ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ
เรียกว่าไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว พื้นผิวนี้มีระนาบสมมาตรสามระนาบ - ระนาบพิกัด เนื่องจากพิกัดปัจจุบัน y และ z รวมอยู่ในสมการ (55) ในกำลังคู่
การตัดไฮเปอร์โบลาแผ่นเดียวกับระนาบเราจะได้ไฮเปอร์โบลา ABCD ที่วางอยู่ในระนาบ (รูปที่ 97)
ในทำนองเดียวกัน ในส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวโดยระนาบ เราจะได้ไฮเปอร์โบลา EFGH
ในเครื่องบิน
เมื่อไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวตัดกันด้วยระนาบ ผลลัพธ์ที่ได้คือวงรี BFCG ซึ่งสมการจะมีรูปแบบดังนี้
ครึ่งแกนของวงรีนี้เพิ่มขึ้นตามการเพิ่มขึ้น ค่าสัมบูรณ์ชม.
เมื่อคุณได้วงรีที่วางอยู่บนระนาบ และมีครึ่งแกน a และ b ที่เล็กที่สุด เมื่อเราได้รับไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติแผ่นเดียว
เมื่อเครื่องบินตัดกัน จะได้วงกลม
ในย่อหน้า 2 และ 3 ถือเป็นทรงกระบอกและ พื้นผิวทรงกรวยซึ่งแต่ละเส้นประกอบด้วยเส้นตรง ปรากฎว่าไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวถือได้ว่าเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยเส้นตรง พิจารณาเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ
โดยที่ a, b และ c เป็นแกนกึ่งแกนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว และ k เป็นตัวเลขที่เลือกได้ตามอำเภอใจ
เมื่อคูณสมการเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้สมการ
นั่นคือสมการของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว
ดังนั้น สมการของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวจึงเป็นผลมาจากระบบสมการ (59) ดังนั้น พิกัดของจุดใดๆ ที่เป็นไปตามระบบสมการ (59) ก็เป็นไปตามสมการ (55) ของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวด้วย กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดทุกจุดของเส้นตรง (59) เป็นของไฮเปอร์โบลอยด์ (55) ด้วยการเปลี่ยนค่าของ k เราจะได้เส้นทั้งหมดที่วางอยู่บนพื้นผิว (55) ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่าไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียวประกอบด้วยตระกูลตรงทั้งหมด
พารามิเตอร์ที่กำหนดเองอยู่ที่ไหน
นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าในแต่ละจุดของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวนั้นจะมีเส้นตรงหนึ่งเส้นจากแต่ละตระกูลที่ระบุ ดังนั้นไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวจึงถือได้ว่าเป็นพื้นผิวที่ประกอบด้วยเส้นตรง (รูปที่ 98) เส้นเหล่านี้เรียกว่าเครื่องกำเนิดเส้นตรงของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว
ความสามารถในการสร้างพื้นผิวของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวจากเส้นตรงถูกนำมาใช้ในเทคโนโลยีการก่อสร้าง
ตัวอย่างเช่นตามการออกแบบที่เสนอโดยวิศวกร V. G. Shukhov เสาวิทยุถูกสร้างขึ้นในมอสโกโดยใช้คานที่อยู่ตามแนวเส้นตรงของไฮเปอร์โบลอยด์ช่องเดียว
ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ
เรียกว่าไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น
ระนาบพิกัดเป็นระนาบสมมาตรของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น
เมื่อตัดกันพื้นผิวนี้ด้วยระนาบพิกัดที่เราได้รับ ไฮเปอร์โบลาตามลำดับ
ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นเป็นพื้นผิวที่กำหนดไว้ในบางส่วน ระบบสี่เหลี่ยมพิกัด Oxyz โดยสมการบัญญัติ
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1
ในสมการ (4.48), (4.49) a, b, c เป็นพารามิเตอร์เชิงบวกที่แสดงถึงไฮเปอร์โบลอยด์ และ a\geqslant b
ต้นกำเนิดของพิกัดเรียกว่าจุดศูนย์กลางของไฮเปอร์โบลอยด์ จุดตัดของไฮเปอร์โบลอยด์กับแกนพิกัดเรียกว่าจุดยอด เหล่านี้คือสี่จุด (\pm a,0,0), (0,\pm b,0) ของไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียว (4.48) และสองจุด (0,0,\pm c) ของไฮเปอร์โบลอยด์แบบสองแผ่น (4.49) แกนพิกัดทั้งสามส่วนของแกนพิกัดที่เชื่อมต่อกับจุดยอดของไฮเปอร์โบลอยด์เรียกว่าแกนของไฮเปอร์โบลอยด์ แกนของไฮเปอร์โบลอยด์ที่อยู่ในแกนพิกัด Ox,\,Oy เรียกว่าแกนตามขวางของไฮเปอร์โบลอยด์ และแกนที่อยู่ในแกนประกอบ Oz เรียกว่าแกนตามยาวของไฮเปอร์โบลอยด์ ตัวเลข a,\,b,\,c , เท่ากับครึ่งหนึ่งความยาวของแกนเรียกว่ากึ่งแกนของไฮเปอร์โบลอยด์
