సమాంతర రేఖలు అంటే ఏమిటి? సరళ రేఖ

ఈ వ్యాసంలో మేము సమాంతర రేఖల గురించి మాట్లాడుతాము, నిర్వచనాలను ఇస్తాము మరియు సమాంతరత యొక్క సంకేతాలు మరియు షరతులను వివరిస్తాము. స్పష్టత కోసం సైద్ధాంతిక పదార్థంమేము సాధారణ ఉదాహరణలకు దృష్టాంతాలు మరియు పరిష్కారాలను ఉపయోగిస్తాము.

Yandex.RTB R-A-339285-1 నిర్వచనం 1

విమానంలో సమాంతర రేఖలు- లేని విమానంలో రెండు సరళ రేఖలు సాధారణ పాయింట్లు.

నిర్వచనం 2

సమాంతర రేఖలు త్రిమితీయ స్థలం - త్రిమితీయ స్థలంలో రెండు సరళ రేఖలు, ఒకే విమానంలో ఉంటాయి మరియు సాధారణ పాయింట్లు లేవు.

అంతరిక్షంలో సమాంతర రేఖలను నిర్ణయించడానికి, “ఒకే విమానంలో పడుకోవడం” అనే స్పష్టీకరణ చాలా ముఖ్యమైనదని గమనించడం అవసరం: త్రిమితీయ స్థలంలో సాధారణ పాయింట్లు లేని మరియు ఒకే విమానంలో పడుకోని రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండవు. , కానీ ఖండన.

సమాంతర రేఖలను సూచించడానికి, ∥ చిహ్నాన్ని ఉపయోగించడం సర్వసాధారణం. అంటే, ఇచ్చిన పంక్తులు a మరియు b సమాంతరంగా ఉంటే, ఈ పరిస్థితిని క్లుప్తంగా ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయాలి: a ‖ b. పంక్తుల యొక్క శబ్ద సమాంతరత సూచించబడుతుంది క్రింది విధంగా: a మరియు b పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి, లేదా పంక్తి a పంక్తి bకి సమాంతరంగా ఉంటుంది లేదా లైన్ b పంక్తి aకి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

మాకు ప్లే చేసే ఒక ప్రకటనను రూపొందించండి ముఖ్యమైన పాత్రఅధ్యయనం చేస్తున్న అంశంలో.

సూత్రం

ఇచ్చిన రేఖకు చెందని బిందువు ద్వారా ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖను దాటుతుంది. ప్లానిమెట్రీ యొక్క తెలిసిన సిద్ధాంతాల ఆధారంగా ఈ ప్రకటన నిరూపించబడదు.

ఒక వేళ మేము మాట్లాడుతున్నాముఅంతరిక్షం గురించి, సిద్ధాంతం నిజం:

సిద్ధాంతం 1

ఇచ్చిన రేఖకు చెందని స్పేస్‌లోని ఏదైనా బిందువు ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖ ఉంటుంది.

ఈ సిద్ధాంతం పై సిద్ధాంతం (10 - 11 తరగతులకు జ్యామితి ప్రోగ్రామ్) ఆధారంగా నిరూపించడం సులభం.

సమాంతరత యొక్క సంకేతం ఉంది తగినంత పరిస్థితి, ఈ సమయంలో పంక్తుల సమాంతరత హామీ ఇవ్వబడుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సమాంతరత యొక్క వాస్తవాన్ని నిర్ధారించడానికి ఈ షరతు యొక్క నెరవేర్పు సరిపోతుంది.

ప్రత్యేకించి, విమానం మరియు అంతరిక్షంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులు ఉన్నాయి. మనం వివరిస్తాము: అవసరం అంటే సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన పరిస్థితిని నెరవేర్చడం; అది నెరవేరకపోతే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండవు.

సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే, పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు అనేది పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండటానికి అవసరమైన మరియు సరిపోతుంది. ఒక వైపు, ఇది సమాంతరతకు సంకేతం, మరోవైపు, ఇది సమాంతర రేఖలలో స్వాభావికమైన ఆస్తి.

అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి యొక్క ఖచ్చితమైన సూత్రీకరణను అందించే ముందు, మనం కొన్ని అదనపు భావనలను గుర్తుచేసుకుందాం.

నిర్వచనం 3

సెకంట్ లైన్– ఇవ్వబడిన రెండు నాన్-యాదృచ్చిక సరళ రేఖలను ఖండిస్తూ ఉండే సరళ రేఖ.

రెండు సరళ రేఖలను ఖండిస్తూ, ఒక అడ్డంగా ఎనిమిది అభివృద్ధి చెందని కోణాలను ఏర్పరుస్తుంది. అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిని రూపొందించడానికి, మేము క్రాస్డ్, సంబంధిత మరియు ఒక-వైపు వంటి కోణాల రకాలను ఉపయోగిస్తాము. వాటిని దృష్టాంతంలో చూపిద్దాం:

సిద్ధాంతం 2

ఒక సమతలంలో రెండు పంక్తులు ఒక విలోమంతో కలుస్తే, ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండాలంటే, ఖండన కోణాలు సమానంగా ఉండటం లేదా సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉండటం లేదా ఏకపక్ష కోణాల మొత్తం సమానంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. 180 డిగ్రీలు.

విమానంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిని గ్రాఫికల్‌గా ఉదహరిద్దాం:

ఈ పరిస్థితుల రుజువు 7 - 9 తరగతులకు సంబంధించిన జ్యామితి ప్రోగ్రామ్‌లో ఉంది.

సాధారణంగా, ఈ పరిస్థితులు త్రిమితీయ స్థలానికి కూడా వర్తిస్తాయి, రెండు లైన్లు మరియు ఒక సెకెంట్ ఒకే సమతలానికి చెందినవి.

పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయని నిరూపించడానికి తరచుగా ఉపయోగించే మరికొన్ని సిద్ధాంతాలను సూచిస్తాము.

సిద్ధాంతం 3

ఒక విమానంలో, మూడవ భాగానికి సమాంతరంగా ఉన్న రెండు పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ లక్షణం పైన సూచించిన సమాంతరత సిద్ధాంతం ఆధారంగా నిరూపించబడింది.

సిద్ధాంతం 4

త్రిమితీయ స్థలంలో, మూడవ వంతుకు సమాంతరంగా ఉన్న రెండు పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

సంకేతం యొక్క రుజువు 10వ తరగతి జ్యామితి పాఠ్యాంశాల్లో అధ్యయనం చేయబడింది.

ఈ సిద్ధాంతాల దృష్టాంతాన్ని ఇద్దాం:

పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించే మరో జత సిద్ధాంతాలను సూచిస్తాము.

సిద్ధాంతం 5

ఒక విమానంలో, మూడవ భాగానికి లంబంగా ఉన్న రెండు పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

త్రీ-డైమెన్షనల్ స్పేస్ కోసం ఇదే విషయాన్ని సూత్రీకరించండి.

సిద్ధాంతం 6

త్రిమితీయ స్థలంలో, మూడవ భాగానికి లంబంగా ఉన్న రెండు పంక్తులు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

ఉదహరిద్దాం:

పైన పేర్కొన్న అన్ని సిద్ధాంతాలు, సంకేతాలు మరియు షరతులు జ్యామితి పద్ధతులను ఉపయోగించి పంక్తుల సమాంతరతను సౌకర్యవంతంగా నిరూపించడాన్ని సాధ్యం చేస్తాయి. అంటే, పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి, సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉన్నాయని చూపించవచ్చు లేదా ఇచ్చిన రెండు పంక్తులు మూడవదానికి లంబంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని ప్రదర్శించవచ్చు. కానీ ఒక విమానంలో లేదా త్రిమితీయ ప్రదేశంలో పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం తరచుగా మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని గమనించండి.

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని పంక్తుల సమాంతరత

ఇచ్చిన లో దీర్ఘచతురస్రాకార వ్యవస్థకోఆర్డినేట్‌లు, ఒక సరళ రేఖ ఒకదానిలో ఒకదానిపై ఉన్న ఒక సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది సాధ్యమయ్యే రకాలు. అదేవిధంగా, త్రిమితీయ స్థలంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో నిర్వచించబడిన సరళ రేఖ అంతరిక్షంలో సరళ రేఖకు కొన్ని సమీకరణాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఇచ్చిన పంక్తులను వివరించే సమీకరణ రకాన్ని బట్టి దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులను వ్రాస్దాం.

