An aritmetiktir. Aritmetik ilerlemenin toplamı

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce en çok gezginimize dikkat edin. yararlı kaynakİçin

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin:

vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından ortaya atılmış ve daha sonra anlaşılmıştır. geniş anlamda sonsuz bir sayı dizisi gibi. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
öyle mi aritmetik ilerleme - b, c.
değil mi aritmetik ilerleme - a, d.

Hadi geri dönelim verilen ilerleme() ve inci üyesinin değerini bulmaya çalışın. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:


Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini önceki değere sırayla eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Haydi "kişiliksizleştirmeye" çalışalım bu formül- hadi onu buraya getirelim genel görünüm ve şunu elde ederiz:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdakilerden oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: aşağıdaki sayılar: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:


O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:

Haydi o zaman:

Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

  • ilerlemenin önceki dönemi:
  • ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Yani önceki ve ardışık değerleri bilinen bir ilerleme teriminin değerini bulmak için bunları toplayıp bölmeniz gerekir.

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye göre tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Karl Gauss tarafından kolayca çıkarılabilen tek bir formül bulmak kalıyor...

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu problemi sordu: “Tüm sayıların toplamını hesaplayın. doğal sayılar(diğer kaynaklara göre) kadar dahil.” Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın.


Hiç denedin mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir


Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç tane çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak şunu elde ederiz: toplam tutarşuna eşittir:
.
Dolayısıyla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının formülü şu şekilde olacaktır:

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Buna mı karar verdin?

Aslında aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar Aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandı.
Örneğin, hayal edin Eski Mısır ve en çok büyük ölçekli inşaat o zamanlar - bir piramidin inşası... Resimde onun bir tarafı görülüyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun.


Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse, bir duvarı inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

İÇİNDE bu durumda ilerleme şuna benziyor aşağıdaki gibi: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Başarabildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

  1. Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
  2. İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
  3. Günlükleri saklarken, kaydediciler bunları her biri üst katmanöncekinden bir eksik günlük içerir. Duvarın temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Cevaplar:

  1. Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
    (haftalar = günler).

    Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.

  2. Birinci tek sayı, son numara.
    Aritmetik ilerleme farkı.
    Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:

    Sayılar tek sayılar içerir.
    Mevcut verileri formülde değiştirelim:

    Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.

  3. Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir grup katman vardır, yani.
    Verileri formülde yerine koyalım:

    Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

  1. - Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
  2. Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
  3. Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
  4. Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:

    değerlerin sayısı nerede.

Aritmetik İlerleme. ORTA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Sayıyı taşıyan sayıya dizinin inci üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (burada ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

n'inci terim formülü

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendiniz karar verin:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark nedir? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Efsaneye göre, büyük matematikçi Karl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. İlk ve son sayıların toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayıların toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve 3'üncü sayıların toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Hepsinin toplamını bulun çift ​​haneli sayılar, katları.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonrakilerin her biri eklenerek elde edilir önceki tarih. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

  1. Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
  2. Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
  3. Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan bir buzdolabının altı yıl sonra ruble karşılığında satılması durumunda, buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Cevaplar:

  1. Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
    .
    Cevap:
  2. Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
    Açıkçası, buradakiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir. önceki görev:
    .
    Değerleri değiştirin:

    Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
    Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
    (km).
    Cevap:

  3. Verilen: . Bulmak: .
    Daha basit olamazdı:
    (ovmak).
    Cevap:

Aritmetik İlerleme. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme Artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Eğer komşu terimleri biliniyorsa, bir ilerlemenin bir terimini kolayca bulmanızı sağlar; ilerlemedeki sayıların sayısı nerededir.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Değerlerin sayısı nerede.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Başarılı olmak için Birleşik Devlet Sınavını geçmek, düşük bir bütçeyle ve EN ÖNEMLİSİ de ömür boyu üniversiteye kabul için.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

Alınan insanlar iyi eğitim, almayanlardan çok daha fazlasını kazanın. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha açık yollar olduğu için daha fazla olasılık ve hayat daha mı parlaklaşıyor? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analiz ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

  1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
  2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuyla ilgili her türlü görev var. Temelden oldukça sağlama.

Öncelikle miktarın anlamını ve formülünü anlayalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Miktarın anlamı möö kadar basittir. Aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm terimlerini dikkatlice eklemeniz yeterlidir. Bu terimler azsa formüllere gerek kalmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok ya da çok varsa... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül imdadımıza yetişir.

Miktarın formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin yer aldığını bulalım. Bu, işleri büyük ölçüde açıklığa kavuşturacaktır.

Sn - aritmetik ilerlemenin toplamı. Toplama sonucu herkesüyeleri ile Birinciİle son. Bu önemli. Tam olarak topluyorlar Tümüyeleri atlamadan veya atlamadan arka arkaya. Ve tam olarak şundan başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinciden yirminciye kadar olan terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde - doğrudan uygulama formüller hayal kırıklığı yaratacaktır.)

1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. Serinin son sayısı. Çok tanıdık bir isim değil ama miktara uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N - son üyenin numarası. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısıyla örtüşür.

Konsepti tanımlayalım sonüye BİR. Zor soru: Hangi üye olacak sonuncusu eğer verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?)