ส่วนระนาบของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว
เมื่อแทน z=0 ลงในสมการ (4.48) เราจะได้สมการ \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1เส้นตัดของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวกับระนาบพิกัด Oxy สมการนี้ในระนาบ Oxy ให้นิยามวงรีที่เรียกว่าคอหอย เส้นตัดกันของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวกับระนาบพิกัดอื่นๆ คือไฮเปอร์โบลา พวกมันเรียกว่าไฮเปอร์โบลาหลัก ตัวอย่างเช่น สำหรับ x=0 เราจะได้ไฮเปอร์โบลาหลัก \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(z^2)=1และสำหรับ y=0 - ไฮเปอร์โบลาหลัก \frac(x^2)(a^2)-\frac(z^2)(c^2)=1
ตอนนี้ให้เราพิจารณาส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวโดยระนาบที่ขนานกับระนาบ Oxy แทนที่ z=h โดยที่ h คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ (พารามิเตอร์) ลงในสมการ (4.48) เราจะได้
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=1 \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \frac(x ^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1+\frac(h^2)(c^2)
สำหรับค่าใดๆ ของพารามิเตอร์ h สมการจะกำหนดวงรีด้วยครึ่งแกน ก"=a\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2)) b"=b\sqrt(1+\frac(h^2)(c^2))- ดังนั้น ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวโดยระนาบ z=h จะเป็นวงรี โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนที่ทา และจุดยอดอยู่บนไฮเปอร์โบลาหลัก ในบรรดาวงรีทั้งหมดที่ได้รับในส่วนต่างๆ โดยระนาบ z=h ใน ความหมายที่แตกต่างกันพารามิเตอร์ h วงรีคอ (ที่ h=0) คือวงรีที่มีครึ่งแกนเล็กที่สุด
ดังนั้นไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวสามารถแสดงเป็นพื้นผิวที่เกิดจากวงรีซึ่งจุดยอดนั้นอยู่บนไฮเปอร์โบลาหลัก (รูปที่ 4.42, a)
ส่วนระนาบของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น
ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นโดยระนาบพิกัด Oyz และ Oxz คือไฮเปอร์โบลาหลัก (ไฮเปอร์โบลาหลัก)
ตอนนี้ให้เราพิจารณาส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นโดยระนาบที่ขนานกับระนาบ Oxy แทน z=h โดยที่ h คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ (พารามิเตอร์) ลงในสมการ (4.49) เราจะได้
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)-\frac(h^2)(c^2)=-1 \quad \ลูกศรซ้ายขวา \quad \frac( x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=\frac(h^2)(c^2)-1
เมื่อ |ชม|
ดังนั้น ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นสามารถแสดงเป็นพื้นผิวที่เกิดจากวงรี ซึ่งจุดยอดนั้นอยู่บนไฮเปอร์โบลาหลัก (รูปที่ 4.43, a)
ไฮเปอร์โบลอยด์ของการหมุน
ไฮเปอร์โบลอยด์ที่มีครึ่งแกนตามขวางเท่ากัน (a=b) เรียกว่า ไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ- ไฮเปอร์โบลอยด์ดังกล่าวเป็นพื้นผิวของการปฏิวัติ และส่วนของมันตามระนาบ z=h (สำหรับไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นที่มี |h|>c) เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางบนแกนที่ประยุกต์ใช้ ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียวหรือสองแผ่นสามารถหาได้โดยการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนออนซ์ \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=1(รูปที่ 4.42, b) หรือไฮเปอร์โบลาคอนจูเกต \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=-1(รูปที่ 4.43, b) ตามลำดับ โปรดทราบว่าสมการของสมการหลังสามารถเขียนได้ในรูปแบบ -\frac(y^2)(b^2)+\frac(z^2)(c^2)=1.
