I. Doğru orantılı büyüklükler.
Değere izin ver sen boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda artarsa bu değerler X Ve en doğru orantılı denir.
Örnekler.
1 . Satın alınan malların miktarı ve satın alma fiyatı (bir birim mal için sabit fiyatla - 1 adet veya 1 kg vb.) Ne kadar çok mal alındıysa o kadar çok para ödendi.
2 . Kat edilen mesafe ve harcanan zaman (sabit hızda). Yol kaç kat daha uzun, kaç kat daha fazla zaman alacak.
3 . Bir cismin hacmi ve kütlesi. ( Bir karpuz diğerinden 2 kat daha büyükse kütlesi 2 kat daha büyük olacaktır)
II. Büyüklüklerin doğru orantılılık özelliği.
İki miktar doğrudan orantılı ise, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
Görev 1. Ahududu reçeli için aldık 12 kg ahududu ve 8 kg Sahra. Eğer alırsan ne kadar şekere ihtiyacın olacak? 9 kg ahududu mu?
Çözüm.
Şöyle mantık yürütüyoruz: gerekli olsun x kg için şeker 9 kg ahududu Ahududu kütlesi ve şeker kütlesi doğru orantılı miktarlardır: ahududu kaç kat daha azsa, aynı sayıda daha az şekere ihtiyaç vardır. Bu nedenle alınan ahududu oranı (ağırlıkça) ( 12:9 ) alınan şeker oranına eşit olacaktır ( 8:x). Oranı elde ediyoruz:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Cevap: Açık 9 kg ahududu alınması gerekiyor 6 kg Sahra.
Sorun çözümü Bu şu şekilde yapılabilir:
Hadi 9 kg ahududu alınması gerekiyor x kg Sahra.
(Şekilde oklar tek yöne yönlendirilmiştir, yukarı aşağı fark etmez. Anlamı: sayının kaç katı 12 daha fazla sayı 9 , aynı sayıda 8 daha fazla sayı X yani burada doğrudan bir ilişki var).
Cevap: Açık 9 kg Biraz ahududu almam lazım 6 kg Sahra.
Görev 2. Araba için 3 saat mesafe kat etti 264 km. Seyahat etmesi ne kadar sürer? 440 kilometre, aynı hızda sürerse?
Çözüm.
izin ver x saat araba mesafeyi kat edecek 440 km.
Cevap: araba geçecek 5 saatte 440 km.
Orantılılık, iki nicelik arasındaki ilişkidir; bunlardan birinde meydana gelen değişiklik, diğerinde de aynı miktarda değişiklik meydana getirir.
Orantılılık doğrudan veya ters olabilir. Bu derste her birine bakacağız.
Ders içeriğiDoğrudan orantılılık
Arabanın 50 km/saat hızla hareket ettiğini varsayalım. Hızın birim zamanda (1 saat, 1 dakika veya 1 saniye) kat edilen mesafe olduğunu hatırlıyoruz. Örneğimizde araba 50 km/saat hızla hareket etmektedir, yani bir saatte elli kilometre yol kat edecektir.
Arabanın 1 saatte kat ettiği mesafeyi şekilde gösterelim.
Arabanın saatte elli kilometrelik aynı hızla bir saat daha gitmesine izin verin. Sonra arabanın 100 km yol kat edeceği ortaya çıktı
Örnekten de anlaşılacağı üzere sürenin iki katına çıkması kat edilen mesafenin aynı miktarda yani iki kat artmasına neden olmuştur.
Zaman ve mesafe gibi büyüklüklere doğru orantılı denir. Ve bu miktarlar arasındaki ilişkiye denir doğru orantılılık.
Doğru orantılılık, birindeki artışın diğerinde de aynı miktarda artışa yol açtığı iki nicelik arasındaki ilişkidir.
ve tam tersi, eğer bir miktar belirli sayıda azalırsa, diğeri aynı sayıda azalır.
Başlangıçta planın bir arabayı 2 saatte 100 km sürmek olduğunu, ancak 50 km sürüşün ardından sürücünün dinlenmeye karar verdiğini varsayalım. Daha sonra mesafeyi yarı yarıya azaltarak zamanın da aynı oranda azalacağı ortaya çıktı. Yani kat edilen mesafenin azaltılması, zamanın da aynı oranda azalmasına yol açacaktır.
Doğru orantılı büyüklüklerin ilginç bir özelliği oranlarının her zaman sabit olmasıdır. Yani doğru orantılı büyüklüklerin değerleri değiştiğinde oranları değişmeden kalır.
Ele alınan örnekte mesafe başlangıçta 50 km, süre ise bir saatti. Mesafenin zamana oranı 50 sayısıdır.
Ama biz yolculuk süresini 2 kat arttırarak 2 saate eşitledik. Sonuç olarak kat edilen mesafe aynı miktarda arttı, yani 100 km'ye eşitlendi. Yüz kilometrenin iki saate oranı yine 50 sayısıdır
50 sayısı denir doğru orantılılık katsayısı. Hareket saati başına ne kadar mesafe olduğunu gösterir. Bu durumda katsayı, hareket hızının rolünü oynar çünkü hız, kat edilen mesafenin zamana oranıdır.
