కుండలీకరణాల్లో మైనస్ గుర్తు. వ్యక్తీకరణలు మరియు సమీకరణాలలో కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలి

క్రీస్తుపూర్వం ఐదవ శతాబ్దంలో, పురాతన గ్రీకు తత్వవేత్త జెనో ఆఫ్ ఎలియా తన ప్రసిద్ధ అపోరియాలను రూపొందించాడు, వీటిలో అత్యంత ప్రసిద్ధమైనది "అకిలెస్ మరియు టార్టాయిస్" అపోరియా. ఇది ఎలా అనిపిస్తుందో ఇక్కడ ఉంది:

అకిలెస్ తాబేలు కంటే పది రెట్లు వేగంగా పరిగెడుతుంది మరియు దాని వెనుక వెయ్యి అడుగులు ఉన్నాడనుకుందాం. ఈ దూరం పరుగెత్తడానికి అకిలెస్ పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. అకిలెస్ వంద అడుగులు పరిగెత్తినప్పుడు, తాబేలు మరో పది అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఈ ప్రక్రియ అనంతంగా కొనసాగుతుంది, అకిలెస్ తాబేలును ఎప్పటికీ పట్టుకోడు.

ఈ తార్కికం అన్ని తరువాతి తరాలకు తార్కిక షాక్‌గా మారింది. అరిస్టాటిల్, డయోజినెస్, కాంట్, హెగెల్, హిల్బర్ట్... వీళ్లంతా ఏదో ఒక విధంగా జెనో అపోరియాగా భావించారు. షాక్ చాలా బలంగా ఉంది " ... వైరుధ్యాల సారాంశం గురించి ఉమ్మడి అభిప్రాయాన్ని చేరుకోవడానికి చర్చలు నేటికీ కొనసాగుతున్నాయి శాస్త్రీయ సంఘంఇప్పటివరకు అది సాధ్యం కాలేదు... మేము సమస్య అధ్యయనంలో పాల్గొన్నాము గణిత విశ్లేషణ, సెట్ సిద్ధాంతం, కొత్త భౌతిక మరియు తాత్విక విధానాలు; వాటిలో ఏదీ సమస్యకు సాధారణంగా ఆమోదించబడిన పరిష్కారం కాదు..."[వికీపీడియా, "జెనోస్ అపోరియా". ప్రతి ఒక్కరూ తాము మోసపోతున్నారని అర్థం చేసుకుంటారు, కానీ మోసం ఏమిటో ఎవరికీ అర్థం కాలేదు.

గణిత శాస్త్ర దృక్కోణంలో, జెనో తన అపోరియాలో పరిమాణం నుండి కు మారడాన్ని స్పష్టంగా ప్రదర్శించాడు. ఈ పరివర్తన శాశ్వత వాటికి బదులుగా అనువర్తనాన్ని సూచిస్తుంది. నాకు అర్థమైనంత వరకు, గణిత ఉపకరణంకొలత యొక్క వేరియబుల్ యూనిట్ల ఉపయోగం ఇంకా అభివృద్ధి చేయబడలేదు లేదా Zeno యొక్క అపోరియాకు వర్తించబడలేదు. మన సాధారణ తర్కాన్ని వర్తింపజేయడం మనల్ని ఒక ఉచ్చులోకి నడిపిస్తుంది. మేము, ఆలోచన యొక్క జడత్వం కారణంగా, పరస్పర విలువకు సమయం యొక్క స్థిరమైన యూనిట్లను వర్తింపజేస్తాము. తో భౌతిక పాయింట్దృక్కోణంలో, అకిలెస్ తాబేలుతో పట్టుకున్న సమయంలో పూర్తిగా ఆగిపోయే వరకు సమయం మందగించినట్లు కనిపిస్తోంది. సమయం ఆగిపోతే, అకిలెస్ ఇకపై తాబేలును అధిగమించలేరు.

మేము మా సాధారణ తర్కాన్ని తిప్పితే, ప్రతిదీ స్థానంలోకి వస్తుంది. అకిలెస్ తో నడుస్తుంది స్థిరమైన వేగం. అతని మార్గంలోని ప్రతి తదుపరి విభాగం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. దీని ప్రకారం, దానిని అధిగమించడానికి గడిపిన సమయం మునుపటి కంటే పది రెట్లు తక్కువ. ఈ పరిస్థితిలో మనం “అనంతం” అనే భావనను వర్తింపజేస్తే, “అకిలెస్ తాబేలును అనంతంగా త్వరగా పట్టుకుంటాడు” అని చెప్పడం సరైనది.

ఈ తార్కిక ఉచ్చును ఎలా నివారించాలి? ఉండడానికి స్థిరమైన యూనిట్లుసమయం యొక్క కొలతలు మరియు పరస్పర పరిమాణాలకు వెళ్లవద్దు. జెనో భాషలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

అకిలెస్ వేయి అడుగులు పరిగెత్తడానికి పట్టే సమయంలో, తాబేలు అదే దిశలో వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. తదుపరి సమయం విరామం కోసం, మొదటిదానికి సమానం, అకిలెస్ మరో వెయ్యి మెట్లు పరుగెత్తుతుంది, తాబేలు వంద అడుగులు క్రాల్ చేస్తుంది. ఇప్పుడు అకిలెస్ తాబేలు కంటే ఎనిమిది వందల అడుగులు ముందున్నాడు.

ఈ విధానం ఎటువంటి తార్కిక వైరుధ్యాలు లేకుండా వాస్తవికతను తగినంతగా వివరిస్తుంది. కానీ అది కాదు పూర్తి పరిష్కారంసమస్యలు. కాంతి వేగం యొక్క ఇర్రెసిస్టిబిలిటీ గురించి ఐన్స్టీన్ యొక్క ప్రకటన జెనో యొక్క అపోరియా "అకిలెస్ అండ్ ది టార్టాయిస్" కు చాలా పోలి ఉంటుంది. మనం ఇంకా ఈ సమస్యను అధ్యయనం చేయాలి, పునరాలోచించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. మరియు పరిష్కారం అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో కాదు, కానీ కొలత యూనిట్లలో వెతకాలి.

జెనో యొక్క మరొక ఆసక్తికరమైన అపోరియా ఎగిరే బాణం గురించి చెబుతుంది:

ఎగిరే బాణం కదలకుండా ఉంటుంది, ఎందుకంటే ప్రతి క్షణం అది విశ్రాంతిగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి క్షణం విశ్రాంతిగా ఉంటుంది కాబట్టి, అది ఎల్లప్పుడూ విశ్రాంతిగా ఉంటుంది.

ఈ అపోరియాలో, తార్కిక పారడాక్స్ చాలా సరళంగా అధిగమించబడుతుంది - ప్రతి క్షణంలో ఎగిరే బాణం అంతరిక్షంలో వేర్వేరు పాయింట్ల వద్ద విశ్రాంతిగా ఉందని స్పష్టం చేయడానికి సరిపోతుంది, ఇది వాస్తవానికి చలనం. ఇక్కడ మరో విషయం గమనించాలి. రహదారిపై ఉన్న కారు యొక్క ఒక ఛాయాచిత్రం నుండి దాని కదలిక యొక్క వాస్తవాన్ని లేదా దానికి దూరాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం. కారు కదులుతుందో లేదో తెలుసుకోవడానికి, మీకు ఒకే పాయింట్ నుండి తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం విభిన్న క్షణాలుసమయం, కానీ వాటి నుండి దూరం నిర్ణయించబడదు. కారుకు దూరాన్ని నిర్ణయించడానికి, మీరు తీసిన రెండు ఛాయాచిత్రాలు అవసరం వివిధ పాయింట్లుఒక సమయంలో స్థలం, కానీ వాటి నుండి కదలిక వాస్తవాన్ని గుర్తించడం అసాధ్యం (సహజంగా, గణనల కోసం అదనపు డేటా ఇంకా అవసరం, త్రికోణమితి మీకు సహాయం చేస్తుంది). నేను ఏమి ఎత్తి చూపాలనుకుంటున్నాను ప్రత్యేక శ్రద్ధ, సమయం లో రెండు పాయింట్లు మరియు అంతరిక్షంలో రెండు పాయింట్లు గందరగోళానికి గురికాకూడదు, ఎందుకంటే అవి పరిశోధనకు విభిన్న అవకాశాలను అందిస్తాయి.

బుధవారం, జూలై 4, 2018

సెట్ మరియు మల్టీసెట్ మధ్య తేడాలు వికీపీడియాలో బాగా వివరించబడ్డాయి. చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, “సమితిలో రెండు సారూప్య మూలకాలు ఉండకూడదు,” కానీ ఒక సెట్‌లో ఒకేలా మూలకాలు ఉంటే, అటువంటి సమితిని “మల్టీసెట్” అంటారు. సహేతుకమైన జీవులు ఇలాంటి అసంబద్ధ తర్కాన్ని ఎప్పటికీ అర్థం చేసుకోలేరు. ఇది స్థాయి మాట్లాడే చిలుకలుమరియు శిక్షణ పొందిన కోతులు, "పూర్తిగా" అనే పదం నుండి తెలివితేటలు లేవు. గణిత శాస్త్రవేత్తలు సాధారణ శిక్షకులుగా వ్యవహరిస్తారు, వారి అసంబద్ధమైన ఆలోచనలను మాకు బోధిస్తారు.

ఒకప్పుడు బ్రిడ్జిని టెస్టింగ్ చేస్తున్నప్పుడు బ్రిడ్జిని నిర్మించిన ఇంజనీర్లు బ్రిడ్జి కింద బోటులో ఉన్నారు. వంతెన కూలిపోతే, సాధారణ ఇంజనీర్ తన సృష్టి శిథిలాల కింద మరణించాడు. వంతెన భారాన్ని తట్టుకోగలిగితే, ప్రతిభావంతులైన ఇంజనీర్ ఇతర వంతెనలను నిర్మించారు.

గణిత శాస్త్రజ్ఞులు “స్క్రూ మి, ఐ యామ్ ఇన్ హౌస్” లేదా “గణిత అధ్యయనాల వెనుక ఎలా దాచినా నైరూప్య భావనలు", వాటిని వాస్తవికతతో విడదీయరాని విధంగా అనుసంధానించే బొడ్డు తాడు ఒకటి ఉంది. ఈ బొడ్డు తాడు డబ్బు. వర్తించు గణిత సిద్ధాంతంగణిత శాస్త్రజ్ఞులకే సెట్ చేస్తుంది.

గణితం బాగా చదివి ఇప్పుడు జీతాలు ఇస్తూ క్యాష్ రిజిస్టర్ దగ్గర కూర్చున్నాం. కాబట్టి ఒక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తన డబ్బు కోసం మన దగ్గరకు వస్తాడు. మేము అతనికి మొత్తం మొత్తాన్ని లెక్కించి, మా టేబుల్‌పై వేర్వేరు పైల్స్‌లో వేస్తాము, అందులో మేము అదే విలువ కలిగిన బిల్లులను ఉంచాము. అప్పుడు మేము ఒక్కో స్టాక్ నుండి ఒక బిల్లు తీసుకొని గణిత శాస్త్రజ్ఞుడికి అందజేస్తాము" గణిత సమితిజీతాలు." ఒకేలా మూలకాలు లేని సమితి ఒకే మూలకాలతో కూడిన సెట్‌తో సమానం కాదని అతను నిరూపించినప్పుడు మాత్రమే అతను మిగిలిన బిల్లులను స్వీకరిస్తాడని మేము గణితశాస్త్రానికి వివరిస్తాము. ఇక్కడే సరదా ప్రారంభమవుతుంది.

