รังสีเป็นรูปหรือไม่? รูปทรงเรขาคณิตแบนและปริมาตร

จุดและเส้นตรงคือรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานบนเครื่องบิน

นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid กล่าวว่า "จุด" คือสิ่งที่ไม่มีส่วนใดส่วนหนึ่ง" คำว่า "จุด" แปลมาจาก ภาษาละตินหมายถึง ผลของการสัมผัสทันที การทิ่มแทง จุดคือพื้นฐานสำหรับการสร้างรูปทรงเรขาคณิต

เส้นตรงหรือเพียงเส้นตรงคือเส้นที่มีระยะห่างระหว่างจุดสองจุดสั้นที่สุด เส้นตรงนั้นไม่มีที่สิ้นสุด และเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาเส้นตรงทั้งหมดแล้ววัดได้

คะแนนจะแสดงเป็นตัวพิมพ์ใหญ่ ในตัวอักษรละติน A, B, C, D, E ฯลฯ และเส้นตรงที่มีตัวอักษรเหมือนกัน แต่ตัวพิมพ์เล็ก a, b, c, d, e ฯลฯ เส้นตรงสามารถกำหนดได้ด้วยตัวอักษรสองตัวที่ตรงกับจุดที่อยู่ บนนั้น ตัวอย่างเช่น เส้นตรง a สามารถกำหนด AB ได้

เราบอกได้ว่าจุด AB อยู่บนเส้น a หรืออยู่บนเส้น a และเราสามารถพูดได้ว่าเส้นตรง a ผ่านจุด A และ B

รูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดบนเครื่องบินคือส่วน รังสี หรือเส้นขาด

ส่วนเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเส้นนี้ ซึ่งจำกัดด้วยจุดที่เลือกสองจุด จุดเหล่านี้เป็นจุดสิ้นสุดของส่วน ส่วนจะถูกระบุโดยระบุจุดสิ้นสุด

เส้นรังสีหรือเส้นครึ่งเส้นเป็นส่วนหนึ่งของเส้นที่ประกอบด้วยจุดทั้งหมดของเส้นนี้ซึ่งอยู่ด้านหนึ่งของจุดที่กำหนด จุดนี้เรียกว่าจุดเริ่มต้นของเส้นครึ่งเส้นหรือจุดเริ่มต้นของรังสี ลำแสงมีจุดเริ่มต้นแต่ไม่มีจุดสิ้นสุด

เส้นครึ่งตรงหรือรังสีถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินตัวพิมพ์เล็กสองตัว: ชื่อย่อและตัวอักษรอื่น ๆ จุดที่สอดคล้องกันเป็นของครึ่งเส้น ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นจะถูกวางไว้ที่แรก

ปรากฎว่าเส้นตรงไม่มีที่สิ้นสุด: ไม่มีจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุด รังสีมีเพียงจุดเริ่มต้น แต่ไม่มีจุดสิ้นสุด แต่ส่วนนั้นมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ดังนั้นเราจึงวัดได้เพียงส่วนเดียวเท่านั้น

หลายส่วนที่เชื่อมต่อกันตามลำดับเพื่อให้ส่วนที่มีจุดร่วมจุดเดียว (จุดใกล้เคียงกัน) ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแสดงถึง เส้นขาด.

เส้นที่ขาดสามารถปิดหรือเปิดได้ หากจุดสิ้นสุดของส่วนสุดท้ายตรงกับจุดเริ่มต้นของส่วนแรก เราจะมีเส้นขาดปิด หากไม่เป็นเช่นนั้น จะเป็นเส้นเปิด

blog.site เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มาดั้งเดิม

หัวข้อบทเรียน

รูปทรงเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิตคืออะไร

รูปทรงเรขาคณิตคือกลุ่มของจุด เส้น พื้นผิว หรือส่วนต่างๆ จำนวนมากที่วางอยู่บนพื้นผิว ระนาบ หรืออวกาศ และก่อตัวเป็นเส้นจำนวนจำกัด

คำว่า "ฟิกเกอร์" สามารถใช้ได้อย่างเป็นทางการกับเซตของจุด แต่ตามกฎแล้ว ฟิกเกอร์มักเรียกว่าเซตที่ตั้งอยู่บนระนาบและถูกจำกัดด้วยจำนวนเส้นที่จำกัด

จุดและเส้นตรงคือรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานที่อยู่บนเครื่องบิน

รูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดบนเครื่องบินประกอบด้วยส่วน รังสี และเส้นหัก

เรขาคณิตคืออะไร

เรขาคณิตเป็นแบบนี้ วิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ซึ่งศึกษาคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิต หากเราแปลคำว่า "เรขาคณิต" เป็นภาษารัสเซียอย่างแท้จริงนั่นหมายความว่า "การสำรวจที่ดิน" เนื่องจากในสมัยโบราณงานหลักของเรขาคณิตในฐานะวิทยาศาสตร์คือการวัดระยะทางและพื้นที่บนพื้นผิวโลก

การประยุกต์เรขาคณิตในทางปฏิบัตินั้นมีคุณค่าอย่างยิ่งตลอดเวลาโดยไม่คำนึงถึงอาชีพ ไม่ว่าคนงาน วิศวกร หรือสถาปนิก หรือแม้แต่ศิลปินก็ไม่สามารถทำได้หากไม่มีความรู้เรื่องเรขาคณิต

ในเรขาคณิตมีส่วนที่เกี่ยวข้องกับการศึกษา ตัวเลขต่างๆบนเครื่องบิน และเรียกว่า planimetry

คุณรู้อยู่แล้วว่าตัวเลขนั้นเป็นชุดของจุดต่างๆ ที่อยู่บนเครื่องบิน

รูปทรงเรขาคณิตได้แก่ จุด เส้นตรง ส่วน รังสี สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม วงกลม และรูปอื่นๆ ที่ศึกษาโดยระนาบ

จุด

จากเนื้อหาที่ศึกษาข้างต้น คุณรู้อยู่แล้วว่าจุดนั้นหมายถึงรูปทรงเรขาคณิตหลัก แม้ว่านี่จะเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เล็กที่สุด แต่ก็จำเป็นสำหรับการสร้างรูปอื่นๆ บนเครื่องบิน การวาดภาพ หรือรูปภาพ และเป็นพื้นฐานสำหรับการก่อสร้างอื่นๆ ทั้งหมด ท้ายที่สุดแล้ว การสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนมากขึ้นนั้นประกอบด้วยหลายจุดที่เป็นลักษณะเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด

ในเรขาคณิต จุดเป็นตัวแทน เป็นตัวพิมพ์ใหญ่ ตัวอักษรละตินตัวอย่างเช่น: A, B, C, D....

ทีนี้มาสรุปและจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ จุดหนึ่งก็คือวัตถุนามธรรมในอวกาศที่ไม่มีปริมาตร พื้นที่ ความยาว และคุณลักษณะอื่น ๆ แต่ยังคงเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ จุดคือวัตถุศูนย์มิติที่ไม่มีคำจำกัดความ ตามคำจำกัดความของ Euclid จุดคือสิ่งที่ไม่สามารถกำหนดได้

ตรง

เช่นเดียวกับจุด เส้นตรงหมายถึงตัวเลขบนระนาบซึ่งไม่มีคำจำกัดความ เนื่องจากประกอบด้วย จำนวนอนันต์จุดที่อยู่ในเส้นเดียวกันซึ่งไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด อาจแย้งได้ว่าเส้นตรงไม่มีที่สิ้นสุดและไม่มีขีดจำกัด

หากเส้นตรงเริ่มต้นและสิ้นสุดด้วยจุด เส้นนั้นจะไม่ใช่เส้นตรงอีกต่อไปและเรียกว่าส่วน

แต่บางครั้งเส้นตรงก็มีจุดอยู่ด้านหนึ่งไม่ใช่อีกด้านหนึ่ง ในกรณีนี้ เส้นตรงจะกลายเป็นลำแสง

หากคุณลากเส้นตรงและวางจุดไว้ตรงกลาง เส้นตรงจะแยกออกเป็นสองรังสีที่มีทิศทางตรงกันข้าม รังสีเหล่านี้เป็นส่วนเพิ่มเติม

หากตรงหน้าคุณมีหลายส่วนเชื่อมต่อกันจนจุดสิ้นสุดของส่วนแรกกลายเป็นจุดเริ่มต้นของส่วนที่สอง และจุดสิ้นสุดของส่วนที่สองกลายเป็นจุดเริ่มต้นของส่วนที่สาม เป็นต้น และส่วนเหล่านี้ไม่ใช่ บนเส้นตรงเดียวกันและเมื่อต่อกันมีจุดร่วมแล้วโซ่ดังกล่าวจึงเป็นเส้นขาด

