ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లు ఎలా మారుతాయి. ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌ల రూపాంతరం

లో ప్రాథమిక ప్రాథమిక విధులు స్వచ్ఛమైన రూపంపరివర్తన లేకుండా చాలా అరుదు, కాబట్టి చాలా తరచుగా మీరు స్థిరాంకాలు మరియు గుణకాలను జోడించడం ద్వారా ప్రధాన వాటి నుండి పొందిన ప్రాథమిక ఫంక్షన్లతో పని చేయాలి. అటువంటి గ్రాఫ్‌లు ఇవ్వబడిన రేఖాగణిత పరివర్తనలను ఉపయోగించి నిర్మించబడ్డాయి ప్రాథమిక విధులు.

y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2 రూపం యొక్క క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం, దీని గ్రాఫ్ పారాబొలా y = x 2, ఇది Oyకి సంబంధించి మూడుసార్లు కంప్రెస్ చేయబడింది మరియు సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటుంది. Oxకి, మరియు Oxతో పాటు 2 3 ద్వారా కుడివైపుకు, Oy వెంట 2 యూనిట్లు పైకి మార్చబడింది. కోఆర్డినేట్ లైన్‌లో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:

Yandex.RTB R-A-339285-1

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క రేఖాగణిత రూపాంతరాలు

అమలు చేయడం రేఖాగణిత పరివర్తనాలువెనుక ఈ షెడ్యూల్ యొక్క± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b, k 1 > 0, k 2 > 0 అనేది 0 వద్ద కుదింపు గుణకాలు అయినప్పుడు, గ్రాఫ్ ± k 1 · f (± k 2< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > 1 O y మరియు O x వెంట. k 1 మరియు k 2 గుణకాల ముందు ఉన్న గుర్తు అక్షాలకు సంబంధించి గ్రాఫ్ యొక్క సుష్ట ప్రదర్శనను సూచిస్తుంది, a మరియు b దానిని O x మరియు O y వెంట మారుస్తుంది.

నిర్వచనం 1

3 రకాలు ఉన్నాయి గ్రాఫ్ యొక్క రేఖాగణిత రూపాంతరాలు:

స్కేలింగ్ O x మరియు O y వెంట. ఇది k 1 మరియు k 2 గుణకాలచే ప్రభావితమవుతుంది, అవి 0 ఉన్నప్పుడు 1కి సమానంగా ఉండవు< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, ఆపై గ్రాఫ్ O y వెంట విస్తరించి, O x వెంట కుదించబడుతుంది.
కోఆర్డినేట్ అక్షాలకు సంబంధించి సుష్ట ప్రదర్శన. k 1 ముందు “-” గుర్తు ఉంటే, సమరూపత O xకి సాపేక్షంగా ఉంటుంది మరియు k 2 ముందు అది O yకి సంబంధించి ఉంటుంది. “-” తప్పిపోయినట్లయితే, పరిష్కరించేటప్పుడు అంశం దాటవేయబడుతుంది;
సమాంతర బదిలీ (షిఫ్ట్) O x మరియు O y వెంట. 0కి అసమానంగా a మరియు b గుణకాలు ఉంటే పరివర్తన జరుగుతుంది. a సానుకూలంగా ఉంటే, గ్రాఫ్ ఎడమవైపుకి | ద్వారా మార్చబడుతుంది ఒక | యూనిట్లు, a ప్రతికూలంగా ఉంటే, అదే దూరం వద్ద కుడివైపుకు. b విలువ O y అక్షం వెంట కదలికను నిర్ణయిస్తుంది, అంటే b సానుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, ఫంక్షన్ పైకి కదులుతుంది మరియు b ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు, అది క్రిందికి కదులుతుంది.

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి పరిష్కారాలను చూద్దాం శక్తి ఫంక్షన్.

ఉదాహరణ 1

y = x 2 3ని మార్చండి మరియు y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయండి.

పరిష్కారం

ఫంక్షన్లను ఈ విధంగా సూచిస్తాము:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

ఎక్కడ k 1 = 2, "-", a = - 1 2, b = 3 ఉనికికి శ్రద్ధ చూపడం విలువ. O y వెంట రెండుసార్లు సాగదీయడం ద్వారా రేఖాగణిత పరివర్తనలు జరుగుతాయని, O xకి సంబంధించి సుష్టంగా ప్రదర్శించబడి, కుడివైపుకి 1 2 ద్వారా మరియు పైకి 3 యూనిట్ల ద్వారా మార్చబడిందని ఇక్కడ నుండి మనం పొందుతాము.

మేము అసలు పవర్ ఫంక్షన్‌ని వర్ణిస్తే, మనకు అది వస్తుంది

Oy వెంట రెండుసార్లు సాగదీసినప్పుడు మనకు అది ఉంటుంది

మ్యాపింగ్, O xకి సంబంధించి సౌష్టవంగా, రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

మరియు 1 2 ద్వారా కుడివైపుకు తరలించండి

3 యూనిట్ల కదలిక కనిపిస్తోంది

ఉదాహరణలను ఉపయోగించి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల పరివర్తనలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 2

ఘాతాంక ఫంక్షన్ y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం.

పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాల ఆధారంగా ఫంక్షన్‌ను మారుద్దాం. అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

దీని నుండి మనం y = 1 2 x రూపాంతరాల గొలుసును పొందుతామని చూడవచ్చు:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 → 2 x = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

అసలైనది అని మేము కనుగొన్నాము ఘాతాంక విధికనిపిస్తోంది

ఓ వై పాటు రెండు సార్లు పిండడం

O x వెంట సాగదీయడం

O xకి సంబంధించి సిమెట్రిక్ మ్యాపింగ్

O yకి సంబంధించి మ్యాపింగ్ సుష్టంగా ఉంటుంది

8 యూనిట్లు పైకి తరలించండి

ఒక ఉదాహరణను ఉపయోగించి పరిష్కారాన్ని చూద్దాం లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ y = లాగ్(x) .

ఉదాహరణ 3

y = ln (x) రూపాంతరాన్ని ఉపయోగించి y = ln e 2 · - 1 2 x 3 ఫంక్షన్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం

పరిష్కరించడానికి లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించడం అవసరం, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది:

y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క రూపాంతరాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

అసలు లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్‌ని ప్లాట్ చేద్దాం

మేము O y ప్రకారం సిస్టమ్‌ను కంప్రెస్ చేస్తాము

మేము O x వెంట సాగదీస్తాము

మేము Oyకి సంబంధించి మ్యాపింగ్ చేస్తాము

మేము 2 యూనిట్ల ద్వారా మార్చాము, మేము పొందుతాము

గ్రాఫ్‌లను మార్చడానికి త్రికోణమితి ఫంక్షన్ఫారమ్ ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b యొక్క పరిష్కార పథకాన్ని అమర్చడం అవసరం. k 2 T k 2కి సమానంగా ఉండటం అవసరం. ఇక్కడ నుండి మనకు 0 వస్తుంది< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

పరివర్తనలతో సమస్యలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను చూద్దాం y = sin x.

ఉదాహరణ 4

y=sinx ఫంక్షన్ యొక్క రూపాంతరాలను ఉపయోగించి y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం

± k 1 · f ± k 2 · x + a + b రూపానికి ఫంక్షన్‌ను తగ్గించడం అవసరం. దీని కొరకు:

y = - 3 పాపం 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 పాపం 1 2 (x - 3) - 2

k 1 = 3, k 2 = 1 2, a = - 3, b = - 2 అని చూడవచ్చు. k 1 కి ముందు “-” ఉంది, కానీ k 2 కి ముందు కాదు, అప్పుడు మనకు రూపం యొక్క పరివర్తనల గొలుసు వస్తుంది:

y = పాపం (x) → y = 3 పాపం (x) → y = 3 పాపం 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

వివరణాత్మక సైన్ వేవ్ పరివర్తన. ఒరిజినల్ సైనూసోయిడ్ y = sin (x)ను ప్లాట్ చేస్తున్నప్పుడు, అతిచిన్న సానుకూల కాలం T = 2 πగా పరిగణించబడుతుందని మేము కనుగొన్నాము. పాయింట్లు π 2 + 2 π · k వద్ద గరిష్టాన్ని కనుగొనడం; 1, మరియు కనిష్ట - - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.

O y మూడు రెట్లు విస్తరించబడింది, అంటే డోలనాల వ్యాప్తిలో పెరుగుదల 3 రెట్లు పెరుగుతుంది. T = 2 π చిన్నది సానుకూల కాలం. గరిష్టం π 2 + 2 π · kకి వెళ్తుంది; 3, k ∈ Z, మినిమా - - π 2 + 2 π · k; - 3, k ∈ Z.

O xతో పాటు సగానికి సాగదీసేటప్పుడు, అతిచిన్న సానుకూల వ్యవధి 2 రెట్లు పెరుగుతుందని మరియు T = 2 π k 2 = 4 πకి సమానంగా ఉంటుందని మేము కనుగొన్నాము. గరిష్టం π + 4 π · kకి వెళ్తుంది; 3, k ∈ Z, కనిష్టాలు – లో - π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

చిత్రం O xకి సంబంధించి సుష్టంగా రూపొందించబడింది. లో అతి చిన్న సానుకూల కాలం ఈ విషయంలోమారదు మరియు T = 2 π k 2 = 4 πకి సమానం. గరిష్ట పరివర్తన ఇలా కనిపిస్తుంది - π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, మరియు కనిష్టం π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.

గ్రాఫ్ 2 యూనిట్ల ద్వారా క్రిందికి మార్చబడింది. కనీస సాధారణ వ్యవధి మారదు. పాయింట్లకు పరివర్తనతో గరిష్టాన్ని కనుగొనడం - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, కనిష్టాలు - π + 3 + 4 π · k; - 5 , k ∈ Z .

పై ఈ పరిస్తితిలోత్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ రూపాంతరం చెందినదిగా పరిగణించబడుతుంది.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం వివరణాత్మక మార్పిడివిధులు y = cos x.

ఉదాహరణ 5

y = cos x ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ పరివర్తనను ఉపయోగించి y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం

అల్గోరిథం ప్రకారం ఇది అవసరం ఇచ్చిన ఫంక్షన్± k 1 · f ± k 2 · x + a + b రూపానికి తగ్గించండి. అప్పుడు మనకు అది వస్తుంది

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

పరిస్థితి నుండి k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1, ఇక్కడ k 2 లో “-” ఉంటుంది, కానీ k 1 కి ముందు అది లేదు.

