อาคารสถาปัตยกรรมสมมาตร

สมมาตรเป็นแนวคิดที่สะท้อนถึงลำดับที่มีอยู่ในธรรมชาติ สัดส่วนและสัดส่วนระหว่างองค์ประกอบของระบบหรือวัตถุของธรรมชาติ ความเป็นระเบียบเรียบร้อย ความสมดุลของระบบ ความมั่นคง เช่น องค์ประกอบบางอย่างของความสามัคคี

มิลเลนเนียผ่านไปก่อนมนุษยชาติในกิจกรรมทางสังคมและการผลิต ตระหนักถึงความจำเป็นในการแสดงแนวโน้มทั้งสองที่มีแนวโน้มที่แนวโน้มทั้งสองได้สร้างขึ้นในธรรมชาติในแนวคิดบางประการ ได้แก่ การมีอยู่ของความเป็นระเบียบเรียบร้อยที่เข้มงวด สัดส่วน ความสมดุล และการละเมิดสิ่งเหล่านี้ ผู้คนให้ความสนใจมานานแล้วกับรูปร่างที่ถูกต้องของคริสตัล ความเข้มงวดทางเรขาคณิตของโครงสร้างของรวงผึ้ง ลำดับและการทำซ้ำของการจัดเรียงกิ่งและใบบนต้นไม้ กลีบดอกไม้ ดอกไม้ เมล็ดพืช และสะท้อนให้เห็นถึงความเป็นระเบียบเรียบร้อยนี้ในพวกเขา กิจกรรมภาคปฏิบัติการคิดและศิลปะ

วัตถุและปรากฏการณ์ของธรรมชาติที่มีชีวิตมีความสมมาตร ไม่เพียงแต่ดึงดูดสายตาและเป็นแรงบันดาลใจให้กับกวีทุกยุคทุกสมัยและผู้คนเท่านั้น แต่ยังช่วยให้สิ่งมีชีวิตปรับตัวเข้ากับสภาพแวดล้อมได้ดีขึ้นและอยู่รอดได้

ในธรรมชาติของสิ่งมีชีวิต สิ่งมีชีวิตส่วนใหญ่จะแสดงออก ชนิดที่แตกต่างกันความสมมาตร (รูปร่าง ความคล้ายคลึง ตำแหน่งสัมพัทธ์) นอกจากนี้สิ่งมีชีวิตที่มีโครงสร้างทางกายวิภาคต่างกันสามารถมีความสมมาตรภายนอกแบบเดียวกันได้

หลักการสมมาตรระบุว่าถ้าอวกาศเป็นเนื้อเดียวกัน การถ่ายโอนระบบโดยรวมในอวกาศจะไม่เปลี่ยนคุณสมบัติของระบบ ถ้าทุกทิศทางในอวกาศเท่ากัน หลักการสมมาตรจะทำให้ระบบหมุนได้โดยรวมในอวกาศ หลักการของความสมมาตรจะได้รับการเคารพหากจุดกำเนิดของเวลามีการเปลี่ยนแปลง ตามหลักการนี้ เป็นไปได้ที่จะทำการเปลี่ยนผ่านไปยังระบบอ้างอิงอื่นที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบนี้ด้วย ความเร็วคงที่- โลกที่ไม่มีชีวิตมีความสมมาตรมาก มักมีการละเมิดความสมมาตรมา ฟิสิกส์ควอนตัม อนุภาคมูลฐาน- นี่คือการรวมตัวกันของความสมมาตรที่ลึกยิ่งขึ้น ความไม่สมมาตรเป็นหลักการที่สร้างโครงสร้างและสร้างสรรค์ของชีวิต ในเซลล์ที่มีชีวิต สารชีวโมเลกุลที่มีนัยสำคัญเชิงหน้าที่จะไม่สมมาตร: โปรตีนประกอบด้วยกรดอะมิโนที่ลอยได้ (รูปแบบ L) และ กรดนิวคลีอิกนอกเหนือจากฐานเฮเทอโรไซคลิกแล้ว คาร์โบไฮเดรตแบบ dextrorotatory - น้ำตาล (รูปแบบ D) นอกจากนี้ DNA เองก็เป็นพื้นฐานของการถ่ายทอดทางพันธุกรรมคือเกลียวคู่ที่ถนัดขวา

หลักการสมมาตรเป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพัทธภาพ กลศาสตร์ควอนตัม, นักฟิสิกส์ แข็ง, นิวเคลียร์ และ ฟิสิกส์นิวเคลียร์ฟิสิกส์ของอนุภาค หลักการเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนที่สุดในคุณสมบัติที่ไม่แปรเปลี่ยนของกฎแห่งธรรมชาติ นี่ไม่ใช่แค่เกี่ยวกับ กฎทางกายภาพแต่ยังรวมถึงสิ่งอื่น ๆ ด้วย เช่น ทางชีววิทยา ตัวอย่างของกฎการอนุรักษ์ทางชีวภาพคือกฎแห่งมรดก มันขึ้นอยู่กับค่าคงที่ คุณสมบัติทางชีวภาพที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงจากรุ่นสู่รุ่น เห็นได้ชัดว่าหากไม่มีกฎหมายอนุรักษ์ (ทางกายภาพ ชีวภาพ และอื่นๆ) โลกของเราไม่สามารถดำรงอยู่ได้