Oranlar doğru orantılı büyüklüklerden yapılabilir. Örneğin oranlar oranı oluşturur:
Elli kilometre bir saate eşittir, yüz kilometre ise iki saate eşittir.
Örnek 2. Satın alınan malların maliyeti ve miktarı doğru orantılıdır. 1 kg tatlı 30 rubleye mal oluyorsa, aynı tatlılardan 2 kg'ı 60 rubleye, 3 kg 90 rubleye mal olacaktır. Satın alınan bir ürünün maliyeti arttıkça miktarı da aynı oranda artar.
Bir ürünün maliyeti ile miktarı doğru orantılı miktarlar olduğundan oranları her zaman sabittir.
Otuz rublenin bir kilograma oranının ne olduğunu yazalım
Şimdi altmış rublenin iki kilograma oranının ne olduğunu yazalım. Bu oran yine otuza eşit olacaktır:
Burada doğru orantı katsayısı 30 sayısıdır. Bu katsayı şekerin kilogramı başına kaç ruble olduğunu gösterir. Bu örnekte katsayı, bir kilogram malın fiyatının rolünü oynamaktadır, çünkü fiyat, malın maliyetinin miktarına oranıdır.
Ters orantılılık
Aşağıdaki örneği düşünün. İki şehir arasındaki mesafe 80 km'dir. Motosikletçi ilk şehirden saatte 20 km hızla ayrılarak 4 saatte ikinci şehre ulaştı.
Eğer bir motosikletçinin hızı 20 km/saat ise bu onun saatte 20 kilometre yol kat ettiği anlamına gelir. Motosikletçinin kat ettiği mesafeyi ve hareketinin süresini şekilde gösterelim:
Dönüş yolunda motosikletin hızı 40 km/saatti ve aynı yolculukta 2 saat harcadı.
Hız değiştiğinde hareket süresinin de aynı miktarda değiştiğini fark etmek kolaydır. Üstelik ters yönde değişti - yani hız arttı, ancak tam tersine zaman azaldı.
Hız ve zaman gibi büyüklüklere ters orantılı denir. Ve bu miktarlar arasındaki ilişkiye denir ters orantı.
Ters orantı, birindeki artışın diğerinde aynı miktarda azalmaya neden olduğu iki nicelik arasındaki ilişkidir.
ve tam tersi, eğer bir miktar belirli sayıda azalırsa diğeri aynı sayıda artar.
Örneğin, dönüş yolunda motosikletçinin hızı 10 km/saat ise aynı 80 km'yi 8 saatte kat edecektir:
Örnekten de anlaşılacağı üzere hızın azalması hareket süresinin de aynı oranda artmasına neden olmuştur.
Ters orantılı miktarların özelliği, çarpımlarının her zaman sabit olmasıdır. Yani ters orantılı büyüklüklerin değerleri değiştiğinde çarpımları değişmeden kalır.
Ele alınan örnekte şehirler arası mesafe 80 km idi. Motosikletçinin hızı ve hareket süresi değiştiğinde bu mesafe daima değişmeden kalıyordu
Bir motosikletçi bu mesafeyi 20 km/saat hızla 4 saatte, 40 km/saat hızla 2 saatte, 10 km/saat hızla 8 saatte kat edebiliyor. Her durumda hız ve zamanın çarpımı 80 km'ye eşitti.
Dersi beğendin mi?
Yeni VKontakte grubumuza katılın ve yeni derslerle ilgili bildirimler almaya başlayın
Bağımlılık Türleri
Pili şarj etmeye bakalım. İlk miktar olarak şarj olması için gereken süreyi alalım. İkinci değer ise şarj edildikten sonra çalışacağı süredir. Pili ne kadar uzun süre şarj ederseniz, o kadar uzun süre dayanır. Pil tamamen şarj olana kadar işlem devam edecektir.
Pilin çalışma süresinin şarj edildiği zamana bağlı olması
Not 1
Bu bağımlılığa denir doğrudan:
Bir değer arttıkça ikincisi de artar. Bir değer azaldıkça ikinci değer de azalır.
Başka bir örneğe bakalım.
Bir öğrenci ne kadar çok kitap okursa, diktede o kadar az hata yapar. Veya dağlarda ne kadar yükseğe çıkılırsa atmosfer basıncı o kadar düşük olur.
Not 2
Bu bağımlılığa denir tersi:
Bir değer artarken ikincisi azalır. Bir değer azaldıkça ikinci değer artar.
Böylece, şu durumda doğrudan bağımlılık her iki miktar da eşit olarak değişir (hem artar hem de azalır) ve bu durumda ters ilişki– tam tersi (biri artar, diğeri azalır veya tam tersi).
