พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับค่าที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา เมื่อพิจารณาจากฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่สามารถหาได้โดยการคำนวณผลคูณของฐานครึ่งหนึ่งและความสูง วิธีที่สอง พื้นที่จะคำนวณโดยใช้เส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

• ในปัญหาเกี่ยวกับแผนผังระนาบ คุณต้องหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมหรือถูกจำกัดขอบเขตไว้รอบๆ รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่ามีเส้นจำกัดรอบวงกลมหากอยู่ด้านนอกและด้านข้างสัมผัสกับวงกลม รูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ภายในวงกลมจะถือว่าถูกจารึกไว้หากจุดยอดของมันอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม หากโจทย์กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมที่เขียนไว้ในวงกลม จุดยอดทั้งสามจะสัมผัสกับวงกลม เลือกวิธีการแก้ไขปัญหาทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยมที่พิจารณา
• กรณีที่ง่ายที่สุดเกิดขึ้นเมื่อรูปสามเหลี่ยมปกติถูกจารึกไว้ในวงกลม เนื่องจากทุกด้านของสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน รัศมีของวงกลมจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของความสูง ดังนั้นเมื่อรู้ด้านของรูปสามเหลี่ยมแล้ว คุณก็จะสามารถหาพื้นที่ของมันได้ ในกรณีนี้ คุณสามารถคำนวณพื้นที่นี้ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ เช่น:
  R=abc/4S โดยที่ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม S=0.25(R/abc)
• อีกสถานการณ์หนึ่งเกิดขึ้นเมื่อสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว ถ้าฐานของรูปสามเหลี่ยมตรงกับเส้นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมหรือเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้วย สามารถคำนวณพื้นที่ได้ดังนี้
  S=1/2h*AC โดยที่ AC เป็นฐานของสามเหลี่ยม
  ถ้าทราบรัศมีของวงกลมของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมของมัน ตลอดจนฐานที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ความสูงที่ไม่ทราบนั้นสามารถพบได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีฐานตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ:
  ส=ร*ชม
  อีกกรณีหนึ่ง เมื่อความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พื้นที่ของมันจะเท่ากับ:
  S=R*เอซี
• ในปัญหาหลายประการ สามเหลี่ยมมุมฉากจะถูกจารึกไว้ในวงกลม ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อรู้มุมและหาฐานของสามเหลี่ยมแล้ว คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้วิธีการใดๆ ก็ได้ที่อธิบายไว้ข้างต้น
  ในกรณีอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลมหรือป้าน จะใช้เฉพาะสูตรแรกจากสูตรข้างต้นเท่านั้น

คำแนะนำ

หากคุณมีโอกาสใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ในการก่อสร้าง ให้เริ่มต้นด้วยการเลือกจุดใดก็ได้บนวงกลม ซึ่งควรจะกลายเป็นหนึ่งในจุดยอดที่ถูกต้อง เช่น ติดป้ายกำกับด้วยตัวอักษร A

วาดส่วนเสริมที่เชื่อม A เข้ากับศูนย์กลางของวงกลม ติดไม้โปรแทรกเตอร์เข้ากับส่วนนี้เพื่อให้การแบ่งศูนย์ตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม และวางจุดเสริมไว้ที่เครื่องหมาย 120° ผ่านจุดนี้ ให้วาดส่วนเสริมอีกส่วนโดยมีจุดเริ่มต้นอยู่ตรงกลางวงกลมที่จุดตัดด้วย เส้นรอบวง- ทำเครื่องหมายจุดตัดด้วยตัวอักษร B - นี่คือจุดยอดที่สองของจุดที่ถูกจารึกไว้ สามเหลี่ยม.

ทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้า แต่ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์กับส่วนเสริมที่สองและจุดตัดด้วย เส้นรอบวงกำหนดด้วยตัวอักษร C คุณจะไม่จำเป็นต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์อีกต่อไป

หากไม่มีไม้โปรแทรกเตอร์ แต่มีเข็มทิศ และ ให้เริ่มคำนวณความยาวของด้าน สามเหลี่ยม- คุณคงรู้ว่ามันสามารถแสดงเป็นรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ โดยคูณด้วย 3 คูณรากที่ 2 ของ 3 ซึ่งก็คือประมาณ 1.732050807568877 ปัดเศษตามความแม่นยำที่คุณต้องการแล้วคูณด้วยรัศมีของวงกลม

กันความยาวด้านที่พบในขั้นตอนที่ห้าของเข็มทิศไว้ สามเหลี่ยมและวงกลมเสริมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A กำหนดจุดตัดของวงกลมทั้งสองวงด้วยตัวอักษร B และ C - นี่คือจุดยอดอีกสองจุดของวงกลมปกติที่จารึกไว้ในวงกลม สามเหลี่ยม.