ดังนั้น ความสมมาตรจึงเป็นการแสดงออกถึงการเก็บรักษาบางสิ่งบางอย่างแม้จะมีการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง หรือการเก็บรักษาบางสิ่งบางอย่างแม้จะมีการเปลี่ยนแปลงก็ตาม สมมาตรสันนิษฐานถึงความคงที่ไม่เพียงแต่ของวัตถุเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงคุณสมบัติใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงที่ทำกับวัตถุด้วย ความไม่เปลี่ยนรูปของวัตถุบางอย่างสามารถสังเกตได้จากการดำเนินการต่างๆ - การหมุน, การแปล, การเปลี่ยนชิ้นส่วนร่วมกัน, การสะท้อนกลับ ฯลฯ

พิจารณาประเภทของความสมมาตรในคณิตศาสตร์:

• * ส่วนกลาง (สัมพันธ์กับจุด)
• * แนวแกน (ค่อนข้างตรง)
• * กระจกเงา (สัมพันธ์กับเครื่องบิน)
• 1. สมมาตรกลาง (ภาคผนวก 1)

ตัวเลขนั้นมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O ถ้าจุดแต่ละจุดของรูปนั้นมีความสมมาตรด้วยความเคารพต่อจุด O อยู่ในรูปนี้ด้วย จุด O เรียกว่าจุดศูนย์กลางสมมาตรของรูป

แนวคิดเรื่องศูนย์กลางของสมมาตรเกิดขึ้นครั้งแรกในศตวรรษที่ 16 ในทฤษฎีบทหนึ่งของคลาวิอุส กล่าวไว้ว่า “ถ้าเส้นขนานถูกตัดโดยระนาบที่ผ่านจุดศูนย์กลาง มันจะแบ่งออกเป็นสองส่วน และในทางกลับกัน ถ้าเส้นขนานถูกตัดครึ่ง เครื่องบินก็จะผ่านจุดศูนย์กลาง” Legendre ผู้แนะนำครั้งแรก เรขาคณิตเบื้องต้นองค์ประกอบของหลักคำสอนเรื่องสมมาตรแสดงให้เห็นว่า ขนานกันทางขวามีระนาบสมมาตร 3 ระนาบตั้งฉากกับขอบ และลูกบาศก์มีระนาบสมมาตร 9 ระนาบ โดย 3 ระนาบตั้งฉากกับขอบ และอีก 6 ระนาบผ่านเส้นทแยงมุมของใบหน้า

ตัวอย่างของตัวเลขที่มีความสมมาตรตรงกลาง ได้แก่ วงกลมและสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ในพีชคณิต เมื่อศึกษาฟังก์ชันคู่และคี่ จะต้องพิจารณากราฟของฟังก์ชันเหล่านั้นด้วย เมื่อสร้างเสร็จแล้ว กราฟของฟังก์ชันคู่จะสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนกำหนด และกราฟของฟังก์ชันคี่จะสมมาตรเมื่อเทียบกับจุดกำเนิด กล่าวคือ จุด O นี่หมายถึง ไม่ แม้กระทั่งฟังก์ชั่นมีความสมมาตรที่ศูนย์กลาง และฟังก์ชันคู่จะเป็นแนวแกน

2. สมมาตรตามแนวแกน (ภาคผนวก 2)

ตัวเลขเรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้น a หากจุดแต่ละจุดของรูปสมมาตรสัมพันธ์กับเส้น a ก็เป็นของรูปนี้เช่นกัน เส้นตรง a เรียกว่าแกนสมมาตรของรูป กล่าวกันว่าตัวเลขดังกล่าวมีความสมมาตรตามแนวแกน

มากขึ้น ในความหมายที่แคบแกนสมมาตรเรียกว่าแกนสมมาตรของลำดับที่สองและพูดถึง "สมมาตรตามแนวแกน" ซึ่งสามารถกำหนดได้ดังนี้: ตัวเลข (หรือร่างกาย) มีความสมมาตรตามแนวแกนรอบแกนใดแกนหนึ่งหากแต่ละจุด E สอดคล้องกับ จุด F ที่อยู่ในรูปเดียวกัน โดยที่ส่วนของ EF ตั้งฉากกับแกน ตัดกัน และที่จุดตัดกันจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน

ฉันจะยกตัวอย่างตัวเลขที่มีความสมมาตรตามแนวแกน มุมที่ยังไม่พัฒนาจะมีแกนสมมาตรหนึ่งแกน - เส้นตรงที่มีเส้นแบ่งครึ่งของมุมอยู่ สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (แต่ไม่ใช่ด้านเท่ากันหมด) ก็มีแกนสมมาตรหนึ่งแกนเช่นกัน และ สามเหลี่ยมด้านเท่า-- สมมาตรสามแกน สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งไม่ใช่สี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่ละอันมีแกนสมมาตรสองแกน และสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีแกนสมมาตรสี่แกน วงกลมมีจำนวนอนันต์ เส้นตรงใดๆ ที่ผ่านจุดศูนย์กลางจะเป็นแกนสมมาตร

มีตัวเลขต่างๆ ที่ไม่มีแกนสมมาตรเพียงแกนเดียว ตัวเลขดังกล่าวประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งแตกต่างจากสี่เหลี่ยมจัตุรัส และสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

3. กระจกสมมาตร (ภาคผนวก 3)

สมมาตรของกระจก (สมมาตรสัมพันธ์กับระนาบ) คือการจัดทำแผนที่ของอวกาศบนตัวมันเอง โดยที่จุด M ใดๆ เข้าสู่จุด M1 ที่มีความสมมาตรสัมพันธ์กับระนาบนี้

ความสมมาตรของกระจกเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับทุกคนจากการสังเกตทุกวัน ตามชื่อที่แสดง ความสมมาตรของกระจกเชื่อมต่อวัตถุใด ๆ และการสะท้อนของมันเข้าด้วยกัน กระจกแบน- ร่างหนึ่ง (หรือลำตัว) กล่าวกันว่าเป็นกระจกสมมาตรกับอีกร่างหนึ่ง หากเมื่อรวมกันแล้วจะกลายเป็นร่างสมมาตรเหมือนกระจก (หรือลำตัว)

ผู้เล่นบิลเลียดคุ้นเคยกับการกระทำของการไตร่ตรองมานานแล้ว “กระจก” ของพวกเขาคือด้านข้างของสนามแข่งขัน และวิถีของลูกบอลจะเล่นบทบาทของลำแสง เมื่อตีด้านข้างใกล้มุมลูกบอลจะกลิ้งไปทางด้านข้างที่อยู่ในมุมฉากและเมื่อสะท้อนจากมันแล้วให้เคลื่อนกลับไปขนานกับทิศทางของการกระแทกครั้งแรก

ควรสังเกตว่าสอง ตัวเลขสมมาตรหรือสองส่วนที่สมมาตรของรูปเดียวโดยมีความคล้ายคลึงกัน ปริมาตรและพื้นที่ผิวเท่ากันทั้งหมด กรณีทั่วไปไม่เท่ากัน กล่าวคือ ไม่สามารถรวมกันได้ สิ่งเหล่านี้เป็นตัวเลขที่แตกต่างกัน ไม่สามารถแทนที่กันได้ เช่น ถุงมือที่เหมาะสม รองเท้าบูท ฯลฯ ไม่เหมาะกับแขนหรือขาซ้าย รายการสามารถมีหนึ่ง สอง สาม ฯลฯ ระนาบสมมาตร ตัวอย่างเช่น ปิรามิดตรงซึ่งมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มีความสมมาตรประมาณระนาบ P ระนาบเดียว ปริซึมที่มีฐานเดียวกันจะมีระนาบสมมาตรสองระนาบ คนที่ใช่ ปริซึมหกเหลี่ยมมีเจ็ดคน ตัวของการหมุน: บอล, พรู, ทรงกระบอก, กรวย ฯลฯ มี จำนวนอนันต์ระนาบสมมาตร

ชาวกรีกโบราณเชื่อว่าจักรวาลมีความสมมาตรเพียงเพราะว่าความสมมาตรนั้นสวยงาม จากการพิจารณาเรื่องความสมมาตร พวกเขาคาดเดาได้หลายครั้ง ดังนั้นพีทาโกรัส (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) เมื่อพิจารณาว่าทรงกลมมีความสมมาตรมากที่สุดและ ฟอร์มที่สมบูรณ์แบบได้ข้อสรุปเกี่ยวกับความเป็นทรงกลมของโลกและการเคลื่อนที่ของมันไปตามทรงกลม ในเวลาเดียวกันเขาเชื่อว่าโลกเคลื่อนที่ไปตามทรงกลมของ "ไฟกลาง" จากข้อมูลของพีทาโกรัส ดาวเคราะห์ทั้งหกดวงที่รู้จักในขณะนั้น รวมถึงดวงจันทร์ ดวงอาทิตย์ และดวงดาวต่างๆ ควรจะโคจรรอบ "ไฟ" ดวงเดียวกัน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• การก่อตัวของแนวคิดเรื่อง "จุดสมมาตร";
• สอนให้เด็กสร้างจุดสมมาตรกับข้อมูล
• เรียนรู้การสร้างเซ็กเมนต์ที่สมมาตรกับข้อมูล
• การรวมสิ่งที่ได้เรียนรู้ (การก่อตัวของทักษะการคำนวณการหารตัวเลขหลายหลักด้วยตัวเลขหลักเดียว)

บนการ์ด "สำหรับบทเรียน" บนขาตั้ง:

1. ช่วงเวลาขององค์กร

ทักทาย.

ครูดึงความสนใจไปที่จุดยืน:

เด็กๆ มาเริ่มบทเรียนด้วยการวางแผนงานกันเถอะ

วันนี้ในบทเรียนคณิตศาสตร์ เราจะเดินทางสู่ 3 อาณาจักร ได้แก่ อาณาจักรแห่งเลขคณิต พีชคณิต และเรขาคณิต มาเริ่มบทเรียนด้วยสิ่งที่สำคัญที่สุดสำหรับเราในวันนี้ด้วยเรขาคณิต ฉันจะเล่านิทานให้คุณฟัง แต่ "เทพนิยายเป็นเรื่องโกหก แต่มีคำใบ้อยู่ในนั้น - บทเรียนสำหรับเพื่อนที่ดี"

": นักปรัชญาคนหนึ่งชื่อ Buridan มีลา ครั้งหนึ่งเมื่อจากไปเป็นเวลานานปราชญ์ได้วางหญ้าแห้งสองแขนที่เหมือนกันไว้ข้างหน้าลา เขาวางม้านั่งและไปทางซ้ายของม้านั่งและไปทางขวาของม้านั่ง ในระยะห่างเท่ากัน เขาวางหญ้าแห้งเต็มแขนที่เหมือนกันทุกประการ

รูปที่ 1 บนกระดาน:

ลาเดินจากกองหญ้าแห้งข้างหนึ่งไปยังอีกแขนหนึ่ง แต่ก็ยังไม่รู้ว่าจะเริ่มด้วยแขนข้างใด และสุดท้ายเขาก็ตายด้วยความหิวโหย”

ทำไมลาไม่ตัดสินใจว่าจะเริ่มด้วยหญ้าแห้งกองไหน?