విమానంలో పంక్తుల సమాంతరత యొక్క స్థితితో ప్రారంభిద్దాం. ఇది ఒక రేఖ యొక్క దిశ వెక్టార్ మరియు ఒక విమానంలో ఒక లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టార్ యొక్క నిర్వచనాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 7

సమతలంలో రెండు నాన్-యాదృచ్ఛిక రేఖలు సమాంతరంగా ఉండాలంటే, ఇచ్చిన పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం లేదా ఇచ్చిన రేఖల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం లేదా ఒక రేఖ యొక్క దిశ వెక్టార్ లంబంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. ఇతర లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్.

ఒక విమానంలోని పంక్తుల సమాంతరత యొక్క పరిస్థితి వెక్టర్స్ యొక్క కోలినియరిటీ లేదా రెండు వెక్టర్స్ లంబంగా ఉన్న స్థితిపై ఆధారపడి ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. అంటే, a → = (a x , a y) మరియు b → = (b x , b y) a మరియు b పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ అయితే;

మరియు n b → = (n b x , n b y) a మరియు b పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్, అప్పుడు మేము పైన అవసరమైన మరియు తగిన స్థితిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y లేదా n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y లేదా a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , ఇక్కడ t కొంత వాస్తవ సంఖ్య. గైడ్‌లు లేదా స్ట్రెయిట్ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు సరళ రేఖల యొక్క ఇచ్చిన సమీకరణాల ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి. ప్రధాన ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.

1. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని లైన్ a అనేది లైన్ యొక్క సాధారణ సమీకరణం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; సరళ రేఖ b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. అప్పుడు ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ వరుసగా కోఆర్డినేట్‌లను (A 1, B 1) మరియు (A 2, B 2) కలిగి ఉంటాయి. మేము సమాంతర స్థితిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. లైన్ a అనేది y = k 1 x + b 1 రూపం యొక్క వాలుతో ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది. సరళ రేఖ b - y = k 2 x + b 2. అప్పుడు ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ వరుసగా కోఆర్డినేట్‌లను (k 1, - 1) మరియు (k 2, - 1) కలిగి ఉంటాయి మరియు మేము సమాంతర స్థితిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

ఆ విధంగా, ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని విమానంలో సమాంతర రేఖలు కోణీయ గుణకాలతో సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడితే, అప్పుడు వాలులుఇచ్చిన పంక్తులు సమానంగా ఉంటాయి. మరియు వ్యతిరేక ప్రకటన నిజం: ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని విమానంలో నాన్-కోర్సిడింగ్ లైన్లు ఒకే కోణీయ కోఎఫీషియంట్‌లతో రేఖ యొక్క సమీకరణాల ద్వారా నిర్ణయించబడితే, ఈ ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

1. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని a మరియు b పంక్తులు ఒక విమానంలో ఒక రేఖ యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొనబడ్డాయి: x - x 1 a x = y - y 1 a y మరియు x - x 2 b x = y - y 2 b y లేదా పారామెట్రిక్ సమీకరణాల ద్వారా విమానంలో ఒక లైన్: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y మరియు x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

అప్పుడు ఇచ్చిన పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్: a x, a y మరియు b x, b y, వరుసగా, మరియు మేము సమాంతర స్థితిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్తాము:

a x = t b x a y = t b y

ఉదాహరణలు చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1

రెండు పంక్తులు ఇవ్వబడ్డాయి: 2 x - 3 y + 1 = 0 మరియు x 1 2 + y 5 = 1. అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయో లేదో నిర్ణయించడం అవసరం.

పరిష్కారం

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణాన్ని రూపంలో విభాగాలలో వ్రాస్దాం సాధారణ సమీకరణం:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

n a → = (2, - 3) అనేది పంక్తి 2 x - 3 y + 1 = 0 యొక్క సాధారణ వెక్టార్ అని మరియు n b → = 2, 1 5 అనేది లైన్ x 1 2 + y 5 యొక్క సాధారణ వెక్టర్ అని మనం చూస్తాము. = 1.

ఫలితంగా వెక్టర్స్ కొలినియర్ కాదు, ఎందుకంటే సమానత్వం నిజమయ్యే తత్ విలువ ఏదీ లేదు:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

అందువల్ల, ఒక విమానంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి సంతృప్తి చెందలేదు, అంటే ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా లేవు.

సమాధానం:ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా లేవు.

ఉదాహరణ 2

y = 2 x + 1 మరియు x 1 = y - 4 2 పంక్తులు ఇవ్వబడ్డాయి. అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయా?

పరిష్కారం

రూపాంతరం చెందుదాం కానానికల్ సమీకరణంసరళ రేఖ x 1 = y - 4 2 వాలుతో కూడిన సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణానికి:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

y = 2 x + 1 మరియు y = 2 x + 4 పంక్తుల సమీకరణాలు ఒకేలా ఉండవని మనం చూస్తాము (లేకపోతే, పంక్తులు యాదృచ్చికంగా ఉంటాయి) మరియు పంక్తుల కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి, అంటే ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

సమస్యను భిన్నంగా పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ముందుగా, ఇచ్చిన పంక్తులు ఏకీభవిస్తాయో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. మేము y = 2 x + 1 పంక్తిలో ఏదైనా పాయింట్‌ని ఉపయోగిస్తాము, ఉదాహరణకు, (0, 1), ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు లైన్ x 1 = y - 4 2 యొక్క సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉండవు, అంటే పంక్తులు చేస్తాయి ఏకీభవించలేదు.

ఇచ్చిన పంక్తుల యొక్క సమాంతరత యొక్క పరిస్థితి సంతృప్తి చెందిందో లేదో నిర్ణయించడం తదుపరి దశ.

లైన్ y = 2 x + 1 యొక్క సాధారణ వెక్టార్ వెక్టార్ n a → = (2 , - 1) , మరియు రెండవ ఇచ్చిన పంక్తి యొక్క దిశ వెక్టర్ b → = (1 , 2) . స్కేలార్ ఉత్పత్తిఈ వెక్టర్స్ సున్నాకి సమానం:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

అందువలన, వెక్టర్స్ లంబంగా ఉంటాయి: ఇది అసలైన పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి యొక్క నెరవేర్పును మాకు ప్రదర్శిస్తుంది. ఆ. ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

సమాధానం:ఈ పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

త్రిమితీయ స్థలం యొక్క దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ వ్యవస్థలో పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి, కింది అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి ఉపయోగించబడుతుంది.

సిద్ధాంతం 8

త్రిమితీయ స్థలంలో రెండు నాన్-యాదృచ్చిక పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి, ఈ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది.

ఆ. వద్ద సమీకరణాలు ఇచ్చారుత్రిమితీయ స్థలంలో సరళ రేఖలు, ప్రశ్నకు సమాధానం: అవి సమాంతరంగా ఉన్నాయా లేదా అనేవి, ఇచ్చిన సరళ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించడం ద్వారా అలాగే వాటి కోలినియారిటీ యొక్క స్థితిని తనిఖీ చేయడం ద్వారా కనుగొనబడుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a → = (a x , a y , a z) మరియు b → = (b x , b y , b z) వరుసగా a మరియు b సరళ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ అయితే, అవి సమాంతరంగా ఉండటానికి, ఉనికి అటువంటి వాస్తవ సంఖ్య t కాబట్టి సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

ఉదాహరణ 3

x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 మరియు x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ పంక్తులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఈ పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడం అవసరం.

పరిష్కారం

సమస్య యొక్క పరిస్థితులు అంతరిక్షంలో ఒక సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడ్డాయి మరియు పారామెట్రిక్ సమీకరణాలుఅంతరిక్షంలో మరొక రేఖ. గైడ్ వెక్టర్స్ a → మరియు b → ఇచ్చిన పంక్తులు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి: (1, 0, - 3) మరియు (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2, ఆపై a → = 1 2 · b → .

పర్యవసానంగా, అంతరిక్షంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి సంతృప్తి చెందుతుంది.

సమాధానం:ఇచ్చిన పంక్తుల సమాంతరత నిరూపించబడింది.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

సమాంతర రేఖల భావన

నిర్వచనం 1

సమాంతర రేఖలు- ఒకే విమానంలో ఉండే సరళ రేఖలు ఏకీభవించవు మరియు సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండవు.