เชื่อมต่อจุด A และ B, B และ C, C และ A แล้วการก่อสร้างจะแล้วเสร็จ

ถ้าวงกลมสัมผัสทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดและมีศูนย์กลางอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม จะเรียกว่าถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด, เข็มทิศ

คำแนะนำ

จุดตัดของส่วนโค้งตามไม้บรรทัดเชื่อมต่อกับจุดยอดของมุมที่หารได้

เช่นเดียวกับมุมอื่น

แหล่งที่มา:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

ถูกต้อง สามเหลี่ยม- ด้านหนึ่งยาวเท่ากัน ตามคำนิยามนี้การก่อสร้างที่หลากหลายดังกล่าว สามเหลี่ยมแต่ก็ไม่ใช่งานยาก

คุณจะต้องการ

• ไม้บรรทัด แผ่นกระดาษมีเส้น ดินสอ

คำแนะนำ

บันทึก

ในรูปสามเหลี่ยมปกติ (ด้านเท่า) ทุกมุมจะเท่ากับ 60 องศา

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

สามเหลี่ยมด้านเท่าก็เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเช่นกัน ถ้าสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว แสดงว่าด้าน 2 ใน 3 ด้านเท่ากัน และด้านที่สามถือเป็นฐาน สามเหลี่ยมปกติใดๆ ก็ตามจะเป็นหน้าจั่ว ในขณะที่ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง

เคล็ดลับ 4: วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้หลายวิธี ขึ้นอยู่กับค่าที่ทราบจากเงื่อนไขของปัญหา เมื่อพิจารณาจากฐานและความสูงของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่สามารถหาได้โดยการคำนวณผลคูณของฐานครึ่งหนึ่งและความสูง วิธีที่สอง พื้นที่จะคำนวณโดยใช้เส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

ในปัญหาเกี่ยวกับแผนผังระนาบ คุณต้องหาพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่จารึกไว้ในวงกลมหรือถูกจำกัดขอบเขตไว้รอบๆ รูปหลายเหลี่ยมจะถือว่ามีเส้นจำกัดรอบวงกลมหากอยู่ด้านนอกและด้านข้างสัมผัสกับวงกลม รูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ภายในวงกลมจะถือว่าถูกจารึกไว้ถ้าวงกลมของมันวางทับอยู่ หากระบุปัญหาไว้ จุดยอดทั้งสามจะแตะวงกลม เลือกวิธีการของงานทั้งนี้ขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยมที่พิจารณา

กรณีที่ง่ายที่สุดคือเมื่อมีการจารึกรูปสามเหลี่ยมปกติไว้ เนื่องจากสามเหลี่ยมนั้นมีทุกอย่าง รัศมีของวงกลมจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของความสูง ดังนั้น ในรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถหาพื้นที่ของมันได้ ในกรณีนี้ คุณสามารถคำนวณพื้นที่นี้ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งต่อไปนี้ เช่น:
R=abc/4S โดยที่ S คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม a, b, c คือด้านของสามเหลี่ยม

อีกสถานการณ์หนึ่งเกิดขึ้นเมื่อสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว ถ้าฐานของรูปสามเหลี่ยมตรงกับเส้นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมหรือเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยมด้วย สามารถคำนวณพื้นที่ได้ดังนี้
S=1/2h*AC โดยที่ AC เป็นฐานของสามเหลี่ยม
ถ้าทราบรัศมีของวงกลม มุมของวงกลม ตลอดจนฐานที่ตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ความสูงที่ไม่ทราบนั้นหาได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีฐานตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมคือ:
ส=ร*ชม
อีกกรณีหนึ่ง เมื่อความสูงเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พื้นที่ของมันจะเท่ากับ:
S=R*เอซี

ในปัญหาหลายประการ สามเหลี่ยมมุมฉากจะถูกจารึกไว้ในวงกลม ในกรณีนี้ จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก เมื่อทราบมุมและฐานของรูปสามเหลี่ยมแล้ว คุณสามารถคำนวณพื้นที่โดยใช้วิธีใดๆ ก็ได้ที่อธิบายไว้ข้างต้น
ในกรณีอื่นๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลมหรือป้าน จะใช้เฉพาะสูตรแรกจากสูตรข้างต้นเท่านั้น

ภารกิจคือเพื่อให้เข้ากับ วงกลม รูปหลายเหลี่ยมมักจะทำให้ผู้ใหญ่สับสนได้ การตัดสินใจของเธอต้องได้รับการอธิบายให้เด็กนักเรียนทราบ ดังนั้นผู้ปกครองจึงไปท่องเวิลด์ไวด์เว็บเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหา

คำแนะนำ

วาด วงกลม- วางเข็มเข็มทิศไว้ที่ด้านข้างของวงกลม แต่อย่าเปลี่ยนรัศมี วาดเส้นโค้งสองอันตัดกัน วงกลมโดยหมุนเข็มทิศไปทางขวาและซ้าย

