B11. సమయానికి శరీరాల కోఆర్డినేట్‌ల ఆధారపడటం యొక్క గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి (Fig. 1), ప్రతి శరీరానికి నిర్ణయించండి:

ఎ) ప్రారంభ కోఆర్డినేట్;

బి) 4 సెకన్ల తర్వాత సమన్వయం చేయండి;

సి) వేగం ప్రొజెక్షన్;

d) అక్షాంశాల సమీకరణం (చలనం యొక్క సమీకరణం);

ఇ) కోఆర్డినేట్ ఎప్పుడు 20 మీకి సమానంగా ఉంటుంది?

పరిష్కారం

ఎ) ప్రతి శరీరానికి ప్రారంభ కోఆర్డినేట్‌ను నిర్ణయించండి.

గ్రాఫిక్ పద్ధతి. గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి, అక్షంతో గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్ విలువలను మేము కనుగొంటాము 0x(Fig. 2aలో ఈ పాయింట్లు హైలైట్ చేయబడ్డాయి):

x 01 = 30 మీ; x 02 = 10 మీ; x 03 = –10 మీ.

బి) 4 సెకన్ల తర్వాత ప్రతి శరీరానికి కోఆర్డినేట్‌ను నిర్ణయించండి.

గ్రాఫిక్ పద్ధతి. గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి, అక్షానికి గీసిన లంబంగా గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువుల కోఆర్డినేట్ విలువలను మేము కనుగొంటాము 0 టిపాయింట్ t = 4 s వద్ద (Fig. 2 bలో ఈ పాయింట్లు హైలైట్ చేయబడ్డాయి): x 1 (4 సె) = 0; x 2 (4 సె) = 10 మీ; x 3 (4 సె) ≈ 20 మీ.

విశ్లేషణ పద్ధతి. చలన సమీకరణాన్ని సృష్టించండి మరియు కోఆర్డినేట్ విలువను నిర్ణయించడానికి దాన్ని ఉపయోగించండి t= 4 సె (పాయింట్ d చూడండి).

సి) ప్రతి శరీరానికి వేగం ప్రొజెక్షన్‌ను నిర్ణయించండి.

గ్రాఫిక్ పద్ధతి. వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_2 - x_1)(t_2-t_1)\) , ఇక్కడ α అనేది వంపు కోణం అక్షానికి గ్రాఫ్ 0 టి; Δ t = t 2 – t 1 - సమయం యొక్క ఏకపక్ష కాలం; Δ υ = υ 2 – υ 1 - సమయ విరామానికి అనుగుణంగా వేగ విరామం Δ t = t 2 – t 1 .

గ్రాఫ్ 1 కోసం: వీలు t 2 = 4 సె, t 1 = 0 అప్పుడు x 2 = 0, x 1 = 30 మీ మరియు υ 1x= (0 - 30 m)/(4 s - 0) = –7.5 m/s (Fig. 3 a).

గ్రాఫ్ 2 కోసం: వీలు t 2 = 6 సె, t 1 = 0 అప్పుడు x 2 = 10 మీ, x 1 = 10 మీ మరియు υ 2x= (10 మీ - 10 మీ)/(6 సె - 0) = 0 (Fig. 3 బి).

గ్రాఫ్ 3 కోసం: వీలు t 2 = 5 సె, t 1 = 0 అప్పుడు x 2 = 30 మీ, x 1 = –10 మీ మరియు υ 3x= (30 - (-10 m))/(5 s - 0) = 8 m/s (Fig. 3 c).

విశ్లేషణ పద్ధతి. సాధారణ రూపంలో ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ కోసం కోఆర్డినేట్ సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం x = x 0 + υ x · t. ప్రారంభ కోఆర్డినేట్ (పాయింట్ a చూడండి) మరియు t = 4 s వద్ద కోఆర్డినేట్‌ల విలువలను ఉపయోగించి (పాయింట్ b చూడండి), మేము వేగం ప్రొజెక్షన్ విలువను కనుగొంటాము\[~\upsilon_x = \frac(x - x_0)( t)\] .

d) ప్రతి శరీరానికి కోఆర్డినేట్ సమీకరణాన్ని నిర్ణయించండి.

సాధారణ రూపంలో "x"లో ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ కోసం కోఆర్డినేట్ సమీకరణం = x 0 + υ x · t .

