ఫంక్షన్ ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క లక్షణాలు

ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను నిర్మించేటప్పుడు, ఒక దశలో మేము ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు మరియు కుంభాకార విరామాలను నిర్ణయిస్తాము. ఈ డేటా, పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలతో కలిసి, అధ్యయనంలో ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను క్రమపద్ధతిలో సూచించడాన్ని సాధ్యం చేస్తుంది.

తదుపరి ప్రదర్శన మీరు కొంత ఆర్డర్ మరియు వివిధ రకాల వరకు చేయగలరని ఊహిస్తుంది.

పదార్థాన్ని అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిద్దాం అవసరమైన నిర్వచనాలుమరియు భావనలు. తరువాత, మేము ఒక నిర్దిష్ట విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క విలువ మరియు దాని కుంభాకార దిశ మధ్య కనెక్షన్‌ను వాయిస్ చేస్తాము. దీని తరువాత, మేము ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లను గుర్తించడానికి అనుమతించే పరిస్థితులకు వెళ్తాము. వచనం ప్రకారం మేము ఇస్తాము సాధారణ ఉదాహరణలువివరణాత్మక పరిష్కారాలతో.

పేజీ నావిగేషన్.

కుంభాకారము, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పుటాకారము, ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్.

నిర్వచనం.

కుంభాకార క్రిందికిఇంటర్వెల్ Xలో, దాని గ్రాఫ్ దాని టాంజెంట్ కంటే తక్కువ కాకుండా X విరామం యొక్క ఏ బిందువులోనైనా ఉన్నట్లయితే.

నిర్వచనం.

భేదం చేయాల్సిన ఫంక్షన్ అంటారు పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుందిఇంటర్వెల్ Xలో, దాని గ్రాఫ్ X ఇంటర్వెల్‌లో ఏ సమయంలోనైనా దానికి టాంజెంట్ కంటే ఎక్కువగా ఉండకపోతే.

పైకి కుంభాకార ఫంక్షన్ తరచుగా అంటారు కుంభాకార, మరియు కుంభాకార క్రిందికి - పుటాకార.

ఈ నిర్వచనాలను వివరించే డ్రాయింగ్‌ను చూడండి.

నిర్వచనం.

పాయింట్ అంటారు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ y=f(x) ఒక నిర్దిష్ట బిందువు వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉంటే (ఇది Oy అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది) మరియు పాయింట్ M యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం ఉంటే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకారం యొక్క వివిధ దిశలను కలిగి ఉంటుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఈ పాయింట్ వద్ద టాంజెంట్ ఉంటే మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకార దిశను మార్చి, దాని గుండా వెళితే, పాయింట్ Mని ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అంటారు.

అవసరమైతే, నాన్-వర్టికల్ మరియు వర్టికల్ టాంజెంట్ ఉనికి కోసం పరిస్థితులను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడానికి విభాగాన్ని చూడండి.

దిగువ బొమ్మ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలను చూపుతుంది (ఎరుపు చుక్కలతో గుర్తించబడింది). కొన్ని ఫంక్షన్‌లకు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు ఉండకపోవచ్చని, మరికొన్ని ఒకటి, అనేకం లేదా అనంతమైన ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కలిగి ఉండవచ్చని గమనించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క కుంభాకార విరామాలను కనుగొనడం.

మేము ఒక ఫంక్షన్ యొక్క కుంభాకార విరామాలను నిర్ణయించడానికి అనుమతించే సిద్ధాంతాన్ని రూపొందిద్దాం.

సిద్ధాంతం.

y=f(x) ఫంక్షన్ విరామం Xపై పరిమిత రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటే మరియు అసమానత కలిగి ఉంటే (), అప్పుడు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ X ద్వారా క్రిందికి (పైకి) మళ్లించబడిన కుంభాకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ఈ సిద్ధాంతం ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పుటాకార మరియు కుంభాకార విరామాలను కనుగొనడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది; మీరు అసమానతలను మాత్రమే పరిష్కరించాలి మరియు వరుసగా, అసలు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై మాత్రమే.

y=f(x) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన మరియు రెండవ ఉత్పన్నం లేని పాయింట్లు పుటాకార మరియు కుంభాకార విరామాలలో చేర్చబడతాయని గమనించాలి.

దీన్ని ఒక ఉదాహరణతో అర్థం చేసుకుందాం.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఉన్న విరామాలను కనుగొనండి ఒక కుంభాకారాన్ని పైకి మరియు ఒక కుంభాకారాన్ని క్రిందికి నిర్దేశిస్తుంది.

పరిష్కారం.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్ మొత్తం సెట్ వాస్తవ సంఖ్యలు.

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అసలు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌తో సమానంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, పుటాకార మరియు కుంభాకార విరామాలను తెలుసుకోవడానికి, దాన్ని పరిష్కరించడం మరియు తదనుగుణంగా సరిపోతుంది.

కాబట్టి, ఫంక్షన్ విరామంపై క్రిందికి కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు విరామంపై కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

కుంభాకార విరామంలో ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క భాగం నీలం రంగులో మరియు పుటాకార విరామంలో - ఎరుపు రంగులో చూపబడింది.

ఇప్పుడు రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌తో ఏకీభవించనప్పుడు ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, మేము ఇప్పటికే గుర్తించినట్లుగా, పరిమిత రెండవ ఉత్పన్నం లేని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ యొక్క పాయింట్లు కుంభాకార మరియు (లేదా) పుటాకార వ్యవధిలో చేర్చబడాలి.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార మరియు పుటాకార విరామాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌తో ప్రారంభిద్దాం:

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ సెట్ . మీరు చూడగలిగినట్లుగా, x=0 అసలు ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది, కానీ రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినది కాదు. ఈ పాయింట్ గురించి మర్చిపోవద్దు; ఇది కుంభాకార మరియు (లేదా) పుటాకార విరామంలో చేర్చబడాలి.

ఇప్పుడు మేము అసలు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై అసమానతలను పరిష్కరిస్తాము. దరఖాస్తు చేద్దాం. వ్యక్తీకరణ యొక్క న్యూమరేటర్ వద్ద సున్నాకి వెళుతుంది లేదా , హారం – x = 0 లేదా x = 1 వద్ద. మేము ఈ పాయింట్లను సంఖ్యా రేఖపై క్రమపద్ధతిలో ప్లాట్ చేస్తాము మరియు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో చేర్చబడిన ప్రతి అంతరాలలో వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని కనుగొంటాము (ఇది తక్కువ సంఖ్య రేఖపై షేడెడ్ ప్రాంతంగా చూపబడుతుంది). సానుకూల విలువ కోసం మేము ప్లస్ గుర్తును ఉంచుతాము, ప్రతికూల విలువ కోసం మేము మైనస్ గుర్తును ఉంచుతాము.

ఈ విధంగా,

మరియు

కాబట్టి, x=0 పాయింట్‌ని చేర్చడం ద్వారా, మనకు సమాధానం వస్తుంది.

వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక కుంభాకారాన్ని క్రిందికి మళ్ళించబడుతుంది - కుంభాకారం పైకి మళ్ళించబడింది.

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

కుంభాకార విరామంపై ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క భాగం నీలం రంగులో, పుటాకార వ్యవధిలో చిత్రీకరించబడింది - ఎరుపు రంగులో, నలుపు చుక్కల రేఖ నిలువు అసమానత.

విక్షేపం కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులు.

విక్షేపం కోసం అవసరమైన పరిస్థితి.

సూత్రీకరించుదాం విక్షేపం కోసం అవసరమైన పరిస్థితిఫంక్షన్ గ్రాఫిక్స్.

y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఒక బిందువు వద్ద విభక్తిని కలిగి ఉండనివ్వండి మరియు నిరంతర రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు సమానత్వం ఉంటుంది.

ఈ పరిస్థితి నుండి, ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం అదృశ్యమయ్యే వాటిలో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్‌లను వెతకాలి. కానీ, ఈ పరిస్థితి సరిపోదు, అంటే, రెండవ ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానమైన అన్ని విలువలు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్ కాదు.

ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క నిర్వచనానికి టాంజెంట్ లైన్ లేదా నిలువుగా ఉండే ఉనికి అవసరమని కూడా గమనించాలి. దీని అర్థం ఏమిటి? మరియు దీనర్థం ఈ క్రింది వాటిని సూచిస్తుంది: ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి ప్రతిదీ కావచ్చు మరియు . ఇవి సాధారణంగా మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క హారం అదృశ్యమయ్యే పాయింట్లు.