เลื่อนเข็มเข็มทิศไปตามวงกลมไปยังจุดที่ส่วนโค้งตัดกัน หมุนเข็มทิศอีกครั้งแล้ววาดส่วนโค้งอีกสองอันโดยข้ามรูปร่างของวงกลม ทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าจะตัดกับจุดแรก

วาด วงกลม- วาดเส้นผ่านศูนย์กลางผ่านจุดศูนย์กลาง เส้นควรเป็นแนวนอน สร้างเส้นตั้งฉากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม รับเส้นแนวตั้ง (เช่น CB)

แบ่งรัศมีออกครึ่งหนึ่ง ทำเครื่องหมายจุดนี้บนเส้นเส้นผ่านศูนย์กลาง (ระบุเป็น A) สร้าง วงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A และรัศมี AC เมื่อมันตัดกับเส้นแนวนอน คุณจะได้จุดอื่น (เช่น D) เป็นผลให้แผ่นซีดีส่วนจะเป็นด้านของรูปห้าเหลี่ยมที่ต้องเขียนไว้

วางครึ่งวงกลมซึ่งมีรัศมีเท่ากับ CD ตามแนวของวงกลม ดังนั้นต้นฉบับ วงกลมจะแบ่งออกเป็นห้าส่วนเท่าๆ กัน เชื่อมต่อจุดต่างๆ ด้วยไม้บรรทัด ปัญหาการจารึกรูปห้าเหลี่ยมเข้าไป วงกลมเสร็จเรียบร้อยแล้วเช่นกัน

ต่อไปนี้จะอธิบายโดยการปรับให้เหมาะสม วงกลมสี่เหลี่ยม. วาดเส้นเส้นผ่านศูนย์กลาง ใช้ไม้โปรแทรกเตอร์ วางไว้ตรงจุดที่เส้นผ่านศูนย์กลางตัดกับด้านข้างของวงกลม เปิดเข็มทิศตามความยาวของรัศมี

วาดส่วนโค้งสองอันจนกระทั่งตัดกัน วงกลม yu หมุนเข็มทิศไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง เลื่อนขาเข็มทิศไปยังจุดตรงข้ามแล้ววาดส่วนโค้งอีกสองอันด้วยวิธีเดียวกัน เชื่อมต่อจุดผลลัพธ์

ยกกำลังสองเส้นผ่านศูนย์กลางหารด้วยสองแล้วถอนราก ผลลัพธ์ที่ได้คือด้านหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่พอดีได้ง่าย วงกลม- เปิดเข็มทิศตามความยาวนี้ วางเข็มของเขาไว้ วงกลมและวาดส่วนโค้งตัดด้านหนึ่งของวงกลม เลื่อนขาเข็มทิศไปยังจุดผลลัพธ์ วาดส่วนโค้งอีกครั้ง

ทำซ้ำขั้นตอนแล้ววาดอีกสองจุด เชื่อมต่อจุดทั้งสี่จุด นี่เป็นวิธีที่ง่ายกว่าในการใส่สี่เหลี่ยมจัตุรัสลงไป วงกลม.

พิจารณางานในการปรับให้เหมาะสม วงกลม- วาด วงกลม- เลือกจุดบนวงกลมโดยพลการ - มันจะเป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม จากจุดนี้ให้รักษาเข็มทิศไว้ วาดส่วนโค้งจนตัดกันด้วย วงกลมยู. นี่จะเป็นจุดสูงสุดที่สอง สร้างจุดยอดที่สามจากนั้นในลักษณะเดียวกัน เชื่อมต่อจุดต่างๆ ด้วยไม้บรรทัด พบวิธีแก้ปัญหาแล้ว

วิดีโอในหัวข้อ

เนื่องจากเป็นหนึ่งในส่วนสำคัญของหลักสูตรของโรงเรียน ปัญหาทางเรขาคณิตสำหรับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติจึงค่อนข้างเป็นเรื่องเล็กน้อย ตามกฎแล้วการก่อสร้างจะดำเนินการโดยการใส่รูปหลายเหลี่ยมลงไป วงกลมซึ่งจะถูกวาดก่อน แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้า วงกลมให้มาแต่รูปมันซับซ้อนมากเหรอ?

คุณจะต้องการ

• - ไม้บรรทัด;
• - เข็มทิศ;
• - ดินสอ;
• - กระดาษ.