దీని నుండి మనం రూపం యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను పొందుతాము:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1 )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

గ్రాఫికల్ ఇలస్ట్రేషన్‌తో దశల వారీ కొసైన్ రూపాంతరం.

గ్రాఫ్ y = cos (x) ఇచ్చినట్లయితే, అది చిన్నది అని స్పష్టమవుతుంది సాధారణ కాలం T = 2 πకి సమానం. 2 π · k లో గరిష్టాన్ని కనుగొనడం; 1, k ∈ Z, మరియు π + 2 π · k మినిమా ఉన్నాయి; - 1, k ∈ Z.

Oy వెంట 3 2 సార్లు విస్తరించినప్పుడు, డోలనాల వ్యాప్తి 3 2 రెట్లు పెరుగుతుంది. T = 2 π అనేది అతి చిన్న సానుకూల కాలం. 2 π · k లో గరిష్టాన్ని కనుగొనడం; 3 2, k ∈ Z, π + 2 π · k లో మినిమా; - 3 2 , k ∈ Z .

O xతో పాటు సగానికి కుదించబడినప్పుడు, అతిచిన్న సానుకూల కాలం T = 2 π k 2 = π సంఖ్య అని మేము కనుగొంటాము. గరిష్టంగా π · kకి మారడం జరుగుతుంది; 3 2 , k ∈ Z , కనిష్టాలు - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

ఓయ్‌కి సంబంధించి సిమెట్రిక్ మ్యాపింగ్. గ్రాఫ్ బేసిగా ఉన్నందున, అది మారదు.

గ్రాఫ్ 1 ద్వారా మార్చబడినప్పుడు. చిన్న సానుకూల కాలం T = π లో ఎటువంటి మార్పులు లేవు. π · k + 1లో గరిష్టాన్ని కనుగొనడం; 3 2, k ∈ Z, కనిష్టాలు - π 2 + 1 + π · k; - 3 2 , k ∈ Z .

1 ద్వారా మార్చబడినప్పుడు, చిన్న సానుకూల కాలం T = πకి సమానం మరియు మార్చబడదు. π · k + 1లో గరిష్టాన్ని కనుగొనడం; 5 2, k ∈ Z, π 2 + 1 + π · k లో మినిమా; - 1 2 , k ∈ Z .

కొసైన్ ఫంక్షన్ పరివర్తన పూర్తయింది.

y = t g x ఉదాహరణను ఉపయోగించి పరివర్తనలను పరిశీలిద్దాం.

ఉదాహరణ 6

y = t g (x) ఫంక్షన్ యొక్క రూపాంతరాలను ఉపయోగించి y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

పరిష్కారం

ప్రారంభించడానికి, ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌ను ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b ఫారమ్‌కి తగ్గించడం అవసరం, ఆ తర్వాత మేము దానిని పొందుతాము

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

k 1 = 1 2, k 2 = 2 3, a = - π 2, b = π 3, మరియు k 1 మరియు k 2 గుణకాల ముందు “-” ఉన్నట్లు స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. దీని అర్థం టాంజెంట్‌సోయిడ్‌లను మార్చిన తర్వాత మనకు లభిస్తుంది

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x = → 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యంతో టాంజెంట్‌ల దశల వారీ రూపాంతరం.

అసలు గ్రాఫ్ y = t g (x) అని మేము కలిగి ఉన్నాము. సానుకూల వ్యవధిలో మార్పు T = πకి సమానం. నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ పరిగణించబడుతుంది - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z.

మేము ఓయ్ వెంట 2 సార్లు కుదించుము. T = π అనేది అతిచిన్న సానుకూల కాలంగా పరిగణించబడుతుంది, ఇక్కడ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.

O x 3తో పాటు 2 సార్లు సాగదీయండి. చిన్న సానుకూల కాలాన్ని గణిద్దాం, మరియు అది T = π k 2 = 3 2 πకి సమానం. మరియు కోఆర్డినేట్‌లతో ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ 3 π 4 + 3 2 π · k; 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మాత్రమే మారుతుంది.

సమరూపత O x వైపు వెళుతుంది. ఈ సమయంలో కాలం మారదు.

కోఆర్డినేట్ అక్షాలను సమరూపంగా ప్రదర్శించడం అవసరం. ఈ సందర్భంలో నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మారదు. షెడ్యూల్ మునుపటితో సమానంగా ఉంటుంది. ఇది టాంజెంట్ ఫంక్షన్ బేసి అని సూచిస్తుంది. ఉంటే బేసి ఫంక్షన్ O x మరియు O y యొక్క సిమెట్రిక్ మ్యాపింగ్‌ను సెట్ చేసి, ఆపై అసలు ఫంక్షన్‌కి మార్చండి.