సరళ రేఖలకు సాధారణ పాయింట్ ఉంటే, అవి కలుస్తాయి.

అన్ని పాయింట్లు నేరుగా ఉంటే మ్యాచ్, అప్పుడు మనకు తప్పనిసరిగా ఒక సరళ రేఖ ఉంటుంది.

పంక్తులు వేర్వేరు విమానాలలో ఉంటే, అప్పుడు వాటి సమాంతరతకు పరిస్థితులు కొంత ఎక్కువగా ఉంటాయి.

ఒకే విమానంలో సరళ రేఖలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, ఈ క్రింది నిర్వచనం ఇవ్వవచ్చు:

నిర్వచనం 2

ఒక విమానంలో రెండు లైన్లు అంటారు సమాంతరంగా, వారు కలుస్తాయి లేకపోతే.

గణితశాస్త్రంలో, సమాంతర రేఖలు సాధారణంగా "$\parallel$" అనే సమాంతరత గుర్తును ఉపయోగించి సూచించబడతాయి. ఉదాహరణకు, $c$ పంక్తి $d$ పంక్తికి సమాంతరంగా ఉన్న వాస్తవం ఈ క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది:

$c\సమాంతర d$.

సమాంతర విభాగాల భావన తరచుగా పరిగణించబడుతుంది.

నిర్వచనం 3

రెండు విభాగాలు అంటారు సమాంతరంగా, వారు సమాంతర రేఖలపై పడుకుంటే.

ఉదాహరణకు, చిత్రంలో $AB$ మరియు $CD$ విభాగాలు సమాంతరంగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవి సమాంతర రేఖలకు చెందినవి:

$AB \ సమాంతర CD$.

అదే సమయంలో, $MN$ మరియు $AB$ లేదా $MN$ మరియు $CD$ విభాగాలు సమాంతరంగా లేవు. ఈ వాస్తవాన్ని ఈ క్రింది విధంగా చిహ్నాలను ఉపయోగించి వ్రాయవచ్చు:

$MN ∦ AB$ మరియు $MN ∦ CD$.

ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక విభాగం, ఒక సరళ రేఖ మరియు ఒక కిరణం, ఒక విభాగం మరియు ఒక కిరణం లేదా రెండు కిరణాల సమాంతరత ఇదే విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది.

చారిత్రక సూచన

తో గ్రీకు భాష"సమాంతరాలు" అనే భావన "సమీపంలో" లేదా "ఒకదానికొకటి పక్కన ఉంచబడింది" అని అనువదించబడింది. ఈ పదం సమాంతర రేఖలను నిర్వచించక ముందే పైథాగరస్ యొక్క పురాతన పాఠశాలలో ఉపయోగించబడింది. ప్రకారం చారిత్రక వాస్తవాలు$III$ శతాబ్దంలో యూక్లిడ్. క్రీ.పూ. అతని రచనలు సమాంతర రేఖల భావన యొక్క అర్ధాన్ని వెల్లడించాయి.

పురాతన కాలంలో, సమాంతర రేఖలను సూచించే సంకేతం మనం ఉపయోగించే దానికి భిన్నంగా కనిపించేది ఆధునిక గణితం. ఉదాహరణకు, $III$ శతాబ్దంలో పురాతన గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పప్పుస్. క్రీ.శ సమాన గుర్తును ఉపయోగించి సమాంతరత సూచించబడింది. ఆ. $l$ పంక్తి $m$కి సమాంతరంగా ఉన్న వాస్తవం గతంలో “$l=m$”తో సూచించబడింది. తరువాత, పంక్తుల సమాంతరతను సూచించడానికి సుపరిచితమైన “$\parallel$” సంకేతం ఉపయోగించడం ప్రారంభమైంది మరియు సంఖ్యలు మరియు వ్యక్తీకరణల సమానత్వాన్ని సూచించడానికి సమాన గుర్తును ఉపయోగించడం ప్రారంభమైంది.

జీవితంలో సమాంతర రేఖలు

సాధారణ జీవితంలో మన చుట్టూ పెద్ద సంఖ్యలో సమాంతర రేఖలు ఉన్నాయని మనం తరచుగా గమనించలేము. ఉదాహరణకు, సంగీత పుస్తకంలో మరియు గమనికలతో పాటల సేకరణలో, సిబ్బంది సమాంతర రేఖలను ఉపయోగించి తయారు చేస్తారు. సమాంతర రేఖలు కూడా కనిపిస్తాయి సంగీత వాయిద్యాలు(ఉదాహరణకు, హార్ప్ స్ట్రింగ్స్, గిటార్ స్ట్రింగ్స్, పియానో ​​కీలు మొదలైనవి).

వీధులు మరియు రహదారుల వెంట ఉన్న విద్యుత్ తీగలు కూడా సమాంతరంగా నడుస్తాయి. మెట్రో లైన్ పట్టాలు మరియు రైల్వేలుసమాంతరంగా ఉన్నాయి.

రోజువారీ జీవితంలో పాటు, పెయింటింగ్, వాస్తుశిల్పం మరియు భవనాల నిర్మాణంలో సమాంతర రేఖలను కనుగొనవచ్చు.

ఆర్కిటెక్చర్‌లో సమాంతర రేఖలు

సమర్పించబడిన చిత్రాలలో, నిర్మాణ నిర్మాణాలు సమాంతర రేఖలను కలిగి ఉంటాయి. నిర్మాణంలో సమాంతర రేఖల ఉపయోగం అటువంటి నిర్మాణాల యొక్క సేవ జీవితాన్ని పెంచడానికి సహాయపడుతుంది మరియు వాటిని అసాధారణ అందం, ఆకర్షణ మరియు గొప్పతనాన్ని ఇస్తుంది. విద్యుత్ లైన్లు కూడా ఉద్దేశపూర్వకంగా వాటిని దాటకుండా లేదా తాకకుండా ఉండటానికి సమాంతరంగా వేయబడతాయి, ఇది షార్ట్ సర్క్యూట్లు, అంతరాయం మరియు విద్యుత్తు నష్టానికి దారి తీస్తుంది. రైలు స్వేచ్ఛగా కదలడానికి వీలుగా, పట్టాలు కూడా సమాంతర లైన్లలో తయారు చేయబడ్డాయి.

పెయింటింగ్‌లో, సమాంతర రేఖలు ఒక లైన్‌గా లేదా దానికి దగ్గరగా కలుస్తున్నట్లు చిత్రీకరించబడ్డాయి. ఈ సాంకేతికతను దృక్పథం అని పిలుస్తారు, ఇది దృష్టి యొక్క భ్రాంతి నుండి అనుసరిస్తుంది. మీరు చాలా సేపు దూరం వైపు చూస్తే, సమాంతర రేఖలు రెండు కన్వర్జింగ్ లైన్లుగా కనిపిస్తాయి.

ఈ వ్యాసం సమాంతర రేఖలు మరియు సమాంతర రేఖల గురించి. మొదట, విమానంలో మరియు అంతరిక్షంలో సమాంతర రేఖల నిర్వచనం ఇవ్వబడింది, సంజ్ఞామానాలు ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి, ఉదాహరణలు మరియు సమాంతర రేఖల గ్రాఫిక్ దృష్టాంతాలు ఇవ్వబడ్డాయి. తరువాత, పంక్తుల సమాంతరత కోసం సంకేతాలు మరియు షరతులు చర్చించబడ్డాయి. ముగింపులో, పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించే సాధారణ సమస్యలకు పరిష్కారాలు చూపబడతాయి, ఇవి ఒక విమానంలో మరియు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఒక రేఖ యొక్క నిర్దిష్ట సమీకరణాల ద్వారా ఇవ్వబడతాయి.

పేజీ నావిగేషన్.

సమాంతర రేఖలు - ప్రాథమిక సమాచారం.

నిర్వచనం.

ఒక విమానంలో రెండు లైన్లు అంటారు సమాంతరంగా, వారికి సాధారణ పాయింట్లు లేకుంటే.

నిర్వచనం.

త్రిమితీయ స్థలంలో రెండు పంక్తులు అంటారు సమాంతరంగా, వారు ఒకే విమానంలో పడుకుని సాధారణ పాయింట్లను కలిగి ఉండకపోతే.