คำแนะนำ

สร้างส่วนของเส้นตั้งฉากกับ AB และแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันที่จุดตัดกัน วางเข็มเข็มทิศที่จุด A วางขาโดยให้สายอยู่ที่จุด B หรือที่จุดใดก็ได้บนส่วนที่ใกล้กับ B มากกว่าจุด A วาด วงกลม- โดยไม่ต้องเปลี่ยนมุมของขาเข็มทิศให้ติดตั้งเข็มที่จุด B วาดอีกอัน วงกลม. วงกลมที่วาดจะตัดกันเป็นสองส่วน ลากเส้นตรงผ่านพวกมัน กำหนดจุดตัดของส่วนนี้ด้วยส่วน AB เป็น C กำหนดจุดตัดของส่วนนี้ด้วยจุดเดิม วงกลมคุณชอบ D และ E

สร้างส่วนของเส้น DE โดยแบ่งครึ่ง ดำเนินการคล้ายกับที่อธิบายไว้ในขั้นตอนก่อนหน้าที่เกี่ยวข้องกับส่วน DE ปล่อยให้ส่วนที่วาดตัด DE ที่จุด O จุดนี้จะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ทำเครื่องหมายจุดตัดของจุดตั้งฉากที่สร้างขึ้นกับจุดเดิมด้วย วงกลมคุณชอบ F และ G

กำหนดช่องเปิดของขาเข็มทิศโดยให้ระยะห่างระหว่างปลายทั้งสองมีรัศมีของวงกลมเดิม เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วางเข็มของเข็มทิศไว้ที่จุดใดจุดหนึ่ง A, B, D, E, F หรือ G วางปลายขาโดยมีตะกั่วอยู่ที่จุด O

สร้างรูปหกเหลี่ยมปกติ วางเข็มเข็มทิศไว้ที่จุดใดก็ได้บนเส้นวงกลม เขียนป้ายกำกับจุดนี้ H. ในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ให้ทำรอยบากด้วยเข็มทิศเพื่อให้มันตัดกับเส้นวงกลม เขียนป้ายกำกับจุดนี้ I. เลื่อนเข็มเข็มทิศไปที่ตำแหน่ง I. ทำรอยบากบนวงกลมอีกครั้งแล้วเขียนกำกับจุดผลลัพธ์ J. ในทำนองเดียวกัน ให้สร้างจุด K, L, M. เชื่อมต่อจุด H, I, J, K, L, อย่างสม่ำเสมอ M,H เป็นคู่ รับแล้ว

ในวิศวกรรมเครื่องกลสมัยใหม่ มีการใช้องค์ประกอบและชิ้นส่วนอะไหล่จำนวนมากซึ่งมีวงกลมทั้งภายนอกและภายในอยู่ในโครงสร้าง ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดคือตัวเรือนแบริ่ง ชิ้นส่วนเครื่องยนต์ ชุดประกอบดุม และอื่นๆ อีกมากมาย ในการผลิตไม่เพียงแต่ใช้อุปกรณ์ไฮเทคเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความรู้จากเรขาคณิตด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อมูลเกี่ยวกับวงกลมของสามเหลี่ยม เราจะทำความคุ้นเคยกับความรู้นี้โดยละเอียดด้านล่าง

ติดต่อกับ

วงกลมใดถูกจารึกไว้ และวงกลมใดถูกจารึกไว้?

ก่อนอื่น จำไว้ว่าวงกลมนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ชุดจุดที่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากัน- หากภายในรูปหลายเหลี่ยมนั้น เป็นไปได้ที่จะสร้างวงกลมที่มีจุดตัดร่วมกันเพียงจุดเดียวในแต่ละด้าน ก็จะเรียกว่าวงกลมนั้น วงกลมที่มีเส้นรอบวง (ไม่ใช่วงกลม แต่เป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน) คือตำแหน่งของจุดทางเรขาคณิตที่ทำให้รูปร่างที่สร้างขึ้นด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดจะมีจุดร่วมเฉพาะที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเท่านั้น มาทำความคุ้นเคยกับแนวคิดทั้งสองนี้โดยใช้ตัวอย่างที่ชัดเจนยิ่งขึ้น (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1 วงกลมที่จารึกไว้และล้อมรอบของสามเหลี่ยม

ในภาพ มีการสร้างร่างสองร่างที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางใหญ่และเล็ก โดยมีศูนย์กลางคือ G และ I วงกลมที่มีค่ามากกว่าเรียกว่าวงกลมที่จำกัดขอบเขต Δ ABC และอันเล็ก ในทางกลับกัน จารึกไว้ใน Δ ABC

ในการอธิบายสภาพแวดล้อมของรูปสามเหลี่ยม จำเป็นต้องมี ลากเส้นตั้งฉากผ่านกึ่งกลางของแต่ละด้าน(เช่น ที่มุม 90°) คือจุดตัดกัน ซึ่งมีบทบาทสำคัญ มันจะเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบ ก่อนที่จะหาวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางเป็นรูปสามเหลี่ยม คุณต้องสร้างแต่ละมุมก่อน จากนั้นเลือกจุดตัดของเส้น ในทางกลับกัน มันจะเป็นศูนย์กลางของพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกจารึกไว้ และรัศมีของมันภายใต้เงื่อนไขใด ๆ จะตั้งฉากกับด้านใดด้านหนึ่ง

สำหรับคำถาม: “รูปหลายเหลี่ยมที่มีสามวงกลมจะมีวงกลมได้กี่วง” ให้เราตอบทันทีว่าวงกลมสามารถเขียนลงในสามเหลี่ยมใดก็ได้และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น เนื่องจากมีจุดตัดกันเพียงจุดเดียวของเส้นแบ่งครึ่งทั้งหมดและมีจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากเพียงจุดเดียวที่เล็ดลอดออกมาจากจุดกึ่งกลางของด้านข้าง

