సైద్ధాంతిక ఆధారంగణిత గణాంకాల కోసం, సంభావ్యత సిద్ధాంతం ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది నమూనాలను అధ్యయనం చేస్తుంది యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాలుఒక వియుక్త రూపంలో. ఈ నమూనాల ఆధారంగా, యాదృచ్ఛిక విలువల పంపిణీ నమూనాలు లేదా చట్టాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

వివిక్త పరిమాణం యొక్క పంపిణీ చట్టం దాని సంభావ్యత యొక్క విధి సాధ్యం విలువలు X = xi. నిరంతర పంపిణీ చట్టం యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X విలువల పంపిణీ ఫంక్షన్‌గా సూచించబడుతుంది< x i , т. е. в సమగ్ర రూపంమరియు పంపిణీ సాంద్రత రూపంలో. సంభావ్యత ప్రత్యేక అర్థంనిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ 0కి సమానం, మరియు ఇచ్చిన గ్రేడేషన్‌లో చేర్చబడిన విలువల సంభావ్యత ఈ గ్రేడేషన్ Δx ఆక్రమించిన ప్రాంతంలో డిస్ట్రిబ్యూషన్ ఫంక్షన్ పెరుగుదలకు సమానం.

ప్రతి సైద్ధాంతిక పంపిణీ గణాంక పంపిణీల మాదిరిగానే లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది (నిరీక్షణ M, వ్యత్యాసం D, వైవిధ్యం యొక్క గుణకాలు, వక్రత మరియు కుర్టోసిస్). ఈ లేదా వాటితో అనుబంధించబడిన ఇతర స్థిరాంకాలను పంపిణీ పారామితులు అంటారు.

అనుభావికమైన దానికి సరిపోయే సైద్ధాంతిక పంపిణీని కనుగొనడం లేదా దానిని "లెవలింగ్" చేయడం ఒకటి ముఖ్యమైన పనులువాతావరణ ప్రాసెసింగ్. సైద్ధాంతిక పంపిణీ కనుగొనబడి, విజయవంతంగా కనుగొనబడితే, క్లైమాటాలజిస్ట్ అధ్యయనం చేయబడిన విలువ యొక్క అనుకూలమైన రూపాన్ని మాత్రమే అందుకుంటారు, ఇది యంత్ర గణనలలో చేర్చబడుతుంది, కానీ అసలు సిరీస్‌లో నేరుగా లేని లక్షణాలను లెక్కించే సామర్థ్యాన్ని కూడా పొందుతుంది. అలాగే కొన్ని నమూనాలను గుర్తించడం. అందువల్ల, పాయింట్ వద్ద గమనించిన తీవ్రతలు ఖచ్చితంగా ఆసక్తిని కలిగి ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, అందుబాటులో ఉన్న నమూనాలో వాటి ప్రదర్శన చాలా వరకు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది, కాబట్టి అవి పేలవంగా మ్యాప్ చేయబడి ఉంటాయి మరియు కొన్నిసార్లు పొరుగు స్టేషన్లలో గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి. ఒకవేళ, కనుగొనబడిన పంపిణీల సహాయంతో, మేము నిర్దిష్ట భద్రత యొక్క విపరీతమైన లక్షణాలను గుర్తిస్తే, అవి చాలా వరకు ఉచితం పేర్కొన్న లోపాలుఅందువలన మరింత ప్రాతినిధ్యం వహిస్తాయి. ఇది వివిధ గణన తీవ్రతపై ఉంది నియంత్రణ అవసరాలు. అందువల్ల, సైద్ధాంతిక పంపిణీని కనుగొని దాని ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయడానికి ప్రత్యేక శ్రద్ధ ఉండాలి.

పంపిణీ పారామితులను నిర్ణయించవచ్చు వివిధ మార్గాలు, అత్యంత ఖచ్చితమైనది, కానీ అదే సమయంలో సంక్లిష్టమైనది, గరిష్ట సంభావ్యత పద్ధతి. క్లైమాటోలాజికల్ ఆచరణలో, క్షణాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.

గణాంక లక్షణాలుఇచ్చిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువల యొక్క సాధారణ జనాభాను వర్గీకరించే పంపిణీ పారామితుల అంచనాలుగా పరిగణించబడతాయి.

పరామితి అంచనాలను నిర్ణయించడానికి క్షణం పద్ధతి క్రింది విధంగా ఉంటుంది. ఆశించిన విలువ, సైద్ధాంతిక గుణకాలువక్రత మరియు కుర్టోసిస్ అనుభావిక సగటు మరియు అనుభావిక గుణకాల ద్వారా భర్తీ చేయబడతాయి; సైద్ధాంతిక వైవిధ్యం అనుభావిక వైవిధ్యంతో గుణిస్తే సమానం. పారామితులు క్షణాల విధులు అయితే, అవి అనుభావిక క్షణాల నుండి లెక్కించబడతాయి.

కొన్నింటిని చూద్దాం సంభావ్య నమూనాలు, తరచుగా క్లైమాటాలజీలో ఉపయోగిస్తారు.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం, ద్విపద మరియు పాయిసన్ పంపిణీలు (సాధారణ మరియు సంక్లిష్టమైనవి) ఉపయోగించబడతాయి.

ద్విపద పంపిణీ (బెర్నౌలీ) ఒకే పరీక్ష యొక్క స్థిరమైన పరిస్థితులలో పునరావృతం ఫలితంగా పుడుతుంది, ఇది రెండు ఫలితాలను కలిగి ఉంటుంది: ఒక సంఘటన సంభవించడం లేదా జరగకపోవడం (క్లైమాటాలజీలో, ఉదాహరణకు, ప్రతి సంఘటనపై లేకపోవడం లేదా ఉనికి. సంవత్సరం లేదా నెల రోజు).

యాదృచ్ఛికంగా వివిక్త పరిమాణం n సాధ్యమయ్యే సందర్భాలలో కొన్ని యాదృచ్ఛిక సంఘటన (దృగ్విషయం) సంభవించిన కేసుల సంఖ్యగా ఇక్కడ అర్థం చేసుకోవచ్చు మరియు 0, 1, 2, ..., n విలువలను తీసుకోవచ్చు.

విశ్లేషణాత్మక వ్యక్తీకరణద్విపద పంపిణీ చట్టం రూపాన్ని కలిగి ఉంది (5.1)

n ట్రయల్స్‌లో p సంభావ్యతతో ఈవెంట్ x సార్లు సంభవించే సంభావ్యతను చట్టం నిర్ణయిస్తుంది. ఉదాహరణకు, క్లైమాటాలజీలో, ఒక రోజు ఒక దృగ్విషయంతో లేదా ఒక దృగ్విషయం లేకుండా ఉండవచ్చు (పొగమంచుతో, కొంత మొత్తంలో అవపాతంతో, నిర్దిష్ట స్థాయిల గాలి ఉష్ణోగ్రత మొదలైనవి). ఈ అన్ని సందర్భాలలో, రెండు ఫలితాలు సాధ్యమవుతాయి మరియు ఒక సంఘటన (ఉదాహరణకు, పొగమంచుతో ఒక రోజు) ఎన్ని సార్లు గమనించబడుతుందనే ప్రశ్నకు ద్విపద చట్టాన్ని (5.1) ఉపయోగించి సమాధానం పొందవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, p p *కి సమానంగా తీసుకోబడుతుంది, అనగా, సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ - మొత్తం కేసుల సంఖ్యకు (ఫార్ములా (2.3)) ఒక దృగ్విషయంతో కేసుల సంఖ్య నిష్పత్తి.