Miktarlar arasındaki bağımlılıkların belirlenmesi
Örnek 1
Bir arkadaşı ziyaret etmek için gereken süre 20$ dakikadır. Hız (birinci değer) $2$ kat artarsa, arkadaşa giderken harcanacak zamanın (ikinci değer) nasıl değişeceğini bulacağız.
Açıkçası süre $2$ kat azalacak.
Not 3
Bu bağımlılığa denir orantılı:
Bir çokluğun değişme sayısı, ikinci çokluğun değişme sayısı.
Örnek 2
Mağazadaki 2$ somun ekmek için 80 ruble ödemeniz gerekiyor. 4$'lık somun ekmek almanız gerekiyorsa (ekmek miktarı 2$ kat artar), kaç kat daha fazla ödemeniz gerekir?
Açıkçası, maliyet de 2$ kat artacak. Orantılı bağımlılığa bir örneğimiz var.
Her iki örnekte de orantılı bağımlılıklar dikkate alınmıştır. Ancak ekmek somunları örneğinde miktarlar tek yönde değişir, dolayısıyla bağımlılık şu şekildedir: doğrudan. Bir arkadaşının evine gitme örneğinde hız ile zaman arasındaki ilişki şu şekildedir: tersi. Böylece var doğru orantılı ilişki Ve ters orantılı ilişki.
Doğrudan orantılılık
$2$ orantılı miktarları ele alalım: ekmek somunlarının sayısı ve maliyeti. 2 dolarlık somun ekmeğin fiyatı 80 dolar ruble olsun. Çöreklerin sayısı 4$ kat artarsa (8$$ çörek), toplam maliyeti 320$ ruble olacaktır.
Atma sayısının oranı: $\frac(8)(2)=4$.
Bun maliyet oranı: $\frac(320)(80)=$4.
Gördüğünüz gibi bu ilişkiler birbirine eşittir:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Tanım 1
İki oranın eşitliğine denir oran.
Doğrudan orantılı bir bağımlılıkla, birinci ve ikinci miktarlardaki değişiklik çakıştığında bir ilişki elde edilir:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Tanım 2
İki miktara denir doğru orantılı Bunlardan biri değiştiğinde (arttığında veya azaldığında), diğer değer de aynı miktarda değişirse (sırasıyla artar veya azalırsa).
Örnek 3
Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti. Aynı hızla mesafenin $2$ katı kadar mesafe kat edeceği süreyi bulun.
Çözüm.
Zaman mesafeyle doğru orantılıdır:
$t=\frac(S)(v)$.
Sabit bir hızla mesafe kaç kat artarsa, zaman da aynı miktarda artacaktır:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Araba 2$ saatte 180$ km yol kat etti
Araba $x$ saatte 180 $ \cdot 2=360$ km yol alacak
Araba ne kadar uzağa giderse, o kadar uzun sürecektir. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki doğru orantılıdır.
Orantı kuralım:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Cevap: Arabanın 4$ saate ihtiyacı olacak.
Ters orantılılık
Tanım 3
Çözüm.
Zaman hız ile ters orantılıdır:
$t=\frac(S)(v)$.
Aynı yolda hız kaç kat artarsa zaman da aynı oranda azalır:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Sorunun durumunu tablo şeklinde yazalım:
Araba 6$ saatte 60$ km yol kat etti
Araba $x$ saatte 120$ km yol kat edecek
Araba ne kadar hızlı olursa, o kadar az zaman alır. Sonuç olarak büyüklükler arasındaki ilişki ters orantılıdır.
Orantı kuralım.
Çünkü orantılılık terstir, orandaki ikinci ilişki tersinedir:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Cevap: Arabanın 3$ saate ihtiyacı olacak.
§ 129. Ön açıklamalar.
Bir kişi sürekli olarak çok çeşitli miktarlarla ilgilenir. Bir çalışan ve bir işçi belirli bir saatte işe yetişmeye çalışıyor, bir yaya en kısa yoldan belli bir yere ulaşma telaşında, buharlı kalorifer ateşçisi kazan içindeki sıcaklığın yavaş yavaş yükselmesinden endişeleniyor, işletme yöneticisi üretim maliyetini vb. azaltmak için planlar yapıyor.
Bunun gibi sayısız örnek verilebilir. Zaman, mesafe, sıcaklık, maliyet; bunların hepsi farklı miktarlardır. Bu kitabın birinci ve ikinci bölümlerinde özellikle yaygın olan bazı büyüklüklerle tanıştık: alan, hacim, ağırlık. Fizik ve diğer bilimleri incelerken birçok nicelikle karşılaşırız.