ออกกำลังกาย

เส้นไหนเรียกว่าไม่ปิด?
เส้นตรงถูกกำหนดอย่างไร?
เส้นขาดที่มีลิงค์ปิดสี่ลิงค์ชื่ออะไร?
เส้นขาดที่มีลิงก์ปิดสามลิงก์ชื่ออะไร

เมื่อจุดสิ้นสุดของส่วนสุดท้ายของเส้นที่ขาดเกิดขึ้นพร้อมกับจุดเริ่มต้นของส่วนที่ 1 เส้นที่ขาดดังกล่าวจะเรียกว่าปิด ตัวอย่างของโพลีไลน์แบบปิดคือรูปหลายเหลี่ยมใดๆ

เครื่องบิน

เช่นเดียวกับจุดและเส้นตรง ระนาบจึงเป็นแนวคิดหลัก ไม่มีคำจำกัดความ และไม่สามารถมองเห็นจุดเริ่มต้นหรือจุดสิ้นสุดได้ ดังนั้นเมื่อพิจารณาระนาบ เราจะพิจารณาเฉพาะส่วนนั้นที่ถูกจำกัดด้วยเส้นขาดแบบปิด ดังนั้นพื้นผิวเรียบใด ๆ จึงถือเป็นระนาบได้ พื้นผิวนี้อาจเป็นแผ่นกระดาษหรือโต๊ะ

มุม

รูปทรงที่มีรังสีสองเส้นและจุดยอดเรียกว่ามุม จุดเชื่อมต่อของรังสีคือจุดยอดของมุมนี้ และด้านข้างคือรังสีที่ประกอบเป็นมุมนี้

ออกกำลังกาย:

1. มุมที่ระบุในข้อความเป็นอย่างไร?
2. คุณสามารถใช้หน่วยใดในการวัดมุมได้?
3. มุมคืออะไร?

สี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ฝ่ายตรงข้ามซึ่งขนานกันเป็นคู่

สี่เหลี่ยมผืนผ้า สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นกรณีพิเศษของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมฉากเท่ากับ 90 องศาเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เท่ากัน มุมและด้านของมันเท่ากัน

สำหรับคำจำกัดความของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้น เป็นรูปทรงเรขาคณิตที่มีด้านทุกด้านเท่ากัน

นอกจากนี้ คุณควรรู้ว่าทุกสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แต่ไม่ใช่ทุกรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้

สี่เหลี่ยมคางหมู

เมื่อพิจารณารูปทรงเรขาคณิต เช่น สี่เหลี่ยมคางหมู เราสามารถพูดได้ว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เช่น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน มันมีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่และมีความโค้ง

วงกลมและวงกลม

เส้นรอบวง - สถานที่จุดที่เครื่องบินมีระยะห่างเท่ากัน จุดที่กำหนดให้เรียกว่าศูนย์กลาง ไปยังระยะที่ไม่เป็นศูนย์ที่กำหนด เรียกว่ารัศมี

สามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมที่คุณได้ศึกษาไปแล้วก็เป็นของรูปทรงเรขาคณิตง่ายๆ เช่นกัน นี่คือรูปหลายเหลี่ยมประเภทหนึ่งที่ส่วนหนึ่งของระนาบถูกจำกัดด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน สามเหลี่ยมใดๆ มีจุดยอดสามจุดและมีด้านสามด้าน

ออกกำลังกาย:สามเหลี่ยมใดเรียกว่าเสื่อม?

รูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมประกอบด้วยรูปทรงเรขาคณิต รูปแบบที่แตกต่างกันซึ่งมีเส้นขาดปิด

ในรูปหลายเหลี่ยม จุดทั้งหมดที่เชื่อมต่อส่วนต่างๆ คือจุดยอด และส่วนที่ประกอบเป็นรูปหลายเหลี่ยมก็คือด้านข้างของมัน

คุณรู้ไหมว่าการเกิดขึ้นของเรขาคณิตมีมายาวนานหลายศตวรรษและเกี่ยวข้องกับการพัฒนางานฝีมือ วัฒนธรรม ศิลปะ และการสังเกตโลกโดยรอบที่หลากหลาย และชื่อของรูปทรงเรขาคณิตเป็นการยืนยันสิ่งนี้เนื่องจากเงื่อนไขของพวกมันไม่ได้เกิดขึ้นเช่นนั้น แต่เนื่องมาจากความคล้ายคลึงและความคล้ายคลึงกัน

ท้ายที่สุดแล้วคำว่า "สี่เหลี่ยมคางหมู" ก็แปลมาจาก ภาษากรีกโบราณมาจากคำว่า trapezion แปลว่า โต๊ะ มื้ออาหาร และคำอนุพันธ์อื่น ๆ

“โคน” มาจาก คำภาษากรีก“โคโนส” ซึ่งแปลแล้วฟังดูเหมือนโคนต้นสน

“เส้น” มีรากภาษาละตินและมาจากคำว่า “linum” แปลดูเหมือนด้ายลินิน

คุณรู้ไหมว่าถ้าคุณใช้รูปทรงเรขาคณิตที่มีเส้นรอบวงเท่ากันก็จะเป็นเจ้าของตัวเลขเหล่านี้มากที่สุด พื้นที่ขนาดใหญ่กลายเป็นวงกลม

ระนาบเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ใช้ศึกษาตัวเลขบนเครื่องบิน

ตัวเลขที่ศึกษาโดย planimetry:

3. สี่เหลี่ยมด้านขนาน (กรณีพิเศษ: สี่เหลี่ยมจัตุรัส, สี่เหลี่ยมผืนผ้า, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน)

4. สี่เหลี่ยมคางหมู

5. เส้นรอบวง

6. สามเหลี่ยม

7. รูปหลายเหลี่ยม

1) จุด:

ในเรขาคณิต โทโพโลยี และสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง จุดคือวัตถุนามธรรมในอวกาศที่ไม่มีทั้งปริมาตร พื้นที่ ความยาว หรือคุณลักษณะอื่นใดที่คล้ายคลึงกันในมิติขนาดใหญ่ ดังนั้นจุดจึงเป็นวัตถุศูนย์มิติ จุดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์

จุดในเรขาคณิตแบบยุคลิด:

จุดเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต ดังนั้น "จุด" จึงไม่มีคำจำกัดความ Euclid กำหนดจุดเป็นสิ่งที่ไม่สามารถแบ่งแยกได้

เส้นตรงเป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต

เส้นตรงเรขาคณิต (เส้นตรง) - ไม่ปิดทั้งสองด้าน, ขยายออกและไม่โค้ง วัตถุทางเรขาคณิต, ภาพตัดขวางซึ่งมีแนวโน้มเป็นศูนย์ และการฉายภาพตามยาวบนเครื่องบินก็ช่วยได้

ในการนำเสนอเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ เส้นตรงมักถูกมองว่าเป็นหนึ่งในนั้น แนวคิดดั้งเดิมซึ่งถูกกำหนดโดยอ้อมโดยสัจพจน์ของเรขาคณิตเท่านั้น

หากพื้นฐานสำหรับการสร้างเรขาคณิตคือแนวคิดเรื่องระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในอวกาศ เส้นตรงสามารถกำหนดเป็นเส้นตรงที่ เท่ากับระยะทางระหว่างสองจุด

3) สี่เหลี่ยมด้านขนาน:

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ กล่าวคือ พวกมันวางอยู่บนเส้นขนาน กรณีพิเศษของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ได้แก่ สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

กรณีพิเศษ:

สี่เหลี่ยม- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติซึ่งมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีด้านและมุมเท่ากัน

สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถกำหนดได้เป็น: สี่เหลี่ยมที่มีด้านประชิดสองด้านเท่ากัน

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมทุกมุมอยู่ถูก (สี่เหลี่ยมใดๆ ก็ตามที่เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แต่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนทุกอันที่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส)

สี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก (เท่ากับ 90 องศา)

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีมุมฉากเรียกว่าสี่เหลี่ยมจัตุรัส

4) สี่เหลี่ยมคางหมู:

สี่เหลี่ยมคางหมู- รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่พอดี

1. สี่เหลี่ยมคางหมูซึ่ง ด้านข้างไม่เท่ากัน

เรียกว่า อเนกประสงค์ .

2. เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีด้านเท่ากัน หน้าจั่ว.

3. เรียกว่าสี่เหลี่ยมคางหมูที่ด้านหนึ่งทำมุมฉากกับฐาน เรียกว่า สี่เหลี่ยม .