ไฮเปอร์โบลอยด์ที่มีแกนตามขวางต่างกัน (a\ne b) เรียกว่า สามเหลี่ยม (หรือทั่วไป)
หมายเหตุ 4.9
1. เครื่องบินเอ็กซ์ x=\pm a,\,y=\pm b,\,z=\pm คกำหนดไว้ในอวกาศ ขั้นพื้นฐาน ทรงลูกบาศก์ ภายนอกซึ่งมีไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น (รูปที่ 4.43, c) ใบหน้าทั้งสอง (z=\pm c) ของด้านขนานสัมผัสไฮเปอร์โบลอยด์ที่จุดยอด
2. ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวโดยระนาบ แกนขนานนำไปใช้และมีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงรีลำคอ (เช่น สัมผัสกัน) แสดงถึงเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันที่จุดสัมผัสกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อแทน x=\pm a ลงในสมการ (4.48) เราจะได้สมการ \frac(y^2)(b^2)-\frac(z^2)(c^2)=0เส้นตัดกันสองเส้น (ดูรูปที่ 4.42, a)
3. ไฮเปอร์โบลอยด์แบบแผ่นเดียวคือพื้นผิวที่มีกฎเกณฑ์ เช่น พื้นผิว, เกิดจากการเคลื่อนไหวตรง (ดูรูปที่ 4.42, c) ตัวอย่างเช่น ไฮเปอร์โบลอยด์ของการปฏิวัติแผ่นเดียวสามารถหาได้โดยการหมุนเส้นรอบอีกเส้นหนึ่งที่ตัดกัน (แต่ไม่ได้ตั้งฉากกัน)
4. ต้นกำเนิดของระบบพิกัดมาตรฐานคือศูนย์กลางของความสมมาตรของไฮเปอร์โบลอยด์ แกนประสานงาน- แกนสมมาตรของไฮเปอร์โบลอยด์, ระนาบพิกัด - ระนาบสมมาตรของไฮเปอร์โบลอยด์
อันที่จริง ถ้าจุด M(x,y,z) อยู่ในไฮเปอร์โบลอยด์ แล้วจุดที่มีพิกัด (\pm x,\pm y,\pm z)สำหรับการเลือกเครื่องหมายใดๆ ก็เป็นของไฮเปอร์โบลอยด์เช่นกัน เนื่องจากพิกัดของพวกมันเป็นไปตามสมการ (4.48) หรือ (4.49) ตามลำดับ
Javascript ถูกปิดใช้งานในเบราว์เซอร์ของคุณหากต้องการคำนวณ คุณต้องเปิดใช้งานตัวควบคุม ActiveX!
ภาคผนวก 2
ไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการหมุนในถ้ำเดียว
(ข้อมูลโดยย่อ)
หากการเคลื่อนที่ของเส้นสร้างเป็นการหมุนรอบเส้นตรง (แกน) คงที่ พื้นผิวที่เกิดขึ้นในกรณีนี้จะเรียกว่าพื้นผิวแห่งการปฏิวัติ เส้นสร้างอาจเป็นเส้นโค้งแบนหรือเชิงพื้นที่ เช่นเดียวกับเส้นตรง
แต่ละจุดของเส้นสร้าง เมื่อหมุนรอบแกน จะอธิบายถึงวงกลมซึ่งอยู่ในระนาบตั้งฉากกับแกนของการหมุน วงกลมเหล่านี้เรียกว่าแนวขนาน ด้วยเหตุนี้ ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนจึงตัดพื้นผิวของการหมุนตามแนวขนาน เส้นที่พื้นผิวการหมุนตัดกับระนาบที่ผ่านแกนนั้นเรียกว่าเส้นเมริเดียน เส้นเมริเดียนทั้งหมดของพื้นผิวการหมุนมีความเท่ากันทุกประการ
เซตของเส้นขนานหรือเส้นเมอริเดียนทั้งหมดแสดงถึงกรอบต่อเนื่องของพื้นผิวแห่งการปฏิวัติ แต่ละจุดบนพื้นผิวจะผ่านเส้นขนานหนึ่งเส้นและเส้นลมปราณหนึ่งเส้น เส้นโครงของจุดจะอยู่บนเส้นโครงที่สอดคล้องกันของเส้นขนานหรือเส้นลมปราณ คุณสามารถกำหนดจุดบนพื้นผิวหรือสร้างเส้นโครงที่สองของจุดนั้นได้ (ถ้ามี) โดยใช้เส้นขนานหรือเส้นลมปราณที่ผ่านจุดนี้ ส่วนทางเรขาคณิตของปัจจัยกำหนดพื้นผิวการปฏิวัติประกอบด้วยแกนการหมุนและเจเนราทริกซ์
พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเป็นเส้นตรง:
1. - กระบอกหมุนเกิดขึ้นจากการหมุนเส้นตรงขนานกับแกน
2. - กรวยการหมุนเกิดจากการหมุนของเส้นตรงที่ตัดกับแกน
3. - การปฏิวัติไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวเกิดขึ้นจากการหมุนของเส้นตรงที่ข้ามแกน
เส้นขนานของพื้นผิวเป็นวงกลม
เส้นเมริเดียนของพื้นผิวคือไฮเปอร์โบลา
พื้นผิวของการปฏิวัติที่ระบุไว้ทั้งหมดเป็นพื้นผิวของลำดับที่สอง
พื้นผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้งอันดับสองรอบแกน
1. ทรงกลมเกิดขึ้นจากการหมุนวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางของมัน
2. วงรีของการปฏิวัติเกิดจากการหมุนวงรีรอบแกนหลักหรือแกนรอง