คุณสมบัติของวงกลมซึ่งมีจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมอยู่

วงกลมที่มีเส้นรอบวงซึ่งขึ้นอยู่กับความยาวของด้านที่ฐานนั้น มีคุณสมบัติเป็นของตัวเอง ให้เราระบุคุณสมบัติของเส้นรอบวง:

เพื่อให้เข้าใจหลักการของวงกลมล้อมรอบได้ชัดเจนยิ่งขึ้น เรามาแก้ปัญหาง่ายๆ กันดีกว่า สมมติว่าเราได้รูปสามเหลี่ยม Δ ABC ซึ่งด้านต่างๆ เท่ากับ 10, 15 และ 8.5 ซม. รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม (FB) คือ 7.9 ซม. จงหาค่าองศาที่วัดได้ในแต่ละมุม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

รูปที่ 2 การค้นหารัศมีของวงกลมโดยใช้อัตราส่วนของด้านและไซน์ของมุม

วิธีแก้: ตามทฤษฎีบทไซน์ที่กล่าวไว้ข้างต้น เราจะหาค่าไซน์ของแต่ละมุมแยกจากกัน โดยเงื่อนไขทราบว่าด้าน AB คือ 10 ซม. ลองคำนวณค่าของ C:

จากการใช้ค่าของตาราง Bradis เราพบว่าการวัดระดับของมุม C คือ 39° ด้วยวิธีเดียวกัน เราสามารถหาการวัดมุมที่เหลือได้:

เราจะรู้ได้อย่างไรว่า CAB = 33° และ ABC = 108° ทีนี้ เมื่อทราบค่าของไซน์ของแต่ละมุมและรัศมีแล้ว ลองหาพื้นที่โดยการแทนที่ค่าที่พบ:

คำตอบ: พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 40.31 ตารางเซนติเมตร และมุมคือ 33°, 108° และ 39° ตามลำดับ

สำคัญ!เมื่อแก้ไขปัญหาประเภทนี้ การมีตาราง Bradis หรือแอปพลิเคชันที่เกี่ยวข้องบนสมาร์ทโฟนของคุณอยู่เสมอจะมีประโยชน์ เนื่องจากกระบวนการแบบแมนนวลอาจใช้เวลานาน นอกจากนี้ เพื่อประหยัดเวลามากขึ้น ไม่จำเป็นต้องสร้างจุดกึ่งกลางทั้งสามจุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากหรือสามเส้นครึ่ง ส่วนหนึ่งในสามจะตัดกันที่จุดตัดของสองตัวแรกเสมอ และสำหรับการก่อสร้างแบบออร์โธดอกซ์ ส่วนที่ 3 มักจะแล้วเสร็จ บางทีนี่อาจผิดเมื่อพูดถึงอัลกอริทึม แต่ในการสอบ Unified State หรือการสอบอื่นๆ จะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

การคำนวณรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

จุดทุกจุดของวงกลมอยู่ห่างจากศูนย์กลางเท่ากันที่ระยะห่างเท่ากัน ความยาวของส่วนนี้ (จากและถึง) เรียกว่ารัศมี มีสองประเภทขึ้นอยู่กับสภาพแวดล้อมที่เรามี - ภายในและภายนอก แต่ละรายการคำนวณโดยใช้สูตรของตัวเองและเกี่ยวข้องโดยตรงกับการคำนวณพารามิเตอร์เช่น:

• สี่เหลี่ยม;
• การวัดระดับของแต่ละมุม
• ความยาวด้านและเส้นรอบวง

รูปที่ 3 ตำแหน่งของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ภายในรูปสามเหลี่ยม

คุณสามารถคำนวณความยาวของระยะทางจากศูนย์กลางถึงจุดสัมผัสทั้งสองด้านได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: ผ่านด้านข้าง ด้านข้าง และมุม(สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว)

การใช้กึ่งปริมณฑล

กึ่งเส้นรอบวงคือครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวของด้านทั้งหมด วิธีนี้ถือเป็นวิธีที่ได้รับความนิยมและเป็นสากลมากที่สุดเพราะไม่ว่าจะให้สามเหลี่ยมประเภทใดตามเงื่อนไขก็เหมาะสำหรับทุกคน ขั้นตอนการคำนวณมีดังนี้:

หากให้ "ถูกต้อง"

ข้อดีเล็กๆ น้อยๆ ประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม "อุดมคติ" ก็คือ วงกลมที่จารึกไว้และวงกลมที่ล้อมรอบจะมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดเดียวกัน- สะดวกเมื่อสร้างตัวเลข อย่างไรก็ตาม ใน 80% ของกรณี คำตอบคือ "น่าเกลียด" ความหมายในที่นี้คือ รัศมีของพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกจารึกไว้นั้นแทบจะไม่มีทั้งหมดเลย ค่อนข้างจะตรงกันข้าม สำหรับการคำนวณแบบง่าย ให้ใช้สูตรสำหรับรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม:

