గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క వాలు. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణం

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, టెలిఫోన్ నంబర్, చిరునామాతో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు ఇమెయిల్మొదలైనవి

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మా ద్వారా సేకరించబడింది వ్యక్తిగత సమాచారంమిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మరియు మీకు తెలియజేయడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది ప్రత్యేక ఆఫర్లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లు.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము ఆడిటింగ్, డేటా విశ్లేషణ మరియు వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు వివిధ అధ్యయనాలుమేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించిన సిఫార్సులను మీకు అందించడానికి.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే, చట్టం ప్రకారం, న్యాయ ప్రక్రియ, వి విచారణ, మరియు/లేదా పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా ప్రభుత్వ సంస్థలురష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలో - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయండి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

ఒక ఫంక్షన్ f ఇవ్వబడనివ్వండి, ఇది ఏదో ఒక సమయంలో x 0 పరిమిత ఉత్పన్నం f (x 0) కలిగి ఉంటుంది. అప్పుడు పాయింట్ (x 0 ; f (x 0)) గుండా వెళుతున్న పంక్తి ఉంది వాలు f ’(x 0)ని టాంజెంట్ అంటారు.

x 0 పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం లేకపోతే ఏమి జరుగుతుంది? రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి:

1. గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ కూడా లేదు. క్లాసిక్ ఉదాహరణ- ఫంక్షన్ y = |x | పాయింట్ వద్ద (0; 0).
2. టాంజెంట్ నిలువుగా మారుతుంది. ఇది నిజం, ఉదాహరణకు, పాయింట్ (1; π /2) వద్ద y = ఆర్క్సిన్ x ఫంక్షన్ కోసం.

టాంజెంట్ సమీకరణం

ఏదైనా నిలువు కాని సరళ రేఖ y = kx + b రూపం యొక్క సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇక్కడ k అనేది వాలు. టాంజెంట్ మినహాయింపు కాదు మరియు ఏదో ఒక పాయింట్ x 0 వద్ద దాని సమీకరణాన్ని సృష్టించడానికి, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ మరియు ఉత్పన్నం యొక్క విలువను తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది.

కాబట్టి, సెగ్మెంట్‌లో y = f ’(x) డెరివేటివ్‌ని కలిగి ఉండే ఫంక్షన్‌ని y = f (x) ఇవ్వనివ్వండి. అప్పుడు ఏ పాయింట్‌లోనైనా x 0 ∈ (a ; b) ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కి టాంజెంట్‌ని డ్రా చేయవచ్చు, ఇది సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది:

y = f ’(x 0) (x - x 0) + f (x 0)

ఇక్కడ f ’(x 0) అనేది పాయింట్ x 0 వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువ, మరియు f (x 0) అనేది ఫంక్షన్ యొక్క విలువ.

టాస్క్. y = x 3 ఫంక్షన్ ఇవ్వబడింది. x 0 = 2 పాయింట్ వద్ద ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ కోసం సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

టాంజెంట్ సమీకరణం: y = f ’(x 0) · (x - x 0) + f (x 0). పాయింట్ x 0 = 2 మాకు ఇవ్వబడింది, అయితే f (x 0) మరియు f '(x 0) విలువలు లెక్కించబడాలి.

ముందుగా, ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనండి. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
ఇప్పుడు ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
మేము x 0 = 2ని ఉత్పన్నంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
మొత్తంగా మనకు లభిస్తుంది: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
ఇది టాంజెంట్ సమీకరణం.

టాస్క్. x 0 = π /2 పాయింట్ వద్ద f (x) = 2sin x + 5 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ కోసం సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

ఈసారి మేము ప్రతి చర్యను వివరంగా వివరించము - మేము కీలక దశలను మాత్రమే సూచిస్తాము. మాకు ఉన్నాయి:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

టాంజెంట్ సమీకరణం:

y = 0 · (x - π /2) + 7 ⇒ y = 7

IN తరువాతి కేసుసరళ రేఖ క్షితిజ సమాంతరంగా మారింది, ఎందుకంటే దాని కోణీయ గుణకం k = 0. ఇందులో తప్పు ఏమీ లేదు - మేము ఒక విపరీత బిందువుపై పొరపాటు పడ్డాము.