3. พาราโบลาแห่งการปฏิวัติเกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนของมัน
4. ไฮเปอร์โบลาของการปฏิวัติแผ่นเดียวเกิดขึ้นจากการหมุนไฮเปอร์โบลารอบแกนจินตภาพของมัน (พื้นผิวนี้เกิดจากการหมุนเส้นตรงเช่นกัน: ขั้นตอนที่ a-1)
ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวคือพื้นผิว สมการบัญญัติซึ่งมีรูปแบบดังนี้
โดยที่ a, b, c เป็นจำนวนบวก
มีระนาบสมมาตรสามระนาบ สมมาตรสามแกน และศูนย์กลางสมมาตร พวกมันคือระนาบพิกัด แกนพิกัด และที่มาของพิกัดตามลำดับ ในการสร้างไฮเปอร์โบลอยด์ เราจะหาส่วนของมันตามระนาบต่างๆ ลองหาเส้นตัดกับระนาบ xOy กัน บนระนาบนี้ z = 0 ดังนั้น
สมการนี้บนระนาบ xOy ให้นิยามวงรีที่มีครึ่งแกน a และ b (รูปที่ 1) ลองหาเส้นตัดกับระนาบ yOz กัน บนระนาบนี้ x = 0 ดังนั้น
นี่คือสมการของไฮเปอร์โบลาในระนาบ yOz โดยที่กึ่งแกนจริงคือ b และกึ่งแกนจินตภาพคือ c มาสร้างอติพจน์นี้กันดีกว่า
ส่วนตามระนาบ xOz ก็เป็นไฮเปอร์โบลาที่มีสมการเช่นกัน
เราจะวาดไฮเปอร์โบลานี้ด้วย แต่เพื่อไม่ให้ภาพวาดมีเส้นเพิ่มเติมมากเกินไป เราจะไม่พรรณนาเส้นกำกับของมัน และจะลบเส้นกำกับในส่วนนั้นด้วยระนาบ yOz
ขอให้เราหาเส้นตัดของพื้นผิวด้วยระนาบ z = ± h, h > 0
ข้าว. 1. ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว
สมการของเส้นเหล่านี้คือ:
ให้เราแปลงสมการแรกให้อยู่ในรูปแบบ
สมการนี้เป็นสมการของวงรีที่คล้ายกับวงรีในระนาบ xOy โดยมีค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกันและมีครึ่งแกน a 1 และ b 1 มาวาดส่วนที่เป็นผลลัพธ์กัน (รูปที่ 2)
ข้าว. 2. รูปภาพของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวโดยใช้ส่วนต่างๆ
ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติสามารถหาได้โดยการหมุนเส้นตรงที่ตัดกับแกนจินตนาการที่เส้นหมุนอยู่ ในกรณีนี้ปรากฎว่า รูปร่างเชิงพื้นที่(รูปที่ 3) พื้นผิวซึ่งประกอบด้วยตำแหน่งต่อเนื่องของเส้นตรงระหว่างการหมุน
ข้าว. 3. ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการปฏิวัติที่ได้จากการหมุนเส้นตรงข้ามแกนการหมุน
เส้นลมปราณของพื้นผิวดังกล่าวคือไฮเปอร์โบลา พื้นที่ภายในรูปการหมุนนี้จะเป็นของจริง และภายนอกจะเป็นจินตภาพ ระนาบที่ตั้งฉากกับแกนจินตภาพและผ่าไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวที่ส่วนต่ำสุดเรียกว่าระนาบโฟกัส
ภาพที่คุ้นเคยของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวต่อดวงตาแสดงไว้ในรูปที่ 1 6.4.
ถ้าในสมการ a=b แล้วส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์โดยระนาบที่ขนานกับระนาบ xOy จะเป็นวงกลม ในกรณีนี้ พื้นผิวเรียกว่าไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวแห่งการปฏิวัติ และสามารถรับได้โดยการหมุนไฮเปอร์โบลาที่อยู่ในระนาบ yOz รอบแกน Oz (รูปที่ 4)
ข้าว. 4. ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวแห่งการปฏิวัติ
ไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียว x 2 /a 2 + y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0;ข้าม ระนาบแกนพิกัด x=0,y=0,z=0 โดยไฮเปอร์โบลา y 2 /b 2 – z 2 /c 2 = 1 x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 และทรงรี x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1 ตามลำดับ ในส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แถบเดียวโดยระนาบ z=h, วงรี x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 + h 2 /c 2 โดยมีครึ่งแกน และจะได้ค่าเสมอ
สมการ Canonical:
ก = ข- ไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวของการหมุนรอบแกน ออนซ์.
วงรีคอ:
กรวยแสดงอาการ: 
ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวโดยระนาบอาจเป็นวงรี พาราโบลา ไฮเปอร์โบลา หรือคู่ของเส้นตรง (เครื่องกำเนิดเส้นตรง)
เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นเส้นตรง
ผ่านจุดใดก็ได้ 
มียีนเชิงเส้นตรงสองตัวที่มีเวกเตอร์ทิศทางและโดยที่:
โดยเฉพาะหากเลือกจุดบนวงรีลำคอ 
จากนั้นสมการของเครื่องกำเนิดเส้นตรงจะเป็น:
ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น สมการบัญญัติของมัน
ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =1 a>0,b>0,c>0; x=h ผลลัพธ์ที่ได้คือวงรี x 2 /a 2 + z 2 /b 2 = -1 + h 2 /c 2 โดยมีครึ่งแกน b*Root(h 2 /a 2 -1) และ c*Root(h 2 /ก 2 - 1) เมื่อ h=a เราได้คะแนน (±a,0,0) ในส่วนตัดขวาง - จุดยอดของแผ่นงานสองแผ่น ในส่วนของพิกัดสี่เหลี่ยม z=0 และ y=0 เราได้ไฮเปอร์โบลา x 2 /a 2 – y 2 /b 2 =1 และ x 2 /a 2 – z 2 /c 2 =1 ตามลำดับ
สมการ Canonical:
ก = ข- ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นของการหมุนรอบแกน ออนซ์.
กรวยแสดงอาการ: 
ส่วนของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นโดยระนาบ: วงรี ไฮเปอร์โบลา พาราโบลา จุด หรือ
พาราโบลอยด์รูปไข่ สมการบัญญัติของมัน
พาราโบลอยด์ทรงรี x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =2pz ก>0,b>0;
สมการ Canonical: 
พี = คิว- พาราโบลาของการหมุนรอบแกน ออนซ์.
ส่วนของพาราโบลอยด์ทรงรีโดยระนาบอาจเป็นวงรี พาราโบลา จุด หรือ 
ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลอยด์ สมการบัญญัติของมัน ครอบครัวของเครื่องกำเนิดเส้นตรงของพาราโบลาลอยด์ซึ่งเกินความจริง
พาราโบลอยด์ไฮเปอร์โบลิก x 2 /a 2 - y 2 /b 2 =2pz a>0,b>0;
สมการ Canonical:
ส่วนของพาราโบลาไฮเปอร์โบลิกโดยเครื่องบินอาจเป็นไฮเพอร์โบลา พาราโบลา หรือเส้นตรงคู่หนึ่ง (เครื่องกำเนิดเส้นตรง)
เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นเส้นตรง
ผ่านทุกจุด เส้นตรงสองเส้นผ่าน:
 |
พื้นผิวของการหมุน
พื้นผิวแห่งการปฏิวัติคือพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของเส้นแบนรอบเส้นตรงที่อยู่ในระนาบของเส้นนี้
เพื่อให้ได้สมการของพื้นผิวการหมุน คุณต้องเลือกระบบพิกัด เพื่อให้สมการของพื้นผิวของการหมุนดูง่ายขึ้น แกนการหมุนจะถือเป็นแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่ง
ให้เข้า ประสานงานเครื่องบิน Oyz ถูกกำหนดโดยเส้นโค้ง L ด้วยสมการ F(Y, Z)=0 (รูปที่ 24) เราหมุนเส้นโค้ง L รอบแกน Oy มาดูพื้นผิวกันบ้าง ให้ M(x, y, z) - จุดใดก็ได้พื้นผิวที่ได้ แล้ว
, แต่ 
เพราะ ถ้าเราเอาจุด M 1 ไปใช้กับค่าลบล่ะก็
ดังนั้นเราจึงได้ Y = y 
และพิกัดของจุด M(x, y, z) เป็นไปตามสมการ
สมการ (62) คือสมการที่ต้องการสำหรับพื้นผิวของการปฏิวัติ
ดังนั้นเพื่อให้ได้สมการพื้นผิว เกิดขึ้นจากการหมุนเส้น L ที่อยู่ในระนาบ Oyz รอบแกน Oy คุณต้องแทนที่ z ในสมการของเส้นนี้ด้วย
กฎที่คล้ายกันจะนำไปใช้กับสมการของพื้นผิวที่ได้จากการหมุน เส้นแบนรอบแกนพิกัดอื่นๆ
กระบอกสูบ
กระบอกสูบลำดับที่สอง: ทรงกระบอกทรงรี x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; กระบอกไฮเปอร์โบลิก x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 a>0, b>0; ทรงกระบอกพาราโบลา y 2 =2px; ระนาบที่ตัดกันคู่หนึ่ง a2x2-b2y2=0 a>0 b>0 คู่ของระนาบขนานหรือขนานกัน x-a=0 a>=0; เส้นตรง x 2 +y 2 =0
โคน
กรวยลำดับที่สอง x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0 a>0,b>0,c>0;ข้ามจัตุรัส z=h -> x 2 /a 2 + y 2 /b 2 =1. ในส่วนของระนาบ x=0 y=0 เรามีเส้นตัดกันเป็นคู่ y 2 /b 2 - z 2 /c 2 =0; x 2 /a 2 - z 2 /c 2 =0 ครั้ง
ช่องว่างเชิงเส้น
©2015-2019 เว็บไซต์
สิทธิ์ทั้งหมดเป็นของผู้เขียน ไซต์นี้ไม่ได้อ้างสิทธิ์ในการประพันธ์ แต่ให้ใช้งานฟรี
วันที่สร้างเพจ: 2016-02-12
รอบแกนที่ตัดกัน (รอบแกนจริง)
ดี 
เพื่อที่จะย้ายจากสมการเส้นตรง (43) ไปเป็นสมการพื้นผิวของการปฏิวัติ เราจึงแทนที่ เอ็กซ์บน 
เราได้สมการของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นของการปฏิวัติ
.