అన్నింటిలో మొదటిది, సహాయకుల తర్కం పని చేస్తుంది: "ఇది ఇతరులకు వర్తించవచ్చు, కానీ నాకు కాదు!" అప్పుడు వారు ఒకే డినామినేషన్‌కు చెందిన బిల్లులు వేర్వేరు బిల్లు నంబర్‌లను కలిగి ఉన్నాయని, అంటే వాటిని ఒకే మూలకాలుగా పరిగణించలేమని వారు మాకు భరోసా ఇవ్వడం ప్రారంభిస్తారు. సరే, జీతాలను నాణేలలో లెక్కిద్దాం - నాణేలపై సంఖ్యలు లేవు. ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రాన్ని పిచ్చిగా గుర్తుంచుకోవడం ప్రారంభిస్తాడు: వివిధ నాణేలపై ఉంది వివిధ పరిమాణాలుమట్టి, క్రిస్టల్ నిర్మాణంమరియు ప్రతి నాణెంలోని పరమాణువుల అమరిక ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది...

మరియు ఇప్పుడు నాకు చాలా ఉన్నాయి ఆసక్తి అడగండి: మల్టీసెట్ యొక్క మూలకాలు సమితి యొక్క మూలకాలుగా మారే రేఖకు మించిన రేఖ ఎక్కడ ఉంది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా? అటువంటి లైన్ ఉనికిలో లేదు - ప్రతిదీ షమన్లచే నిర్ణయించబడుతుంది, సైన్స్ ఇక్కడ అబద్ధం చెప్పడానికి కూడా దగ్గరగా లేదు.

ఇక్కడ చూడండి. మేము అదే మైదాన ప్రాంతంతో ఫుట్‌బాల్ స్టేడియాలను ఎంచుకుంటాము. ఫీల్డ్‌ల ప్రాంతాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి - అంటే మనకు మల్టీసెట్ ఉంది. కానీ ఇవే స్టేడియాల పేర్లను పరిశీలిస్తే, పేర్లు వేర్వేరుగా ఉన్నందున, మనకు చాలా లభిస్తాయి. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ఒకే మూలకాల సమితి ఒక సెట్ మరియు మల్టీసెట్ రెండూ. ఏది సరైనది? మరియు ఇక్కడ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు-షమన్-షార్పిస్ట్ తన స్లీవ్ నుండి ట్రంప్‌ల ఏస్‌ను బయటకు తీస్తాడు మరియు ఒక సెట్ లేదా మల్టీసెట్ గురించి మాకు చెప్పడం ప్రారంభిస్తాడు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, అతను సరైనది అని మనల్ని ఒప్పిస్తాడు.

ఆధునిక షమన్లు ​​సెట్ సిద్ధాంతంతో ఎలా పనిచేస్తారో అర్థం చేసుకోవడానికి, దానిని వాస్తవికతతో ముడిపెట్టి, ఒక ప్రశ్నకు సమాధానం ఇస్తే సరిపోతుంది: ఒక సెట్ యొక్క మూలకాలు మరొక సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయి? "ఒకే మొత్తంగా ఊహించదగినది కాదు" లేదా "ఒకే మొత్తంగా ఊహించలేనిది" లేకుండా నేను మీకు చూపిస్తాను.

ఆదివారం, మార్చి 18, 2018

సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం టాంబురైన్‌తో షమన్ల నృత్యం, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు. అవును, గణిత పాఠాలలో ఒక సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొని దానిని ఉపయోగించడం నేర్పించాము, కానీ అందుకే వారు షమన్లు, వారి వారసులకు వారి నైపుణ్యాలు మరియు జ్ఞానం నేర్పడానికి, లేకుంటే షమన్లు ​​చనిపోతారు.

మీకు రుజువు కావాలా? వికీపీడియాను తెరిచి, "సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం" పేజీని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి. ఆమె ఉనికిలో లేదు. గణితంలో ఏదైనా సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే సూత్రం లేదు. అన్ని తరువాత, సంఖ్యలు గ్రాఫిక్ చిహ్నాలు, మేము సంఖ్యలను వ్రాసే సహాయంతో మరియు గణిత శాస్త్ర భాషలో పని ఇలా ఉంటుంది: "ఏదైనా సంఖ్యను సూచించే గ్రాఫిక్ చిహ్నాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి." గణిత శాస్త్రవేత్తలు ఈ సమస్యను పరిష్కరించలేరు, కానీ షామన్లు ​​దీన్ని సులభంగా చేయగలరు.

సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి మనం ఏమి మరియు ఎలా చేయాలో గుర్తించండి ఇచ్చిన సంఖ్య. కాబట్టి, మనము 12345 సంఖ్యను కలిగి ఉన్నాము. ఈ సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి ఏమి చేయాలి? క్రమంలో అన్ని దశలను పరిశీలిద్దాం.

1. ఒక కాగితంపై సంఖ్యను వ్రాయండి. ఏం చేశాం? మేము సంఖ్యను గ్రాఫికల్ సంఖ్య చిహ్నంగా మార్చాము. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

2. మేము ఒక ఫలిత చిత్రాన్ని వ్యక్తిగత సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక చిత్రాలలో కట్ చేస్తాము. చిత్రాన్ని కత్తిరించడం గణిత ప్రక్రియ కాదు.

3. వ్యక్తిగత గ్రాఫిక్ చిహ్నాలను సంఖ్యలుగా మార్చండి. ఇది గణిత ఆపరేషన్ కాదు.

4. ఫలిత సంఖ్యలను జోడించండి. ఇప్పుడు ఇది గణితం.

12345 సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం 15. ఇవి గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఉపయోగించే షమన్లు ​​బోధించే "కటింగ్ మరియు కుట్టు కోర్సులు". అయితే అదంతా కాదు.

గణిత కోణం నుండి, మనం ఏ సంఖ్య వ్యవస్థలో సంఖ్యను వ్రాస్తామో అది పట్టింపు లేదు. కాబట్టి, లో వివిధ వ్యవస్థలుకాలిక్యులస్‌లో, ఒకే సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. గణితంలో, సంఖ్య వ్యవస్థ సంఖ్యకు కుడివైపున సబ్‌స్క్రిప్ట్‌గా సూచించబడుతుంది. తో పెద్ద సంఖ్యలో 12345 నేను నా తలని మోసం చేయకూడదనుకుంటున్నాను, గురించి కథనం నుండి 26 సంఖ్యను చూద్దాం. ఈ సంఖ్యను బైనరీ, ఆక్టల్, డెసిమల్ మరియు హెక్సాడెసిమల్ నంబర్ సిస్టమ్‌లలో వ్రాద్దాం. మేము మైక్రోస్కోప్ క్రింద ప్రతి అడుగును చూడము; ఫలితాన్ని చూద్దాం.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, వేర్వేరు సంఖ్య వ్యవస్థలలో ఒకే సంఖ్య యొక్క అంకెల మొత్తం భిన్నంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితానికి గణితానికి సంబంధం లేదు. మీరు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క వైశాల్యాన్ని మీటర్లు మరియు సెంటీమీటర్లలో నిర్ణయించినట్లయితే, మీరు పూర్తిగా భిన్నమైన ఫలితాలను పొందుతారు.

సున్నా అన్ని నంబర్ సిస్టమ్‌లలో ఒకేలా కనిపిస్తుంది మరియు అంకెల మొత్తం ఉండదు. ఈ వాస్తవం అనుకూలంగా మరొక వాదన. గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రశ్న: గణితంలో సంఖ్య కానిది ఎలా సూచించబడుతుంది? ఏమిటి, గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు సంఖ్యలు తప్ప మరేమీ లేదు? నేను షామన్ల కోసం దీన్ని అనుమతించగలను, కానీ శాస్త్రవేత్తల కోసం కాదు. వాస్తవికత కేవలం సంఖ్యలకు సంబంధించినది కాదు.

పొందిన ఫలితం సంఖ్య వ్యవస్థలు సంఖ్యల కొలత యూనిట్లు అని రుజువుగా పరిగణించాలి. అన్నింటికంటే, మేము సంఖ్యలను పోల్చలేము వివిధ యూనిట్లుకొలతలు. ఒకే పరిమాణంలోని వివిధ యూనిట్ల కొలతలతో ఒకే చర్యలు వాటిని పోల్చిన తర్వాత వేర్వేరు ఫలితాలకు దారితీస్తే, దీనికి గణితంతో సంబంధం లేదు.

అసలు గణితం అంటే ఏమిటి? ఇది ఎప్పుడు ఫలితం గణిత ఆపరేషన్సంఖ్య పరిమాణం, ఉపయోగించిన కొలత యూనిట్ మరియు చర్యను ఎవరు నిర్వహిస్తారనే దానిపై ఆధారపడి ఉండదు.

తలుపు మీద సంతకం చేయండి అతను తలుపు తెరిచి ఇలా అంటాడు:

ఓ! ఇది మహిళల విశ్రాంతి గది కాదా?
- యువతి! ఆత్మలు స్వర్గానికి ఆరోహణ సమయంలో వారి పవిత్రత గురించి అధ్యయనం చేయడానికి ఇది ఒక ప్రయోగశాల! పైన హాలో మరియు పైకి బాణం. ఏ ఇతర టాయిలెట్?

ఆడది... పైన ఉన్న హాలో మరియు క్రింది బాణం మగ.

అలాంటి డిజైన్ ఆర్ట్ పని రోజుకు చాలాసార్లు మీ కళ్ళ ముందు మెరుస్తూ ఉంటే,

అప్పుడు మీరు మీ కారులో అకస్మాత్తుగా వింత చిహ్నాన్ని కనుగొనడంలో ఆశ్చర్యం లేదు:

వ్యక్తిగతంగా, నేను పూపింగ్ వ్యక్తిలో మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలను చూడడానికి ప్రయత్నిస్తాను (ఒక చిత్రం) (అనేక చిత్రాల కూర్పు: మైనస్ గుర్తు, సంఖ్య నాలుగు, డిగ్రీల హోదా). మరియు ఈ అమ్మాయి తెలివితక్కువదని నేను అనుకోను, లేదు భౌతిక శాస్త్రంలో పరిజ్ఞానం కలవాడు. ఆమె కేవలం అవగాహన యొక్క ఆర్చ్ స్టీరియోటైప్‌ను కలిగి ఉంది గ్రాఫిక్ చిత్రాలు. మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని మనకు ఎప్పటికప్పుడు బోధిస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ.