స్పేస్‌లో సమాంతర రేఖల నిర్వచనంలో “అవి ఒకే విమానంలో ఉంటే” అనే నిబంధన చాలా ముఖ్యమైనదని దయచేసి గమనించండి. మేము ఈ విషయాన్ని స్పష్టం చేద్దాం: త్రిమితీయ స్థలంలో సాధారణ పాయింట్లు లేని మరియు ఒకే విమానంలో పడుకోని రెండు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండవు, కానీ కలుస్తాయి.

ఇక్కడ సమాంతర రేఖలకు కొన్ని ఉదాహరణలు ఉన్నాయి. నోట్బుక్ షీట్ యొక్క వ్యతిరేక అంచులు సమాంతర రేఖలపై ఉంటాయి. ఇంటి గోడ యొక్క విమానం పైకప్పు మరియు నేల యొక్క విమానాలను కలుస్తున్న సరళ రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి. లెవెల్ గ్రౌండ్‌లో ఉన్న రైల్‌రోడ్ పట్టాలను కూడా సమాంతర రేఖలుగా పరిగణించవచ్చు.

సమాంతర రేఖలను సూచించడానికి, "" చిహ్నాన్ని ఉపయోగించండి. అంటే, a మరియు b పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు మనం క్లుప్తంగా b వ్రాయవచ్చు.

దయచేసి గమనించండి: a మరియు b పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు a పంక్తి b పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటుందని మరియు పంక్తి b పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటుందని కూడా చెప్పవచ్చు.

ఒక విమానంలో సమాంతర రేఖల అధ్యయనంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తున్న ఒక ప్రకటనను వాయిస్ చేద్దాం: ఇచ్చిన రేఖపై పడని పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖను దాటుతుంది. ఈ ప్రకటన వాస్తవంగా అంగీకరించబడింది (ఇది ప్లానిమెట్రీ యొక్క తెలిసిన సిద్ధాంతాల ఆధారంగా నిరూపించబడదు), మరియు దీనిని సమాంతర రేఖల సిద్ధాంతం అంటారు.

అంతరిక్షంలో ఉన్న సందర్భంలో, సిద్ధాంతం చెల్లుబాటు అవుతుంది: ఇచ్చిన రేఖపై పడని స్పేస్‌లోని ఏదైనా పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖ ఉంటుంది. ఈ సిద్ధాంతం సమాంతర రేఖల యొక్క పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సులభంగా నిరూపించబడింది (మీరు 10-11 తరగతులకు జ్యామితి పాఠ్య పుస్తకంలో దాని రుజువును కనుగొనవచ్చు, ఇది సూచనల జాబితాలో వ్యాసం చివరిలో జాబితా చేయబడింది).

అంతరిక్షంలో ఉన్న సందర్భంలో, సిద్ధాంతం చెల్లుబాటు అవుతుంది: ఇచ్చిన రేఖపై పడని స్పేస్‌లోని ఏదైనా పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒకే సరళ రేఖ ఉంటుంది. పై సమాంతర రేఖ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఈ సిద్ధాంతాన్ని సులభంగా నిరూపించవచ్చు.

పంక్తుల సమాంతరత - సమాంతరత యొక్క సంకేతాలు మరియు పరిస్థితులు.

పంక్తుల సమాంతరతకు సంకేతంపంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి సరిపోయే షరతు, అంటే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి హామీనిచ్చే షరతు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని స్థాపించడానికి ఈ షరతు యొక్క నెరవేర్పు సరిపోతుంది.

విమానంలో మరియు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులు కూడా ఉన్నాయి.

"సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు" అనే పదబంధానికి అర్థాన్ని వివరిద్దాం.

మేము ఇప్పటికే సమాంతర రేఖల కోసం తగినంత షరతుతో వ్యవహరించాము. మరియు ఏమిటి" అవసరమైన పరిస్థితిపంక్తుల సమాంతరత"? "అవసరం" అనే పేరు నుండి ఈ పరిస్థితి యొక్క నెరవేర్పు సమాంతర రేఖలకు అవసరమని స్పష్టమవుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండటానికి అవసరమైన షరతును నెరవేర్చకపోతే, పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండవు. ఈ విధంగా, సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిసమాంతర రేఖలకు అవసరమైన మరియు తగినంతగా ఉండే షరతు. అంటే, ఒక వైపు, ఇది పంక్తుల సమాంతరతకు సంకేతం, మరియు మరోవైపు, ఇది సమాంతర రేఖలు కలిగి ఉన్న ఆస్తి.

పంక్తుల సమాంతరత కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితిని రూపొందించడానికి ముందు, అనేక సహాయక నిర్వచనాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోవడం మంచిది.

సెకంట్ లైన్ఇవ్వబడిన రెండు నాన్-యాదృచ్చిక పంక్తులలో ప్రతిదానిని కలుస్తుంది.

రెండు సరళ రేఖలు విలోమతో కలుస్తున్నప్పుడు, ఎనిమిది అభివృద్ధి చెందనివి ఏర్పడతాయి. పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత షరతు యొక్క సూత్రీకరణలో, అని పిలవబడేది అడ్డంగా పడుకుని, అనుగుణంగామరియు ఒక-వైపు కోణాలు. వాటిని డ్రాయింగ్‌లో చూపిద్దాం.

సిద్ధాంతం.

ఒక సమతలంలో రెండు సరళ రేఖలు ఒక విలోమంతో కలుస్తే, అవి సమాంతరంగా ఉండాలంటే, ఖండన కోణాలు సమానంగా ఉండటం లేదా సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉండటం లేదా ఏకపక్ష కోణాల మొత్తం 180కి సమానం కావడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. డిగ్రీలు.

విమానంలో పంక్తుల సమాంతరత కోసం ఈ అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి యొక్క గ్రాఫిక్ దృష్టాంతాన్ని చూపిద్దాం.

మీరు 7-9 తరగతులకు జ్యామితి పాఠ్యపుస్తకాల్లో పంక్తుల సమాంతరతకు ఈ పరిస్థితుల యొక్క రుజువులను కనుగొనవచ్చు.

ఈ పరిస్థితులు త్రిమితీయ ప్రదేశంలో కూడా ఉపయోగించవచ్చని గమనించండి - ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే రెండు సరళ రేఖలు మరియు సెకెంట్ ఒకే విమానంలో ఉంటాయి.

రేఖల సమాంతరతను నిరూపించడానికి తరచుగా ఉపయోగించే మరికొన్ని సిద్ధాంతాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి.

సిద్ధాంతం.

ఒక విమానంలోని రెండు పంక్తులు మూడవ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ ప్రమాణం యొక్క రుజువు సమాంతర రేఖల సూత్రం నుండి అనుసరిస్తుంది.

ఉనికిలో ఉంది ఇదే పరిస్థితిత్రిమితీయ ప్రదేశంలో పంక్తుల సమాంతరత.

సిద్ధాంతం.

అంతరిక్షంలో రెండు పంక్తులు మూడవ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి. ఈ ప్రమాణం యొక్క రుజువు 10 వ తరగతిలో జ్యామితి పాఠాలలో చర్చించబడింది.

పేర్కొన్న సిద్ధాంతాలను ఉదహరిద్దాం.

విమానంలో పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి అనుమతించే మరొక సిద్ధాంతాన్ని అందజేద్దాం.

సిద్ధాంతం.

ఒక విమానంలోని రెండు పంక్తులు మూడవ రేఖకు లంబంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

అంతరిక్షంలో పంక్తుల కోసం ఇదే విధమైన సిద్ధాంతం ఉంది.

సిద్ధాంతం.

త్రిమితీయ స్థలంలో రెండు పంక్తులు ఒకే సమతలానికి లంబంగా ఉంటే, అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

ఈ సిద్ధాంతాలకు అనుగుణంగా చిత్రాలను గీయండి.