จากผลของการบีบอัดพื้นผิวนี้ จะได้พื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ
.
(44)
พื้นผิวซึ่งในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบมีสมการอยู่ในรูปแบบ (44) เรียกว่า ไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นไฮเปอร์โบลาทั้งสองกิ่งตรงนี้ตรงกับสองส่วนที่ไม่เชื่อมต่อกัน (“โพรง”) ของพื้นผิว ในขณะที่เมื่อสร้างไฮเปอร์โบลาแบบปฏิวัติแผ่นเดียว แต่ละกิ่งของไฮเปอร์โบลาจะอธิบายพื้นผิวทั้งหมด (รูปที่ 60)
กรวยกำกับเส้นกำกับสำหรับไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่นถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียว (รูปที่ 61)
ตอนนี้ให้เราพิจารณาจุดตัดของไฮเปอร์โบลอยด์สองแผ่น (44) ที่มีระนาบขนานกับพิกัด
เครื่องบิน z = ชม.ที่ | ชม.| < คตัดกันพื้นผิว (44) ตามวงรีจินตภาพ โดยมี | ชม.| > คตามของจริง. ถ้า ก = ขจากนั้นวงรีเหล่านี้ก็คือวงกลม และไฮเปอร์โบลอยด์ก็คือไฮเปอร์โบลอยด์แห่งการปฏิวัติ เมื่อ | ชม.| = คเราได้รับ
,
นั่นคือคู่ของเส้นคอนจูเกตที่มีจุดจริงหนึ่งจุด (0; 0; กับ) (หรือ (0; 0; – กับ) ตามลำดับ)
เครื่องบิน x= α และ ย= β ตัดไฮเปอร์โบลอยด์ (44) ไปตามไฮเปอร์โบลา
และ 
.
8. พาราโบลอยด์ทรงรี
เมื่อหมุนพาราโบลา x 2 = 2หน้ารอบแกนสมมาตรเราได้พื้นผิวที่มีสมการ
x 2 + ย 2 = 2หน้า,
n 
เรียกว่า พาราโบลาของการหมุน- การบีบอัดไปยังเครื่องบิน ที่= 0 แปลงพาราโบลาของการปฏิวัติให้เป็นพื้นผิวด้วยสมการ
.
(45)
พื้นผิวที่มีสมการดังกล่าวในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบางระบบเรียกว่า พาราโบลอยด์ทรงรี
ลักษณะของพาราโบลอยด์ทรงรีนั้นชัดเจนตั้งแต่วิธีการก่อสร้าง ทั้งหมดตั้งอยู่ด้านหนึ่งของเครื่องบิน z= 0 ในครึ่งปริภูมิ z > 0 (รูปที่ 62) ส่วนตามเครื่องบิน z = ชม., ชม.> 0 มีสมการ:
และเป็นรูปวงรี
ส่วนของพาราโบลอยด์ทรงรี (45) โดยระนาบ ที่= 0 และ เอ็กซ์= 0 คือพาราโบลา
x 2 = 2ก 2 z, ย = 0; (46)
ย 2 = 2ข 2 z, x = 0. (47)
พาราโบลาเหล่านี้เรียกว่า พาราโบลาหลักพาราโบลอยด์ทรงรี และพาราโบลา (46) จะถูกเรียกตามอัตภาพ ไม่นิ่งและพาราโบลา (47) – มือถือ.