షెడ్యూల్ 1 కోసం: ఎందుకంటే x 01 = 30 మీ, υ 1x= –7.5 m/s, అప్పుడు x 1 = 30 – 7,5t. తనిఖీ పాయింట్ b: x 1 (4 సె) = 30 - 7.5 4 = 0, ఇది సమాధానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

షెడ్యూల్ 2 కోసం: ఎందుకంటే x 02 = 10 మీ, υ 2x= 0, అప్పుడు x 2 = 10. చెక్ పాయింట్ b: x 2 (4 సె) = 10 (మీ), ఇది సమాధానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

షెడ్యూల్ 3 కోసం: ఎందుకంటే x 03 = –10 మీ, υ 3x= 8 మీ/సె, అప్పుడు x 3 = –10 + 8t. తనిఖీ పాయింట్ b: x 3 (4 సె) = –10 + 8 4 = 22 (మీ), ఇది సుమారుగా సమాధానానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

ఇ) శరీరం యొక్క కోఆర్డినేట్ 20 మీటర్లు ఎప్పుడు ఉంటుందో నిర్ణయించండి?

గ్రాఫిక్ పద్ధతి. గ్రాఫ్‌ను ఉపయోగించి, అక్షానికి గీసిన లంబంగా గ్రాఫ్‌ల ఖండన బిందువుల సమయ విలువలను మేము కనుగొంటాము 0xపాయింట్ వద్ద x= 20 మీ (Fig. 4లో ఈ పాయింట్లు హైలైట్ చేయబడ్డాయి): t 1 (20 మీ) ≈ 1.5 సె; t 3 (20 మీ) ≈ 3.5 సె.

గ్రాఫ్ 2 లంబంగా సమాంతరంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, శరీరం 2 యొక్క కోఆర్డినేట్ ఎప్పటికీ 20 మీటర్లకు సమానంగా ఉండదు.

విశ్లేషణ పద్ధతి. ప్రతి శరీరానికి కోఆర్డినేట్ సమీకరణాన్ని వ్రాసి, సమయం t యొక్క విలువను కనుగొనండి, కోఆర్డినేట్ 20 మీకి సమానం అవుతుంది.

« ఫిజిక్స్ - 10వ తరగతి"

ఏకరీతి కదలిక ఏకరీతి వేగవంతమైన కదలిక నుండి ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది?
ఏకరీతిగా వేగవంతమైన చలనం కోసం పాత్ గ్రాఫ్ మరియు ఏకరీతి చలనం కోసం పాత్ గ్రాఫ్ ఎలా భిన్నంగా ఉంటుంది?
ఏదైనా అక్షంపై వెక్టార్ యొక్క ప్రొజెక్షన్ ఏమిటి?

ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ విషయంలో, మీరు అక్షాంశాల గ్రాఫ్ నుండి సమయం మరియు వేగాన్ని నిర్ణయించవచ్చు.

వేగం ప్రొజెక్షన్ సంఖ్యాపరంగా అబ్సిస్సా అక్షానికి సరళ రేఖ x(t) వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్‌కు సమానంగా ఉంటుంది. అంతేకాదు, ఎక్కువ వేగం, వంపు కోణం ఎక్కువ.

రెక్టిలినియర్ ఏకరీతి వేగవంతమైన కదలిక.

మూర్తి 1.33 ఒక బిందువు యొక్క రెక్టిలినియర్ ఏకరీతి వేగవంతమైన కదలిక కోసం త్వరణం యొక్క మూడు వేర్వేరు విలువల కోసం త్వరణం మరియు సమయం యొక్క ప్రొజెక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది. అవి అబ్సిస్సా అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖలు: a x = const. 1 మరియు 2 గ్రాఫ్‌లు యాక్సిలరేషన్ వెక్టర్ OX అక్షం వెంట దర్శకత్వం వహించినప్పుడు, గ్రాఫ్ 3 - యాక్సిలరేషన్ వెక్టర్ OX అక్షానికి వ్యతిరేక దిశలో నిర్దేశించబడినప్పుడు కదలికకు అనుగుణంగా ఉంటాయి.

ఏకరీతి వేగవంతమైన కదలికతో, వేగం ప్రొజెక్షన్ సమయంపై సరళంగా ఆధారపడి ఉంటుంది: υ x = υ 0x + a x t. మూర్తి 1.34 ఈ మూడు సందర్భాలలో ఈ ఆధారపడటం యొక్క గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది. ఈ సందర్భంలో, పాయింట్ యొక్క ప్రారంభ వేగం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. ఈ గ్రాఫ్‌ని విశ్లేషిద్దాం.

త్వరణం యొక్క ప్రొజెక్షన్ గ్రాఫ్ నుండి ఒక బిందువు యొక్క త్వరణం, t అక్షానికి సరళ రేఖ యొక్క వంపు కోణం ఎక్కువగా ఉంటుందని మరియు తదనుగుణంగా, విలువను నిర్ణయించే వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్ ఎక్కువ అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. త్వరణం యొక్క.

అదే సమయంలో, వివిధ త్వరణాలతో, వేగం వేర్వేరు విలువలకు మారుతుంది.

