విశ్వాస విరామం
విశ్వాస విరామం- గణాంక పారామితుల యొక్క విరామం (పాయింట్‌కు విరుద్ధంగా) అంచనా కోసం గణిత గణాంకాలలో ఉపయోగించే పదం, నమూనా పరిమాణం తక్కువగా ఉన్నప్పుడు ఇది ఉత్తమం. విశ్వసనీయ విరామం అనేది ఇచ్చిన విశ్వసనీయతతో తెలియని పరామితిని కవర్ చేస్తుంది.
ఆంగ్ల గణాంకవేత్త రోనాల్డ్ ఫిషర్ ఆలోచనల ఆధారంగా అమెరికన్ గణాంకవేత్త జెర్జీ న్యూమాన్ ద్వారా విశ్వాస విరామాల పద్ధతిని అభివృద్ధి చేశారు.
నిర్వచనం
పరామితి యొక్క విశ్వాస విరామం θ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ Xవిశ్వాస స్థాయి 100తో p%, నమూనా ద్వారా రూపొందించబడింది ( x 1 ,…,x n), సరిహద్దులతో విరామం అంటారు ( x 1 ,…,x n) మరియు ( x 1 ,…,x n), ఇవి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సాక్షాత్కారాలు ఎల్(X 1 ,…,X n) మరియు యు(X 1 ,…,X n), అలాంటిది
.విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దు పాయింట్లు అంటారు విశ్వాస పరిమితులు.
విశ్వాస విరామం యొక్క అంతర్ దృష్టి-ఆధారిత వివరణ ఇలా ఉంటుంది: అయితే pపెద్దది (0.95 లేదా 0.99 చెప్పండి), అప్పుడు విశ్వాస విరామం దాదాపు ఖచ్చితంగా నిజమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది θ .
విశ్వాస విరామం భావన యొక్క మరొక వివరణ: ఇది పరామితి విలువల విరామంగా పరిగణించబడుతుంది θ ప్రయోగాత్మక డేటాకు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు వాటికి విరుద్ధంగా లేదు.
ఉదాహరణలు
- సాధారణ నమూనా యొక్క గణిత నిరీక్షణకు విశ్వాస విరామం;
- సాధారణ నమూనా వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం.
బయేసియన్ విశ్వాస విరామం
బయేసియన్ గణాంకాలలో, విశ్వాస విరామం యొక్క కొన్ని కీలక వివరాల నిర్వచనంలో సారూప్యమైన కానీ భిన్నమైనది. ఇక్కడ, అంచనా వేయబడిన పరామితి కూడా కొంత ముందు పంపిణీతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌గా పరిగణించబడుతుంది (సరళమైన సందర్భంలో, ఏకరీతి), మరియు నమూనా స్థిరంగా ఉంటుంది (క్లాసికల్ గణాంకాలలో ప్రతిదీ సరిగ్గా వ్యతిరేకం). బయేసియన్ విశ్వాస విరామం అనేది పృష్ఠ సంభావ్యతతో పారామీటర్ విలువను కవర్ చేసే విరామం:
.సాధారణంగా, క్లాసికల్ మరియు బయేసియన్ విశ్వాస విరామాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. ఆంగ్ల భాషా సాహిత్యంలో, బయేసియన్ విశ్వాస విరామాన్ని సాధారణంగా పదం అంటారు విశ్వసనీయ విరామం, మరియు క్లాసిక్ ఒకటి - విశ్వాస విరామం.
గమనికలు
మూలాలువికీమీడియా ఫౌండేషన్. 2010.
- కిడ్స్ (సినిమా)
- కాలనీవాసి
ఇతర నిఘంటువులలో “విశ్వాస విరామం” ఏమిటో చూడండి:
విశ్వాస విరామం- నమూనా డేటా నుండి లెక్కించబడిన విరామం, ఇది ఇచ్చిన సంభావ్యతతో (విశ్వాసం) అంచనా వేయబడిన పంపిణీ పరామితి యొక్క తెలియని నిజమైన విలువను కవర్ చేస్తుంది. మూలం: GOST 20522 96: నేలలు. ఫలితాల గణాంక ప్రాసెసింగ్ కోసం పద్ధతులు... నిబంధనలు మరియు సాంకేతిక డాక్యుమెంటేషన్ నిబంధనల నిఘంటువు-సూచన పుస్తకం
విశ్వాస విరామం- జనాభా యొక్క స్కేలార్ పరామితి కోసం, ఇది ఎక్కువగా ఈ పరామితిని కలిగి ఉండే విభాగం. ఈ పదబంధం మరింత విశదీకరించకుండా అర్థరహితమైనది. విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులు నమూనా నుండి అంచనా వేయబడినందున, ఇది సహజమైనది... ... డిక్షనరీ ఆఫ్ సోషియోలాజికల్ స్టాటిస్టిక్స్
కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్- పాయింట్ అంచనా నుండి భిన్నంగా ఉండే పారామితులను అంచనా వేసే పద్ధతి. నమూనా x1, . . ., xn సంభావ్యత సాంద్రత f(x, α), మరియు a*=a*(x1, . . . ., xn) α, g(a*, α) సంభావ్యత సాంద్రత అంచనాతో పంపిణీ నుండి. వెతుకుతున్నారు..... జియోలాజికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా
కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్- (విశ్వాస విరామం) ఒక నమూనా సర్వే ఆధారంగా పొందిన జనాభా కోసం పారామితి విలువ యొక్క విశ్వసనీయత నిర్దిష్ట స్థాయి సంభావ్యతను కలిగి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు 95%, ఇది నమూనా కారణంగా ఉంటుంది. వెడల్పు…… ఆర్థిక నిఘంటువు
విశ్వాస విరామం- నిర్ణీత పరిమాణం యొక్క నిజమైన విలువ ఇచ్చిన విశ్వాస సంభావ్యతతో ఉన్న విరామం. జనరల్ కెమిస్ట్రీ: పాఠ్య పుస్తకం / A. V. జోల్నిన్ ... రసాయన నిబంధనలు
కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్ CI- విశ్వాస విరామం, CI * డేటా విరామం, CI * లక్షణ విలువ యొక్క విశ్వాస విరామం విరామం, k.l కోసం లెక్కించబడుతుంది. పంపిణీ పరామితి (ఉదాహరణకు, ఒక లక్షణం యొక్క సగటు విలువ) నమూనా అంతటా మరియు నిర్దిష్ట సంభావ్యతతో (ఉదాహరణకు, 95% కోసం 95% ... జన్యుశాస్త్రం. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు
కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్- గణాంక పరామితిని అంచనా వేసేటప్పుడు ఉత్పన్నమయ్యే భావన. విలువల విరామం ద్వారా పంపిణీ. D. మరియు. పరామితి q కోసం, ఈ కోఎఫీషియంట్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ట్రస్ట్ P అటువంటి విరామానికి (q1, q2) సమానం, అసమానత యొక్క ఏదైనా సంభావ్యత పంపిణీకి... ... ఫిజికల్ ఎన్సైక్లోపీడియా
విశ్వాస విరామం- - టెలికమ్యూనికేషన్స్ విషయాలు, ప్రాథమిక భావనలు EN విశ్వాస విరామం ... సాంకేతిక అనువాదకుని గైడ్
విశ్వాస విరామం- పాసిక్లియోవిమో ఇంటర్‌వాలాస్ స్టేటస్‌లు టి స్రిటిస్ స్టాండర్టిజాసిజా ఇర్ మెట్రోలాజియా ఎపిబ్రెజిటిస్ డైడజియో వెర్సిజ్ ఇంటర్‌వాలాస్, కురియమే సు పాసిరింక్‌టిజా టికిమిబే యిరా మాటావిమో రెజుల్టాటో వెర్టి. atitikmenys: ఆంగ్లం. విశ్వాస విరామం vok. Vertrauensbereich, m rus.… … పెంకియాకల్బిస్ ఐస్కినామాసిస్ మెట్రోలాజిజోస్ టెర్మిన్స్ జోడినాస్
విశ్వాస విరామం- పాసిక్లియోవిమో ఇంటర్‌వాలాస్ స్టేటస్‌లు టి స్రిటిస్ కెమియా అపిబ్రెజిటిస్ డైడ్జియో వెర్సిజ్ ఇంటర్‌వాలాస్, కురియమే సు పాసిరింక్‌టాజా టికిమిబే యారా మాటావిమో రెజుల్టాట్ వెర్టెగ్. atitikmenys: ఆంగ్లం. విశ్వాస విరామం రస్. ట్రస్ట్ ప్రాంతం; విశ్వాస విరామం... కెమిజోస్ టెర్మిన్ ఐస్కినామాసిస్ జోడినాస్
తెలిసిన డిస్పర్షన్ విలువ విషయంలో పంపిణీ యొక్క సగటు విలువను అంచనా వేయడానికి MS EXCELలో విశ్వాస విరామాన్ని రూపొందిద్దాం.
కోర్సు ఎంపిక ట్రస్ట్ స్థాయిపూర్తిగా పరిష్కరించబడే సమస్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అందువల్ల, విమానం యొక్క విశ్వసనీయతపై విమాన ప్రయాణీకుల విశ్వాసం యొక్క డిగ్రీ నిస్సందేహంగా విద్యుత్ లైట్ బల్బ్ యొక్క విశ్వసనీయతలో కొనుగోలుదారు యొక్క విశ్వాసం స్థాయి కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి.