Kendinize güvenerek cevap verebilmek için aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve... görevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde her zaman son terim görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), ki bu sınırlı olmalıdır. Aksi takdirde nihai, belirli bir miktar basitçe mevcut değil.Çözüm için ilerlemenin verilip verilmediği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayı ya da n'inci terim için bir formül.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk döneminden sayı içeren döneme kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında formülün tam adı şuna benzer: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca göreve göre belirlenir. Bir görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet... Ama boş verin, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkarıyoruz.)

Aritmetik ilerlemenin toplamı ile ilgili görev örnekleri.

Öncelikle, faydalı bilgiler:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren görevlerdeki temel zorluk, doğru tanım formülün unsurları.

Görev yazarları aynı öğeleri şu şekilde şifreler: sınırsız hayal gücü.) Burada asıl önemli olan korkmamaktır. Elementlerin özünü anlamak, onları basitçe deşifre etmek yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 teriminin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formülü kullanarak miktarı belirlemek için neyi bilmemiz gerekiyor? İlk üye 1, geçen dönem BİR, evet son üyenin numarası N.

Son üyenin numarasını nereden alabilirim? N? Evet, şartla orada! Diyor ki: toplamı bul ilk 10 üye. Peki hangi numarayla olacak? son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR formülün yerine koyacağız 10 ve bunun yerine N- on. Tekrar ediyorum, son üye sayısı üye sayısıyla örtüşüyor.

Belirlemek için kalır 1 Ve 10. Bu, problem tanımında verilen n'inci terim formülü kullanılarak kolayca hesaplanır. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyor musunuz? Önceki derse katılın, bu olmadan hiçbir yolu yoktur.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S10.

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülünün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Geriye kalan tek şey bunları değiştirmek ve saymaktır:

İşte bu. Cevap: 75.

GIA'ya dayanan başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3,7 olan aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; a 1 =2,3. İlk 15 teriminin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül herhangi bir terimin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Geriye kalan tek şey, aritmetik ilerlemenin toplamı için formülün tüm öğelerini yerine koymak ve cevabı hesaplamaktır:

Cevap: 423.

Bu arada, eğer toplam formülünde yerine BİR Formülü n'inci terimin yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Benzerlerini getirelim, alalım yeni formül aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamları:

Gördüğünüz gibi burada gerekli değil n'inci terim BİR. Bazı problemlerde bu formül çok işe yarıyor evet... Bu formülü hatırlarsınız. içinde mümkün mü doğru an burada olduğu gibi sergilemek kolaydır. Sonuçta, toplamın formülünü ve n'inci terimin formülünü her zaman hatırlamanız gerekir.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan iki basamaklı tüm pozitif sayıların toplamını bulun.

Vay! Ne ilk üyeniz, ne son üyeniz, ne de ilerlemeniz... Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve durumdan aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayıların ne olduğunu biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) İki basamaklı sayı ne olacak? Birinci? 10, muhtemelen.) A sonçift ​​haneli sayı mı? 99 elbette! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hımm... Bunlar üçe bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Sorunun koşullarına göre zaten bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seri aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç farklılık gösterir. Bir terime 2 veya 4 eklerseniz sonuç; yeni sayı artık 3'e bölünemez. Aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3.İşinize yarayacaktır!)

Böylece bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

Sayı ne olacak? N son üye? 99'un ölümcül bir yanılgı olduğunu düşünenler... Rakamlar hep arka arkaya gidiyor ama üyelerimiz üçün üzerine atlıyor. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bunun bir yolu süper çalışkanlar içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini yazabilir ve üye sayısını parmağınızla sayabilirsiniz.) İkinci yol düşünceli olanlar içindir. N'inci dönemin formülünü hatırlamanız gerekiyor. Formülü problemimize uygularsak 99'un ilerlemenin otuzuncu terimi olduğunu buluruz. Onlar. n = 30.

Aritmetik ilerlemenin toplamının formülüne bakalım:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorun ifadesinden tutarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

1= 12.

30= 99.

Sn = S 30.

Geriye kalan tek şey temel aritmetiktir. Sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Aritmetik ilerleme verildiğinde:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmiden otuz dörde kadar terimlerin toplamını bulun.

Miktarın formülüne bakıyoruz ve... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatayım, tutarı hesaplıyor. ilkindenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekiyor yirminci yüzyıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi bir seri halinde yazabilir ve 20'den 34'e kadar terimler ekleyebilirsiniz. Ama... bu bir şekilde aptalca ve uzun zaman alıyor, değil mi?)

Daha fazlası var zarif çözüm. Serimizi iki parçaya ayıralım. İlk bölüm olacak ilk dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci bölüm - yirmiden otuz dörde kadar.İlk bölümün terimlerinin toplamını hesaplarsak açıktır ki S 1-19, ikinci bölümün terimlerinin toplamını ekleyelim S 20-34, birinci dönemden otuz dördüncü döneme kadar olan ilerlemenin toplamını elde ederiz S1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S1-34

Bundan toplamı bulduğumuzu görebiliriz. S 20-34 Olabilmek basit çıkarma

S 20-34 = S1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki miktar da dikkate alınır ilkindenüye, yani onlar için oldukça geçerli standart formül miktarlar. Haydi başlayalım mı?

İlerleme parametrelerini problem ifadesinden çıkarıyoruz:

d = 1,5.