అదే సమయ వ్యవధిలో యాక్సిలరేషన్ ప్రొజెక్షన్ యొక్క సానుకూల విలువతో, కేస్ 2లో వేగం ప్రొజెక్షన్ కేసు 1 కంటే 2 రెట్లు వేగంగా పెరుగుతుంది. OX అక్షంపై త్వరణం ప్రొజెక్షన్ యొక్క ప్రతికూల విలువతో, వేగం ప్రొజెక్షన్ మాడ్యులో మారుతుంది కేసు 1 వలె అదే విలువ, కానీ వేగం తగ్గుతుంది.

కేసులు 1 మరియు 3 కోసం, వేగం మాడ్యులస్ మరియు సమయం యొక్క గ్రాఫ్‌లు ఒకే విధంగా ఉంటాయి (Fig. 1.35).

వేగం యొక్క గ్రాఫ్ వర్సెస్ సమయం (మూర్తి 1.36) ఉపయోగించి, పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్లలో మార్పును మేము కనుగొంటాము. ఈ మార్పు సంఖ్యాపరంగా షేడెడ్ ట్రాపెజాయిడ్ యొక్క వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో కోఆర్డినేట్‌లో మార్పు 4 s Δx = 16 మీ.

మేము కోఆర్డినేట్‌లలో మార్పును కనుగొన్నాము. మీరు పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను కనుగొనవలసి వస్తే, మీరు దాని ప్రారంభ విలువను కనుగొన్న సంఖ్యకు జోడించాలి. సమయం x 0 = 2 m యొక్క ప్రారంభ క్షణం వద్ద లెట్, అప్పుడు 4 సెకన్లకు సమానమైన సమయంలో పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ విలువ 18 m కు సమానం, ఈ సందర్భంలో, స్థానభ్రంశం మాడ్యూల్ మార్గానికి సమానంగా ఉంటుంది పాయింట్ ద్వారా ప్రయాణించారు, లేదా దాని కోఆర్డినేట్‌లో మార్పు, అంటే 16 మీ .

కదలిక ఏకరీతిగా నెమ్మదిగా ఉంటే, ఎంచుకున్న సమయ వ్యవధిలో పాయింట్ ఆగిపోతుంది మరియు ప్రారంభ దిశకు వ్యతిరేక దిశలో కదలడం ప్రారంభించవచ్చు. మూర్తి 1.37 అటువంటి కదలిక కోసం సమయానికి వేగం ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఆధారపడటాన్ని చూపుతుంది. 2 సెకన్లకు సమానమైన సమయంలో, వేగం యొక్క దిశ మారుతుంది. కోఆర్డినేట్‌లో మార్పు సంఖ్యాపరంగా షేడెడ్ త్రిభుజాల ప్రాంతాల బీజగణిత మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

ఈ ప్రాంతాలను లెక్కించడం, కోఆర్డినేట్‌లో మార్పు -6 మీ అని మనం చూస్తాము, అంటే OX అక్షానికి వ్యతిరేక దిశలో, పాయింట్ ఈ అక్షం యొక్క దిశలో కంటే ఎక్కువ దూరం ప్రయాణించింది.

చతురస్రం పైనమేము t అక్షాన్ని ప్లస్ గుర్తుతో మరియు ప్రాంతంతో తీసుకుంటాము కింద t అక్షం, ఇక్కడ వేగం ప్రొజెక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, మైనస్ గుర్తుతో.

ప్రారంభ క్షణంలో ఒక నిర్దిష్ట బిందువు యొక్క వేగం 2 m/sకి సమానంగా ఉంటే, 6 సెకన్లకు సమానమైన సమయంలో దాని సమన్వయం ఈ సందర్భంలో పాయింట్ యొక్క స్థానభ్రంశం యొక్క మాడ్యులస్‌కు సమానం 6 మీటర్లకు కూడా సమానంగా ఉంటుంది - కోఆర్డినేట్లలో మార్పు యొక్క మాడ్యులస్. అయితే, ఈ బిందువు ద్వారా ప్రయాణించే మార్గం 10 మీటర్లకు సమానం - మూర్తి 1.38లో చూపిన షేడెడ్ త్రిభుజాల ప్రాంతాల మొత్తం.

సమయానికి ఒక పాయింట్ యొక్క x కోఆర్డినేట్ యొక్క ఆధారపడటాన్ని ప్లాట్ చేద్దాం. సూత్రాలలో ఒకదాని ప్రకారం (1.14), కోఆర్డినేట్ వర్సెస్ టైమ్ - x(t) - ఒక పారాబొలా.

పాయింట్ వేగంతో కదులుతున్నట్లయితే, దాని గ్రాఫ్ వర్సెస్ సమయం మూర్తి 1.36లో చూపబడింది, అప్పుడు పారాబొలా యొక్క శాఖలు x > 0 (మూర్తి 1.39) నుండి పైకి మళ్లించబడతాయి. ఈ గ్రాఫ్ నుండి మనం పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్, అలాగే వేగాన్ని ఎప్పుడైనా నిర్ణయించవచ్చు. కాబట్టి, 4 సెకన్లకు సమానమైన సమయంలో, పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్ 18 మీ.