Bir trende seyahat ettiğinizi hayal edin. Arada sırada saatinize bakarsınız ve ne kadar süredir yolda olduğunuzu fark edersiniz. Mesela treninizin kalkmasından bu yana 2, 3, 5, 10, 15 saat geçti vs. diyorsunuz. Bu rakamlar farklı zaman dilimlerini temsil ediyor; bunlara bu miktarın (zaman) değerleri denir. Veya treninizin kat ettiği mesafeyi görmek için pencereden dışarı bakıp yol direklerini takip edersiniz. Önünüzde 110, 111, 112, 113, 114 km sayıları yanıp sönüyor. Bu sayılar trenin kalkış noktasından itibaren kat ettiği farklı mesafeleri temsil etmektedir. Bunlara, bu sefer farklı büyüklükteki değerler de denir (iki nokta arasındaki yol veya mesafe). Böylece zaman, mesafe, sıcaklık gibi tek bir nicelik, aynı sayıda nicelik alabilir. farklı anlamlar.
Bir kişinin neredeyse hiçbir zaman tek bir niceliği dikkate almadığını, onu her zaman başka niceliklerle ilişkilendirdiğini lütfen unutmayın. Aynı anda iki, üç veya daha fazla nicelikle uğraşmak zorundadır. Saat 9'da okula gitmeniz gerektiğini düşünün. Saatinize bakıyorsunuz ve 20 dakikanız olduğunu görüyorsunuz. Daha sonra tramvaya mı bineceğinize yoksa okula yürüyerek mi gideceğinize hemen karar verirsiniz. Düşündükten sonra yürümeye karar verirsin. Düşünürken bir problemi çözdüğünüze dikkat edin. Bu tür sorunları her gün çözdüğünüz için bu görev basit ve tanıdık hale geldi. İçinde birkaç miktarı hızlı bir şekilde karşılaştırdınız. Saate bakan sizdiniz, yani zamanı hesaba kattınız, sonra evinizden okula olan mesafeyi zihinsel olarak hayal ettiniz; Son olarak iki değeri karşılaştırdınız: adımınızın hızı ve tramvayın hızı ve belirli bir süre içinde (20 dakika) yürümek için zamanınız olacağı sonucuna vardınız. Bu basit örnekten, uygulamamızda bazı niceliklerin birbiriyle bağlantılı olduğunu, yani birbirlerine bağlı olduklarını görebilirsiniz.
On ikinci bölümde homojen niceliklerin ilişkisinden bahsedildi. Örneğin bir bölüm 12 m, diğeri 4 m ise bu bölümlerin oranı 12:4 olacaktır.
Bunun iki homojen miktarın oranı olduğunu söylemiştik. Bunu söylemenin başka bir yolu da iki sayının oranıdır bir isim.
Artık niceliklere daha aşina olduğumuza ve bir niceliğin değeri kavramını tanıttığımıza göre, oranın tanımını yeni bir şekilde ifade edebiliriz. Aslında 12 m ve 4 m'lik iki segmenti ele aldığımızda tek bir değerden bahsediyorduk - uzunluk ve 12 m ile 4 m bu değerin yalnızca iki farklı değeriydi.
Bu nedenle gelecekte oranlar hakkında konuşmaya başladığımızda, bir miktarın iki değerini ele alacağız ve bir miktarın bir değerinin aynı miktardaki başka bir değere oranına, ilk değere bölünme bölümü adı verilecektir. ikinci olarak.
§ 130. Değerler doğrudan orantılıdır.
Durumu iki nicelik içeren bir problemi ele alalım: mesafe ve zaman.
Görev 1. Doğrusal ve düzgün bir şekilde hareket eden bir cisim saniyede 12 cm yol alır. Cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyede kat ettiği mesafeyi belirleyin.
Zaman ve mesafedeki değişiklikleri takip etmek için kullanılabilecek bir tablo oluşturalım.
Tablo bize bu iki değer serisini karşılaştırma fırsatı veriyor. Buradan görüyoruz ki, birinci niceliğin (zaman) değerleri kademeli olarak 2, 3,..., 10 kat arttığında, ikinci niceliğin (mesafe) değerleri de 2, 3, ..., 10 kat artıyor, ..., 10 kez. Böylece bir büyüklüğün değeri birkaç kat arttığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda artar, bir büyüklüğün değeri birkaç kat azaldığında başka bir büyüklüğün değeri de aynı oranda azalır. aynı numara.
Şimdi bu tür iki niceliği içeren bir problemi ele alalım: Madde miktarı ve maliyeti.
Görev 2. 15 m kumaşın maliyeti 120 ruble. Tabloda belirtilen diğer birkaç metre miktarı için bu kumaşın maliyetini hesaplayın.
Bu tabloyu kullanarak bir ürünün miktarındaki artışa bağlı olarak maliyetinin kademeli olarak nasıl arttığını takip edebiliriz. Bu problemin tamamen farklı miktarlar içermesine rağmen (ilk problemde - zaman ve mesafe ve burada - malların miktarı ve değeri), yine de bu miktarların davranışlarında büyük benzerlikler bulunabilir.