విక్షేపం కోసం మొదటి తగినంత షరతు.

ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్ కనుగొనబడిన తర్వాత, మీరు ఉపయోగించాలి విక్షేపం కోసం మొదటి తగినంత షరతుఫంక్షన్ గ్రాఫిక్స్.

ఫంక్షన్ y=f(x) పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి, దాని వద్ద టాంజెంట్ (బహుశా నిలువుగా) ఉండనివ్వండి మరియు ఈ ఫంక్షన్ పాయింట్ యొక్క కొంత పొరుగున రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి. అప్పుడు, ఈ పొరుగు ప్రాంతంలో ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉంటే, రెండవ ఉత్పన్నం కలిగి ఉంటుంది వివిధ సంకేతాలు, అప్పుడు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మొదటి తగినంత షరతుకు పాయింట్ వద్ద రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క ఉనికి అవసరం లేదు, కానీ పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో దాని ఉనికి అవసరం.

ఇప్పుడు మొత్తం సమాచారాన్ని అల్గోరిథం రూపంలో సంగ్రహిద్దాం.

ఫంక్షన్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కనుగొనడానికి అల్గారిథమ్.

మేము ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ (లేదా మరియు ) మరియు రెండవ ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతాన్ని దాటడం ద్వారా కనుగొనండి. అటువంటి విలువలు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల యొక్క అబ్సిస్సాగా ఉంటాయి మరియు సంబంధిత పాయింట్లు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లుగా ఉంటాయి.

స్పష్టీకరణ కోసం ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కనుగొనే రెండు ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకారం మరియు పుటాకారత యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు మరియు విరామాలను కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్.

మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ కూడా వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్, కాబట్టి సమానతలు మరియు దేనికోసం నెరవేరలేదు.

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

ఆర్గ్యుమెంట్ x రెండవ ఉత్పన్నం ఏ విలువలతో సున్నాకి వెళ్తుందో తెలుసుకుందాం:

అందువలన, సాధ్యమయ్యే ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్ x=-2 మరియు x=3.

ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ యొక్క తగినంత సంకేతాన్ని ఉపయోగించి, ఈ పాయింట్‌లలో రెండవ డెరివేటివ్ మార్పుల సంకేతం ఇప్పుడు తనిఖీ చేయవలసి ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, సంఖ్య అక్షంపై x=-2 మరియు x=3 పాయింట్లను ప్లాట్ చేయండి మరియు, సాధారణ విరామ పద్ధతి, మేము ప్రతి విరామంలో రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను ఉంచుతాము. ప్రతి విరామం కింద, ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార దిశ ఆర్క్‌లతో క్రమపద్ధతిలో చూపబడుతుంది.

రెండవ ఉత్పన్నం చిహ్నాన్ని ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి మారుస్తుంది, x=-2 పాయింట్ ద్వారా ఎడమ నుండి కుడికి వెళుతుంది మరియు గుర్తును మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి మారుస్తుంది, x=3 గుండా వెళుతుంది. కాబట్టి, x=-2 మరియు x=3 రెండూ ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ల అబ్సిసాస్‌లు. అవి గ్రాఫ్ పాయింట్లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు .

సంఖ్య రేఖను మరియు దాని వ్యవధిలో రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను మరొకసారి పరిశీలించి, కుంభాకారం మరియు పుటాకార విరామాల గురించి మనం తీర్మానాలు చేయవచ్చు. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ విరామంపై కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు విరామాలపై పుటాకారంగా ఉంటుంది మరియు .

గ్రాఫిక్ ఇలస్ట్రేషన్.

కుంభాకార విరామంపై ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క భాగం నీలం రంగులో, పుటాకార విరామంలో - ఎరుపు రంగులో చూపబడింది మరియు ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు నల్ల చుక్కలుగా చూపబడతాయి.

ఉదాహరణ.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాను కనుగొనండి .

పరిష్కారం.

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్.

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి.

మొదటి ఉత్పన్నం, అసలు ఫంక్షన్ వలె కాకుండా, x=3 వద్ద నిర్వచించబడలేదు. కానీ మరియు . కాబట్టి, abscissa x=3 పాయింట్ వద్ద అసలు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు నిలువు టాంజెంట్ ఉంటుంది. అందువలన, x=3 అనేది ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా కావచ్చు.

మేము రెండవ ఉత్పన్నం, దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మరియు అది అదృశ్యమయ్యే పాయింట్లను కనుగొంటాము:

మేము ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ల యొక్క మరో రెండు అబ్సిసాస్‌లను పొందాము. మేము మూడు పాయింట్లను సంఖ్య రేఖపై గుర్తించాము మరియు ఫలిత విరామాలలో ప్రతి రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయిస్తాము.

ప్రతి పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు రెండవ ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం, కాబట్టి, అవన్నీ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ వై=f(x)అని పిలిచారు కుంభాకారవిరామంలో (ఎ; బి), ఈ విరామంలో దాని టాంజెంట్లలో దేనికైనా దిగువన ఉన్నట్లయితే.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ వై=f(x)అని పిలిచారు పుటాకారవిరామంలో (ఎ; బి), ఈ విరామంలో దాని టాంజెంట్లలో ఏదైనా పైన అది ఉన్నట్లయితే.

ఫిగర్ కుంభాకారంగా ఉండే వక్రరేఖను చూపుతుంది (ఎ; బి)మరియు పుటాకారము (బి; సి).

ఉదాహరణలు.

ఇచ్చిన విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకారంగా లేదా పుటాకారంగా ఉంటుందో లేదో నిర్ణయించడానికి మాకు తగిన ప్రమాణాన్ని పరిశీలిద్దాం.

సిద్ధాంతం. వీలు వై=f(x)ద్వారా వేరు చేయవచ్చు (ఎ; బి). విరామం యొక్క అన్ని పాయింట్ల వద్ద ఉంటే (ఎ; బి)ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం వై = f(x)ప్రతికూల, అనగా. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – పుటాకార.

రుజువు. అని ఖచ్చితంగా అనుకుందాం f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

గ్రాఫ్‌లోని ఫంక్షన్‌లను తీసుకుందాం y = f(x)ఏకపక్ష పాయింట్ M0 abscissa తో x 0 Î ( a; బి) మరియు పాయింట్ ద్వారా గీయండి M0టాంజెంట్. ఆమె సమీకరణం. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఆన్‌లో ఉందని మనం తప్పక చూపించాలి (ఎ; బి)ఈ టాంజెంట్ క్రింద ఉంది, అనగా. అదే విలువ వద్ద xవక్రరేఖ యొక్క ఆర్డినేట్ y = f(x)టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్ కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, వక్రరేఖ యొక్క సమీకరణం y = f(x). అబ్సిస్సాకు సంబంధించిన టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ను సూచిస్తాము x. అప్పుడు . పర్యవసానంగా, అదే విలువకు వక్రరేఖ మరియు టాంజెంట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం xరెడీ .

తేడా f(x) – f(x 0)లాగ్రాంజ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం రూపాంతరం చెందుతుంది, ఎక్కడ సిమధ్య xమరియు x 0.

ఈ విధంగా,

మేము మళ్లీ చతురస్రాకార బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణకు Lagrange సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేస్తాము: , ఎక్కడ c 1మధ్య c 0మరియు x 0. సిద్ధాంతం యొక్క షరతుల ప్రకారం f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

అందువలన, వక్రరేఖపై ఏదైనా బిందువు అన్ని విలువలకు వక్రరేఖకు టాంజెంట్ క్రింద ఉంటుంది xమరియు x 0 Î ( a; బి), అంటే వక్రత కుంభాకారంగా ఉంటుంది. సిద్ధాంతం యొక్క రెండవ భాగం ఇదే విధంగా నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు.

గ్రాఫ్ పాయింట్ నిరంతర ఫంక్షన్, పుటాకార భాగం నుండి దాని కుంభాకార భాగాన్ని వేరు చేయడం, అంటారు ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్.

సహజంగానే, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ వద్ద, టాంజెంట్, అది ఉనికిలో ఉన్నట్లయితే, వక్రరేఖను కలుస్తుంది, ఎందుకంటే ఈ బిందువు యొక్క ఒక వైపున వక్రరేఖ టాంజెంట్ క్రింద ఉంటుంది మరియు మరొక వైపు - దాని పైన ఉంటుంది.

