boyunca çizilir.
Eğrisel bir yamuğun alanı sorununa ve belirli integralin tanımına dönelim. f(x)0 olduğu y=f(x) eğrisi ile sınırlanan eğrisel bir yamukun alanının, x ekseni ve x = a ve x = b doğrularına sayısal olarak eşit olduğunu görüyoruz. belirli bir integral, yani
Şu ana kadar a ve b integrallerinin sabit limitleri olan belirli bir integrali ele aldık. Örneğin segmentten ayrılmadan üst limiti değiştirirseniz integralin değeri değişecektir. Başka bir deyişle, üst limiti değişken olan bir integral, üst limitinin bir fonksiyonudur. Böylece, eğer integralimiz varsa
sabit alt limitli A ve değişken bir üst limit x varsa, bu integralin değeri üst limit x'in bir fonksiyonu olacaktır. Bu fonksiyonu Ф(х) ile gösterelim, yani
(2.1)
ve buna üst limiti değişken olan belirli bir integral diyoruz. Geometrik olarak, f(x)0 ise, Ф(x) fonksiyonu gölgeli kavisli bir yamuğun alanıdır (Şekil 2)
Şimdi matematiksel analizin temel teoremlerinden biri olan teoremin ispatına bakalım.
Teorem
3
.
Eğer f(t) sürekli bir fonksiyon ise ve 
o zaman eşitlik geçerlidir
veya 
(2.2)
Başka bir deyişle, sürekli bir fonksiyonun belirli bir integralinin değişken bir üst limite göre türevi mevcuttur ve integralin üst limitteki değerine eşittir.
Kanıt. Herhangi bir x değerini alalım ve ona x + x olacak şekilde bir x 0 artışı verelim, yani. 
. Daha sonra Ф(х) fonksiyonu yeni bir değer alacaktır:
Ф(х) fonksiyonunun artışını buluyoruz:
Ф = Ф(x+x) – Ф(x) =
Ortalama değer teoremini elde ettiğimiz son integrale uygularsak:
burada C, x ve x + x sayıları arasındaki sayıdır. Buradan 
Şimdi x 0 ise, c x ve f(c) f(x) ( f(x)'in . üzerindeki sürekliliğinden dolayı). Dolayısıyla elde ettiğimiz son eşitlikteki limite geçerek
F
(
X
)
veya 
,
Q.E.D.
Sonuçlar. Değişken bir üst limite sahip belirli bir integral, sürekli bir integralin antiderivatiflerinden biridir. Başka bir deyişle, Herhangi bir sürekli fonksiyonun bir antiderivatifi vardır,
Yorum. Değişken üst entegrasyon sınırına sahip bir integral, birçok yeni fonksiyonu tanımlamak için kullanılır, örneğin:
.
3. Newton-Leibniz formülü
Daha önce de belirttiğimiz gibi, integral toplamlarının limitini bulmaya dayalı bir yöntemle belirli bir integralin hesaplanması genellikle büyük zorluklarla ilişkilidir. Bu nedenle, belirli ve belirsiz integral kavramları arasındaki yakın bağlantıya dayanan, belirli integralleri hesaplamak için genellikle daha uygun başka bir yöntem vardır. Bu bağlantı aşağıdaki şekilde ifade edilir
Teorem 4 . Sürekli bir fonksiyonun belirli integrali, üst ve alt entegrasyon limitleri için antitürevlerinden herhangi birinin değerleri arasındaki farka eşittir.
Kanıt. Bu parça üzerinde sürekli olan f(x) fonksiyonunun bir ters türevi olduğunu ve ters türevlerden birinin de bu fonksiyon olduğunu tespit ettik.
.