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่า เส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมู (MN) เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

สี่เหลี่ยมคางหมูสามารถเรียกได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน ดังนั้น ชื่อของสี่เหลี่ยมคางหมูจึงคล้ายกับชื่อของสามเหลี่ยม (สามเหลี่ยมอาจเป็นขนาดไม่เท่ากัน หน้าจั่ว หรือมุมขวาก็ได้)

5) เส้นรอบวง:

วงกลม- ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดต่างๆ ของระนาบซึ่งมีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนด เรียกว่าจุดศูนย์กลาง ที่ระยะห่างที่ไม่ใช่ศูนย์ที่กำหนด เรียกว่า รัศมี

6) สามเหลี่ยม:

สามเหลี่ยม - รูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดมีจุดยอด 3 อัน (มุม) และมี 3 ด้าน ส่วนหนึ่งของระนาบล้อมรอบด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่

7) รูปหลายเหลี่ยม:

รูปหลายเหลี่ยม- นี่คือรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งกำหนดให้เป็นเส้นหักแบบปิด มีสาม ตัวเลือกต่างๆคำจำกัดความ:

เส้นขาดแบบปิดแบน

เครื่องบินปิดเส้นหลายเส้นโดยไม่มีจุดตัดกันเอง

บางส่วนของเครื่องบินล้อมรอบด้วยเส้นขาด

จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และส่วนต่างๆ เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

คุณสมบัติพื้นฐานของเส้นและจุด:

1.เส้นไหนก็มีแต้มที่เป็นของเส้นนี้และไม่ใช่ของเส้นนั้น

คุณสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดใดก็ได้และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น

2. จากสามจุดบนเส้น มีหนึ่งจุดเท่านั้นที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด

3. แต่ละส่วนมีความยาวมากกว่าศูนย์ ความยาวของเซ็กเมนต์เท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนต่างๆ ที่ถูกหารด้วยจุดใดๆ

6. ในครึ่งเส้นใดๆ จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถพล็อตส่วนได้ ความยาวที่กำหนดและมีเพียงอันเดียวเท่านั้น

7. จากเส้นครึ่งเส้นใดๆ ไปจนถึงครึ่งระนาบที่กำหนด คุณสามารถพล็อตมุมด้วยค่าที่กำหนดได้ การวัดระดับน้อยกว่า 180O และมีเพียงอันเดียวเท่านั้น

8. ไม่ว่าสามเหลี่ยมจะเป็นรูปใดก็ตาม จะมีสามเหลี่ยมเท่ากันในตำแหน่งที่กำหนดสัมพันธ์กับเส้นครึ่งเส้นที่กำหนด

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม:

ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยม:

1) ต่อต้าน ด้านที่ใหญ่กว่าอยู่ในมุมที่ใหญ่กว่า

2) ด้านที่ใหญ่กว่าอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่กว่า

3) ต่อต้าน ด้านที่เท่ากันมุมที่เท่ากันนั้นอยู่ และในทางกลับกัน ด้านที่เท่ากันนั้นอยู่ตรงข้ามกับมุมที่เท่ากัน

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมภายในและภายนอกของรูปสามเหลี่ยม:

1) ผลรวมของสองใดๆ มุมภายในสามเหลี่ยมมีค่าเท่ากัน มุมด้านนอกสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับมุมที่สาม

2) ด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมมีความสัมพันธ์กันด้วยความสัมพันธ์ที่เรียกว่าทฤษฎีบทของไซน์และทฤษฎีบทของโคไซน์

สามเหลี่ยมนั้นเรียกว่า ป้าน สี่เหลี่ยม หรือมุมแหลม ถ้ามุมภายในที่ใหญ่ที่สุดมากกว่า เท่ากับ หรือน้อยกว่า 90∘ ตามลำดับ

สายกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม:

1) เส้นที่มีเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับเส้นที่มีด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยม

2) เส้นกลางของสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านที่สาม

3) เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมตัดรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันออกจากรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

1) ด้านตรงข้ามเท่ากันและขนานกัน

2) เส้นทแยงมุมเท่ากันและแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน

3) ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้าน (ทั้งสี่) ทั้งหมด

4) สี่เหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากันสามารถครอบคลุมระนาบได้อย่างสมบูรณ์

5) สี่เหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นสองสี่เหลี่ยมเท่ากันได้สองวิธี;

6) สี่เหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากัน;

7) รอบ ๆ สี่เหลี่ยมผืนผ้าคุณสามารถอธิบายวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

8) เป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนวงกลมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ยกเว้นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) เพื่อให้วงกลมสัมผัสกับทุกด้าน

คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

1) จุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือจุดศูนย์กลางของสมมาตร

2) ด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน

3) มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน

4) แต่ละเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน

5) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งโดยจุดตัด

6) ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน (d1 และ d2) เท่ากับผลรวมของกำลังสองของทุกด้าน: d21+d22=2(a2+b2)

กับ คุณสมบัติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส:

1) มุมทุกมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นมุมฉาก ทุกด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน

2) เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากันและตัดกันเป็นมุมฉาก

3) เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน

คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

1. เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปเท่าๆ กัน

2. เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะถูกแบ่งครึ่งตรงจุดตัดกัน

3. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากัน เท่ากัน และ มุมตรงข้ามของเขา.

นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

ก) เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนตั้งฉากกัน

b) เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งมุมออกเป็นสองส่วน

คุณสมบัติของวงกลม:

1) เส้นตรงอาจไม่มีจุดร่วมกับวงกลม มีจุดร่วมหนึ่งจุดกับวงกลม (แทนเจนต์) มีจุดร่วมสองจุดด้วย (เซแคนต์)

2) คุณสามารถวาดวงกลมผ่านจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันและมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น

3) จุดสัมผัสของวงกลมสองวงอยู่บนเส้นที่เชื่อมระหว่างศูนย์กลาง

คุณสมบัติรูปหลายเหลี่ยม:

1) ผลรวมของมุมภายในของระนาบ นูน n-gonเท่ากัน.

2) จำนวนเส้นทแยงมุมของ n-gon ใดๆ เท่ากัน

3).ผลคูณของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมและไซน์ของมุมระหว่างพวกมันเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม

ข้อความของงานถูกโพสต์โดยไม่มีรูปภาพและสูตร
เวอร์ชันเต็มงานมีอยู่ในแท็บ "ไฟล์งาน" ในรูปแบบ PDF

การแนะนำ

เรขาคณิตเป็นหนึ่งในนั้น ส่วนประกอบที่สำคัญ การศึกษาคณิตศาสตร์จำเป็นสำหรับการได้รับความรู้เฉพาะเกี่ยวกับอวกาศและการปฏิบัติจริง ทักษะที่สำคัญการก่อตัวของภาษาเพื่ออธิบายวัตถุของโลกโดยรอบเพื่อการพัฒนา จินตนาการเชิงพื้นที่และสัญชาตญาณ วัฒนธรรมทางคณิตศาสตร์และสำหรับด้วย การศึกษาด้านสุนทรียภาพ- การศึกษาเรขาคณิตมีส่วนช่วยในการพัฒนา การคิดเชิงตรรกะ, การก่อตัวของทักษะการพิสูจน์

หลักสูตรเรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 จัดระบบความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดและคุณสมบัติของพวกมัน มีการแนะนำแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกันของตัวเลข ความสามารถในการพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมโดยใช้สัญญาณที่ศึกษาได้รับการพัฒนา มีการแนะนำปัญหาระดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการก่อสร้างโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด หนึ่งใน แนวคิดที่สำคัญที่สุด- แนวคิดเรื่องเส้นขนาน ใหม่ที่น่าสนใจและ คุณสมบัติที่สำคัญสามเหลี่ยม; หนึ่งใน ทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิต - ทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมซึ่งช่วยให้เราสามารถจำแนกรูปสามเหลี่ยมตามมุมของมัน (เฉียบพลัน, สี่เหลี่ยม, ป้าน)

ในระหว่างชั้นเรียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อย้ายจากส่วนหนึ่งของบทเรียนไปยังอีกส่วนหนึ่ง เปลี่ยนกิจกรรม คำถามเกิดขึ้นในการรักษาความสนใจในชั้นเรียน ดังนั้น, ที่เกี่ยวข้องคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับการใช้ปัญหาในชั้นเรียนเรขาคณิตซึ่งมีเงื่อนไข สถานการณ์ที่มีปัญหาและองค์ประกอบของความคิดสร้างสรรค์ ดังนั้น, วัตถุประสงค์การศึกษานี้เป็นการจัดระบบงานที่มีเนื้อหาทางเรขาคณิตด้วยองค์ประกอบของความคิดสร้างสรรค์และสถานการณ์ปัญหา

วัตถุประสงค์ของการศึกษา: งานเรขาคณิตที่มีองค์ประกอบของความคิดสร้างสรรค์ ความบันเทิง และสถานการณ์ปัญหา

วัตถุประสงค์การวิจัย:วิเคราะห์งานเรขาคณิตที่มีอยู่โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อพัฒนาตรรกะ จินตนาการ และ ความคิดสร้างสรรค์- แสดงให้เห็นว่าคุณสามารถพัฒนาความสนใจในวิชาใดวิชาหนึ่งโดยใช้เทคนิคความบันเทิงได้อย่างไร