సమస్య సూత్రీకరణ
నుండి అని అనుకుందాం జనాభాతీసుకోబడింది నమూనాపరిమాణం n. అని ఊహిస్తారు ప్రామాణిక విచలనంఈ పంపిణీ తెలుసు. దీని ఆధారంగా ఇది అవసరం నమూనాలుతెలియని వాటిని అంచనా వేయండి పంపిణీ అర్థం(μ, ) మరియు సంబంధితంగా నిర్మించండి రెండు వైపులా విశ్వాస విరామం.
పాయింట్ అంచనా
నుండి తెలిసినట్లుగా గణాంకాలు(దానిని సూచిస్తాం X సగటు) ఉంది సగటు యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనాఇది జనాభామరియు పంపిణీ N(μ;σ 2 /n) ఉంది.
గమనిక: మీరు నిర్మించాల్సిన అవసరం ఉంటే ఏమి చేయాలి విశ్వాస విరామంపంపిణీ విషయంలో కాదు సాధారణమా?ఈ సందర్భంలో, రెస్క్యూ వస్తుంది, ఇది తగినంత పెద్ద పరిమాణంతో పేర్కొంది నమూనాలుపంపిణీ నుండి n ఉండటం లేదు సాధారణ, గణాంకాల నమూనా పంపిణీ X సగటురెడీ సుమారుఅనుగుణంగా సాధారణ పంపిణీ N(μ;σ 2 /n) పారామితులతో.
కాబట్టి, పాయింట్ అంచనా సగటు పంపిణీ విలువలుమనకు ఉంది - ఇది నమూనా సగటు, అనగా X సగటు. ఇప్పుడు ప్రారంభిద్దాం విశ్వాస విరామం.
విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించడం
సాధారణంగా, పంపిణీ మరియు దాని పారామితులను తెలుసుకోవడం, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మనం పేర్కొన్న విరామం నుండి విలువను తీసుకునే సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు. ఇప్పుడు దీనికి విరుద్ధంగా చేద్దాం: ఇచ్చిన సంభావ్యతతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పడిపోయే విరామాన్ని కనుగొనండి. ఉదాహరణకు, లక్షణాల నుండి సాధారణ పంపిణీ 95% సంభావ్యతతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చేయబడిందని తెలుసు సాధారణ చట్టం, నుండి సుమారు +/- 2 పరిధిలోకి వస్తుంది సగటు విలువ(గురించి వ్యాసం చూడండి). ఈ విరామం మనకు ఒక నమూనాగా ఉపయోగపడుతుంది విశ్వాస విరామం.
ఇప్పుడు పంపిణీ ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం , ఈ విరామాన్ని లెక్కించాలా? ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, మేము పంపిణీ యొక్క ఆకృతిని మరియు దాని పారామితులను సూచించాలి.
పంపిణీ రూపం మనకు తెలుసు - ఇది సాధారణ పంపిణీ(మనం మాట్లాడుకుంటున్నామని గుర్తుంచుకోండి నమూనా పంపిణీ గణాంకాలు X సగటు).
μ పరామితి మనకు తెలియదు (దీనిని ఉపయోగించి అంచనా వేయాలి విశ్వాస విరామం), కానీ మాకు దాని గురించి ఒక అంచనా ఉంది X సగటు,ఆధారంగా లెక్కించబడుతుంది నమూనాలు,ఏది ఉపయోగించవచ్చు.
రెండవ పరామితి - నమూనా సగటు యొక్క ప్రామాణిక విచలనం మేము దానిని తెలిసినట్లుగా పరిగణిస్తాము, ఇది σ/√nకి సమానం.
ఎందుకంటే మాకు μ తెలియదు, అప్పుడు మేము విరామం +/- 2ని నిర్మిస్తాము ప్రామాణిక విచలనాలునుండి కాదు సగటు విలువ, మరియు దాని తెలిసిన అంచనా నుండి X సగటు. ఆ. లెక్కించేటప్పుడు విశ్వాస విరామంమేము దానిని ఊహించము X సగటు+/- 2 పరిధిలోకి వస్తుంది ప్రామాణిక విచలనాలుμ నుండి 95% సంభావ్యతతో, మరియు మేము విరామం +/- 2 అని ఊహిస్తాము ప్రామాణిక విచలనాలునుండి X సగటు 95% సంభావ్యతతో ఇది μని కవర్ చేస్తుంది - సాధారణ జనాభా సగటు,దాని నుండి తీసుకోబడింది నమూనా. ఈ రెండు స్టేట్‌మెంట్‌లు సమానంగా ఉంటాయి, కానీ రెండవ స్టేట్‌మెంట్‌ను నిర్మించడానికి అనుమతిస్తుంది విశ్వాస విరామం.
అదనంగా, మనం విరామాన్ని స్పష్టం చేద్దాం: యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ చేయబడింది సాధారణ చట్టం, 95% సంభావ్యతతో విరామం +/- 1.960 లోపల వస్తుంది ప్రామాణిక విచలనాలు,+/- కాదు 2 ప్రామాణిక విచలనాలు. దీనిని ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), సెం.మీ. ఉదాహరణ ఫైల్ షీట్ విరామం.
ఇప్పుడు మనం ప్రాబబిలిస్టిక్ స్టేట్‌మెంట్‌ను రూపొందించవచ్చు, అది రూపొందించడానికి మాకు ఉపయోగపడుతుంది విశ్వాస విరామం:
"అది సంభావ్యత జనాభా సగటునుండి ఉన్న నమూనా సగటు 1,960 "లోపు నమూనా సగటు యొక్క ప్రామాణిక విచలనాలు", 95%కి సమానం".
స్టేట్‌మెంట్‌లో పేర్కొన్న సంభావ్యత విలువకు ప్రత్యేక పేరు ఉంది , ఇది అనుబంధించబడిందిఒక సాధారణ వ్యక్తీకరణ ద్వారా ప్రాముఖ్యత స్థాయి α (ఆల్ఫా). విశ్వసనీయ స్థాయి =1 -α . మా విషయంలో ప్రాముఖ్యత స్థాయి α =1-0,95=0,05 .
ఇప్పుడు, ఈ సంభావ్య ప్రకటన ఆధారంగా, మేము గణన కోసం ఒక వ్యక్తీకరణను వ్రాస్తాము విశ్వాస విరామం:
ఇక్కడ Z α/2 – ప్రమాణం సాధారణ పంపిణీ(యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఈ విలువ z, ఏమిటి పి(z>=Z α/2 )=α/2).
గమనిక: ఎగువ α/2-క్వాంటైల్వెడల్పును నిర్వచిస్తుంది విశ్వాస విరామంవి ప్రామాణిక విచలనాలు నమూనా సగటు. ఎగువ α/2-క్వాంటైల్ ప్రమాణం సాధారణ పంపిణీఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువ, ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
మా విషయంలో, α=0.05తో, ఎగువ α/2-క్వాంటైల్ 1.960కి సమానం. ఇతర ప్రాముఖ్యత స్థాయిల కోసం α (10%; 1%) ఎగువ α/2-క్వాంటైల్ Z α/2 ఫార్ములా =NORM.ST.REV(1-α/2) లేదా, తెలిస్తే గణించవచ్చు విశ్వసనీయ స్థాయి, =NORM.ST.OBR((1+విశ్వాస స్థాయి)/2).
సాధారణంగా నిర్మించేటప్పుడు సగటును అంచనా వేయడానికి విశ్వాస అంతరాలుమాత్రమే ఉపయోగించండి ఎగువ α/2-పరిమాణాత్మకమైనమరియు ఉపయోగించవద్దు తక్కువ α/2-పరిమాణాత్మకమైన. ఇది సాధ్యమైంది ఎందుకంటే ప్రమాణం సాధారణ పంపిణీ x అక్షం గురించి సుష్టంగా ( దాని పంపిణీ సాంద్రతగురించి సుష్ట సగటు, అనగా. 0). అందువల్ల, లెక్కించాల్సిన అవసరం లేదు తక్కువ α/2-క్వాంటైల్(దీనిని కేవలం α అని పిలుస్తారు /2-క్వాంటైల్), ఎందుకంటే అది సమానం ఎగువ α/2-పరిమాణాత్మకమైనమైనస్ గుర్తుతో.
x విలువ పంపిణీ ఆకారం ఉన్నప్పటికీ, సంబంధిత యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అని మనం గుర్తుచేసుకుందాం X సగటుపంపిణీ చేయబడింది సుమారు ఫైన్ N(μ;σ 2 /n) (గురించి కథనం చూడండి). కాబట్టి, సాధారణంగా, పైన పేర్కొన్న వ్యక్తీకరణ విశ్వాస విరామంఅనేది ఉజ్జాయింపు మాత్రమే. x విలువ పంపిణీ చేయబడితే సాధారణ చట్టం N(μ;σ 2 /n), తర్వాత దీని కోసం వ్యక్తీకరణ విశ్వాస విరామంఖచ్చితమైనది.
MS EXCELలో కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్ లెక్కింపు
సమస్యను పరిష్కరించుకుందాం.
ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్‌కు ఎలక్ట్రానిక్ భాగం యొక్క ప్రతిస్పందన సమయం పరికరం యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణం. ఒక ఇంజనీర్ 95% విశ్వాస స్థాయిలో సగటు ప్రతిస్పందన సమయానికి విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించాలనుకుంటున్నారు. మునుపటి అనుభవం నుండి, ప్రతిస్పందన సమయం యొక్క ప్రామాణిక విచలనం 8 ms అని ఇంజనీర్‌కు తెలుసు. ప్రతిస్పందన సమయాన్ని అంచనా వేయడానికి, ఇంజనీర్ 25 కొలతలు చేసాడు, సగటు విలువ 78 ms.