పైన రూపొందించిన అన్ని సిద్ధాంతాలు, ప్రమాణాలు మరియు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులు జ్యామితి పద్ధతులను ఉపయోగించి పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి అద్భుతమైనవి. అంటే, ఇచ్చిన రెండు పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి, అవి మూడవ పంక్తికి సమాంతరంగా ఉన్నాయని మీరు చూపించాలి లేదా క్రాస్‌వైస్ అబద్ధం కోణాల సమానత్వాన్ని చూపించాలి. ఒక గుత్తి ఇలాంటి పనులులో జ్యామితి పాఠాలలో పరిష్కరించబడింది ఉన్నత పాఠశాల. అయినప్పటికీ, అనేక సందర్భాల్లో విమానంలో లేదా త్రిమితీయ ప్రదేశంలో పంక్తుల సమాంతరతను నిరూపించడానికి కోఆర్డినేట్ పద్ధతిని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుందని గమనించాలి. దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పేర్కొన్న పంక్తుల సమాంతరత కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులను రూపొందిద్దాం.

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని పంక్తుల సమాంతరత.

వ్యాసం యొక్క ఈ పేరాలో మేము రూపొందిస్తాము సమాంతర రేఖల కోసం అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితులుదీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో, ఈ సరళ రేఖలను నిర్వచించే సమీకరణాల రకాన్ని బట్టి మరియు మేము కూడా ప్రదర్శిస్తాము వివరణాత్మక పరిష్కారాలులక్షణ పనులు.

దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆక్సీలో ఒక విమానంలో రెండు సరళ రేఖల సమాంతరత యొక్క స్థితితో ప్రారంభిద్దాం. అతని రుజువు ఒక రేఖ యొక్క దిశ వెక్టార్ యొక్క నిర్వచనం మరియు ఒక విమానంలో ఒక లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టార్ యొక్క నిర్వచనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం.

సమతలంలో రెండు నాన్-యాదృచ్చిక పంక్తులు సమాంతరంగా ఉండాలంటే, ఈ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం లేదా ఈ రేఖల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కొలినియర్‌గా ఉండటం లేదా ఒక లైన్ యొక్క డైరెక్షన్ వెక్టర్ సాధారణానికి లంబంగా ఉండటం అవసరం మరియు సరిపోతుంది. రెండవ పంక్తి యొక్క వెక్టర్.

సహజంగానే, ఒక విమానంలో రెండు పంక్తుల సమాంతరత యొక్క స్థితి (రేఖల దిశ వెక్టర్స్ లేదా లైన్ల సాధారణ వెక్టర్స్) లేదా (ఒక లైన్ యొక్క దిశ వెక్టర్ మరియు రెండవ పంక్తి యొక్క సాధారణ వెక్టర్) కు తగ్గించబడుతుంది. అందువలన, a మరియు b పంక్తుల దిశ వెక్టర్స్ అయితే మరియు మరియు వరుసగా a మరియు b పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్, అప్పుడు a మరియు b పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి ఇలా వ్రాయబడుతుంది , లేదా , లేదా , ఇక్కడ t అనేది కొంత వాస్తవ సంఖ్య. ప్రతిగా, గైడ్‌ల కోఆర్డినేట్‌లు మరియు (లేదా) a మరియు b పంక్తుల సాధారణ వెక్టర్‌లు పంక్తుల యొక్క తెలిసిన సమీకరణాలను ఉపయోగించి కనుగొనబడతాయి.

ప్రత్యేకించి, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని సరళ రేఖ a అయితే, విమానంలోని ఆక్సీ రూపం యొక్క సాధారణ సరళ రేఖ సమీకరణాన్ని నిర్వచిస్తుంది , మరియు సరళ రేఖ బి - , అప్పుడు ఈ పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు వరుసగా, మరియు a మరియు b పంక్తుల సమాంతరత కోసం షరతు ఇలా వ్రాయబడుతుంది.

పంక్తి a రూపం యొక్క కోణీయ గుణకం మరియు పంక్తి b - రేఖ యొక్క సమీకరణానికి అనుగుణంగా ఉంటే, ఈ పంక్తుల యొక్క సాధారణ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు , మరియు ఈ పంక్తుల సమాంతరత యొక్క స్థితి రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. . పర్యవసానంగా, దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని విమానంలో ఉన్న పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటే మరియు కోణీయ గుణకాలతో రేఖల సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొనవచ్చు, అప్పుడు పంక్తుల కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి. మరియు వైస్ వెర్సా: ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లోని ఒక విమానంలో నాన్-కాలిసిడింగ్ లైన్లను సమాన కోణీయ కోఎఫీషియంట్‌లతో లైన్ యొక్క సమీకరణాల ద్వారా పేర్కొనగలిగితే, అలాంటి పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో ఒక పంక్తి a మరియు పంక్తి b రూపం యొక్క సమతలంపై ఒక రేఖ యొక్క నియమానుగుణ సమీకరణాల ద్వారా నిర్ణయించబడితే మరియు , లేదా రూపం యొక్క విమానంలో సరళ రేఖ యొక్క పారామెట్రిక్ సమీకరణాలు మరియు తదనుగుణంగా, ఈ రేఖల దిశ వెక్టర్స్ కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటాయి మరియు a మరియు b పంక్తుల సమాంతరత కోసం షరతు ఇలా వ్రాయబడింది.

అనేక ఉదాహరణలకు పరిష్కారాలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ.

పంక్తులు సమాంతరంగా ఉన్నాయా? మరి ?

పరిష్కారం.

పంక్తి యొక్క సాధారణ సమీకరణం రూపంలో విభాగాలలో ఒక పంక్తి యొక్క సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాద్దాం: . ఇప్పుడు అది లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్ అని మనం చూడవచ్చు , a అనేది లైన్ యొక్క సాధారణ వెక్టర్. ఈ వెక్టర్స్ కొలినియర్ కావు, ఎందుకంటే సమానత్వం ఉన్న వాస్తవ సంఖ్య t లేదు ( ) పర్యవసానంగా, విమానంలో పంక్తుల సమాంతరతకు అవసరమైన మరియు తగినంత పరిస్థితి సంతృప్తి చెందదు, కాబట్టి, ఇచ్చిన పంక్తులు సమాంతరంగా లేవు.

సమాధానం:

లేదు, పంక్తులు సమాంతరంగా లేవు.

ఉదాహరణ.

సరళ రేఖలు మరియు సమాంతరంగా ఉన్నాయా?

పరిష్కారం.

కోణీయ గుణకంతో సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణానికి సరళ రేఖ యొక్క కానానికల్ సమీకరణాన్ని తగ్గిద్దాం: . సహజంగానే, పంక్తుల సమీకరణాలు మరియు ఒకేలా ఉండవు (ఈ సందర్భంలో, ఇచ్చిన పంక్తులు ఒకే విధంగా ఉంటాయి) మరియు పంక్తుల కోణీయ గుణకాలు సమానంగా ఉంటాయి, కాబట్టి, అసలు పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి.

రెండు పంక్తుల సమాంతరత సంకేతాలు

సిద్ధాంతం 1. ఒకవేళ, సెకెంట్‌తో రెండు పంక్తులు కలుస్తున్నప్పుడు:

క్రాస్డ్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి లేదా

సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి లేదా

ఒక-వైపు కోణాల మొత్తం 180°, అప్పుడు

పంక్తులు సమాంతరంగా ఉంటాయి(చిత్రం 1).

రుజువు. మేము కేసు 1 ని రుజువు చేయడానికి మమ్మల్ని పరిమితం చేస్తాము.

ఖండన పంక్తులు a మరియు b క్రాస్‌వైస్‌గా మరియు AB కోణాలు సమానంగా ఉండనివ్వండి. ఉదాహరణకు, ∠ 4 = ∠ 6. ఒక ||. అని నిరూపిద్దాం బి.

పంక్తులు a మరియు b సమాంతరంగా లేవని అనుకుందాం. అప్పుడు అవి ఏదో ఒక పాయింట్ M వద్ద కలుస్తాయి మరియు అందువల్ల, 4 లేదా 6 కోణాలలో ఒకటి ABM త్రిభుజం యొక్క బాహ్య కోణం అవుతుంది. ఖచ్చితత్వం కోసం, ∠ 4 త్రిభుజం ABM యొక్క బాహ్య కోణం మరియు ∠ 6 అంతర్గత కోణం. గురించి సిద్ధాంతం నుండి బాహ్య కోణంత్రిభుజం ∠ 6 కంటే ∠ 4 పెద్దది, మరియు ఇది షరతుకు విరుద్ధంగా ఉంది, అంటే a మరియు 6 పంక్తులు కలుస్తాయి కాబట్టి అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి.