1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimin toplamını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları problem 2'deki gibi n'inci terim formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmenin çok faydalı bir hilesi var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacınız var (S 20-34), saydık ihtiyaç duyulmayan bir şey - S 1-19. Ve sonra karar verdiler S 20-34 gereksiz olanı sonuçtan çıkararak. Bu tür bir "kulak yanıltması" çoğu zaman sizi kötü sorunlardan kurtarır.)

Bu derste aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemlere baktık. Birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

Pratik tavsiyeler:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren herhangi bir problemi çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

N'inci terimin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için neye bakmanız ve hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardımcı olur.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünemeyen iki basamaklı tüm sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 teriminin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yineleme formülü. Bunu önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür sorunlara Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanır.

7. Vasya tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevdiğim kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinize hiçbir şeyi inkar etmeden güzel yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Ta ki para bitene kadar. Vasya'nın kaç günü mutluluk vardı?

Zor mu?) Yardımcı olacak mı? ek formül görev 2'den.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Dersin amacı: Dizi türlerinden biri olarak aritmetik ilerleme kavramının oluşturulması, n'inci terim için formülün türetilmesi, aritmetik ilerlemenin üyelerinin karakteristik özelliklerine aşinalık. Sorun çözme.

Ders hedefleri:

  • eğitici- aritmetik ilerleme kavramlarını tanıtmak; n'inci terim formülleri; karakteristik özellik aritmetik ilerlemelerin üyelerinin sahip olduğu.
  • Gelişimsel- karşılaştırma yeteneğini geliştirmek matematiksel kavramlar, benzerlikleri ve farklılıkları bulma, gözlemleme yeteneği, kalıpları fark etme, benzetme yoluyla akıl yürütme; oluşturma ve yorumlama yeteneğini geliştirmek matematiksel model bazı gerçek durumlar.
  • eğitici- Matematiğe ve uygulamalarına, etkinliklerine olan ilgiyi teşvik etmek, iletişim becerileri, görüşlerinizi mantıklı bir şekilde savunun.

Ekipman: bilgisayar, multimedya projektörü, sunum (Ek 1)

Ders kitapları: Cebir 9, Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.N. Neshkov, S.B. Suvorov, S.A. Telyakovsky, Moskova Ders Kitapları OJSC, 2010

Ders planı:

  1. Organizasyon anı, sorun bildirimi
  2. Bilgiyi güncelleme sözlü çalışma
  3. Yeni materyal öğrenme
  4. Birincil konsolidasyon
  5. Dersi özetlemek
  6. Ev ödevi

Materyalin anlaşılırlığını ve çalışma kolaylığını artırmak için derse bir sunum eşlik eder. Ancak bu bir zorunluluk değildir ve aynı ders multimedya donanımı olmayan sınıflarda da işlenebilir. Bu amaçla gerekli veriler pano üzerinde veya tablo ve poster şeklinde hazırlanabilir.

Ders ilerlemesi

I. Organizasyon anı, problem bildirimi.

Selamlar.

Bugünkü dersin konusu aritmetik ilerlemedir. Bu derste aritmetik ilerlemenin ne olduğunu, genel biçiminin ne olduğunu öğreneceğiz, aritmetik ilerlemeyi diğer dizilerden nasıl ayırt edeceğimizi ve aritmetik ilerlemelerin özelliklerini kullanan problemleri nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

II. Bilginin güncellenmesi, sözlü çalışma.

() dizisi şu formülle verilir: =. Bu dizinin elemanı 144 ise hangi sayıya sahiptir? 225? 100 mü? 48 sayısı bu dizinin üyeleri midir? 49 mu? 168?

() dizisi hakkında bilinmektedir ki, . Bir diziyi belirtmenin bu yöntemine ne ad verilir? Bu dizinin ilk dört terimini bulun.

() dizisi hakkında bilinmektedir. Bir diziyi belirtmenin bu yöntemine ne ad verilir? Varsa bulun?

III. Yeni materyal öğrenme.

İlerleme, her biri bir öncekine belirli bir bağımlılık içinde olan ve tüm ilerlemede ortak olan bir miktarlar dizisidir. Terim artık büyük ölçüde geçerliliğini yitirmiştir ve yalnızca "aritmetik ilerleme" ve "geometrik ilerleme" kombinasyonlarında bulunur.

“İlerleme” terimi Latince kökenlidir (“ileriye doğru ilerlemek” anlamına gelen ilerleme) ve Romalı yazar Boethius (6. yüzyıl) tarafından ortaya atılmıştır. Matematikte bu terim daha önce, bu dizinin bir yönde sonsuza kadar devam etmesine izin veren bir yasaya göre oluşturulan herhangi bir sayı dizisini ifade etmek için kullanılıyordu. Şu anda “ilerleme” terimi başlangıçtaki geniş anlamıyla kullanılmamaktadır. İki önemli ilerleme türü - aritmetik ve geometrik - adlarını korumuştur.

Sayı dizilerini göz önünde bulundurun:

  • 2, 6, 10, 14, 18, :.
  • 11, 8, 5, 2, -1, :.
  • 5, 5, 5, 5, 5, :.

Birinci dizinin üçüncü terimi nedir? Sonraki üye mi? Önceki üye mi? İkinci ve birinci terimler arasındaki fark nedir? Üçüncü ve ikinci üyeler mi? Dördüncü ve üçüncü?