పరిష్కారం: ఒక ఇంజనీర్ ఎలక్ట్రానిక్ పరికరం యొక్క ప్రతిస్పందన సమయాన్ని తెలుసుకోవాలనుకుంటాడు, అయితే ప్రతిస్పందన సమయం స్థిర విలువ కాదని, దాని స్వంత పంపిణీని కలిగి ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అని అతను అర్థం చేసుకున్నాడు. కాబట్టి, ఈ పంపిణీ యొక్క పారామితులు మరియు ఆకృతిని నిర్ణయించడం అతను ఆశించగల ఉత్తమమైనది.
దురదృష్టవశాత్తూ, సమస్య పరిస్థితుల నుండి ప్రతిస్పందన సమయ పంపిణీ ఆకృతి మనకు తెలియదు (అది కానవసరం లేదు సాధారణ) , ఈ పంపిణీ కూడా తెలియదు. అతనికి మాత్రమే తెలుసు ప్రామాణిక విచలనంσ=8. కాబట్టి, మేము సంభావ్యతలను లెక్కించలేము మరియు నిర్మించలేము విశ్వాస విరామం.
అయితే, పంపిణీ గురించి మాకు తెలియదు సమయం ప్రత్యేక ప్రతిస్పందన, ప్రకారం మాకు తెలుసు CPT, నమూనా పంపిణీ సగటు ప్రతిస్పందన సమయంసుమారుగా ఉంది సాధారణ(పరిస్థితులు అని మేము అనుకుంటాము CPTనిర్వహిస్తారు, ఎందుకంటే పరిమాణం నమూనాలుచాలా పెద్దది (n=25)) .
అంతేకాకుండా, సగటుఈ పంపిణీ సమానం సగటు విలువఒకే ప్రతిస్పందన పంపిణీ, అనగా. μ. ఎ ప్రామాణిక విచలనంఈ పంపిణీని (σ/√n) =8/ROOT(25) సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.
ఇంజనీర్ అందుకున్నాడని కూడా తెలిసింది పాయింట్ అంచనాపరామితి μ 78 ms (X సగటు)కి సమానం. కాబట్టి, ఇప్పుడు మనం సంభావ్యతలను లెక్కించవచ్చు, ఎందుకంటే పంపిణీ రూపం మాకు తెలుసు ( సాధారణ) మరియు దాని పారామితులు (X సగటు మరియు σ/√n).
ఇంజనీర్ తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు అంచనా విలువμ ప్రతిస్పందన సమయ పంపిణీలు. పైన చెప్పినట్లుగా, ఈ μ సమానం సగటు ప్రతిస్పందన సమయం యొక్క నమూనా పంపిణీ యొక్క గణిత అంచనా. మనం ఉపయోగిస్తే సాధారణ పంపిణీ N(X సగటు; σ/√n), అప్పుడు కావలసిన μ సుమారు 95% సంభావ్యతతో +/-2*σ/√n పరిధిలో ఉంటుంది.
ప్రాముఖ్యత స్థాయి 1-0.95=0.05 సమానం.
చివరగా, ఎడమ మరియు కుడి అంచుని కనుగొనండి విశ్వాస విరామం.
ఎడమ అంచు: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/రూట్(25) =
74,864
కుడి అంచు: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/రూట్(25)=81.136
ఎడమ అంచు: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/రూట్(25))
కుడి అంచు: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/రూట్(25))
సమాధానం: విశ్వాస విరామంవద్ద 95% విశ్వాస స్థాయి మరియు σ=8msecసమానం 78+/-3.136 ms.
IN సిగ్మా షీట్‌లోని ఉదాహరణ ఫైల్తెలిసిన, గణన మరియు నిర్మాణం కోసం ఒక రూపం సృష్టించబడింది రెండు వైపులా విశ్వాస విరామంఏకపక్షం కోసం నమూనాలుఇచ్చిన σ తో మరియు ప్రాముఖ్యత స్థాయి.
CONFIDENCE.NORM() ఫంక్షన్
విలువలు ఉంటే నమూనాలుపరిధిలో ఉన్నాయి B20:B79
, ఎ ప్రాముఖ్యత స్థాయి 0.05కి సమానం; అప్పుడు MS EXCEL ఫార్ములా:
=సగటు(B20:B79)-కాన్ఫిడెన్స్.నార్మ్(0.05;σ; COUNT(B20:B79))
ఎడమ అంచుని తిరిగి ఇస్తుంది విశ్వాస విరామం.
అదే పరిమితిని ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు:
=సగటు(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/రూట్(COUNT(B20:B79))
గమనిక: CONFIDENCE.NORM() ఫంక్షన్ MS EXCEL 2010లో కనిపించింది. MS EXCEL యొక్క మునుపటి సంస్కరణల్లో, TRUST() ఫంక్షన్ ఉపయోగించబడింది.
మునుపటి ఉపవిభాగాలలో మేము తెలియని పరామితిని అంచనా వేసే సమస్యను పరిగణించాము ఎఒక సంఖ్య. దీనిని "పాయింట్" అంచనా అంటారు. అనేక పనులలో, మీరు పరామితి కోసం మాత్రమే కనుగొనవలసి ఉంటుంది ఎతగిన సంఖ్యా విలువ, కానీ దాని ఖచ్చితత్వం మరియు విశ్వసనీయతను అంచనా వేయడానికి కూడా. పరామితిని భర్తీ చేయడం వల్ల ఏ లోపాలు దారితీస్తాయో మీరు తెలుసుకోవాలి ఎదాని పాయింట్ అంచనా ఎమరియు ఈ లోపాలు తెలిసిన పరిమితులను మించవని మనం ఏ స్థాయి విశ్వాసంతో ఆశించవచ్చు?
పాయింట్ అంచనా ఉన్నప్పుడు ఈ రకమైన సమస్యలు ముఖ్యంగా తక్కువ సంఖ్యలో పరిశీలనలతో సంబంధితంగా ఉంటాయి మరియు లోపలచాలా వరకు యాదృచ్ఛికం మరియు a ద్వారా సుమారుగా భర్తీ చేయడం తీవ్రమైన లోపాలకు దారితీయవచ్చు.
అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వం మరియు విశ్వసనీయత గురించి ఒక ఆలోచన ఇవ్వడానికి ఎ,
గణిత గణాంకాలలో, విశ్వాస అంతరాలు మరియు విశ్వాస సంభావ్యత అని పిలవబడేవి ఉపయోగించబడతాయి.
పరామితి కోసం లెట్ ఎఅనుభవం నుండి పొందిన నిష్పాక్షిక అంచనా ఎ.మేము ఈ సందర్భంలో సాధ్యమయ్యే లోపాన్ని అంచనా వేయాలనుకుంటున్నాము. తగినంత పెద్ద సంభావ్యత pని (ఉదాహరణకు, p = 0.9, 0.95 లేదా 0.99) కేటాయిద్దాం, అంటే p సంభావ్యతతో ఈవెంట్‌ని ఆచరణాత్మకంగా నమ్మదగినదిగా పరిగణించవచ్చు మరియు దీని కోసం s విలువను కనుగొనండి
అప్పుడు భర్తీ సమయంలో ఉత్పన్నమయ్యే లోపం యొక్క ఆచరణాత్మకంగా సాధ్యమయ్యే విలువల పరిధి ఎపై ఎ, ± s ఉంటుంది; సంపూర్ణ విలువలో పెద్ద లోపాలు తక్కువ సంభావ్యతతో మాత్రమే కనిపిస్తాయి a = 1 - p. (14.3.1) ఇలా తిరిగి వ్రాద్దాం:
సమానత్వం (14.3.2) అంటే p సంభావ్యతతో పరామితి యొక్క తెలియని విలువ ఎవిరామం లోపల వస్తుంది
ఒక పరిస్థితిని గమనించడం అవసరం. ఇంతకుముందు, ఇచ్చిన యాదృచ్ఛికం కాని విరామంలో రాండమ్ వేరియబుల్ పడే సంభావ్యతను మేము పదేపదే పరిగణించాము. ఇక్కడ పరిస్థితి భిన్నంగా ఉంటుంది: పరిమాణం ఎయాదృచ్ఛికం కాదు, కానీ విరామం / p యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది. x- అక్షం మీద దాని స్థానం యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది, దాని కేంద్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది ఎ; సాధారణంగా, విరామం 2s యొక్క పొడవు కూడా యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే s విలువ ఒక నియమం వలె ప్రయోగాత్మక డేటా నుండి లెక్కించబడుతుంది. కాబట్టి, ఈ సందర్భంలో, p విలువను పాయింట్‌ను “కొట్టడం” సంభావ్యతగా అర్థం చేసుకోవడం మంచిది. ఎవిరామం / pలో, మరియు యాదృచ్ఛిక విరామం / p పాయింట్‌ను కవర్ చేసే సంభావ్యతగా ఎ(Fig. 14.3.1).
అన్నం. 14.3.1
సంభావ్యత pని సాధారణంగా అంటారు విశ్వాస సంభావ్యత, మరియు విరామం / p - విశ్వాస విరామం.విరామ సరిహద్దులు ఉంటే. a x =a-లు మరియు a 2 = a +మరియు అంటారు ట్రస్ట్ సరిహద్దులు.
కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్ అనే కాన్సెప్ట్‌కు మరొక వివరణ ఇద్దాం: దీనిని పరామితి విలువల విరామంగా పరిగణించవచ్చు. A,ప్రయోగాత్మక డేటాకు అనుకూలంగా ఉంటుంది మరియు వాటికి విరుద్ధంగా లేదు. వాస్తవానికి, a = 1-p సంభావ్యతతో ఒక ఈవెంట్‌ను పరిగణించడానికి మేము అంగీకరిస్తే, ఆచరణాత్మకంగా అసాధ్యమైన పరామితి యొక్క విలువలు a a - a> లు తప్పనిసరిగా విరుద్ధమైన ప్రయోగాత్మక డేటాగా గుర్తించబడాలి మరియు వాటి కోసం |a - ఎఒక t na 2 .
పరామితి కోసం లెట్ ఎనిష్పాక్షికమైన అంచనా ఉంది ఎ.పరిమాణం పంపిణీ చట్టం మనకు తెలిస్తే ఎ, కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్‌ను కనుగొనే పని చాలా సులభం: దీని కోసం ఒక విలువను కనుగొనడానికి సరిపోతుంది
ఇబ్బంది అనేది అంచనాల పంపిణీ చట్టం ఎపరిమాణం యొక్క పంపిణీ చట్టంపై ఆధారపడి ఉంటుంది Xఅందువలన, దాని తెలియని పారామితులపై (ముఖ్యంగా, పరామితిపైనే ఎ)
ఈ కష్టాన్ని అధిగమించడానికి, మీరు ఈ క్రింది సుమారుగా సుమారుగా సాంకేతికతను ఉపయోగించవచ్చు: s కోసం వ్యక్తీకరణలో తెలియని పారామితులను వాటి పాయింట్ అంచనాలతో భర్తీ చేయండి. సాపేక్షంగా పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో పి(సుమారు 20...30) ఈ సాంకేతికత సాధారణంగా ఖచ్చితత్వం పరంగా సంతృప్తికరమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది.
ఉదాహరణగా, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు విశ్వాస విరామం సమస్యను పరిగణించండి.
దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి పి X,దీని లక్షణాలు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ టిమరియు వైవిధ్యం డి- తెలియదు. ఈ పారామితుల కోసం క్రింది అంచనాలు పొందబడ్డాయి:
గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు విశ్వాస సంభావ్యత pకి అనుగుణంగా విశ్వాస విరామం / pని నిర్మించడం అవసరం టిపరిమాణంలో X.
ఈ సమస్యను పరిష్కరించేటప్పుడు, మేము పరిమాణం అనే వాస్తవాన్ని ఉపయోగిస్తాము టిమొత్తాన్ని సూచిస్తుంది పిస్వతంత్ర ఒకేలా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ X hమరియు కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం ప్రకారం, తగినంత పెద్దది పిదాని పంపిణీ చట్టం సాధారణ స్థాయికి దగ్గరగా ఉంది. ఆచరణలో, సాపేక్షంగా తక్కువ సంఖ్యలో నిబంధనలతో (సుమారు 10...20) కూడా, మొత్తం పంపిణీ చట్టం సుమారుగా సాధారణమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. మేము విలువ అని అనుకుంటాము టిసాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది. ఈ చట్టం యొక్క లక్షణాలు - గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ మరియు వైవిధ్యం - వరుసగా సమానంగా ఉంటాయి టిమరియు
(అధ్యాయం 13 ఉపవిభాగం 13.3 చూడండి). విలువ అని అనుకుందాం డిమాకు తెలుసు మరియు దీని కోసం విలువ Epని కనుగొంటాము
అధ్యాయం 6 యొక్క ఫార్ములా (6.3.5) ఉపయోగించి, మేము సాధారణ పంపిణీ ఫంక్షన్ ద్వారా (14.3.5) ఎడమ వైపున సంభావ్యతను వ్యక్తపరుస్తాము.
అంచనా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం ఎక్కడ ఉంది టి.
Eq నుండి.
Sp విలువను కనుగొనండి: 
ఇక్కడ arg Ф* (х) అనేది Ф* యొక్క విలోమ ఫంక్షన్ (X),ఆ. సాధారణ పంపిణీ ఫంక్షన్ సమానమైన వాదన యొక్క అటువంటి విలువ X.
చెదరగొట్టడం D,దీని ద్వారా పరిమాణం వ్యక్తీకరించబడుతుంది ఎ 1P, మాకు ఖచ్చితంగా తెలియదు; దాని ఉజ్జాయింపు విలువగా, మీరు అంచనాను ఉపయోగించవచ్చు డి(14.3.4) మరియు సుమారుగా ఉంచండి:
అందువల్ల, విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించే సమస్య సుమారుగా పరిష్కరించబడింది, ఇది సమానం:
ఇక్కడ gp సూత్రం (14.3.7) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.
s pని లెక్కించేటప్పుడు ఫంక్షన్ Ф* (l) యొక్క పట్టికలలో రివర్స్ ఇంటర్‌పోలేషన్‌ను నివారించడానికి, ప్రత్యేక పట్టిక (టేబుల్ 14.3.1) ను కంపైల్ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది, ఇది పరిమాణం యొక్క విలువలను ఇస్తుంది.
r మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. విలువ (p అనేది సాధారణ చట్టం కోసం విక్షేపణ కేంద్రం నుండి కుడి మరియు ఎడమకు పన్నాగం చేయవలసిన ప్రామాణిక విచలనాల సంఖ్యను నిర్ణయిస్తుంది, తద్వారా ఫలిత ప్రాంతంలోకి ప్రవేశించే సంభావ్యత pకి సమానంగా ఉంటుంది.
విలువ 7 pని ఉపయోగించి, విశ్వాస విరామం ఇలా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
పట్టిక 14.3.1
ఉదాహరణ 1. పరిమాణంపై 20 ప్రయోగాలు జరిగాయి X;ఫలితాలు పట్టికలో చూపబడ్డాయి. 14.3.2
పట్టిక 14.3.2
పరిమాణం యొక్క గణిత నిరీక్షణ కోసం అంచనాను కనుగొనడం అవసరం Xమరియు కాన్ఫిడెన్స్ సంభావ్యత p = 0.8కి అనుగుణంగా విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించండి.
పరిష్కారం.మాకు ఉన్నాయి:
l: = 10ని రిఫరెన్స్ పాయింట్‌గా ఎంచుకోవడం, మూడవ ఫార్ములా (14.2.14)ని ఉపయోగించి మేము నిష్పాక్షికమైన అంచనాను కనుగొంటాము. డి :
పట్టిక ప్రకారం 14.3.1 మేము కనుగొన్నాము 
విశ్వాస పరిమితులు:
విశ్వాస విరామం:
పరామితి విలువలు T,ఈ విరామంలో ఉన్నవి పట్టికలో ఇవ్వబడిన ప్రయోగాత్మక డేటాకు అనుకూలంగా ఉంటాయి. 14.3.2
వైవిధ్యం కోసం విశ్వాస విరామం ఇదే విధంగా నిర్మించబడుతుంది.
దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి పియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌పై స్వతంత్ర ప్రయోగాలు X A మరియు డిస్పర్షన్ రెండింటికీ తెలియని పారామితులతో డినిష్పాక్షికమైన అంచనా పొందబడింది:
భేదం కోసం సుమారుగా విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించడం అవసరం.
ఫార్ములా (14.3.11) నుండి పరిమాణం స్పష్టంగా ఉంది డిప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది
మొత్తం పిరూపం యొక్క యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్. ఈ విలువలు కావు
స్వతంత్రమైనది, ఎందుకంటే వాటిలో ఏదైనా పరిమాణం ఉంటుంది T,అందరిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అయితే, అది పెరగడంతో చూపించవచ్చు పివాటి మొత్తం పంపిణీ చట్టం కూడా సాధారణ స్థాయికి చేరుకుంటుంది. దాదాపు వద్ద పి= 20...30 ఇది ఇప్పటికే సాధారణమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది.
ఇది అలా అని అనుకుందాం మరియు ఈ చట్టం యొక్క లక్షణాలను కనుగొనండి: గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తి. అంచనా వేసినప్పటి నుండి డి- నిష్పక్షపాతంగా, అప్పుడు M[D] = D.
వైవిధ్యం గణన డి డిసాపేక్షంగా సంక్లిష్టమైన గణనలతో అనుబంధించబడింది, కాబట్టి మేము దాని వ్యక్తీకరణను ఉత్పన్నం లేకుండా ప్రదర్శిస్తాము:
ఇక్కడ q 4 అనేది మాగ్నిట్యూడ్ యొక్క నాల్గవ కేంద్ర క్షణం X.
ఈ వ్యక్తీకరణను ఉపయోగించడానికి, మీరు విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి \u003d 4 మరియు డి(కనీసం సన్నిహితులు). బదులుగా డిమీరు అతని అంచనాను ఉపయోగించవచ్చు డి.సూత్రప్రాయంగా, నాల్గవ కేంద్ర క్షణం కూడా ఒక అంచనా ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది, ఉదాహరణకు, రూపం యొక్క విలువ:
కానీ అటువంటి భర్తీ చాలా తక్కువ ఖచ్చితత్వాన్ని ఇస్తుంది, ఎందుకంటే సాధారణంగా, పరిమిత సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, అధిక-ఆర్డర్ క్షణాలు పెద్ద లోపాలతో నిర్ణయించబడతాయి. అయితే, ఆచరణలో ఇది తరచుగా జరుగుతుంది పరిమాణం పంపిణీ చట్టం రకం Xముందుగానే తెలుసు: దాని పారామితులు మాత్రమే తెలియవు. అప్పుడు మీరు μ 4 ద్వారా వ్యక్తీకరించడానికి ప్రయత్నించవచ్చు డి.