సమయం యొక్క ప్రారంభ క్షణం కోసం, పాయింట్ A వద్ద వక్రరేఖకు ఒక టాంజెంట్ను గీయడం, మేము వంపు కోణం α 1 యొక్క టాంజెంట్ను నిర్ణయిస్తాము, ఇది సంఖ్యాపరంగా ప్రారంభ వేగంతో సమానంగా ఉంటుంది, అనగా 2 m / s.

పాయింట్ B వద్ద వేగాన్ని నిర్ణయించడానికి, ఈ పాయింట్ వద్ద పారాబొలాకు టాంజెంట్‌ని గీయండి మరియు కోణం α 2 యొక్క టాంజెంట్‌ను నిర్ణయించండి. ఇది 6కి సమానం, కాబట్టి వేగం 6 మీ/సె.

మార్గం మరియు సమయం యొక్క గ్రాఫ్ అదే పారాబొలా, కానీ మూలం నుండి తీసుకోబడింది (Fig. 1.40). కాలక్రమేణా మార్గం నిరంతరం పెరుగుతుందని మేము చూస్తాము, కదలిక ఒక దిశలో సంభవిస్తుంది.

పాయింట్ వేగంతో కదులుతున్నట్లయితే, ప్రొజెక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ వర్సెస్ టైమ్ మూర్తి 1.37లో చూపబడింది, అప్పుడు పారాబొలా యొక్క శాఖలు ఒక x నుండి క్రిందికి మళ్లించబడతాయి.< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

సమయం t = 2 s క్షణం నుండి ప్రారంభించి, వంపు కోణం యొక్క టాంజెంట్ ప్రతికూలంగా మారుతుంది మరియు దాని మాడ్యూల్ పెరుగుతుంది, దీని అర్థం పాయింట్ ప్రారంభానికి వ్యతిరేక దిశలో కదులుతుంది, అయితే కదలిక వేగం యొక్క మాడ్యూల్ పెరుగుతుంది.

స్థానభ్రంశం మాడ్యూల్ సమయం యొక్క చివరి మరియు ప్రారంభ క్షణాలలో పాయింట్ యొక్క కోఆర్డినేట్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క మాడ్యూల్‌కు సమానంగా ఉంటుంది మరియు 6 మీ.కి సమానంగా ఉంటుంది.

మూర్తి 1.42లో చూపబడిన పాయింట్ మరియు సమయం ద్వారా ప్రయాణించే దూరం యొక్క గ్రాఫ్, స్థానభ్రంశం మరియు సమయం యొక్క గ్రాఫ్ నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది (మూర్తి 1.41 చూడండి).

వేగం యొక్క దిశతో సంబంధం లేకుండా, పాయింట్ ద్వారా ప్రయాణించే మార్గం నిరంతరం పెరుగుతుంది.

వేగం ప్రొజెక్షన్‌పై పాయింట్ కోఆర్డినేట్‌ల ఆధారపడటాన్ని మనం పొందుదాం. వేగం υx = υ 0x + a x t, అందుకే

x 0 = 0 మరియు x > 0 మరియు υ x > υ 0x విషయంలో, కోఆర్డినేట్ వర్సెస్ వేగం యొక్క గ్రాఫ్ ఒక పారాబొలా (Fig. 1.43).

ఈ సందర్భంలో, ఎక్కువ త్వరణం, పారాబొలా యొక్క శాఖ తక్కువ నిటారుగా ఉంటుంది. ఇది వివరించడం సులభం, ఎందుకంటే ఎక్కువ త్వరణం, తక్కువ త్వరణంతో కదులుతున్నప్పుడు అదే మొత్తంలో వేగం పెరగడానికి పాయింట్ ప్రయాణించాల్సిన దూరం తక్కువగా ఉంటుంది.

ఒక x సందర్భంలో< 0 и υ 0x >0 వేగం ప్రొజెక్షన్ తగ్గుతుంది. a = |a x | రూపంలో సమీకరణాన్ని (1.17) తిరిగి వ్రాద్దాం. ఈ సంబంధం యొక్క గ్రాఫ్ క్రిందికి దర్శకత్వం వహించిన శాఖలతో కూడిన పారాబొలా (Fig. 1.44).

వేగవంతమైన ఉద్యమం.

వేగ ప్రొజెక్షన్ వర్సెస్ సమయం యొక్క గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి, మీరు ఏ రకమైన కదలికకైనా ఎప్పుడైనా పాయింట్ యొక్క సమన్వయం మరియు త్వరణం ప్రొజెక్షన్‌ని నిర్ణయించవచ్చు.