เชิงทฤษฎีและ ความสำคัญในทางปฏิบัติวิจัยคือสามารถนำวัสดุที่รวบรวมมาไปใช้ในกระบวนการได้ ชั้นเรียนเพิ่มเติมในวิชาเรขาคณิต ได้แก่ การแข่งขันโอลิมปิกและการแข่งขันเรขาคณิต

ขอบเขตและโครงสร้างของการศึกษา:

การศึกษาประกอบด้วย บทนำ สองบท บทสรุป บรรณานุกรม ประกอบด้วยข้อความพิมพ์ดีดหลัก 14 หน้า ตาราง 1 ตัว ตัวเลข 10 รูป

บทที่ 1 ตัวเลขทางเรขาคณิตแบบแบน แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ

1.1. รูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานทางสถาปัตยกรรมอาคารและสิ่งปลูกสร้าง

ในโลกรอบตัวเรามีวัตถุทางวัตถุมากมายที่มีรูปร่างและขนาดแตกต่างกัน: อาคารที่พักอาศัย ชิ้นส่วนเครื่องจักร หนังสือ เครื่องประดับ ของเล่น ฯลฯ

ในเรขาคณิต แทนที่จะเป็นคำว่า วัตถุ พวกเขาพูดว่ารูปทรงเรขาคณิต ในขณะที่แบ่งรูปทรงเรขาคณิตออกเป็นแบบแบนและเชิงพื้นที่ ในงานนี้เราจะพิจารณาหนึ่งในนั้น ส่วนที่น่าสนใจที่สุดเรขาคณิต - planimetry ซึ่งพิจารณาเท่านั้น ตัวเลขแบน. ระนาบ(จากภาษาละติน planum - "ระนาบ", กรีกโบราณ μετρεω - "การวัด") - ส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ศึกษาตัวเลขสองมิติ (ระนาบเดียว) นั่นคือตัวเลขที่สามารถอยู่ภายในระนาบเดียวกัน รูปทรงเรขาคณิตแบนคือรูปหนึ่งที่จุดทั้งหมดอยู่บนระนาบเดียวกัน การวาดภาพใด ๆ ที่ทำบนแผ่นกระดาษจะช่วยให้เข้าใจถึงรูปร่างดังกล่าวได้

แต่ก่อนที่จะพิจารณาตัวเลขแบน จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับตัวเลขที่เรียบง่าย แต่สำคัญมาก โดยที่ตัวเลขแบนๆ ก็ไม่สามารถดำรงอยู่ได้

รูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดคือ จุดนี่คือหนึ่งในตัวเลขหลักของเรขาคณิต มันมีขนาดเล็กมากแต่ก็มักจะใช้สำหรับการก่อสร้าง รูปแบบต่างๆบนเครื่องบิน ประเด็นคือตัวเลขหลักสำหรับการก่อสร้างทั้งหมดแม้แต่ส่วนใหญ่ก็ตาม ความซับซ้อนสูง- จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ จุดคือวัตถุอวกาศเชิงนามธรรมที่ไม่มีลักษณะเช่นพื้นที่หรือปริมาตร แต่ในขณะเดียวกันก็ยังคงเป็นแนวคิดพื้นฐานในเรขาคณิต

ตรง- หนึ่งในแนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต ในการนำเสนอเรขาคณิตอย่างเป็นระบบ เส้นตรงมักถูกใช้เป็นหนึ่งในแนวคิดเริ่มต้น ซึ่งถูกกำหนดโดยอ้อมโดยสัจพจน์ของเรขาคณิต (ยูคลิด) เท่านั้น หากพื้นฐานสำหรับการสร้างเรขาคณิตคือแนวคิดเรื่องระยะห่างระหว่างจุดสองจุดในอวกาศ เส้นตรงสามารถกำหนดเป็นเส้นตรงที่เส้นทางนั้นเท่ากับระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

เส้นตรงในอวกาศสามารถครอบครองตำแหน่งที่แตกต่างกัน ลองพิจารณาบางส่วนและยกตัวอย่างที่พบในลักษณะทางสถาปัตยกรรมของอาคารและโครงสร้าง (ตารางที่ 1):

ตารางที่ 1

เส้นขนาน	คุณสมบัติของเส้นขนาน
	หากเส้นขนานกัน เส้นโครงที่มีชื่อเดียวกันก็จะขนานกัน:	Essentuki อาคารอาบโคลน (ภาพโดยผู้เขียน)
เส้นตัดกัน	คุณสมบัติของเส้นตัดกัน	ตัวอย่างสถาปัตยกรรมอาคารและสิ่งปลูกสร้าง
	เส้นที่ตัดกันมีจุดร่วม นั่นคือจุดตัดของการฉายภาพที่มีชื่อเดียวกันนั้นอยู่บนเส้นเชื่อมต่อทั่วไป:	อาคาร "ภูเขา" ในไต้หวัน https://www.sro-ps.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane
ข้ามเส้น	คุณสมบัติของเส้นเบ้	ตัวอย่างสถาปัตยกรรมอาคารและสิ่งปลูกสร้าง
	เส้นตรงที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและไม่ขนานกันจะถูกตัดกัน ไม่มีเป็นสายสื่อสารทั่วไป ถ้าเส้นตัดกันและเส้นขนานอยู่ในระนาบเดียวกัน เส้นที่ตัดกันจะอยู่ในระนาบขนานกันสองอัน	โรเบิร์ต, ฮิวเบิร์ต- วิลล่ามาดามใกล้โรม https://gallerix.ru/album/Hermitage-10/pic/glrx-172894287

1.2. รูปทรงเรขาคณิตแบบแบน คุณสมบัติและคำจำกัดความ

สังเกตรูปร่างของพืชและสัตว์ ภูเขาและแม่น้ำที่คดเคี้ยว ลักษณะภูมิทัศน์และดาวเคราะห์ที่อยู่ไกลออกไป มนุษย์ยืมมาจากธรรมชาติ แบบฟอร์มที่ถูกต้องขนาดและคุณสมบัติ ความต้องการด้านวัสดุกระตุ้นให้ผู้คนสร้างบ้าน สร้างเครื่องมือสำหรับแรงงานและการล่าสัตว์ ปั้นจานจากดินเหนียว และอื่นๆ ทั้งหมดนี้มีส่วนทำให้มนุษย์เข้าใจแนวคิดพื้นฐานทางเรขาคณิตอย่างค่อยเป็นค่อยไป

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน:

สี่เหลี่ยมด้านขนาน(ภาษากรีกโบราณ παραллηλόγραμμον จาก παράллηρος - ขนาน และ γραμμή - เส้น, เส้น) เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกันเป็นคู่ กล่าวคือ พวกมันนอนอยู่บนเส้นคู่ขนาน

สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: 1. หากในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้านตรงข้ามเท่ากันเป็นคู่ รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนก็คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 2. หากในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้นทแยงมุมตัดกันและถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน 3. ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันและขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้ก็จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมทุกมุมเป็นมุมฉากเรียกว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้า.

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากันเรียกว่า เพชร

สี่เหลี่ยมคางหมู—เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านสองด้านขนานกัน และอีกสองด้านไม่ขนานกัน นอกจากนี้ สี่เหลี่ยมคางหมูยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านตรงข้ามคู่หนึ่งขนานกัน และแต่ละด้านไม่เท่ากัน

สามเหลี่ยมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดที่เกิดจากสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ทั้งสามจุดนี้เรียกว่าจุดยอด สามเหลี่ยมและส่วนต่างๆ จะเป็นด้านข้าง สามเหลี่ยม.เป็นเพราะความเรียบง่ายนั่นเองที่ทำให้รูปสามเหลี่ยมเป็นพื้นฐานของการวัดหลายๆ อย่าง เจ้าหน้าที่สำรวจที่ดินในการคำนวณพื้นที่ ที่ดินและนักดาราศาสตร์ใช้คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมในการหาระยะทางไปยังดาวเคราะห์และดวงดาว นี่คือที่มาของศาสตร์แห่งตรีโกณมิติ - ศาสตร์แห่งการวัดรูปสามเหลี่ยม การแสดงด้านผ่านมุมของมัน พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ แสดงผ่านพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม: ก็เพียงพอที่จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมนี้ออกเป็นรูปสามเหลี่ยม คำนวณพื้นที่และเพิ่มผลลัพธ์ จริงมั้ย, สูตรที่ถูกต้องไม่สามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้ในทันที

มีการศึกษาคุณสมบัติของสามเหลี่ยมอย่างแข็งขันเป็นพิเศษ ศตวรรษที่ XV-XVI- นี่คือหนึ่งในทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในยุคนั้น เนื่องมาจาก Leonhard Euler:

งานจำนวนมากเกี่ยวกับเรขาคณิตของรูปสามเหลี่ยมซึ่งดำเนินการในศตวรรษที่ XY-XIX ได้สร้างความประทับใจว่าทุกอย่างเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมเป็นที่รู้จักแล้ว