หากด้านข้างมีความยาวเท่ากัน

งานประเภทหนึ่งของรัฐ ข้อสอบจะเป็นการหารัศมีของวงกลมที่ฝังไว้ของสามเหลี่ยมซึ่งมีด้านสองด้านเท่ากันและด้านที่สามไม่เท่ากัน ในกรณีนี้ เราขอแนะนำให้ใช้อัลกอริทึมนี้ ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาในการค้นหาเส้นผ่านศูนย์กลางของพื้นที่ที่ถูกจารึกไว้ได้อย่างมาก รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมที่มี "ด้าน" เท่ากันคำนวณโดยสูตร:

เราจะสาธิตการใช้สูตรเหล่านี้ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นในปัญหาต่อไปนี้ ขอให้เรามีรูปสามเหลี่ยม (Δ HJI) โดยที่บริเวณใกล้เคียงถูกจารึกไว้ที่จุด K ความยาวของด้าน HJ = 16 ซม., JI = 9.5 ซม. และด้าน HI คือ 19 ซม. (รูปที่ 4) ค้นหารัศมีของพื้นที่ใกล้เคียงที่ถูกจารึกไว้ โดยรู้ด้านข้าง

รูปที่ 4 การค้นหาค่ารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

วิธีแก้ไข: เพื่อหารัศมีของสภาพแวดล้อมที่ถูกจารึกไว้ เราจะหาค่ากึ่งเส้นรอบวง:

จากที่นี่เมื่อรู้กลไกการคำนวณเราจะพบค่าต่อไปนี้ ในการทำเช่นนี้คุณจะต้องมีความยาวของแต่ละด้าน (กำหนดตามเงื่อนไข) รวมถึงครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวงปรากฎว่า:

ตามมาด้วยรัศมีที่ต้องการคือ 3.63 ซม. ตามเงื่อนไขทุกด้านเท่ากันแล้วรัศมีที่ต้องการจะเท่ากับ:

โดยมีเงื่อนไขว่ารูปหลายเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว (เช่น i = h = 10 ซม., j = 8 ซม.) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมด้านในซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่จุด K จะเท่ากับ:

ปัญหาอาจมีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 90° ในกรณีนี้ ไม่จำเป็นต้องจำสูตร ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมจะเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลาง มันดูชัดเจนยิ่งขึ้นเช่นนี้:

สำคัญ!หากงานคือการหารัศมีภายในเราไม่แนะนำให้ทำการคำนวณโดยใช้ค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมซึ่งไม่ทราบค่าของตารางอย่างแม่นยำ หากไม่สามารถหาความยาวเป็นอย่างอื่นได้ อย่าพยายาม "ดึง" ค่าออกจากใต้ราก ใน 40% ของปัญหา ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นค่าที่ยอดเยี่ยม (เช่น ไม่มีที่สิ้นสุด) และค่าคอมมิชชันอาจไม่นับคำตอบ (แม้ว่าจะถูกต้องก็ตาม) เนื่องจากความไม่ถูกต้องหรือรูปแบบการนำเสนอที่ไม่ถูกต้อง ให้ความสนใจเป็นพิเศษว่าสูตรสำหรับเส้นรอบวงของสามเหลี่ยมสามารถปรับเปลี่ยนได้อย่างไรโดยขึ้นอยู่กับข้อมูลที่เสนอ "ช่องว่าง" ดังกล่าวช่วยให้คุณ "เห็น" สถานการณ์ในการแก้ปัญหาล่วงหน้าและเลือกวิธีแก้ปัญหาที่ประหยัดที่สุด

รัศมีและพื้นที่วงกลมชั้นใน

การคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมให้ใช้เท่านั้น รัศมีและความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยม:

หากคำชี้แจงปัญหาไม่ได้ให้ค่ารัศมีโดยตรง แต่ให้เฉพาะพื้นที่ สูตรพื้นที่ที่ระบุจะถูกแปลงเป็นดังนี้:

ลองพิจารณาผลของสูตรสุดท้ายโดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น สมมติว่าเราได้รับรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีเขตพื้นที่ใกล้เคียงถูกจารึกไว้ พื้นที่ใกล้เคียงคือ 4π และด้านข้างคือ 4, 5 และ 6 ซม. ตามลำดับ ลองคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดโดยการคำนวณกึ่งเส้นรอบวง

ด้วยการใช้อัลกอริธึมข้างต้น เราคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้:

เนื่องจากวงกลมสามารถเขียนไว้ในสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ จำนวนความแปรผันในการค้นหาพื้นที่จึงเพิ่มขึ้นอย่างมาก เหล่านั้น. การหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมต้องทราบความยาวของแต่ละด้านรวมทั้งค่าของรัศมีด้วย