F(x)'in aynı parça üzerinde f(x) fonksiyonunun herhangi bir başka terstürevi olmasına izin verin. Ф(х) ve F(х) antiderivatifleri bir sabit kadar farklılık gösterdiğinden (antitürevlerin özelliklerine bakınız), aşağıdaki eşitlik geçerlidir:
burada C belirli bir sayıdır. Bu eşitliğin yerine değeri koyarsak X = A sahip olacağız 0 = F(A) + C, C = - F(A), yani x için elimizde
x = b'yi ayarlayarak ilişkiyi elde ederiz
(3.1)
Formül (3.1)'e Newton-Leibniz formülü denir. Fark F(B)
–
F(A)
Geleneksel olarak formda yazmak gelenekseldir. 
ve sonra formül (3.1) şu formu alır
Yani elde ettiğimiz formül (3.1) bir yandan belirli ve belirsiz integraller arasında bir bağlantı kurarken diğer yandan belirli integralin hesaplanması için basit bir yöntem verir:
sürekli bir fonksiyonun belirli integrali, entegrasyonun üst ve alt limitleri için hesaplanan antitürevlerinden herhangi birinin değerlerindeki farka eşittir.
Talimatlar
Entegrasyon, farklılaşmanın tersi olan bir işlemdir. Bu nedenle, nasıl iyi bir şekilde integral alacağınızı öğrenmek istiyorsanız, öncelikle herhangi bir fonksiyonun türevlerini nasıl bulacağınızı öğrenmeniz gerekir. Bunu oldukça hızlı bir şekilde öğrenebilirsiniz. Sonuçta özel bir türevi var. Onun yardımıyla basit integralleri gerçekleştirmek zaten mümkün. Ayrıca temel belirsiz integrallerin bir tablosu da vardır. Şekilde gösterilmiştir.
İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";
İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;
İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Karmaşık bir fonksiyon verilirse, iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevinin çarpılması gerekir. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.
Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Verilen bir noktada fonksiyonun değerini hesaplayın y"(1)=8*e^0=8
İşlev F(X ) isminde antiderivatif fonksiyon için F(X) belirli bir aralıkta, eğer herkes içinse X bu aralıktan itibaren eşitlik geçerlidir
F"(X ) = F(X ) .
Örneğin, fonksiyon F(x) = x 2 F(X ) = 2X , Çünkü
F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Antiderivatifin temel özelliği
Eğer F(x) - bir fonksiyonun antiderivatifi f(x) belirli bir aralıkta, o zaman fonksiyon f(x) sonsuz sayıda antiderivatifi vardır ve tüm bu antiderivatifler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C, Nerede İLE keyfi bir sabittir.
Örneğin. İşlev F(x) = x 2 + 1 fonksiyonun ters türevidir F(X ) = 2X , Çünkü F"(x) = (x2 + 1 )" = 2 x = f(x); işlev F(x) = x 2 - 1 fonksiyonun ters türevidir F(X ) = 2X , Çünkü F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; işlev F(x) = x 2 - 3 fonksiyonun ters türevidir F(X) = 2X , Çünkü F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); herhangi bir fonksiyon F(x) = x 2 + İLE , Nerede İLE - keyfi bir sabit ve yalnızca böyle bir fonksiyon, fonksiyonun ters türevidir F(X) = 2X . ◄ |
Antiderivatifleri hesaplama kuralları
- Eğer F(x) - için antiderivatif f(x) , A G(x) - için antiderivatif g(x) , O F(x) + G(x) - için antiderivatif f(x) + g(x) . Başka bir deyişle, toplamın ters türevi ters türevlerin toplamına eşittir .
- Eğer F(x) - için antiderivatif f(x) , Ve k - sabit o zaman k · F(x) - için antiderivatif k · f(x) . Başka bir deyişle, sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir .
- Eğer F(x) - için antiderivatif f(x) , Ve k,B- sabit ve k ≠ 0 , O 1 / k F( k x+ B ) - için antiderivatif F(k x+ B) .
Belirsiz integral
Belirsiz integral fonksiyondan f(x) ifade denir F(x) + C yani belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin kümesi f(x) . Belirsiz integral şu şekilde gösterilir:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- arıyorlar integral fonksiyonu ;
f(x)dx- arıyorlar integrand ;
X - arıyorlar entegrasyon değişkeni ;
F(x) - ilkel işlevlerden biri f(x) ;
İLE keyfi bir sabittir.