Hatta tablonun en üst satırında kumaşın metre sayısını belirten rakamlar var; her birinin altında ise ilgili mal miktarının maliyetini ifade eden bir rakam var. Bu tabloya kısa bir bakış bile hem üst hem de alt sıralardaki sayıların arttığını gösteriyor; Tablonun daha yakından incelenmesi ve bireysel sütunların karşılaştırılması sırasında, her durumda ikinci miktarın değerlerinin, birincinin değerleriyle aynı sayıda arttığı, yani; birinci nicelik diyelim 10 kat arttı, sonra ikinci niceliğin değeri de 10 kat arttı.
Tabloyu sağdan sola incelediğimizde miktarların belirtilen değerlerinin aynı oranda azalacağını göreceğiz. Bu anlamda birinci görev ile ikincisi arasında koşulsuz bir benzerlik vardır.
Birinci ve ikinci problemlerde karşılaştığımız büyüklük çiftlerine denir. doğrudan orantılıdır.
Dolayısıyla, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez arttığında (azaldığında) diğerinin değeri aynı miktarda artacak (azalacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere doğru orantılı nicelikler denir. .
Bu tür niceliklerin birbirleriyle doğrudan orantılı bir ilişkiyle ilişkili olduğu da söylenir.
Doğada ve çevremizdeki yaşamda buna benzer pek çok nicelik bulunur. İşte bazı örnekler:
1. Zaman iş (gün, iki gün, üç gün vb.) ve kazanç, bu süre zarfında yevmiyeyle birlikte alındı.
2. Hacim homojen bir malzemeden yapılmış herhangi bir nesne ve ağırlık bu öğe.
§ 131. Doğrudan orantılı büyüklüklerin özelliği.
Şu iki büyüklüğü içeren bir problemi ele alalım: çalışma süresi ve kazanç. Günlük kazanç 20 ruble ise 2 günlük kazanç 40 ruble vb. olacaktır. Belirli sayıda günün belirli bir kazanca karşılık geleceği bir tablo oluşturmak en uygunudur.
Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de 10 farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci değerin her değeri, ikinci değerin belirli bir değerine karşılık gelir, örneğin 2 gün, 40 rubleye karşılık gelir; 5 gün 100 rubleye karşılık geliyor. Tabloda bu sayılar alt alta yazılmıştır.
İki miktarın doğru orantılı olması durumunda, değişim sürecinde her birinin diğerinin artması kadar arttığını zaten biliyoruz. Hemen bundan şu sonuç çıkıyor: Birinci miktarın herhangi iki değerinin oranını alırsak, bu, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşit olacaktır. Aslında:
Bu neden oluyor? Ancak bu değerler doğru orantılı olduğu için yani biri (zaman) 3 kat arttığında diğeri (kazanç) 3 kat arttı.
Bu nedenle şu sonuca vardık: Birinci miktarın iki değerini alıp bunları birbirine bölersek ve ardından ikinci miktarın karşılık gelen değerlerini bire bölersek, o zaman her iki durumda da şunu elde ederiz: aynı sayı, yani aynı ilişki. Bu, yukarıda yazdığımız iki ilişkinin eşittir işaretiyle bağlanabileceği anlamına gelir;
Hiç şüphe yok ki, eğer bu ilişkileri değil de diğerlerini, bu sırayla değil, tam tersi sırayla alırsak, ilişkilerde eşitliği de elde ederiz. Aslında miktarlarımızın değerlerini soldan sağa doğru ele alıp üçüncü ve dokuzuncu değerleri alacağız:
60:180 = 1 / 3 .
Yani şunu yazabiliriz:
Bu, şu sonuca varır: eğer iki miktar doğrudan orantılıysa, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.
§ 132. Doğru orantılılık formülü.
1 kg'ı 10,4 ruble ise, çeşitli miktarlarda tatlıların maliyetini gösteren bir tablo yapalım.
Şimdi bunu şu şekilde yapalım. İkinci satırdaki herhangi bir sayıyı alın ve onu ilk satırdaki karşılık gelen sayıya bölün. Örneğin:
Bölümde her zaman aynı sayının elde edildiğini görüyorsunuz. Sonuç olarak, belirli bir doğrudan orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değerine bölünmesi oranı sabit bir sayıdır (yani değişmez). Örneğimizde bu bölüm 10,4'tür. Bu sabit sayıya orantı faktörü denir. Bu durumda bir ölçü biriminin, yani bir kilogram malın fiyatını ifade eder.
Orantılılık katsayısı nasıl bulunur veya hesaplanır? Bunu yapmak için, bir niceliğin herhangi bir değerini alıp diğerinin karşılık gelen değerine bölmeniz gerekir.
Bir miktarın bu keyfi değerini harfle gösterelim. en ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri - harf X , sonra orantılılık katsayısı (bunu belirtiyoruz) İLE) bölme işlemine göre buluruz:
Bu eşitlikte en - bölünebilir, X - bölen ve İLE- bölüm ve bölme özelliği gereği, temettü, bölenin bölümle çarpımına eşit olduğundan şunu yazabiliriz:
y = k X
Ortaya çıkan eşitliğe denir Doğru orantılılık formülü. Bu formülü kullanarak, diğer niceliğin karşılık gelen değerlerini ve orantı katsayısını biliyorsak, doğru orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıdaki değerini hesaplayabiliriz.