ఉదాహరణకు, ఆగస్ట్‌లో పొగమంచు ఉన్న రోజుల సంఖ్యను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మరియు ఆగస్ట్‌లో పొగమంచుతో సగటున 5 రోజులు ఉంటుందని దీర్ఘకాలిక సిరీస్ నుండి నిర్ధారించినట్లయితే, ఆగస్టులో పొగమంచు ఉన్న రోజు యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ (సంభావ్యత) (31 రోజులు) సమానం

ద్విపద పంపిణీ యొక్క పారామితులు n మరియు p, ఇవి గణిత నిరీక్షణ (సగటు విలువ), సగటుకు సంబంధించినవి చదరపు విచలనం, కింది వ్యక్తీకరణల ద్వారా ఈ పంపిణీ యొక్క అసమానత మరియు కుర్టోసిస్ యొక్క గుణకాలు:

అంజీర్లో. 5.1 వివిధ పారామితులు n మరియు p కోసం ద్విపద పంపిణీ యొక్క గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది.

ఉదాహరణకు, బైనామియల్ చట్టాన్ని ఉపయోగించి, ఆగస్ట్‌లో ఏ రోజున పొగమంచు ఏర్పడే సంభావ్యత (అనగా ఆగస్టులో పొగమంచుతో ఉన్న రోజుల సగటు సంఖ్య నిష్పత్తి) ఆగస్ట్‌లో స్టేషన్ మూడు రోజులు పొగమంచుతో అనుభవించే సంభావ్యతను లెక్కిద్దాం. నెలలోని మొత్తం రోజుల సంఖ్యకు ) 0.16.

n = 31, మరియు 1 - p = 0.84 నుండి, ఫార్ములా (5.1) ఉపయోగించి మనం పొందుతాము

p(3)=0.1334≈0.13

ద్విపద పంపిణీ యొక్క పరిమితి, సుదీర్ఘ శ్రేణిలో తక్కువ సంభావ్యత ఈవెంట్‌లు పరిగణించబడతాయి స్వతంత్ర పరీక్షలు(పరిశీలనలు) అనేది పాయిజన్ పంపిణీ.

పాయిసన్ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ సంభావ్యతతో పూర్ణాంకాల 0, 1, 2, ∞ యొక్క అనంతమైన శ్రేణిని రూపొందించే అనేక విలువలను తీసుకోవచ్చు.

ఎక్కడ λ. -పారామీటర్, ఇది పంపిణీ యొక్క గణిత అంచనా.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ దాని సగటు విలువ (గణిత నిరీక్షణ) λకి సమానంగా ఉంటే x సార్లు గమనించబడే సంభావ్యతను చట్టం నిర్ణయిస్తుంది.

ద్విపద చట్టం యొక్క పరామితి ఈవెంట్ p యొక్క సంభావ్యత అనే వాస్తవానికి శ్రద్ధ చూపుదాం మరియు అందువల్ల p(x) సంభావ్యత ఏ మొత్తం కేసుల సంఖ్య నుండి నిర్ణయించబడుతుందో సూచించడం అవసరం. పాయిసన్ చట్టంలో, పరామితి అనేది పరిశీలనలో ఉన్న వ్యవధిలో λ కేసుల సగటు సంఖ్య, కాబట్టి వ్యవధి యొక్క వ్యవధి నేరుగా సూత్రంలో చేర్చబడలేదు.

పాయిజన్ పంపిణీ యొక్క వైవిధ్యం మరియు మూడవది కేంద్ర బిందువుగణిత నిరీక్షణకు సమానం, అంటే, అవి కూడా λకి సమానం.

సగటు మరియు వ్యత్యాసాల మధ్య పెద్ద వ్యత్యాసాలు ఉన్నట్లయితే, పాయిసన్స్ లా ఉపయోగించబడదు. పాయిజన్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ అనేది గణాంక పట్టికలు, రిఫరెన్స్ పుస్తకాలు మరియు గణాంకాలపై పాఠ్యపుస్తకాల యొక్క అన్ని సేకరణలలో పట్టిక చేయబడింది మరియు ఇవ్వబడింది. అంజీర్లో. పాయిసన్ చట్టం ప్రకారం ఉరుములతో కూడిన రోజుల సంఖ్య పంపిణీని మూర్తి 5.2 చూపిస్తుంది (అరుదైన సంఘటన). ఆర్ఖంగెల్స్క్ సంవత్సరానికి λ, = 11 రోజులు మరియు జూలైకి λ = 4 రోజులు. అంజీర్ నుండి చూడవచ్చు. 5.2, అర్ఖంగెల్స్క్‌లో జూలైలో ఉరుములతో కూడిన ఎనిమిది రోజుల సంభావ్యత సుమారు 0.03, మరియు సంవత్సరానికి ఎనిమిది రోజుల సంభావ్యత సుమారు 0.10. మనం ఒక సందర్భాన్ని దృష్టిలో పెట్టుకుందాం. తరచుగా, λ≤1 కోసం ఒక సంవత్సరంలో λ ఒక దృగ్విషయంతో రోజుల సగటు సంఖ్య పునరావృత కాలం T (ఉదాహరణకు, λ = 0.3 - ప్రతి మూడు సంవత్సరాలకు ఒక రోజు, λ = 1 - దాదాపు ఏటా).

ఈ "సగటు" విధానం లోపాలతో నిండి ఉంది, పెద్దది λ. దృగ్విషయం ఉన్న రోజులు ఒకదానికొకటి సంబంధం కలిగి ఉండకపోయినా, సంవత్సరాలు ఒకటి కాదు, కానీ చాలా రోజులు ఉండవచ్చు. ఫలితంగా, T = 1/λ సంబంధం తప్పుగా మారుతుంది. అందువలన, λ = 1 తో, పాయిజన్స్ లా సూత్రం నుండి సులభంగా చూడగలిగే దృగ్విషయం, ఏటా కాదు, 10 సంవత్సరాలలో 6-7 సంవత్సరాలలో మాత్రమే గమనించబడుతుంది. ఒక సంవత్సరంలో ఈ దృగ్విషయం గమనించబడని సంభావ్యత. దృగ్విషయం (0.37)తో ఒక రోజు ఉండే సంభావ్యతకు సమానం మరియు రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రోజులు ఉండే సంభావ్యత దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. λ≤ 0.2 వద్ద మాత్రమే సూచించిన సంబంధాన్ని తగినంత సమర్థనతో ఉపయోగించవచ్చు; ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో సంవత్సరానికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రోజులు సంభావ్యత 0.02 కంటే తక్కువగా ఉంటుంది (ప్రతి 50 సంవత్సరాలకు ఒకసారి కంటే తక్కువ).

అరుదైన వాతావరణ శాస్త్ర సంఘటనలకు పాయిసన్స్ చట్టం యొక్క అనువర్తనం ఎల్లప్పుడూ ఉపయోగకరంగా ఉండదు. ఉదాహరణకు, కొన్నిసార్లు అరుదైన దృగ్విషయాలు వాటికి కారణమయ్యే పరిస్థితులు కొనసాగడం వల్ల ఒకదానికొకటి అనుసరించవచ్చు చాలా కాలం, మరియు పాయిసన్ చట్టం యొక్క షరతులు సంతృప్తి చెందలేదు.