รูปหลายเหลี่ยม -มันเป็นรูปทรงเรขาคณิต ซึ่งมักจะถูกกำหนดให้เป็นเส้นหลายเส้นแบบปิด

วงกลม- ตำแหน่งทางเรขาคณิตของจุดบนระนาบ ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม ไม่เกินจุดที่กำหนด จำนวนที่ไม่เป็นลบเรียกว่ารัศมีของวงกลมนี้ ถ้ารัศมี เท่ากับศูนย์จากนั้นวงกลมจะเสื่อมลงเป็นจุดหนึ่ง

มีอยู่ จำนวนมากรูปทรงเรขาคณิต ล้วนแตกต่างกันในพารามิเตอร์และคุณสมบัติ ซึ่งบางครั้งก็น่าแปลกใจกับรูปร่างของมัน

เพื่อให้จดจำและแยกแยะรูปร่างแบนได้ดีขึ้นตามคุณสมบัติและลักษณะ ฉันจึงคิดเทพนิยายเรขาคณิตขึ้นมาซึ่งฉันอยากจะนำเสนอให้คุณทราบในย่อหน้าถัดไป

บทที่ 2 ปริศนาจากตัวเลขเรขาคณิตแบบแบน

2.1.ปริศนาสำหรับการสร้างรูปทรงที่ซับซ้อนจากชุดองค์ประกอบทางเรขาคณิตแบบเรียบ

หลังจากศึกษารูปทรงแบนแล้ว ฉันสงสัยว่ามีปัญหาที่น่าสนใจเกี่ยวกับรูปทรงแบนที่สามารถใช้เป็นเกมหรือปริศนาได้หรือไม่ และปัญหาแรกที่ฉันพบคือปริศนาแทนแกรม

นี่คือปริศนาของจีน ในประเทศจีนเรียกว่า "chi tao tu" หรือปริศนาทางจิตเจ็ดชิ้น ในยุโรปชื่อ "Tangram" น่าจะมาจากคำว่า "tan" ซึ่งแปลว่า "จีน" และรากศัพท์ "gram" (กรีก - "ตัวอักษร")

ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 10 x 10 แล้วแบ่งออกเป็นเจ็ดส่วน: สามเหลี่ยมห้าอัน 1-5 , สี่เหลี่ยม 6 และสี่เหลี่ยมด้านขนาน 7 - สาระสำคัญของปริศนาคือการใช้ชิ้นส่วนทั้งเจ็ดเพื่อประกอบตัวเลขที่แสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 องค์ประกอบของเกม Tangram และรูปทรงเรขาคณิต

รูปที่ 4. งานแทนแกรม

เป็นเรื่องที่น่าสนใจอย่างยิ่งที่จะสร้างรูปหลายเหลี่ยมที่ "มีรูปร่าง" จากร่างแบนโดยรู้เพียงโครงร่างของวัตถุ (รูปที่ 4) ฉันคิดงานโครงร่างเหล่านี้ขึ้นมาเองหลายงานและแสดงงานเหล่านี้ให้เพื่อนร่วมชั้นของฉันดูซึ่งเริ่มแก้ไขงานอย่างมีความสุขและสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่น่าสนใจมากมายซึ่งคล้ายกับโครงร่างของวัตถุในโลกรอบตัวเรา

เพื่อพัฒนาจินตนาการคุณสามารถใช้ปริศนาความบันเทิงในรูปแบบดังกล่าวเป็นงานในการตัดและสร้างตัวเลขที่กำหนดได้

ตัวอย่างที่ 2 งานตัด (ปาร์เก้) อาจดูเหมือนมีความหลากหลายตั้งแต่แรกเห็น อย่างไรก็ตาม ส่วนใหญ่ใช้การตัดพื้นฐานเพียงไม่กี่ประเภทเท่านั้น (โดยปกติแล้วจะเป็นการตัดประเภทอื่นจากรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอันเดียว)

มาดูเทคนิคการตัดกันบ้าง ในกรณีนี้เราจะเรียกตัวเลขที่ถูกตัดออก รูปหลายเหลี่ยม

ข้าว. 5.เทคนิคการตัด

รูปที่ 5 แสดงรูปทรงเรขาคณิตที่คุณสามารถประกอบองค์ประกอบประดับต่างๆ และสร้างเครื่องประดับด้วยมือของคุณเอง

ตัวอย่างที่ 3 อีกอันหนึ่ง งานที่น่าสนใจซึ่งคุณสามารถคิดขึ้นมาเองและแลกเปลี่ยนกับนักเรียนคนอื่น ๆ และใครก็ตามที่รวบรวมตัวเลขที่ถูกตัดออกมากที่สุดจะถูกประกาศให้เป็นผู้ชนะ งานประเภทนี้อาจมีได้ค่อนข้างมาก สำหรับการเขียนโค้ดคุณสามารถใช้รูปทรงเรขาคณิตที่มีอยู่ทั้งหมดซึ่งถูกตัดออกเป็นสามหรือสี่ส่วน

มะเดื่อ 6. ตัวอย่างงานตัด:

------ - จัตุรัสที่สร้างขึ้นใหม่ - ตัดด้วยกรรไกร

รูปพื้นฐาน

2.2. ตัวเลขที่มีขนาดเท่ากันและมีองค์ประกอบเท่ากัน

ลองพิจารณาอีกเทคนิคที่น่าสนใจในการตัดรูปร่างแบนโดยที่ "ฮีโร่" หลักของการตัดจะเป็นรูปหลายเหลี่ยม เมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม จะใช้เทคนิคง่ายๆ ที่เรียกว่าวิธีการแบ่งพาร์ติชัน

โดยทั่วไป รูปหลายเหลี่ยมจะถูกเรียกว่า ประกอบขึ้น หากหลังจากตัดรูปหลายเหลี่ยมด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งแล้ว เอฟ บน หมายเลขสุดท้ายเป็นไปได้โดยการจัดเรียงส่วนต่าง ๆ เหล่านี้ให้แตกต่างออกไปเพื่อสร้างรูปหลายเหลี่ยม N จากพวกมัน

สิ่งนี้นำไปสู่สิ่งต่อไปนี้ ทฤษฎีบท:รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามีพื้นที่เท่ากัน ดังนั้นจะถือว่ารูปหลายเหลี่ยมเท่ากันในพื้นที่

จากตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากัน เราสามารถพิจารณาการตัดที่น่าสนใจ เช่น การแปลง "กากบาทกรีก" ให้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส (รูปที่ 7)

รูปที่ 7 การเปลี่ยนแปลงของ "กรีกครอส"

ในกรณีของโมเสก (ปาร์เกต์) ที่ประกอบด้วยไม้กางเขนกรีก สี่เหลี่ยมด้านขนานของคาบจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส เราสามารถแก้ปัญหาได้โดยการซ้อนโมเสกที่ทำจากสี่เหลี่ยมลงบนโมเสกที่สร้างด้วยความช่วยเหลือของไม้กางเขน เพื่อให้จุดที่เท่ากันของโมเสกหนึ่งตรงกับจุดที่เท่ากันของอีกโมเสก (รูปที่ 8)

ในรูป จุดที่สอดคล้องกันของโมเสกของไม้กางเขน คือจุดศูนย์กลางของไม้กางเขน ตรงกับจุดที่เท่ากันของโมเสก "สี่เหลี่ยม" - จุดยอดของสี่เหลี่ยม การย้ายโมเสกสี่เหลี่ยมขนานกันจะทำให้เราแก้ไขปัญหาได้เสมอ นอกจากนี้ปัญหายังมีวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้หลายประการหากใช้สีในการประกอบไม้ปาร์เก้

รูปที่ 8. ไม้ปาร์เก้ทำจากไม้กางเขนกรีก

อีกตัวอย่างหนึ่งของตัวเลขที่มีสัดส่วนเท่ากันสามารถพิจารณาได้โดยใช้ตัวอย่างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตัวอย่างเช่น สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับสี่เหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 9)

ตัวอย่างนี้แสดงวิธีการแบ่งพาร์ติชั่นซึ่งประกอบด้วยการคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมโดยพยายามแบ่งมันออกเป็นส่วนๆ ในจำนวนจำกัด เพื่อให้ส่วนต่างๆ เหล่านี้สามารถใช้สร้างรูปหลายเหลี่ยมที่เรียบง่ายกว่าซึ่งเรารู้พื้นที่อยู่แล้ว

ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมจะเท่ากับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเท่ากันและมีความสูงเพียงครึ่งหนึ่ง จากตำแหน่งนี้ จะได้สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมาอย่างง่ายดาย