Örneğin, ∫ 2 x dx =X 2 + İLE , ∫ çünküx dx = günah X + İLE ve benzeri. ◄
"İntegral" kelimesi Latince kelimeden gelir. tamsayı "geri yüklenen" anlamına gelir. belirsiz integrali dikkate alındığında 2 X, işlevi geri yüklemiş gibiyiz X 2 türevi şuna eşit olan 2 X. Bir fonksiyonu türevinden geri döndürmeye veya aynı anlama gelen, belirli bir integral üzerinde belirsiz bir integral bulmaya ne denir? entegrasyon bu fonksiyon. İntegral, türev almanın ters işlemidir. İntegral işleminin doğru yapılıp yapılmadığını kontrol etmek için sonucun türevini alıp integrandın elde edilmesi yeterlidir.
Belirsiz integralin temel özellikleri
- Belirsiz integralin türevi integrale eşittir:
- İntegralin sabit faktörü integral işaretinden çıkarılabilir:
- Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına (farkına) eşittir:
- Eğer k,B- sabit ve k ≠ 0 , O
(∫ f(x)dx )" = f(x) .
∫ k · f(x)dx = k · ∫ f(x)dx .
∫ ( f(x) ± g(x) ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .
Antiderivatifler ve belirsiz integraller tablosu
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| BEN. | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| V. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\çünkü x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| X. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Bu tabloda verilen ters türevli ve belirsiz integrallere genellikle denir. tablosal antiderivatifler
Ve masa integralleri
. |
|||
Belirli integral
Araya girsin [A; B] sürekli bir fonksiyon verilmiştir y = f(x) , Daha sonra a'dan b'ye belirli integral işlevler f(x) antiderivatifin artışı denir F(x) bu fonksiyon, yani
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Sayılar A Ve B buna göre çağrılır daha düşük Ve tepe entegrasyonun sınırları.
Belirli bir integralin hesaplanması için temel kurallar
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) burada k - devamlı;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), burada f(x) — eşit işlev;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), burada f(x) garip bir fonksiyondur.
Yorum . Her durumda, integrandların, sınırları entegrasyonun sınırları olan sayısal aralıklarda entegre edilebilir olduğu varsayılır.
Belirli integralin geometrik ve fiziksel anlamı
| Geometrik anlam belirli integral | Fiziksel anlam
belirli integral |
 |  |
Kare S eğrisel yamuk (aralıkta sürekli bir pozitifin grafiğiyle sınırlı bir şekil) [A; B] işlevler f(x) , eksen Öküz ve düz x=a , x=b ) formülle hesaplanır $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Yol S Maddi noktanın üstesinden geldiği, kanuna göre değişen bir hızla doğrusal olarak hareket eden v(t)
, bir süreliğine ;
B] , daha sonra bu fonksiyonların ve düz çizgilerin grafikleriyle sınırlı olan şeklin alanı x = bir
, x = b
, formülle hesaplanır $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Örneğin. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayalım y = x 2 Ve y= 2-X . Bu fonksiyonların grafiklerini şematik olarak gösterelim ve alanının bulunması gereken şekli farklı bir renkle vurgulayalım. İntegral sınırlarını bulmak için denklemi çözeriz: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Dönen bir cismin hacmi
 | Bir eksen etrafında dönme sonucu bir cisim elde edilirse Öküz aralıkta sürekli ve negatif olmayan bir grafikle sınırlanan eğrisel yamuk [A; B] işlevler y = f(x) ve düz x = bir Ve x = b , o zaman denir dönme gövdesi . Dönen bir cismin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır: $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Fonksiyon grafikleri ile yukarıdan ve aşağıdan sınırlanan bir şeklin döndürülmesi sonucunda bir devrim cismi elde edilirse y = f(x) Ve y = g(x) buna göre, o zaman $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Örneğin. Yarıçaplı bir koninin hacmini hesaplayalım R
ve yükseklik H
. Koniyi dikdörtgen bir koordinat sisteminde, ekseni eksenle çakışacak şekilde konumlandıralım. Öküz
ve tabanın merkezi orijinde bulunuyordu. Jeneratör dönüşü AB bir koniyi tanımlar. Denklemden bu yana AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| ve elimizdeki koninin hacmi için $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|