అరుదైన స్వభావానికి అనుగుణంగా మరింత వాతావరణ దృగ్విషయాలుసంక్లిష్ట పాయిజన్ పంపిణీ (ప్రతికూల ద్విపద పంపిణీ). అనేక దృగ్విషయాలను వేర్వేరు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ (వివిధ జనాభా నుండి నమూనాలు) విలువలుగా పరిగణించినప్పుడు ఇది పుడుతుంది. ఈ పరిమాణాలన్నీ పాయిజన్ పంపిణీని కలిగి ఉంటాయి, కానీ దానితో వివిధ పారామితులుλ 1, λ 2 ..., λ కె.

సంక్లిష్టమైన పాయిజన్ పంపిణీ అనేది ఒకవైపు, పారామితుల సమితి పంపిణీపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు మరోవైపు, ప్రతి విలువల పంపిణీపై ఆధారపడి ఉంటుంది. సందర్భంలో సంభావ్యత కోసం వ్యక్తీకరణ పంపిణీ ఇచ్చారుకనిపిస్తోంది

(5.2)

లేదా గణనలకు మరింత అనుకూలమైన రూపంలో

ఈ పంపిణీ యొక్క గణిత నిరీక్షణ M మరియు భేదం D సూత్రాల ద్వారా దాని పారామితులు γ మరియు λకి సంబంధించినవి

(5.3)

M మరియు D విలువలను వాటి అంచనాలతో భర్తీ చేయడం మరియు , మేము పొందుతాము

(5.4)

సమానత్వం ఉన్న వాస్తవాన్ని సద్వినియోగం చేసుకోవడం ద్వారా p(x) గణనలను సరళీకరించవచ్చు

, (5.5)

. (5.6)

అందుకే,

గణన ఉదాహరణ. తో రోజుల సంఖ్య పంపిణీని గణిద్దాం బలమైన గాలిస్టేషన్ వద్ద జూలై కోసం Chulym, =1 రోజు అయితే, σ=1.7 రోజులు. α మరియు γని నిర్వచిద్దాం:

α≈

γ≈

బలమైన గాలులతో ఒక్క రోజు కూడా ఉండని సంభావ్యత

p(0)=

బలమైన గాలితో ఒక రోజు ఉండే సంభావ్యత p(1)= . సంక్లిష్ట పాయిజన్ పంపిణీ యొక్క గ్రాఫ్ అంజీర్‌లో చూపబడింది. 5.3

క్లైమాటాలజీలో నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం, సాధారణంగా ఉపయోగించే పంపిణీలు సాధారణ, లాగ్నార్మల్, చార్లియర్ పంపిణీ, గామా పంపిణీ, వీబుల్ మరియు గుంబెల్ పంపిణీలు, అలాగే సాధారణ మరియు ఏకరీతి సాంద్రత యొక్క కూర్పు చట్టం.

గొప్ప సైద్ధాంతిక మరియు ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతసాధారణ, లేదా గాస్సియన్, పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉంది. ఈ చట్టం చాలా మందికి పరిమితి సైద్ధాంతిక పంపిణీలుమరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రతి విలువను తగినంత మొత్తంగా పరిగణించినప్పుడు ఏర్పడుతుంది పెద్ద సంఖ్యలోస్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్.

రూపం యొక్క సాంద్రత మరియు పంపిణీ ఫంక్షన్ కోసం వ్యక్తీకరణల ద్వారా సాధారణ చట్టం ఇవ్వబడుతుంది

సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణిత గణాంకాల ప్రాథమిక సూత్రాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు మరియు పంపిణీ పారామితులను నిర్ణయించేటప్పుడు, మేము తగినంత పెద్దది అనే ఊహ నుండి ముందుకు సాగాము. అనంతమైన సంఖ్యపరీక్షలు n®N (N®¥), ఇది ఆచరణాత్మకంగా అమలు చేయడం అసాధ్యం.

అయినప్పటికీ, నమూనా (భాగం) నుండి ఈ పారామితులను అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే పద్ధతులు ఉన్నాయి. యాదృచ్ఛిక సంఘటనలు.

జనరల్ అనేది ఇచ్చిన పరిస్థితులలో మనం చేయగలిగే పరిశీలనల యొక్క అన్ని ఊహించదగిన విలువల సమితి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాక్షాత్కారాలు, సిద్ధాంతపరంగా పరిమితిలో వాటి యొక్క అనంతమైన సంఖ్య (N®¥) ఉండవచ్చు. ఈ మొత్తంలో భాగం nÎN, అనగా. పరిమిత శ్రేణి పరిశీలనల ఫలితాలు x 1 , x 2 ,..., యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క x n యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నమూనా విలువగా పరిగణించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, మిశ్రమాల రసాయన కూర్పును నిర్ణయించేటప్పుడు, వాటి యాంత్రిక బలం, మొదలైనవి). ఇచ్చిన గ్రేడ్ స్టీల్, కాస్ట్ ఇనుము, మిశ్రమం యొక్క అన్ని కడ్డీలను నమూనాలుగా కట్ చేసి పరిశీలిస్తే రసాయన కూర్పు, యాంత్రిక బలం మరియు ఇతరులు భౌతిక లక్షణాలు, అప్పుడు వారు సాధారణ జనాభా పరిశీలనలను కలిగి ఉంటారు. వాస్తవానికి, చాలా పరిమిత సంఖ్యలో నమూనాల లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడం సాధ్యమవుతుంది (అనుకూలమైనది) - ఇది వాటి నమూనా జనాభా.

అటువంటి పరిమిత సంఖ్యలో పరిశీలనల ఫలితాల ఆధారంగా, గుర్తించడం సాధ్యమవుతుంది పాయింట్ అంచనాలుపంపిణీ చట్టాలు మరియు వాటి పారామితులు. కొన్ని పరామితి Q యొక్క అంచనా (లేదా నమూనా గణాంకాలు) Q* అంటారు ఏకపక్ష ఫంక్షన్ Q*=Q*(x 1, x 2,..., x n) గమనించిన విలువలు x 1, x 2,..., x n, ఒక డిగ్రీ లేదా మరొక స్థాయికి ప్రతిబింబిస్తుంది నిజమైన విలువపరామితి Q.

మేము సంభావ్యత పంపిణీల లక్షణాల గురించి మాట్లాడినట్లయితే, సైద్ధాంతిక పంపిణీల లక్షణాలు (M x, s x 2, M o, M e) సాధారణ జనాభాలో ఉన్న లక్షణాలుగా పరిగణించబడతాయి మరియు వర్గీకరించబడతాయి. అనుభావిక పంపిణీ- వారి ఎంపిక లక్షణాలు (అంచనాలు). M x, s x 2, మొదలైనవి అంచనా వేయడానికి సంఖ్యా పారామితులను కొన్నిసార్లు గణాంకాలు అంటారు.

రేటు కోసం గణిత నిరీక్షణనమూనాలోని అనేక కొలతల యొక్క అంకగణిత సగటు (సగటు విలువ) ఉపయోగించబడుతుంది:

ఇక్కడ x i అనేది నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కోసం వివిక్త లేదా ప్రత్యేక బిందువు యొక్క అమలు; n - నమూనా పరిమాణం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వ్యాప్తిని వర్గీకరించడానికి, సైద్ధాంతిక వైవిధ్యం యొక్క అంచనా ఉపయోగించబడుతుంది - నమూనా వ్యత్యాసాలు (Fig. 2.4 చూడండి):

(3.2a)

(3.2b)

నాన్-నెగటివ్ విలువ వర్గమూలంనమూనా వైవిధ్యం నుండి నమూనా ప్రామాణిక విచలనం(నమూనా ప్రమాణం) విచలనం

కొలతతో కూడిన ఏదైనా సమస్యలో, s x 2 విలువను అంచనా వేయడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయని గమనించాలి.