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับกองหญ้าแห้งเหล่านี้ได้บ้าง?

(หญ้าแห้งเต็มแขนเหมือนกันทุกประการ โดยอยู่ห่างจากม้านั่งเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าหญ้าแห้งมีความสมมาตร)

2. มาค้นคว้ากันสักหน่อย

หยิบกระดาษหนึ่งแผ่น (เด็กแต่ละคนมีกระดาษสีหนึ่งแผ่นอยู่บนโต๊ะ) พับครึ่ง แทงมันด้วยขาเข็มทิศ ขยาย.

คุณได้อะไร? (2 จุดสมมาตร)

คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่ามันสมมาตรอย่างแท้จริง? (พับแผ่นให้จุดตรงกัน)

3. บนโต๊ะ:

คุณคิดว่าจุดเหล่านี้สมมาตรหรือไม่? (เลขที่). ทำไม เราจะมั่นใจเรื่องนี้ได้อย่างไร?

รูปที่ 3:

จุด A และ B เหล่านี้สมมาตรกันหรือไม่?

เราจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร?

(วัดระยะห่างจากเส้นตรงถึงจุด)

กลับไปที่กระดาษสีของเรากัน

วัดระยะห่างจากเส้นพับ (แกนสมมาตร) ก่อนถึงจุดหนึ่งแล้วจึงไปยังอีกจุดหนึ่ง (แต่ก่อนอื่นให้เชื่อมต่อพวกมันด้วยส่วน)

คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับระยะทางเหล่านี้?

(เหมือน)

ค้นหาจุดกึ่งกลางของกลุ่มของคุณ

มันอยู่ที่ไหน?

(เป็นจุดตัดกันของเซ็กเมนต์ AB กับแกนสมมาตร)

4. ใส่ใจกับมุม เกิดขึ้นจากจุดตัดของส่วน AB กับแกนสมมาตร (เราค้นพบด้วยความช่วยเหลือของจัตุรัส เด็กแต่ละคนทำงานในที่ทำงานของตนเอง คนหนึ่งเรียนบนกระดานดำ)

ข้อสรุปของเด็ก: ส่วน AB อยู่ที่มุมขวากับแกนสมมาตร

โดยที่เราไม่รู้ ตอนนี้เราได้ค้นพบกฎทางคณิตศาสตร์:

หากจุด A และ B มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรงหรือแกนสมมาตร ส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้จะอยู่ในมุมฉากหรือตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ (คำว่า “ตั้งฉาก” เขียนแยกกันบนขาตั้ง) เราพูดคำว่า "ตั้งฉาก" ออกมาดัง ๆ ในคอรัส

5. ให้เราใส่ใจว่ากฎนี้เขียนไว้ในหนังสือเรียนของเราอย่างไร

ทำงานตามตำราเรียน

ค้นหาจุดสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรง จุด A และ B จะสมมาตรเกี่ยวกับเส้นนี้หรือไม่

6. ทำงานกับวัสดุใหม่

มาเรียนรู้วิธีสร้างจุดสมมาตรกับข้อมูลสัมพันธ์กับเส้นตรงกัน

ครูสอนการใช้เหตุผล

หากต้องการสร้างจุดที่สมมาตรกับจุด A คุณต้องย้ายจุดนี้จากเส้นตรงไปยังระยะเดียวกันไปทางขวา

7. เราจะเรียนรู้การสร้างเซ็กเมนต์ที่สมมาตรกับข้อมูลที่สัมพันธ์กับเส้นตรง. ทำงานตามตำราเรียน

นักเรียนให้เหตุผลบนกระดาน

8. การนับช่องปาก

นี่คือที่ที่เราจะสิ้นสุดการอยู่ในอาณาจักร "เรขาคณิต" และจะอุ่นเครื่องทางคณิตศาสตร์เล็กน้อยโดยไปที่อาณาจักร "เลขคณิต"

ในขณะที่ทุกคนกำลังทำงานด้วยวาจา นักเรียนสองคนกำลังทำงานบนกระดานเดี่ยว

A) ดำเนินการแบ่งส่วนพร้อมการตรวจสอบ:

B) หลังจากใส่ตัวเลขที่ต้องการแล้ว ให้แก้ตัวอย่างและตรวจสอบ:

การนับวาจา

1. อายุการใช้งานของต้นเบิร์ชคือ 250 ปี และต้นโอ๊กมีอายุมากกว่า 4 เท่า ต้นโอ๊กมีชีวิตอยู่ได้นานแค่ไหน?
2. นกแก้วมีอายุเฉลี่ย 150 ปี และช้างมีอายุน้อยกว่า 3 เท่า ช้างมีชีวิตอยู่ได้กี่ปี?
3. หมีเชิญแขกมาหาเขา: เม่น, สุนัขจิ้งจอกและกระรอก พวกเขามอบหม้อมัสตาร์ด ส้อม และช้อนแก่พระองค์เป็นของขวัญ เม่นให้อะไรกับหมี?

เราสามารถตอบคำถามนี้ได้หากเรารันโปรแกรมเหล่านี้

• มัสตาร์ด - 7
• ส้อม - 8
• ช้อน - 6

(เม่นให้ช้อน)

4) คำนวณ ค้นหาตัวอย่างอื่น

• 810: 90
• 360: 60
• 420: 7
• 560: 80

5) ค้นหารูปแบบและช่วยจดหมายเลขที่ต้องการ:

3	9	81
2		16

5	10	20
6		24

9. ตอนนี้ขอพักสักหน่อย

มาฟัง Moonlight Sonata ของ Beethoven กันดีกว่า นาทีแห่งดนตรีคลาสสิก นักเรียนวางหัวลงบนโต๊ะ หลับตา และฟังเพลง

10. การเดินทางสู่อาณาจักรแห่งพีชคณิต

เดารากของสมการแล้วตรวจสอบ:

นักเรียนแก้ปัญหาบนกระดานและในสมุดบันทึก พวกเขาอธิบายว่าพวกเขาเดาได้อย่างไร

11. "การแข่งขันแบบสายฟ้าแลบ" .