పరిణామం 1. ఒకే రేఖకు లంబంగా ఉన్న విమానంలో రెండు వేర్వేరు రేఖలు సమాంతరంగా ఉంటాయి(Fig. 2).

వ్యాఖ్య. సిద్ధాంతం 1 యొక్క కేసు 1ని మేము ఇప్పుడే నిరూపించిన విధానాన్ని వైరుధ్యం లేదా అసంబద్ధతకు తగ్గించడం ద్వారా రుజువు చేసే పద్ధతి అంటారు. ఈ పద్ధతి దాని మొదటి పేరును పొందింది ఎందుకంటే వాదన ప్రారంభంలో నిరూపించబడవలసిన దానికి విరుద్ధంగా (వ్యతిరేకంగా) ఒక ఊహ చేయబడుతుంది. ఇది అసంబద్ధతకు దారితీస్తుందని అంటారు, ఎందుకంటే చేసిన ఊహ ఆధారంగా తార్కికం, మేము అసంబద్ధమైన ముగింపుకు (అసంబద్ధతకు) వస్తాము. అటువంటి ముగింపును స్వీకరించడం ప్రారంభంలో చేసిన ఊహను తిరస్కరించడానికి మరియు నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉన్నదాన్ని అంగీకరించడానికి మనల్ని బలవంతం చేస్తుంది.

టాస్క్ 1.గుండా వెళుతున్న లైన్‌ను నిర్మించండి ఈ పాయింట్ M మరియు ఇచ్చిన పంక్తి aకి సమాంతరంగా, పాయింట్ M గుండా వెళ్ళదు.

పరిష్కారం. మేము సరళ రేఖకు లంబంగా పాయింట్ M ద్వారా p సరళ రేఖను గీస్తాము a (Fig. 3).

అప్పుడు మేము పంక్తికి లంబంగా పాయింట్ M ద్వారా b పంక్తిని గీస్తాము. సిద్ధాంతం 1 యొక్క పరిణామం ప్రకారం లైన్ b పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

పరిగణించబడిన సమస్య నుండి ఒక ముఖ్యమైన ముగింపు క్రింది విధంగా ఉంది:
ఇచ్చిన రేఖపై పడని పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా గీతను గీయడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది.

సమాంతర రేఖల యొక్క ప్రధాన లక్షణం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

సమాంతర రేఖల సూత్రం. ఇచ్చిన రేఖపై పడని ఇచ్చిన పాయింట్ ద్వారా, ఇచ్చిన దానికి సమాంతరంగా ఒక లైన్ మాత్రమే వెళుతుంది.

ఈ సిద్ధాంతం నుండి అనుసరించే సమాంతర రేఖల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

1) ఒక రేఖ రెండు సమాంతర రేఖలలో ఒకదానిని కలుస్తే, అది మరొకదానిని కూడా కలుస్తుంది (Fig. 4).

2) రెండు వేర్వేరు పంక్తులు మూడవ పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటే, అప్పుడు అవి సమాంతరంగా ఉంటాయి (Fig. 5).

కింది సిద్ధాంతం కూడా నిజం.

సిద్ధాంతం 2. రెండు సమాంతర రేఖలు ఒక విలోమ ద్వారా కలుస్తే, అప్పుడు:

క్రాస్‌వైస్ కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి;

సంబంధిత కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి;

ఏకపక్ష కోణాల మొత్తం 180°.

పరిణామం 2. ఒక పంక్తి రెండు సమాంతర రేఖలలో ఒకదానికి లంబంగా ఉంటే, అది మరొకదానికి కూడా లంబంగా ఉంటుంది.(Fig. 2 చూడండి).

వ్యాఖ్య. సిద్ధాంతం 2ని సిద్ధాంతం 1 యొక్క విలోమం అంటారు. సిద్ధాంతం 1 యొక్క ముగింపు సిద్ధాంతం 2 యొక్క స్థితి. మరియు సిద్ధాంతం 1 యొక్క స్థితి సిద్ధాంతం 2 యొక్క ముగింపు. ప్రతి సిద్ధాంతానికి విలోమం ఉండదు, అనగా ఈ సిద్ధాంతంనిజమే, అప్పుడు సంభాషణ సిద్ధాంతం నిజం కాకపోవచ్చు.

గురించి సిద్ధాంతం యొక్క ఉదాహరణను ఉపయోగించి దీనిని వివరిస్తాము నిలువు మూలలు. ఈ సిద్ధాంతాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: రెండు కోణాలు నిలువుగా ఉంటే, అవి సమానంగా ఉంటాయి. మార్పిడి సిద్ధాంతం ఇలా ఉంటుంది: రెండు కోణాలు సమానంగా ఉంటే, అవి నిలువుగా ఉంటాయి. మరియు ఇది, వాస్తవానికి, నిజం కాదు. రెండు సమాన కోణాలునిలువుగా ఉండవలసిన అవసరం లేదు.

ఉదాహరణ 1.రెండు సమాంతర రేఖలు మూడవ వంతు దాటుతాయి. రెండు అంతర్గత ఏకపక్ష కోణాల మధ్య వ్యత్యాసం 30° అని తెలిసింది. ఈ కోణాలను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. ఫిగర్ 6 షరతుకు అనుగుణంగా ఉండనివ్వండి.

సరళ రేఖలు P. అవి లేదా వాటి పొడిగింపులు ఒకదానికొకటి కలుస్తాయి కానట్లయితే. ఈ పంక్తులలో ఒకదాని యొక్క అన్ని పాయింట్లు మరొకదాని నుండి ఒకే దూరంలో ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, "రెండు P. సరళ రేఖలు అనంతం వద్ద కలుస్తాయి" అని చెప్పడం ఆచారం. వ్యక్తీకరణ యొక్క ఈ మార్గం తార్కికంగా సరైనది ఎందుకంటే ఇది వ్యక్తీకరణకు సమానం: "రెండు సరళ రేఖలు ఏదో చివర కలుస్తాయి." అంతం లేకుండా"మరియు ఇది అవి కలుస్తాయి అనే దానికి సమానం. ఇంతలో, "అనంతం వద్ద కలుస్తాయి" అనే వ్యక్తీకరణ గొప్ప సౌలభ్యాన్ని తెస్తుంది: దీనికి ధన్యవాదాలు, ఉదాహరణకు, ఒక విమానంలోని ప్రతి రెండు పంక్తులు కలుస్తాయి మరియు ఖండన యొక్క ఒక బిందువును మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి. వారు విశ్లేషణలో సరిగ్గా అదే పని చేస్తారు, అనంతంతో భాగించబడిన ఒక గుణకం సున్నాకి సమానం. నిజంగా నిరవధికంగా ఉనికిలో లేదు పెద్ద సంఖ్యలో; విశ్లేషణలో, అనంతం అనేది ఏదైనా ఇచ్చిన పరిమాణం కంటే ఎక్కువ చేయగల పరిమాణం. ప్రకటన: “అనంతంతో భాగించబడిన ఒకదాని యొక్క గుణకం సున్నాకి సమానం” అనే అర్థంలో అర్థం చేసుకోవాలి, ఏదైనా సంఖ్యతో భాగించబడిన ఒక గుణకం సున్నాకి దగ్గరగా ఉంటుంది, భాగహారం పెద్దది. యూక్లిడ్ యొక్క ప్రసిద్ధ XI వ సిద్ధాంతం కూడా సరళ రేఖల సిద్ధాంతానికి చెందినది, దీని అర్థం లోబాచెవ్స్కీ యొక్క రచనల ద్వారా స్పష్టం చేయబడింది (లోబాచెవ్స్కీ చూడండి). మనం ఏదైనా వక్రరేఖకు నార్మల్‌లను గీస్తే (చూడండి) మరియు వాటిపై వంపు నుండి సమాన భాగాలను వేస్తే, అప్పుడు లోకస్ఈ విభాగాల చివరలను ఇచ్చిన వక్రరేఖకు సమాంతర రేఖ అంటారు.

• - హోమోలాగస్ మ్యుటేషన్‌లను చూడండి...

  అణు జీవశాస్త్రంమరియు జన్యుశాస్త్రం. నిఘంటువు

• - పొడవైన ఎముకల పెరుగుదల జోన్ ప్రాంతంలో అడ్డంగా ఆధారిత ఎముక పలకలు. శరీరంలో ఆలస్యమైన వృద్ధి ప్రక్రియల కాలంలో అవి ఏర్పడతాయి. బోన్ ఎక్స్‌రేతో ఫిక్సేషన్ సాధ్యం...