విలువ ఉన్నప్పుడు అత్యంత సాధారణ కేసును తీసుకుందాం Xసాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది. అప్పుడు దాని నాల్గవ కేంద్ర క్షణం వ్యాప్తి పరంగా వ్యక్తీకరించబడింది (చాప్టర్ 6, ఉపవిభాగం 6.2 చూడండి);
మరియు ఫార్ములా (14.3.12) ఇస్తుంది 
లేదా
(14.3.14)లో తెలియని వాటిని భర్తీ చేస్తోంది డిఅతని అంచనా డి, మనకు లభిస్తుంది: ఎక్కడ నుండి 
క్షణం μ 4 ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు డికొన్ని ఇతర సందర్భాల్లో, విలువ పంపిణీ చేసినప్పుడు Xసాధారణ కాదు, కానీ దాని రూపాన్ని పిలుస్తారు. ఉదాహరణకు, ఏకరీతి సాంద్రత యొక్క చట్టం కోసం (అధ్యాయం 5 చూడండి) మేము కలిగి ఉన్నాము: 
ఇక్కడ (a, P) అనేది చట్టం పేర్కొనబడిన విరామం.
అందుకే,
ఫార్ములా (14.3.12) ఉపయోగించి మనం పొందుతాము: 
మేము సుమారుగా ఎక్కడ కనుగొంటాము
పరిమాణం 26 కోసం పంపిణీ చట్టం యొక్క రకం తెలియని సందర్భాల్లో, విలువ a/) యొక్క సుమారుగా అంచనా వేసేటప్పుడు, ఈ చట్టాన్ని విశ్వసించడానికి ప్రత్యేక కారణాలు లేనట్లయితే, ఫార్ములా (14.3.16)ని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడింది. సాధారణం నుండి చాలా భిన్నంగా ఉంటుంది (గుర్తించదగిన సానుకూల లేదా ప్రతికూల కుర్టోసిస్ ఉంది) .
ఉజ్జాయింపు విలువ a/) ఒక విధంగా లేదా మరొక విధంగా పొందబడితే, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కోసం మనం నిర్మించిన విధంగానే వైవిధ్యం కోసం విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించవచ్చు:
ఇక్కడ ఇవ్వబడిన సంభావ్యత pపై ఆధారపడి విలువ పట్టిక ప్రకారం కనుగొనబడుతుంది. 14.3.1.
ఉదాహరణ 2. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వైవిధ్యం కోసం సుమారు 80% విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొనండి Xఉదాహరణ 1 యొక్క షరతుల ప్రకారం, విలువ అని తెలిస్తే Xసాధారణానికి దగ్గరగా ఉన్న చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది.
పరిష్కారం.విలువ పట్టికలో వలెనే ఉంటుంది. 14.3.1:
సూత్రం ప్రకారం (14.3.16)
ఫార్ములా (14.3.18) ఉపయోగించి మేము విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొంటాము:
ప్రామాణిక విచలనం విలువల సంబంధిత పరిధి: (0.21; 0.29).
14.4 సాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క పారామితుల కోసం విశ్వాస విరామాలను నిర్మించడానికి ఖచ్చితమైన పద్ధతులు
మునుపటి ఉపవిభాగంలో, మేము గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ మరియు వైవిధ్యం కోసం విశ్వాస విరామాలను నిర్మించడానికి సుమారుగా సుమారుగా పద్ధతులను పరిశీలించాము. ఇక్కడ మేము అదే సమస్యను పరిష్కరించడానికి ఖచ్చితమైన పద్ధతుల గురించి ఒక ఆలోచనను ఇస్తాము. విశ్వాస విరామాలను ఖచ్చితంగా కనుగొనడానికి, పరిమాణం యొక్క పంపిణీ చట్టం యొక్క రూపాన్ని ముందుగానే తెలుసుకోవడం అవసరం అని మేము నొక్కిచెప్పాము. X,అయితే ఉజ్జాయింపు పద్ధతుల దరఖాస్తు కోసం ఇది అవసరం లేదు.
విశ్వాస విరామాలను నిర్మించడానికి ఖచ్చితమైన పద్ధతుల ఆలోచన క్రిందికి వస్తుంది. ఏదైనా విశ్వాస విరామం నిర్దిష్ట అసమానతలను నెరవేర్చే సంభావ్యతను వ్యక్తపరిచే పరిస్థితి నుండి కనుగొనబడుతుంది, ఇందులో మనకు ఆసక్తి ఉన్న అంచనా ఉంటుంది ఎ.వాల్యుయేషన్ పంపిణీ చట్టం ఎసాధారణ సందర్భంలో పరిమాణం యొక్క తెలియని పారామితులపై ఆధారపడి ఉంటుంది X.అయితే, కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నుండి అసమానతలను దాటడం సాధ్యమవుతుంది ఎగమనించిన విలువల యొక్క కొన్ని ఇతర విధికి X p X 2, ..., X p.పంపిణీ చట్టం తెలియని పారామితులపై ఆధారపడి ఉండదు, కానీ ప్రయోగాల సంఖ్య మరియు పరిమాణం యొక్క పంపిణీ చట్టం రకంపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుంది X.ఈ రకమైన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ గణిత గణాంకాలలో ముఖ్యమైన పాత్రను పోషిస్తాయి; పరిమాణం యొక్క సాధారణ పంపిణీ విషయంలో అవి చాలా వివరంగా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి X.
ఉదాహరణకు, విలువ యొక్క సాధారణ పంపిణీతో ఇది నిరూపించబడింది Xయాదృచ్ఛిక విలువ
అని పిలవబడే వాటిని పాటిస్తాడు విద్యార్థుల పంపిణీ చట్టంతో పి- 1 డిగ్రీల స్వేచ్ఛ; ఈ చట్టం యొక్క సాంద్రత రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది
ఇక్కడ G(x) అనేది తెలిసిన గామా ఫంక్షన్:
ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అని కూడా నిరూపించబడింది
తో "% 2 పంపిణీ" ఉంది పి- 1 డిగ్రీల స్వేచ్ఛ (చాప్టర్ 7 చూడండి), దీని సాంద్రత సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది
పంపిణీల (14.4.2) మరియు (14.4.4) ఉత్పన్నాలపై దృష్టి పెట్టకుండా, పారామితుల కోసం విశ్వాస అంతరాలను నిర్మించేటప్పుడు వాటిని ఎలా అన్వయించవచ్చో మేము చూపుతాము టి డి.
దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి పియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌పై స్వతంత్ర ప్రయోగాలు X,సాధారణంగా తెలియని పారామితులతో పంపిణీ చేయబడుతుంది T&O.ఈ పారామితుల కోసం, అంచనాలు పొందబడ్డాయి
కాన్ఫిడెన్స్ ప్రాబబిలిటీ pకి అనుగుణంగా రెండు పారామీటర్‌ల కోసం కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్‌లను నిర్మించడం అవసరం.
ముందుగా గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మిద్దాము. సంబంధించి ఈ విరామాన్ని సుష్టంగా తీసుకోవడం సహజం టి; s p విరామం యొక్క సగం పొడవును సూచిస్తాయి. షరతు సంతృప్తి చెందడానికి s p విలువను తప్పనిసరిగా ఎంచుకోవాలి
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నుండి సమానత్వం (14.4.5) ఎడమ వైపున తరలించడానికి ప్రయత్నిద్దాం టియాదృచ్ఛిక చరరాశికి T,విద్యార్థి చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడింది. దీన్ని చేయడానికి, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా గుణించండి |m-w?|
సానుకూల విలువ ద్వారా: 
లేదా, సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి (14.4.1),
కండిషన్ నుండి విలువ / pని కనుగొనగలిగే సంఖ్య / pని కనుగొనండి
ఫార్ములా (14.4.2) నుండి (1) సరి ఫంక్షన్ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, కాబట్టి (14.4.8) ఇస్తుంది 
సమానత్వం (14.4.9) pని బట్టి విలువ / pని నిర్ణయిస్తుంది. మీ వద్ద సమగ్ర విలువల పట్టిక ఉంటే
అప్పుడు /p విలువను పట్టికలో రివర్స్ ఇంటర్‌పోలేషన్ ద్వారా కనుగొనవచ్చు. అయితే, ముందుగానే /p విలువల పట్టికను రూపొందించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అటువంటి పట్టిక అనుబంధం (టేబుల్ 5) లో ఇవ్వబడింది. ఈ పట్టిక విశ్వాస స్థాయి p మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యపై ఆధారపడి విలువలను చూపుతుంది పి- 1. పట్టిక నుండి నిర్ణయించిన / p. 5 మరియు ఊహిస్తూ 
మేము విశ్వాస విరామం / p మరియు విరామం యొక్క సగం వెడల్పును కనుగొంటాము
ఉదాహరణ 1. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌పై 5 స్వతంత్ర ప్రయోగాలు జరిగాయి X,సాధారణంగా తెలియని పారామితులతో పంపిణీ చేయబడుతుంది టిమరియు గురించి. ప్రయోగాల ఫలితాలు పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. 14.4.1.
పట్టిక 14.4.1
రేటింగ్‌ను కనుగొనండి టిగణిత నిరీక్షణ కోసం మరియు దాని కోసం 90% విశ్వాస విరామం / pని నిర్మించండి (అనగా, విశ్వాస సంభావ్యత p = 0.9కి సంబంధించిన విరామం).