మొదటి పద్ధతిని ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, పరికర రీడింగుల క్రమం తీసుకోబడుతుంది మరియు పొందిన ఫలితాలను కొలిచిన పరిమాణం యొక్క తెలిసిన లేదా క్రమాంకనం చేసిన విలువతో పోల్చడం ద్వారా, విచలనాల క్రమం కనుగొనబడుతుంది. ఫలితంగా వచ్చే విచలనాల క్రమం సగటును లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది చదరపు విచలనంసూత్రం ప్రకారం (3.3a).

s x 2 విలువను అంచనా వేయడానికి రెండవ మార్గం అంకగణిత సగటును నిర్ణయించడం. ఈ సందర్భంలో, కొలిచిన పరిమాణం యొక్క వాస్తవ (ఖచ్చితమైన) విలువ తెలియదు. ఈ సందర్భంలో, కనుగొనడానికి మరొక సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం మంచిది ప్రామాణిక విచలనం(3.2b, 3.3b). (n-1) ద్వారా విభజన జరుగుతుంది ఎందుకంటే ఉత్తమ అంచనా, X శ్రేణిని సరాసరి చేయడం ద్వారా పొందినది, భిన్నంగా ఉంటుంది ఖచ్చితమైన విలువమొత్తం జనాభా కంటే నమూనాను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే కొంత మొత్తంలో.

ఈ సందర్భంలో, స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం నిజమైన సగటును ఉపయోగించినప్పుడు కంటే కొంచెం తక్కువగా ఉంటుంది . nకి బదులుగా (n-1)తో భాగిస్తే ఈ లోపాన్ని పాక్షికంగా సరి చేస్తుంది. కొన్ని మాన్యువల్స్‌లో గణిత గణాంకాలునమూనా ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించేటప్పుడు ఎల్లప్పుడూ విభజించాలని సిఫార్సు చేయబడింది, అయితే కొన్నిసార్లు ఇది చేయకూడదు. స్వతంత్ర పద్ధతి ద్వారా నిజమైన విలువను పొందని సందర్భాలలో మాత్రమే విభజించడం అవసరం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాపేక్ష వైవిధ్యం యొక్క కొలత అయిన వైవిధ్యం n యొక్క గుణకం యొక్క నమూనా విలువ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

లేదా శాతంగా

(3.4b)

నమూనాలలో ఒకటి పెద్ద వికీర్ణాన్ని కలిగి ఉంది మరియు వైవిధ్యం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

అంచనాలు , S x 2 అనుగుణ్యత, నిష్పాక్షికత మరియు సమర్థత యొక్క అవసరాలకు లోబడి ఉంటాయి.

పరిశీలనల సంఖ్య n పెరుగుతున్నప్పుడు (అనగా, వాల్యూమ్ N యొక్క పరిమిత జనాభా విషయంలో n®N మరియు అనంతమైన జనాభా విషయంలో n®¥తో) Q* పరామితి యొక్క అంచనా స్థిరంగా ఉంటుందని చెప్పబడుతుంది. , ఇది పరామితి యొక్క అంచనా సైద్ధాంతిక విలువకు మొగ్గు చూపుతుంది

ఉదాహరణకు, వైవిధ్యం కోసం

(3.5)

Q* పరామితి యొక్క అంచనాను ఏదైనా n కోసం దాని గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ M(Q*) అసంకల్పితంగా నిజమైన విలువ M(Q*)=Qకి మొగ్గు చూపితే నిష్పాక్షికంగా పిలువబడుతుంది. నిష్పాక్షికత యొక్క ఆవశ్యకతను సంతృప్తి పరచడం అనేది పారామీటర్ అంచనాలో క్రమబద్ధమైన లోపాన్ని తొలగిస్తుంది, ఇది నమూనా పరిమాణం nపై ఆధారపడి ఉంటుంది మరియు స్థిరంగా ఉంటే, n®¥ వద్ద సున్నాకి ఉంటుంది. పైన, వ్యత్యాసానికి రెండు అంచనాలు నిర్వచించబడ్డాయి మరియు . ఎప్పుడు తెలియని విలువగణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ (కొలిచిన పరిమాణం యొక్క నిజమైన విలువ), రెండు అంచనాలు స్థిరంగా ఉంటాయి, అయితే ముందుగా చూపిన విధంగా రెండవది (3.2b), (3.3b) మాత్రమే నిష్పాక్షికంగా ఉంటుంది. నిష్పాక్షికత యొక్క ఆవశ్యకత చాలా తక్కువ సంఖ్యలో పరిశీలనలతో చాలా ముఖ్యమైనది, అప్పటి నుండి n®¥ ® .

అదే పరామితి Q 2 *, Q 3 * యొక్క ఇతర అంచనాలతోపాటు, ఇది అతి చిన్న వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటే Q 1 * పరామితి యొక్క అంచనా ప్రభావవంతంగా పిలువబడుతుంది.

(3.6)

ఎక్కడ Q i * అనేది ఏదైనా ఇతర అంచనా.

కాబట్టి, సాధారణ జనాభా నుండి నమూనా x 1, x 2,..., x n ఉంటే, సగటు గణిత అంచనాను రెండు విధాలుగా అంచనా వేయవచ్చు:

(3.7)

ఇక్కడ x max (n), x min (n) – వరుసగా గరిష్టం మరియు కనీస విలువనమూనా n నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్.

రెండు అంచనాలు స్థిరత్వం మరియు నిష్పాక్షికత యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉన్నాయి, అయినప్పటికీ, మొదటి అంచనా పద్ధతిలో వ్యత్యాసం S x 2 / nకి సమానం మరియు రెండవది, p 2 S x 2 /, అనగా. గణనీయంగా ఎక్కువ. అందువలన, గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేసే మొదటి పద్ధతి స్థిరంగా, నిష్పాక్షికంగా మరియు ప్రభావవంతంగా ఉంటుంది మరియు రెండవది స్థిరంగా మరియు నిష్పాక్షికంగా ఉంటుంది. నిష్పాక్షికమైన మరియు స్థిరమైన అంచనాలన్నింటిలో, అంచనా వేసిన పరామితికి దగ్గరగా ఉండేదానికి ప్రాధాన్యత ఇవ్వాలి.

పైన పేర్కొన్నవన్నీ సమాన-ఖచ్చితమైన కొలతలకు వర్తిస్తాయని గమనించండి, అనగా. యాదృచ్ఛిక లోపాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉన్న కొలతలకు సాధారణ చట్టంపంపిణీలు.

వైవిధ్యం సిరీస్. బహుభుజి మరియు హిస్టోగ్రాం.

పంపిణీ పరిధి- ఒక నిర్దిష్ట విభిన్న లక్షణం ప్రకారం సమూహాలుగా అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యొక్క యూనిట్ల ఆర్డర్ పంపిణీని సూచిస్తుంది.

పంపిణీ శ్రేణి ఏర్పడటానికి అంతర్లీనంగా ఉన్న లక్షణాన్ని బట్టి, అవి ప్రత్యేకించబడ్డాయి గుణాత్మక మరియు వైవిధ్యమైనపంపిణీ వరుసలు:

§ పంపిణీ శ్రేణి విలువల ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో నిర్మించబడింది పరిమాణాత్మక లక్షణంఅంటారు వైవిధ్యమైన.