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లను మార్చడం

ఈ ఆర్టికల్‌లో నేను ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ల యొక్క లీనియర్ ట్రాన్స్‌ఫార్మేషన్‌లను మీకు పరిచయం చేస్తాను మరియు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ నుండి ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ను పొందేందుకు ఈ రూపాంతరాలను ఎలా ఉపయోగించాలో మీకు చూపుతాను.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క లీనియర్ ట్రాన్స్ఫర్మేషన్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క రూపాంతరం మరియు/లేదా దాని ఆర్గ్యుమెంట్ , అలాగే ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు/లేదా ఫంక్షన్ మాడ్యూల్‌ని కలిగి ఉన్న పరివర్తన.

సరళ పరివర్తనలను ఉపయోగించి గ్రాఫ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు గొప్ప ఇబ్బందులు క్రింది చర్యల వల్ల కలుగుతాయి:

విడిగా ఉంచడం ప్రాథమిక విధి, నిజానికి, మనం రూపాంతరం చెందుతున్న గ్రాఫ్.
పరివర్తన క్రమం యొక్క నిర్వచనాలు.

మరియుఈ అంశాలపైనే మనం మరింత వివరంగా నివసిస్తాము.

ఫంక్షన్‌ని నిశితంగా పరిశీలిద్దాం

ఇది ఫంక్షన్ ఆధారంగా ఉంటుంది. ఆమెను పిలుద్దాం ప్రాథమిక విధి.

ఒక ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేస్తున్నప్పుడు మేము బేస్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌పై పరివర్తనలను చేస్తాము.

మేము ఫంక్షన్ పరివర్తనలను నిర్వహిస్తే దాని విలువ ఎప్పుడు కనుగొనబడిందో అదే క్రమంలో ఒక నిర్దిష్ట విలువవాదన, అప్పుడు

ఆర్గ్యుమెంట్ మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ఏ రకమైన సరళ పరివర్తనలు ఉన్నాయి మరియు వాటిని ఎలా నిర్వహించాలో పరిశీలిద్దాం.

వాదన రూపాంతరాలు.

1. f(x) f(x+b)

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ని OX అక్షం వెంట |b| ద్వారా మార్చండి యూనిట్లు

b>0 అయితే మిగిలి ఉంది
కుడి అయితే b<0

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. దానిని 2 యూనిట్లను కుడివైపుకి మార్చండి:

2. f(x) f(kx)

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. గ్రాఫ్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్‌ను kతో భాగించండి, పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌లను మార్చకుండా వదిలివేయండి.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. గ్రాఫ్ పాయింట్ల యొక్క అన్ని అబ్సిస్సాస్‌లను 2 ద్వారా భాగించండి, ఆర్డినేట్‌లను మార్చకుండా వదిలివేయండి:

3. f(x) f(-x)

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. OY అక్షానికి సంబంధించి దాన్ని సుష్టంగా ప్రదర్శించండి.

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. OY అక్షానికి సంబంధించి దాన్ని సుష్టంగా ప్రదర్శించండి:

4. f(x) f(|x|)

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. OY అక్షం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగం తొలగించబడుతుంది, OY అక్షం యొక్క కుడి వైపున ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగం OY అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా పూర్తి చేయబడుతుంది:

ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

1. మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము (ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, OX అక్షం వెంట 2 యూనిట్ల ఎడమ వైపుకు మార్చబడింది):

2. OY (x) అక్షం యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగం<0) стираем:

3. మేము OY అక్షానికి (x>0) కుడివైపున ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగాన్ని OY అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా పూర్తి చేస్తాము:

ముఖ్యమైనది! వాదనను మార్చడానికి రెండు ప్రధాన నియమాలు.

1. అన్ని వాదన పరివర్తనలు OX అక్షం వెంట నిర్వహించబడతాయి

2. వాదన యొక్క అన్ని రూపాంతరాలు "వైస్ వెర్సా" మరియు "రివర్స్ ఆర్డర్లో" నిర్వహించబడతాయి.

ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్‌లో ఆర్గ్యుమెంట్ పరివర్తనల క్రమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:

1. x యొక్క మాడ్యులస్ తీసుకోండి.

2. మాడ్యులో xకి 2 సంఖ్యను జోడించండి.

కానీ మేము గ్రాఫ్‌ను రివర్స్ ఆర్డర్‌లో నిర్మించాము:

మొదట, పరివర్తన 2 నిర్వహించబడింది - గ్రాఫ్ 2 యూనిట్ల ద్వారా ఎడమ వైపుకు మార్చబడింది (అనగా, పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్ 2 ద్వారా తగ్గించబడింది, “రివర్స్‌లో”)

అప్పుడు మేము f(x) f(|x|) పరివర్తనను ప్రదర్శించాము.

క్లుప్తంగా, పరివర్తనల క్రమం క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది:

ఇప్పుడు గురించి మాట్లాడుకుందాం ఫంక్షన్ పరివర్తన . పరివర్తనలు జరుగుతున్నాయి

1. OY అక్షం వెంట.

2. చర్యలు నిర్వహించబడే అదే క్రమంలో.

ఇవి పరివర్తనలు:

1. f(x)f(x)+D

2. దీన్ని OY అక్షం వెంట |D| ద్వారా మార్చండి యూనిట్లు

D>0 అయితే పైకి
D అయితే డౌన్<0

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. OY అక్షం వెంట 2 యూనిట్లు పైకి మార్చండి:

2. f(x)Af(x)

1. ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. మేము గ్రాఫ్ యొక్క అన్ని పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌లను A ద్వారా గుణిస్తాము, అబ్సిస్సాస్‌ను మార్చకుండా వదిలివేస్తాము.