1A అనేది “మైనస్ నాలుగు డిగ్రీలు” లేదా “ఒకటి a” కాదు. ఇది హెక్సాడెసిమల్ సంజ్ఞామానంలో "పూపింగ్ మ్యాన్" లేదా "ఇరవై ఆరు" సంఖ్య. ఈ నంబర్ సిస్టమ్‌లో నిరంతరం పనిచేసే వ్యక్తులు స్వయంచాలకంగా ఒక సంఖ్య మరియు అక్షరాన్ని ఒక గ్రాఫిక్ చిహ్నంగా గ్రహిస్తారు.

విలువలను లెక్కించేటప్పుడు చర్యల క్రమాన్ని మార్చడం కుండలీకరణాల యొక్క ప్రధాన విధి. ఉదాహరణకి, వి సంఖ్యాపరంగా\(5·3+7\) ముందుగా గుణకారం లెక్కించబడుతుంది, ఆపై అదనంగా: \(5·3+7 =15+7=22\). కానీ వ్యక్తీకరణలో \(5·(3+7)\) బ్రాకెట్‌లలోని జోడింపు ముందుగా లెక్కించబడుతుంది, ఆపై మాత్రమే గుణకారం: \(5·(3+7)=5·10=50\).

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్‌ని విస్తరించండి: \(-(4m+3)\).
పరిష్కారం : \(-(4m+3)=-4m-3\).

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్ తెరిచి తీసుకురండి సారూప్య నిబంధనలు\(5-(3x+2)+(2+3x)\).
పరిష్కారం : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \(5(3-x)\).
పరిష్కారం : బ్రాకెట్‌లో మనకు \(3\) మరియు \(-x\) ఉన్నాయి మరియు బ్రాకెట్ ముందు ఐదు ఉంటుంది. బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు \(5\)తో గుణించబడుతుందని దీని అర్థం - నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను ఎంట్రీల పరిమాణాన్ని తగ్గించడానికి గణితంలో సంఖ్య మరియు కుండలీకరణాల మధ్య గుణకార చిహ్నం వ్రాయబడలేదు.

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \(-2(-3x+5)\).
పరిష్కారం : మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, కుండలీకరణాల్లోని \(-3x\) మరియు \(5\) \(-2\)తో గుణించబడతాయి.

ఉదాహరణ. వ్యక్తీకరణను సరళీకరించండి: \(5(x+y)-2(x-y)\).
పరిష్కారం : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

చివరి పరిస్థితిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది.

బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణించినప్పుడు, మొదటి బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం రెండవ పదం యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \((2-x)(3x-1)\).
పరిష్కారం : మేము బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిని కలిగి ఉన్నాము మరియు పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని వెంటనే విస్తరించవచ్చు. కానీ గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, ప్రతిదీ దశలవారీగా చేద్దాం.
దశ 1. మొదటి బ్రాకెట్‌ను తీసివేయండి - దానిలోని ప్రతి నిబంధనలను రెండవ బ్రాకెట్‌తో గుణించండి:

దశ 2. పైన వివరించిన విధంగా బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తులు మరియు కారకాన్ని విస్తరించండి:
- మొదటి విషయాలు మొదట ...

అప్పుడు రెండవది.

దశ 3. ఇప్పుడు మనం గుణించి, సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము:

అటువంటి వివరంగా అన్ని పరివర్తనలను వివరించడం అవసరం లేదు, మీరు వాటిని వెంటనే గుణించవచ్చు. కానీ మీరు కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలో నేర్చుకుంటే, వివరంగా వ్రాయండి, తప్పులు చేసే అవకాశం తక్కువగా ఉంటుంది.

మొత్తం విభాగానికి గమనిక.నిజానికి, మీరు అన్ని నాలుగు నియమాలను గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం లేదు, మీరు ఒకటి మాత్రమే గుర్తుంచుకోవాలి, ఇది ఒకటి: \(c(a-b)=ca-cb\) . ఎందుకు? ఎందుకంటే మీరు cకి బదులుగా ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు \((a-b)=a-b\) నియమాన్ని పొందుతారు. మరియు మనం మైనస్ ఒకటిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు \(-(a-b)=-a+b\) నియమం వస్తుంది. సరే, మీరు సికి బదులుగా మరొక బ్రాకెట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు చివరి నియమాన్ని పొందవచ్చు.

కుండలీకరణం లోపల కుండలీకరణం

కొన్నిసార్లు ఆచరణలో ఇతర బ్రాకెట్లలో గూడు కట్టిన బ్రాకెట్లతో సమస్యలు ఉన్నాయి. అటువంటి పనికి ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది: \(7x+2(5-(3x+y))\) వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి.

విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి ఇలాంటి పనులు, అవసరం:
- బ్రాకెట్ల గూడును జాగ్రత్తగా అర్థం చేసుకోండి - అందులో ఏది ఉంది;
- బ్రాకెట్‌లను వరుసగా తెరవండి, ఉదాహరణకు, లోపలి నుండి ప్రారంభించండి.

బ్రాకెట్లలో ఒకదాన్ని తెరిచేటప్పుడు ఇది ముఖ్యం మిగిలిన వ్యక్తీకరణలను తాకవద్దు, దానిని యథాతథంగా తిరిగి వ్రాయడం.
పైన వ్రాసిన పనిని ఉదాహరణగా చూద్దాం.

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఒకే విధమైన పదాలను ఇవ్వండి \(7x+2(5-(3x+y))\).
పరిష్కారం:

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఒకే విధమైన పదాలను ఇవ్వండి \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
పరిష్కారం :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		ఇక్కడ కుండలీకరణాల ట్రిపుల్ నెస్టింగ్ ఉంది. లోపలి భాగంతో ప్రారంభిద్దాం (ఆకుపచ్చ రంగులో హైలైట్ చేయబడింది). బ్రాకెట్ ముందు ప్లస్ ఉంది, కాబట్టి ఇది కేవలం ఆఫ్ వస్తుంది.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		ఇప్పుడు మీరు రెండవ బ్రాకెట్, ఇంటర్మీడియట్ ఒకటి తెరవాలి. కానీ దానికి ముందు, మేము ఈ రెండవ బ్రాకెట్‌లో దెయ్యం లాంటి పదాల వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేస్తాము.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		ఇప్పుడు మనం రెండవ బ్రాకెట్‌ను తెరుస్తాము (నీలం రంగులో హైలైట్ చేయబడింది). బ్రాకెట్ ముందు ఒక కారకం - కాబట్టి బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం దానితో గుణించబడుతుంది.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		మరియు చివరి బ్రాకెట్ తెరవండి. బ్రాకెట్ ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంది, కాబట్టి అన్ని చిహ్నాలు తిరగబడ్డాయి.

కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అనేది గణితంలో ప్రాథమిక నైపుణ్యం. ఈ నైపుణ్యం లేకుండా, 8 మరియు 9 తరగతులలో C కంటే ఎక్కువ గ్రేడ్ సాధించడం అసాధ్యం. అందువల్ల, మీరు ఈ అంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవాలని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను.

A+(b + c) కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్రాయవచ్చు: a+(b + c)=a + b + c. ఈ చర్యను ఓపెనింగ్ కుండలీకరణాలు అంటారు.

ఉదాహరణ 1. a + (- b + c) వ్యక్తీకరణలో బ్రాకెట్లను తెరవండి.

పరిష్కారం. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

బ్రాకెట్ల ముందు "+" గుర్తు ఉన్నట్లయితే, మీరు బ్రాకెట్లలోని నిబంధనల సంకేతాలను కొనసాగిస్తూ బ్రాకెట్లను మరియు ఈ "+" గుర్తును వదిలివేయవచ్చు. బ్రాకెట్లలో మొదటి పదం గుర్తు లేకుండా వ్రాసినట్లయితే, అది తప్పనిసరిగా “+” గుర్తుతో వ్రాయాలి.

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ -2.87+ (2.87-7.639) విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.బ్రాకెట్లను తెరవడం, మనకు లభిస్తుంది - 2.87 + (2.87 - 7.639) = - - 2.87 + 2.87 - 7.639 = 0 - 7.639 = - 7.639.

వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనడానికి - (- 9 + 5), మీరు జోడించాలి సంఖ్యలు-9 మరియు 5 మరియు ఫలిత మొత్తానికి వ్యతిరేక సంఖ్యను కనుగొనండి: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

అదే విలువను మరొక విధంగా పొందవచ్చు: ముందుగా ఈ నిబంధనలకు వ్యతిరేక సంఖ్యలను వ్రాసి (అంటే వాటి సంకేతాలను మార్చండి), ఆపై జోడించండి: 9 + (- 5) = 4. అందువలన, -(- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.

అనేక నిబంధనల మొత్తానికి వ్యతిరేక మొత్తాన్ని వ్రాయడానికి, మీరు ఈ నిబంధనల సంకేతాలను మార్చాలి.

దీని అర్థం - (a + b) = - a - b.

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ 16 - (10 -18 + 12) విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

“-” గుర్తుకు ముందు ఉన్న బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి, మీరు ఈ గుర్తును “+”తో భర్తీ చేయాలి, బ్రాకెట్‌లలోని అన్ని పదాల సంకేతాలను వ్యతిరేకానికి మార్చాలి, ఆపై బ్రాకెట్‌లను తెరవండి.

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ 9.36-(9.36 - 5.48) విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. 9.36 - (9.36 - 5.48) = 9.36 + (- 9.36 + 5.48) = = 9.36 - 9.36 + 5.48 = 0 -f 5.48 = 5 ,48.

కుండలీకరణాలను విస్తరించడం మరియు కమ్యుటేటివ్ ఉపయోగించడం మరియు అనుబంధ లక్షణాలు అదనంగాగణనలను సరళీకృతం చేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణ (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5 విలువను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.ముందుగా, బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఆపై అన్ని సానుకూల సంఖ్యల మొత్తాన్ని విడిగా మరియు అన్ని ప్రతికూల సంఖ్యల మొత్తాన్ని విడిగా కనుగొని, చివరకు, ఫలితాలను జోడించండి:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి

పరిష్కారం.ముందుగా, ప్రతి పదాన్ని వాటి పూర్ణాంకం మరియు మొత్తంగా సూచిస్తాము పాక్షిక భాగాలు, ఆపై బ్రాకెట్లను తెరవండి, ఆపై మొత్తం వాటిని విడిగా మరియు విడిగా జోడించండి భిన్నమైనభాగాలు మరియు చివరకు ఫలితాలను జోడించండి:

మీరు "+" గుర్తుకు ముందు ఉన్న కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి? అనేక సంఖ్యల మొత్తానికి వ్యతిరేకమైన వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను మీరు ఎలా కనుగొనగలరు? "-" గుర్తుకు ముందు కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలి?

1218. బ్రాకెట్లను తెరవండి:

ఎ) 3.4+(2.6+ 8.3); సి) m+(n-k);

బి) 4.57+(2.6 - 4.57); d) c+(-a + b).

1219. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1220. బ్రాకెట్లను తెరవండి:

ఎ) 85+(7.8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
బి) (4.7 -17)+7.5; ఇ) -a + (m-2.6); h) -(a-b + c);
సి) 64-(90 + 100); ఇ) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. బ్రాకెట్లను తెరిచి, వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని కనుగొనండి:

1222. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి:

1223. వ్రాయండి మొత్తంరెండు వ్యక్తీకరణలు మరియు దానిని సులభతరం చేయండి:

a) - 4 - m మరియు m + 6.4; d) a+b మరియు p - b
బి) 1.1+a మరియు -26-a; ఇ) - m + n మరియు -k - n;
సి) a + 13 మరియు -13 + b; ఇ)m - n మరియు n - m.