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทข้างต้นก็ถือเช่นกัน ทฤษฎีบทสนทนา:ถ้ารูปหลายเหลี่ยมสองรูปมีขนาดเท่ากัน รูปเหล่านั้นก็จะเท่ากัน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี F. Bolyai และ เจ้าหน้าที่ชาวเยอรมันและคนรักคณิตศาสตร์ P. Gervin สามารถแสดงได้ด้วยวิธีนี้: หากมีเค้กที่มีรูปร่างเป็นรูปหลายเหลี่ยมและกล่องรูปหลายเหลี่ยมที่มีรูปร่างแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง แต่มีพื้นที่เดียวกันคุณสามารถตัดเค้กให้มีขอบเขตจำกัดได้ จำนวนชิ้น (โดยไม่ต้องคว่ำด้านครีมลง) ที่สามารถใส่ลงในกล่องนี้ได้

บทสรุป

โดยสรุป ฉันทราบว่าปัญหาเกี่ยวกับตัวเลขเครื่องบินมีการนำเสนออย่างเพียงพอ แหล่งต่างๆแต่สิ่งเหล่านั้นที่ฉันสนใจคือสิ่งที่ฉันต้องทำภารกิจไขปริศนาของตัวเองขึ้นมา

ท้ายที่สุดแล้ว ด้วยการแก้ปัญหาดังกล่าว คุณไม่เพียงแต่จะสามารถสะสมได้เท่านั้น ประสบการณ์ชีวิตแต่ยังได้รับความรู้และทักษะใหม่ๆ

ในปริศนา เมื่อสร้างแอ็คชั่น-การเคลื่อนไหวโดยใช้การหมุน การเลื่อน การแปลบนเครื่องบินหรือการจัดองค์ประกอบ ฉันได้สร้างรูปภาพใหม่ขึ้นมาอย่างอิสระ เช่น รูปทรงหลายเหลี่ยมจากเกม "Tangram"

เป็นที่ทราบกันดีว่าเกณฑ์หลักสำหรับความคล่องตัวในการคิดของบุคคลคือความสามารถในการสร้างและ จินตนาการที่สร้างสรรค์ให้แล้วเสร็จภายในระยะเวลาที่กำหนด การกระทำบางอย่างและในกรณีของเรา - การเคลื่อนไหวของร่างบนเครื่องบิน ดังนั้นการเรียนคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะเรขาคณิตที่โรงเรียนจะทำให้ฉันมีความรู้มากขึ้นเพื่อนำไปใช้ในกิจกรรมทางวิชาชีพในอนาคต

บรรณานุกรม

1. พาฟโลวา, แอล.วี. วิธีการสอนการวาดภาพที่ไม่ใช่แบบดั้งเดิม: คู่มือการฝึกอบรม/ ล.วี. พาฟโลวา. - นิจนี นอฟโกรอด: สำนักพิมพ์ NSTU, 2545. - 73 น.

2. พจนานุกรมสารานุกรมนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์ เอ.พี. ซาวิน. - อ.: การสอน, 2528. - 352 น.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

ภาคผนวก 1

แบบสอบถามสำหรับเพื่อนร่วมชั้น

1. คุณรู้หรือไม่ว่าปริศนา Tangram คืออะไร?

2. คืออะไร " ไม้กางเขนกรีก»?

3. คุณสนใจที่จะรู้ว่า “แทนแกรม” คืออะไร?

4. คุณสนใจที่จะรู้ว่า "ไม้กางเขนกรีก" คืออะไร?

สำรวจนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 จำนวน 22 คน ผลลัพธ์: นักเรียน 22 คนไม่รู้ว่า "แทนแกรม" และ "กรีกครอส" คืออะไร นักเรียน 20 คนสนใจเรียนรู้วิธีใช้ปริศนา "แทนแกรม" ที่ประกอบด้วยตัวเลขแบนๆ 7 ตัวเพื่อรับข้อมูลเพิ่มเติม รูปร่างที่ซับซ้อน- ผลการสำรวจสรุปเป็นแผนภูมิ

ภาคผนวก 2

องค์ประกอบของเกม Tangram และรูปทรงเรขาคณิต

การเปลี่ยนแปลงของ "กรีกครอส"

2.1. รูปทรงเรขาคณิตบนเครื่องบิน

ใน ปีที่ผ่านมามีแนวโน้มที่จะรวมวัสดุทางเรขาคณิตที่มีนัยสำคัญเข้าไปด้วย หลักสูตรเริ่มต้นคณิตศาสตร์. แต่เพื่อที่จะแนะนำนักเรียนให้รู้จักกับรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ และสอนวิธีการพรรณนาอย่างถูกต้อง เขาจำเป็นต้องมีสิ่งที่เหมาะสม การฝึกอบรมคณิตศาสตร์- ครูต้องคุ้นเคยกับแนวคิดชั้นนำของหลักสูตรเรขาคณิต รู้คุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงเรขาคณิต และสามารถสร้างได้

เมื่อวาดภาพรูปร่างแบน จะไม่มีปัญหาทางเรขาคณิตเกิดขึ้น ภาพวาดทำหน้าที่เป็นสำเนาต้นฉบับทุกประการหรือเป็นตัวแทน รูปร่างที่คล้ายกัน- เมื่อดูภาพวงกลมในภาพวาด เราจะได้ความรู้สึกแบบเดียวกันเหมือนกับว่าเรากำลังดูวงกลมเดิม

ดังนั้นการศึกษาเรขาคณิตจึงเริ่มต้นด้วยการวางแผนเชิงระนาบ

Planimetry เป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ใช้ศึกษาตัวเลขบนเครื่องบิน

รูปทรงเรขาคณิตถูกกำหนดให้เป็นเซตของจุดใดๆ

ส่วน เส้นตรง วงกลม เป็นรูปทรงเรขาคณิต

หากจุดทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิตอยู่ในระนาบเดียว จะเรียกว่าแบน

ตัวอย่างเช่น ส่วนที่เป็นสี่เหลี่ยมเป็นรูปแบนๆ

มีหุ่นที่ไม่แบน ตัวอย่างเช่น ลูกบาศก์ ลูกบอล ปิรามิด

เนื่องจากแนวคิดเรื่องรูปทรงเรขาคณิตถูกกำหนดผ่านแนวคิดของเซต เราจึงสามารถพูดได้ว่ารูปหนึ่งรวมอยู่ในอีกรูปหนึ่ง เราสามารถพิจารณาการรวมกันของรูปเรขาคณิต จุดตัด และความแตกต่างของรูปได้

ตัวอย่างเช่น การรวมกันของรังสี AB และ MK สองเส้นคือเส้นตรง KB และจุดตัดกันคือส่วน AM

มีทั้งแบบนูนและไม่นูน ตัวเลขจะเรียกว่านูน หากเมื่อรวมกับจุดสองจุดใดๆ แล้วมันมีส่วนที่เชื่อมต่อพวกมันด้วย

รูปที่ F 1 นูน และรูป F 2 ไม่นูน

รูปร่างนูนได้แก่ ระนาบ เส้นตรง รังสี ส่วน และจุด การตรวจสอบว่ารูปร่างนูนเป็นวงกลมนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ถ้าเราต่อส่วน XY ต่อไปจนกระทั่งมันตัดกับวงกลม เราจะได้คอร์ด AB เนื่องจากคอร์ดอยู่ในวงกลม ส่วน XY จึงมีอยู่ในวงกลมด้วย ดังนั้น วงกลมจึงเป็น รูปนูน.

คุณสมบัติพื้นฐานของตัวเลขที่ง่ายที่สุดบนระนาบแสดงตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

1.เส้นไหนก็มีแต้มที่เป็นของเส้นนี้และไม่ใช่ของเส้นนั้น

คุณสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุดสองจุดใดก็ได้และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น

สัจพจน์นี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของการเป็นของจุดและเส้นบนเครื่องบิน

2. จากสามจุดบนเส้น มีหนึ่งจุดเท่านั้นที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด

สัจพจน์นี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของตำแหน่งของจุดบนเส้นตรง

แน่นอนว่าสัจพจน์ 3 เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติหลักของส่วนการวัด

ประโยคนี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับเส้นตรงบนระนาบ

5. แต่ละมุมมีการวัดระดับหนึ่งที่มากกว่าศูนย์ มุมที่กางออกคือ 180° การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมที่มุมนั้นถูกหารด้วยรังสีใดๆ ที่ผ่านระหว่างด้านของมัน

สัจพจน์นี้เป็นการแสดงออกถึงคุณสมบัติพื้นฐานของการวัดมุม

6. ในครึ่งบรรทัดใดๆ จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถพล็อตส่วนของความยาวที่กำหนดได้เพียงส่วนเดียวเท่านั้น

7. จากเส้นครึ่งเส้นใดๆ ลงในระนาบครึ่งที่กำหนด คุณสามารถกำหนดมุมที่มีระดับองศาที่กำหนดน้อยกว่า 180 O และมีเพียงมุมเดียวเท่านั้น

สัจพจน์เหล่านี้สะท้อนถึงคุณสมบัติพื้นฐานของการจัดวางมุมและเซ็กเมนต์

คุณสมบัติพื้นฐานของตัวเลขที่ง่ายที่สุด ได้แก่ การมีอยู่ของสามเหลี่ยมเท่ากับรูปที่กำหนด

คุณสมบัติพื้นฐานของเส้นขนานแสดงตามสัจพจน์ต่อไปนี้

9. เมื่อผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นที่กำหนด จะลากเส้นตรงที่ขนานกับเส้นที่กำหนดได้ไม่เกิน 1 เส้นบนระนาบ

เรามาดูรูปทรงเรขาคณิตบางอย่างที่มีการศึกษากัน โรงเรียนประถมศึกษา.

มุมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดหนึ่งและรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดนี้ รังสีเรียกว่าด้านข้างของมุม และจุดเริ่มต้นร่วมคือจุดยอด

มุมหนึ่งเรียกว่าพัฒนาแล้วถ้าด้านของมันวางอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

มุมที่เป็นครึ่งหนึ่งของมุมตรงเรียกว่ามุมฉาก มุมที่น้อยกว่ามุมขวาเรียกว่ามุมแหลม มุมที่มากกว่ามุมฉากแต่น้อยกว่ามุมตรงเรียกว่ามุมป้าน

นอกจากแนวคิดเรื่องมุมที่ระบุข้างต้นแล้ว ในเรขาคณิตแล้ว ยังพิจารณาแนวคิดเรื่องมุมระนาบด้วย

มุมระนาบเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง

มีมุมระนาบสองมุมที่เกิดจากรังสีสองเส้นด้วย จุดเริ่มต้นทั่วไป- เรียกว่าเพิ่มเติม รูปนี้แสดงมุมระนาบสองมุมที่มีด้าน OA และ OB โดยมุมหนึ่งเป็นสีเทา

มุมสามารถอยู่ติดกันหรือแนวตั้งได้

มุมสองมุมจะเรียกว่าอยู่ติดกันหากมีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกด้านของมุมเหล่านี้จะเป็นเส้นครึ่งเส้นคู่กัน

ผลรวม มุมที่อยู่ติดกันเท่ากับ 180 องศา

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้ง ถ้าด้านของมุมหนึ่งเป็นเส้นครึ่งเส้นประกอบกันของอีกมุมหนึ่ง

มุม AOD และ SOV รวมถึงมุม AOS และ DOV นั้นเป็นแนวตั้ง

มุมแนวตั้งมีความเท่าเทียมกัน

เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

เส้นตรงสองเส้นในระนาบจะเรียกว่าขนานกันหากไม่ตัดกัน

ถ้าเส้น a ขนานกับเส้น b ให้เขียน II c

เส้นตรงสองเส้นเรียกว่าตั้งฉากหากตัดกันเป็นมุมฉาก

ถ้าเส้น a ตั้งฉากกับเส้น b ให้เขียน a b

สามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยจุดสามจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกันและมีสามส่วนในแนวคู่เชื่อมต่อกัน

สามเหลี่ยมใด ๆ แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก

ในสามเหลี่ยมใดๆ ก็มี องค์ประกอบต่อไปนี้: ด้าน มุม ความสูง เส้นแบ่งครึ่ง มัธยฐาน เส้นกึ่งกลาง

ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ตกลงมาจากจุดยอดที่กำหนดคือเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุดยอดนี้ไปยังเส้นที่มีด้านตรงข้าม

เส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมของรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมจุดยอดกับจุดบน ฝั่งตรงข้าม.

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมที่ดึงมาจากจุดยอดที่กำหนดคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดนี้กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของทั้งสองด้าน

รูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือตัวเลขที่ประกอบด้วยสี่จุดและสี่ส่วนที่ติดต่อกันเชื่อมต่อกัน และไม่มีจุดสามจุดใดที่ไม่ควรอยู่บนเส้นเดียวกัน และส่วนที่เชื่อมต่อกันไม่ควรตัดกัน จุดเหล่านี้เรียกว่าจุดยอดของสามเหลี่ยม และส่วนที่เชื่อมต่อกันเรียกว่าด้านข้าง

ด้านของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่เริ่มต้นจากจุดยอดเดียวกันเรียกว่าด้านตรงข้าม

ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ABCD จุดยอด A และ B อยู่ติดกัน และจุดยอด A และ C อยู่ตรงข้ามกัน ด้าน AB และ BC อยู่ติดกัน BC และ AD อยู่ตรงข้ามกัน ส่วน AC และ WD คือเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมนี้

รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสามารถนูนหรือไม่นูนได้ ดังนั้น รูปสี่เหลี่ยม ABCD จึงนูนออกมา และ KRMT รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจึงไม่นูน

ท่ามกลาง รูปสี่เหลี่ยมนูนสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมคางหมูมีความโดดเด่น

สี่เหลี่ยมด้านขนานคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน

สี่เหลี่ยมคางหมูเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนซึ่งมีด้านตรงข้ามกันเพียงสองด้านเท่านั้นที่ขนานกัน เหล่านี้ ด้านขนานเรียกว่าฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู อีกสองด้านเรียกว่าด้านข้าง ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างเรียกว่าเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

BC และ AD – ฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู AB และ CD – ด้านข้าง; กม. – เส้นกึ่งกลางสี่เหลี่ยมคางหมู

ในบรรดาสี่เหลี่ยมด้านขนานหลายอัน สี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความโดดเด่น

สี่เหลี่ยมผืนผ้าคือสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุมเท่ากัน

สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทุกด้านเท่ากัน

สี่เหลี่ยมถูกเลือกจากสี่เหลี่ยมจำนวนมาก

สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน

วงกลม.

วงกลมคือรูปร่างที่ประกอบด้วยจุดทุกจุดของระนาบซึ่งอยู่ห่างจากจุดที่กำหนดเป็นระยะทางเท่ากัน ซึ่งเรียกว่าจุดศูนย์กลาง

ระยะทางจากจุดถึงศูนย์กลางเรียกว่ารัศมี ส่วนที่เชื่อมต่อจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่าคอร์ด คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง OA – รัศมี, CD – คอร์ด, AB – เส้นผ่านศูนย์กลาง

มุมที่ศูนย์กลางในวงกลมคือมุมระนาบที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลาง ส่วนของวงกลมที่อยู่ภายในมุมระนาบเรียกว่าส่วนโค้งของวงกลมที่สอดคล้องกับสิ่งนี้ มุมกลาง.

ตามตำราเรียนใหม่ในโปรแกรมใหม่ M.I. โมโร, MA บันโตวา, G.V. Beltyukova, S.I. Volkova, S.V. ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 สเตปาโนวาได้รับโจทย์การก่อสร้างที่ไม่เคยรวมอยู่ในหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนประถมศึกษามาก่อน งานเหล่านี้เป็นงานเช่น:

สร้างเส้นตั้งฉากกับเส้น;

แบ่งส่วนออกครึ่งหนึ่ง

สร้างสามเหลี่ยมทั้งสามด้าน

สร้าง สามเหลี่ยมปกติ, สามเหลี่ยมหน้าจั่ว;

สร้างรูปหกเหลี่ยม

สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส

สร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยใช้คุณสมบัติของเส้นทแยงมุมรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พิจารณาการสร้างรูปทรงเรขาคณิตบนเครื่องบิน

ส่วนเรียนเรขาคณิต โครงสร้างทางเรขาคณิตเรียกว่า เรขาคณิตเชิงสร้างสรรค์ แนวคิดหลักของเรขาคณิตเชิงสร้างสรรค์คือแนวคิดเรื่อง "การสร้างรูป" ข้อเสนอหลักถูกสร้างขึ้นในรูปแบบของสัจพจน์และลดลงดังต่อไปนี้

1. แต่ละ รูปนี้สร้าง.