వాస్తవం కోసం తగిన పరిస్థితులను నిర్ధారిద్దాం ఇచ్చిన పాయింట్వక్రరేఖ అనేది ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్.

సిద్ధాంతం. వక్రరేఖను సమీకరణం ద్వారా నిర్వచించనివ్వండి y = f(x). ఉంటే f ""(x 0) = 0 లేదా f ""(x 0) విలువ గుండా వెళుతున్నప్పుడు కూడా ఉనికిలో లేదు x = x 0ఉత్పన్నం f ""(x) గుర్తును మారుస్తుంది, ఆపై అబ్సిస్సాతో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లోని పాయింట్ x = x 0ఒక ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంది.

రుజువు. వీలు f ""(x) < 0 при x < x 0మరియు f ""(x) > 0 వద్ద x > x 0. అప్పుడు వద్ద x < x 0వక్రరేఖ కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు ఎప్పుడు x > x 0- పుటాకార. అందువలన, పాయింట్ ఎ, abscissa తో, వంపు మీద పడి x 0ఒక ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంది. రెండవ కేసును అదేవిధంగా పరిగణించవచ్చు, ఎప్పుడు f ""(x) > 0 వద్ద x < x 0మరియు f ""(x) < 0 при x > x 0.

అందువల్ల, రెండవ ఉత్పన్నం అదృశ్యమయ్యే లేదా ఉనికిలో లేని పాయింట్ల మధ్య మాత్రమే ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను వెతకాలి.

ఉదాహరణలు.ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లను కనుగొని, కుంభాకార మరియు వక్రత యొక్క విరామాలను నిర్ణయించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క లక్షణాలు

ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, దాని గ్రాఫ్ యొక్క ఆకారాన్ని మూలం నుండి గ్రాఫ్ పాయింట్ యొక్క అపరిమిత దూరంలో ఏర్పాటు చేయడం ముఖ్యం.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, దాని వేరియబుల్ పాయింట్ అనంతానికి తీసివేయబడినప్పుడు, నిరవధికంగా ఒక నిర్దిష్ట సరళ రేఖకు చేరుకున్నప్పుడు ప్రత్యేక ఆసక్తి ఉంది.

సరళ రేఖ అంటారు లక్షణం లేనిఫంక్షన్ గ్రాఫిక్స్ వై = f(x), వేరియబుల్ పాయింట్ నుండి దూరం ఉంటే ఎంపాయింట్‌ని తీసివేసేటప్పుడు ఈ లైన్‌కి గ్రాఫిక్స్ ఎంఅనంతం సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, అనగా. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లోని ఒక బిందువు, అది అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది కాబట్టి, నిరవధికంగా అసింప్టోట్‌ను చేరుకోవాలి.

ఒక వక్రత దాని యొక్క ఒక వైపున లేదా దానితో పాటు ఉండిపోయినప్పుడు దాని లక్షణాన్ని చేరుకోగలదు వివిధ వైపులా, అనంతమైన సెట్ఒకసారి అసింప్టోట్‌ను దాటడం మరియు ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు వెళ్లడం.

మేము పాయింట్ నుండి దూరాన్ని d ద్వారా సూచిస్తే ఎంఆసింప్టోట్‌కి వక్రంగా ఉంటుంది, అప్పుడు పాయింట్ దూరంగా కదులుతున్నప్పుడు d సున్నాకి వస్తుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది ఎంఅనంతం వరకు.

మేము నిలువు మరియు ఏటవాలు అసమానతల మధ్య మరింత తేడాను చూపుతాము.

నిలువు అసమానతలు

వద్ద లెట్ x→ x 0ఏ వైపు ఫంక్షన్ నుండి వై = f(x)సంపూర్ణ విలువలో అపరిమితంగా పెరుగుతుంది, అనగా. లేదా లేదా . అప్పుడు అసింప్టోట్ యొక్క నిర్వచనం నుండి అది సరళ రేఖను అనుసరిస్తుంది x = x 0అనేది ఒక లక్షణం. లైన్ అయితే వ్యతిరేకం కూడా స్పష్టంగా ఉంటుంది x = x 0ఒక లక్షణం, అనగా. .

అందువలన, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క నిలువు లక్షణం y = f(x)ఉంటే సరళ రేఖ అంటారు f(x)కనీసం ఒక షరతు కింద → ∞ x→ x 0- 0 లేదా x → x 0 + 0, x = x 0

అందువల్ల, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క నిలువు అసమానతలను కనుగొనడానికి వై = f(x)ఆ విలువలను కనుగొనాలి x = x 0, దీనిలో ఫంక్షన్ అనంతానికి వెళుతుంది (అనంతమైన నిలిపివేతకు గురవుతుంది). అప్పుడు నిలువు అసిప్టోట్ సమీకరణాన్ని కలిగి ఉంటుంది x = x 0.

ఉదాహరణలు.

స్లాంట్ అసింప్టోట్స్

అసింప్టోట్ సరళ రేఖ కాబట్టి, వక్రరేఖ అయితే వై = f(x)వాలుగా ఉండే లక్షణం కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు దాని సమీకరణం ఉంటుంది వై = kx + బి. గుణకాలను కనుగొనడం మా పని కెమరియు బి.

సిద్ధాంతం. నేరుగా వై = kx + బివద్ద వాలుగా ఉండే లక్షణంగా పనిచేస్తుంది xఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కోసం → +∞ వై = f(x)అప్పుడు మరియు ఎప్పుడు మాత్రమే . ఇదే విధమైన ప్రకటన నిజం x → –∞.

రుజువు. వీలు ఎంపీ- విభాగం యొక్క పొడవు, దూరానికి సమానంపాయింట్ నుండి ఎంలక్షణరహితంగా. షరతు ప్రకారం. అక్షానికి అసింప్టోట్ యొక్క వంపు కోణాన్ని φ ద్వారా సూచిస్తాము ఎద్దు. అప్పుడు నుండి ΔMNPదానిని అనుసరిస్తుంది. φ స్థిరమైన కోణం కనుక (φ ≠ π/2), అప్పుడు , కానీ

మేము ఒక ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేసినప్పుడు, కుంభాకార విరామాలు మరియు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను గుర్తించడం చాలా ముఖ్యం. గ్రాఫికల్ రూపంలో ఫంక్షన్‌ను స్పష్టంగా సూచించడానికి, తగ్గుదల మరియు పెరుగుదల యొక్క విరామాలతో పాటు మనకు అవి అవసరం.

ఈ అంశాన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఏమిటి మరియు దానిని కొంత క్రమంలో ఎలా మూల్యాంకనం చేయాలి, అలాగే పరిష్కరించగల సామర్థ్యం అవసరం. వివిధ రకములుఅసమానతలు

వ్యాసం ప్రారంభంలో, ప్రాథమిక అంశాలు నిర్వచించబడ్డాయి. అప్పుడు మేము కుంభాకార దిశ మరియు ఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క విలువ మధ్య సంబంధం ఏమిటో చూపుతాము. తరువాత, గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లను నిర్ణయించగల పరిస్థితులను మేము సూచిస్తాము. అన్ని వాదనలు సమస్య పరిష్కారాల ఉదాహరణలతో వివరించబడతాయి.

Yandex.RTB R-A-339285-1 నిర్వచనం 1

ఈ విరామంలో ఏ సమయంలోనైనా దాని గ్రాఫ్ దానికి టాంజెంట్ కంటే తక్కువ కాకుండా ఉన్న సందర్భంలో నిర్దిష్ట విరామంపై క్రిందికి దిశలో.

నిర్వచనం 2

వేరు చేయవలసిన ఫంక్షన్ కుంభాకారంగా ఉంటుందిఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఈ విరామంలో ఏ సమయంలోనైనా దానికి టాంజెంట్ కంటే ఎక్కువగా లేనట్లయితే, నిర్దిష్ట వ్యవధిలో పైకి.

క్రిందికి కుంభాకార ఫంక్షన్‌ను పుటాకార ఫంక్షన్ అని కూడా పిలుస్తారు. రెండు నిర్వచనాలు దిగువ గ్రాఫ్‌లో స్పష్టంగా చూపబడ్డాయి:

నిర్వచనం 3

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్– ఇది పాయింట్ M (x 0 ; f (x 0)), దీనిలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఉంటుంది, పాయింట్ x 0 సమీపంలో ఒక ఉత్పన్నం ఉనికికి లోబడి ఉంటుంది, ఇక్కడ ఎడమ నుండి మరియు కుడి వైపుఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకారం యొక్క వివిధ దిశలను తీసుకుంటుంది.