కింది బొమ్మను పరిగణించండి:

ఇది ఒక నిర్దిష్ట ఫంక్షన్ y = f(x)ని వర్ణిస్తుంది, ఇది పాయింట్ a వద్ద భేదం ఉంటుంది. కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్ M (a; f(a)) గుర్తించబడింది. ద్వారా ఏకపక్ష పాయింట్ P(a + ∆x; f(a + ∆x)) గ్రాఫ్ సెకెంట్ MR ద్వారా డ్రా చేయబడింది.

ఇప్పుడు పాయింట్ P గ్రాఫ్‌తో పాటు పాయింట్ Mకి మార్చబడితే, అప్పుడు సరళ రేఖ MR పాయింట్ M చుట్టూ తిరుగుతుంది. ఈ సందర్భంలో, ∆x సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది. ఇక్కడ నుండి మనం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క నిర్వచనాన్ని రూపొందించవచ్చు.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ అనేది సెకెంట్ యొక్క పరిమితి స్థానం, ఎందుకంటే ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ సున్నాకి ఉంటుంది. పాయింట్ x0 వద్ద f ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఉనికిని అర్థం చేసుకోవాలి అంటే గ్రాఫ్ యొక్క ఈ పాయింట్ వద్ద ఉంది టాంజెంట్తనకి.

ఈ సందర్భంలో, టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం ఈ పాయింట్ f'(x0) వద్ద ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఇది రేఖాగణిత అర్థంఉత్పన్నం. పాయింట్ x0 వద్ద భేదం f ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ అనేది పాయింట్ (x0;f(x0)) గుండా వెళుతున్న ఒక నిర్దిష్ట సరళ రేఖ మరియు కోణీయ గుణకం f'(x0) కలిగి ఉంటుంది.

టాంజెంట్ సమీకరణం

పాయింట్ A(x0; f(x0)) వద్ద కొంత ఫంక్షన్ f యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందేందుకు ప్రయత్నిద్దాం. వాలు kతో ఉన్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం తదుపరి వీక్షణ:

మన స్లోప్ కోఎఫీషియంట్ డెరివేటివ్‌కి సమానం కాబట్టి f'(x0), అప్పుడు సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: y = f'(x0)*x + బి.

ఇప్పుడు b విలువను గణిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఫంక్షన్ పాయింట్ A గుండా వెళుతుందనే వాస్తవాన్ని మేము ఉపయోగిస్తాము.

f(x0) = f'(x0)*x0 + b, ఇక్కడ నుండి మనం bని వ్యక్తపరుస్తాము మరియు b = f(x0) - f'(x0)*x0ని పొందుతాము.

మేము ఫలిత విలువను టాంజెంట్ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము:

y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).

కింది ఉదాహరణను పరిగణించండి: x = 2 పాయింట్ వద్ద f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. పొందిన విలువలను టాంజెంట్ ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, మనకు లభిస్తుంది: y = 1 + 4*(x - 2). బ్రాకెట్లు తెరిచి తీసుకురావడం సారూప్య నిబంధనలుమనకు లభిస్తుంది: y = 4*x - 7.

సమాధానం: y = 4*x - 7.

టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేయడానికి సాధారణ పథకం y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కి:

1. x0ని నిర్ణయించండి.

2. f(x0)ని లెక్కించండి.

3. f'(x)ని లెక్కించండి

ఈ వ్యాసంలో మేము కనుగొనడానికి అన్ని రకాల సమస్యలను విశ్లేషిస్తాము

గుర్తుంచుకుందాం ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం: ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ డ్రా అయినట్లయితే, టాంజెంట్ యొక్క వాలు గుణకం ( టాంజెంట్‌కి సమానంటాంజెంట్ మరియు అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య కోణం) పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం.

కోఆర్డినేట్‌లతో టాంజెంట్‌పై ఏకపక్ష పాయింట్‌ని తీసుకుందాం:

మరియు కుడి త్రిభుజాన్ని పరిగణించండి:

ఈ త్రిభుజంలో

ఇక్కడనుంచి

ఇది పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు గీసిన టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణం.

టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని వ్రాయడానికి, మనం ఫంక్షన్ యొక్క సమీకరణం మరియు టాంజెంట్ డ్రా చేయబడిన పాయింట్ మాత్రమే తెలుసుకోవాలి. అప్పుడు మనం కనుగొనవచ్చు మరియు .

టాంజెంట్ ఈక్వేషన్ సమస్యలలో మూడు ప్రధాన రకాలు ఉన్నాయి.

1. పరిచయం పాయింట్ ఇవ్వబడింది

2. టాంజెంట్ స్లోప్ కోఎఫీషియంట్ ఇవ్వబడింది, అంటే పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువ.

3. టాంజెంట్ డ్రా చేయబడిన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు ఇవ్వబడ్డాయి, అయితే ఇది టాంజెన్సీ పాయింట్ కాదు.

ప్రతి రకమైన పనిని చూద్దాం.

1 . ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి పాయింట్ వద్ద .

.

బి) పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం విలువను కనుగొనండి. ముందుగా ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

కనుగొనబడిన విలువలను టాంజెంట్ సమీకరణంలోకి మారుద్దాం:

సమీకరణం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న బ్రాకెట్లను తెరవండి. మాకు దొరికింది:

సమాధానం: .

2. ఫంక్షన్‌లు గ్రాఫ్‌కి టాంజెంట్‌గా ఉండే పాయింట్‌ల అబ్సిస్సాను కనుగొనండి x-అక్షానికి సమాంతరంగా.

టాంజెంట్ x-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటే, టాంజెంట్ మరియు అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ మధ్య కోణం సున్నాకి సమానం, కాబట్టి టాంజెంట్ కోణం యొక్క టాంజెంట్ సున్నా. దీని అర్థం ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువ పరిచయం పాయింట్ల వద్ద సున్నా.

ఎ) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి .

b) ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేసి, టాంజెంట్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే విలువలను కనుగొనండి:

ప్రతి కారకాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

సమాధానం: 0;3;5

3. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ల కోసం సమీకరణాలను వ్రాయండి , సమాంతరంగా నేరుగా .

ఒక టాంజెంట్ రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటుంది. ఈ రేఖ యొక్క వాలు -1. టాంజెంట్ ఈ రేఖకు సమాంతరంగా ఉన్నందున, టాంజెంట్ యొక్క వాలు కూడా -1. అంటే టాంజెంట్ యొక్క వాలు మనకు తెలుసు, మరియు, తద్వారా, టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్న విలువ.

టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ఇది రెండవ రకమైన సమస్య.

కాబట్టి, మనకు టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క ఫంక్షన్ మరియు విలువ ఇవ్వబడుతుంది.

a) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం -1కి సమానమైన పాయింట్లను కనుగొనండి.

ముందుగా, ఉత్పన్న సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

ఉత్పన్నాన్ని సంఖ్య -1కి సమం చేద్దాం.

పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

(షరతు ప్రకారం)

.

బి) పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనండి.

పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనండి.

(షరతు ప్రకారం).

ఈ విలువలను టాంజెంట్ సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

.

సమాధానం:

4 . వక్రరేఖకు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి , ఒక పాయింట్ గుండా వెళుతుంది

ముందుగా, పాయింట్ టాంజెంట్ పాయింట్ కాదా అని చూద్దాం. ఒక బిందువు టాంజెంట్ పాయింట్ అయితే, అది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు చెందినది మరియు దాని కోఆర్డినేట్‌లు తప్పనిసరిగా ఫంక్షన్ యొక్క సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరచాలి. పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను ఫంక్షన్ యొక్క సమీకరణంలోకి మారుద్దాం.

శీర్షిక="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем !} ప్రతికూల సంఖ్య, సమానత్వం నిజం కాదు, మరియు పాయింట్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు చెందినది కాదు మరియు అనేది సంప్రదింపుల స్థానం కాదు.

టాంజెంట్ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి ఇది చివరి రకమైన సమస్య. మొదటి అంశం మేము టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాను కనుగొనాలి.