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం

2. గ్రాఫ్‌లోని అన్ని పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌లను 2తో గుణించండి:

3.f(x)-f(x)

1. ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

2. మేము దానిని OX అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా ప్రదర్శిస్తాము.

4. f(x)|f(x)|

1. ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. OX అక్షం పైన ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగం మారదు, OX అక్షం క్రింద ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగం ఈ అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా ప్రదర్శించబడుతుంది.

ఫంక్షన్ ప్లాట్ చేద్దాం

1. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి. OY అక్షం వెంట ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌ను 2 యూనిట్లు క్రిందికి మార్చడం ద్వారా ఇది పొందబడుతుంది:

2. ఇప్పుడు మేము ఈ అక్షానికి సంబంధించి OX అక్షం క్రింద ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగాన్ని సుష్టంగా ప్రదర్శిస్తాము:

మరియు చివరి పరివర్తన, ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, ఫంక్షన్ పరివర్తన అని పిలవబడదు, ఎందుకంటే ఈ పరివర్తన ఫలితం ఇకపై ఫంక్షన్ కాదు:

|y|=f(x)

1. ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

2. మేము OX అక్షం క్రింద ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగాన్ని చెరిపివేస్తాము, ఆపై OX అక్షం పైన ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగాన్ని ఈ అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా పూర్తి చేస్తాము.

సమీకరణాన్ని ప్లాట్ చేద్దాం

1. మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము:

2. మేము OX అక్షం క్రింద ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగాన్ని చెరిపివేస్తాము:

3. మేము OX అక్షం పైన ఉన్న గ్రాఫ్ యొక్క భాగాన్ని ఈ అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా పూర్తి చేస్తాము.

చివరగా, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి నేను దశల వారీ అల్గారిథమ్‌ను చూపించే వీడియో ట్యుటోరియల్‌ని చూడమని నేను మీకు సూచిస్తున్నాను.

ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

సమాంతర బదిలీ.

Y-యాక్సిస్‌తో పాటు అనువాదం

f(x) => f(x) - బి
మీరు ఫంక్షన్ y = f(x) - b యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. x on |b| యొక్క అన్ని విలువలకు ఈ గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌లను చూడటం సులభం b>0 మరియు |b| కోసం y = f(x) ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క సంబంధిత ఆర్డినేట్‌ల కంటే తక్కువ యూనిట్లు యూనిట్లు ఎక్కువ - b 0 వద్ద లేదా b వద్ద ఎక్కువ వద్ద y + b = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మీరు ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాలి మరియు x-యాక్సిస్‌ను |b|కి తరలించాలి. యూనిట్లు b>0 వద్ద లేదా |b| ద్వారా బి వద్ద యూనిట్లు తగ్గాయి

ABSCISS యాక్సిస్‌తో బదిలీ చేయండి

f(x) => f(x + a)
మీరు y = f(x + a) ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. y = f(x) ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి, ఇది ఏదో ఒక సమయంలో x = x1 y1 = f(x1) విలువను తీసుకుంటుంది. సహజంగానే, ఫంక్షన్ y = f(x + a) పాయింట్ x2 వద్ద అదే విలువను తీసుకుంటుంది, దీని కోఆర్డినేట్ సమానత్వం x2 + a = x1 నుండి నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా. x2 = x1 - a, మరియు పరిశీలనలో ఉన్న సమానత్వం ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి అన్ని విలువల మొత్తానికి చెల్లుబాటు అవుతుంది. కాబట్టి, y = f(x + a) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను x-అక్షం వెంట ఎడమవైపు |a| ద్వారా సమాంతరంగా తరలించడం ద్వారా పొందవచ్చు. ఒక > 0 కోసం యూనిట్లు లేదా కుడివైపు |a| a కోసం యూనిట్లు y = f(x + a) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి, మీరు ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాలి మరియు ఆర్డినేట్ అక్షాన్ని |a|కి తరలించాలి. a>0 లేదా |a| ద్వారా కుడి వైపున ఉన్న యూనిట్లు ఒక వద్ద ఎడమవైపు యూనిట్లు

ఉదాహరణలు:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

ప్రతిబింబం.

Y = F(-X) ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క నిర్మాణం

f(x) => f(-x)
y = f(-x) మరియు y = f(x) ఫంక్షన్‌లు అబ్సిసాస్ సమానంగా ఉండే పాయింట్ల వద్ద సమాన విలువలను తీసుకుంటాయని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. సంపూర్ణ విలువ, కానీ సంకేతంలో వ్యతిరేకం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, x యొక్క సానుకూల (ప్రతికూల) విలువల ప్రాంతంలో y = f(-x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌లు y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌లకు సమానంగా ఉంటాయి. సంపూర్ణ విలువలో x యొక్క సంబంధిత ప్రతికూల (పాజిటివ్) విలువల కోసం. అందువలన, మేము ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందుతాము.
y = f(-x) ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మీరు y = f(x) ఫంక్షన్‌ను ప్లాట్ చేయాలి మరియు ఆర్డినేట్‌కు సంబంధించి దానిని ప్రతిబింబించాలి. ఫలిత గ్రాఫ్ y = f(-x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్.