ก) Asya ซื้อเบเกิล 5 อันสำหรับรูเบิลและ 2 ก้อนสำหรับรูเบิล การซื้อทั้งหมดมีค่าใช้จ่ายเท่าไร?

มาตรวจสอบกัน มาแบ่งปันความคิดเห็นของเรากัน

12. สรุป.

ดังนั้นเราจึงได้เสร็จสิ้นการเดินทางเข้าสู่อาณาจักรแห่งคณิตศาสตร์แล้ว

อะไรคือสิ่งที่สำคัญที่สุดสำหรับคุณในบทเรียน?

ใครชอบบทเรียนของเราบ้าง?

เรารู้สึกยินดีเป็นอย่างยิ่งที่ได้ร่วมงานกับคุณ

ขอบคุณสำหรับบทเรียน

แนวคิดการเคลื่อนไหว

ให้เราตรวจสอบแนวคิดของการเคลื่อนไหวก่อน

คำจำกัดความ 1

การทำแผนที่ของเครื่องบินเรียกว่าการเคลื่อนที่ของเครื่องบินถ้าการทำแผนที่รักษาระยะทางไว้

มีหลายทฤษฎีที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดนี้

ทฤษฎีบท 2

สามเหลี่ยมเมื่อเคลื่อนที่จะกลายเป็นสามเหลี่ยมเท่ากัน

ทฤษฎีบท 3

ร่างใด ๆ เมื่อเคลื่อนไหวจะแปลงร่างเป็นร่างที่เท่ากัน

ความสมมาตรตามแนวแกนและศูนย์กลางเป็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่ ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม

สมมาตรตามแนวแกน

คำจำกัดความ 2

จุด $A$ และ $A_1$ เรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้น $a$ หากเส้นนี้ตั้งฉากกับส่วน $(AA)_1$ และผ่านจุดศูนย์กลาง (รูปที่ 1)

ภาพที่ 1.

ลองพิจารณาความสมมาตรของแกนโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

สร้าง สามเหลี่ยมสมมาตรสำหรับ ให้รูปสามเหลี่ยมเกี่ยวกับด้านใดด้านหนึ่งของมัน

สารละลาย.

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม $ABC$ เราจะสร้างความสมมาตรโดยเทียบกับด้าน $BC$ ด้าน $BC$ ที่มีความสมมาตรตามแนวแกนจะแปลงร่างเป็นด้านนั้นเอง (ตามมาจากคำจำกัดความ) จุด $A$ จะไปที่จุด $A_1$ ดังต่อไปนี้: $(AA)_1\บอท BC$, $(AH=HA)_1$. สามเหลี่ยม $ABC$ จะแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม $A_1BC$ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

คำจำกัดความ 3

รูปหนึ่งเรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นตรง $a$ หากจุดสมมาตรทุกจุดของรูปนี้อยู่ในรูปเดียวกัน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

รูปที่ $3$ แสดงรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีความสมมาตรในแนวแกนเทียบกับเส้นผ่านศูนย์กลางแต่ละเส้น เช่นเดียวกับเส้นตรงสองเส้นที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง ฝั่งตรงข้าม สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กำหนด.

สมมาตรกลาง

คำจำกัดความที่ 4

จุด $X$ และ $X_1$ เรียกว่าสมมาตรโดยเทียบกับจุด $O$ ถ้าจุด $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของส่วน $(XX)_1$ (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

ลองพิจารณาสมมาตรกลางโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 2

สร้างสามเหลี่ยมสมมาตรสำหรับสามเหลี่ยมที่กำหนดที่จุดยอดใดๆ ของมัน

สารละลาย.

ให้เราได้รับสามเหลี่ยม $ABC$ เราจะสร้างความสมมาตรโดยสัมพันธ์กับจุดยอด $A$ จุดยอด $A$ ที่มีสมมาตรตรงกลางจะเปลี่ยนเป็นรูปตัวเอง (ตามมาจากคำจำกัดความ) จุด $B$ จะไปที่จุด $B_1$ ดังนี้: $(BA=AB)_1$ และจุด $C$ จะไปที่จุด $C_1$ ดังนี้: $(CA=AC)_1$ สามเหลี่ยม $ABC$ จะแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม $(AB)_1C_1$ (รูปที่ 5)

รูปที่ 5.

คำจำกัดความที่ 5

ตัวเลขจะสมมาตรเมื่อเทียบกับจุด $O$ หากจุดสมมาตรทุกจุดของรูปนี้อยู่ในรูปเดียวกัน (รูปที่ 6)

รูปที่ 6.

รูปที่ $6$ แสดงรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีความสมมาตรตรงกลางเกี่ยวกับจุดตัดของเส้นทแยงมุม

งานตัวอย่าง.

ตัวอย่างที่ 3

ให้เราได้รับส่วน $AB$ สร้างสมมาตรด้วยความเคารพต่อเส้น $l$ ซึ่งไม่ได้ตัดกันส่วนที่กำหนด และด้วยความเคารพต่อจุดที่ $C$ อยู่บนเส้น $l$

สารละลาย.