Dizi aynı yasaya göre oluşturulmuşsa, birinci dizinin altıncı ve beşinci terimleri arasındaki farkın ne olacağını hesaplayın? Yedi ile altı arasında mı?

Her dizinin sonraki iki terimini adlandırın. Neden böyle düşünüyorsun?

(Öğrencilerin cevapları)

Ne ortak mülkiyet bu diziler var mı? Bu özelliği belirtin.

(Öğrencilerin cevapları)

Sayı dizileri bu özelliğe sahip olanlara aritmetik ilerlemeler denir. Öğrencileri tanımı kendileri formüle etmeye davet edin.

Aritmetik ilerlemenin tanımı: Aritmetik ilerleme, ikinciden başlayarak her üyenin aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olduğu bir dizidir:

( - aritmetik ilerleme, eğer , bir sayı nerede.

Sayı D Dizinin bir sonraki üyesinin öncekinden ne kadar farklı olduğunu gösteren ilerleme farkı denir: .

Tekrar dizilere bakalım ve farklılıklardan bahsedelim. Her dizi hangi özelliklere sahiptir ve bunlar neyle ilişkilidir?

Aritmetik ilerlemedeki fark pozitifse ilerleme artıyor demektir: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Aritmetik ilerlemede fark negatifse ( , ilerleme azalıyor: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Fark sıfır () ise ve ilerlemenin tüm terimleri aynı sayıya eşitse diziye durağan denir: 5, 5, 5, 5, :.

Aritmetik ilerleme nasıl ayarlanır? Aşağıdaki problemi ele alalım.

Görev. Ayın 1'indeki depoda 50 ton kömür vardı. Bir ay boyunca her gün 3 ton kömür içeren bir kamyon depoya geliyor. Bu süre zarfında depodan kömür tüketilmezse, ayın 30'unda depoda ne kadar kömür olacaktır.

Her sayı için depodaki kömür miktarını yazarsak aritmetik ilerleme elde ederiz. Bu sorun nasıl çözülür? Gerçekten ayın her günü kömür miktarını hesaplamanız gerekiyor mu? Bir şekilde bu olmadan yapmak mümkün mü? Ayın 30'una kadar depoya 29 kömürlü arabanın geleceğini not ediyoruz. Böylece ayın 30'unda depoda 50 + 329 = 137 ton kömür olacaktır.

Böylece, bir aritmetik ilerlemenin yalnızca ilk terimini ve farkı bilerek, dizinin herhangi bir terimini bulabiliriz. Bu her zaman böyle midir?

Dizinin her bir teriminin ilk terime nasıl bağlı olduğunu ve aradaki farkı analiz edelim:

Böylece aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü elde ettik.

Örnek 1. () dizisi aritmetik bir ilerlemedir. Eğer ve ise bulun.

n'inci terim için formülü kullanalım ,

Cevap: 260.

Aşağıdaki sorunu göz önünde bulundurun:

Aritmetik ilerlemede çift terimler silindi: 3, :, 7, :, 13: Kayıp sayıları geri getirmek mümkün mü?

Öğrenciler muhtemelen ilk önce ilerlemenin farkını hesaplayacak ve ardından ilerlemenin bilinmeyen terimlerini bulacaklardır. Daha sonra onlardan dizinin bilinmeyen üyesi ile önceki ve sonraki arasındaki ilişkiyi bulmalarını isteyebilirsiniz.

Çözüm: Aritmetik ilerlemede komşu terimler arasındaki farkın sabit olduğu gerçeğinden yararlanalım. Dizinin istenen üyesi olsun. Daha sonra

.

Yorum. Bu özellik aritmetik ilerleme onun karakteristik özelliğidir. Bu, herhangi bir aritmetik ilerlemede ikinciden başlayarak her terimin önceki ve sonrakilerin aritmetik ortalamasına eşit olduğu anlamına gelir ( . Ve tersine, ikinciden başlayarak her terimin önceki ve sonrakilerin aritmetik ortalamasına eşit olduğu herhangi bir dizi, aritmetik bir ilerlemedir.

IV. Birincil konsolidasyon.

  • No. 575 - sözlü olarak
  • No. 576 avd - sözlü olarak
  • No. 577b - doğrulamadan bağımsız olarak

Dizi (bir aritmetik ilerlemedir. Eğer ve

Formülü n'inci terim için kullanalım,

Cevap: -24.2.

Aritmetik ilerleme -8'in 23. ve n. terimlerini bulun; -6,5; :

Çözüm: Aritmetik ilerlemenin ilk terimi -8'dir. Aritmetik ilerlemenin farkını bulalım; bunu yapmak için dizinin sonraki teriminden bir öncekini çıkarmamız gerekir: -6,5-(-8) = 1,5.

Formülü n'inci terim için kullanalım.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayı dizileri. Aritmetik ilerleme"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

9. sınıf ders kitapları için "Integral" çevrimiçi mağazasındaki öğretim yardımcıları
Makarycheva Yu.N. Alimova Sh.A. Mordkovich A.G. Muravina G.K.

Peki aritmetik ilerleme nedir?

İkinciden başlayarak her üyenin yer aldığı sayısal bir dizi. toplamına eşitönceki ve sabit bir sayıya aritmetik ilerleme denir.

Aritmetik ilerleme, tekrar tekrar tanımlanan sayısal ilerlemedir.