Y ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నిర్మాణం = - F(X)

f(x) => - f(x)
ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క అన్ని విలువల కోసం y = - f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌లు సంపూర్ణ విలువలో సమానంగా ఉంటాయి, అయితే y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌లకు సంకేతంగా వ్యతిరేకం వాదన యొక్క అదే విలువలు. అందువలన, మేము ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందుతాము.
ఫంక్షన్ y = - f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మీరు ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయాలి మరియు దానిని x-యాక్సిస్‌కు సంబంధించి ప్రతిబింబించాలి.

ఉదాహరణలు:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

వికృతీకరణ.

Y-యాక్సిస్‌తో పాటు గ్రాఫ్ డిఫార్మేషన్

f(x) => k f(x)
y = k f(x) ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి, ఇక్కడ k > 0. ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క సమాన విలువలతో, ఈ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌లు ఆర్డినేట్‌ల కంటే k రెట్లు ఎక్కువ అని చూడటం సులభం y = k f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి k కోసం y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ k > 1 లేదా 1/k ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఆర్డినేట్‌ల కంటే y = f(x) రెట్లు తక్కువ ), మీరు ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాలి మరియు k > 1 కోసం దాని ఆర్డినేట్‌లను k రెట్లు పెంచాలి (గ్రాఫ్‌ను ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట విస్తరించండి) లేదా దాని ఆర్డినేట్‌లను k వద్ద 1/k సార్లు తగ్గించాలి
k > 1- ఆక్స్ అక్షం నుండి సాగుతుంది
0 - OX అక్షానికి కుదింపు

ABSCISS యాక్సిస్‌తో పాటు గ్రాఫ్ డిఫార్మేషన్

f(x) => f(k x)
y = f(kx) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం అవసరం, ఇక్కడ k>0. y = f(x) ఫంక్షన్‌ను పరిగణించండి ఏకపక్ష పాయింట్ x = x1 y1 = f(x1) విలువను తీసుకుంటుంది. y = f(kx) ఫంక్షన్ x = x2 పాయింట్ వద్ద అదే విలువను తీసుకుంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది, దీని కోఆర్డినేట్ సమానత్వం x1 = kx2 ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది మరియు ఈ సమానత్వం యొక్క మొత్తం విలువలకు చెల్లుబాటు అవుతుంది x ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం డొమైన్ నుండి. పర్యవసానంగా, ఫంక్షన్ y = f(kx) యొక్క గ్రాఫ్ y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు సంబంధించి అబ్సిస్సా అక్షం వెంట కంప్రెస్ చేయబడింది (k 1 కోసం). అందువలన, మేము నియమాన్ని పొందుతాము.
ఫంక్షన్ y = f(kx) యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి, మీరు ఫంక్షన్ y = f(x) యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించాలి మరియు k>1 కోసం దాని అబ్సిసాస్‌లను k రెట్లు తగ్గించాలి (అబ్సిస్సా అక్షం వెంట గ్రాఫ్‌ను కుదించండి) లేదా పెంచండి k కోసం 1/k సార్లు దాని అబ్సిస్సాస్
k > 1- Oy అక్షానికి కుదింపు
0 - OY అక్షం నుండి సాగదీయడం

పని యొక్క వచనం చిత్రాలు మరియు సూత్రాలు లేకుండా పోస్ట్ చేయబడింది.
పూర్తి వెర్షన్పని PDF ఆకృతిలో "వర్క్ ఫైల్స్" ట్యాబ్‌లో అందుబాటులో ఉంది

పరిచయం

ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను మార్చడం అనేది నేరుగా సంబంధించిన ప్రాథమిక గణిత భావనలలో ఒకటి ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాలు. "" అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌ల రూపాంతరం మొదట 9వ తరగతి బీజగణితంలో కనుగొనబడింది. క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్" క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ పరిచయం చేయబడింది మరియు దగ్గరి సంబంధంలో అధ్యయనం చేయబడింది వర్గ సమీకరణాలుమరియు అసమానతలు. ఇంకా చాలా గణిత భావనలుపరిశీలిస్తున్నారు గ్రాఫిక్ పద్ధతులు, ఉదాహరణకు, గ్రేడ్‌లు 10-11లో, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం నిర్వచన డొమైన్ మరియు ఫంక్షన్ యొక్క విలువ యొక్క డొమైన్, తగ్గుతున్న లేదా పెరుగుతున్న డొమైన్‌లు, లక్షణాలు, స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు మొదలైన వాటిని కనుగొనడం సాధ్యం చేస్తుంది. ఇది ముఖ్యమైనది. సమస్య GIA వద్ద కూడా ప్రస్తావించబడింది. ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడం మరియు మార్చడం అనేది పాఠశాలలో గణితాన్ని బోధించే ప్రధాన పనులలో ఒకటి అని ఇది అనుసరిస్తుంది.

అయినప్పటికీ, అనేక ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను ప్లాట్ చేయడానికి, మీరు ప్లాట్ చేయడం సులభతరం చేసే అనేక పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు. పైన పేర్కొన్నది నిర్ణయిస్తుంది ఔచిత్యంపరిశోధన విషయాలు.