మూర్తి 1.45లో చూపిన విధంగా పాయింట్ యొక్క వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ సమయంపై ఆధారపడి ఉండనివ్వండి. 0 నుండి t 3 వరకు సమయ వ్యవధిలో X అక్షం వెంట బిందువు యొక్క కదలిక వేరియబుల్ త్వరణంతో సంభవించిందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. t 3కి సమానమైన సమయం నుండి ప్రారంభించి, కదలిక స్థిరమైన వేగం υ Dxతో ఏకరీతిగా ఉంటుంది. గ్రాఫ్ ప్రకారం, పాయింట్ కదిలిన త్వరణం నిరంతరం తగ్గుతోందని మేము చూస్తాము (బి మరియు సి పాయింట్ల వద్ద టాంజెంట్ యొక్క వంపు కోణాన్ని సరిపోల్చండి).

సమయం t 1 సమయంలో పాయింట్ యొక్క x కోఆర్డినేట్‌లో మార్పు సంఖ్యాపరంగా కర్విలినియర్ ట్రాపెజాయిడ్ OABt 1 వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది, సమయం t 2 సమయంలో - OACt 2 ప్రాంతం, మొదలైనవి. వేగం యొక్క గ్రాఫ్ నుండి మనం చూడవచ్చు. ప్రొజెక్షన్ వర్సెస్ టైమ్, మనం ఏ సమయంలోనైనా శరీరం యొక్క కోఆర్డినేట్‌లో మార్పును నిర్ణయించగలము.

కోఆర్డినేట్‌ల గ్రాఫ్ వర్సెస్ టైమ్ నుండి, మీరు ఏ సమయంలోనైనా వేగం యొక్క విలువను నిర్ణయించవచ్చు, టాంజెంట్ యొక్క టాంజెంట్‌ను ఒక నిర్దిష్ట బిందువుకు సంబంధించిన పాయింట్ వద్ద వక్రరేఖకు లెక్కించడం ద్వారా. మూర్తి 1.46 నుండి t 1 సమయంలో వేగం ప్రొజెక్షన్ సానుకూలంగా ఉంటుంది. t 2 నుండి t 3 వరకు సమయ వ్యవధిలో, వేగం సున్నా, శరీరం చలనం లేకుండా ఉంటుంది. t 4 సమయంలో వేగం కూడా సున్నాగా ఉంటుంది (బిందువు D వద్ద వక్రరేఖకు టాంజెంట్ x-అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది). అప్పుడు వేగం ప్రొజెక్షన్ ప్రతికూలంగా మారుతుంది, పాయింట్ యొక్క కదలిక దిశ వ్యతిరేకంగా మారుతుంది.

వేగం ప్రొజెక్షన్ వర్సెస్ సమయం యొక్క గ్రాఫ్ తెలిసినట్లయితే, మీరు పాయింట్ యొక్క త్వరణాన్ని నిర్ణయించవచ్చు మరియు ప్రారంభ స్థానాన్ని తెలుసుకోవడం ద్వారా, ఏ సమయంలోనైనా శరీరం యొక్క కోఆర్డినేట్‌ను నిర్ణయించవచ్చు, అనగా, కైనమాటిక్స్ యొక్క ప్రధాన సమస్యను పరిష్కరించండి. అక్షాంశాల గ్రాఫ్ వర్సెస్ సమయం నుండి, కదలిక యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన గతి లక్షణాలలో ఒకదానిని గుర్తించవచ్చు - వేగం. అదనంగా, ఈ గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి, మీరు ఎంచుకున్న అక్షం వెంట కదలిక రకాన్ని నిర్ణయించవచ్చు: ఏకరీతి, స్థిరమైన త్వరణంతో లేదా వేరియబుల్ త్వరణంతో కదలిక.

కోఆర్డినేట్ డిపెండెన్స్ గ్రాఫ్ ప్రకారం

అప్పటి నుండి x = x(t) గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

మార్గం మరియు సమయం లు = లు(t)?

గ్రాఫ్ యొక్క క్రింది లక్షణాలను గమనించండి లు = లు(t):

1) షెడ్యూల్ లు = లు(t) ఎల్లప్పుడూ మూలం నుండి ప్రారంభమవుతుంది, ఎందుకంటే ప్రారంభ క్షణంలో ప్రయాణించిన దూరం ఎల్లప్పుడూ సున్నా;

2) షెడ్యూల్ లు = లు(t) ఎల్లప్పుడూ తగ్గదు: శరీరం కదులుతున్నట్లయితే అది పెరుగుతుంది, లేదా శరీరం నిలబడి ఉంటే మారదు;

3) ఫంక్షన్ లు = లు(t) ప్రతికూల విలువను తీసుకోలేరు.