1224. రెండు వ్యక్తీకరణల వ్యత్యాసాన్ని వ్రాసి దానిని సులభతరం చేయండి:

1226. సమస్యను పరిష్కరించడానికి సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి:

ఎ) ఒక షెల్ఫ్‌లో 42 పుస్తకాలు ఉన్నాయి, రెండో షెల్ఫ్‌లో 34 పుస్తకాలు ఉన్నాయి మరియు మొదటి షెల్ఫ్ నుండి చాలా పుస్తకాలు రెండవ షెల్ఫ్ నుండి తీయబడ్డాయి. ఆ తర్వాత, మొదటి షెల్ఫ్‌లో 12 పుస్తకాలు మిగిలి ఉన్నాయి. రెండవ షెల్ఫ్ నుండి ఎన్ని పుస్తకాలు తీసివేయబడ్డాయి?

బి) మొదటి తరగతిలో 42 మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు, మూడవ తరగతి కంటే రెండవ తరగతిలో 3 మంది విద్యార్థులు తక్కువ. ఈ మూడు తరగతుల్లో 125 మంది విద్యార్థులుంటే మూడో తరగతిలో ఎంత మంది విద్యార్థులు ఉన్నారు?

1227. వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్ధాన్ని కనుగొనండి:

1228. మౌఖికంగా లెక్కించు:

1229. కనుగొను అత్యధిక విలువవ్యక్తీకరణలు:

1230. ఒకవేళ 4 వరుస పూర్ణాంకాలని పేర్కొనండి:

ఎ) వాటిలో చిన్నది -12; సి) వాటిలో చిన్నది n;
బి) వాటిలో అతిపెద్దది -18; d) వాటిలో ఎక్కువ భాగం k కి సమానం.

పాఠం కంటెంట్ పాఠ్య గమనికలుసపోర్టింగ్ ఫ్రేమ్ లెసన్ ప్రెజెంటేషన్ యాక్సిలరేషన్ మెథడ్స్ ఇంటరాక్టివ్ టెక్నాలజీస్ సాధన పనులు మరియు వ్యాయామాలు స్వీయ-పరీక్ష వర్క్‌షాప్‌లు, శిక్షణలు, కేసులు, క్వెస్ట్‌లు హోంవర్క్ వివాదాస్పద సమస్యలు అలంకారిక ప్రశ్నలువిద్యార్థుల నుండి దృష్టాంతాలు ఆడియో, వీడియో క్లిప్‌లు మరియు మల్టీమీడియాఛాయాచిత్రాలు, చిత్రాలు, గ్రాఫిక్స్, పట్టికలు, రేఖాచిత్రాలు, హాస్యం, ఉపాఖ్యానాలు, జోకులు, కామిక్స్, ఉపమానాలు, సూక్తులు, క్రాస్‌వర్డ్‌లు, కోట్స్ యాడ్-ఆన్‌లు సారాంశాలుఆసక్తికరమైన క్రిబ్స్ పాఠ్యపుస్తకాల కోసం కథనాలు ఉపాయాలు ఇతర పదాల ప్రాథమిక మరియు అదనపు నిఘంటువు పాఠ్యపుస్తకాలు మరియు పాఠాలను మెరుగుపరచడంపాఠ్యపుస్తకంలోని లోపాలను సరిదిద్దడంపాఠ్యపుస్తకంలో ఒక భాగాన్ని నవీకరించడం, పాఠంలో ఆవిష్కరణ అంశాలు, పాత జ్ఞానాన్ని కొత్త వాటితో భర్తీ చేయడం ఉపాధ్యాయులకు మాత్రమే పరిపూర్ణ పాఠాలు క్యాలెండర్ ప్రణాళికఒక సంవత్సరం పాటు మార్గదర్శకాలుచర్చా కార్యక్రమాలు ఇంటిగ్రేటెడ్ లెసన్స్

ఇప్పుడు మనం కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణ సంఖ్య లేదా వ్యక్తీకరణతో గుణించబడే వ్యక్తీకరణలలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి వెళ్తాము. మైనస్ గుర్తుతో ముందు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి ఒక నియమాన్ని రూపొందిద్దాం: మైనస్ గుర్తుతో పాటు కుండలీకరణాలు విస్మరించబడ్డాయి మరియు కుండలీకరణాల్లోని అన్ని పదాల సంకేతాలు వ్యతిరేక వాటితో భర్తీ చేయబడతాయి.

ఒక రకమైన వ్యక్తీకరణ రూపాంతరం కుండలీకరణాల విస్తరణ. సంఖ్యా, సాహిత్య వ్యక్తీకరణలుమరియు వేరియబుల్స్‌తో వ్యక్తీకరణలను కుండలీకరణాలను ఉపయోగించి కంపోజ్ చేయవచ్చు, ఇది చర్యలు నిర్వహించబడే క్రమాన్ని సూచిస్తుంది, ప్రతికూల సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, మొదలైనవి. పైన వివరించిన వ్యక్తీకరణలలో, సంఖ్యలు మరియు వేరియబుల్‌లకు బదులుగా, ఏవైనా వ్యక్తీకరణలు ఉండవచ్చని అనుకుందాం.

మరియు బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు పరిష్కారాన్ని వ్రాయడం యొక్క విశేషాంశాలకు సంబంధించి మరో అంశానికి శ్రద్ధ చూపుదాం. మునుపటి పేరాలో, మేము ఓపెనింగ్ కుండలీకరణాలు అని పిలవబడే దానితో వ్యవహరించాము. దీన్ని చేయడానికి, బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలు ఉన్నాయి, వీటిని మేము ఇప్పుడు సమీక్షిస్తాము. ఈ నియమం వాస్తవం ద్వారా నిర్దేశించబడింది సానుకూల సంఖ్యలుకుండలీకరణాలు లేకుండా వ్రాయడం ఆచారం, ఈ సందర్భంలో కుండలీకరణాలు అనవసరం. (−3.7)−(-2)+4+(-9) అనే వ్యక్తీకరణను కుండలీకరణాలు లేకుండా −3.7+2+4−9గా వ్రాయవచ్చు.

చివరగా, నియమం యొక్క మూడవ భాగం కేవలం వ్యక్తీకరణలో ఎడమవైపు ప్రతికూల సంఖ్యలను వ్రాయడం యొక్క విశేషాంశాల కారణంగా ఉంటుంది (ప్రతికూల సంఖ్యలను వ్రాయడానికి బ్రాకెట్లలోని విభాగంలో మేము పేర్కొన్నాము). మీరు సంఖ్య, మైనస్ సంకేతాలు మరియు అనేక జతల కుండలీకరణాలతో రూపొందించబడిన వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కోవచ్చు. మీరు బ్రాకెట్లను తెరిస్తే, అంతర్గత నుండి బాహ్యంగా మారడం, అప్పుడు పరిష్కారం క్రింది విధంగా ఉంటుంది: −(-((-(5))))=-(-((-5)))=-(-(-5) ))=-( 5)=-5.

కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలి?

ఇక్కడ వివరణ ఉంది: −(-2 x) +2 x, మరియు ఈ వ్యక్తీకరణ మొదట వస్తుంది కాబట్టి, +2 xని 2 x, -(x2)=-x2, +(−1/ x)=−1 అని వ్రాయవచ్చు. /x మరియు −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. కుండలీకరణాలను తెరవడానికి వ్రాసిన నియమం యొక్క మొదటి భాగం ప్రతికూల సంఖ్యలను గుణించే నియమం నుండి నేరుగా అనుసరిస్తుంది. దాని రెండవ భాగం సంఖ్యలను గుణించడం కోసం నియమం యొక్క పరిణామం వివిధ సంకేతాలు. ఉత్పత్తుల్లో కుండలీకరణాలను తెరవడం మరియు విభిన్న సంకేతాలతో రెండు సంఖ్యల కోటీన్‌ల ఉదాహరణలకు వెళ్దాం.

బ్రాకెట్లను తెరవడం: నియమాలు, ఉదాహరణలు, పరిష్కారాలు.

పై నియమం ఈ చర్యల యొక్క మొత్తం గొలుసును పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది మరియు బ్రాకెట్లను తెరిచే ప్రక్రియను గణనీయంగా వేగవంతం చేస్తుంది. మొత్తాలు మరియు వ్యత్యాసాలు లేని మైనస్ గుర్తుతో ఉత్పత్తులు మరియు పాక్షిక వ్యక్తీకరణల వ్యక్తీకరణలలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి అదే నియమం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

ఈ నియమం యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణలను చూద్దాం. సంబంధిత నియమాన్ని ఇద్దాం. పైన మేము ఇప్పటికే ఫారమ్ −(a) మరియు −(-a) యొక్క వ్యక్తీకరణలను ఎదుర్కొన్నాము, ఇవి కుండలీకరణాలు లేకుండా వరుసగా −a మరియు a అని వ్రాయబడ్డాయి. ఉదాహరణకు, −(3)=3, మరియు. ఇవి పేర్కొన్న నియమం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భాలు. ఇప్పుడు కుండలీకరణాలు మొత్తాలు లేదా వ్యత్యాసాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు తెరవడానికి ఉదాహరణలను చూద్దాం. ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించే ఉదాహరణలను చూపిద్దాం. వ్యక్తీకరణ (b1+b2)ని bగా సూచిస్తాము, దాని తర్వాత మేము మునుపటి పేరాలోని వ్యక్తీకరణ ద్వారా బ్రాకెట్‌ను గుణించే నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము, మనకు (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ఉంటుంది ·b=(a1·b+a2·b)=a1·b+a2·b.

ఇండక్షన్ ద్వారా, ఈ స్టేట్‌మెంట్‌ను ప్రతి బ్రాకెట్‌లోని ఏకపక్ష పదాల సంఖ్యకు విస్తరించవచ్చు. నుండి నియమాలను ఉపయోగించి ఫలిత వ్యక్తీకరణలో బ్రాకెట్లను తెరవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది మునుపటి పేరాలు, ఫలితంగా మనకు 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3 వస్తుంది.

బ్రాకెట్ల ముందు (+) మరియు (-) ఉంటే కుండలీకరణాలను తెరవడం గణితంలో నియమం.