సరళంగా చెప్పాలంటే, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అనేది గ్రాఫ్‌లో టాంజెంట్ ఉన్న ప్రదేశం, మరియు ఈ ప్రదేశం గుండా వెళుతున్నప్పుడు గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార దిశ కుంభాకార దిశను మారుస్తుంది. ఏ పరిస్థితులలో నిలువు మరియు నాన్-వర్టికల్ టాంజెంట్ ఉనికి సాధ్యమో మీకు గుర్తులేకపోతే, ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క టాంజెంట్‌పై విభాగాన్ని పునరావృతం చేయాలని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము.

ఎరుపు రంగులో హైలైట్ చేయబడిన అనేక ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ క్రింద ఉంది. ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ల ఉనికి తప్పనిసరి కాదని స్పష్టం చేద్దాం. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఒకటి, రెండు, అనేక, అనంతమైన అనేక లేదా ఏదీ ఉండకపోవచ్చు.

ఈ విభాగంలో, మేము ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో కుంభాకార విరామాలను నిర్ణయించగల సిద్ధాంతం గురించి మాట్లాడుతాము.

నిర్వచనం 4

సంబంధిత ఫంక్షన్ y = f (x) పేర్కొన్న విరామం xపై రెండవ పరిమిత ఉత్పన్నం కలిగి ఉంటే, f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f) ఉంటే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకారంగా ఉంటుంది. "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) నిజం అవుతుంది.

ఉపయోగించి ఈ సిద్ధాంతం, మీరు ఫంక్షన్ యొక్క ఏదైనా గ్రాఫ్‌లో పుటాకార మరియు కుంభాకార విరామాలను కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు సంబంధిత ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో f "" (x) ≥ 0 మరియు f "" (x) ≤ 0 అసమానతలను పరిష్కరించాలి.

రెండవ ఉత్పన్నం లేని పాయింట్లు, కానీ y = f (x) ఫంక్షన్ నిర్వచించబడినవి, కుంభాకార మరియు పుటాకార విరామాలలో చేర్చబడతాయని మేము స్పష్టం చేస్తాము.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం నిర్దిష్ట పనిఈ సిద్ధాంతాన్ని సరిగ్గా ఎలా అన్వయించాలి.

ఉదాహరణ 1

పరిస్థితి: y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. దాని గ్రాఫ్ కుంభాకారం మరియు పుటాకారాన్ని ఏ వ్యవధిలో కలిగి ఉంటుందో నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్. రెండవ ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌తో సమానంగా ఉన్నట్లు మేము చూస్తాము. దీని అర్థం కుంభాకార విరామాలను గుర్తించడానికి, మనం f "" (x) ≥ 0 మరియు f "" (x) అసమానతలను పరిష్కరించాలి ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

మేము ఆ షెడ్యూల్‌ని పొందాము ఇచ్చిన ఫంక్షన్సెగ్మెంట్లో ఒక పుటాకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది [2; + ∞) మరియు విభాగంలో కుంభాకారం (- ∞; 2 ] .

స్పష్టత కోసం, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయండి మరియు కుంభాకార భాగాన్ని నీలం రంగులో మరియు పుటాకార భాగాన్ని ఎరుపు రంగులో గుర్తించండి.

సమాధానం:ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ సెగ్మెంట్లో ఒక పుటాకారాన్ని కలిగి ఉంటుంది [2; + ∞) మరియు విభాగంలో కుంభాకారం (- ∞; 2 ] .

రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌తో ఏకీభవించకపోతే ఏమి చేయాలి? ఇక్కడ పైన చేసిన వ్యాఖ్య మాకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: పుటాకార మరియు కుంభాకార విభాగాలలో పరిమిత రెండవ ఉత్పన్నం లేని పాయింట్లను కూడా మేము చేర్చుతాము.

ఉదాహరణ 2

పరిస్థితి: y = 8 x x - 1 ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. దాని గ్రాఫ్ ఏ విరామాలలో పుటాకారంగా ఉంటుందో మరియు అది కుంభాకారంగా ఉంటుందో నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

ముందుగా, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను తెలుసుకుందాం.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

ఇప్పుడు మనం రెండవ ఉత్పన్నాన్ని లెక్కిస్తాము:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . సున్నాకి సమానమైన x అసలు ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌కు చెందుతుందని మేము చూస్తాము, కానీ రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క డొమైన్‌కు కాదు. ఈ పాయింట్ తప్పనిసరిగా పుటాకార లేదా కుంభాకార విభాగంలో చేర్చబడాలి.

దీని తర్వాత, మేము ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో f "" (x) ≥ 0 మరియు f "" (x) ≤ 0 అసమానతలను పరిష్కరించాలి. దీని కోసం మేము విరామ పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము: x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 లేదా x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 న్యూమరేటర్ 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 తో 3 · x - 1 3 0 అవుతుంది, మరియు హారం x వద్ద 0 అవుతుంది, సున్నాకి సమానంలేదా యూనిట్.

గ్రాఫ్‌లో ఫలిత పాయింట్లను ప్లాట్ చేద్దాం మరియు అసలు ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో చేర్చబడే అన్ని విరామాలలో వ్యక్తీకరణ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం. ఈ ప్రాంతం గ్రాఫ్‌లో షేడింగ్ ద్వారా సూచించబడుతుంది. విలువ సానుకూలంగా ఉంటే, మేము విరామాన్ని ప్లస్‌తో, ప్రతికూలంగా ఉంటే, మైనస్‌తో గుర్తు చేస్తాము.

అందుకే,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , మరియు f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

మేము మునుపు గుర్తించిన పాయింట్ x = 0ని చేర్చాము మరియు కావలసిన సమాధానాన్ని పొందుతాము. అసలు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ 0 వద్ద కుంభాకారంగా క్రిందికి ఉంటుంది; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , మరియు పైకి – x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

కుంభాకార భాగాన్ని నీలం రంగులో మరియు పుటాకార భాగాన్ని ఎరుపు రంగులో మార్కింగ్ చేస్తూ గ్రాఫ్‌ను గీద్దాం. నిలువు అసిప్టోట్నల్ల చుక్కల గీతతో గుర్తించబడింది.

సమాధానం:అసలు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ 0 వద్ద కుంభాకారంగా క్రిందికి ఉంటుంది; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , మరియు పైకి – x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ కోసం షరతులు

ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ కోసం అవసరమైన పరిస్థితిని రూపొందించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం.

నిర్వచనం 5

మనకు y = f (x) ఫంక్షన్ ఉందని అనుకుందాం, దాని గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంటుంది. x = x 0 వద్ద ఇది నిరంతర రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి సమానత్వం f "" (x 0) = 0 కలిగి ఉంటుంది.

పరిశీలిస్తున్నారు ఈ పరిస్థితి, రెండవ ఉత్పన్నం 0కి మారే వాటిలో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల కోసం మనం వెతకాలి. ఈ పరిస్థితి సరిపోదు: అటువంటి అన్ని పాయింట్లు మాకు సరిపోవు.

ప్రకారం, గమనించండి సాధారణ నిర్వచనం, మనకు వర్టికల్ లేదా నాన్-వర్టికల్ టాంజెంట్ లైన్ అవసరం. ఆచరణలో, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కనుగొనడానికి, ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం 0కి మారే వాటిని మీరు తీసుకోవాలి. అందువల్ల, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ల అబ్సిస్సాను కనుగొనడానికి, మేము ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి మొత్తం x 0ని తీసుకోవాలి, ఇక్కడ lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ మరియు lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞. చాలా తరచుగా, ఇవి మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క హారం 0గా మారే పాయింట్లు.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉనికికి సరిపోయే మొదటి షరతు

ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్‌గా తీసుకోగల x 0 యొక్క అన్ని విలువలను మేము కనుగొన్నాము. దీని తరువాత, మేము మొదటి తగినంత ఇన్ఫ్లెక్షన్ పరిస్థితిని వర్తింపజేయాలి.

నిర్వచనం 6

మనకు y = f (x) అనే ఫంక్షన్ ఉందని చెప్పండి, ఇది పాయింట్ M (x 0 ; f (x 0)) వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది. అంతేకాకుండా, ఈ పాయింట్ వద్ద ఇది ఒక టాంజెంట్‌ను కలిగి ఉంటుంది మరియు ఫంక్షన్‌కు ఈ పాయింట్ x 0 సమీపంలో రెండవ ఉత్పన్నం ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఉంటే రెండవ ఉత్పన్నం పొందుతుంది వ్యతిరేక సంకేతాలు, అప్పుడు ఈ పాయింట్‌ని ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌గా పరిగణించవచ్చు.