  ఫిజికల్ ఆంత్రోపాలజీ. ఇలస్ట్రేటెడ్ నిఘంటువు

• సహజ శాస్త్రం. ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

• - M., సంబంధిత జాతులలో సమలక్షణంలో ఒకే విధమైన మార్పులకు దారితీస్తుంది...

  పెద్దది వైద్య నిఘంటువు

• - డయాటోనిక్లో మేజర్ మరియు మైనర్ వ్యవస్థ, వ్యతిరేక వంపు యొక్క ఒక జత టోనాలిటీలు, ఒకే ప్రాథమిక కూర్పును కలిగి ఉంటాయి. దశలు; టానిక్ P. t. యొక్క త్రయాలు సాధారణ ప్రధాన మూడవ...

  సంగీత ఎన్సైక్లోపీడియా

• - ఇది తెరవబడే అదనపు తరగతుల పేరు విద్యా సంస్థసంబంధిత తరగతిలో ఖాళీలు లేని సందర్భాల్లో...
• - కొన్ని అఫిడ్స్‌లోని తరాల శ్రేణి, అదే ఆడవారి గుడ్ల నుండి ఉద్భవించింది, ఉదాహరణకు, కొన్ని హీర్మేస్, అవి ఇంటర్మీడియట్ మొక్కపై నివసించే రెక్కలు లేని ఆడవారు పెట్టిన గుడ్ల నుండి ఉద్భవించాయి ...

  ఎన్‌సైక్లోపెడిక్ డిక్షనరీ ఆఫ్ బ్రోక్‌హాస్ మరియు యూఫ్రాన్

• - యూక్లిడియన్ జ్యామితిలో, ఒకే విమానంలో ఉండే సరళ రేఖలు మరియు కలుస్తాయి. సంపూర్ణ జ్యామితిలో, ఇచ్చిన రేఖపై పడని బిందువు ద్వారా కనీసం ఒక రేఖను దాటుతుంది, అది ఇచ్చిన దానిని కలుస్తుంది...
• - సహ-సంభవించే రసాయన ప్రతిచర్యలు, కనీసం ఒక ప్రారంభ పదార్థాన్ని ఉమ్మడిగా కలిగి ఉంటుంది...

  పెద్దది సోవియట్ ఎన్సైక్లోపీడియా

• - ఒకే విమానంలో ఖండన లేని పంక్తులు...

  ఆధునిక ఎన్సైక్లోపీడియా

• - ఒకే విమానంలో ఖండన లేని పంక్తులు...

  పెద్ద ఎన్సైక్లోపెడిక్ నిఘంటువు

• - కలిగి అదే సంఖ్యకీలక పాత్రలు...
• - పాఠశాల తరగతులు s ఖచ్చితంగా అదే. కోర్సు, విభజించబడింది విద్యార్థుల రద్దీ కారణంగానే...

  నిఘంటువు విదేశీ పదాలురష్యన్ భాష

• - భూమధ్యరేఖకు సమాంతరంగా భూగోళంపై గీసిన వృత్తాలు...

  రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు

• - పంక్తులు ఒకే విమానంలో ఉంటాయి మరియు వాటి మొత్తం పొడవుతో ఒకదానికొకటి ఒకే దూరంతో వేరు చేయబడతాయి, కాబట్టి, ఒక దిశలో లేదా మరొక దిశలో విస్తరించినప్పుడు, అవి కలుస్తాయి ...

  రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు

• - ఒకే లేదా సారూప్య అర్థాన్ని కలిగి ఉన్న వివిధ రచయితల రచనల నుండి స్థలాలు...

  రష్యన్ భాష యొక్క విదేశీ పదాల నిఘంటువు

పుస్తకాలలో "సమాంతర రేఖలు"

IX లైఫ్ లైన్స్, డెత్ లైన్స్ 1984

కామ్రేడ్ కిల్లర్ పుస్తకం నుండి. రోస్టోవ్ కేసు: ఆండ్రీ చికాటిలో మరియు అతని బాధితులు రచయిత క్రివిచ్ మిఖాయిల్ అబ్రమోవిచ్

IX లైఫ్ లైన్స్, డెత్ లైన్స్ 1984 అన్ని ప్రశ్నలలో, చాలా కష్టమైన విషయం ఏమిటంటే.. అతను ప్రణాళికాబద్ధమైన మరియు సాధించిన వాటి గురించి పరిశోధకులకు ప్రశాంతతతో చెప్పినప్పుడు, అతను ఒక సంవత్సరం లేదా పదేళ్లపాటు జరిగిన దాని గురించి - సులభంగా లేదా ఒత్తిడికి గురైనప్పుడు - గుర్తుచేసుకున్నప్పుడు క్రితం, అతను మరింత పేరు పెట్టాడు

సమాంతర ప్రపంచాలు

హిస్టరీ ఆఫ్ రష్యన్ చాన్సన్ పుస్తకం నుండి రచయిత క్రావ్చిన్స్కీ మాగ్జిమ్ ఎడ్వర్డోవిచ్

సమాంతర ప్రపంచాలుభ్రమణానికి అభివృద్ధి చెందుతున్న అవకాశాలు ప్రదర్శనకారులను మాస్ ప్రేక్షకుల కోసం మార్చడానికి, పునర్నిర్మించడానికి, టెక్స్ట్‌లను మరియు ప్రదర్శనను మార్చడానికి బలవంతం చేసింది. కానీ ఏదైనా దృగ్విషయం ఎల్లప్పుడూ రెండు వైపులా ఉంటుంది మరియు మెజారిటీ "దొంగల టాపిక్" ను వదిలివేసి, పరుగెత్తుతుంది.

సమాంతర ప్రపంచాల గురించి ఏమిటి?

ఇట్ వాజ్ వర్త్ ఇట్ పుస్తకం నుండి. నా నిజమైన మరియు నమ్మశక్యం కాని కథ. పార్ట్ I. రెండు జీవితాలు Ardeeva బీటా ద్వారా

సమాంతర ప్రపంచాల గురించి ఏమిటి? ఇప్పటికే స్పష్టమైన కలలు కనడంమరియు "డ్రీమ్ రియాలిటీస్" సైన్స్ ఫిక్షన్ లాగా అనిపిస్తాయి, కానీ తర్వాత వచ్చేది మరింత ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది! ఉదాహరణకు, కాస్టానెడ సహవిద్యార్థులలో ఒకరైన కరోల్ టిగ్స్ తన విద్యార్థులకు సమాంతరంగా పిలవబడే ఉనికి గురించి చెప్పారు.

5. సమాంతర ప్రపంచాలు

ఇయర్ ఆఫ్ ది ఆక్స్ - MMIX పుస్తకం నుండి రచయిత రోమనోవ్ రోమన్ రోమనోవిచ్

5. సమాంతర ప్రపంచాలు రెండు పుస్తకాలను బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి త్రయం మరియు నవల మధ్య సమాంతరాలు మరియు పరిచయాల కోసం వెతకడం సాధ్యమే మరియు అవసరం. కానీ వెసువియస్ మరియు కాపిటోలిన్ హిల్ సాటిలేని విధంగానే రెండు పుస్తకాల రచయితలు సాటిలేని పరిమాణంలో ఉన్నారు. రెండూ శిఖరాలే,

సమాంతర ప్రపంచాలు

100 గొప్ప రహస్యాలు పుస్తకం నుండి [దృష్టాంతాలతో] రచయిత Nepomnyashchiy నికోలాయ్ Nikolaevich

సమాంతర ప్రపంచాలు ఫిబ్రవరి 1, 1964న, కాలిఫోర్నియా న్యాయవాది థామస్ పి. మెహన్ తన సాధారణ పని దినాన్ని ముగించుకుని, గంటన్నర దూరంలో ఉన్న యురేకా పట్టణానికి ఇంటికి వెళ్లేందుకు తన కారులో ఎక్కాడు. కానీ ఇంట్లో మళ్లీ ఎవరూ చూడలేదు, అసలు

సమాంతర ప్రపంచాలు

జస్ట్ నిన్న పుస్తకం నుండి. ప్రథమ భాగము. నేను ఒక సాంకేతిక నిపుణుడిని రచయిత మెల్నిచెంకో నికోలాయ్ ట్రోఫిమోవిచ్