ఈ వ్యక్తీకరణ మూడు కారకాల (2+4), 3 మరియు (5+7·8) యొక్క ఉత్పత్తి. మీరు బ్రాకెట్లను వరుసగా తెరవాలి. ఇప్పుడు మనం బ్రాకెట్‌ను సంఖ్యతో గుణించడం కోసం నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము, మనకు ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) ఉంది. బ్రాకెట్లలో వ్రాయబడిన కొన్ని వ్యక్తీకరణలు కలిగిన డిగ్రీలు రకమైనఅనేక బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిగా భావించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ (a+b+c)2 రూపాంతరం చేద్దాం. మొదట, మేము దానిని రెండు బ్రాకెట్ల (a+b+c)·(a+b+c) ఉత్పత్తిగా వ్రాస్తాము, ఇప్పుడు మనం బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణిస్తాము, మనకు a·a+a·b+a·c+ వస్తుంది. b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

రెండు సంఖ్యల మొత్తాలను మరియు వ్యత్యాసాలను పెంచడం అని కూడా అనుకుందాం సహజ డిగ్రీన్యూటన్ యొక్క ద్విపద సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మంచిది. ఉదాహరణకు, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. ముందుగా విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడం తక్కువ అనుకూలమైనది కాదు, ఆపై ఉత్పత్తిలో కుండలీకరణాలను తెరవడానికి సంబంధిత నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను తెరవడం యొక్క క్రమాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది మిగిలి ఉంది. (−5)+3·(−2):(-4)−6·(−7) అనే వ్యక్తీకరణను తీసుకుందాం. మేము ఈ ఫలితాలను అసలు వ్యక్తీకరణకు ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . బ్రాకెట్‌లను తెరవడం పూర్తి చేయడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది, ఫలితంగా మనకు −5+3·2:4+6·7 ఉంటుంది. దీని అర్థం సమానత్వం యొక్క ఎడమ వైపు నుండి కుడికి కదులుతున్నప్పుడు, కుండలీకరణాలు తెరవడం జరిగింది.

మూడు ఉదాహరణలలో మేము కుండలీకరణాలను తొలగించామని గమనించండి. ముందుగా, 445 నుండి 889కి జోడించండి. ఈ చర్యను మానసికంగా నిర్వహించవచ్చు, కానీ ఇది చాలా సులభం కాదు. బ్రాకెట్లను తెరిచి, మార్చబడిన విధానం గణనలను గణనీయంగా సులభతరం చేస్తుందని చూద్దాం.

కుండలీకరణాలను మరొక స్థాయికి ఎలా విస్తరించాలి

ఉదాహరణ మరియు నియమాన్ని వివరిస్తుంది. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం: . మీరు 2 మరియు 5ని జోడించి, ఆపై ఫలిత సంఖ్యను తీసుకోవడం ద్వారా వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనవచ్చు వ్యతిరేక చిహ్నం. బ్రాకెట్లలో రెండు కాదు, మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పదాలు ఉంటే నియమం మారదు. వ్యాఖ్య. నిబంధనల ముందు మాత్రమే సంకేతాలు తిరగబడతాయి. బ్రాకెట్లను తెరవడానికి, ఈ విషయంలోమేము పంపిణీ ఆస్తిని గుర్తుంచుకోవాలి.

బ్రాకెట్లలో ఒకే సంఖ్యల కోసం

మీ తప్పు సంకేతాలలో కాదు, భిన్నాలను తప్పుగా నిర్వహించడంలో ఉందా? 6వ తరగతిలో మేము సానుకూలంగా కలుసుకున్నాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలు. మేము ఉదాహరణలు మరియు సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరిస్తాము?

బ్రాకెట్లలో ఎంత ఉంది? ఈ వ్యక్తీకరణల గురించి మీరు ఏమి చెప్పగలరు? వాస్తవానికి, మొదటి మరియు రెండవ ఉదాహరణల ఫలితం ఒకే విధంగా ఉంటుంది, అంటే వాటి మధ్య సమానమైన గుర్తును ఉంచవచ్చు: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. మేము కుండలీకరణాలతో ఏమి చేసాము?

బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలతో స్లయిడ్ 6 యొక్క ప్రదర్శన. అందువల్ల, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి మరియు వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి మాకు సహాయపడతాయి. తరువాత, విద్యార్థులు జంటగా పని చేయమని అడుగుతారు: బ్రాకెట్‌లను కలిగి ఉన్న వ్యక్తీకరణను బ్రాకెట్‌లు లేకుండా సంబంధిత వ్యక్తీకరణతో కనెక్ట్ చేయడానికి వారు బాణాలను ఉపయోగించాలి.

స్లయిడ్ 11 ఒకసారి సన్నీ సిటీలో, జ్నయ్కా మరియు డున్నో తమలో ఎవరు సమీకరణాన్ని సరిగ్గా పరిష్కరించారనే దాని గురించి వాదించారు. తరువాత, విద్యార్థులు బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలను ఉపయోగించి వారి స్వంత సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తారు. సమీకరణాలను పరిష్కరించడం” పాఠం లక్ష్యాలు: విద్యా (అంశంపై జ్ఞానాన్ని బలోపేతం చేయడం: “బ్రాకెట్లను తెరవడం.

పాఠం అంశం: “కుండలీకరణాలను తెరవడం. ఈ సందర్భంలో, మీరు ప్రతి పదాన్ని మొదటి బ్రాకెట్‌ల నుండి ప్రతి పదంతో రెండవ బ్రాకెట్‌ల నుండి గుణించి, ఆపై ఫలితాలను జోడించాలి. మొదట, మొదటి రెండు కారకాలు తీసుకోబడ్డాయి, మరొక బ్రాకెట్‌లో జతచేయబడతాయి మరియు ఈ బ్రాకెట్లలో కుండలీకరణాలు ఇప్పటికే తెలిసిన నియమాలలో ఒకదాని ప్రకారం తెరవబడతాయి.

rawalan.freezeet.ru

బ్రాకెట్లను తెరవడం: నియమాలు మరియు ఉదాహరణలు (గ్రేడ్ 7)

విలువలను లెక్కించేటప్పుడు చర్యల క్రమాన్ని మార్చడం కుండలీకరణాల యొక్క ప్రధాన విధి సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలు . ఉదాహరణకి, సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలో \(5·3+7\) ముందుగా గుణకారం లెక్కించబడుతుంది, ఆపై అదనంగా: \(5·3+7 =15+7=22\). కానీ వ్యక్తీకరణలో \(5·(3+7)\) బ్రాకెట్‌లలోని జోడింపు ముందుగా లెక్కించబడుతుంది, ఆపై మాత్రమే గుణకారం: \(5·(3+7)=5·10=50\).

అయితే, మేము వ్యవహరిస్తే బీజగణిత వ్యక్తీకరణ కలిగి ఉంది వేరియబుల్- ఉదాహరణకు, ఇలా: \(2(x-3)\) - అప్పుడు బ్రాకెట్‌లోని విలువను లెక్కించడం అసాధ్యం, వేరియబుల్ మార్గంలో ఉంటుంది. అందువలన, ఈ సందర్భంలో, తగిన నియమాలను ఉపయోగించి బ్రాకెట్లు "తెరవబడతాయి".

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు

బ్రాకెట్ ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంటే, అప్పుడు బ్రాకెట్ తీసివేయబడుతుంది, దానిలోని వ్యక్తీకరణ మారదు. వేరే పదాల్లో:

ఇక్కడ గణితశాస్త్రంలో, సంజ్ఞామానాలను తగ్గించడానికి, వ్యక్తీకరణలో మొదటగా కనిపిస్తే ప్లస్ గుర్తును వ్రాయకూడదనేది ఆచారం అని స్పష్టం చేయడం అవసరం. ఉదాహరణకు, మేము రెండు ధనాత్మక సంఖ్యలను జోడిస్తే, ఉదాహరణకు, ఏడు మరియు మూడు, అప్పుడు మేము \(+7+3\) కాదు, కేవలం \(7+3\) అని వ్రాస్తాము, ఏడు కూడా సానుకూల సంఖ్య అయినప్పటికీ . అదేవిధంగా, మీరు చూసినట్లయితే, ఉదాహరణకు, \((5+x)\) - అని తెలుసుకోండి బ్రాకెట్ ముందు ప్లస్ ఉంది, అది వ్రాయబడలేదు.

ఉదాహరణ . బ్రాకెట్‌ని తెరిచి, ఇలాంటి నిబంధనలను ఇవ్వండి: \((x-11)+(2+3x)\).
పరిష్కారం : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

బ్రాకెట్ ముందు మైనస్ గుర్తు ఉన్నట్లయితే, బ్రాకెట్ తొలగించబడినప్పుడు, దానిలోని వ్యక్తీకరణ యొక్క ప్రతి పదం చిహ్నాన్ని వ్యతిరేకానికి మారుస్తుంది:

బ్రాకెట్‌లో a ఉన్నప్పుడు, ప్లస్ గుర్తు (వారు ఇప్పుడే వ్రాయలేదు) ఉందని మరియు బ్రాకెట్‌ను తీసివేసిన తర్వాత, ఈ ప్లస్ మైనస్‌గా మార్చబడిందని ఇక్కడ స్పష్టం చేయడం అవసరం.

ఉదాహరణ : వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి \(2x-(-7+x)\).
పరిష్కారం : బ్రాకెట్ లోపల రెండు పదాలు ఉన్నాయి: \(-7\) మరియు \(x\), మరియు బ్రాకెట్ ముందు మైనస్ ఉంటుంది. దీని అర్థం సంకేతాలు మారుతాయి - మరియు ఏడు ఇప్పుడు ప్లస్ అవుతుంది మరియు x ఇప్పుడు మైనస్ అవుతుంది. బ్రాకెట్ తెరవండి మరియు మేము ఒకే విధమైన నిబంధనలను అందిస్తున్నాము .

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్‌ని తెరిచి, ఒకే విధమైన నిబంధనలను ఇవ్వండి \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
పరిష్కారం : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

బ్రాకెట్ ముందు కారకం ఉంటే, బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు దానితో గుణించబడుతుంది, అంటే:

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \(5(3-x)\).
పరిష్కారం : బ్రాకెట్‌లో మనకు \(3\) మరియు \(-x\) ఉన్నాయి మరియు బ్రాకెట్ ముందు ఐదు ఉంటుంది. బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి సభ్యుడు \(5\)తో గుణించబడుతుందని దీని అర్థం - నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను ఎంట్రీల పరిమాణాన్ని తగ్గించడానికి గణితంలో సంఖ్య మరియు కుండలీకరణాల మధ్య గుణకార చిహ్నం వ్రాయబడలేదు.

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \(-2(-3x+5)\).
పరిష్కారం : మునుపటి ఉదాహరణలో వలె, కుండలీకరణాల్లోని \(-3x\) మరియు \(5\) \(-2\)తో గుణించబడతాయి.

చివరి పరిస్థితిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మిగిలి ఉంది.

బ్రాకెట్‌ను బ్రాకెట్‌తో గుణించినప్పుడు, మొదటి బ్రాకెట్‌లోని ప్రతి పదం రెండవ పదం యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది:

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను విస్తరించు \((2-x)(3x-1)\).
పరిష్కారం : మేము బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తిని కలిగి ఉన్నాము మరియు పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి దాన్ని వెంటనే విస్తరించవచ్చు. కానీ గందరగోళం చెందకుండా ఉండటానికి, ప్రతిదీ దశలవారీగా చేద్దాం.
దశ 1. మొదటి బ్రాకెట్‌ను తీసివేసి, ప్రతి సభ్యుని రెండవ బ్రాకెట్‌తో గుణించండి:

దశ 2. పైన వివరించిన విధంగా బ్రాకెట్ల ఉత్పత్తులు మరియు కారకాన్ని విస్తరించండి:
- మొదటి విషయాలు మొదట ...