สามเหลี่ยมจารึกไว้ในเรขาคณิตวงกลมเกรด 7

สามเหลี่ยมมุมฉากถูกจารึกไว้ในวงกลม

บทสรุป

จากสูตรเหล่านี้ คุณจะมั่นใจได้ว่าความซับซ้อนของปัญหาใดๆ ในการใช้วงกลมที่เขียนไว้และวงกลมที่เขียนไว้นั้นอยู่ที่การดำเนินการเพิ่มเติมเพื่อค้นหาค่าที่ต้องการเท่านั้น ปัญหาประเภทนี้ต้องการเพียงความเข้าใจอย่างถ่องแท้ถึงสาระสำคัญของสูตรตลอดจนความสมเหตุสมผลของการใช้งาน จากการฝึกแก้โจทย์เราสังเกตว่าในอนาคตจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกกำหนดขอบเขตจะปรากฏในหัวข้อเรขาคณิตอื่นๆ ต่อไป ดังนั้นจึงไม่ควรเริ่มดำเนินการ มิฉะนั้น การแก้ปัญหาอาจล่าช้าออกไปโดยใช้การเคลื่อนไหวที่ไม่จำเป็นและข้อสรุปเชิงตรรกะ

จะหาพื้นที่ของวงกลมได้อย่างไร? ขั้นแรกให้หารัศมี เรียนรู้การแก้ปัญหาที่ง่ายและซับซ้อน

วงกลมเป็นเส้นโค้งปิด จุดใดๆ บนเส้นวงกลมจะมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน วงกลมเป็นรูปแบน ดังนั้นการแก้ปัญหาการหาพื้นที่จึงเป็นเรื่องง่าย ในบทความนี้ เราจะมาดูวิธีการหาพื้นที่ของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมจัตุรัส และที่เขียนไว้รอบรูปเหล่านี้

ในการหาพื้นที่ของรูปที่กำหนด คุณต้องรู้ว่ารัศมี เส้นผ่านศูนย์กลาง และจำนวน π คืออะไร

รัศมีอาร์คือระยะทางที่ศูนย์กลางของวงกลมจำกัด ความยาวของรัศมี R ทั้งหมดของวงกลมหนึ่งวงจะเท่ากัน

เส้นผ่านศูนย์กลาง Dคือเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนวงกลมที่ลากผ่านจุดศูนย์กลาง ความยาวของส่วนนี้เท่ากับความยาวของรัศมี R คูณด้วย 2

หมายเลข πเป็นค่าคงที่ซึ่งเท่ากับ 3.1415926 ในทางคณิตศาสตร์ ตัวเลขนี้มักจะปัดเศษเป็น 3.14

สูตรการหาพื้นที่ของวงกลมโดยใช้รัศมี:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ S ของวงกลมโดยใช้รัศมี R:

งาน:ค้นหาพื้นที่ของวงกลมถ้ารัศมีของมันคือ 7 ซม.

สารละลาย: S=πR², S=3.14*7², S=3.14*49=153.86 ซม.²

คำตอบ:พื้นที่วงกลมคือ 153.86 ซม. ²

สูตรการหาพื้นที่ S ของวงกลมผ่านเส้นผ่านศูนย์กลาง D:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาเพื่อค้นหา S ถ้า D เป็นที่รู้จัก:

————————————————————————————————————————-

งาน:ค้นหา S ของวงกลมถ้า D เท่ากับ 10 ซม.

สารละลาย: P=π*d²/4, P=3.14*10²/4=3.14*100/4=314/4=78.5 ซม.²

คำตอบ:พื้นที่ของรูปทรงกลมแบนคือ 78.5 ซม. ²

การค้นหา S ของวงกลมหากทราบเส้นรอบวง:

ก่อนอื่นเราหาว่ารัศมีเท่ากับเท่าใด เส้นรอบวงคำนวณโดยใช้สูตร: L=2πR ตามลำดับ รัศมี R จะเท่ากับ L/2π ตอนนี้เราหาพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตรผ่าน R

ลองพิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้ปัญหาตัวอย่าง:

———————————————————————————————————————-

งาน:ค้นหาพื้นที่ของวงกลมหากทราบเส้นรอบวง L - 12 ซม.

สารละลาย:อันดับแรก เราจะหารัศมี: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91

ตอนนี้เราหาพื้นที่ผ่านรัศมี: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 ซม.²

คำตอบ:พื้นที่วงกลมคือ 11.46 ซม. ²

การหาพื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นเป็นเรื่องง่าย ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หากต้องการหารัศมี คุณต้องหารด้านด้วย 2

สูตรการหาพื้นที่ของวงกลมที่เขียนไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

———————————————————————————————————————

งาน #1:รู้จักด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งก็คือ 6 เซนติเมตร ค้นหาพื้นที่ S ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้

สารละลาย: S=π(a/2)²=3.14(6/2)²=3.14*9=28.26 ซม.²

คำตอบ:พื้นที่ของรูปทรงกลมแบนคือ 28.26 ซม. ²

————————————————————————————————————————

ภารกิจที่ 2: ค้นหา S ของวงกลมที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมีรัศมีหากด้านใดด้านหนึ่งคือ a=4 ซม.