ให้เราอธิบายสภาพของปัญหาตามแผนผัง

รูปที่ 7.

ก่อนอื่นให้เราพรรณนาความสมมาตรตามแนวแกนด้วยความเคารพต่อเส้นตรง $l$ เนื่องจากสมมาตรตามแนวแกนเป็นการเคลื่อนไหว ดังนั้นตามทฤษฎีบท $1$ ส่วน $AB$ จะถูกแมปเข้ากับส่วน $A"B"$ ที่เท่ากับมัน ในการสร้างมันขึ้นมา เราจะทำดังต่อไปนี้: ลากเส้นตรง $m\ และ\n$ ผ่านจุด $A\ และ\B$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรง $l$ ให้ $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$ ต่อไปเราวาดส่วน $A"X=AX$ และ $B"Y=BY$

รูปที่ 8.

ตอนนี้ให้เราพรรณนาถึงความสมมาตรส่วนกลางด้วยความเคารพต่อจุด $C$ เพราะ สมมาตรกลางคือการเคลื่อนไหว จากนั้นตามทฤษฎีบท $1$ ส่วน $AB$ จะถูกโยงเข้ากับส่วน $A""B""$ เท่ากับส่วนนั้น ในการสร้างมันขึ้นมา เราจะทำดังต่อไปนี้: ลากเส้น $AC\ และ\ BC$ ต่อไปเราวาดส่วน $A^("")C=AC$ และ $B^("")C=BC$

รูปที่ 9.

คุณจะต้องการ

• - คุณสมบัติของจุดสมมาตร
• - คุณสมบัติของตัวเลขสมมาตร
• - ไม้บรรทัด;
• - สี่เหลี่ยม;
• - เข็มทิศ;
• - ดินสอ;
• - กระดาษ;
• - คอมพิวเตอร์พร้อมโปรแกรมแก้ไขกราฟิก

คำแนะนำ

วาดเส้นตรง a ซึ่งจะเป็นแกนสมมาตร หากไม่ได้ระบุพิกัดให้วาดตามอำเภอใจ ด้านหนึ่งของสถานที่ที่เป็นเส้นตรงนี้ จุดใดก็ได้ก. จำเป็นต้องหาจุดสมมาตร.

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

คุณสมบัติสมมาตรถูกใช้อย่างต่อเนื่องใน AutoCAD เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้ตัวเลือกมิเรอร์ สำหรับการก่อสร้าง สามเหลี่ยมหน้าจั่วหรือ สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วก็เพียงพอที่จะวาดฐานด้านล่างและมุมระหว่างฐานกับด้านข้าง สะท้อนกลับโดยใช้คำสั่งที่กำหนดและขยาย ด้านข้างถึงค่าที่ต้องการ ในกรณีของรูปสามเหลี่ยม นี่จะเป็นจุดตัดกัน และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมคางหมู - ตั้งค่า.

คุณพบกับความสมมาตรอยู่ตลอดเวลา บรรณาธิการกราฟิกเมื่อคุณใช้ตัวเลือก "พลิกแนวตั้ง/แนวนอน" ในกรณีนี้ แกนสมมาตรจะถือเป็นเส้นตรงที่สัมพันธ์กับด้านแนวตั้งหรือแนวนอนด้านใดด้านหนึ่งของกรอบรูป

แหล่งที่มา:

• วิธีการวาดสมมาตรกลาง

การสร้างหน้าตัดของกรวยไม่เป็นเช่นนั้น งานที่ยากลำบาก- สิ่งสำคัญคือต้องทำตามลำดับการกระทำที่เข้มงวด แล้ว งานนี้จะทำได้ง่ายและไม่ต้องใช้แรงงานจากคุณมากนัก

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา;
• - วงกลม;
• - ไม้บรรทัด.

คำแนะนำ

เมื่อตอบคำถามนี้ คุณต้องตัดสินใจก่อนว่าพารามิเตอร์ใดกำหนดส่วนดังกล่าว
ให้นี่เป็นเส้นตรงของจุดตัดของระนาบ l กับระนาบ และจุด O ซึ่งเป็นจุดตัดกับส่วนของระนาบ

การก่อสร้างแสดงไว้ในรูปที่ 1 ขั้นตอนแรกในการสร้างส่วนคือผ่านจุดศูนย์กลางของส่วนเส้นผ่านศูนย์กลาง โดยขยายเป็น l ตั้งฉากกับเส้นนี้ ผลลัพธ์คือจุด L ต่อไป ให้วาดเส้นตรง LW ผ่านจุด O และสร้างกรวยนำทาง 2 อันที่อยู่ในส่วนหลัก O2M และ O2C ที่จุดตัดของเส้นบอกแนวเหล่านี้ จุด Q รวมถึงจุด W ที่แสดงไว้แล้ว นี่คือสองจุดแรกของส่วนที่ต้องการ

ตอนนี้วาด MS ตั้งฉากที่ฐานของกรวย BB1 ​​และสร้างเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ส่วนตั้งฉาก O2B และ O2B1 ในส่วนนี้ ผ่านจุด O ให้วาดเส้นตรง RG ขนานกับ BB1 Т.R และ Т.G เป็นอีกสองจุดของส่วนที่ต้องการ หากทราบหน้าตัดของลูกบอลก็สามารถสร้างได้ในขั้นตอนนี้ อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่วงรีเลย แต่เป็นวงรีที่มีความสมมาตรเมื่อเทียบกับเซกเมนต์ QW ดังนั้นคุณควรสร้างจุดตัดให้มากที่สุดเพื่อเชื่อมต่อในภายหลังด้วยเส้นโค้งที่ราบรื่นเพื่อให้ได้ภาพร่างที่น่าเชื่อถือที่สุด