ఈ పరిస్థితికి ఈ సమయంలో రెండవ ఉత్పన్నం తప్పనిసరిగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదని మేము చూస్తాము; పాయింట్ x 0 సమీపంలో దాని ఉనికి సరిపోతుంది.

పైన పేర్కొన్న ప్రతిదాన్ని చర్యల క్రమం రూపంలో ప్రదర్శించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

1. ముందుగా మీరు f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f "అన్ని అబ్సిసాస్ x 0 ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కనుగొనాలి. (x) = ∞ .
2. ఉత్పన్నం ఏ పాయింట్ల వద్ద గుర్తును మారుస్తుందో తెలుసుకుందాం. ఈ విలువలు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల యొక్క అబ్సిసాస్ మరియు వాటికి సంబంధించిన పాయింట్లు M (x 0 ; f (x 0)) ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు.

స్పష్టత కోసం, మేము రెండు సమస్యలను విశ్లేషిస్తాము.

ఉదాహరణ 3

పరిస్థితి: y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు మరియు కుంభాకార బిందువులను ఎక్కడ కలిగి ఉంటుందో నిర్ణయించండి.

పరిష్కారం

పేర్కొన్న ఫంక్షన్ వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్‌లో నిర్వచించబడింది. మేము మొదటి ఉత్పన్నాన్ని లెక్కిస్తాము:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

ఇప్పుడు మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి. ఇది అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి కూడా. దీని అర్థం lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ మరియు lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ సమానత్వం x 0 యొక్క ఏ విలువలకు సంతృప్తి చెందదు.

మేము రెండవ ఉత్పన్నాన్ని లెక్కిస్తాము:

y "" = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

మేము రెండు సాధ్యమయ్యే ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాను కనుగొన్నాము - 2 మరియు 3. ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని ఏ సమయంలో మారుస్తుందో తనిఖీ చేయడం మాత్రమే మనకు మిగిలి ఉంది. సంఖ్యా రేఖను గీసి దానిపై ఈ పాయింట్లను ప్లాట్ చేద్దాం, దాని తర్వాత మనం రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాలను ఫలిత విరామాలలో ఉంచుతాము.

ఆర్క్‌లు ప్రతి విరామంలో గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార దిశను చూపుతాయి.

రెండవ డెరివేటివ్ మార్పులు అబ్సిస్సా 3తో పాయింట్ వద్ద ఎదురుగా (ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి) గుర్తును, ఎడమ నుండి కుడికి దాని గుండా వెళుతుంది మరియు అబ్సిస్సా 3తో పాయింట్ వద్ద (మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి) కూడా చేస్తుంది. దీనర్థం x = - 2 మరియు x = 3 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్ అని మనం నిర్ధారించగలము. అవి గ్రాఫ్ పాయింట్లకు అనుగుణంగా ఉంటాయి - 2; - 4 3 మరియు 3; - 15 8 .

పుటాకార మరియు కుంభాకార ప్రదేశాల గురించి తీర్మానాలు చేయడానికి సంఖ్య అక్షం యొక్క చిత్రం మరియు అంతరాలలో ఫలిత సంకేతాలను మళ్లీ పరిశీలిద్దాం. కుంభాకారం సెగ్మెంట్లో ఉంటుందని తేలింది - 2; 3, మరియు విభాగాలపై పుటాకారము (- ∞; - 2 ] మరియు [3; + ∞).

సమస్యకు పరిష్కారం గ్రాఫ్‌లో స్పష్టంగా వర్ణించబడింది: నీలం రంగు– కుంభాకారము, ఎరుపు – పుటాకారము, నలుపు రంగు అంటే విభక్తి బిందువులు.

సమాధానం:కుంభాకారం సెగ్మెంట్లో ఉంటుంది - 2; 3, మరియు విభాగాలపై పుటాకారము (- ∞; - 2 ] మరియు [3; + ∞).

ఉదాహరణ 4

పరిస్థితి:ఫంక్షన్ y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాను లెక్కించండి.

పరిష్కారం

ఇచ్చిన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అనేది అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి. మేము ఉత్పన్నాన్ని లెక్కిస్తాము:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

ఫంక్షన్ వలె కాకుండా, దాని మొదటి ఉత్పన్నం 3కి సమానమైన x విలువతో నిర్వచించబడదు, కానీ:

లిమ్ x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ లిమ్ x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

గ్రాఫ్‌కు నిలువు టాంజెంట్ ఈ పాయింట్ గుండా వెళుతుందని దీని అర్థం. కాబట్టి, 3 అనేది ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా కావచ్చు.

మేము రెండవ ఉత్పన్నాన్ని లెక్కిస్తాము. మేము దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను మరియు అది 0కి మారే పాయింట్‌లను కూడా కనుగొంటాము:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 591 - 26 0.4675

మనకు ఇప్పుడు మరో రెండు సాధ్యమైన ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు ఉన్నాయి. వాటన్నింటినీ నంబర్ లైన్‌లో ప్లాట్ చేద్దాం మరియు ఫలిత విరామాలను సంకేతాలతో గుర్తించండి:

సూచించిన ప్రతి బిందువు గుండా వెళుతున్నప్పుడు సంకేతం మారుతుంది, అంటే అవన్నీ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు.

సమాధానం:ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీద్దాం, పుటాకారాలను ఎరుపు రంగులో, కుంభాకారాలను నీలం రంగులో మరియు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను నలుపు రంగులో గుర్తించండి:

ఇన్‌ఫ్లెక్షన్‌కు సరిపోయే మొదటి పరిస్థితిని తెలుసుకోవడం, రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క ఉనికి అవసరం లేని అవసరమైన పాయింట్‌లను మనం నిర్ణయించవచ్చు. దీని ఆధారంగా, మొదటి షరతు అత్యంత సార్వత్రికమైనది మరియు పరిష్కరించడానికి అనుకూలమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది వివిధ రకములుపనులు.

మరో రెండు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ షరతులు ఉన్నాయని గమనించండి, అయితే అవి పేర్కొన్న పాయింట్ వద్ద పరిమిత ఉత్పన్నం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే వర్తించవచ్చు.

మనకు f "" (x 0) = 0 మరియు f """ (x 0) ≠ 0 ఉంటే, అప్పుడు x 0 అనేది గ్రాఫ్ y = f (x) యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా అవుతుంది.

ఉదాహరణ 5

పరిస్థితి:ఫంక్షన్ y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 ఇవ్వబడింది. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పాయింట్ 3 వద్ద ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ని కలిగి ఉందో లేదో నిర్ణయించండి; 4 5 .

పరిష్కారం

ఈ పాయింట్ సాధారణంగా ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు చెందినదని నిర్ధారించుకోవడం మొదటి విషయం.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

వాస్తవ సంఖ్యలు అయిన అన్ని ఆర్గ్యుమెంట్‌లకు ఇచ్చిన ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది. మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాలను గణిద్దాం:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

x 0కి సమానం అయితే రెండవ ఉత్పన్నం 0కి వెళ్తుందని మేము కనుగొన్నాము. దీనర్థం ఈ బిందువుకు అవసరమైన విభక్తి పరిస్థితి సంతృప్తి చెందుతుంది. ఇప్పుడు మనం రెండవ షరతును ఉపయోగిస్తాము: మూడవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని, అది 3 వద్ద 0కి మారుతుందో లేదో తెలుసుకోండి:

y "" " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

x యొక్క ఏ విలువకైనా మూడవ ఉత్పన్నం అదృశ్యం కాదు. కాబట్టి, ఈ పాయింట్ ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అని మేము నిర్ధారించవచ్చు.

సమాధానం:దృష్టాంతంలో పరిష్కారాన్ని చూపుదాం:

మనం f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 మరియు f (n + 1) (x 0) ≠ 0 అని అనుకుందాం. ఈ సందర్భంలో, కూడా n కోసం, x 0 అనేది గ్రాఫ్ y = f (x) యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా అని మనం పొందుతాము.

ఉదాహరణ 6

పరిస్థితి: y = (x - 3) 5 + 1 ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. దాని గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లను లెక్కించండి.