ตัดสินใจแบบนี้: ก่อนอื่นให้หา R=a/2=4/2=2 cm.

ทีนี้ลองหาพื้นที่ของวงกลม S=3.14*2²=3.14*4=12.56 cm².

คำตอบ:พื้นที่ของรูปทรงกลมแบนคือ 12.56 ซม. ²

การค้นหาพื้นที่ของรูปทรงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะยากขึ้นเล็กน้อย แต่เมื่อรู้สูตรแล้ว คุณก็สามารถคำนวณค่านี้ได้อย่างรวดเร็ว

สูตรการหา S วงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาการหาพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

งาน

วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมคือวงกลมที่แตะทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถใส่วงกลมลงในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ก็ได้ แต่จะมีเพียงรูปเดียวเท่านั้น จุดศูนย์กลางของวงกลมจะเป็นจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสามเหลี่ยม

สูตรการหาพื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

เมื่อทราบรัศมีแล้ว ก็สามารถคำนวณพื้นที่ได้โดยใช้สูตร: S=πR²

สูตรการหาพื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

ภารกิจที่ 1

หากในปัญหานี้คุณต้องค้นหาพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี 4 ซม. ก็สามารถทำได้โดยใช้สูตร: S=πR²

ภารกิจที่ 2

สารละลาย:

เมื่อทราบรัศมีแล้ว เราก็สามารถหาพื้นที่ของวงกลมโดยใช้รัศมีได้ ดูสูตรด้านบนในข้อความ

ภารกิจที่ 3

พื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมมุมฉากและสามเหลี่ยมหน้าจั่ว: สูตรตัวอย่างการแก้ปัญหา

สูตรทั้งหมดในการหาพื้นที่ของวงกลมนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องหารัศมีของมันก่อน เมื่อทราบรัศมีแล้ว การค้นหาพื้นที่ก็ทำได้ง่ายตามที่อธิบายไว้ข้างต้น

พื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบด้านขวาและสามเหลี่ยมหน้าจั่วหาได้จากสูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรของเฮรอน

การแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นเรื่องยาก แต่สามารถเข้าใจได้หากคุณรู้สูตรทั้งหมด นักเรียนแก้ปัญหาดังกล่าวในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9

พื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูและสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว: สูตรตัวอย่างการแก้ปัญหา

สี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วมีสองด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมมีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา เรามาดูวิธีการหาพื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูและหน้าจั่วโดยใช้ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างเช่น วงกลมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ซึ่ง ณ จุดที่สัมผัสกัน จะแบ่งด้านหนึ่งออกเป็นส่วน m และ n

เพื่อแก้ไขปัญหานี้ คุณต้องใช้สูตรต่อไปนี้:

การหาพื้นที่ของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมคางหมูสี่เหลี่ยมทำได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

หากทราบด้านด้านข้าง ก็จะสามารถหารัศมีได้โดยใช้ค่านี้ ความสูงของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และมีรัศมีเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง ดังนั้น รัศมีคือ R=d/2

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเขียนเป็นวงกลมได้เมื่อผลรวมของมุมตรงข้ามคือ 180° ดังนั้น คุณจึงเขียนได้เฉพาะสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วเท่านั้น รัศมีในการคำนวณพื้นที่ของวงกลมที่ล้อมรอบสี่เหลี่ยมคางหมูหรือหน้าจั่วสี่เหลี่ยมคางหมูคำนวณโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอย่างการแก้ปัญหา:

สารละลาย:ฐานขนาดใหญ่ในกรณีนี้จะผ่านจุดศูนย์กลาง เนื่องจากมีสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วถูกจารึกไว้ในวงกลม ตรงกลางแบ่งฐานนี้ออกเป็นสองส่วนพอดี หาก AB ฐานคือ 12 รัศมี R จึงสามารถหาได้ดังนี้: R=12/2=6

คำตอบ:รัศมีคือ 6

ในเรขาคณิต สิ่งสำคัญคือต้องรู้สูตร แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะจำทั้งหมดได้ ดังนั้นแม้ในการสอบหลายครั้งก็อนุญาตให้ใช้แบบฟอร์มพิเศษได้ อย่างไรก็ตาม สิ่งสำคัญคือต้องสามารถค้นหาสูตรที่เหมาะสมในการแก้ปัญหาเฉพาะได้ ฝึกแก้โจทย์ปัญหาต่างๆ เพื่อหารัศมี และพื้นที่ของวงกลม จึงสามารถแทนสูตรได้ถูกต้องและได้คำตอบที่แม่นยำ

วิดีโอ: คณิตศาสตร์ | การคำนวณพื้นที่ของวงกลมและส่วนของวงกลม