పంపిణీ యొక్క వైవిధ్య శ్రేణి రెండు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది:

మొదటి నిలువు వరుస కలిగి ఉంది పరిమాణాత్మక విలువలువేరియబుల్ లక్షణం, వీటిని పిలుస్తారు ఎంపికలుమరియు నియమించబడినవి. వివిక్త ఎంపిక - పూర్ణాంకం వలె వ్యక్తీకరించబడింది. విరామం ఎంపిక నుండి మరియు వరకు ఉంటుంది. రకాన్ని బట్టి, ఎంపికలు వివిక్త లేదా విరామం నిర్మించబడతాయి వైవిధ్యం సిరీస్.
రెండవ నిలువు వరుస కలిగి ఉంది నిర్దిష్ట ఎంపికల సంఖ్య, ఫ్రీక్వెన్సీలు లేదా ఫ్రీక్వెన్సీల పరంగా వ్యక్తీకరించబడింది:

ఫ్రీక్వెన్సీలు- ఇది సంపూర్ణ సంఖ్యలు, సంచితంగా సంభవించే సంఖ్యను చూపుతుంది ఇచ్చిన విలువసూచించే సంకేతాలు. అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తం తప్పనిసరిగా మొత్తం జనాభాలోని యూనిట్ల సంఖ్యకు సమానంగా ఉండాలి.

ఫ్రీక్వెన్సీలు() అనేది మొత్తంలో ఒక శాతంగా వ్యక్తీకరించబడిన పౌనఃపున్యాలు. శాతాలుగా వ్యక్తీకరించబడిన అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తం తప్పనిసరిగా ఒకటి యొక్క భిన్నాలలో 100%కి సమానంగా ఉండాలి.

గ్రాఫిక్ చిత్రంపంపిణీ శ్రేణి

డిస్ట్రిబ్యూషన్ సిరీస్ గ్రాఫికల్ ఇమేజ్‌లను ఉపయోగించి దృశ్యమానంగా ప్రదర్శించబడుతుంది.

పంపిణీ శ్రేణి ఇలా వర్ణించబడింది:

§ బహుభుజి

§ హిస్టోగ్రాంలు

§ సంచితం

బహుభుజి

బహుభుజిని నిర్మించేటప్పుడు, విభిన్న లక్షణాల విలువలు క్షితిజ సమాంతర అక్షం (అబ్సిస్సా అక్షం)పై మరియు నిలువు అక్షం(y-axis) - ఫ్రీక్వెన్సీలు లేదా ఫ్రీక్వెన్సీలు.

1. అంజీర్‌లోని బహుభుజి. 6.1 1994లో రష్యా జనాభా యొక్క సూక్ష్మ జనాభా గణన నుండి డేటా ఆధారంగా రూపొందించబడింది.

బార్ చార్ట్

హిస్టోగ్రాంను నిర్మించడానికి, విరామాల సరిహద్దుల విలువలు అబ్సిస్సా అక్షం వెంట సూచించబడతాయి మరియు వాటి ఆధారంగా దీర్ఘచతురస్రాలు నిర్మించబడతాయి, దీని ఎత్తు పౌనఃపున్యాలకు (లేదా పౌనఃపున్యాలకు) అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

అంజీర్లో. 6.2 ద్వారా 1997 లో రష్యా జనాభా పంపిణీ యొక్క హిస్టోగ్రాం చూపిస్తుంది వయస్సు సమూహాలు.

చిత్రం 1. వయస్సు సమూహాల ద్వారా రష్యన్ జనాభా పంపిణీ

అనుభావిక పనితీరుపంపిణీలు, లక్షణాలు.

అది తెలియచేయండి గణాంక పంపిణీపరిమాణాత్మక లక్షణం X యొక్క పౌనఃపున్యాలు. x కంటే తక్కువ మరియు n ద్వారా లక్షణం యొక్క విలువను గమనించిన పరిశీలనల సంఖ్యతో సూచిస్తాము. మొత్తం సంఖ్యపరిశీలనలు. సహజంగానే, ఈవెంట్ X యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ

అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ (నమూనా పంపిణీ ఫంక్షన్) అనేది ప్రతి విలువకు x ఈవెంట్ X యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీని నిర్ణయించే ఒక ఫంక్షన్.

నమూనా యొక్క అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్‌కు విరుద్ధంగా, జనాభా పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్ అంటారు. ఈ ఫంక్షన్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, సైద్ధాంతిక ఫంక్షన్ ఈవెంట్ X యొక్క సంభావ్యతను నిర్ణయిస్తుంది

n పెరుగుతున్న కొద్దీ, ఈవెంట్ X యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ

ప్రాథమిక లక్షణాలు

ఒక ప్రాథమిక ఫలితం స్థిరంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు ఈ క్రింది సంభావ్యత ఫంక్షన్ ద్వారా ఇవ్వబడిన వివిక్త పంపిణీ యొక్క పంపిణీ ఫంక్షన్:

ఎక్కడ మరియు -కి సమానమైన నమూనా మూలకాల సంఖ్య. ప్రత్యేకించి, నమూనా యొక్క అన్ని అంశాలు భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు .

ఈ పంపిణీ యొక్క గణిత అంచనా:

.

అందువలన, నమూనా సగటు అనేది నమూనా పంపిణీ యొక్క సైద్ధాంతిక సగటు.

అదేవిధంగా, నమూనా వైవిధ్యం అనేది నమూనా పంపిణీ యొక్క సైద్ధాంతిక వైవిధ్యం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ద్విపద పంపిణీని కలిగి ఉంది:

నమూనా పంపిణీ ఫంక్షన్ అనేది పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనా:

.

నమూనా పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క వైవిధ్యం రూపం కలిగి ఉంది:

.

పెద్ద సంఖ్యల యొక్క బలమైన చట్టం ప్రకారం, నమూనా పంపిణీ ఫంక్షన్ దాదాపు ఖచ్చితంగా సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్‌కు కలుస్తుంది:

దాదాపు ఖచ్చితంగా వద్ద.

నమూనా పంపిణీ ఫంక్షన్ అనేది సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణం లేని సాధారణ అంచనా. ఉంటే, అప్పుడు

వద్ద పంపిణీ ప్రకారం.

అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్

ED ప్రాసెసింగ్ పద్ధతులు సంభావ్యత సిద్ధాంతం మరియు గణిత గణాంకాల ప్రాథమిక భావనలపై ఆధారపడి ఉంటాయి. వీటిలో సాధారణ జనాభా, నమూనా, అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క భావనలు ఉన్నాయి.

కింద సామాన్య జనాభాఒక వస్తువు యొక్క అపరిమిత సమయ పరిశీలన సమయంలో రికార్డ్ చేయగల అన్ని పారామీటర్ విలువలను అర్థం చేసుకోండి.అటువంటి సమితిలో అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి. ఒక వస్తువును పరిశీలించిన ఫలితంగా, పరిమిత-వాల్యూమ్ పారామితి విలువల సెట్ ఏర్పడుతుంది x 1 , x 2 , …, xn. అధికారిక దృక్కోణం నుండి, అటువంటి డేటా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది నమూనా సాధారణ జనాభా నుండి.