Tekrarlayan formu yazalım: $a_(1)=a$; $a_(n)=a_(n-1)+d$, sayı d – ilerleme farkı. a ve d verilen belirli sayılardır.

Örnek. 1,4,7,10,13,16... $a=1, d=3$ olan bir aritmetik ilerleme.

Örnek. 3,0,-3,-6,-9... $a=3, d=-3$ olan bir aritmetik ilerleme.

Örnek. 5,5,5,5,5... $a=5, d=0$ olan bir aritmetik ilerleme.

Bir aritmetik ilerleme monotonluk özelliklerine sahiptir: ilerlemenin farkı sıfırdan büyükse dizi artıyordur, ilerlemenin farkı sıfırdan küçükse dizi azalıyor demektir.

Bir aritmetik ilerlemenin sonlu sayıda öğesi varsa, bu ilerlemeye sonlu aritmetik ilerleme denir.

Eğer $a_(n)$ dizisi verilmişse ve bu bir aritmetik ilerlemeyse, o zaman şunu belirtmek gelenekseldir: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Aritmetik ilerleme şu şekilde de belirtilebilir: analitik form. Bunu nasıl yapacağımızı görelim:
$a_(1)=a_(1)$.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(3)=a_(2)+d=a_(1)+d+d=a_(1)+2d$.
$a_(4)=a_(3)+d=a_(1)+3d$.
$a_(5)=a_(4)+d=a_(1)+4d$.
Şu modeli kolayca fark ediyoruz: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$.
Formülümüze aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü denir.

Örneklerimize geri dönelim ve her örnek için formülümüzü yazalım.

Örnek. 1,4,7,10,13,16... a=1, d=3 olan aritmetik ilerleme. $a_(n)=1+(n-1)3=3n-2$.

Örnek. 3,0,-3,-6,-9... A=3, d=-3 olan aritmetik ilerleme. $a_(n)=3+(n-1)(-3)=-3n+6$.

Örnek. Aritmetik bir ilerleme verildiğinde: $a_(1), a_(2), …, a_(n), …$.
a) $a_(1)=5$, $d=3$ olduğu bilinmektedir. $a_(23)$'ı bulun.
b) $a_(1)=4$, $d=5$, $a_(n)=109$ olduğu bilinmektedir. N'yi bulun.
c) $d=-1$, $a_(22)=15$ olduğu bilinmektedir. $a_(1)$'ı bulun.
d) $a_(1)=-3$, $a_(10)=24$ olduğu bilinmektedir. D'yi bulun.
Çözüm.
a) $a_(23)=a_(1)+22d=5+66=71$.
b) $a_(n)=a_(1)+(n-1)d=4+5(n-1)=5n-1=109$.
$5n=110=>n=22$.
c) $a_(22)=a_(1)+21d=a_(1)-21=15=> a_()1=36$.
d) $a_(10)=a_(1)+9d=-3+9d=24=>d=3$.

Örnek. Bir aritmetik ilerlemenin dokuzuncu terimini ikinci terime böldüğümüzde bölüm 7 kalır, dokuzuncu terimi beşinciye böldüğümüzde bölüm 2, kalan 5 olur. Dizinin otuzuncu terimini bulun.
Çözüm.
İlerlememizin formül 2,5 ve 9 terimlerini sırasıyla yazalım.
$a_(2)=a_(1)+d$.
$a_(5)=a_(1)+4d$.
$a_(9)=a_(1)+8d$.
Ayrıca durumdan şunu da biliyoruz:
$a_(9)=7a_(2)$.
$a_(9)=2a_(5)+5$.
Veya:
$a_(1)+8d=7(a_(1)+d)$.
$a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5$.
Bir denklem sistemi oluşturalım:
$\begin(cases)a_(1)+8d=7(a_(1)+d)\\a_(1)+8d=2(a_(1)+4d)+5\end(cases)$.
$\begin(cases)d=6a_(1)\\d=a_(1)+5\end(cases)$.
Sistemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: $d=6, a_(1)=1$.
$a_(30)$'ı bulalım.
$a_(30)=a_(1)+29d=175$.

Sonlu aritmetik ilerlemenin toplamı

Sonlu bir aritmetik ilerlememiz olsun. Şu soru ortaya çıkıyor: Tüm üyelerinin toplamını hesaplamak mümkün mü?
Bu konuyu anlamaya çalışalım.
Sonlu bir aritmetik ilerleme verilsin: $a_(1),a_(2),…a_(n-1),a_(n)$.
Terimlerinin toplamına ilişkin gösterimi tanıtalım: $S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
Hadi bir göz atalım spesifik örnek, toplamı nedir?