పై నుండి అది గ్రాఫ్ని అనుసరిస్తుంది X = X (t) షెడ్యూల్‌తో సమానంగా ఉంటుంది లు = లు(t) అయితేనే X(0) = 0 మరియు x(t) అన్ని సమయాలలో తగ్గదు, అనగా. శరీరం సానుకూల దిశలో మాత్రమే కదులుతుంది లేదా నిశ్చలంగా ఉంటుంది.

ప్లాటింగ్ చార్ట్‌ల యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలు ఇక్కడ ఉన్నాయి: లు = లు(t) ఈ గ్రాఫ్‌ల ప్రకారం X = X(t).

ఉదాహరణ 4.2.ప్రణాళిక ప్రకారం X = = X(t) అంజీర్లో. 4.4, ఎఒక గ్రాఫ్ నిర్మించండి లు = లు(t).

షెడ్యూల్ X = X(t) పెరుగుతుంది, కానీ మూలం వద్ద కాదు, బిందువు వద్ద ప్రారంభమవుతుంది (0, X 0) షెడ్యూల్ పొందడానికి లు = లు(t) గ్రాఫ్‌ను వదిలివేయడం అవసరం X = X(t) పై x 0 డౌన్ (Fig. 4.4, బి).

ఉదాహరణ 4.3.ప్రణాళిక ప్రకారం X = X(t) అంజీర్లో. 4.5, ఎఒక గ్రాఫ్ నిర్మించండి లు = లు(t).

ఈ విషయంలో X(0) = 0, కానీ శరీరం అక్షం యొక్క ప్రతికూల దిశలో కదులుతుంది X. ఈ సందర్భంలో అది న్యాయమైనది లు(t) = |x(t)|, మరియు ప్లాట్ చేయడానికి లు = లు(t) గ్రాఫ్‌ను ప్రదర్శించండి X = X(t) ఎగువ సగం విమానంలో ప్రతిబింబిస్తుంది (Fig. 4.5, బి).

అన్నం. 4.5

ఉదాహరణ 4.4.ప్రణాళిక ప్రకారం X = X(t) అంజీర్లో. 4.6, ఎఒక గ్రాఫ్ నిర్మించండి లు = లు(t).

ముందుగా గ్రాఫ్‌ని తగ్గిద్దాం X = X(t) పై X 0 వరకు X(0) = 0, మేము ఉదాహరణ 4.2లో చేసినట్లు, ఆపై సరళ రేఖ 2 (Fig. 4.6, బి) మేము ఉదాహరణ 4.3లో చేసినట్లుగా, ఎగువ సగం-ప్లేన్‌లో ప్రతిబింబిస్తుంది.

అన్నం. 4.6

ఉదాహరణ 4.5.ప్రణాళిక ప్రకారం X = X(t) అంజీర్లో. 4.7, ఎఒక గ్రాఫ్ నిర్మించండి లు = లు(t).

అన్నం. 4.7

షెడ్యూల్ X = X(t) రెండు విభాగాలను కలిగి ఉంటుంది: మొదటి విభాగంలో X(t) పెరుగుతుంది, మరియు రెండవ విభాగంలో అది తగ్గుతుంది, అనగా. శరీరం అక్షం యొక్క ప్రతికూల దిశలో కదులుతుంది X. అందువలన, ఒక గ్రాఫ్ ప్లాట్ చేయడానికి లు = లు(t) గ్రాఫ్ యొక్క మొదటి భాగం X = X(t) మేము మారకుండా వదిలివేస్తాము మరియు టర్నింగ్ పాయింట్ (2t, 2) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖకు సంబంధించి రెండవ భాగాన్ని ప్రతిబింబిస్తాము. X 0) అక్షానికి సమాంతరంగా t(Fig. 4.7, b).

ఆపు! మీ కోసం పరిష్కరించండి: C2 (a, b, c).

ప్రకటన.డిపెండెన్స్ గ్రాఫ్ ఇవ్వండి υ x(t), X(t 1) = x 0 (Fig. 4.8). గ్రాఫ్ పైన ఏరియా విలువలు s+మరియు చార్ట్ క్రింద లు– , పొడవు యూనిట్లలో ఖాతా ప్రమాణాలను తీసుకొని వ్యక్తీకరించబడింది, అంటారు. ఆ కాలంలో ప్రయాణించిన మార్గం [ t 1 , t 2 ], దీనికి సమానం:

s = s – + s + . (4.2)

సమయానికి సమన్వయం చేయండి t 2 దీనికి సమానం:

X(t 2) = x 0 – s – + s + . (4.3)

సమస్య 4.2. సమయానికి వ్యతిరేకంగా అక్షాంశాల గ్రాఫ్ ప్రకారం (Fig. 4.9, ఎ) డిపెండెన్సీ గ్రాఫ్‌లను రూపొందించండి υ x = υ x(t) మరియు υ = υ (t).