2. หากมีการสร้างร่างสองร่าง (หรือมากกว่า) การรวมกันของร่างเหล่านี้จะถูกสร้างขึ้นด้วย

3. หากมีการสร้างตัวเลขสองตัวขึ้นมา คุณสามารถระบุได้ว่าจะมีจุดตัดกันหรือไม่ ชุดเปล่าหรือไม่

4. หากจุดตัดของสองร่างที่สร้างขึ้นไม่ว่างเปล่า แสดงว่าถูกสร้างขึ้น

5. หากมีการสร้างตัวเลขสองตัวขึ้นมา ก็เป็นไปได้ที่จะระบุได้ว่าผลต่างนั้นเป็นเซตว่างหรือไม่

6. หากผลต่างของตัวเลขที่สร้างขึ้นทั้งสองไม่ใช่เซตว่าง แสดงว่าถูกสร้างขึ้น

7. คุณสามารถวาดจุดที่เป็นของร่างที่สร้างขึ้นได้

8. คุณสามารถสร้างจุดที่ไม่ตรงกับรูปร่างที่สร้างขึ้นได้

เพื่อสร้างรูปทรงเรขาคณิตขึ้นมาบ้าง คุณสมบัติที่ระบุใช้เครื่องมือวาดภาพต่างๆ สิ่งที่ง่ายที่สุดคือ: ไม้บรรทัดด้านเดียว (ต่อไปนี้จะเป็นเพียงไม้บรรทัด), ไม้บรรทัดสองด้าน, สี่เหลี่ยมจัตุรัส, เข็มทิศ ฯลฯ

เครื่องมือวาดภาพต่างๆ ช่วยให้คุณได้ การก่อตัวต่างๆ- คุณสมบัติของเครื่องมือวาดภาพที่ใช้สำหรับการก่อสร้างทางเรขาคณิตก็แสดงในรูปแบบของสัจพจน์เช่นกัน

ตั้งแต่ใน หลักสูตรของโรงเรียนเรขาคณิตพิจารณาการสร้างรูปทรงเรขาคณิตโดยใช้วงเวียนและไม้บรรทัด นอกจากนี้เรายังจะมุ่งเน้นไปที่การพิจารณาการก่อสร้างพื้นฐานที่ดำเนินการโดยภาพวาดเฉพาะเหล่านี้ด้วยเครื่องมือ

ดังนั้นการใช้ไม้บรรทัดจึงสามารถสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิตต่อไปนี้ได้

1. สร้างส่วนที่เชื่อมต่อสองจุดที่สร้างขึ้น

2. สร้างเส้นตรงผ่านจุดที่สร้างขึ้นสองจุด

3. สร้างรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากจุดที่สร้างและผ่านจุดที่สร้าง

เข็มทิศช่วยให้คุณสร้างโครงสร้างทางเรขาคณิตต่อไปนี้:

1. สร้างวงกลมหากมีการสร้างจุดศูนย์กลางและส่วนของวงกลมแล้ว เท่ากับรัศมีวงกลม;

2. สร้างส่วนโค้งเพิ่มเติมใดๆ ของวงกลมสองส่วนหากสร้างจุดศูนย์กลางของวงกลมและปลายของส่วนโค้งเหล่านี้

งานก่อสร้างเบื้องต้น

ปัญหาการก่อสร้างอาจจะเก่าแก่ที่สุด ปัญหาทางคณิตศาสตร์ช่วยให้เข้าใจคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตได้ดีขึ้นและมีส่วนช่วยในการพัฒนาทักษะด้านกราฟิก

งานก่อสร้างจะถือว่าได้รับการแก้ไขหากมีการระบุวิธีการก่อสร้างตามรูปและได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นผลมาจากการดำเนินการ ของสิ่งปลูกสร้างเหล่านี้จะได้ตัวเลขที่มีคุณสมบัติที่ต้องการจริง

มาดูปัญหาการก่อสร้างเบื้องต้นกันบ้าง

1. สร้างซีดีส่วนบนเส้นตรงที่กำหนดเท่ากับ ส่วนนี้เอบี

ความเป็นไปได้ในการก่อสร้างตามความเป็นจริงของการชะลอส่วนงานเท่านั้น ทำได้โดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด ดังต่อไปนี้- ให้เส้นตรง a และส่วน AB ถูกกำหนดไว้ เราทำเครื่องหมายจุด C บนเส้นตรงและสร้างวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C ด้วยเส้นตรงและแสดงถึง D เราจะได้ CD ส่วนเท่ากับ AB

2. ผ่าน จุดนี้ลากเส้นตั้งฉากกับเส้นที่กำหนด

ให้จุด O และเส้นตรง a มีสองกรณีที่เป็นไปได้:

1. จุด O อยู่บนเส้น a;

2. จุด O ไม่อยู่บนเส้นก

ในกรณีแรก เราแสดงจุด C ที่ไม่อยู่บนเส้น a จากจุด C เป็นจุดศูนย์กลางเราวาดวงกลมที่มีรัศมีตามใจชอบ ให้ A และ B เป็นจุดตัดกัน จากจุด A และ B เราอธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน ให้จุด O เป็นจุดตัดกัน แตกต่างจากจุด C จากนั้นเส้น CO ครึ่งเส้นจะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุมที่กางออก เช่นเดียวกับเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง a

ในกรณีที่สอง จากจุด O จากศูนย์กลางเราวาดวงกลมที่ตัดกันเป็นเส้นตรง a จากนั้นจากจุด A และ B ที่มีรัศมีเท่ากันเราจะวาดวงกลมอีกสองวง ให้ O เป็นจุดตัดกัน โดยอยู่ในระนาบครึ่งระนาบที่แตกต่างจากจุดที่ O อยู่ เส้นตรง OO/ คือเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง a มาพิสูจน์กัน

ให้เราแสดงด้วย C จุดตัดของเส้นตรง AB และ OO/ สามเหลี่ยม AOB และ AO/B เท่ากันทั้งสามด้าน ดังนั้น มุม OAS เท่ากับมุม O/AC เท่ากันทั้งสองด้านและมีมุมระหว่างกัน ดังนั้น มุม ASO และ ASO/ จึงเท่ากัน และเนื่องจากมุมต่างๆ ประชิดกัน พวกมันจึงเป็นมุมฉาก ดังนั้น OS จึงตั้งฉากกับเส้น a

3. ลากเส้นขนานกับจุดที่กำหนดผ่านจุดที่กำหนด

ให้เส้น a และจุด A อยู่นอกเส้นนี้ ลองหาจุด B บนเส้น a แล้วเชื่อมต่อกับจุด A เราจะลากเส้น C ผ่านจุด A โดยสร้าง AB เป็นมุมเดียวกับที่ AB ก่อตัวขึ้นด้วยเส้น A แต่อยู่ฝั่งตรงข้ามจาก AB เส้นตรงที่สร้างขึ้นจะขนานกับเส้นตรง a ซึ่งตามมาจากความเท่ากันของมุมขวางที่เกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรง a และเส้นตัด AB

4. สร้างเส้นสัมผัสกันของวงกลมที่ผ่านจุดที่กำหนดบนวงกลมนั้น

ให้ไว้: 1) วงกลม X (O, h)

2) จุด A x

โครงสร้าง: แทนเจนต์ AB

การก่อสร้าง.

2. วงกลม X (A, h) โดยที่ h – รัศมีโดยพลการ(สัจพจน์ที่ 1 ของเข็มทิศ)

3. จุด M และ N ของจุดตัดของวงกลม x 1 กับเส้นตรง AO นั่นคือ (M, N) = x 1 AO (สัจพจน์ทั่วไป 4)

4. วงกลม x (M, r 2) โดยที่ r 2 คือรัศมีใดๆ โดยที่ r 2 r 1 (สัจพจน์ 1 ของเข็มทิศ)

และภายนอก - ด้วยพฤติกรรมที่เปิดกว้างของเขา และภายใน - กับเขา กระบวนการทางจิตและความรู้สึก บทสรุปในส่วนแรก เพื่อการพัฒนาของทุกคน กระบวนการทางปัญญาเด็กนักเรียนที่อายุน้อยกว่าจะต้องปฏิบัติตาม เงื่อนไขต่อไปนี้: 1. กิจกรรมการศึกษาต้องมีจุดมุ่งหมาย กระตุ้นและรักษาความสนใจในหมู่นักเรียนอย่างต่อเนื่อง 2. ขยายและพัฒนา ความสนใจทางปัญญาคุณ...

การทดสอบโดยรวมซึ่งบ่งชี้ถึงระดับการพัฒนาของพวกเขา การดำเนินงานทางจิตการเปรียบเทียบและลักษณะทั่วไปสูงกว่าเด็กนักเรียนที่มีผลการเรียนต่ำ หากเราวิเคราะห์ข้อมูลส่วนบุคคลในการทดสอบย่อย ก็จะเกิดปัญหาในการตอบ ปัญหาส่วนบุคคลพูดคุยเกี่ยวกับทักษะข้อมูลที่ไม่ดี การดำเนินการเชิงตรรกะ- ปัญหาเหล่านี้มักพบบ่อยที่สุดในเด็กนักเรียนที่มีผลการเรียนต่ำ นี้...

นักเรียนมัธยมต้น- วัตถุประสงค์การศึกษา: การพัฒนา การคิดเชิงจินตนาการสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 2 โรงเรียนมัธยมปลายเลขที่ 1025. วิธีการ: การทดสอบ บทที่ 1 รากฐานทางทฤษฎีงานวิจัยเรื่องการคิดเชิงจินตนาการ 1.1. แนวคิดของการคิด ความรู้ของเราเกี่ยวกับความเป็นจริงโดยรอบเริ่มต้นจากความรู้สึกและการรับรู้แล้วก้าวไปสู่การคิด หน้าที่ของการคิดคือการขยายขอบเขตความรู้ด้วยการก้าวไปให้ไกลกว่า...