విలువను కనుక్కోండి.

కాంటాక్ట్ పాయింట్‌గా ఉండనివ్వండి. పాయింట్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌కు చెందినది. మేము ఈ పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను టాంజెంట్ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు సరైన సమానత్వం లభిస్తుంది:

.

ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువ .

పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి.

ముందుగా, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. ఈ .

ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం సమానంగా ఉంటుంది .

టాంజెంట్ ఈక్వేషన్‌కి ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. మేము దీని కోసం సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం 2 ద్వారా తగ్గించండి:

సమీకరణం యొక్క కుడి వైపును కుదిద్దాం సాధారణ హారం. మాకు దొరికింది:

భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌ను సరళీకృతం చేద్దాం మరియు రెండు వైపులా గుణించండి - ఈ వ్యక్తీకరణ ఖచ్చితంగా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము

దాన్ని పరిష్కరించుకుందాం. దీన్ని చేయడానికి, రెండు భాగాలను స్క్వేర్ చేసి సిస్టమ్‌కు వెళ్దాం.

శీర్షిక="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 )))(">!}

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

తేల్చుకుందాం వర్గ సమీకరణం, మాకు దొరికింది

రెండవ మూలం షరతు శీర్షిక="8-3x_0>=0ని సంతృప్తిపరచదు">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

పాయింట్ వద్ద వక్రరేఖకు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, సమీకరణంలో విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి - మేము ఇప్పటికే రికార్డ్ చేసాము.

సమాధానం:
.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• - గణిత సూచన పుస్తకం;
• - నోట్బుక్;
• - ఒక సాధారణ పెన్సిల్;
• - పెన్;
• - ప్రొట్రాక్టర్;
• - దిక్సూచి.

సూచనలు

x0 పాయింట్ వద్ద భేదాత్మక ఫంక్షన్ f(x) యొక్క గ్రాఫ్ టాంజెంట్ సెగ్మెంట్ నుండి భిన్నంగా లేదని దయచేసి గమనించండి. కాబట్టి, ఇది పాయింట్లు (x0; f(x0)) మరియు (x0+Δx; f(x0 + Δx)) ద్వారా వెళ్లే సెగ్మెంట్ lకి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. కోఎఫీషియంట్స్ (x0; f(x0)) పాయింట్ A గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖను పేర్కొనడానికి, దాని వాలును పేర్కొనండి. అంతేకాకుండా, ఇది Δy/Δx సెకాంట్ టాంజెంట్ (Δх→0)కి సమానం, మరియు f‘(x0) సంఖ్యకు కూడా ఉంటుంది.

F‘(x0)కి విలువలు లేకుంటే, టాంజెంట్ ఉండదు, లేదా అది నిలువుగా నడుస్తుంది. దీని ఆధారంగా, పాయింట్ x0 వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం నాన్-వర్టికల్ టాంజెంట్ ఉనికి ద్వారా వివరించబడుతుంది, ఇది పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది (x0, f(x0)). IN ఈ విషయంలోటాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం f "(x0)కి సమానం. రేఖాగణిత ఉత్పన్నం, అంటే, టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం స్పష్టమవుతుంది.

అంటే, టాంజెంట్ యొక్క వాలును కనుగొనడానికి, మీరు టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనాలి. ఉదాహరణ: abscissa X0 = 1తో పాయింట్ వద్ద y = x³ ఫంక్షన్‌కు టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకాన్ని కనుగొనండి. పరిష్కారం: ఈ ఫంక్షన్ y΄(x) = 3x² యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి; X0 = 1 పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి. у΄(1) = 3 × 1² = 3. పాయింట్ X0 = 3 వద్ద టాంజెంట్ యొక్క కోణ గుణకం.

