వైవిధ్య శ్రేణిలో లక్షణం యొక్క విలువ. వైవిధ్య మరియు గణాంక పంపిణీ సిరీస్

ఈ అధ్యాయం మాస్టరింగ్ ఫలితంగా, విద్యార్థి తప్పనిసరిగా: తెలుసు

• వైవిధ్యం మరియు వారి సంబంధం యొక్క సూచికలు;
• లక్షణాల పంపిణీ యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలు;
• సమ్మతి ప్రమాణాల సారాంశం; చేయగలరు
• వైవిధ్యం మరియు మంచి-సరిపోయే ప్రమాణాల సూచికలను లెక్కించండి;
• పంపిణీ లక్షణాలను నిర్ణయించడం;
• గణాంక పంపిణీ శ్రేణి యొక్క ప్రాథమిక సంఖ్యా లక్షణాలను మూల్యాంకనం చేయండి;

స్వంతం

• పంపిణీ శ్రేణి యొక్క గణాంక విశ్లేషణ యొక్క పద్ధతులు;
• వ్యత్యాసం యొక్క విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు;
• పంపిణీ యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలకు అనుగుణంగా గణాంక పంపిణీ శ్రేణిని తనిఖీ చేయడానికి సాంకేతికతలు.

వైవిధ్య సూచికలు

వివిధ గణాంక జనాభా యొక్క లక్షణాల గణాంక అధ్యయనంలో, జనాభా యొక్క వ్యక్తిగత గణాంక యూనిట్ల లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని, అలాగే ఈ లక్షణం ప్రకారం యూనిట్ల పంపిణీ యొక్క స్వభావాన్ని అధ్యయనం చేయడం చాలా ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది. వైవిధ్యం -ఇవి అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువలలో తేడాలు. వైవిధ్యం యొక్క అధ్యయనం గొప్ప ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉంది. వైవిధ్యం యొక్క డిగ్రీ ద్వారా, ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పరిమితులు, ఇచ్చిన లక్షణం కోసం జనాభా యొక్క సజాతీయత, సగటు యొక్క విలక్షణత మరియు వైవిధ్యాన్ని నిర్ణయించే కారకాల సంబంధాన్ని నిర్ధారించవచ్చు. గణాంక జనాభాను వర్గీకరించడానికి మరియు నిర్వహించడానికి వైవిధ్య సూచికలు ఉపయోగించబడతాయి.

గణాంక పంపిణీ శ్రేణి రూపంలో సమర్పించబడిన గణాంక పరిశీలన సామగ్రి యొక్క సారాంశం మరియు సమూహ ఫలితాలు, గ్రూపింగ్ (వైవిధ్యమైన) ప్రమాణాల ప్రకారం అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభా యొక్క యూనిట్ల క్రమబద్ధమైన పంపిణీని సూచిస్తాయి. సమూహానికి ప్రాతిపదికగా గుణాత్మక లక్షణాన్ని తీసుకుంటే, అటువంటి పంపిణీ శ్రేణిని పిలుస్తారు గుణాత్మకమైన(వృత్తి, లింగం, రంగు మొదలైన వాటి ద్వారా పంపిణీ). పంపిణీ శ్రేణిని పరిమాణాత్మక ప్రాతిపదికన నిర్మించినట్లయితే, అటువంటి శ్రేణిని పిలుస్తారు వైవిధ్యమైన(ఎత్తు, బరువు, జీతం మొదలైన వాటి ద్వారా పంపిణీ). వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మించడం అంటే లక్షణ విలువల ద్వారా జనాభా యూనిట్ల పరిమాణాత్మక పంపిణీని నిర్వహించడం, ఈ విలువలతో (ఫ్రీక్వెన్సీ) జనాభా యూనిట్ల సంఖ్యను లెక్కించడం మరియు ఫలితాలను పట్టికలో అమర్చడం.

వేరియంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీకి బదులుగా, దాని నిష్పత్తిని మొత్తం పరిశీలనల వాల్యూమ్‌కు ఉపయోగించడం సాధ్యమవుతుంది, దీనిని ఫ్రీక్వెన్సీ (సాపేక్ష ఫ్రీక్వెన్సీ) అని పిలుస్తారు.