Bize 1,2,3,4,5...100 aritmetik ilerlemesi verilsin.
O halde üyelerinin toplamını şu şekilde sunalım:
$S_(n)=1+2+3+4+⋯+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=$
$=101+101+⋯+101=50*101=5050$.
Ancak benzer bir formül herhangi bir aritmetik ilerleme için geçerlidir:
$a_(3)+a_(n-2)=a_(2)+a_(n-1)=a_(1)+a_(n)$.
Formülümüzü yazalım genel durum: $a_(k)+a_(n-k+1)=a_(1)+a_(n)$, burada $k<1$.
Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamını hesaplamak için bir formül türetelim, formülü farklı sıralarda iki kez yazalım:
$S_(n)=a_(1)+a_(2)+⋯+a_(n-1)+a_(n)$.
$S_(n)=a_(n)+a_(n-1)+⋯+a_(2)+a_(1)$.
Bu formülleri toplayalım:
$2S_(n)=(a_(1)+a_(n))+(a_(2)+a_(n-1))+⋯+(a_(n-1)+a_(2))+(a_ (n)+a_(1))$.
Eşitliğimizin sağ tarafında n tane terim var ve bunların her birinin $a_(1)+a_(n)$'a eşit olduğunu biliyoruz.
Daha sonra:
$S_(n)=\frac(n(a_(1)+a_(n))))(2)$.
Formülümüz şu şekilde de yeniden yazılabilir: $a_(n)=a_(1)+(n-1)d$ olduğundan,
sonra $S_(n)=\frac(2a_(1)+d(n-1))(2)*n$.
Çoğu zaman bu özel formülü kullanmak daha uygundur, bu yüzden onu hatırlamakta fayda var!

Örnek. Sonlu bir aritmetik ilerleme verilmiştir.
Bulmak:
a) $s_(22), eğer a_(1)=7 ise, d=2$.
b) d,eğer $a_(1)=9$, $s_(8)=144$.
Çözüm.
a) İkinci toplam formülünü kullanalım $S_(22)=\frac(2a_(1)+d(22-1))(2)*22=\frac(14+2(22-1))(2) *22 = 616$.
b) Bu örnekte ilk formülü kullanacağız: $S_(8)=\frac(8(a_(1)+a_(1)))(2)=4a_(1)+4a_(8)$.
$144=36+4a_(8)$.
$a_(8)=27$.
$a_(8)=a_(1)+7d=9+7d$.
$d=2\frac(4)(7)$.

Örnek. İki basamaklı tüm tek sayıların toplamını bulun.
Çözüm.
İlerlememizin şartları şunlardır: $a_(1)=11$, $a_(2)=13$, …, $a_(n)=99$.
İlerlemenin son teriminin sayısını bulalım:
$a_(n)=a_(1)+d(n-1)$.
99$=11+2(n-1)$.
$n=45$.
Şimdi toplamı bulalım: $S_(45)=\frac(45(11+99))(2)=$2475.

Örnek. Adamlar yürüyüşe çıktılar. İlk saatte 500 m yürüdükleri, sonrasında ilk saate göre 25 metre daha az yürümeye başladıkları biliniyor. 2975 metreyi kaç saatte kat ederler?
Çözüm.
Her saatte kat edilen yol aritmetik ilerleme olarak temsil edilebilir:
$a_(1)=500$, $a_(2)=475$, $a_(3)=450…$.
Aritmetik ilerlemenin farkı $d=-25$'dır.
2975 metrede kat edilen mesafe, bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamıdır.
$S_(n)=2975$, burada n yolculukta harcanan saattir.
Daha sonra:
$S_(n)=\frac(1000-25(n-1))(2)$, $n=2975$.
1000$n-25(n-1)n=5950$.
Her iki tarafı da 25'e bölün.
40$n-(n-1)n=238$.
$n^2-41n+238=0$.
$n_(1)=7$, $n_(2)=34$.
Açıkçası $n=7$ seçmek daha mantıklı.
Cevap. Adamlar 7 saat boyunca yoldaydılar.

Aritmetik ilerlemenin karakteristik özelliği

Arkadaşlar, bir aritmetik ilerleme verildiğinde, ilerlemenin rastgele üç ardışık terimini ele alalım: $a_(n-1)$, $a_(n)$, $a_(n+1)$.
Şunu biliyoruz:
$a_(n-1)=a_(n)-d$.
$a_(n+1)=a_(n)+d$.
İfadelerimizi bir araya getirelim:
$a_(n-1)+a_(n+1)=2a_(n)$.
$a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.

İlerleme sonlu ise bu eşitlik ilk ve sonuncu hariç tüm terimler için geçerlidir.
Dizinin hangi forma sahip olduğu önceden bilinmiyorsa ancak şu şekilde bilinmektedir: $a_(n)=\frac(a_(n-1)+a_(n+1))(2)$.
O zaman bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Sayısal bir dizi, bu ilerlemenin her bir üyesinin ilerlememizin iki komşu üyesinin aritmetik ortalamasına eşit olduğu bir aritmetik ilerlemedir (sonlu bir ilerleme için bu koşulun ilerlemenin ilk ve son üyesi için karşılanmadığını unutmayın) .

Örnek. $3x+2$ olacak şekilde x'i bulun; $x-1$; $4x+3$ – bir aritmetik ilerlemenin ardışık üç terimi.
Çözüm. Formülümüzü kullanalım:
$x-1=\frac(3x+2+4x+3)(2)$.
$2x-2=7x+5$.
$-5x=7$.
$x=-1\frac(2)(5)=-1,4$.
Kontrol edelim, ifadelerimiz şu şekilde olacaktır: -2,2; -2,4; -2.6.
Açıkçası, bunlar aritmetik ilerlemenin terimleridir ve $d=-0.2$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. Aritmetik ilerlemenin yirmi birinci terimini bulun 38;30;22…
2. Aritmetik ilerlemenin on beşinci terimini bulun: 10,21,32...
3. $a_(1)=7$, $d=8$ olduğu biliniyor. $a_(31)$'ı bulun.
4. $a_(1)=8$, $d=-2$, $a_(n)=-54$ olduğu biliniyor. N'yi bulun.
5. 3;12;21… aritmetik dizisinin ilk on yedi teriminin toplamını bulun.
6. $2x-1$ olacak şekilde x'i bulun; $3x+1$; $5x-7$ – bir aritmetik ilerlemenin ardışık üç terimi.