చిత్రంలో అదనపు టాంజెంట్‌లను గీయండి, తద్వారా అవి పాయింట్‌ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను తాకుతాయి: x1, x2 మరియు x3. ఈ టాంజెంట్ల ద్వారా ఏర్పడిన కోణాలను అబ్సిస్సా అక్షంతో గుర్తించండి (కోణం సానుకూల దిశలో లెక్కించబడుతుంది - అక్షం నుండి టాంజెంట్ లైన్ వరకు). ఉదాహరణకు, కోణం α1 తీవ్రంగా ఉంటుంది, కోణం (α2) మందంగా ఉంటుంది మరియు మూడవ (α3) సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే గీసిన టాంజెంట్ లైన్ సమాంతర అక్షంఓహ్. ఈ సందర్భంలో, టాంజెంట్ గురు కోణంఉంది ప్రతికూల అర్థం, మరియు టాంజెంట్ తీవ్రమైన కోణం- పాజిటివ్, tg0 వద్ద మరియు ఫలితం సున్నా.

ఇచ్చిన వృత్తానికి టాంజెంట్ అనేది ఒక సరళ రేఖ మాత్రమే సాధారణ పాయింట్ఈ సర్కిల్‌తో. ఒక వృత్తానికి టాంజెంట్ ఎల్లప్పుడూ దాని వ్యాసార్థానికి లంబంగా ఉంటుంది. వృత్తానికి చెందని ఒక బిందువు నుండి రెండు టాంజెంట్‌లు గీసినట్లయితే, ఈ బిందువు నుండి టాంజెన్సీ బిందువులకు ఉన్న దూరాలు ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటాయి. టాంజెంట్లు వృత్తాలునిర్మిస్తున్నారు వివిధ మార్గాలు, ఒకదానికొకటి సాపేక్షంగా వారి స్థానాన్ని బట్టి.

సూచనలు

ఒక వృత్తానికి టాంజెంట్‌ను నిర్మించడం.
1. వ్యాసార్థం R యొక్క వృత్తాన్ని నిర్మించి, A ను తీసుకోండి, ఇది టాంజెంట్ గుండా వెళుతుంది.
2. సెగ్మెంట్ OA మధ్యలో ఒక కేంద్రం మరియు ఈ విభాగానికి సమానమైన రేడియాలతో ఒక వృత్తం నిర్మించబడింది.
3. ఇచ్చిన వృత్తానికి పాయింట్ A ద్వారా గీసిన రెండు టాంజెంట్ పాయింట్ల ఖండన.

రెండుకి బాహ్య టాంజెంట్ వృత్తాలు.

2. పాయింట్ O వద్ద కేంద్రంతో R - r వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని గీయండి.
3. O1 నుండి ఒక టాంజెంట్ ఫలిత వృత్తానికి డ్రా చేయబడుతుంది, టాంజెన్సీ పాయింట్ M గా సూచించబడుతుంది.
4. పాయింట్ M నుండి పాయింట్ T నుండి R వ్యాసార్థం వెళుతుంది - వృత్తం యొక్క టాంజెంట్ పాయింట్.
5. చిన్న వృత్తం యొక్క కేంద్రం O1 ద్వారా, పెద్ద వృత్తం యొక్క R కి సమాంతరంగా ఒక వ్యాసార్థం r డ్రా చేయబడుతుంది. r వ్యాసార్థం T1 పాయింట్‌ను సూచిస్తుంది - చిన్న వృత్తం యొక్క టాంజెన్సీ పాయింట్.
వృత్తాలు.

రెండుకి అంతర్గత టాంజెంట్ వృత్తాలు.
1. R మరియు r వ్యాసార్థం యొక్క రెండు వృత్తాలు నిర్మించబడ్డాయి.
2. పాయింట్ O వద్ద కేంద్రంతో R + r వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని గీయండి.
3. పాయింట్ O1 నుండి ఫలిత వృత్తానికి టాంజెంట్ డ్రా చేయబడుతుంది, టాంజెన్సీ పాయింట్ M అక్షరంతో సూచించబడుతుంది.
4. రే OM మొదటి వృత్తాన్ని T పాయింట్ వద్ద - గొప్ప వృత్తం యొక్క టాంజెన్సీ పాయింట్ వద్ద కలుస్తుంది.
5. చిన్న వృత్తం యొక్క కేంద్రం O1 ద్వారా, రే OMకి సమాంతరంగా r వ్యాసార్థం డ్రా అవుతుంది. r వ్యాసార్థం T1 పాయింట్‌ను సూచిస్తుంది - చిన్న వృత్తం యొక్క టాంజెన్సీ పాయింట్.
6. స్ట్రెయిట్ లైన్ TT1 - ఇచ్చిన దానికి టాంజెంట్ వృత్తాలు.