పరిష్కారం.మాకు ఉన్నాయి:
అప్లికేషన్ యొక్క టేబుల్ 5 ప్రకారం పి - 1 = 4 మరియు p = 0.9 మేము కనుగొంటాము 
ఎక్కడ 
విశ్వాస విరామం ఉంటుంది
ఉదాహరణ 2. ఉపవిభాగం 14.3 యొక్క ఉదాహరణ 1 యొక్క షరతుల కోసం, విలువను ఊహిస్తూ Xసాధారణంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది, ఖచ్చితమైన విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొనండి.
పరిష్కారం.అనుబంధం యొక్క టేబుల్ 5 ప్రకారం మనం ఎప్పుడు కనుగొంటాము పి - 1 = 19ir =
0.8 / p = 1.328; ఇక్కడనుంచి 
ఉపవిభాగం 14.3 (e p = 0.072) యొక్క ఉదాహరణ 1 యొక్క పరిష్కారంతో పోల్చి చూస్తే, వ్యత్యాసం చాలా తక్కువగా ఉందని మేము నమ్ముతున్నాము. మేము రెండవ దశాంశ స్థానానికి ఖచ్చితత్వాన్ని కొనసాగిస్తే, ఖచ్చితమైన మరియు ఉజ్జాయింపు పద్ధతుల ద్వారా కనుగొనబడిన విశ్వాస అంతరాలు సమానంగా ఉంటాయి:
వైవిధ్యం కోసం విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించడానికి ముందుకు వెళ్దాం. నిష్పాక్షికమైన వ్యత్యాస అంచనాదారుని పరిగణించండి
మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను వ్యక్తపరచండి డిపరిమాణం ద్వారా వి(14.4.3), పంపిణీ x 2 (14.4.4):
పరిమాణం పంపిణీ చట్టం తెలుసుకోవడం V,మీరు విరామాన్ని కనుగొనవచ్చు /(1) ఇది ఇచ్చిన సంభావ్యత pతో వస్తుంది.
పంపిణీ చట్టం kn_x(v)మాగ్నిట్యూడ్ I 7 అంజీర్‌లో చూపిన రూపాన్ని కలిగి ఉంది. 14.4.1.
అన్నం. 14.4.1
ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: విరామం / pని ఎలా ఎంచుకోవాలి? పరిమాణం పంపిణీ చట్టం ఉంటే విసౌష్టవంగా (సాధారణ చట్టం లేదా విద్యార్థి పంపిణీ వంటిది), గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు సంబంధించి విరామం /p సిమెట్రిక్‌ని తీసుకోవడం సహజం. ఈ సందర్భంలో చట్టం k p_x (v)అసమాన. మేము విరామం /pని ఎంచుకోవడానికి అంగీకరిస్తాము, తద్వారా విలువ యొక్క సంభావ్యత ఉంటుంది వివిరామం దాటి కుడి మరియు ఎడమ (అంజీర్ 14.4.1లోని షేడెడ్ ప్రాంతాలు) ఒకే విధంగా మరియు సమానంగా ఉన్నాయి
ఈ లక్షణంతో విరామం /pని నిర్మించడానికి, మేము పట్టికను ఉపయోగిస్తాము. 4 అప్లికేషన్లు: ఇది సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది y)అలాంటి
విలువ కోసం V, x 2 -స్వేచ్ఛ యొక్క r డిగ్రీలతో పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది. మా విషయంలో r = n- 1. సరి చేద్దాం r = n- 1 మరియు పట్టిక యొక్క సంబంధిత వరుసలో కనుగొనండి. 4 రెండు అర్థాలు x 2 -ఒకటి సంభావ్యతకు సంబంధించినది మరొకటి - సంభావ్యత వీటిని సూచిస్తాము
విలువలు 2 వద్దమరియు xl?విరామం ఉంది y 2,మీ ఎడమవైపు, మరియు y~కుడి ముగింపు.
ఇప్పుడు మనం ఇంటర్వెల్ / p నుండి కావలసిన కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్ /|, సరిహద్దులు D తో విక్షేపణ కోసం కనుగొని, మరియు D2,పాయింట్ కవర్ చేస్తుంది డిసంభావ్యత pతో: 
పాయింట్‌ని కవర్ చేసే విరామాన్ని / (, = (?> ь А) నిర్మిస్తాము డివిలువ ఉంటే మరియు మాత్రమే వివిరామం /r లోకి వస్తుంది. ఇంటర్వెల్ అని చూపిద్దాం
ఈ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరుస్తుంది. నిజానికి, అసమానతలు 
అసమానతలకు సమానం
మరియు ఈ అసమానతలు సంభావ్యత pతో సంతృప్తి చెందాయి. అందువలన, వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం కనుగొనబడింది మరియు ఫార్ములా (14.4.13) ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది.
ఉదాహరణ 3. ఉపవిభాగం 14.3 యొక్క ఉదాహరణ 2 షరతులలో వ్యత్యాసం కోసం విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొనండి, అది విలువ అని తెలిస్తే Xసాధారణంగా పంపిణీ.
పరిష్కారం.మన దగ్గర ఉంది 
. అనుబంధం యొక్క టేబుల్ 4 ప్రకారం
వద్ద మేము కనుగొంటాము r = n - 1 = 19
ఫార్ములా (14.4.13)ని ఉపయోగించి మేము వైవిధ్యం కోసం విశ్వాస విరామాన్ని కనుగొంటాము 
ప్రామాణిక విచలనం కోసం సంబంధిత విరామం (0.21; 0.32). ఈ విరామం ఉజ్జాయింపు పద్ధతిని ఉపయోగించి ఉపవిభాగం 14.3 యొక్క ఉదాహరణ 2లో పొందిన విరామం (0.21; 0.29) కంటే కొంచెం ఎక్కువగా ఉంటుంది.
- మూర్తి 14.3.1 a గురించిన విశ్వాస విరామ సౌష్టవాన్ని పరిగణిస్తుంది. సాధారణంగా, మేము తరువాత చూస్తాము, ఇది అవసరం లేదు.
సేవ యొక్క ఉద్దేశ్యం. ఈ సేవను ఉపయోగించి, మీరు నిర్ణయించవచ్చు:
- సాధారణ సగటు కోసం విశ్వాస విరామం, వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామం;
- ప్రామాణిక విచలనం కోసం విశ్వాస విరామం, సాధారణ వాటా కోసం విశ్వాస విరామం;
ఉదాహరణ సంఖ్య 1. ఒక సామూహిక పొలంలో, మొత్తం 1000 గొర్రెల మందలో, 100 గొర్రెలు ఎంపిక చేసిన నియంత్రణ కోతకు గురయ్యాయి. ఫలితంగా, ఒక గొర్రెకు సగటున 4.2 కిలోల ఉన్ని క్లిప్పింగ్ స్థాపించబడింది. ఒక గొర్రెకు సగటు ఉన్ని షీరింగ్‌ను నిర్ణయించేటప్పుడు నమూనా యొక్క సగటు స్క్వేర్ ఎర్రర్‌ను 0.99 సంభావ్యతతో నిర్ణయించండి మరియు వ్యత్యాసం 2.5 అయితే మకా విలువ ఉండే పరిమితులను నిర్ణయించండి. నమూనా పునరావృతం కాదు.
ఉదాహరణ సంఖ్య 2. మాస్కో ఉత్తర కస్టమ్స్ పోస్ట్‌లో దిగుమతి చేసుకున్న ఉత్పత్తుల బ్యాచ్ నుండి, యాదృచ్ఛిక పునరావృత నమూనా ద్వారా ఉత్పత్తి "A" యొక్క 20 నమూనాలు తీసుకోబడ్డాయి. పరీక్ష ఫలితంగా, నమూనాలో ఉత్పత్తి "A" యొక్క సగటు తేమను స్థాపించారు, ఇది 1% యొక్క ప్రామాణిక విచలనంతో 6%కి సమానంగా మారింది.
దిగుమతి చేసుకున్న ఉత్పత్తుల మొత్తం బ్యాచ్‌లో ఉత్పత్తి యొక్క సగటు తేమ యొక్క పరిమితులను సంభావ్యత 0.683తో నిర్ణయించండి.
ఉదాహరణ సంఖ్య 3. 36 మంది విద్యార్థులపై జరిపిన సర్వేలో విద్యా సంవత్సరంలో వారు చదివిన పాఠ్యపుస్తకాల సగటు సంఖ్య 6కి సమానమని తేలింది. ఒక సెమిస్టర్‌కు ఒక విద్యార్థి చదివే పాఠ్యపుస్తకాల సంఖ్య 6కి సమానమైన ప్రామాణిక విచలనంతో సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉందని భావించండి. : ఎ) ఈ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా కోసం 0 .99 విరామం అంచనాతో విశ్వసనీయతతో; B) ఈ నమూనా నుండి లెక్కించబడిన ఒక సెమిస్టర్‌కు విద్యార్థి చదివే పాఠ్యపుస్తకాల సగటు సంఖ్య 2 కంటే ఎక్కువ కాకుండా సంపూర్ణ విలువలో గణిత అంచనా నుండి వైదొలగుతుందని మనం ఏ సంభావ్యతతో చెప్పగలం.