Örneğin \(2\); dizisi \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... aritmetik bir ilerlemedir, çünkü sonraki her öğe bir öncekinden üç kat farklıdır (bir öncekinden üç ekleyerek elde edilebilir):

Bu ilerlemede, \(d\) farkı pozitiftir (\(3\'e eşittir) ve dolayısıyla her bir sonraki terim bir öncekinden daha büyüktür. Bu tür ilerlemelere denir artan.

Ancak \(d\) negatif bir sayı da olabilir. Örneğin, aritmetik ilerlemede \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ilerleme farkı \(d\) eksi altıya eşittir.

Ve bu durumda, sonraki her öğe bir öncekinden daha küçük olacaktır. Bu ilerlemelere denir azalan.

Aritmetik ilerleme gösterimi

İlerleme küçük bir Latin harfiyle gösterilir.

Bir dizi oluşturan sayılara denir üyeler(veya öğeler).

Aritmetik ilerlemeyle aynı harfle gösterilirler, ancak sıradaki öğenin numarasına eşit bir sayısal indeksle gösterilirler.

Örneğin, \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) aritmetik ilerlemesi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) vb.

Başka bir deyişle, ilerleme için \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Aritmetik ilerleme problemlerini çözme

Prensip olarak, yukarıda sunulan bilgiler hemen hemen her aritmetik ilerleme problemini (OGE'de sunulanlar dahil) çözmek için zaten yeterlidir.

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme \(b_1=7; d=4\) koşullarıyla belirtilir. \(b_5\) bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_5=23\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik ilerlemenin ilk üç terimi verilmiştir: \(62; 49; 36…\) Bu ilerlemenin ilk negatif teriminin değerini bulun.
Çözüm:

Bize dizinin ilk elemanları veriliyor ve bunun aritmetik bir ilerleme olduğunu biliyoruz. Yani her element komşusundan aynı sayıda farklılık gösterir. Bir öncekini sonraki elemandan çıkararak hangisi olduğunu bulalım: \(d=49-62=-13\).

Artık ilerlememizi ihtiyacımız olan (ilk olumsuz) unsura geri döndürebiliriz.

Hazır. Cevap yazabilirsiniz.

Cevap: \(-3\)

Örnek (OGE). Bir aritmetik dizinin ardışık birkaç elemanı verildiğinde: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) harfiyle gösterilen elemanın değerini bulun.
Çözüm:


\(x\)'i bulmak için bir sonraki elemanın bir öncekinden ne kadar farklı olduğunu yani ilerleme farkını bilmemiz gerekir. Bunu bilinen iki komşu elemandan bulalım: \(d=12.5-10=2.5\).

Artık aradığımız şeyi kolaylıkla bulabiliyoruz: \(x=5+2.5=7.5\).


Hazır. Cevap yazabilirsiniz.

Cevap: \(7,5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme aşağıdaki koşullarla tanımlanır: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu ilerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

İlerlemenin ilk altı teriminin toplamını bulmamız gerekiyor. Ama anlamlarını bilmiyoruz; bize yalnızca ilk unsur veriliyor. Bu nedenle öncelikle bize verilenleri kullanarak değerleri tek tek hesaplıyoruz:

\(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\)
\(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\)
\(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\)
İhtiyacımız olan altı elementi hesapladıktan sonra toplamlarını buluyoruz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\)
\(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Gerekli miktar bulunmuştur.

Cevap: \(S_6=9\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerlemede \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu ilerlemenin farkını bulun.
Çözüm:

Cevap: \(d=7\).

Aritmetik ilerleme için önemli formüller

Gördüğünüz gibi, aritmetik ilerlemeyle ilgili birçok problem, asıl meselenin anlaşılmasıyla çözülebilir - aritmetik ilerlemenin bir sayı zinciri olduğu ve bu zincirdeki sonraki her öğenin, aynı sayının bir öncekine eklenmesiyle elde edildiği ( ilerleme farkı).

Ancak bazen "kafa kafaya" karar vermenin çok sakıncalı olduğu durumlar vardır. Örneğin, ilk örnekte beşinci elementi \(b_5\) değil, üç yüz seksen altıncı \(b_(386)\) bulmamız gerektiğini düşünün. Dört \(385\) kez mi eklememiz gerekiyor? Veya sondan bir önceki örnekte ilk yetmiş üç elementin toplamını bulmanız gerektiğini hayal edin. Saymaktan yorulacaksınız...

Dolayısıyla bu gibi durumlarda işleri “birdenbire” çözmezler, aritmetik ilerleme için türetilmiş özel formüller kullanırlar. Ve bunların başlıcaları ilerlemenin n'inci terimi formülü ve \(n\) ilk terimin toplamı formülüdür.

\(n\)'inci terimin formülü: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) ilerlemenin ilk terimidir;
\(n\) – gerekli öğenin numarası;
\(a_n\) – \(n\) sayısıyla ilerlemenin terimi.