వైవిధ్య శ్రేణిలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి: వివిక్త మరియు విరామం. వివిక్త సిరీస్- ఇది వైవిధ్య శ్రేణి, దీని నిర్మాణం నిరంతర మార్పుతో (వివిక్త లక్షణాలు) లక్షణాలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. రెండోది ఎంటర్‌ప్రైజ్‌లోని ఉద్యోగుల సంఖ్య, టారిఫ్ వర్గం, కుటుంబంలోని పిల్లల సంఖ్య మొదలైనవి. వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణి రెండు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉన్న పట్టికను సూచిస్తుంది. మొదటి నిలువు వరుస లక్షణం యొక్క నిర్దిష్ట విలువను సూచిస్తుంది మరియు రెండవ నిలువు వరుస లక్షణం యొక్క నిర్దిష్ట విలువతో జనాభాలోని యూనిట్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఒక లక్షణం నిరంతర మార్పును కలిగి ఉంటే (ఆదాయం మొత్తం, సేవ యొక్క పొడవు, సంస్థ యొక్క స్థిర ఆస్తుల ఖర్చు మొదలైనవి, నిర్దిష్ట పరిమితుల్లో ఏదైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు), అప్పుడు ఈ లక్షణం కోసం నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది. విరామం వైవిధ్యం సిరీస్.విరామ వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మిస్తున్నప్పుడు, పట్టిక కూడా రెండు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉంటుంది. మొదటిది "నుండి - నుండి" (ఐచ్ఛికాలు) విరామంలో లక్షణం యొక్క విలువను సూచిస్తుంది, రెండవది విరామం (ఫ్రీక్వెన్సీ)లో చేర్చబడిన యూనిట్ల సంఖ్యను సూచిస్తుంది. ఫ్రీక్వెన్సీ (పునరావృత ఫ్రీక్వెన్సీ) - లక్షణ విలువల యొక్క నిర్దిష్ట రూపాంతరం యొక్క పునరావృతాల సంఖ్య. విరామాలు మూసివేయబడతాయి లేదా తెరవబడతాయి. క్లోజ్డ్ విరామాలు రెండు వైపులా పరిమితం చేయబడ్డాయి, అనగా. దిగువ ("నుండి") మరియు ఎగువ ("కు") సరిహద్దు రెండింటినీ కలిగి ఉంటాయి. ఓపెన్ విరామాలకు ఒక సరిహద్దు ఉంటుంది: ఎగువ లేదా దిగువ. ఎంపికలు ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటే, అప్పుడు అడ్డు వరుసలు అంటారు ర్యాంక్ పొందింది.

వైవిధ్య శ్రేణి కోసం, రెండు రకాల ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిస్పందన ఎంపికలు ఉన్నాయి: సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ. సేకరించబడిన ఫ్రీక్వెన్సీ లక్షణం యొక్క విలువ ఇచ్చిన విలువ కంటే తక్కువ విలువలను తీసుకున్న ఎన్ని పరిశీలనలను చూపుతుంది. సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ మునుపటి సమూహాల యొక్క అన్ని పౌనఃపున్యాలతో ఇచ్చిన సమూహం కోసం లక్షణం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ విలువలను సంగ్రహించడం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. సేకరించిన ఫ్రీక్వెన్సీ పరిశీలన యూనిట్ల నిష్పత్తిని వర్గీకరిస్తుంది, దీని లక్షణ విలువలు ఇచ్చిన సమూహం యొక్క ఎగువ పరిమితిని మించవు. అందువల్ల, సేకరించిన ఫ్రీక్వెన్సీ మొత్తంలో ఎంపికల నిష్పత్తిని చూపుతుంది, అది ఇచ్చిన దాని కంటే ఎక్కువ విలువను కలిగి ఉండదు. ఫ్రీక్వెన్సీ, ఫ్రీక్వెన్సీ, సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష సాంద్రతలు, సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు ఫ్రీక్వెన్సీ వేరియంట్ పరిమాణం యొక్క లక్షణాలు.

జనాభా యొక్క గణాంక యూనిట్ల లక్షణాలలో వ్యత్యాసాలు, అలాగే పంపిణీ యొక్క స్వభావం, వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క సూచికలు మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయబడతాయి, ఇందులో సిరీస్ యొక్క సగటు స్థాయి, సగటు సరళ విచలనం, ప్రామాణిక విచలనం, వ్యాప్తి ఉన్నాయి. , డోలనం, వైవిధ్యం, అసమానత, కుర్టోసిస్ మొదలైన గుణకాలు.

పంపిణీ కేంద్రాన్ని వర్గీకరించడానికి సగటు విలువలు ఉపయోగించబడతాయి. సగటు అనేది సాధారణీకరించే గణాంక లక్షణం, దీనిలో అధ్యయనం చేయబడుతున్న జనాభాలోని సభ్యులు కలిగి ఉన్న లక్షణం యొక్క సాధారణ స్థాయిని లెక్కించబడుతుంది. అయినప్పటికీ, వేర్వేరు పంపిణీ నమూనాలతో అంకగణిత మార్గాల యాదృచ్చిక సందర్భాలు ఉండవచ్చు, కాబట్టి, వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క గణాంక లక్షణాలుగా, నిర్మాణాత్మక సాధనాలు అని పిలవబడేవి లెక్కించబడతాయి - మోడ్, మధ్యస్థ, అలాగే పరిమాణాలు, పంపిణీ శ్రేణిని సమానంగా విభజిస్తాయి. భాగాలు (క్వార్టైల్స్, డెసిల్స్, పర్సంటైల్స్, మొదలైనవి).