దశ 3. ఇప్పుడు మనం గుణించి, సారూప్య పదాలను ప్రదర్శిస్తాము:

అటువంటి వివరంగా అన్ని పరివర్తనలను వివరించడం అవసరం లేదు, మీరు వాటిని వెంటనే గుణించవచ్చు. కానీ మీరు కుండలీకరణాలను ఎలా తెరవాలో నేర్చుకుంటే, వివరంగా వ్రాయండి, తప్పులు చేసే అవకాశం తక్కువగా ఉంటుంది.

మొత్తం విభాగానికి గమనిక.నిజానికి, మీరు అన్ని నాలుగు నియమాలను గుర్తుంచుకోవాల్సిన అవసరం లేదు, మీరు ఒకటి మాత్రమే గుర్తుంచుకోవాలి, ఇది ఒకటి: \(c(a-b)=ca-cb\) . ఎందుకు? ఎందుకంటే మీరు cకి బదులుగా ఒకదానిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు \((a-b)=a-b\) నియమాన్ని పొందుతారు. మరియు మనం మైనస్ ఒకటిని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు \(-(a-b)=-a+b\) నియమం వస్తుంది. సరే, మీరు సికి బదులుగా మరొక బ్రాకెట్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మీరు చివరి నియమాన్ని పొందవచ్చు.

కుండలీకరణం లోపల కుండలీకరణం

కొన్నిసార్లు ఆచరణలో ఇతర బ్రాకెట్లలో గూడు కట్టిన బ్రాకెట్లతో సమస్యలు ఉన్నాయి. అటువంటి పనికి ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది: \(7x+2(5-(3x+y))\) వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయండి.

అటువంటి పనులను విజయవంతంగా పరిష్కరించడానికి, మీకు ఇది అవసరం:
- బ్రాకెట్ల గూడును జాగ్రత్తగా అర్థం చేసుకోండి - అందులో ఏది ఉంది;
- బ్రాకెట్‌లను వరుసగా తెరవండి, ఉదాహరణకు, లోపలి నుండి ప్రారంభించండి.

బ్రాకెట్లలో ఒకదాన్ని తెరిచేటప్పుడు ఇది ముఖ్యం మిగిలిన వ్యక్తీకరణలను తాకవద్దు, దానిని యథాతథంగా తిరిగి వ్రాయడం.
పైన వ్రాసిన పనిని ఉదాహరణగా చూద్దాం.

ఉదాహరణ. బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఒకే విధమైన పదాలను ఇవ్వండి \(7x+2(5-(3x+y))\).
పరిష్కారం:

లోపలి బ్రాకెట్ (లోపల ఉన్నది) తెరవడం ద్వారా పనిని ప్రారంభిద్దాం. దానిని విస్తరిస్తున్నప్పుడు, మేము దానికి నేరుగా సంబంధించిన వాటితో మాత్రమే వ్యవహరిస్తున్నాము - ఇది బ్రాకెట్ మరియు దాని ముందు ఉన్న మైనస్ (ఆకుపచ్చ రంగులో హైలైట్ చేయబడింది). మేము మిగతావన్నీ (హైలైట్ చేయబడలేదు) అదే విధంగా తిరిగి వ్రాస్తాము.

గణిత సమస్యలను ఆన్‌లైన్‌లో పరిష్కరించడం

ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్.
బహుపదిని సరళీకృతం చేయడం.
బహుపదిలను గుణించడం.

దీన్ని ఉపయోగించడం గణిత కార్యక్రమంమీరు బహుపదిని సులభతరం చేయవచ్చు.
ప్రోగ్రామ్ నడుస్తున్నప్పుడు:
- బహుపదిలను గుణిస్తుంది
- మోనోమియల్‌లను సంగ్రహిస్తుంది (సారూప్యమైన వాటిని ఇస్తుంది)
- కుండలీకరణాలను తెరుస్తుంది
- ఒక శక్తికి బహుపదిని పెంచుతుంది

బహుపది సరళీకరణ కార్యక్రమం సమస్యకు సమాధానాన్ని మాత్రమే ఇవ్వదు, అది ఇస్తుంది వివరణాత్మక పరిష్కారంవివరణలతో, అనగా. పరిష్కార ప్రక్రియను ప్రదర్శిస్తుంది, తద్వారా మీరు గణితం మరియు/లేదా బీజగణితంపై మీ పరిజ్ఞానాన్ని తనిఖీ చేయవచ్చు.

ఈ కార్యక్రమం విద్యార్థులకు ఉపయోగకరంగా ఉండవచ్చు మాధ్యమిక పాఠశాలలుతయారీలో పరీక్షలుమరియు పరీక్షలు, యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ముందు జ్ఞానాన్ని పరీక్షించేటప్పుడు, తల్లిదండ్రులు గణితం మరియు బీజగణితంలో అనేక సమస్యల పరిష్కారాన్ని నియంత్రించడానికి. లేదా మీరు ట్యూటర్‌ని నియమించుకోవడం లేదా కొత్త పాఠ్యపుస్తకాలను కొనుగోలు చేయడం చాలా ఖరీదైనదా? లేదా మీరు వీలైనంత త్వరగా పూర్తి చేయాలనుకుంటున్నారా? ఇంటి పనిగణితంలో లేదా బీజగణితంలో? ఈ సందర్భంలో, మీరు మా ప్రోగ్రామ్‌లను వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

ఈ విధంగా మీరు మీ స్వంత శిక్షణ మరియు/లేదా మీ శిక్షణను నిర్వహించవచ్చు. తమ్ముళ్లులేదా సోదరీమణులు, సమస్యలను పరిష్కరించే రంగంలో విద్య స్థాయి పెరుగుతుంది.

ఎందుకంటే సమస్యను పరిష్కరించడానికి చాలా మంది సిద్ధంగా ఉన్నారు, మీ అభ్యర్థన క్యూలో ఉంచబడింది.
కొన్ని సెకన్లలో పరిష్కారం క్రింద కనిపిస్తుంది.
దయచేసి ఒక్క క్షణం ఆగండి.

ఒక చిన్న సిద్ధాంతం.

మోనోమియల్ మరియు బహుపది ఉత్పత్తి. బహుపది భావన

బీజగణితంలో పరిగణించబడే వివిధ వ్యక్తీకరణలలో, మోనోమియల్స్ మొత్తాలు ముఖ్యమైన స్థానాన్ని ఆక్రమించాయి. అటువంటి వ్యక్తీకరణల ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి:

మోనోమియల్‌ల మొత్తాన్ని బహుపది అంటారు. బహుపదిలోని పదాలను బహుపది పదాలు అంటారు. మోనోమియల్‌లను బహుపదిలుగా కూడా వర్గీకరిస్తారు, ఒక సభ్యునితో కూడిన బహుపదిగా పరిగణించబడుతుంది.

మోనోమియల్స్ రూపంలో అన్ని నిబంధనలను సూచిస్తాము ప్రామాణిక వీక్షణ:

ఫలితంగా వచ్చే బహుపదిలో ఇలాంటి పదాలను అందిద్దాం:

ఫలితం బహుపది, వీటిలో అన్ని పదాలు ప్రామాణిక రూపం యొక్క మోనోమియల్‌లు మరియు వాటిలో సారూప్యమైనవి ఏవీ లేవు. ఇటువంటి బహుపదాలను అంటారు ప్రామాణిక రూపం యొక్క బహుపదాలు.

వెనుక బహుపది యొక్క డిగ్రీఒక ప్రామాణిక రూపం దాని సభ్యుల అధికారాలను అత్యధికంగా తీసుకుంటుంది. ఈ విధంగా, ద్విపదకు మూడవ డిగ్రీ ఉంటుంది మరియు ట్రినోమియల్‌కు రెండవది ఉంటుంది.

సాధారణంగా, ఒక వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉండే ప్రామాణిక ఫారమ్ బహుపది పదాలు ఘాతాంకముల అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. ఉదాహరణకి:

అనేక బహుపదిల మొత్తాన్ని ప్రామాణిక రూపంలోని బహుపదిగా మార్చవచ్చు (సరళీకృతం).

కొన్నిసార్లు బహుపది యొక్క నిబంధనలు సమూహాలుగా విభజించబడాలి, ప్రతి సమూహాన్ని కుండలీకరణాల్లో చేర్చాలి. కుండలీకరణాలను మూసివేయడం అనేది ఓపెనింగ్ కుండలీకరణాల యొక్క విలోమ పరివర్తన కాబట్టి, సూత్రీకరించడం సులభం బ్రాకెట్లను తెరవడానికి నియమాలు:

బ్రాకెట్ల ముందు “+” గుర్తు ఉంచబడితే, బ్రాకెట్లలో చేర్చబడిన నిబంధనలు అదే సంకేతాలతో వ్రాయబడతాయి.

బ్రాకెట్ల ముందు “-” గుర్తు ఉంచబడితే, బ్రాకెట్లలో జతచేయబడిన నిబంధనలు వ్యతిరేక సంకేతాలతో వ్రాయబడతాయి.

మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి యొక్క రూపాంతరం (సరళీకరణ).

గుణకారం యొక్క డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి, మీరు మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తిని బహుపదిలోకి మార్చవచ్చు (సులభతరం చేయవచ్చు). ఉదాహరణకి:

మోనోమియల్ మరియు బహుపది యొక్క ఉత్పత్తి ఈ మోనోమియల్ యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తానికి మరియు బహుపది యొక్క ప్రతి పదాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ ఫలితం సాధారణంగా నియమం వలె రూపొందించబడింది.

బహుపది ద్వారా మోనోమియల్‌ని గుణించాలంటే, మీరు ఆ మోనోమియల్‌ని బహుపది యొక్క ప్రతి నిబంధనలతో గుణించాలి.

మొత్తంతో గుణించడానికి మేము ఇప్పటికే ఈ నియమాన్ని చాలాసార్లు ఉపయోగించాము.

బహుపదాల ఉత్పత్తి. రెండు బహుపదాల ఉత్పత్తి యొక్క రూపాంతరం (సరళీకరణ).

సాధారణంగా, రెండు బహుపదిల ఉత్పత్తి ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదం మరియు మరొక పదం యొక్క ప్రతి పదం యొక్క మొత్తానికి సమానంగా సమానంగా ఉంటుంది.

సాధారణంగా కింది నియమం ఉపయోగించబడుతుంది.

బహుపదిని బహుపదితో గుణించడానికి, మీరు ఒక బహుపది యొక్క ప్రతి పదాన్ని మరొక పదం యొక్క ప్రతి పదంతో గుణించాలి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తులను జోడించాలి.

సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలు. చతురస్రాల మొత్తం, తేడాలు మరియు భేదం

లో కొన్ని వ్యక్తీకరణలతో బీజగణిత పరివర్తనలుఇతరులతో పోలిస్తే తరచుగా వ్యవహరించవలసి ఉంటుంది. బహుశా అత్యంత సాధారణ వ్యక్తీకరణలు u, అంటే మొత్తం యొక్క వర్గము, వ్యత్యాసం యొక్క వర్గము మరియు చతురస్రాల వ్యత్యాసం. ఈ వ్యక్తీకరణల పేర్లు అసంపూర్ణంగా ఉన్నట్లు మీరు గమనించారు, ఉదాహరణకు, ఇది మొత్తం యొక్క వర్గమే కాదు, a మరియు b మొత్తం యొక్క వర్గాన్ని సూచిస్తుంది. అయితే, a మరియు b మొత్తం యొక్క వర్గము చాలా తరచుగా జరగదు, a మరియు b అక్షరాలకు బదులుగా, ఇది వివిధ, కొన్నిసార్లు చాలా క్లిష్టమైన, వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉంటుంది.

వ్యక్తీకరణలను ప్రామాణిక రూపంలోని బహుపదాలుగా సులభంగా మార్చవచ్చు (సరళీకరించబడింది), మీరు బహుపదిలను గుణించేటప్పుడు ఇప్పటికే అలాంటి పనిని ఎదుర్కొన్నారు:

ఫలిత గుర్తింపులను గుర్తుంచుకోవడం మరియు ఇంటర్మీడియట్ లెక్కలు లేకుండా వాటిని వర్తింపజేయడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. సంక్షిప్త శబ్ద సూత్రీకరణలు దీనికి సహాయపడతాయి.

- మొత్తం యొక్క చదరపు మొత్తానికి సమానంచతురస్రాలు మరియు ఉత్పత్తిని రెట్టింపు చేయండి.

- వ్యత్యాసం యొక్క వర్గము డబుల్ ఉత్పత్తి లేకుండా చతురస్రాల మొత్తానికి సమానం.

- చతురస్రాల వ్యత్యాసం వ్యత్యాసం మరియు మొత్తానికి సంబంధించిన ఉత్పత్తికి సమానం.

ఈ మూడు గుర్తింపులు దాని ఎడమ-చేతి భాగాలను రూపాంతరాలలో కుడి-చేతితో భర్తీ చేయడానికి అనుమతిస్తాయి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా - కుడి-చేతి భాగాలను ఎడమ-చేతితో భర్తీ చేస్తాయి. అత్యంత క్లిష్టమైన విషయం ఏమిటంటే సంబంధిత వ్యక్తీకరణలను చూడటం మరియు వాటిలో a మరియు b వేరియబుల్స్ ఎలా భర్తీ చేయబడతాయో అర్థం చేసుకోవడం. సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించే అనేక ఉదాహరణలను చూద్దాం.

పుస్తకాలు (పాఠ్యపుస్తకాలు) యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామినేషన్ సారాంశాలు మరియు OGE పరీక్షలు ఆన్లైన్ గేమ్స్, పజిల్స్ గ్రాఫింగ్ ఫంక్షన్లు ఆర్థోగ్రాఫిక్ నిఘంటువురష్యన్ భాషా యువత యాస నిఘంటువు రష్యన్ పాఠశాలల కేటలాగ్ రష్యన్ పాఠశాలల కేటలాగ్ రష్యా విశ్వవిద్యాలయాల కేటలాగ్ టాస్క్‌ల జాబితా GCD మరియు LCMని కనుగొనడం బహుపదిని సులభతరం చేయడం (బహుపదిని గుణించడం) కాలమ్ గణనతో బహుపది ద్వారా బహుపదిని విభజించడం సంఖ్యా భిన్నాలుశాతాలతో కూడిన సమస్యలను పరిష్కరించడం సంక్లిష్ట సంఖ్యలు: 2 వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి మరియు భాగం సరళ సమీకరణాలుఇద్దరితో వేరియబుల్స్ సొల్యూషన్ వర్గ సమీకరణంద్విపదను వర్గీకరించడం మరియు దానిని కారకం చేయడం చతుర్భుజ త్రికోణముఅసమానతలను పరిష్కరించడం అసమానతల వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడం పాక్షిక సరళ ఫంక్షన్అంకగణితాన్ని పరిష్కరించడం మరియు రేఖాగణిత పురోగతిసాల్వింగ్ త్రికోణమితి, ఘాతాంక, సంవర్గమాన సమీకరణాలుపరిమితుల గణన, ఉత్పన్నం, టాంజెంట్ ఇంటిగ్రల్, యాంటీడెరివేటివ్ సొల్యూషన్త్రిభుజాలు వెక్టార్లతో చర్యల గణనలు లైన్లు మరియు విమానాల ప్రాంతంతో చర్యల గణనలు రేఖాగణిత ఆకారాలురేఖాగణిత ఆకృతుల చుట్టుకొలత వాల్యూమ్ రేఖాగణిత శరీరాలురేఖాగణిత ఘనపదార్థాల ఉపరితల వైశాల్యం
ట్రాఫిక్ సిట్యుయేషన్ కన్స్ట్రక్టర్
వాతావరణం - వార్తలు - జాతకాలు

www.mathsolution.ru

కుండలీకరణాలను విస్తరిస్తోంది

మేము బీజగణితం యొక్క ప్రాథమికాలను అధ్యయనం చేస్తూనే ఉన్నాము. ఈ పాఠంలో మనం వ్యక్తీకరణలలో కుండలీకరణాలను ఎలా విస్తరించాలో నేర్చుకుందాం. కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే వ్యక్తీకరణ నుండి కుండలీకరణాలను తీసివేయడం.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి, మీరు కేవలం రెండు నియమాలను గుర్తుంచుకోవాలి. సాధారణ అభ్యాసంతో, మీరు బ్రాకెట్లను తెరవవచ్చు కళ్ళు మూసుకున్నాడు, మరియు గుర్తుంచుకోవలసిన ఆ నియమాలను సురక్షితంగా మరచిపోవచ్చు.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం

కింది వ్యక్తీకరణను పరిగణించండి:

ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 2 . ఈ వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను తెరుద్దాం. కుండలీకరణాలను విస్తరించడం అంటే వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థాన్ని ప్రభావితం చేయకుండా వాటిని వదిలించుకోవడం. అంటే, కుండలీకరణాలను వదిలించుకున్న తర్వాత, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ 8+(−9+3) ఇప్పటికీ రెండు సమానంగా ఉండాలి.

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం క్రింది విధంగా ఉంది:

బ్రాకెట్లను తెరిచేటప్పుడు, బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉన్నట్లయితే, ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్లతో పాటు తొలగించబడుతుంది.

కాబట్టి, మేము దానిని వ్యక్తీకరణలో చూస్తాము 8+(−9+3) కుండలీకరణాల ముందు ప్లస్ గుర్తు ఉంది. కుండలీకరణాలతో పాటు ఈ ప్లస్‌ని తప్పక వదిలివేయాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, బ్రాకెట్లు వాటి ముందు ఉన్న ప్లస్‌తో పాటు అదృశ్యమవుతాయి. మరియు బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మార్పులు లేకుండా వ్రాయబడతాయి:

8−9+3 . ఈ వ్యక్తీకరణసమానం 2 , బ్రాకెట్‌లతో మునుపటి వ్యక్తీకరణ వలె, సమానంగా ఉంటుంది 2 .

8+(−9+3) మరియు 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 3 + (−1 − 4)

బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్‌లతో పాటు విస్మరించబడింది. బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మారవు:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2 + (−1)

IN ఈ ఉదాహరణలోకుండలీకరణాలను తెరవడం అనేది వ్యవకలనాన్ని అదనంగా భర్తీ చేసే ఒక రకమైన రివర్స్ ఆపరేషన్‌గా మారింది. దాని అర్థం ఏమిటి?

వ్యక్తీకరణలో 2−1 వ్యవకలనం జరుగుతుంది, కానీ అది అదనంగా భర్తీ చేయబడుతుంది. అప్పుడు మనకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది 2+(−1) . కానీ వ్యక్తీకరణలో ఉంటే 2+(−1) బ్రాకెట్లను తెరవండి, మీరు అసలైనదాన్ని పొందుతారు 2−1 .

అందువల్ల, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం కొన్ని రూపాంతరాల తర్వాత వ్యక్తీకరణలను సరళీకృతం చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు. అంటే, బ్రాకెట్లను తొలగించి, దానిని సులభతరం చేయండి.

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం 2a+a−5b+b .

ఈ వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి, సారూప్య పదాలను ఇవ్వవచ్చు. సారూప్య పదాలను తగ్గించడానికి, మీరు సారూప్య పదాల గుణకాలను జోడించాలి మరియు ఫలితాన్ని సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా గుణించాలి:

వ్యక్తీకరణ వచ్చింది 3a+(−4b). ఈ వ్యక్తీకరణలోని కుండలీకరణాలను తీసివేద్దాం. బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, కాబట్టి మేము బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి మొదటి నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాము, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు వచ్చే ప్లస్‌తో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేస్తాము:

కాబట్టి వ్యక్తీకరణ 2a+a−5b+bసులభతరం చేస్తుంది 3a−4b .

కొన్ని బ్రాకెట్లను తెరిచిన తర్వాత, మీరు మార్గంలో ఇతరులను ఎదుర్కోవచ్చు. మేము మొదటి వారికి అదే నియమాలను వర్తింపజేస్తాము. ఉదాహరణకు, కింది వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం:

మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవలసిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. ఈ సందర్భంలో, కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం వర్తిస్తుంది, అంటే, ఈ కుండలీకరణాలకు ముందు ఉన్న ప్లస్ గుర్తుతో పాటు కుండలీకరణాలను వదిలివేయడం:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 6+(−3)+(−2)

కుండలీకరణాలు ఉన్న రెండు ప్రదేశాలలో, వాటికి ముందు ప్లస్ ఉంటుంది. ఇక్కడ మళ్లీ కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమం వర్తిస్తుంది:

కొన్నిసార్లు కుండలీకరణాల్లో మొదటి పదం గుర్తు లేకుండా వ్రాయబడుతుంది. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో 1+(2+3−4) బ్రాకెట్లలో మొదటి పదం 2 గుర్తు లేకుండా వ్రాయబడింది. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, బ్రాకెట్లు మరియు బ్రాకెట్ల ముందు ఉన్న ప్లస్ తొలగించబడిన తర్వాత రెండింటి ముందు ఏ గుర్తు కనిపిస్తుంది? సమాధానం స్వయంగా సూచిస్తుంది - రెండింటికి ముందు ప్లస్ ఉంటుంది.

వాస్తవానికి, కుండలీకరణాల్లో ఉండటం కూడా రెండింటికి ముందు ప్లస్ ఉంది, కానీ అది వ్రాయబడనందున మేము దానిని చూడలేము. సానుకూల సంఖ్యల పూర్తి సంజ్ఞామానం ఎలా ఉంటుందో మేము ఇప్పటికే చెప్పాము +1, +2, +3. కానీ సంప్రదాయం ప్రకారం, ప్లస్‌లు వ్రాయబడవు, అందుకే మనకు తెలిసిన సానుకూల సంఖ్యలను మనం చూస్తాము 1, 2, 3 .