Bu formül, yalnızca ilkini ve ilerlemenin farkını bilerek üç yüzüncü veya milyonuncu elementi bile hızlı bir şekilde bulmamızı sağlar.

Örnek. Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\)'ı bulun.
Çözüm:

Cevap: \(b_(246)=1850\).

İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada



\(a_n\) – son toplanan terim;


Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme \(a_n=3.4n-0.6\) koşullarıyla belirtilir. Bu ilerlemenin ilk \(25\) teriminin toplamını bulun.
Çözüm:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)

İlk yirmi beş terimin toplamını hesaplamak için birinci ve yirmi beşinci terimin değerini bilmemiz gerekir.
İlerlememiz, sayısına bağlı olarak n'inci terimin formülü ile verilmektedir (daha fazla ayrıntı için bkz.). \(n\) yerine bir tane koyarak ilk elemanı hesaplayalım.

\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)

Şimdi \(n\) yerine yirmi beş koyarak yirmi beşinci terimi bulalım.

\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)

Artık gerekli miktarı kolayca hesaplayabiliriz.

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\)
\(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)

Cevap hazır.

Cevap: \(S_(25)=1090\).

İlk terimlerin \(n\) toplamı için başka bir formül elde edebilirsiniz: sadece \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \'ye ihtiyacınız var (\cdot 25\ ) \(a_n\) yerine \(a_n=a_1+(n-1)d\) formülünü kullanın. Şunu elde ederiz:

İlk n terimin toplamına ilişkin formül: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) ilk elemanın gerekli toplamı;
\(a_1\) – ilk toplanan terim;
\(d\) – ilerleme farkı;
\(n\) – toplam öğe sayısı.

Örnek. Aritmetik ilerlemenin ilk \(33\)-ex terimlerinin toplamını bulun: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Çözüm:

Cevap: \(S_(33)=-231\).

Daha karmaşık aritmetik ilerleme problemleri

Artık neredeyse tüm aritmetik ilerleme problemlerini çözmek için ihtiyacınız olan tüm bilgilere sahipsiniz. Sadece formülleri uygulamanız değil, biraz da düşünmeniz gereken problemleri ele alarak konuyu bitirelim (matematikte bu işinize yarayabilir ☺)

Örnek (OGE). İlerlemedeki tüm negatif terimlerin toplamını bulun: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Çözüm:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)

Görev bir öncekine çok benzer. Aynı şeyi çözmeye başlıyoruz: önce \(d\)'yi buluyoruz.

\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)

Şimdi toplam formülüne \(d\) koymak istiyoruz... ve burada küçük bir nüans ortaya çıkıyor - \(n\)'i bilmiyoruz. Başka bir deyişle kaç terimin eklenmesi gerektiğini bilmiyoruz. Nasıl öğrenilir? Düşünelim. İlk pozitif öğeye ulaştığımızda öğe eklemeyi bırakacağız. Yani bu elementin sayısını bulmanız gerekiyor. Nasıl? Bizim durumumuz için aritmetik ilerlemenin herhangi bir elemanını hesaplamak için formülü yazalım: \(a_n=a_1+(n-1)d\).

\(a_n=a_1+(n-1)d\)

\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)

Sıfırdan büyük olması için \(a_n\)'a ihtiyacımız var. Bunun ne zaman olacağını \(n\) öğrenelim.

\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)

\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)

Eşitsizliğin her iki tarafını \(0,3\)'a bölüyoruz.

\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)

İşaretleri değiştirmeyi unutmadan eksi bir aktarıyoruz

\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)

Hadi hesaplayalım...

\(n>65,333…\)

...ve ilk pozitif elemanın \(66\) sayısına sahip olacağı ortaya çıktı. Buna göre son negatif \(n=65\) olur. Her ihtimale karşı şunu kontrol edelim.

\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\)
\(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)

Bu yüzden ilk \(65\) elemanını eklememiz gerekiyor.

\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\)
\(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)

Cevap hazır.

Cevap: \(S_(65)=-630.5\).

Örnek (OGE). Aritmetik ilerleme şu koşullarla belirtilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)th'den \(42\) elemanına kadar olan toplamı bulun.
Çözüm:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)

Bu problemde ayrıca elemanların toplamını bulmanız gerekir, ancak ilkinden değil \(26\)'dan başlayarak. Böyle bir durum için elimizde bir formül yok. Nasıl karar verilir?
Çok kolay - \(26\)'dan \(42\)'ye kadar olan toplamı bulmak için, önce \(1\)'den \(42\)'ye kadar olan toplamı bulmalı ve sonra çıkarmalısınız ondan birinciden \(25\)'inciye kadar olan toplam (resme bakın).


İlerlememiz için \(a_1=-33\) ve fark \(d=4\) (sonuçta, bir sonraki öğeyi bulmak için önceki öğeye eklediğimiz dört öğedir). Bunu bilerek ilk \(42\)-y elemanlarının toplamını buluyoruz.

\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\)
\(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)

Şimdi ilk \(25\) elemanların toplamı.

\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\)
\(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)

Ve son olarak cevabı hesaplıyoruz.

\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cevap: \(S=1683\).

Aritmetik ilerleme için, pratik kullanışlılığının düşük olması nedeniyle bu makalede dikkate almadığımız birkaç formül daha vardır. Ancak bunları kolayca bulabilirsiniz.