పరిష్కారం

ఈ ఫంక్షన్ వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం సెట్‌లో నిర్వచించబడింది. మేము ఉత్పన్నాన్ని గణిస్తాము: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . అది అందరికీ కూడా నిర్ణయించబడుతుంది కాబట్టి నిజమైన విలువలుఆర్గ్యుమెంట్, అప్పుడు దాని గ్రాఫ్‌లో ఏ పాయింట్ వద్దనైనా నాన్-వర్టికల్ టాంజెంట్ ఉంటుంది.

ఇప్పుడు రెండవ ఉత్పన్నం ఏ విలువలతో 0కి మారుతుందో లెక్కిద్దాం:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

x = 3 వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌ని కలిగి ఉండవచ్చని మేము కనుగొన్నాము. దీన్ని నిర్ధారించడానికి మూడవ షరతును ఉపయోగించండి:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

మూడవ సరిపడా షరతు ద్వారా మనకు n = 4 ఉంది. ఈ సరి సంఖ్య, అంటే x = 3 అనేది ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పాయింట్ (3; 1) దానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

సమాధానం:కుంభాకారాలు, పుటాకారాలు మరియు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌తో గుర్తించబడిన ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఇక్కడ ఉంది:

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

ఇది పరిగణించవలసి ఉంది గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకారం, పుటాకార మరియు కింక్స్. సందర్శకులు ఎంతగానో ఇష్టపడే సైట్‌లతో ప్రారంభిద్దాం శారీరక వ్యాయామం. దయచేసి లేచి ముందుకు లేదా వెనుకకు వంగండి. ఇది ఒక ఉబ్బెత్తు. ఇప్పుడు మీ చేతులను మీ ముందు చాచి, అరచేతులను పైకి చాచి, మీరు మీ ఛాతీపై పెద్ద దుంగను పట్టుకున్నట్లు ఊహించుకోండి... ...సరే, మీకు లాగ్ నచ్చకపోతే, ఏదైనా/ఎవరైనా చేయనివ్వండి = ) ఇది పుటాకారము. అనేక మూలాధారాలు పర్యాయపద పదాలను కలిగి ఉంటాయి పైకి ఉబ్బుమరియు ఉబ్బెత్తు, కానీ నేను చిన్న శీర్షికల అభిమానిని.

! శ్రద్ధ : కొందరు రచయితలు కుంభాకారం మరియు పుటాకారాన్ని సరిగ్గా విరుద్ధంగా నిర్ణయించండి. ఇది గణితశాస్త్రపరంగా మరియు తార్కికంగా కూడా సరైనది, కానీ నిబంధనలపై మన సామాన్యుల అవగాహన స్థాయితో సహా, వాస్తవిక దృక్కోణం నుండి తరచుగా పూర్తిగా తప్పు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ట్యూబర్‌కిల్స్ ఉన్న లెన్స్‌ను బైకాన్వెక్స్ లెన్స్ అంటారు, కానీ డిప్రెషన్‌లతో (బైకాన్‌కేవ్) కాదు.
మరియు, చెప్పండి, “పుటాకార” మంచం - ఇది ఇప్పటికీ స్పష్టంగా “అంటుకోదు” =) (అయితే, మీరు దాని కిందకి ఎక్కితే, మేము ఇప్పటికే కుంభాకారం గురించి మాట్లాడుతాము; =)) నేను సహజానికి అనుగుణంగా ఉండే విధానానికి కట్టుబడి ఉంటాను. మానవ సంఘాలు.

గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార మరియు పుటాకార యొక్క అధికారిక నిర్వచనం టీపాట్‌కు చాలా కష్టం, కాబట్టి మేము భావన యొక్క రేఖాగణిత వివరణకు పరిమితం చేస్తాము నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి నిరంతరమొత్తం సంఖ్య రేఖపై:

దీనితో నిర్మించడం సులభం రేఖాగణిత పరివర్తనాలు, మరియు, బహుశా, క్యూబిక్ పారాబొలా నుండి ఇది ఎలా పొందబడుతుందో చాలా మంది పాఠకులకు తెలుసు.

పిలుద్దాం తీగలైన్ కనెక్ట్ రెండు వివిధ పాయింట్లు గ్రాఫిక్ కళలు.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకారకొంత విరామంలో, అది ఉన్నట్లయితే తక్కువ కాదుఇచ్చిన విరామం యొక్క ఏదైనా తీగ. ప్రయోగాత్మక పంక్తి పై కుంభాకారంగా ఉంటుంది, మరియు, స్పష్టంగా, ఇక్కడ గ్రాఫ్‌లోని ఏదైనా భాగం దాని పైన ఉంది తీగ. నిర్వచనాన్ని వివరించడానికి, నేను మూడు నల్ల గీతలను గీసాను.

గ్రాఫ్ విధులు పుటాకారవిరామంలో, అది ఉన్నట్లయితే ఎక్కువ కాదుఈ విరామం యొక్క ఏదైనా తీగ. పరిశీలనలో ఉన్న ఉదాహరణలో, రోగి విరామంలో పుటాకారంగా ఉంటాడు. ఒక జత బ్రౌన్ సెగ్‌మెంట్స్ గ్రాఫ్‌లోని ఏదైనా భాగం దాని కింద ఉందని నిరూపిస్తుంది. తీగ.

ఇది కుంభాకారం నుండి పుటాకారానికి మారే గ్రాఫ్‌లోని పాయింట్ లేదాకుంభాకారం నుండి కుంభాకారం అంటారు ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్. మేము దానిని ఒకే కాపీలో (మొదటి సందర్భం) కలిగి ఉన్నాము మరియు ఆచరణలో, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ద్వారా మనం లైన్‌కు చెందిన గ్రీన్ పాయింట్ మరియు “X” విలువ రెండింటినీ అర్థం చేసుకోవచ్చు.

ముఖ్యమైనది!గ్రాఫ్ యొక్క కింక్స్ జాగ్రత్తగా గీయాలి మరియు చాలా మృదువైన. అన్ని రకాల "అక్రమాలు" మరియు "కరుకుదనం" ఆమోదయోగ్యం కాదు. ఇది కొద్దిగా శిక్షణ తీసుకుంటుంది.

సిద్ధాంతంలో కుంభాకారం/పుటాకారాన్ని నిర్ణయించడానికి రెండవ విధానం టాంజెంట్ల ద్వారా ఇవ్వబడింది:

కుంభాకారవిరామంలో గ్రాఫ్ ఉంది ఎక్కువ కాదువద్ద దానికి గీసిన టాంజెంట్ ఏకపక్ష పాయింట్ఈ విరామం యొక్క. పుటాకారముఇంటర్వెల్ గ్రాఫ్‌లో - తక్కువ కాదుఈ విరామంపై ఏదైనా టాంజెంట్.

హైపర్బోలా విరామంలో పుటాకారంగా మరియు కుంభాకారంగా ఉంటుంది:

కోఆర్డినేట్‌ల మూలం గుండా వెళుతున్నప్పుడు, పుటాకార కుంభాకారానికి మారుతుంది, కానీ పాయింట్ కౌంట్ చేయవద్దుఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్, ఫంక్షన్ నుండి నిర్ధారించలేదుఅందులో.

అంశంపై మరింత కఠినమైన ప్రకటనలు మరియు సిద్ధాంతాలను పాఠ్యపుస్తకంలో చూడవచ్చు మరియు మేము తీవ్రమైన ఆచరణాత్మక భాగానికి వెళ్తాము:

కుంభాకార విరామాలు, పుటాకార విరామాలను ఎలా కనుగొనాలి
మరియు గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు?

పదార్థం సరళమైనది, స్టెన్సిల్డ్ మరియు నిర్మాణాత్మకంగా పునరావృతమవుతుంది ఒక ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం.

గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకారము/పుటాకారము వర్ణిస్తుందిరెండవ ఉత్పన్నం విధులు.

కొంత విరామంలో ఫంక్షన్ రెండుసార్లు భేదాత్మకంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు:

– రెండవ ఉత్పన్నం విరామంలో ఉన్నట్లయితే, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఈ విరామంపై కుంభాకారంగా ఉంటుంది;

- రెండవ ఉత్పన్నం విరామంలో ఉన్నట్లయితే, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఈ విరామంలో పుటాకారంగా ఉంటుంది.

ఖాళీలకు సంబంధించి రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలకు సంబంధించి విద్యా సంస్థలుచరిత్రపూర్వ సంఘం చుట్టూ తిరుగుతోంది: “–” మీరు ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లోకి నీటిని పోయలేరు” (కుంభాకారం),
మరియు "+" - "అటువంటి అవకాశాన్ని ఇస్తుంది" (పుటాకారము).