కాబట్టి, వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించడానికి 1+(2+3−4) , ఎప్పటిలాగే, మీరు ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేయాలి, అయితే బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న మొదటి పదాన్ని ప్లస్ గుర్తుతో వ్రాయండి:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −5 + (2 − 3)

బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, కాబట్టి బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి మేము మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు వచ్చే ప్లస్‌తో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేస్తాము. కానీ మొదటి పదం, మేము కుండలీకరణాల్లో ప్లస్ గుర్తుతో వ్రాస్తాము:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి (−5)

కుండలీకరణాల ముందు ప్లస్ ఉంది, కానీ దాని ముందు ఇతర సంఖ్యలు లేదా వ్యక్తీకరణలు లేనందున ఇది వ్రాయబడలేదు. కుండలీకరణాలను తెరవడం యొక్క మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా కుండలీకరణాలను తీసివేయడం మా పని, అంటే, ఈ ప్లస్‌తో పాటు కుండలీకరణాలను వదిలివేయడం (ఇది అదృశ్యంగా ఉన్నప్పటికీ)

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2a + (−6a + b)

బ్రాకెట్ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే ఈ ప్లస్ బ్రాకెట్‌లతో పాటు విస్మరించబడింది. బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మారకుండా వ్రాయబడతాయి:

2a + (−6a + b) = 2a -6a + b

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 5a + (−7b + 6c) + 3a + (-2d)

ఈ వ్యక్తీకరణలో మీరు కుండలీకరణాలను విస్తరించాల్సిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. రెండు విభాగాలలో బ్రాకెట్‌ల ముందు ప్లస్ ఉంది, అంటే బ్రాకెట్‌లతో పాటు ఈ ప్లస్ తొలగించబడింది. బ్రాకెట్లలో ఉన్నవి మారకుండా వ్రాయబడతాయి:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a -7b + 6c + 3a - 2d

కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమం

ఇప్పుడు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని చూద్దాం. కుండలీకరణాల ముందు మైనస్ ఉన్నప్పుడు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది.

బ్రాకెట్‌లకు ముందు మైనస్ ఉంటే, బ్రాకెట్‌లతో పాటు ఈ మైనస్ విస్మరించబడుతుంది, అయితే బ్రాకెట్‌లలో ఉన్న నిబంధనలు వాటి గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయి.

ఉదాహరణకు, క్రింది వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం

బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ ఉందని మనం చూస్తాము. దీని అర్థం మీరు రెండవ విస్తరణ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు మైనస్ గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేయండి. ఈ సందర్భంలో, బ్రాకెట్లలో ఉన్న నిబంధనలు వాటి గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తాయి:

మేము కుండలీకరణాలు లేకుండా వ్యక్తీకరణను పొందాము 5+2+3 . ఈ వ్యక్తీకరణ 10కి సమానం, బ్రాకెట్‌లతో మునుపటి వ్యక్తీకరణ 10కి సమానం.

అందువలన, వ్యక్తీకరణల మధ్య 5−(−2−3) మరియు 5+2+3 మీరు సమాన చిహ్నాన్ని ఉంచవచ్చు, ఎందుకంటే అవి ఒకే విలువకు సమానంగా ఉంటాయి:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 6 − (−2 − 5)

బ్రాకెట్‌లకు ముందు మైనస్ ఉంది, కాబట్టి బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి మేము రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము, అంటే, ఈ బ్రాకెట్‌ల ముందు వచ్చే మైనస్‌తో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేస్తాము. ఈ సందర్భంలో, మేము వ్యతిరేక సంకేతాలతో బ్రాకెట్లలో ఉన్న నిబంధనలను వ్రాస్తాము:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2 − (7 + 3)

బ్రాకెట్ల ముందు మైనస్ ఉంది, కాబట్టి మేము బ్రాకెట్లను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేస్తాము:

ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(−3 + 4)

ఉదాహరణ 5.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవలసిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. మొదటి సందర్భంలో, మీరు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి మరియు వ్యక్తీకరణ విషయానికి వస్తే +(−9−2) మీరు మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

ఉదాహరణ 6.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(-a - 1)

ఉదాహరణ 7.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −(4a + 3)

ఉదాహరణ 8.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి a − (4b + 3) + 15

ఉదాహరణ 9.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి 2a + (3b - b) - (3c + 5)

మీరు కుండలీకరణాలను తెరవవలసిన రెండు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. మొదటి సందర్భంలో, మీరు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి మొదటి నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి మరియు వ్యక్తీకరణ విషయానికి వస్తే −(3c+5)మీరు రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

ఉదాహరణ 10.వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరించండి −a − (-4a) + (-6b) - (-8c + 15)

మీరు బ్రాకెట్లను తెరవాల్సిన మూడు ప్రదేశాలు ఉన్నాయి. మొదట మీరు కుండలీకరణాలను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని వర్తింపజేయాలి, ఆపై మొదటిది, ఆపై రెండవది మళ్లీ:

−a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a - 6b + 8c - 15

బ్రాకెట్ ఓపెనింగ్ మెకానిజం

మేము ఇప్పుడు పరిశీలించిన కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలు గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టంపై ఆధారపడి ఉన్నాయి:

నిజానికి కుండలీకరణాలను తెరవడంప్రక్రియను ఎప్పుడు కాల్ చేయండి సాధారణ గుణకంకుండలీకరణాల్లోని ప్రతి పదంతో గుణించబడుతుంది. ఈ గుణకారం ఫలితంగా, బ్రాకెట్లు అదృశ్యమవుతాయి. ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలో కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

అందువల్ల, మీరు బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణ ద్వారా సంఖ్యను గుణించవలసి వస్తే (లేదా బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణను సంఖ్యతో గుణించాలి), మీరు చెప్పాలి బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం.

అయితే మేము ముందుగా పరిశీలించిన కుండలీకరణాలను తెరవడానికి నియమాలకు సంబంధించి గుణకారం యొక్క పంపిణీ చట్టం ఎలా ఉంది?

వాస్తవం ఏమిటంటే ఏదైనా కుండలీకరణాల ముందు ఒక సాధారణ అంశం ఉంటుంది. ఉదాహరణలో 3×(4+5)సాధారణ అంశం 3 . మరియు ఉదాహరణలో a(b+c)సాధారణ కారకం ఒక వేరియబుల్ a.

కుండలీకరణాల ముందు సంఖ్యలు లేదా వేరియబుల్స్ లేకపోతే, అప్పుడు సాధారణ అంశం 1 లేదా −1 , బ్రాకెట్ల ముందు ఏ సంకేతం ఉందో దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కుండలీకరణాల ముందు ప్లస్ ఉంటే, అప్పుడు సాధారణ అంశం 1 . కుండలీకరణాల ముందు మైనస్ ఉంటే, అప్పుడు సాధారణ అంశం −1 .

ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణలోని కుండలీకరణాలను విస్తరింపజేద్దాం −(3b−1). బ్రాకెట్‌ల ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంది, కాబట్టి మీరు బ్రాకెట్‌లను తెరవడానికి రెండవ నియమాన్ని ఉపయోగించాలి, అంటే బ్రాకెట్‌ల ముందు మైనస్ గుర్తుతో పాటు బ్రాకెట్‌లను వదిలివేయండి. మరియు బ్రాకెట్లలో ఉన్న వ్యక్తీకరణను వ్యతిరేక సంకేతాలతో వ్రాయండి:

మేము బ్రాకెట్లను విస్తరించే నియమాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను విస్తరించాము. కానీ ఇదే బ్రాకెట్లను గుణకారం యొక్క పంపిణీ నియమాన్ని ఉపయోగించి తెరవవచ్చు. ఇది చేయుటకు, ముందుగా వ్రాయబడని సాధారణ కారకం 1ని బ్రాకెట్ల ముందు వ్రాయండి:

బ్రాకెట్ల ముందు గతంలో ఉన్న మైనస్ గుర్తు ఈ యూనిట్‌ను సూచిస్తుంది. ఇప్పుడు మీరు గుణకారం యొక్క పంపిణీ నియమాన్ని ఉపయోగించి బ్రాకెట్లను తెరవవచ్చు. ఈ ప్రయోజనం కోసం సాధారణ అంశం −1 మీరు బ్రాకెట్లలోని ప్రతి పదం ద్వారా గుణించాలి మరియు ఫలితాలను జోడించాలి.

సౌలభ్యం కోసం, మేము కుండలీకరణాల్లోని వ్యత్యాసాన్ని మొత్తంతో భర్తీ చేస్తాము:

−1 (3b -1) = -1 (3b + (-1)) = -1 × 3b + (-1) × (-1) = -3b + 1

లో వలె చివరిసారిమేము వ్యక్తీకరణను పొందాము −3b+1. అటువంటి సాధారణ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి ఈసారి ఎక్కువ సమయం వెచ్చించబడిందని అందరూ అంగీకరిస్తారు. అందువల్ల, బ్రాకెట్లను తెరవడానికి రెడీమేడ్ నియమాలను ఉపయోగించడం తెలివైనది, ఈ పాఠంలో మేము చర్చించాము:

కానీ ఈ నియమాలు ఎలా పనిచేస్తాయో తెలుసుకోవడం బాధ కలిగించదు.

ఈ పాఠంలో మనం ఇంకో విషయం నేర్చుకున్నాం ఒకే విధమైన పరివర్తన. బ్రాకెట్‌లను తెరవడం, బ్రాకెట్‌ల నుండి జనరల్‌ను ఉంచడం మరియు సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురావడం వంటి వాటితో పాటు, మీరు పరిష్కరించాల్సిన సమస్యల పరిధిని కొద్దిగా విస్తరించవచ్చు. ఉదాహరణకి:

ఇక్కడ మీరు రెండు చర్యలను నిర్వహించాలి - మొదట బ్రాకెట్లను తెరిచి, ఆపై సారూప్య నిబంధనలను తీసుకురండి. కాబట్టి, క్రమంలో:

1) బ్రాకెట్లను తెరవండి:

2) మేము ఇలాంటి నిబంధనలను అందిస్తున్నాము:

ఫలిత వ్యక్తీకరణలో −10b+(-1)మీరు బ్రాకెట్లను విస్తరించవచ్చు:

ఉదాహరణ 2.కుండలీకరణాలను తెరిచి, కింది వ్యక్తీకరణలో సారూప్య పదాలను జోడించండి:

1) బ్రాకెట్లను తెరుద్దాం:

2) మనం ఇలాంటి నిబంధనలను అందజేద్దాం.ఈ సమయంలో, సమయం మరియు స్థలాన్ని ఆదా చేయడానికి, సాధారణ అక్షర భాగం ద్వారా గుణకాలు ఎలా గుణించబడతాయో మేము వ్రాయము.

ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయండి 8మీ+3మీమరియు దాని విలువను కనుగొనండి m=-4

1) ముందుగా, వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేద్దాం. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి 8మీ+3మీ, మీరు దానిలోని సాధారణ కారకాన్ని బయటకు తీయవచ్చు mబ్రాకెట్ల వెలుపల:

2) వ్యక్తీకరణ విలువను కనుగొనండి m(8+3)వద్ద m=-4. దీన్ని చేయడానికి, వ్యక్తీకరణలో m(8+3)చరరాశికి బదులుగా mసంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = -4 × 8 + (-4) × 3 = -32 + (-12) = -44