సిస్టమ్ ఈవెంట్‌లకు ముందు నమూనా పూర్తి అభివృద్ధిని కలిగి ఉందని మేము ఊహిస్తాము (సెన్సరింగ్ లేదు). గమనించిన విలువలు x i అని పిలిచారు ఎంపికలు , మరియు వారి సంఖ్య నమూనా పరిమాణం n. పరిశీలన ఫలితాల నుండి ఏవైనా ముగింపులు రావాలంటే, నమూనా తప్పనిసరిగా ఉండాలి ప్రతినిధి(ప్రతినిధి), అనగా సాధారణ జనాభా నిష్పత్తిని సరిగ్గా సూచిస్తుంది. నమూనా పరిమాణం తగినంత పెద్దదిగా ఉంటే మరియు జనాభాలోని ప్రతి మూలకం నమూనాలో చేర్చబడే ఒకే విధమైన సంభావ్యతను కలిగి ఉంటే ఈ అవసరం నెరవేరుతుంది.

ఫలిత నమూనా విలువను కలిగి ఉండనివ్వండి x 1 పరామితి గమనించబడింది n 1 సమయం, విలువ x 2 – n 2 సార్లు, అర్థం xకె – nకె ఒకసారి, n 1 +n 2 + … +nకె=n.

ఆరోహణ క్రమంలో వ్రాయబడిన విలువల సమితిని అంటారు వైవిధ్యం సిరీస్, పరిమాణంలో n i - ఫ్రీక్వెన్సీలు, మరియు నమూనా పరిమాణంతో వాటి సంబంధం ni=n i /n – సాపేక్ష పౌనఃపున్యాలు(ఫ్రీక్వెన్సీలు). సహజంగానే, సాపేక్ష పౌనఃపున్యాల మొత్తం ఏకత్వానికి సమానం.

పంపిణీ అనేది గమనించిన వైవిధ్యాలు మరియు వాటి పౌనఃపున్యాలు లేదా పౌనఃపున్యాల మధ్య అనురూపాన్ని సూచిస్తుంది. వీలు nx - పరామితి యొక్క యాదృచ్ఛిక విలువలు ఉన్న పరిశీలనల సంఖ్య Xతక్కువ xఈవెంట్ ఫ్రీక్వెన్సీ X సమానంగా nx/n. ఈ నిష్పత్తి ఒక ఫంక్షన్ xమరియు నమూనా పరిమాణంపై: ఎఫ్ n(x)= ఎన్x/n. పరిమాణం ఎఫ్n(x) ఫంక్షన్ యొక్క అన్ని లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

పంపిణీలు: ఎఫ్n(x) తగ్గని ఫంక్షన్, దాని విలువలు విభాగానికి చెందినవి;

ఉంటే x 1 అనేది పరామితి యొక్క అతి చిన్న విలువ, మరియు xకె - గొప్పది, అప్పుడు ఎఫ్n(x)= 0, ఎప్పుడు x<x 1 , మరియు ఎఫ్పి(xకె)= 1 ఎప్పుడు x>=xకె.

ఫంక్షన్ ఎఫ్n(x) ED ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అందుకే దీనిని పిలుస్తారు అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్. అనుభావిక పనితీరు వలె కాకుండా ఎఫ్n(x) పంపిణీ ఫంక్షన్ ఎఫ్ (x) జనాభా యొక్క సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్ అంటారు,ఇది ఫ్రీక్వెన్సీని కాదు, ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతను వర్ణిస్తుంది X<x. బెర్నౌలీ సిద్ధాంతం నుండి ఇది ఫ్రీక్వెన్సీని అనుసరిస్తుంది ఎఫ్n(x) సంభావ్యతకు సంభావ్యతలో ఉంటుంది ఎఫ్(x) అపరిమిత మాగ్నిఫికేషన్‌తో n. పర్యవసానంగా, పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలతో, సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్ ఎఫ్(x) అనుభావిక ఫంక్షన్ ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు ఎఫ్n(x).

అనుభావిక పనితీరు యొక్క గ్రాఫ్ ఎఫ్n(x) విరిగిన లైన్. వేరియేషన్ సిరీస్‌లోని ప్రక్కనే ఉన్న సభ్యుల మధ్య ఖాళీలలో ఎఫ్n(x) స్థిరంగా ఉంటుంది. యాక్సిస్ పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు x, నమూనా సభ్యులకు సమానం, ఎఫ్n(x) నిలిపివేతకు లోనవుతుంది, విలువ 1/తో ఆకస్మికంగా పెరుగుతుంది n, మరియు యాదృచ్చికం ఉంటే ఎల్పరిశీలనలు - ఆన్ ఎల్/n.

ఉదాహరణ 2.1. పరిశీలన ఫలితాలు, పట్టిక ఆధారంగా అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క వైవిధ్య శ్రేణి మరియు గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి. 2.1

పట్టిక 2.1

కావలసిన అనుభావిక ఫంక్షన్, Fig. 2.1:

అన్నం. 2.1 అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్

పెద్ద నమూనా పరిమాణంతో ("పెద్ద వాల్యూమ్" అనే భావన లక్ష్యాలు మరియు ప్రాసెసింగ్ పద్ధతులపై ఆధారపడి ఉంటుంది, ఈ సందర్భంలో మేము పరిశీలిస్తాము పిపెద్దది అయితే n>40) సమాచారాన్ని ప్రాసెస్ చేయడం మరియు నిల్వ చేయడం సౌలభ్యం కోసం EDలను విరామాలలో సమూహపరచడాన్ని ఆశ్రయించండి.విరామాల సంఖ్యను ఎంచుకోవాలి, తద్వారా మొత్తంలో వివిధ రకాల పారామితి విలువలు అవసరమైన మేరకు ప్రతిబింబిస్తాయి మరియు అదే సమయంలో వ్యక్తిగత వర్గాలలో యాదృచ్ఛిక ఫ్రీక్వెన్సీ హెచ్చుతగ్గుల ద్వారా పంపిణీ నమూనా వక్రీకరించబడదు. ఎంచుకోవడానికి వదులుగా మార్గదర్శకాలు ఉన్నాయి పరిమాణం yమరియు పరిమాణం h అటువంటి విరామాలు, ముఖ్యంగా:

ప్రతి విరామం తప్పనిసరిగా కనీసం 5-7 మూలకాలను కలిగి ఉండాలి. తీవ్రమైన ర్యాంక్‌లలో, రెండు అంశాలు మాత్రమే అనుమతించబడతాయి;

విరామాల సంఖ్య చాలా పెద్దదిగా లేదా చాలా తక్కువగా ఉండకూడదు. కనిష్ట y విలువ తప్పనిసరిగా కనీసం 6 - 7 ఉండాలి.అనేక వందల మూలకాలను మించని నమూనా పరిమాణంతో, విలువ y 10 నుండి 20 పరిధిలో సెట్ చేయబడింది.చాలా పెద్ద నమూనా పరిమాణం కోసం ( n>1000) విరామాల సంఖ్య పేర్కొన్న విలువలను మించి ఉండవచ్చు. కొంతమంది పరిశోధకులు నిష్పత్తిని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేస్తున్నారు y=1.441*ln( n)+1;

విరామాల పొడవులో సాపేక్షంగా చిన్న అసమానతతో, అదే మరియు సమానమైన విలువను ఎంచుకోవడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది

h= (xగరిష్టంగా - xనిమి)/y,

ఎక్కడ xగరిష్టంగా - గరిష్టంగా మరియు x min - పరామితి యొక్క కనీస విలువ. పంపిణీ చట్టం గణనీయంగా అసమానంగా ఉంటే, పంపిణీ సాంద్రతలో వేగవంతమైన మార్పుల ప్రాంతంలో విరామాల పొడవు చిన్న పరిమాణానికి సెట్ చేయబడుతుంది;

గణనీయమైన అసమానత ఉంటే, ప్రతి వర్గానికి దాదాపు ఒకే సంఖ్యలో నమూనా మూలకాలను కేటాయించడం మంచిది. అప్పుడు నిర్దిష్ట విరామం యొక్క పొడవు ఈ విరామంలో సమూహం చేయబడిన నమూనా మూలకాల యొక్క తీవ్ర విలువల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది, అనగా. వేర్వేరు విరామాలకు భిన్నంగా ఉంటుంది (ఈ సందర్భంలో, హిస్టోగ్రాంను నిర్మిస్తున్నప్పుడు, విరామం యొక్క పొడవు ద్వారా సాధారణీకరణ అవసరం - లేకపోతే హిస్టోగ్రాం యొక్క ప్రతి మూలకం యొక్క ఎత్తు ఒకే విధంగా ఉంటుంది).