สร้างจุดตัดตามอำเภอใจ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาด AN ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใดก็ได้ที่ฐานของกรวย และสร้างตัวกั้น O2A และ O2N ที่สอดคล้องกัน ผ่าน t.O ให้ลากเส้นตรงผ่าน PQ และ WG จนกระทั่งตัดกับเส้นบอกแนวที่สร้างขึ้นใหม่ที่จุด P และ E นี่คืออีกสองจุดของส่วนที่ต้องการ ต่อไปในลักษณะเดียวกันคุณจะพบคะแนนได้มากเท่าที่คุณต้องการ

จริงอยู่ที่ขั้นตอนการได้มานั้นสามารถทำให้ง่ายขึ้นเล็กน้อยโดยใช้สมมาตรเทียบกับ QW ในการทำเช่นนี้ คุณสามารถวาดเส้นตรง SS’ ในระนาบของส่วนที่ต้องการ ขนานกับ RG จนกระทั่งมันตัดกับพื้นผิวของกรวย การก่อสร้างเสร็จสมบูรณ์โดยการปัดเศษเส้นโพลีไลน์ที่สร้างขึ้นจากคอร์ด การสร้างส่วนที่ต้องการครึ่งหนึ่งก็เพียงพอแล้วเนื่องจากความสมมาตรที่กล่าวไปแล้วเกี่ยวกับ QW

วิดีโอในหัวข้อ

เคล็ดลับ 3: วิธีสร้างกราฟ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คุณต้องวาด กำหนดการตรีโกณมิติ ฟังก์ชั่น- ฝึกฝนอัลกอริธึมของการกระทำโดยใช้ตัวอย่างการสร้างไซนัสอยด์ เพื่อแก้ปัญหาให้ใช้วิธีวิจัย

คุณจะต้องการ

• - ไม้บรรทัด;
• - ดินสอ;
• - ความรู้พื้นฐานตรีโกณมิติ

คำแนะนำ

วิดีโอในหัวข้อ

บันทึก

หากครึ่งแกนสองแกนของไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียวเท่ากัน ดังนั้น จะได้รูปนั้นโดยการหมุนไฮเปอร์โบลาด้วยครึ่งแกน โดยอันหนึ่งอยู่ด้านบน และอีกอันหนึ่งแตกต่างจากสองอันที่เท่ากัน รอบ ๆ แกนจินตภาพ

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เมื่อตรวจสอบตัวเลขนี้สัมพันธ์กับแกน Oxz และ Oyz จะเห็นได้ชัดว่าส่วนหลักของมันคือไฮเปอร์โบลา และเมื่อตัดสิ่งนี้ รูปร่างเชิงพื้นที่เมื่อหมุนด้วยระนาบ Oxy หน้าตัดจะเป็นวงรี วงรีคอของไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียวผ่านจุดกำเนิดของพิกัด เนื่องจาก z=0

วงรีลำคออธิบายได้ด้วยสมการ x²/a² +y²/b²=1 และวงรีอื่นๆ ประกอบขึ้นด้วยสมการ x²/a² +y²/b²=1+h²/c²

แหล่งที่มา:

• ทรงรี, พาราโบลอยด์, ไฮเปอร์โบลอยด์ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นเส้นตรง

มนุษย์ใช้รูปร่างของดาวห้าแฉกกันอย่างแพร่หลายมาตั้งแต่สมัยโบราณ เราถือว่ารูปร่างของมันสวยงามเพราะเรารับรู้ถึงความสัมพันธ์ของส่วนสีทองโดยไม่รู้ตัวนั่นคือ ความงามของดาวห้าแฉกนั้นถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ Euclid เป็นคนแรกที่บรรยายถึงการสร้างดาวห้าแฉกใน Elements ของเขา มาร่วมสัมผัสประสบการณ์ของเขากัน

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด;
• ดินสอ;
• เข็มทิศ;
• ไม้โปรแทรกเตอร์

คำแนะนำ

การสร้างดาวฤกษ์นั้นขึ้นอยู่กับการก่อสร้างและการเชื่อมต่อจุดยอดของมันเข้าหากันตามลำดับผ่านจุดหนึ่ง ในการสร้างวงกลมที่ถูกต้อง คุณต้องแบ่งวงกลมออกเป็นห้าวง
สร้าง วงกลมตามอำเภอใจใช้เข็มทิศ ทำเครื่องหมายจุดศูนย์กลางด้วยจุด O

ทำเครื่องหมายจุด A และใช้ไม้บรรทัดวาดส่วนของเส้น OA ตอนนี้คุณต้องแบ่งส่วน OA ออกเป็นสองส่วน โดยจากจุด A ให้วาดส่วนโค้งของรัศมี OA จนกระทั่งตัดวงกลมที่จุด M และ N สองจุด สร้างส่วน MN จุด E ที่ MN ตัดกับ OA จะแบ่งส่วน OA

คืนค่า OD ตั้งฉากกลับเป็นรัศมี OA และเชื่อมต่อจุด D และ E สร้างรอยบาก B บน OA จากจุด E ด้วยรัศมี ED

ตอนนี้ใช้ฐานข้อมูลส่วนของเส้นตรงทำเครื่องหมายวงกลมด้วยห้า ส่วนที่เท่ากัน- เขียนจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติตามลำดับด้วยตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 5 เชื่อมต่อจุดต่างๆ ใน ลำดับถัดไป: 1 กับ 3, 2 กับ 4, 3 กับ 5, 4 กับ 1, 5 กับ 2 นี่คือดาวห้าแฉกที่ถูกต้องใน รูปห้าเหลี่ยมปกติ- นี่คือวิธีที่ฉันสร้างมันขึ้นมา

สามเหลี่ยม.