సమాంతర ప్రపంచాలు సాయంత్రం మా హాస్టల్‌లో పూర్తిగా భిన్నమైన జీవితం ఉంది. ఇటీవల వరకు, మిఖాయిల్ మరియు ఇవాన్ మరియు వారి సోదరుడు సామూహిక పొలంలో మరియు వారి స్వంత "హోమ్‌స్టెడ్" ప్లాట్లలో "దున్నుతారు". సామూహిక పొలంలో పని చేయడం చాలా కష్టం; దీనికి సమయం మరియు కృషి అవసరం. ముఖ్యంగా -

సమాంతర శిక్షణలు

ఇన్ఫోబిజినెస్ ఆన్ పుస్తకం నుండి పూర్తి శక్తి[రెట్టింపు అమ్మకాలు] రచయిత పారాబెల్లమ్ ఆండ్రీ అలెక్సీవిచ్

సమాంతర శిక్షణలు ఉదాహరణకు, రెండు శిక్షణలు సమాంతరంగా విక్రయించబడిన సందర్భాలు ఉన్నాయి. కొంతమంది ఆశ్చర్యపోతారు, "ఇది బేస్ కోసం చాలా ఎక్కువ అవుతుందా?" అయితే, చాలా ఉండవచ్చు, కానీ మీరు చేయగలిగినది శిక్షణలను తీసుకొని వాటిని కలపడం మాత్రమే

సమాంతర ప్రపంచాలు

ఎలియెన్స్ ఫ్రమ్ ది ఫ్యూచర్: థియరీ అండ్ ప్రాక్టీస్ ఆఫ్ టైమ్ ట్రావెల్ పుస్తకం నుండి గోల్డ్‌బెర్గ్ బ్రూస్ ద్వారా

పారలల్ వరల్డ్స్ సైద్ధాంతిక భౌతిక శాస్త్రవేత్త ఫ్రెడ్ అలాన్ వోల్ఫ్ సమాంతర ప్రపంచాల భావనతో మరియు భవిష్యత్తుతో మన కమ్యూనికేషన్ కోసం ఒక మెకానిజమ్‌గా పనిచేసే వారి సామర్థ్యాన్ని గట్టిగా అంగీకరిస్తాడు. తన పుస్తకం సమాంతర ప్రపంచాలలో అతను ఇలా పేర్కొన్నాడు: "భవిష్యత్తు వాస్తవం

అధ్యాయం 29 సమాంతరంగా

వాక్ ఆన్ ది సస్పెన్షన్ బ్రిడ్జ్ పుస్తకం నుండి రచయిత ట్రుబిట్సినా ఎకటెరినా అర్కాడివ్నా

అధ్యాయం 29 సమాంతర సమయం హడావిడిగా సాగింది. ఇరా స్వయంగా రాజీనామా చేసింది. అయితే, ఊహించిన విధంగా, ఇది ఉపశమనం కలిగించలేదు. రౌల్ తన భావాలను మరింత స్పష్టంగా చూపించడానికి ప్రయత్నిస్తాడేమోనని ఆమె భయపడింది, కానీ అతను పిచ్చిగా కనిపించడం తప్ప ప్రయత్నించలేదు, మరియు

అధ్యాయం 2 ప్రమాదకర ఆపరేటింగ్ లైన్‌పై పరిశోధన ప్రారంభించడం. - ఒకే కార్యాచరణ లైన్ గురించి, ఒక విషయం ఆధారంగా మరియు శత్రు దేశానికి వెళ్లడం

జర్మన్ మిలిటరీ థాట్ పుస్తకం నుండి రచయిత జాలెస్కీ కాన్స్టాంటిన్ అలెగ్జాండ్రోవిచ్

అధ్యాయం 2 ప్రమాదకర ఆపరేటింగ్ లైన్‌పై పరిశోధన ప్రారంభించడం. - ఒకే ఆపరేటింగ్ లైన్ గురించి, ఒక విషయం ఆధారంగా మరియు శీర్షిక శత్రు దేశం 1. ఆర్మీ ఆపరేటింగ్ లైన్లు కండరాలు లాంటివి. మానవ శరీరం, ఇది ఆధారపడి ఉంటుంది

అధ్యాయం 5. మన్నెర్‌హీమ్ రేఖ యొక్క పురోగతి మరియు రక్షణ యొక్క ఇంటర్మీడియట్ లైన్‌పై యుద్ధాలు

స్టాలిన్ స్లాండర్డ్ విక్టరీ పుస్తకం నుండి. మన్నెర్‌హీమ్ లైన్‌పై దాడి రచయిత Irincheev బైర్

అధ్యాయం 5. మన్నెర్‌హీమ్ రేఖ యొక్క పురోగతి మరియు రక్షణ యొక్క ఇంటర్మీడియట్ లైన్‌పై పోరాటం ఫిబ్రవరి 11న, 7వ మరియు 13వ సైన్యాల భారీ-స్థాయి దాడి ప్రారంభమైంది. కరేలియన్ ఇస్త్మస్. ముయోలాంజర్వి సరస్సు నుండి కౌక్‌జార్వి వరకు ఉన్న స్ట్రిప్‌లో పురోగతి యొక్క ప్రధాన దిశ. ఇతర దిశలలో

సమాంతర రేఖలు

ఎన్సైక్లోపెడిక్ డిక్షనరీ (పి) పుస్తకం నుండి రచయిత Brockhaus F.A.

సమాంతర రేఖలుసమాంతర రేఖలు - అవి లేదా వాటి పొడిగింపులు ఒకదానికొకటి కలుస్తాయి కానట్లయితే వాటిని P. అంటారు. ఈ పంక్తులలో ఒకదాని నుండి వార్తలు మరొక దాని నుండి అదే దూరంలో ఉన్నాయి. అయినప్పటికీ, ఇలా చెప్పడం ఆచారం: “రెండు P. సరళ రేఖలు కలుస్తాయి

రచయిత కోవల్ డిమిత్రి

డయాఫ్రాగమ్ లైన్ నుండి నడుము రేఖ వరకు డయాఫ్రాగమ్ డయాఫ్రాగమ్ మన శరీరంలో అతిపెద్ద కండరం, ఇది ఛాతీని వేరు చేస్తుంది. ఉదర కుహరం. పాదం మీద, డయాఫ్రాగమ్ లైన్ పాదం యొక్క మృదువైన, కండగల భాగాన్ని దాని అస్థి పునాది నుండి వేరు చేస్తుంది. డయాఫ్రాగమ్ యొక్క విధులు మరియు దానితో పని చేయవలసిన అవసరం గురించి

డయాఫ్రాగమ్ లైన్ నుండి నడుము లైన్ వరకు

హీలింగ్ పాయింట్స్ ఆఫ్ అవర్ బాడీ పుస్తకం నుండి. ప్రాక్టికల్ అట్లాస్ రచయిత కోవల్ డిమిత్రి

డయాఫ్రాగమ్ లైన్ నుండి నడుము రేఖ వరకు, ఈ ప్రాంతం యొక్క రిఫ్లెక్స్ జోన్లు మూడు అవయవాలలో కుడి పాదం నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి - కడుపు, ప్యాంక్రియాస్ మరియు ప్లీహము.కడుపు అనేది ఆహారం యొక్క ప్రారంభ జీర్ణక్రియ, పాక్షిక శోషణకు ఒక బోలు అవయవం. పోషకాలుతో

అధ్యాయం 1 అధికార రేఖను వదిలివేయడం (దాడి రేఖ)

ఆరోగ్యం-పోరాట వ్యవస్థ "పోలార్ బేర్" పుస్తకం నుండి రచయిత మెషల్కిన్ వ్లాడిస్లావ్ ఎడ్వర్డోవిచ్

అధ్యాయం 1 అధికార రేఖను వదిలివేయడం (దాడి రేఖ) ఈ సూత్రం వ్యక్తీకరించబడింది జానపద జ్ఞానం: "ఇబ్బందుల్లో పడకండి." రోజోన్ అనేది ఒక మూర్ఖుడు నేరుగా, అంటే తలపైకి వెళ్ళే వాటా. సాధారణంగా జీవితంలో ముందరి దాడి, నేరుగా మరియు అలంకారికంగా, కృతజ్ఞత లేని మరియు చాలా బాధాకరమైన పని. వద్ద