విక్షేపం యొక్క అవసరమైన పరిస్థితి

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఒక పాయింట్ వద్ద ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంటే, అది:
లేదా విలువ ఉండదు(దీన్ని క్రమబద్ధీకరించండి, చదవండి!).

ఈ పదబంధంఫంక్షన్ అని సూచిస్తుంది నిరంతరఒక పాయింట్ వద్ద మరియు సందర్భంలో - దాని యొక్క కొన్ని పరిసరాల్లో రెండుసార్లు తేడా ఉంటుంది.

పరిస్థితి యొక్క ఆవశ్యకత సంభాషణ ఎల్లప్పుడూ నిజం కాదని సూచిస్తుంది. అంటే, సమానత్వం నుండి (లేదా విలువ లేనిది) ఇంకా చేయకూడదుపాయింట్ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ ఉనికి. కానీ రెండు పరిస్థితులలో వారు కాల్ చేస్తారు రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్.

విక్షేపం కోసం తగినంత పరిస్థితి

ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్నప్పుడు రెండవ ఉత్పన్నం మార్పుల సంకేతం అయితే, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ ఉంటుంది.

ఎటువంటి ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు ఉండకపోవచ్చు (ఒక ఉదాహరణ ఇప్పటికే కలుసుకుంది) మరియు ఈ కోణంలో కొన్ని ప్రాథమిక ఉదాహరణలు సూచిస్తాయి. ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని విశ్లేషిద్దాం:

సానుకూల స్థిరమైన ఫంక్షన్ పొందబడుతుంది, అనగా "x" యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం. ఉపరితలంపై ఉన్న వాస్తవాలు: పారాబొలా అంతటా పుటాకారంగా ఉంటుంది నిర్వచనం యొక్క డొమైన్, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు లేవు. ప్రతికూల గుణకం పారాబొలాను "విలోమం చేస్తుంది" మరియు దానిని కుంభాకారంగా చేస్తుంది (రెండవ ఉత్పన్నం వలె, ప్రతికూల స్థిరాంకం ఫంక్షన్ మనకు తెలియజేస్తుంది) గమనించడం సులభం.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ఇక్కడ కూడా పుటాకారము:

"x" యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం.

వాస్తవానికి, గ్రాఫ్‌కు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు లేవు.

మేము కుంభాకారం / పుటాకార కోసం గ్రాఫ్‌ను పరిశీలిస్తాము లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ :

అందువలన, సంవర్గమానం యొక్క శాఖ విరామంలో కుంభాకారంగా ఉంటుంది. రెండవ ఉత్పన్నం కూడా విరామంలో నిర్వచించబడింది, కానీ దానిని పరిగణించండి అది నిషేధించబడింది, ఎందుకంటే ఇచ్చిన విరామంచేర్చబడలేదు డొమైన్విధులు ఆవశ్యకత స్పష్టంగా ఉంది - అక్కడ లాగరిథమ్ గ్రాఫ్ లేనందున, సహజంగానే, ఎటువంటి కుంభాకారము/పుటాకారము/విభజనల గురించి మాట్లాడటం లేదు.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, ప్రతిదీ నిజంగా కథను చాలా గుర్తు చేస్తుంది ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల, తగ్గుదల మరియు తీవ్రత. నాలాగే ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి అల్గోరిథంకుంభాకారం, పుటాకార మరియు కింక్స్ ఉనికి కోసం:

2) వెతుకుతోంది క్లిష్టమైన విలువలు. దీన్ని చేయడానికి, రెండవ ఉత్పన్నాన్ని తీసుకొని సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 2వ ఉత్పన్నం లేని పాయింట్లు, కానీ ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో చేర్చబడినవి కూడా క్లిష్టమైనవిగా పరిగణించబడతాయి!

3) సంఖ్య రేఖపై కనుగొనబడిన అన్ని నిలిపివేత పాయింట్లను గుర్తించండి మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్లు (ఒకటి లేదా మరొకటి ఉండకపోవచ్చు - అప్పుడు ఏదైనా గీయవలసిన అవసరం లేదు (అలాగే సాధారణ కేసు), వ్రాతపూర్వక వ్యాఖ్యకు మిమ్మల్ని మీరు పరిమితం చేసుకుంటే సరిపోతుంది). విరామం పద్ధతిఫలిత విరామాలలో సంకేతాలను నిర్ణయించండి. ఇప్పుడే వివరించినట్లుగా, ఒకరు పరిగణించాలి అవి మాత్రమేఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో చేర్చబడిన విరామాలు. మేము ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార/పుటాకార మరియు ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల గురించి తీర్మానాలు చేస్తాము. మేము సమాధానం ఇస్తాము.

ఫంక్షన్లకు అల్గోరిథంను మౌఖికంగా వర్తింపజేయడానికి ప్రయత్నించండి . రెండవ సందర్భంలో, మార్గం ద్వారా, క్లిష్టమైన పాయింట్ వద్ద గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ లేనప్పుడు ఒక ఉదాహరణ ఉంది. అయితే, కొంచెం ఎక్కువతో ప్రారంభిద్దాం కష్టమైన పనులు:

ఉదాహరణ 1

పరిష్కారం:
1) ఫంక్షన్ మొత్తం సంఖ్య రేఖపై నిర్వచించబడింది మరియు నిరంతరంగా ఉంటుంది. చాలా బాగుంది.

2) రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. మీరు మొదట క్యూబ్ నిర్మాణాన్ని నిర్వహించవచ్చు, కానీ దానిని ఉపయోగించడం చాలా లాభదాయకంగా ఉంటుంది సంక్లిష్ట విధుల భేదం కోసం నియమం:

దయచేసి గమనించండి , అంటే ఫంక్షన్ తగ్గనిది. ఇది పనికి సంబంధించినది కానప్పటికీ, అటువంటి వాస్తవాలకు ఎల్లప్పుడూ శ్రద్ధ చూపడం మంచిది.

రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క క్లిష్టమైన అంశాలను కనుగొనండి:

- క్లిష్టమైన పాయింట్

3) అమలును తనిఖీ చేద్దాం తగినంత పరిస్థితివిభక్తి. ఫలిత విరామాలపై రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను మేము నిర్ణయిస్తాము.

శ్రద్ధ!ఇప్పుడు మేము రెండవ ఉత్పన్నంతో పని చేస్తున్నాము (మరియు ఫంక్షన్‌తో కాదు!)

ఫలితంగా, ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్ పొందబడింది: .

3) సంఖ్యా రేఖపై రెండు నిలిపివేత పాయింట్లను గుర్తించండి, ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్, మరియు ఫలిత విరామాలలో రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను గుర్తించండి:

నేను మీకు గుర్తు చేస్తున్నాను ముఖ్యమైన సాంకేతికత విరామం పద్ధతి, మీరు పరిష్కారాన్ని గణనీయంగా వేగవంతం చేయడానికి అనుమతిస్తుంది. రెండవ ఉత్పన్నం చాలా గజిబిజిగా మారినది, కాబట్టి దాని విలువలను లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు, ప్రతి విరామంలో "అంచనా" చేయడానికి సరిపోతుంది. ఉదాహరణకు, ఎడమ విరామానికి చెందిన పాయింట్‌ని ఎంచుకుందాం,
మరియు ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

ఇప్పుడు గుణకారాలను విశ్లేషిద్దాం:

రెండు “మైనస్” మరియు “ప్లస్” “ప్లస్” ఇస్తాయి, కాబట్టి, రెండవ ఉత్పన్నం మొత్తం విరామంలో సానుకూలంగా ఉంటుంది.

వ్యాఖ్యానించిన చర్యలు మౌఖికంగా చేయడం సులభం. అదనంగా, కారకాన్ని పూర్తిగా విస్మరించడం ప్రయోజనకరం - ఇది ఏదైనా “x”కి సానుకూలంగా ఉంటుంది మరియు మా రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను ప్రభావితం చేయదు.

కాబట్టి, మీరు మాకు ఏ సమాచారాన్ని అందించారు?

సమాధానం: ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ పుటాకారంలో ఉంది మరియు కుంభాకారంగా ఉంటుంది . మూలం వద్ద (ఇది స్పష్టంగా ఉంది)గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంది.

పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు, రెండవ ఉత్పన్నం కూడా చిహ్నాన్ని మారుస్తుంది, అయితే అవి ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లుగా పరిగణించబడవు, ఎందుకంటే వాటి వద్ద ఫంక్షన్ దెబ్బతింటుంది. అంతులేని విరామాలు.