మూలాలు:

• అంతర్గత టాంజెంట్

కోణీయ గది – పరిపూర్ణ ఎంపికఅపార్ట్మెంట్లో ఖాళీ మూలల కోసం. అదనంగా, మూలలో కాన్ఫిగరేషన్ గది ov లోపలికి క్లాసిక్ వాతావరణాన్ని ఇస్తుంది. మూలలకు ముగింపుగా గది ov ఈ ప్రయోజనం కోసం తగిన ఏదైనా పదార్థం ఉపయోగించవచ్చు.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• ఫైబర్బోర్డ్, MDF, మరలు, గోర్లు, రంపపు బ్లేడ్, ఫ్రైజ్.

సూచనలు

ప్లైవుడ్ లేదా ఫైబర్‌బోర్డ్ నుండి 125 mm వెడల్పు మరియు 1065 mm పొడవు గల టెంప్లేట్‌ను కత్తిరించండి. అంచులు తప్పనిసరిగా 45 డిగ్రీల కోణంలో దాఖలు చేయాలి. ద్వారా రెడీమేడ్ టెంప్లేట్ప్రక్క గోడల కొలతలు, అలాగే అది ఉన్న స్థలాన్ని నిర్ణయించండి గది.

పక్క గోడలు మరియు త్రిభుజాకార అల్మారాలకు మూతని కనెక్ట్ చేయండి. స్క్రూలను ఉపయోగించి పక్క గోడల ఎగువ అంచులకు కవర్ తప్పనిసరిగా భద్రపరచబడాలి. నిర్మాణ బలం కోసం, అదనపు గ్లూ ఉపయోగించబడుతుంది. స్లాట్‌లకు అల్మారాలను అటాచ్ చేయండి.

45-డిగ్రీల కోణంలో రంపపు బ్లేడ్‌ను యాంగిల్ చేయండి మరియు గైడ్ బార్‌తో పాటు ప్రక్క గోడల యొక్క ప్రధాన అంచుని బెవెల్ చేయండి. MDF స్ట్రిప్స్‌కు స్థిర అల్మారాలను అటాచ్ చేయండి. స్క్రూలతో పక్క గోడలను కనెక్ట్ చేయండి. ఖాళీలు లేవని నిర్ధారించుకోండి.

గోడలో గుర్తులు చేయండి, వాటి మధ్య మూలలో ఫ్రేమ్ ఉంచండి గదిఎ. స్క్రూలను ఉపయోగించి అటాచ్ చేయండి గదిగోడకు. డోవెల్ యొక్క పొడవు 75 మిమీ ఉండాలి.

ఘన MDF బోర్డు నుండి ఫ్రంట్ ఫ్రేమ్‌ను కత్తిరించండి. వృత్తాకార రంపాన్ని ఉపయోగించి, పాలకుడిని ఉపయోగించి దానిలోని ఓపెనింగ్‌లను కత్తిరించండి. మూలలను ముగించండి.

టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా విలువను కనుగొనండి, ఇది "a" అక్షరంతో సూచించబడుతుంది. ఇది ఇచ్చిన టాంజెంట్ పాయింట్‌తో సమానంగా ఉంటే, "a" దాని x-కోఆర్డినేట్ అవుతుంది. విలువను నిర్ణయించండి విధులు f(a) సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా విధులు abscissa విలువ.

సమీకరణం యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని నిర్ణయించండి విధులు f'(x) మరియు పాయింట్ "a" విలువను దానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి.

తీసుకోవడం సాధారణ సమీకరణంటాంజెంట్, ఇది y = f(a) = f (a)(x – a)గా నిర్వచించబడింది మరియు కనుగొనబడిన a, f(a), f "(a) విలువలను దానిలో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. ఫలితంగా, గ్రాఫ్ మరియు టాంజెంట్‌కి పరిష్కారం కనుగొనబడుతుంది.