విశ్వాస విరామాల వర్గీకరణ
అంచనా వేయబడుతున్న పరామితి రకం ద్వారా:
నమూనా రకం ద్వారా:
- అనంతమైన నమూనా కోసం విశ్వాస విరామం;
- తుది నమూనా కోసం విశ్వాస విరామం;
యాదృచ్ఛిక నమూనా కోసం సగటు నమూనా లోపం యొక్క గణన
నమూనా నుండి పొందిన సూచికల విలువలు మరియు సాధారణ జనాభా యొక్క సంబంధిత పారామితుల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని అంటారు ప్రాతినిధ్య లోపం.సాధారణ మరియు నమూనా జనాభా యొక్క ప్రధాన పారామితుల యొక్క హోదాలు.
| సగటు నమూనా లోపం సూత్రాలు | |||
| తిరిగి ఎంపిక | పునరావృత ఎంపిక | ||
| సగటు కోసం | వాటా కోసం | సగటు కోసం | వాటా కోసం |
 |
|||
పూర్తిగా యాదృచ్ఛిక నమూనా పద్ధతిని ఉపయోగించి నమూనా పరిమాణాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాలు
లక్ష్యం- గణాంక పారామితుల విశ్వాస విరామాలను లెక్కించడానికి విద్యార్థులకు అల్గారిథమ్‌లను బోధించండి.
డేటాను గణాంకపరంగా ప్రాసెస్ చేస్తున్నప్పుడు, లెక్కించిన అంకగణిత సగటు, వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, సహసంబంధ గుణకం, వ్యత్యాస ప్రమాణాలు మరియు ఇతర పాయింట్ గణాంకాలు పరిమాణాత్మక విశ్వాస పరిమితులను అందుకోవాలి, ఇది విశ్వాస విరామంలో చిన్న మరియు పెద్ద దిశలలో సూచిక యొక్క సాధ్యమయ్యే హెచ్చుతగ్గులను సూచిస్తుంది.
ఉదాహరణ 3.1
.
కోతుల రక్త సీరంలో కాల్షియం పంపిణీ, గతంలో స్థాపించబడినట్లుగా, క్రింది నమూనా సూచికల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది: = 11.94 mg%; 
= 0.127 mg%; n= 100. సాధారణ సగటుకు విశ్వాస విరామాన్ని నిర్ణయించడం అవసరం ( 
) విశ్వాస సంభావ్యతతో పి
= 0,95.
సాధారణ సగటు విరామంలో నిర్దిష్ట సంభావ్యతతో ఉంటుంది:
, ఎక్కడ 
- నమూనా అంకగణిత సగటు; t- విద్యార్థి పరీక్ష; 
- అంకగణిత సగటు లోపం.
"విద్యార్థి యొక్క t-పరీక్ష విలువలు" పట్టికను ఉపయోగించి మేము విలువను కనుగొంటాము
0.95 యొక్క విశ్వాస సంభావ్యత మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యతో కె= 100-1 = 99. ఇది 1.982కి సమానం. అంకగణిత సగటు మరియు గణాంక లోపం యొక్క విలువలతో కలిపి, మేము దానిని ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
లేదా 11.69 
12,19
అందువలన, 95% సంభావ్యతతో, ఈ సాధారణ పంపిణీ యొక్క సాధారణ సగటు 11.69 మరియు 12.19 mg% మధ్య ఉంటుందని పేర్కొనవచ్చు.
ఉదాహరణ 3.2
. సాధారణ వ్యత్యాసం కోసం 95% విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను నిర్ణయించండి ( 
) కోతుల రక్తంలో కాల్షియం పంపిణీ, అది తెలిస్తే 
= 1.60, వద్ద n
= 100.
సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీరు క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు:
ఎక్కడ 
- వ్యాప్తి యొక్క గణాంక లోపం.
మేము సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నమూనా వ్యత్యాస దోషాన్ని కనుగొంటాము: 
. ఇది 0.11కి సమానం. అర్థం t- 0.95 విశ్వాస సంభావ్యత మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యతో ప్రమాణం కె= 100–1 = 99 మునుపటి ఉదాహరణ నుండి తెలుసు.
ఫార్ములా ఉపయోగించి మరియు పొందండి:
లేదా 1.38 
1,82
మరింత ఖచ్చితంగా, సాధారణ వైవిధ్యం యొక్క విశ్వాస విరామాన్ని ఉపయోగించి నిర్మించవచ్చు 
(చి-స్క్వేర్) - పియర్సన్ పరీక్ష. ఈ ప్రమాణం కోసం క్లిష్టమైన పాయింట్లు ప్రత్యేక పట్టికలో ఇవ్వబడ్డాయి. ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించినప్పుడు 
విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించడానికి, రెండు-వైపుల ప్రాముఖ్యత స్థాయి ఉపయోగించబడుతుంది. తక్కువ పరిమితి కోసం, ప్రాముఖ్యత స్థాయి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది 
, టాప్ కోసం - 
. ఉదాహరణకు, విశ్వాస స్థాయి కోసం 
=
0,99
= 0,010,
= 0.990. దీని ప్రకారం, క్లిష్టమైన విలువల పంపిణీ పట్టిక ప్రకారం 
, లెక్కించబడిన విశ్వాస స్థాయిలు మరియు స్వేచ్ఛా స్థాయిల సంఖ్యతో కె= 100 – 1= 99, విలువలను కనుగొనండి 
మరియు 
. మాకు దొరికింది 
135.80కి సమానం, మరియు 
70.06కి సమానం.
ఉపయోగించి సాధారణ వ్యత్యాసానికి విశ్వాస పరిమితులను కనుగొనడానికి 
సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము: దిగువ సరిహద్దు కోసం 
, ఎగువ సరిహద్దు కోసం 
. సమస్య డేటా కోసం కనుగొన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం 
సూత్రాలలోకి: 
=
1,17;
= 2.26. అందువలన, విశ్వాస సంభావ్యతతో పి= 0.99 లేదా 99% సాధారణ వ్యత్యాసం 1.17 నుండి 2.26 mg% వరకు ఉంటుంది.
ఉదాహరణ 3.3 . ఎలివేటర్ వద్ద అందుకున్న బ్యాచ్ నుండి 1000 గోధుమ విత్తనాలలో, 120 విత్తనాలు ఎర్గోట్ బారిన పడ్డాయి. ఇచ్చిన బ్యాచ్ గోధుమలలో సోకిన విత్తనాల సాధారణ నిష్పత్తి యొక్క సంభావ్య సరిహద్దులను గుర్తించడం అవసరం.
ఫార్ములా ఉపయోగించి దాని సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువలకు సాధారణ వాటా కోసం విశ్వాస పరిమితులను నిర్ణయించడం మంచిది:
,
ఎక్కడ n - పరిశీలనల సంఖ్య; m- సమూహాలలో ఒకదాని యొక్క సంపూర్ణ పరిమాణం; t- సాధారణీకరించిన విచలనం.
సోకిన విత్తనాల నమూనా నిష్పత్తి 
లేదా 12%. విశ్వాస సంభావ్యతతో ఆర్= 95% సాధారణీకరించిన విచలనం ( t-విద్యార్థుల పరీక్ష వద్ద కె
=
)t
= 1,960.
మేము అందుబాటులో ఉన్న డేటాను ఫార్ములాలో భర్తీ చేస్తాము:
అందువల్ల విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులు సమానంగా ఉంటాయి 
= 0.122–0.041 = 0.081, లేదా 8.1%; 
= 0.122 + 0.041 = 0.163, లేదా 16.3%.
అందువల్ల, 95% విశ్వాస సంభావ్యతతో వ్యాధి సోకిన విత్తనాల సాధారణ నిష్పత్తి 8.1 మరియు 16.3% మధ్య ఉంటుందని చెప్పవచ్చు.
ఉదాహరణ 3.4 . కోతుల రక్త సీరంలో కాల్షియం (mg%) యొక్క వైవిధ్యాన్ని వర్గీకరించే వైవిధ్యం యొక్క గుణకం 10.6%కి సమానం. నమూనా పరిమాణం n= 100. సాధారణ పరామితి కోసం 95% విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను నిర్ణయించడం అవసరం Cv.
వైవిధ్యం యొక్క సాధారణ గుణకం కోసం విశ్వాస విరామం యొక్క పరిమితులు Cv కింది సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి:
మరియు 
, ఎక్కడ కె
ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడిన ఇంటర్మీడియట్ విలువ 
.
విశ్వాస సంభావ్యతతో తెలుసుకోవడం ఆర్= 95% సాధారణీకరించిన విచలనం (విద్యార్థుల పరీక్ష వద్ద కె
=
)t
= 1.960, ముందుగా విలువను లెక్కిద్దాం కు:
.
లేదా 9.3%
లేదా 12.3%
అందువలన, 95% విశ్వాస స్థాయితో సాధారణ గుణకం 9.3 నుండి 12.3% వరకు ఉంటుంది. పునరావృత నమూనాలతో, వైవిధ్యం యొక్క గుణకం 12.3% మించదు మరియు 100కి 95 కేసులలో 9.3% కంటే తక్కువగా ఉండదు.
స్వీయ నియంత్రణ కోసం ప్రశ్నలు:
స్వతంత్ర పరిష్కారం కోసం సమస్యలు.
1. ఖోల్మోగోరీ సంకరజాతి ఆవులకు చనుబాలివ్వడం సమయంలో పాలలోని కొవ్వు సగటు శాతం క్రింది విధంగా ఉంది: 3.4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8 సాధారణ సగటు కోసం 95% విశ్వాస స్థాయి (20 పాయింట్లు) వద్ద విశ్వాస విరామాలను ఏర్పాటు చేయండి.