§ 17. ความสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงด้านขวา

1. ตัวเลขที่มีความสมมาตรต่อกัน

มาวาดรูปบนกระดาษด้วยหมึกและใช้ดินสออยู่ข้างนอก - เป็นเส้นตรงตามอำเภอใจ จากนั้น โดยไม่ให้หมึกแห้ง เราก็งอแผ่นกระดาษตามแนวเส้นตรงนี้เพื่อให้ส่วนหนึ่งของแผ่นทับซ้อนกัน ส่วนอื่น ๆ ของแผ่นงานนี้จะทำให้เกิดรอยพิมพ์ของรูปนี้

หากคุณยืดกระดาษให้ตรงอีกครั้งจะมีตัวเลขสองร่างอยู่ซึ่งเรียกว่า สมมาตรสัมพันธ์กับบรรทัดที่กำหนด (รูปที่ 128)

ตัวเลขสองตัวเรียกว่าสมมาตรสัมพันธ์กับเส้นตรงบางเส้นหากเมื่องอระนาบการวาดตามแนวเส้นตรงนี้พวกมันจะอยู่ในแนวเดียวกัน

เส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเหล่านี้สมมาตรเรียกว่าของพวกเขา แกนสมมาตร.

จากคำจำกัดความของตัวเลขสมมาตร จะพบว่าตัวเลขสมมาตรทุกตัวมีค่าเท่ากัน

คุณสามารถได้ตัวเลขที่สมมาตรโดยไม่ต้องงอระนาบ แต่ด้วยความช่วยเหลือ การก่อสร้างทางเรขาคณิต- ปล่อยให้จำเป็นต้องสร้างจุด C" ให้สมมาตรกับจุด C ที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับเส้นตรง AB ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุด C
CD ถึงเส้นตรง AB และเพื่อความต่อเนื่องเราจะวางส่วน DC" = DC หากเรางอระนาบการวาดตาม AB แล้วจุด C จะอยู่ในแนวเดียวกับจุด C": จุด C และ C" มีความสมมาตร (รูปที่ 129 ).

สมมติว่าตอนนี้เราต้องสร้างส่วน C "D" แบบสมมาตร ส่วนนี้ซีดีสัมพันธ์กับ AB แบบตรง มาสร้างคะแนน C" และ D" กันเถอะ สมมาตรกับจุดต่างๆ C และ D ถ้าเรางอระนาบการวาดตาม AB จุด C และ D จะตรงกันตามลำดับโดยมีจุด C" และ D" (รูปวาด 130) ดังนั้นส่วน CD และ C "D" จะอยู่ในแนวเดียวกัน มีความสมมาตร

ให้เราสร้างตัวเลขสมมาตรกัน ให้รูปหลายเหลี่ยม ABCDE สัมพันธ์กับแกนสมมาตร MN นี้ (รูปที่ 131)

เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองปล่อยเส้นตั้งฉาก A ออกไป ก, ใน ข, กับ กับ, ดี งและอี จถึงแกนสมมาตร MN จากนั้น ในส่วนขยายของเส้นตั้งฉากเหล่านี้ เราจะพลอตส่วนต่างๆ
กก" = ก ก, ขข" = ข ข, กับค" = คส; งด"" = ด งและ จอี" = อี จ.

รูปหลายเหลี่ยม A"B"C"D"E" จะสมมาตรกับรูปหลายเหลี่ยม ABCDE อันที่จริง หากคุณงอภาพวาดตามแนวเส้นตรง MN จุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมทั้งสองจะอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น รูปหลายเหลี่ยมจะอยู่ในแนวเดียวกัน นี่พิสูจน์ว่ารูปหลายเหลี่ยม ABCDE และ A" B"C"D"E" มีความสมมาตรเกี่ยวกับเส้นตรง MN

2. ตัวเลขที่ประกอบด้วยส่วนสมมาตร

มักพบ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งแบ่งด้วยเส้นตรงบางเส้นออกเป็นสองส่วนสมมาตร ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า สมมาตร.

ตัวอย่างเช่น มุมเป็นรูปสมมาตร และเส้นแบ่งครึ่งของมุมคือแกนสมมาตร เนื่องจากเมื่อโค้งงอไปตามนั้น ส่วนหนึ่งของมุมจะรวมเข้ากับอีกมุมหนึ่ง (รูปที่ 132)

ในวงกลมแกนสมมาตรคือเส้นผ่านศูนย์กลางเนื่องจากเมื่อโค้งงอตามนั้นครึ่งวงกลมหนึ่งจะรวมกับอีกครึ่งวงกลม (รูปที่ 133) ตัวเลขในภาพวาด 134, a, b มีความสมมาตรทุกประการ

รูปร่างที่สมมาตรมักพบในธรรมชาติ โครงสร้าง และเครื่องประดับ รูปภาพที่วางบนภาพวาด 135 และ 136 มีความสมมาตร

ควรสังเกตว่าตัวเลขสมมาตรสามารถรวมเข้าด้วยกันได้ง่ายๆ โดยการเคลื่อนที่ไปตามระนาบในบางกรณีเท่านั้น ในการรวมตัวเลขที่สมมาตรเข้าด้วยกันตามกฎแล้วจำเป็นต้องหมุนหนึ่งในนั้นด้วยด้านตรงข้าม