అధ్యయనం యొక్క వస్తువుపాఠశాల గణితంలో గ్రాఫ్‌ల పరివర్తనను అధ్యయనం చేయడం.

అధ్యయనం విషయం -మాధ్యమిక పాఠశాలలో ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడం మరియు మార్చడం.

సమస్యాత్మక ప్రశ్న: ప్రాథమిక ఫంక్షన్‌ల గ్రాఫ్‌లను మార్చే నైపుణ్యం మీకు ఉంటే, తెలియని ఫంక్షన్‌కి సంబంధించిన గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమేనా?

లక్ష్యం:తెలియని పరిస్థితిలో పనులను ప్లాట్ చేయడం.

పనులు:

1. విశ్లేషించండి విద్యా సామగ్రిఅధ్యయనంలో ఉన్న సమస్యపై. 2. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లను మార్చడానికి పథకాలను గుర్తించండి పాఠశాల కోర్సుగణితం. 3. అత్యంత ఎంచుకోండి సమర్థవంతమైన పద్ధతులుమరియు ఫంక్షన్ గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడానికి మరియు మార్చడానికి సాధనాలు. 4.దరఖాస్తు చేసుకోగలరు ఈ సిద్ధాంతంసమస్యలను పరిష్కరించడంలో.

అవసరం కనీస జ్ఞానము, సామర్థ్యాలు, నైపుణ్యాలు:

ఫంక్షన్ విలువను దాని ఆర్గ్యుమెంట్ విలువ ద్వారా నిర్ణయించండి వివిధ మార్గాల్లోఫంక్షన్ కేటాయింపులు;

అధ్యయనం చేసిన ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను రూపొందించండి;

ఒక గ్రాఫ్ ఉపయోగించి ఫంక్షన్ల యొక్క ప్రవర్తన మరియు లక్షణాలను వివరించండి మరియు సరళమైన సందర్భాల్లో, ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి అతిపెద్ద మరియు చిన్న విలువలను కనుగొనండి;

ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి వివరణలు వివిధ డిపెండెన్సీలు, వాటిని గ్రాఫికల్‌గా సూచించడం, గ్రాఫ్‌లను వివరించడం.

ముఖ్య భాగం

సైద్ధాంతిక భాగం

y = f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ప్రారంభ గ్రాఫ్‌గా, నేను క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌ని ఎంచుకుంటాను y = x 2 . ఈ ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించే ఫార్ములాలో మార్పులతో అనుబంధించబడిన ఈ గ్రాఫ్ యొక్క పరివర్తన కేసులను నేను పరిశీలిస్తాను మరియు ఏదైనా ఫంక్షన్ కోసం ముగింపులను తీసుకుంటాను.

1. ఫంక్షన్ y = f(x) + a

IN కొత్త ఫార్ములా"పాత" ఫంక్షన్ విలువతో పోలిస్తే, ఫంక్షన్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌లు) సంఖ్య a ద్వారా మారుతాయి. ఇది OY అక్షం వెంట ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క సమాంతర బదిలీకి దారి తీస్తుంది:

ఒక > 0 ఉంటే పైకి; డౌన్ అయితే a< 0.

ముగింపు

ఈ విధంగా, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=f(x)+a ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క గ్రాఫ్ నుండి ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట సమాంతర అనువాదాన్ని ఉపయోగించి ఒక > 0 ఉంటే యూనిట్లు పైకి మరియు యూనిట్లు డౌన్ ద్వారా పొందబడుతుంది. ఒక ఉంటే< 0.

2. ఫంక్షన్ y = f(x-a),

కొత్త ఫార్ములాలో, ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్) "పాత" ఆర్గ్యుమెంట్ విలువతో పోలిస్తే, సంఖ్య a ద్వారా మారుతాయి. ఇది OX అక్షం వెంట ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క సమాంతర బదిలీకి దారి తీస్తుంది: కుడి వైపున, అయితే a< 0, влево, если a >0.

ముగింపు

దీనర్థం y= f(x - a) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ నుండి a > 0 అయితే ఎడమవైపు యూనిట్ల ద్వారా abscissa అక్షం వెంట సమాంతర అనువాదం ద్వారా పొందబడుతుంది మరియు ఒక యూనిట్లు కుడి వైపున ఉంటే a< 0.

3. ఫంక్షన్ y = k f(x), ఇక్కడ k > 0 మరియు k ≠ 1

కొత్త ఫార్ములాలో, ఫంక్షన్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల ఆర్డినేట్లు) "పాత" ఫంక్షన్ విలువతో పోలిస్తే k సమయాలను మారుస్తాయి. ఇది దారి తీస్తుంది: 1) పాయింట్ (0; 0) నుండి OY అక్షం వెంబడి k కారకం ద్వారా "సాగదీయడం", k > 1, 2) అయితే OY అక్షం వెంబడి బిందువుకు (0; 0) "కంప్రెషన్" ఒక కారకం, 0 అయితే< k < 1.