పరిష్కారం. కాల వ్యవధిని పరిశీలిద్దాం. ఈ విరామంలో డి X= = 1 మీ, డి t= 1 సె, అందుకే = 1 మీ/సె, υ = = |υ x| = 1 మీ/సె.

కాల వ్యవధిని పరిశీలిద్దాం. ఈ విరామంలో డి X= 0, అంటే υ x = υ = 0.

కాల వ్యవధిని పరిశీలిద్దాం. ఈ విరామంలో డి X= (–2) – 1 = = –3 మీ, డి t= 1 సె, అంటే = –3 మీ/సె, υ = |υ x| = 3 మీ/సె.

కాల వ్యవధిని పరిశీలిద్దాం. ఈ విరామంలో డి X= 0, కాబట్టి, υ x = υ = 0.

గ్రాఫ్‌లు అంజీర్‌లో చూపబడ్డాయి. 4.9, బిమరియు 4.9, వి.

ఆపు! మీ కోసం పరిష్కరించండి: Q3 (a, b, c).

సమస్య 4.3. డిపెండెన్సీ గ్రాఫ్ ప్రకారం υ x = υ x(t) (Fig. 4.10) ప్రయాణించిన మార్గం యొక్క విలువలను కనుగొనండి మరియు 1సె, 2 సె, 3 సె, 4 సె, 5 సె, సమయాలలో కోఆర్డినేట్ చేస్తుంది X(0) = 2.0 మీ.

పరిష్కారం.

1. కాల వ్యవధిని పరిగణించండి. ఈ విరామంలో υ x(t) 1 m/s నుండి 0కి తగ్గింది, అనగా. శరీరం అక్షం వెంట కదిలింది Xనెమ్మదిగా మరియు క్షణంలో t= 1 సె ఆగిపోయింది. ప్రయాణించిన దూరం విభాగంలోని గ్రాఫ్ కింద ఉన్న ప్రాంతానికి సమానంగా ఉంటుంది: m క్షణంలో సమన్వయం t= 1 సెకి సమానం X(1) = X(0) + లు 01 = 2.0 మీ + 0.5 మీ = 2.5 మీ.

2. కాల వ్యవధిని పరిగణించండి. ఈ విరామంలో υ x 0 నుండి -1 m/s వరకు తగ్గింది, అనగా. శరీరం విశ్రాంతి నుండి అక్షం యొక్క దిశకు వ్యతిరేక దిశలో వేగవంతం అవుతుంది X. ఈ కాలంలో ప్రయాణించిన మార్గం గ్రాఫ్ పైన ఉన్న ప్రాంతానికి సమానంగా ఉంటుంది υ x = υ x(t) విరామంలో: m కాబట్టి, ఈ సమయంలో శరీరం ప్రయాణించిన మొత్తం మార్గం t= 2 సె, సమానం లు(2) = లు(1) + లుక్షణంలో 12 = 0.5 మీ + 0.5 మీ = 1.0 మీ t= 1 సెకి సమానం X(2) = X(1) – లు 12 = 2.5 మీ - 0.5 మీ = 2.0 మీ.

3. కాల వ్యవధిని పరిగణించండి. ఈ విరామంలో శరీరం అక్షం యొక్క ప్రతికూల దిశలో ఏకరీతిగా కదులుతుంది Xభూమి వేగంతో υ = 1 మీ/సె. ప్రయాణించిన దూరం లు 23 = (1 m/s)´ (1 s) = 1.0 m కాబట్టి, మార్గం క్షణం వరకు ప్రయాణించింది t= 3 సె, సమానం లు(3) = లు(2) + లు 23 = 1.0 మీ + 1.0 మీ = 2.0 మీ.

శరీరం వ్యతిరేక దిశలో కదిలినందున, ఈ కాలంలో కోఆర్డినేట్ ప్రయాణించిన దూరం మొత్తం తగ్గింది: X(3) = X(2) – లు 23 = 2.0 మీ - 1.0 మీ = 1.0 మీ.

ఏకరీతి ఉద్యమం– ఇది స్థిరమైన వేగంతో కదలిక, అంటే వేగం మారనప్పుడు (v = const) మరియు త్వరణం లేదా క్షీణత జరగనప్పుడు (a = 0).

స్ట్రెయిట్ లైన్ కదలిక- ఇది సరళ రేఖలో కదలిక, అంటే, రెక్టిలినియర్ కదలిక యొక్క పథం సరళ రేఖ.

ఏకరీతి సరళ కదలిక- ఇది ఏదైనా సమాన వ్యవధిలో శరీరం సమాన కదలికలను చేసే కదలిక. ఉదాహరణకు, మేము ఒక నిర్దిష్ట సమయ విరామాన్ని ఒక-సెకను విరామాలుగా విభజిస్తే, అప్పుడు ఏకరీతి కదలికతో శరీరం ఈ సమయ వ్యవధిలో ప్రతిదానికీ ఒకే దూరం కదులుతుంది.

ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ యొక్క వేగం సమయం మీద ఆధారపడి ఉండదు మరియు పథం యొక్క ప్రతి పాయింట్ వద్ద శరీరం యొక్క కదలిక వలె అదే విధంగా దర్శకత్వం వహించబడుతుంది. అంటే, స్థానభ్రంశం వెక్టార్ వేగం వెక్టర్‌తో దిశలో సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, ఏ కాలానికి సగటు వేగం తక్షణ వేగంతో సమానంగా ఉంటుంది:

V cp = v

దూరం ప్రయాణించారులీనియర్ మోషన్‌లో స్థానభ్రంశం మాడ్యూల్‌కు సమానం. OX అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ కదలిక దిశతో సమానంగా ఉంటే, OX అక్షంపై వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ వేగం యొక్క పరిమాణానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు సానుకూలంగా ఉంటుంది:

V x = v, అంటే v > 0

OX అక్షం మీద స్థానభ్రంశం యొక్క ప్రొజెక్షన్ దీనికి సమానం:

S = vt = x – x 0

ఇక్కడ x 0 అనేది శరీరం యొక్క ప్రారంభ కోఆర్డినేట్, x అనేది శరీరం యొక్క చివరి కోఆర్డినేట్ (లేదా ఏ సమయంలోనైనా శరీరం యొక్క కోఆర్డినేట్)

చలన సమీకరణం, అంటే, శరీరం యొక్క ఆధారపడటం సమయం x = x(t), రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

X = x 0 + vt

OX అక్షం యొక్క సానుకూల దిశ శరీరం యొక్క కదలిక దిశకు వ్యతిరేకమైతే, OX అక్షంపై శరీరం యొక్క వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది, వేగం సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటుంది (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X = x 0 - vt

వేగం, కోఆర్డినేట్లు మరియు సమయానికి మార్గంపై ఆధారపడటం

సమయానికి శరీర వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఆధారపడటం అంజీర్లో చూపబడింది. 1.11 వేగం స్థిరంగా ఉన్నందున (v = const), స్పీడ్ గ్రాఫ్ అనేది సమయ అక్షం Otకి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ.

అన్నం. 1.11 ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ కోసం సమయానికి శరీర వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఆధారపడటం.

కోఆర్డినేట్ అక్షం మీద కదలిక ప్రొజెక్షన్ దీర్ఘచతురస్రం OABC (Fig. 1.12) యొక్క వైశాల్యానికి సంఖ్యాపరంగా సమానంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే కదలిక వెక్టర్ యొక్క పరిమాణం వేగం వెక్టర్ యొక్క ఉత్పత్తికి మరియు కదలిక జరిగిన సమయానికి సమానం. చేసింది.

అన్నం. 1.12 ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ కోసం సమయానికి శరీర స్థానభ్రంశం యొక్క ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఆధారపడటం.

స్థానభ్రంశం మరియు సమయం యొక్క గ్రాఫ్ అంజీర్‌లో చూపబడింది. 1.13 వేగం యొక్క ప్రొజెక్షన్ సమానంగా ఉందని గ్రాఫ్ చూపిస్తుంది

V = s 1 / t 1 = టాన్ α

ఇక్కడ α అనేది సమయ అక్షానికి గ్రాఫ్ యొక్క వంపు కోణం α, శరీరం ఎంత వేగంగా కదులుతుంది, అంటే దాని వేగం ఎక్కువ (శరీరం తక్కువ సమయంలో ఎక్కువ దూరం ప్రయాణించేది). కోఆర్డినేట్ మరియు సమయం యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ యొక్క టాంజెంట్ వేగానికి సమానం:

Tg α = v

అన్నం. 1.13 ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ కోసం సమయానికి శరీర స్థానభ్రంశం యొక్క ప్రొజెక్షన్ యొక్క ఆధారపడటం.

సమయానికి కోఆర్డినేట్ యొక్క ఆధారపడటం అంజీర్లో చూపబడింది. 1.14 బొమ్మను బట్టి అది స్పష్టమవుతుంది

Tg α 1 > tg α 2

కాబట్టి, శరీరం 1 యొక్క వేగం శరీరం 2 (v 1 > v 2) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

Tg α 3 = v 3< 0

శరీరం విశ్రాంతిగా ఉంటే, కోఆర్డినేట్ గ్రాఫ్ అనేది సమయ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ, అంటే

X = x 0

అన్నం. 1.14 ఏకరీతి రెక్టిలినియర్ మోషన్ కోసం సమయానికి శరీర కోఆర్డినేట్‌ల ఆధారపడటం.