โครงสร้างพาราโบลาทรงรีที่ชัดเจนต่อไปนี้สามารถกำหนดได้โดยการเลื่อนพาราโบลาอันหนึ่งไปตามอีกพาราโบลาอีกอันหนึ่ง (ระบบพิกัดจะถือว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า)
ให้เรานำส่วนของพาราโบลา (45) ขึ้นเครื่องบิน x= α เราได้รับในระนาบนี้ซึ่งมีระบบพิกัด โอ 0 จ 2 จ 3 ที่ไหน โอ 0 = (α, 0, 0) เส้นโค้งที่จะเป็นสมการ
,
x
= α
ย 2 = 2ข 2 (z – γ), x= α, (48)
ที่ไหน 
.
ไปขึ้นเครื่องบินกันเถอะ x= α จากระบบพิกัด โอจ 2 จ 3 ระบบประสานงาน โอ′ จ 2 จ 3 ที่ไหน โอ′ = (α, 0, γ) คือจุดตัดของระนาบ x= α โดยมีพาราโบลาคงที่ x 2 = 2ก 2 z, ย = 0.
โดยการย้ายต้นกำเนิดของระบบ โอ 0 จ 2 จ 3 ถึงจุด โอ′ ทำการแปลงพิกัดดังต่อไปนี้:
ย = ย′, z = z′ + γ.
จากผลของการเปลี่ยนแปลงนี้ สมการ (48) จึงมีรูปแบบ:
ย′2 = 2 หน้า′, x = α.
เส้นโค้ง (48) นั้นเป็นพาราโบลา "ที่กำลังเคลื่อนที่" แบบเดียวกัน แต่จะถ่ายโอนขนานกับตัวมันเองเข้าสู่ระนาบ x= แอลฟา การโอนสามารถทำได้ดังนี้ จุดยอดของพาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่จะเลื่อนไปตามพาราโบลาคงที่จากจุดหนึ่ง เกี่ยวกับอย่างแน่นอน โอ′ และพาราโบลาเองก็เคลื่อนที่ตามนั้น แข็งโดยคงอยู่ตลอดเวลาในระนาบขนานกับระนาบ คุณออซ.
ผลลัพธ์นี้สามารถกำหนดเป็นคำสั่งต่อไปนี้
พาราโบลาทรงรีเป็นพื้นผิวที่อธิบายได้โดยการเคลื่อนที่ของพาราโบลา (47) อันหนึ่ง (“กำลังเคลื่อนที่”) ไปตามอีกพาราโบลาหนึ่งซึ่งคงที่ (46) เพื่อให้จุดยอดของพาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่เลื่อนไปตามพาราโบลาที่คงที่ และระนาบและแกนของ พาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่จะยังคงขนานกับตัวเองตลอดเวลา และสันนิษฐานว่าพาราโบลาทั้งสอง (เคลื่อนที่ได้และอยู่กับที่) มีทิศทางเว้าไปในทิศทางเดียวกัน (กล่าวคือ ด้านบวกแกน ออนซ์).
โปรดทราบว่าพาราโบลอยด์ทรงรีไม่มีตัวกำเนิดเส้นตรง ตรงๆเลย ขนานไปกับเครื่องบิน xOyสามารถตัดส่วนของพาราโบลาด้วยระนาบที่กำหนดเท่านั้น z = ชม.และส่วนนี้ตามที่ระบุไว้แล้วคือวงรี ซึ่งหมายความว่าเส้นตรงมีไม่เกินสอง จุดทั่วไปด้วยพาราโบลาลอยด์
หากเส้นไม่ขนานกับระนาบ xOyจากนั้นเส้นครึ่งเส้นจะอยู่ในครึ่งช่องว่าง z < 0, где нет ни одной точки параболоида. Таким образом, нет прямой, которая всеми своими точками лежала бы на эллиптическом параболоиде.
9. ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลาลอยด์
โดยการเปรียบเทียบกับสมการ (45) เราสามารถเขียนสมการได้
.
(49)
พื้นผิวที่มีสมการอยู่ในรูป (49) ในระบบพิกัดบางระบบจะเรียกว่า พาราโบลาไฮเปอร์โบลิก.
ลองตรวจสอบลักษณะที่ปรากฏของพาราโบลาลอยด์ซึ่งเกินความจริงโดยใช้ส่วนต่างๆ (รูปที่ 63) ส่วนเครื่องบิน z
= ชม.คือไฮเปอร์โบลา ซึ่งในระนาบนี้มีสมการดังนี้
หรือ 
.
สำหรับค่าที่มาก ชม.ครึ่งแกนของไฮเปอร์โบลา 
และ 
มีขนาดใหญ่และลดลงเรื่อยๆ ชม.- ในกรณีนี้ แกนของไฮเปอร์โบลาที่ตัดกันจะขนานกับเวกเตอร์ จ
1 .
ที่ ชม.= 0 ไฮเปอร์โบลาเสื่อมลงเป็นเส้นตัดกันคู่หนึ่ง
=>
,
.