2. 400 హైబ్రిడ్ రై మొక్కలలో, మొదటి పువ్వులు విత్తిన 70.5 రోజుల తర్వాత సగటున కనిపించాయి. ప్రామాణిక విచలనం 6.9 రోజులు. ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో సాధారణ సగటు మరియు వ్యత్యాసానికి సగటు మరియు విశ్వాస విరామాల దోషాన్ని నిర్ణయించండి W= 0.05 మరియు W= 0.01 (25 పాయింట్లు).
3. గార్డెన్ స్ట్రాబెర్రీస్ యొక్క 502 నమూనాల ఆకుల పొడవును అధ్యయనం చేసినప్పుడు, క్రింది డేటా పొందబడింది:
= 7.86 సెం.మీ; σ = 1.32 సెం.మీ. 
= ± 0.06 సెం.మీ. 0.01 ప్రాముఖ్యత స్థాయిలతో అంకగణిత జనాభా సగటుకు విశ్వాస విరామాలను నిర్ణయించండి; 0.02; 0.05 (25 పాయింట్లు).
4. 150 వయోజన పురుషుల అధ్యయనంలో, సగటు ఎత్తు 167 సెం.మీ, మరియు σ = 6 సెం.మీ. 0.99 మరియు 0.95 విశ్వాస సంభావ్యతతో సాధారణ సగటు మరియు సాధారణ వ్యత్యాసం యొక్క పరిమితులు ఏమిటి? (25 పాయింట్లు).
5. కోతుల రక్త సీరంలో కాల్షియం పంపిణీ క్రింది ఎంపిక సూచికల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది:
= 11.94 mg%, σ
= 1,27, n
= 100. ఈ పంపిణీ యొక్క సాధారణ సగటు కోసం 95% విశ్వాస విరామాన్ని రూపొందించండి. వైవిధ్యం యొక్క గుణకాన్ని లెక్కించండి (25 పాయింట్లు).
6. 37 మరియు 180 రోజుల వయస్సులో అల్బినో ఎలుకల రక్త ప్లాస్మాలో మొత్తం నైట్రోజన్ కంటెంట్ అధ్యయనం చేయబడింది. ఫలితాలు 100 సెం.మీ 3 ప్లాస్మాకు గ్రాములలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. 37 రోజుల వయస్సులో, 9 ఎలుకలు: 0.98; 0.83; 0.99; 0.86; 0.90; 0.81; 0.94; 0.92; 0.87. 180 రోజుల వయస్సులో, 8 ఎలుకలు: 1.20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12 0.95 (50 పాయింట్లు) విశ్వాస స్థాయిలో తేడా కోసం విశ్వాస విరామాలను సెట్ చేయండి.
7. కోతుల రక్త సీరంలో కాల్షియం (mg%) పంపిణీ యొక్క సాధారణ వ్యత్యాసం కోసం 95% విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను నిర్ణయించండి, ఈ పంపిణీకి నమూనా పరిమాణం n = 100 అయితే, నమూనా వ్యత్యాసం యొక్క గణాంక లోపం లు σ 2 = 1.60 (40 పాయింట్లు).
8. పొడవు (σ 2 = 40.87 మిమీ 2) 40 గోధుమ స్పైక్లెట్ల పంపిణీ యొక్క సాధారణ వ్యత్యాసం కోసం 95% విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను నిర్ణయించండి. (25 పాయింట్లు).
9. ధూమపానం అబ్స్ట్రక్టివ్ పల్మనరీ వ్యాధులకు దారితీసే ప్రధాన కారకంగా పరిగణించబడుతుంది. నిష్క్రియ ధూమపానం అటువంటి అంశంగా పరిగణించబడదు. నిష్క్రియ ధూమపానం యొక్క హానికరం కాదని శాస్త్రవేత్తలు అనుమానించారు మరియు ధూమపానం చేయనివారు, నిష్క్రియ మరియు క్రియాశీల ధూమపానం చేసేవారి వాయుమార్గం పేటెన్సీని పరిశీలించారు. శ్వాసకోశ స్థితిని వర్గీకరించడానికి, మేము బాహ్య శ్వాసక్రియ పనితీరు యొక్క సూచికలలో ఒకదాన్ని తీసుకున్నాము - మధ్య-గడువు యొక్క గరిష్ట వాల్యూమెట్రిక్ ప్రవాహం రేటు. ఈ సూచికలో తగ్గుదల వాయుమార్గ అవరోధానికి సంకేతం. సర్వే డేటా పట్టికలో చూపబడింది.
|
పరిశీలించిన వ్యక్తుల సంఖ్య |
గరిష్ట మిడ్-ఎక్స్‌పిరేటరీ ఫ్లో రేట్, l/s |
||
|
ప్రామాణిక విచలనం |
|||
|
ధూమపానం చేయనివారు |
|||
|
ధూమపానం చేయని ప్రాంతంలో పని చేయండి | |||
|
ఒక స్మోకీ గదిలో పని | |||
|
ధూమపానం |
|||
|
తక్కువ సంఖ్యలో సిగరెట్లు తాగండి | |||
|
సిగరెట్ తాగేవారి సగటు సంఖ్య | |||
|
పెద్ద సంఖ్యలో సిగరెట్లు తాగుతారు | |||
పట్టిక డేటాను ఉపయోగించి, ప్రతి సమూహానికి మొత్తం సగటు మరియు మొత్తం వ్యత్యాసానికి 95% విశ్వాస విరామాలను కనుగొనండి. సమూహాల మధ్య తేడాలు ఏమిటి? ఫలితాలను గ్రాఫికల్‌గా ప్రదర్శించండి (25 పాయింట్లు).
10. నమూనా వ్యత్యాసం యొక్క గణాంక లోపం ఉంటే, 64 ఫారోలలోని పందిపిల్లల సంఖ్యలో సాధారణ వ్యత్యాసం కోసం 95% మరియు 99% విశ్వాస విరామాల సరిహద్దులను నిర్ణయించండి లు σ 2 = 8.25 (30 పాయింట్లు).
11. కుందేళ్ళ సగటు బరువు 2.1 కిలోలు అని తెలిసింది. సాధారణ సగటు మరియు వైవిధ్యం కోసం 95% మరియు 99% విశ్వాస విరామాల సరిహద్దులను నిర్ణయించండి n= 30, σ = 0.56 కిలోలు (25 పాయింట్లు).
12. చెవిలోని ధాన్యం కంటెంట్ 100 చెవులకు కొలుస్తారు ( X), చెవి పొడవు ( వై) మరియు చెవిలో ధాన్యం ద్రవ్యరాశి ( Z) సాధారణ సగటు మరియు వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామాలను కనుగొనండి పి 1
= 0,95, పి 2
= 0,99, పి 3
= 0.999 ఉంటే
= 19, = 6.766 సెం.మీ., = 0.554 గ్రా; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 పాయింట్లు).
13. శీతాకాలపు గోధుమల యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన 100 చెవులలో, స్పైక్లెట్ల సంఖ్య లెక్కించబడుతుంది. నమూనా జనాభా క్రింది సూచికల ద్వారా వర్గీకరించబడింది:
= 15 స్పైక్‌లెట్‌లు మరియు σ = 2.28 pcs. సగటు ఫలితం ఏ ఖచ్చితత్వంతో పొందబడిందో నిర్ణయించండి ( 
) మరియు 95% మరియు 99% ప్రాముఖ్యత స్థాయిలలో (30 పాయింట్లు) సాధారణ సగటు మరియు వ్యత్యాసానికి విశ్వాస విరామాన్ని నిర్మించండి.
14. శిలాజ మొలస్క్ షెల్స్‌పై పక్కటెముకల సంఖ్య ఆర్థంబోనైట్స్ కాలిగ్రామా:
అని తెలిసింది n = 19, σ = 4.25. ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో సాధారణ సగటు మరియు సాధారణ వ్యత్యాసం కోసం విశ్వాస విరామం యొక్క సరిహద్దులను నిర్ణయించండి W = 0.01 (25 పాయింట్లు).
15. వాణిజ్య డైరీ ఫారమ్‌లో పాల దిగుబడిని నిర్ణయించడానికి, ప్రతిరోజూ 15 ఆవుల ఉత్పాదకత నిర్ణయించబడుతుంది. సంవత్సరానికి సంబంధించిన డేటా ప్రకారం, ప్రతి ఆవు రోజుకు సగటున క్రింది మొత్తంలో పాలు ఇచ్చింది (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; ముప్పై; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. సాధారణ వైవిధ్యం మరియు అంకగణిత సగటు కోసం విశ్వాస విరామాలను నిర్మించండి. ఆవుకు సగటు వార్షిక పాల దిగుబడి 10,000 లీటర్లు ఉంటుందని మనం ఆశించవచ్చా? (50 పాయింట్లు).
16. వ్యవసాయ సంస్థకు సగటు గోధుమ దిగుబడిని నిర్ణయించడానికి, 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 మరియు 2 హెక్టార్ల ట్రయల్ ప్లాట్‌లలో కోత నిర్వహించబడింది. ప్లాట్ల నుండి ఉత్పాదకత (c/ha) 39.4; 38; 35.8; 40; 35; 42.7; 39.3; 41.6; 33; 42; వరుసగా 29. సాధారణ వైవిధ్యం మరియు అంకగణిత సగటు కోసం విశ్వాస విరామాలను నిర్మించండి. సగటు వ్యవసాయ దిగుబడి హెక్టారుకు 42 సి ఉంటుందని మనం ఆశించవచ్చా? (50 పాయింట్లు).