విరామాల ద్వారా పరిశీలన ఫలితాలను సమూహపరచడం వీటిని అందిస్తుంది: పరామితిలో మార్పుల పరిధిని నిర్ణయించడం X; విరామాల సంఖ్య మరియు వాటి పరిమాణాన్ని ఎంచుకోవడం; ప్రతి ఒక్కరికీ లెక్కింపు నేను-వ విరామం [ xi–xi+1 ] ఫ్రీక్వెన్సీలు ni లేదా సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ (ఫ్రీక్వెన్సీ n i) ఎంపికలు విరామంలోకి వస్తాయి. ఫలితంగా, ED యొక్క ప్రాతినిధ్యం రూపంలో ఏర్పడుతుంది విరామం లేదా గణాంక శ్రేణి.

గ్రాఫికల్‌గా, హిస్టోగ్రాం, బహుభుజి మరియు స్టెప్డ్ లైన్ రూపంలో గణాంక శ్రేణి ప్రదర్శించబడుతుంది. తరచుగా హిస్టోగ్రాందీర్ఘచతురస్రాలతో కూడిన బొమ్మగా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది, వీటిలో స్థావరాలు పొడవు యొక్క విరామాలు h, మరియు ఎత్తులు సంబంధిత ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానంగా ఉంటాయి.అయితే, ఈ విధానం సరికాదు. ఎత్తు నేను-వ దీర్ఘచతురస్రం z iసమానంగా ఎంపిక చేయాలి ni/ (nh) ఇటువంటి హిస్టోగ్రాం అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు fn(x), దీనిలో అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల మొత్తం వైశాల్యం ఒకటిగా ఉంటుంది. హిస్టోగ్రాం EDని అంచనా వేయడానికి సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్ రకాన్ని ఎంచుకోవడానికి సహాయపడుతుంది.

బహుభుజివిరిగిన రేఖ అని పిలుస్తారు, వీటిలోని విభాగాలు విరామాల మధ్య బిందువులకు సమానమైన అబ్సిస్సా అక్షంతో పాటు మరియు సంబంధిత పౌనఃపున్యాలకు సమానమైన ఆర్డినేట్ అక్షం వెంట కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్లను కలుపుతాయి. అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ స్టెప్డ్ బ్రోకెన్ లైన్‌గా ప్రదర్శించబడుతుంది: ప్రస్తుత విరామంలో సేకరించబడిన ఫ్రీక్వెన్సీకి అనులోమానుపాతంలో ఎత్తులో ప్రతి విరామంపై క్షితిజ సమాంతర రేఖ విభాగం డ్రా అవుతుంది. సంచిత పౌనఃపున్యం అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తానికి సమానం, మొదటి నుండి మొదలై ఈ విరామం వరకు ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 2.2. సిగ్నల్ అటెన్యుయేషన్ విలువలను రికార్డ్ చేయడం వల్ల ఫలితాలు ఉన్నాయి xi టెలిఫోన్ నెట్వర్క్ యొక్క స్విచ్డ్ ఛానెల్ యొక్క 1000 Hz ఫ్రీక్వెన్సీ వద్ద. ఈ విలువలు, dBలో కొలుస్తారు, పట్టికలో వైవిధ్య శ్రేణి రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి. 2.3 గణాంక శ్రేణిని నిర్మించడం అవసరం.

పట్టిక 2.3

i
xi	25,79	25,98	25,98	26,12	26,13	26,49	26,52	26,60	26,66	26,69	26,74
i
xi	26,85	26,90	26,91	26,96	27,02	27,11	27,19	27,21	27,28	27,30	27,38
i
xi	27,40	27,49	27,64	27,66	27,71	27,78	27,89	27,89	28,01	28,10	28,11
i
xi	28,37	28,38	28,50	28,63	28,67	28,90	28,99	28,99	29,03	29,12	29,28

పరిష్కారం. గణాంక శ్రేణిలోని అంకెలు ప్రతిదానిలో తగిన సంఖ్యలో హిట్‌లను నిర్ధారించడానికి వీలైనంత తక్కువగా ఎంచుకోవాలి; y = 6 తీసుకుందాం. అంకె పరిమాణాన్ని నిర్ధారిద్దాం

h =(xగరిష్టంగా - xనిమి)/y =(29.28 – 25.79)/6 = 0.58.

వర్గం, పట్టికల వారీగా పరిశీలనలను సమూహం చేద్దాం. 2.4

పట్టిక 2.4

i
xi	25,79	26,37	26,95	27,5 3	28,12	28,70
ni
n i=ni/n	0,114	0,205	0,227	0,205	0,11 4	0,136
z నేను =NIH	0,196	0,353	0,392	0,353	0,196	0,235

గణాంక శ్రేణి ఆధారంగా, మేము హిస్టోగ్రాంను నిర్మిస్తాము, Fig. 2.2, మరియు అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, Fig. 2.3

అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, Fig. 2.3 అంజీర్‌లో చూపిన గ్రాఫ్‌కు భిన్నంగా ఉంటుంది. 2.1 ఎంపికల మార్పు దశ యొక్క సమానత్వం మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ దశ పరిమాణం (వైవిధ్య శ్రేణిని ఉపయోగించి నిర్మించినప్పుడు, ఇంక్రిమెంట్ దశ బహుళంగా ఉంటుంది

1/ n, మరియు గణాంక శ్రేణి ప్రకారం - ఒక నిర్దిష్ట వర్గంలో ఫ్రీక్వెన్సీపై ఆధారపడి ఉంటుంది).

పరిగణించబడిన ED ప్రాతినిధ్యాలు వివిధ పారామితుల యొక్క తదుపరి ప్రాసెసింగ్ మరియు గణన కోసం ప్రారంభమైనవి.

లెక్చర్ 13. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణాంక అంచనాల భావన

పరిమాణాత్మక లక్షణం X యొక్క గణాంక పౌనఃపున్యం పంపిణీని తెలుసుకుందాం. లక్షణం యొక్క విలువ x కంటే తక్కువగా ఉన్నట్లు గమనించిన పరిశీలనల సంఖ్యతో మరియు మొత్తం పరిశీలనల సంఖ్యను n ద్వారా సూచిస్తాము. సహజంగానే, ఈవెంట్ X యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ< x равна и является функцией x. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్(నమూనా పంపిణీ ఫంక్షన్) అనేది ప్రతి విలువకు x ఈవెంట్ X యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీని నిర్ణయించే ఒక ఫంక్షన్< x. Таким образом, по определению ,где - число вариант, меньших x, n – объем выборки.