Örnek. Fizikten ağırlığı biliyoruz R herhangi bir cismin özgül ağırlığına eşittir D bu cismin hacmiyle çarpılır V yani R = D V.
Farklı hacimlerde beş demir çubuk alalım; Demirin özgül ağırlığını (7.8) bildiğimizden, bu külçelerin ağırlıklarını aşağıdaki formülü kullanarak hesaplayabiliriz:
R = 7,8 V.
Bu formülü formülle karşılaştırmak en = İLE X , bunu görüyoruz y = R, x = V ve orantılılık katsayısı İLE= 7,8. Formül aynı sadece harfler farklı.
Bu formülü kullanarak bir tablo yapalım: 1. boşluğun hacmi 8 metreküp olsun. cm ise ağırlığı 7,8 · 8 = 62,4 (g) olur. 2. boşluğun hacmi 27 metreküptür. cm Ağırlığı 7,8 27 = 210,6 (g). Tablo şöyle görünecek:
Formülü kullanarak bu tabloda eksik olan sayıları hesaplayın R= D V.
§ 133. Doğrudan orantılı büyüklüklerle problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta, durumu doğru orantılı büyüklükler içeren bir problemi çözdük. Bu amaçla öncelikle doğru orantı formülünü türettik ve daha sonra bu formülü uyguladık. Şimdi benzer sorunları çözmenin iki yolunu daha göstereceğiz.
Bir önceki paragrafta tabloda verilen sayısal verileri kullanarak bir problem oluşturalım.
Görev. 8 metreküp hacimli boş. cm ağırlığı 62,4 gr. Hacmi 64 metreküp olan bir boşluğun ağırlığı ne kadardır? santimetre?
Çözüm. Bilindiği gibi demirin ağırlığı hacmiyle orantılıdır. 8 cu ise. cm ağırlığı 62,4 g, ardından 1 cu. cm 8 kat daha az ağırlığa sahip olacak, yani.
62,4:8 = 7,8 (g).
64 metreküp hacimli boş. cm, 1 metreküp boşluktan 64 kat daha ağır olacaktır. cm, yani
7,864 = 499,2(g).
Sorunumuzu birliğe indirgeyerek çözdük. Bu ismin anlamı, ilk soruda bunu çözmek için hacim biriminin ağırlığını bulmamız gerektiği gerçeğiyle doğrulanmaktadır.
2. Orantı yöntemi. Aynı problemi orantı yöntemini kullanarak çözelim.
Demirin ağırlığı ve hacmi doğru orantılı miktarlar olduğundan, bir miktarın (hacim) iki değerinin oranı, başka bir miktarın (ağırlık) karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir, yani.
(mektup R ham parçanın bilinmeyen ağırlığını belirledik). Buradan:
(G).
Problem orantı yöntemi kullanılarak çözüldü. Bu, sorunu çözmek için koşulda yer alan sayılardan bir oran derlendiği anlamına gelir.
§ 134. Değerler ters orantılıdır.
Şu problemi düşünün: “Beş duvar ustası bir evin tuğla duvarlarını 168 günde örebilir. 10, 8, 6 vb. duvar ustalarının aynı işi kaç günde tamamlayabileceklerini belirleyin.”
Bir evin duvarlarını 5 duvarcı 168 günde örerse, o zaman (aynı emek verimliliğiyle) 10 duvarcı bunu yarı sürede yapabilir, çünkü ortalama 10 kişi 5 kişiden iki kat daha fazla iş yapar.
İşçi sayısı ve çalışma saatlerindeki değişiklikleri takip edebileceğimiz bir tablo çizelim.
Örneğin 6 işçinin kaç gün sürdüğünü bulmak için önce bir işçinin kaç gün sürdüğünü (168 5 = 840), daha sonra 6 işçinin kaç gün sürdüğünü (840: 6 = 140) hesaplamanız gerekir. Bu tabloya baktığımızda her iki niceliğin de altı farklı değer aldığını görüyoruz. Birinci büyüklüğün her değeri belirli bir değere karşılık gelir; ikinci değerin değeri, örneğin 10, 84'e karşılık gelir, 8 sayısı, 105 sayısına karşılık gelir, vb.
Her iki büyüklüğün değerlerini soldan sağa doğru düşünürsek üst miktarın değerlerinin arttığını, alt miktarın değerlerinin ise azaldığını görürüz. Artış ve azalışlar şu kanuna tabidir: Harcanan çalışma süresinin değerleri azaldıkça, işçi sayısı değerleri de aynı oranda artar. Bu fikir daha da basit bir şekilde şu şekilde ifade edilebilir: İşçiler herhangi bir göreve ne kadar çok bağlanırsa, belirli bir işi tamamlamak için o kadar az zamana ihtiyaç duyarlar. Bu problemde karşılaştığımız iki niceliğe denir ters orantılı.