ఇచ్చిన టాంజెంట్ పాయింట్ టాంజెంట్ పాయింట్‌తో ఏకీభవించకపోతే సమస్యను వేరే విధంగా పరిష్కరించండి. ఈ సందర్భంలో, టాంజెంట్ సమీకరణంలో సంఖ్యలకు బదులుగా “a”ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అవసరం. ఆ తరువాత, "x" మరియు "y" అక్షరాలకు బదులుగా, కోఆర్డినేట్ విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి పాయింట్ ఇచ్చారు. "a" తెలియని సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. ఫలిత విలువను టాంజెంట్ సమీకరణంలోకి ప్లగ్ చేయండి.

సమస్య ప్రకటన సమీకరణాన్ని పేర్కొంటే, "a" అక్షరంతో టాంజెంట్ కోసం సమీకరణాన్ని వ్రాయండి విధులుమరియు సమీకరణం సమాంతర రేఖకావలసిన టాంజెంట్కు సంబంధించి. దీని తరువాత మనకు ఉత్పన్నం అవసరం విధులు, పాయింట్ "a" వద్ద కోఆర్డినేట్‌కు. టాంజెంట్ సమీకరణంలో తగిన విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు ఫంక్షన్‌ను పరిష్కరించండి.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క సమీకరణాన్ని కంపోజ్ చేస్తున్నప్పుడు, "టాంజెన్సీ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా" అనే భావన ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విలువపని యొక్క పరిస్థితులలో ప్రారంభంలో పేర్కొనబడవచ్చు లేదా అది స్వతంత్రంగా నిర్ణయించబడాలి.

సూచనలు

x మరియు y కోఆర్డినేట్ అక్షాలను కాగితంపై గీయండి. అన్వేషించండి ఇచ్చిన సమీకరణంఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కోసం. అది ఉంటే, ఏదైనా x కోసం y పరామితి కోసం రెండు విలువలను కలిగి ఉంటే సరిపోతుంది, ఆపై కోఆర్డినేట్ అక్షంపై కనుగొనబడిన పాయింట్లను ప్లాట్ చేయండి మరియు వాటిని ఒక లైన్‌తో కనెక్ట్ చేయండి. గ్రాఫ్ నాన్ లీనియర్ అయితే, xపై y ఆధారపడటం యొక్క పట్టికను రూపొందించండి మరియు గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి కనీసం ఐదు పాయింట్లను ఎంచుకోండి.

ఇచ్చిన టాంజెంట్ పాయింట్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌తో ఏకీభవించనప్పుడు కేసు కోసం టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా విలువను నిర్ణయించండి. మేము "a" అక్షరంతో మూడవ పరామితిని సెట్ చేసాము.

f(a) ఫంక్షన్ యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయండి. దీన్ని చేయడానికి, అసలు సమీకరణంలో xకి బదులుగా aని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి. f(x) మరియు f(a) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి. అవసరమైన డేటాను సాధారణ టాంజెంట్ ఈక్వేషన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, ఇది ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటుంది: y = f(a) + f "(a)(x – a). ఫలితంగా, మూడు తెలియని పారామితులను కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పొందండి.

దానిలో x మరియు y లకు బదులుగా, టాంజెంట్ పాస్ అయ్యే ఇచ్చిన పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌లను భర్తీ చేయండి. దీని తరువాత, అన్ని a కోసం ఫలిత సమీకరణానికి పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి. ఇది చతురస్రం అయితే, టాంజెంట్ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సాకు రెండు విలువలు ఉంటాయి. ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ దగ్గర టాంజెంట్ రెండుసార్లు వెళుతుంది.

గ్రాఫ్ గీయండి ఇచ్చిన ఫంక్షన్మరియు , ఇది సమస్య యొక్క పరిస్థితుల ప్రకారం పేర్కొనబడింది. ఈ సందర్భంలో, తెలియని పరామితి aని పేర్కొనడం మరియు దానిని f (a) సమీకరణంలో భర్తీ చేయడం కూడా అవసరం. ఒక సమాంతర రేఖ యొక్క సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నానికి f(a) ఉత్పన్నాన్ని సమం చేయండి. ఇది రెండింటి యొక్క సమాంతర స్థితి నుండి వస్తుంది. ఫలిత సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనండి, ఇది టాంజెన్సీ పాయింట్ యొక్క అబ్సిస్సా అవుతుంది.