నమూనా యొక్క అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్‌కు విరుద్ధంగా, జనాభా పంపిణీ ఫంక్షన్ అంటారు సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఫంక్షన్.ఈ ఫంక్షన్ల మధ్య వ్యత్యాసం సైద్ధాంతిక ఫంక్షన్ నిర్ణయిస్తుంది సంభావ్యతఈవెంట్స్ X< x, тогда как эмпирическая – సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీఅదే సంఘటన.

n పెరుగుతున్న కొద్దీ, ఈవెంట్ X యొక్క సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ< x, т.е. стремится по вероятности к вероятности этого события. Иными словами

అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ యొక్క లక్షణాలు:

1) అనుభావిక పనితీరు యొక్క విలువలు విభాగానికి చెందినవి

2) - తగ్గని ఫంక్షన్

3) చిన్న ఎంపిక అయితే, = 0 కోసం , అతిపెద్ద ఎంపిక అయితే, అప్పుడు = 1 కోసం .

నమూనా యొక్క అనుభావిక పంపిణీ ఫంక్షన్ జనాభా యొక్క సైద్ధాంతిక పంపిణీ పనితీరును అంచనా వేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

ఉదాహరణ. నమూనా పంపిణీ ఆధారంగా అనుభావిక పనితీరును రూపొందిద్దాం:

ఎంపికలు
ఫ్రీక్వెన్సీలు

నమూనా పరిమాణాన్ని కనుగొనండి: 12+18+30=60. అతి చిన్న ఎంపిక 2, కాబట్టి x £ 2కి =0. x విలువ<6, т.е. , наблюдалось 12 раз, следовательно, =12/60=0,2 при 2< x £6. Аналогично, значения X < 10, т.е. и наблюдались 12+18=30 раз, поэтому =30/60 =0,5 при 6< x £10. Так как x=10 – наибольшая варианта, то =1 при x>10. ఈ విధంగా, కావలసిన అనుభావిక ఫంక్షన్ రూపం కలిగి ఉంటుంది:

గణాంక అంచనాల యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలు

సాధారణ జనాభా యొక్క కొన్ని పరిమాణాత్మక లక్షణాలను అధ్యయనం చేయడం అవసరం. సైద్ధాంతిక పరిశీలనల నుండి దానిని స్థాపించడం సాధ్యమైందని అనుకుందాం ఏది ఖచ్చితంగాపంపిణీకి ఒక సంకేతం ఉంది మరియు అది నిర్ణయించబడిన పారామితులను అంచనా వేయడం అవసరం. ఉదాహరణకు, అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం జనాభాలో సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడితే, గణిత అంచనా మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని అంచనా వేయడం అవసరం; లక్షణం పాయిజన్ పంపిణీని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు పరామితి l ను అంచనా వేయడం అవసరం.

సాధారణంగా, నమూనా డేటా మాత్రమే అందుబాటులో ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, n స్వతంత్ర పరిశీలనల ఫలితంగా పొందిన పరిమాణాత్మక లక్షణం యొక్క విలువలు. స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌గా పరిగణించబడుతుంది అని మనం చెప్పగలం సైద్ధాంతిక పంపిణీ యొక్క తెలియని పరామితి యొక్క గణాంక అంచనాను కనుగొనడం అంటే అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క ఉజ్జాయింపు విలువను అందించే గమనించిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడం. ఉదాహరణకు, సాధారణ పంపిణీ యొక్క గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేయడానికి, ఫంక్షన్ యొక్క పాత్ర అంకగణిత సగటు ద్వారా ఆడబడుతుంది.

గణాంక అంచనాలు అంచనా వేసిన పారామితుల యొక్క సరైన ఉజ్జాయింపులను అందించడానికి, అవి తప్పనిసరిగా కొన్ని అవసరాలను తీర్చాలి, వాటిలో ముఖ్యమైనవి అవసరాలు స్థానభ్రంశం చెందని మరియు సాల్వెన్సీ అంచనాలు.

సైద్ధాంతిక పంపిణీ యొక్క తెలియని పరామితి యొక్క గణాంక అంచనాగా ఉండనివ్వండి. n పరిమాణం యొక్క నమూనా నుండి అంచనాను కనుగొననివ్వండి. ప్రయోగాన్ని పునరావృతం చేద్దాం, అనగా. సాధారణ జనాభా నుండి అదే పరిమాణంలోని మరొక నమూనాను సంగ్రహిద్దాం మరియు దాని డేటా ఆధారంగా, వేరొక అంచనాను పొందండి. ప్రయోగాన్ని చాలాసార్లు పునరావృతం చేస్తే, మేము వేర్వేరు సంఖ్యలను పొందుతాము. స్కోర్‌ను యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌గా మరియు సంఖ్యలను దాని సాధ్యమైన విలువలుగా భావించవచ్చు.

అంచనా సుమారుగా విలువను ఇస్తే సమృద్ధిగా, అనగా ప్రతి సంఖ్య నిజమైన విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు పర్యవసానంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా (సగటు విలువ) కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది:. అదేవిధంగా, అది ఒక అంచనాను ఇస్తే ఒక ప్రతికూలతతో, ఆ .

అందువల్ల, గణాంక అంచనాను ఉపయోగించడం, దాని యొక్క గణిత శాస్త్ర అంచనా అంచనా వేసిన పరామితికి సమానంగా ఉండదు, ఇది క్రమబద్ధమైన (అదే సంకేతం యొక్క) లోపాలకు దారి తీస్తుంది. ఒకవేళ, దీనికి విరుద్ధంగా, ఇది క్రమబద్ధమైన లోపాలకు వ్యతిరేకంగా హామీ ఇస్తుంది.

నిష్పక్షపాతం గణాంక అంచనా అని పిలుస్తారు, దీని యొక్క గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఏదైనా నమూనా పరిమాణానికి అంచనా వేసిన పరామితికి సమానం.

స్థానభ్రంశం చెందిందిఈ పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచని అంచనా అని పిలుస్తారు.

అంచనా యొక్క నిష్పాక్షికత అంచనా వేసిన పరామితికి మంచి ఉజ్జాయింపుకు ఇంకా హామీ ఇవ్వలేదు, ఎందుకంటే సాధ్యమయ్యే విలువలు కావచ్చు చాలా చెల్లాచెదురుగా దాని సగటు విలువ చుట్టూ, అనగా. వ్యత్యాసం ముఖ్యమైనది కావచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ఒక నమూనా యొక్క డేటా నుండి కనుగొనబడిన అంచనా, ఉదాహరణకు, సగటు విలువ నుండి మరియు అందువల్ల అంచనా వేయబడిన పరామితి నుండి గణనీయంగా దూరంగా ఉండవచ్చు.

ప్రభావవంతమైన ఇవ్వబడిన నమూనా పరిమాణం n కోసం కలిగి ఉన్న గణాంక అంచనా సాధ్యమయ్యే అతి చిన్న వ్యత్యాసం .

పెద్ద నమూనాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, గణాంక అంచనాలు అవసరం సాల్వెన్సీ .

సంపన్నుడు గణాంక అంచనా అని పిలుస్తారు, ఇది n®¥ అంచనా వేసిన పరామితికి సంభావ్యతను కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, నిష్పాక్షిక అంచనా యొక్క వ్యత్యాసం n®¥గా సున్నాకి మారినట్లయితే, అటువంటి అంచనా స్థిరంగా ఉంటుంది.