Böylece, iki nicelik birbiriyle, birinin değeri birkaç kez artarken (azalırken), diğerinin değeri aynı miktarda azalacak (artacak) şekilde ilişkiliyse, bu tür niceliklere ters orantılı nicelikler denir. .
Hayatta buna benzer pek çok nicelik vardır. Örnekler verelim.
1. 150 ruble için ise. Birkaç kilogram şeker almanız gerekiyorsa, şeker miktarı bir kilogramın fiyatına bağlı olacaktır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, bu parayla o kadar az mal satın alabilirsiniz; bu tablodan görülebilir:
Şekerin fiyatı birkaç kat arttıkça 150 rubleye alınabilecek kilogram şeker sayısı da aynı oranda azalıyor. Bu durumda iki miktar (ürünün ağırlığı ve fiyatı) ters orantılıdır.
2. İki şehir arası mesafe 1.200 km ise hareket hızına bağlı olarak farklı sürelerde katedilebilir. Seyahat etmenin farklı yolları vardır: yürüyerek, at sırtında, bisikletle, tekneyle, arabayla, trenle, uçakla. Hız ne kadar düşük olursa, hareket etmek o kadar fazla zaman alır. Bu tablodan görülebilir:
Hızın birkaç kez artmasıyla seyahat süresi aynı miktarda azalır. Bu, bu koşullar altında hız ve zamanın ters orantılı büyüklükler olduğu anlamına gelir.
§ 135. Ters orantılı büyüklüklerin özelliği.
Önceki paragrafta incelediğimiz ikinci örneği ele alalım. Orada iki nicelikle ilgilendik; hız ve zaman. Tabloda bu büyüklüklerin değerlerine soldan sağa doğru bakarsak, birinci büyüklüğün (hız) değerlerinin arttığını, ikinci büyüklüğün (zaman) değerlerinin ise azaldığını, Zaman azaldıkça hız aynı oranda artar. Bir miktarın bazı değerlerinin oranını yazarsanız, bunun başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin oranına eşit olmayacağını anlamak zor değildir. Hatta üst değerin dördüncü değerinin yedinci değere oranını (40:80) alırsak, alt değerin dördüncü ve yedinci değerlerinin oranına (30:80) eşit olmayacaktır. 15). Bu şekilde yazılabilir:
40:80, 30:15'e veya 40:80 =/=30:15'e eşit değildir.
Ancak bu ilişkilerden biri yerine tam tersini alırsak eşitlik elde ederiz, yani bu ilişkilerden bir orantı oluşturmak mümkün olacaktır. Örneğin:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Yukarıdakilere dayanarak, şu sonuca varabiliriz: eğer iki miktar ters orantılıysa, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, başka bir miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.
§ 136. Ters orantılılık formülü.
Problemi düşünün: “Farklı boyutlarda ve farklı derecelerde 6 adet ipek kumaş var. Tüm parçaların maliyeti aynıdır. Tek parça 100 m kumaş içerir ve fiyatı 20 rubledir. metre başına Bu parçalardaki kumaşın bir metresi sırasıyla 25, 40, 50, 80, 100 rubleye mal oluyorsa diğer beş parçanın her birinde kaç metre vardır?” Bu sorunu çözmek için bir tablo oluşturalım:
Bu tablonun üst satırındaki boş hücreleri doldurmamız gerekiyor. Öncelikle ikinci parçada kaç metre olduğunu belirlemeye çalışalım. Bu aşağıdaki şekilde yapılabilir. Sorunun koşullarından tüm parçaların maliyetinin aynı olduğu bilinmektedir. İlk parçanın maliyetini belirlemek kolaydır: 100 metre içerir ve her metrenin maliyeti 20 rubledir, bu da ilk ipek parçasının 2.000 ruble değerinde olduğu anlamına gelir. İkinci ipek parçası aynı miktarda ruble içerdiğinden, 2.000 rubleyi bölüyoruz. bir metre yani 25 fiyatına ikinci parçanın ölçüsünü buluyoruz: 2.000: 25 = 80 (m). Aynı şekilde diğer tüm parçaların boyutunu da bulacağız. Tablo şöyle görünecek:
Metre sayısı ile fiyat arasında ters orantılı bir ilişkinin olduğunu görmek kolaydır.
Gerekli hesaplamaları kendiniz yaparsanız, her seferinde 2.000 sayısını 1 m fiyatına bölmeniz gerektiğini fark edeceksiniz. Tam tersine, parçanın metre cinsinden boyutunu 1 m fiyatıyla çarpmaya başlarsanız. Her zaman 2.000 sayısını alacaksınız ve her parça 2.000 rubleye mal olduğu için beklemek gerekiyordu.
Buradan şu sonucu çıkarabiliriz: belirli bir ters orantılı büyüklük çifti için, bir miktarın herhangi bir değerinin başka bir miktarın karşılık gelen değeriyle çarpımı sabit bir sayıdır (yani değişmez).