ముగింపు

పర్యవసానంగా: y = kf(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, ఇక్కడ k > 0 మరియు k ≠ 1, మీకు పాయింట్ల ఆర్డినేట్‌లు అవసరం ఇచ్చిన షెడ్యూల్ఫంక్షన్ y = f(x) kతో గుణించబడుతుంది. అటువంటి పరివర్తనను పాయింట్ (0; 0) నుండి OY అక్షం k సార్లు k > 1 అయితే స్ట్రెచింగ్ అంటారు; 0 అయితే OY అక్షం సమయాలతో పాటు పాయింట్ (0; 0) కు కుదింపు< k < 1.

4. ఫంక్షన్ y = f(kx), ఇక్కడ k > 0 మరియు k ≠ 1

కొత్త ఫార్ములాలో, ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల అబ్సిసాస్) "పాత" ఆర్గ్యుమెంట్ విలువతో పోలిస్తే k సమయాలను మారుస్తాయి. ఇది దారి తీస్తుంది: 1) పాయింట్ (0; 0) నుండి OX అక్షం వెంట 1/k రెట్లు, 0 అయితే "సాగదీయడం"< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ముగింపు

కాబట్టి: y = f(kx) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించడానికి, ఇక్కడ k > 0 మరియు k ≠ 1, మీరు y=f(x) ఫంక్షన్ యొక్క ఇచ్చిన గ్రాఫ్ యొక్క పాయింట్ల యొక్క అబ్సిస్సాను k ద్వారా గుణించాలి . అటువంటి పరివర్తనను పాయింట్ (0; 0) నుండి OX అక్షం వెంట 0 అయితే 1/k సార్లు సాగదీయడం అంటారు.< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. ఫంక్షన్ y = - f (x).

ఈ ఫార్ములాలో, ఫంక్షన్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల ఆర్డినేట్లు) రివర్స్ చేయబడతాయి. ఈ మార్పు ఆక్స్ అక్షానికి సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క అసలు గ్రాఫ్ యొక్క సుష్ట ప్రదర్శనకు దారి తీస్తుంది.

ముగింపు

y = - f (x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయడానికి, మీకు y= f(x) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అవసరం

OX అక్షం గురించి సుష్టంగా ప్రతిబింబిస్తుంది. ఈ పరివర్తనను OX అక్షం గురించి సమరూప పరివర్తన అంటారు.

6. ఫంక్షన్ y = f (-x).

ఈ ఫార్ములాలో, ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల అబ్సిస్సా) రివర్స్ చేయబడతాయి. ఈ మార్పు OY అక్షానికి సంబంధించి ఫంక్షన్ యొక్క అసలు గ్రాఫ్ యొక్క సుష్ట ప్రదర్శనకు దారి తీస్తుంది.

y = - x² ఫంక్షన్‌కు ఉదాహరణ ఈ రూపాంతరం గుర్తించదగినది కాదు, ఎందుకంటే ఈ ఫంక్షన్కూడా మరియు గ్రాఫ్ రూపాంతరం తర్వాత మారదు. ఫంక్షన్ బేసిగా ఉన్నప్పుడు మరియు సరి లేదా బేసిగా లేనప్పుడు ఈ పరివర్తన కనిపిస్తుంది.

7. ఫంక్షన్ y = |f(x)|.

కొత్త ఫార్ములాలో, ఫంక్షన్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల ఆర్డినేట్లు) మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద ఉంటాయి. ఇది ప్రతికూల ఆర్డినేట్‌లతో అసలైన ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లోని భాగాలు అదృశ్యం కావడానికి దారి తీస్తుంది (అనగా, ఆక్స్ అక్షానికి సంబంధించి దిగువ సగం-విమానంలో ఉన్నవి) మరియు ఆక్స్ అక్షానికి సంబంధించి ఈ భాగాల సౌష్టవ ప్రదర్శన.

8. ఫంక్షన్ y= f (|x|).

కొత్త ఫార్ములాలో, ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలు (గ్రాఫ్ పాయింట్ల అబ్సిస్సాస్) మాడ్యులస్ గుర్తు క్రింద ఉన్నాయి. ఇది ఒరిజినల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క భాగాలను ప్రతికూల అబ్సిసాస్‌తో (అనగా, OY అక్షానికి సంబంధించి ఎడమ అర్ధ-విమానంలో ఉంది) అదృశ్యం కావడానికి దారితీస్తుంది మరియు వాటిని OY అక్షానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉండే అసలు గ్రాఫ్‌లోని భాగాలతో భర్తీ చేస్తుంది. .

ఆచరణాత్మక భాగం

పై సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్ యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 1.

పరిష్కారం.రూపాంతరం చెందుదాం ఈ ఫార్ములా:

1) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం

ఉదాహరణ 2.

ఫార్ములా ఇచ్చిన ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి

పరిష్కారం. ఇందులో హైలైట్ చేయడం ద్వారా ఈ ఫార్ములాను రూపాంతరం చేద్దాం చతుర్భుజ త్రికోణముద్విపద వర్గము:

1) ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం

2) చేద్దాం సమాంతర బదిలీవెక్టర్‌పై గ్రాఫిక్స్ నిర్మించారు

ఉదాహరణ 3.

యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్ నుండి టాస్క్ పీస్‌వైస్ ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫింగ్ చేయడం

ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y=|2(x-3)2-2|; 1