ถ้า ชม. < 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает, параллельна вектору จ 2. เพลาเพลาจะโตขึ้นตาม | ชม.- อัตราส่วนของครึ่งแกนของไฮเปอร์โบลาทั้งหมดที่มีเครื่องหมายเดียวกัน ชม.เดียวกัน. ดังนั้น หากเราวาดส่วนทั้งหมดของไฮเปอร์โบลิกพาราโบลาบนระนาบเดียวกัน เราจะได้ตระกูลของไฮเปอร์โบลาทั้งหมดที่มีเส้นกำกับคู่ของเส้นตัดกันกับสมการ
,
.
ส่วนของพาราโบลาลอยด์ไฮเปอร์โบลิกที่มีระนาบ ที่= 0 และ เอ็กซ์= 0 คือ "พาราโบลาหลัก" สองตัว:
x 2 = 2ก 2 z, ย = 0 (50)
เป็นพาราโบลาคงที่ และ
ย 2 = –2ข 2 z, x = 0 (51)
– พาราโบลาที่เคลื่อนย้ายได้
พาราโบลาเหล่านี้จะเว้าไปในทิศทางตรงกันข้าม: พาราโบลาที่คงที่นั้น “ขึ้น” (นั่นคือ ในทิศทางบวกของแกน ออนซ์) และส่วนที่เคลื่อนที่ได้จะ "ลง" (เช่น ในทิศทางลบของแกน ออนซ์- ส่วนเครื่องบิน x= α มีอยู่ในระบบพิกัด โอ 0 จ 2 จ 3 ที่ไหน โอ 0 = (α, 0, 0) สมการ
,
x
= α
ย 2 = –2ข 2 (z – z 0), x= α, (52)
ที่ไหน 
.
หลังจากย้ายจุดกำเนิดพิกัดไปยังจุดนั้นแล้ว โอ′ = (α, 0, z 0) สมการ (51) จะอยู่ในรูปแบบ:
ย′ 2 = –2 ข 2 z′, x = α,
ที่ไหน ย = ย′, z = z′ + z 0 . สมการสุดท้ายแสดงว่าเส้นโค้ง (52) เป็นพาราโบลาที่กำลังเคลื่อนที่เหมือนกัน (51) แต่จะเลื่อนขนานกับตัวมันเองเมื่อจุดยอดเลื่อนไปตามพาราโบลาคงที่จากจุดนั้น เกี่ยวกับวี โอ′.
ข้อความต่อไปนี้ต่อจากนี้ พาราโบลาไฮเปอร์โบลิกที่กำหนด (ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) ตามสมการ (49) คือพื้นผิวที่อธิบายด้วยพาราโบลา ย 2
= –2ข 2 z,
เอ็กซ์= 0 เมื่อเคลื่อนที่ไปตามพาราโบลาที่เคลื่อนที่ได้ (50) โดยที่ส่วนบนของพาราโบลาที่เคลื่อนที่ได้เลื่อนไปตามพาราโบลาที่เคลื่อนที่ได้ และระนาบและแกนของพาราโบลาที่เคลื่อนที่ได้ยังคงขนานกับตัวเองตลอดเวลา ในขณะที่พาราโบลาทั้งสองมีความเว้าเสมอ หันหน้าไปในทิศทางตรงกันข้าม: ส่วนที่อยู่กับที่โดยมีความเว้า "ขึ้น" เช่น ในทิศทางบวกของแกน โอ 
zและอันที่เคลื่อนไหวคือ "ลง"
จากโครงสร้างนี้ เห็นได้ชัดว่าพาราโบลาไฮเปอร์โบลิกมีรูปร่างเหมือนอาน
ไฮเปอร์โบลิกพาราโบลาเช่นเดียวกับไฮเปอร์โบลอยด์แผ่นเดียวมีเครื่องกำเนิดเส้นตรงสองตระกูล (รูปที่ 64) ผ่านแต่ละจุดของไฮเปอร์โบลิกพาราโบลา จะมีเส้นตรงสองเส้นผ่านไป ซึ่งทั้งหมดอยู่บนระนาบนี้
มาหาสมการของเครื่องกำเนิดเส้นตรงกัน ให้เราเขียนสมการ (49) ใหม่ในรูปแบบ
.
พิจารณาเส้นตรงที่กำหนดเป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบ
(53)
เห็นได้ชัดว่าจุดใดๆ ที่เป็นไปตามสมการ (53) ก็เป็นไปตามสมการ (49) ซึ่งเป็นผลคูณของสมการ (53) เช่นกัน
.
ซึ่งหมายความว่าแต่ละจุดของเส้นตรง (53) เป็นของพาราโบลาไฮเปอร์โบลิก (49)
เส้นตรงได้รับการปฏิบัติในทำนองเดียวกัน
เส้น (54) ยังอยู่ที่จุดทั้งหมดบนพาราโบลาลอยด์ไฮเปอร์โบลิก