Bizim problemimizde bu çarpım 2.000'e eşit. Hareket hızından ve bir şehirden diğerine gitmek için gereken zamandan bahseden önceki problemde, o problem için de sabit bir sayının (1.200) olduğunu kontrol edin.
Yukarıdakilerin hepsini hesaba katarak ters orantı formülünü elde etmek kolaydır. Bir miktarın belirli bir değerini harfle gösterelim X ve başka bir miktarın karşılık gelen değeri harfle temsil edilir en . Daha sonra yukarıdakilere dayanarak çalışma X Açık en harfiyle gösterdiğimiz sabit bir değere eşit olmalıdır İLE, yani
xy = İLE.
Bu eşitlikte X - çarpma en - çarpan ve k- iş. Çarpma özelliğine göre çarpan, çarpımın çarpıma bölünmesine eşittir. Araç,
Bu ters orantı formülüdür. Bunu kullanarak, diğerinin değerlerini ve sabit sayıyı bilerek, ters orantılı niceliklerden birinin herhangi bir sayıda değerini hesaplayabiliriz. İLE.
Başka bir sorunu ele alalım: “Bir makalenin yazarı, kitabı normal formatta ise 96 sayfa olacağını, cep formatı ise 300 sayfa olacağını hesapladı. Farklı seçenekleri denedi, 96 sayfayla başladı ve sonunda sayfa başına 2.500 harfle sonuçlandı. Daha sonra aşağıdaki tabloda gösterilen sayfa numaralarını aldı ve sayfada kaç harf olacağını tekrar hesapladı.”
Kitabın 100 sayfa olması durumunda sayfada kaç harf olacağını hesaplamaya çalışalım.
2.500 96 = 240.000 olduğundan kitabın tamamında 240.000 harf vardır.
Bunu dikkate alarak ters orantı formülünü kullanıyoruz ( en - sayfadaki harf sayısı, X - sayfa sayısı):
Örneğimizde İLE= 240.000 dolayısıyla
Yani sayfada 2.400 harf var.
Benzer şekilde, bir kitabın 120 sayfa olması durumunda sayfadaki harf sayısının şöyle olacağını öğreniyoruz:
Masamız şöyle görünecek:
Kalan hücreleri kendiniz doldurun.
§ 137. Ters orantılı büyüklüklerle ilgili problemleri çözmenin diğer yöntemleri.
Önceki paragrafta koşulları ters orantılı büyüklükler içeren problemleri çözdük. Önce ters orantı formülünü çıkardık, sonra bu formülü uyguladık. Şimdi bu tür problemler için iki çözüm daha göstereceğiz.
1. Birliğe indirgeme yöntemi.
Görev. 5 tornacı bir işi 16 günde yapabiliyor. Bu işi 8 işçi kaç günde tamamlayabilir?
Çözüm. Tornacı sayısı ile çalışma saatleri arasında ters bir ilişki vardır. Eğer 5 tornacı bir işi 16 günde yaparsa, bir kişinin bunun için 5 kat daha fazla zamana ihtiyacı olacaktır, yani.
5 tornacı işi 16 günde tamamlıyor,
1 tornacı bu işi 16 5 = 80 günde tamamlar.
Problemde 8 tornanın işi kaç günde tamamlayacağı sorulmaktadır. Açıkçası, 1 turner'dan 8 kat daha hızlı işle başa çıkacaklar, yani.
80: 8 = 10 (gün).
Sorunun birliğe indirgenerek çözümü budur. Burada öncelikle bir işçinin işi tamamlaması için gereken süreyi belirlemek gerekiyordu.
2. Orantı yöntemi. Aynı sorunu ikinci şekilde çözelim.
İşçi sayısı ile çalışma süresi arasında ters orantılı bir ilişki olduğundan şunu yazabiliriz: 5 tornacının çalışma süresi yeni tornacı sayısı (8) 8 tornacının çalışma süresi önceki tornacı sayısı (5) mektupla gerekli çalışma süresi X ve gerekli sayıları kelimelerle ifade edilen orana değiştirin:
Aynı problem oranlar yöntemiyle de çözülür. Bunu çözmek için problem tanımında yer alan sayılardan bir orantı oluşturmamız gerekiyordu.
Not.Önceki paragraflarda doğrudan ve ters orantı konusunu inceledik. Doğa ve yaşam bize niceliklerin doğrudan ve ters orantılı bağımlılığının birçok örneğini verir. Ancak bu iki bağımlılık türünün yalnızca en basiti olduğunu belirtmek gerekir. Bunların yanı sıra nicelikler arasında daha karmaşık başka bağımlılıklar da vardır. Ayrıca herhangi iki nicelik aynı anda artıyorsa aralarında mutlaka doğru bir orantı olduğu düşünülmemelidir. Bu gerçek olmaktan çok uzak. Örneğin demiryolu ücretleri mesafeye bağlı olarak artıyor: ne kadar uzağa gidersek o kadar fazla ödüyoruz ancak bu, ücretin mesafeyle orantılı olduğu anlamına gelmiyor.