సరళ రేఖ y=f(x) కోఆర్డినేట్‌లతో (x0; f(x0)) పాయింట్ గుండా వెళితే మరియు కోణీయ గుణకం f"(x0) ఉన్నట్లయితే, పాయింట్ x0 వద్ద చిత్రంలో చూపిన గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌గా ఉంటుంది. కనుగొనండి. అటువంటి గుణకం, టాంజెంట్ యొక్క లక్షణాలను తెలుసుకోవడం కష్టం కాదు.

నీకు అవసరం అవుతుంది

• - గణిత సూచన పుస్తకం;
• - ఒక సాధారణ పెన్సిల్;
• - నోట్బుక్;
• - ప్రొట్రాక్టర్;
• - దిక్సూచి;
• - పెన్.

సూచనలు

f‘(x0) విలువ లేనట్లయితే, అప్పుడు టాంజెంట్ లేదు, లేదా అది నిలువుగా నడుస్తుంది. దీని దృష్ట్యా, పాయింట్ x0 వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క ఉనికిని పాయింట్ (x0, f(x0)) వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు నిలువుగా లేని టాంజెంట్ టాంజెంట్ ఉనికి కారణంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం f "(x0)కి సమానంగా ఉంటుంది. అందువలన, ఉత్పన్నం యొక్క రేఖాగణిత అర్థం స్పష్టమవుతుంది - టాంజెంట్ యొక్క కోణీయ గుణకం యొక్క గణన.

సాధారణమైనదాన్ని నిర్ణయించండి. జనాభా గణన డేటాను సూచించడం ద్వారా ఈ రకమైన సమాచారాన్ని పొందవచ్చు. సాధారణ సంతానోత్పత్తి, మరణాలు, వివాహం మరియు విడాకుల రేట్లను నిర్ణయించడానికి, మీరు ఉత్పత్తిని కనుగొనవలసి ఉంటుంది సామాన్య జనాభామరియు బిల్లింగ్ వ్యవధి. ఫలిత సంఖ్యను హారంలో వ్రాయండి.

కావలసిన బంధువుకు సంబంధించిన సూచికను న్యూమరేటర్‌పై ఉంచండి. ఉదాహరణకు, మీరు మొత్తం సంతానోత్పత్తి రేటును నిర్ణయించడాన్ని ఎదుర్కొంటున్నట్లయితే, న్యూమరేటర్ స్థానంలో మీకు ఆసక్తి ఉన్న కాలానికి సంబంధించిన మొత్తం జననాల సంఖ్యను ప్రతిబింబించే సంఖ్య ఉండాలి. మీ లక్ష్యం మరణాల రేటు లేదా వివాహ రేటు అయితే, న్యూమరేటర్ స్థానంలో గణన వ్యవధిలో మరణాల సంఖ్య లేదా వివాహాల సంఖ్యను వరుసగా ఉంచండి.

ఫలిత సంఖ్యను 1000తో గుణించండి. ఇది మీరు వెతుకుతున్న మొత్తం గుణకం అవుతుంది. మీరు మొత్తం వృద్ధి రేటును కనుగొనే పనిని ఎదుర్కొన్నట్లయితే, జనన రేటు నుండి మరణాల రేటును తీసివేయండి.

అంశంపై వీడియో

మూలాలు:

• సాధారణ కీలక రేట్లు

వెలికితీత సామర్థ్యం యొక్క ప్రధాన సూచిక గుణకం పంపిణీ. ఇది ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది: Co/Sw, ఇక్కడ Co అనేది సేంద్రీయ ద్రావకం (ఎక్స్‌ట్రాక్టర్)లో సంగ్రహించిన పదార్ధం యొక్క ఏకాగ్రత, మరియు St అనేది సమతౌల్యం చేరుకున్న తర్వాత నీటిలో అదే పదార్ధం యొక్క గాఢత. మీరు పంపిణీ గుణకాన్ని ప్రయోగాత్మకంగా ఎలా కనుగొనగలరు?