విశ్లేషించబడిన ఉదాహరణలో, మొదటి ఉత్పన్నం అంతటా ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల గురించి మాకు తెలియజేస్తుంది నిర్వచనం యొక్క డొమైన్. అటువంటి freebie ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది =) అదనంగా, ఇది మూడు ఉన్నాయి అని స్పష్టంగా ఉంది లక్షణం లేని. చాలా డేటా పొందబడింది, ఇది అనుమతిస్తుంది ఉన్నత స్థాయిప్రస్తుత విశ్వసనీయత ప్రదర్శనగ్రాఫిక్ కళలు. కుప్పకు, ఫంక్షన్ కూడా బేసిగా ఉంటుంది. స్థాపించబడిన వాస్తవాల ఆధారంగా, కఠినమైన స్కెచ్ చేయడానికి ప్రయత్నించండి. పాఠం చివరిలో ఉన్న చిత్రం.

కోసం అసైన్‌మెంట్ స్వతంత్ర నిర్ణయం:

ఉదాహరణ 6

కుంభాకారం, పుటాకారాల కోసం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిశీలించండి మరియు గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు ఉంటే వాటిని కనుగొనండి.

నమూనాలో డ్రాయింగ్ లేదు, కానీ పరికల్పనను ముందుకు తీసుకురావడం నిషేధించబడలేదు;)

మేము అల్గోరిథం యొక్క పాయింట్లను లెక్కించకుండా పదార్థాన్ని రుబ్బు చేస్తాము:

ఉదాహరణ 7

కుంభాకారం, పుటాకారాల కోసం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిశీలించండి మరియు అవి ఉంటే ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కనుగొనండి.

పరిష్కారం: ఫంక్షన్ తట్టుకుంటుంది అంతులేని అంతరంపాయింట్ వద్ద.

ఎప్పటిలాగే, మాతో ప్రతిదీ బాగానే ఉంది:

ఉత్పన్నాలు చాలా కష్టం కాదు, ప్రధాన విషయం వారి "కేశాలంకరణ" తో జాగ్రత్తగా ఉండటం.
ప్రేరేపిత మారథాన్‌లో, రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క రెండు క్లిష్టమైన అంశాలు వెల్లడి చేయబడ్డాయి:

ఫలిత విరామాలలో సంకేతాలను నిర్ధారిద్దాం:

ఒక పాయింట్ వద్ద గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంది; పాయింట్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ను కనుగొనండి:

ఒక బిందువు గుండా వెళుతున్నప్పుడు, రెండవ ఉత్పన్నం చిహ్నాన్ని మార్చదు, కాబట్టి, గ్రాఫ్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ లేదు.

సమాధానం: కుంభాకార విరామాలు: ; పుటాకార విరామం: ; ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్:.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం చివరి ఉదాహరణలుఅదనపు గంటలు మరియు ఈలలతో:

ఉదాహరణ 8

గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార, పుటాకార మరియు ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ల విరామాలను కనుగొనండి

పరిష్కారం: కనుగొనడంతో నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ప్రత్యేక సమస్యలు లేవు:
, ఫంక్షన్ పాయింట్ల వద్ద నిలిపివేతలను ఎదుర్కొంటుంది.

కొట్టబడిన మార్గంలో వెళ్దాం:

- క్లిష్టమైన పాయింట్.

సంకేతాలను నిర్వచించండి మరియు విరామాలను పరిశీలిద్దాం ఫంక్షన్ డొమైన్ నుండి మాత్రమే:

గ్రాఫ్‌లో ఒక పాయింట్‌లో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ ఉంది; ఆర్డినేట్‌ను గణిద్దాం:

సూచనలు

పాయింట్లు విభక్తి విధులుతప్పనిసరిగా దాని నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌కు చెందినదిగా ఉండాలి, ఇది ముందుగా కనుగొనబడాలి. షెడ్యూల్ విధులుఅనేది నిరంతరాయంగా లేదా విరామాలు కలిగి ఉండే పంక్తి, మార్పు లేకుండా తగ్గడం లేదా పెంచడం, కనిష్టంగా లేదా గరిష్టంగా ఉంటుంది పాయింట్లు(లక్షణాలు), కుంభాకారంగా లేదా పుటాకారంగా ఉంటుంది. చివరి రెండు రాష్ట్రాలలో ఒక పదునైన మార్పును ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ అంటారు.

ముందస్తు అవసరంఉనికి విభక్తి విధులుసున్నాకి రెండవ సమానత్వంలో ఉంటుంది. ఈ విధంగా, ఫంక్షన్‌ను రెండుసార్లు వేరు చేయడం ద్వారా మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను సున్నాకి సమం చేయడం ద్వారా, సాధ్యమయ్యే పాయింట్ల అబ్సిస్సాను మనం కనుగొనవచ్చు. విభక్తి.

ఈ పరిస్థితి గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార మరియు పుటాకార లక్షణాల నిర్వచనం నుండి అనుసరిస్తుంది విధులు, అనగా ప్రతికూల మరియు సానుకూల విలువరెండవ ఉత్పన్నం. పాయింట్ వద్ద విభక్తి ఆకస్మిక మార్పుఈ లక్షణాలు, అంటే ఉత్పన్నం సున్నా మార్కును దాటిపోతుంది. అయినప్పటికీ, సున్నాకి సమానంగా ఉండటం అనేది ఇన్‌ఫ్లెక్షన్‌ని సూచించడానికి ఇంకా సరిపోదు.

మునుపటి దశలో కనిపించే అబ్సిస్సా పాయింట్‌కి చెందిన రెండు తగినంత షరతులు ఉన్నాయి విభక్తి:ఈ పాయింట్ ద్వారా మీరు టాంజెంట్‌ని గీయవచ్చు విధులు. రెండవ ఉత్పన్నం ఊహించిన దాని యొక్క కుడి మరియు ఎడమకు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటుంది పాయింట్లు విభక్తి. అందువల్ల, పాయింట్ వద్ద దాని ఉనికి అవసరం లేదు; దాని వద్ద అది గుర్తును మారుస్తుందని నిర్ధారించడం సరిపోతుంది. రెండవ ఉత్పన్నం విధులుసున్నాకి సమానం, మరియు మూడవది కాదు.

పరిష్కారం: కనుగొనండి. IN ఈ విషయంలోఎటువంటి పరిమితులు లేవు, కాబట్టి, ఇది వాస్తవ సంఖ్యల మొత్తం స్థలం. మొదటి ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించండి: y' = 3 ∛(x - 5) + (3 x + 3)/∛(x - 5)².

దయచేసి గమనించండి . దీని నుండి ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పరిమితం చేయబడింది. పాయింట్ x = 5 పంక్చర్ చేయబడింది, అంటే ఒక టాంజెంట్ దాని గుండా వెళుతుంది, ఇది పాక్షికంగా సమృద్ధి యొక్క మొదటి సంకేతానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది విభక్తి.

x → 5 – 0 మరియు x → 5 + 0 కోసం ఫలిత వ్యక్తీకరణను నిర్ణయించండి. అవి -∞ మరియు +∞కి సమానం. నిలువు టాంజెంట్ x=5 పాయింట్ గుండా వెళుతుందని మీరు నిరూపించారు. ఈ పాయింట్ ఒక పాయింట్‌గా మారవచ్చు విభక్తి, అయితే మొదట రెండవ ఉత్పన్నాన్ని లెక్కించండి: Y'' = 1/∛(x - 5)² + 3/∛(x - 5)² – 2/3 (3 x + 3)/∛(x - 5)^5 = (2 x – 22)/∛(x - 5)^5.

మీరు ఇప్పటికే x = 5 పాయింట్‌ని పరిగణనలోకి తీసుకున్నందున హారంను వదిలివేయండి. 2 x – 22 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. దీనికి ఒకే మూలం x = 11 ఉంటుంది. దానిని నిర్ధారించడం చివరి దశ పాయింట్లు x=5 మరియు x=11 పాయింట్లు విభక్తి. వారి సమీపంలోని రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క ప్రవర్తనను విశ్లేషించండి. సహజంగానే, x = 5 పాయింట్ వద్ద ఇది గుర్తును “+” నుండి “-”కి మారుస్తుంది మరియు x = 11 పాయింట్ వద్ద – వైస్ వెర్సా. ముగింపు: రెండూ పాయింట్లుపాయింట్లు ఉంటాయి విభక్తి. మొదటి తగినంత షరతు సంతృప్తి చెందింది.