ఫ్యాషన్ -ఇది ఇతర విలువల కంటే పంపిణీ శ్రేణిలో తరచుగా సంభవించే లక్షణం యొక్క విలువ. వివిక్త సిరీస్ కోసం, ఇది అత్యధిక పౌనఃపున్యం కలిగిన ఎంపిక. విరామ వైవిధ్య శ్రేణిలో, మోడ్‌ను నిర్ణయించడానికి, మోడల్ విరామం అని పిలవబడే విరామాన్ని ముందుగా నిర్ణయించడం అవసరం. సమాన విరామాలతో కూడిన వైవిధ్య శ్రేణిలో, మోడల్ విరామం అత్యధిక పౌనఃపున్యంతో, అసమాన విరామాలతో సిరీస్‌లో - కానీ అత్యధిక పంపిణీ సాంద్రతతో నిర్ణయించబడుతుంది. ఫార్ములా అప్పుడు సమాన వ్యవధిలో వరుసలలో మోడ్‌ను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది

మో అనేది ఫ్యాషన్ విలువ; xMo - మోడల్ విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి; h-మోడల్ విరామం వెడల్పు; / మో - మోడల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ; / Mo j అనేది ప్రీమోడల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ; / Mo+1 అనేది పోస్ట్-మోడల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ, మరియు ఈ గణన సూత్రంలో అసమాన విరామాలు కలిగిన శ్రేణి కోసం, ఫ్రీక్వెన్సీలకు బదులుగా / Mo, / Mo, / Mo, పంపిణీ సాంద్రతలను ఉపయోగించాలి. మనసు 0 _| , మనసు 0> UMO+"

ఒకే మోడ్ ఉన్నట్లయితే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీని యూనిమోడల్ అంటారు; ఒకటి కంటే ఎక్కువ మోడ్‌లు ఉంటే, దానిని మల్టీమోడల్ (పాలిమోడల్, మల్టీమోడల్) అని పిలుస్తారు, రెండు మోడ్‌ల విషయంలో - బిమోడల్. నియమం ప్రకారం, అధ్యయనంలో ఉన్న పంపిణీ సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని పాటించదని మల్టీమోడాలిటీ సూచిస్తుంది. సజాతీయ జనాభా, ఒక నియమం వలె, ఒకే-శీర్ష పంపిణీల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది. Multivertex అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యొక్క వైవిధ్యతను కూడా సూచిస్తుంది. రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ శీర్షాల రూపాన్ని మరింత సజాతీయ సమూహాలను గుర్తించడానికి డేటాను మళ్లీ సమూహపరచడం అవసరం.

విరామ వైవిధ్య శ్రేణిలో, మోడ్‌ను హిస్టోగ్రాం ఉపయోగించి గ్రాఫికల్‌గా నిర్ణయించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, హిస్టోగ్రామ్ యొక్క ఎత్తైన నిలువు వరుస యొక్క ఎగువ బిందువుల నుండి రెండు ప్రక్కనే ఉన్న నిలువు వరుసల ఎగువ బిందువులకు రెండు ఖండన పంక్తులను గీయండి. అప్పుడు, వాటి ఖండన స్థానం నుండి, అబ్సిస్సా అక్షం మీద లంబంగా తగ్గించబడుతుంది. లంబంగా ఉన్న x-అక్షంలోని ఫీచర్ విలువ మోడ్. అనేక సందర్భాల్లో, జనాభాను సాధారణ సూచికగా వర్గీకరించేటప్పుడు, అంకగణిత సగటు కంటే మోడ్‌కు ప్రాధాన్యత ఇవ్వబడుతుంది.

మధ్యస్థ -ఇది లక్షణం యొక్క కేంద్ర విలువ; ఇది పంపిణీ యొక్క ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణి యొక్క కేంద్ర సభ్యుడు కలిగి ఉంటుంది. వివిక్త శ్రేణిలో, మధ్యస్థ విలువను కనుగొనడానికి, దాని క్రమ సంఖ్య మొదట నిర్ణయించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, యూనిట్ల సంఖ్య బేసిగా ఉంటే, అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తానికి ఒకటి జోడించబడుతుంది మరియు సంఖ్య రెండుతో భాగించబడుతుంది. ఒక వరుసలో సమాన సంఖ్యలో యూనిట్లు ఉంటే, రెండు మధ్యస్థ యూనిట్లు ఉంటాయి, కాబట్టి ఈ సందర్భంలో మధ్యస్థం రెండు మధ్యస్థ యూనిట్ల విలువల సగటుగా నిర్వచించబడుతుంది. అందువల్ల, వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణిలోని మధ్యస్థం అనేది సిరీస్‌ను ఒకే సంఖ్యలో ఎంపికలను కలిగి ఉన్న రెండు భాగాలుగా విభజించే విలువ.

విరామ శ్రేణిలో, మధ్యస్థం యొక్క క్రమ సంఖ్యను నిర్ణయించిన తర్వాత, సంచిత పౌనఃపున్యాలు (ఫ్రీక్వెన్సీలు) ఉపయోగించి మధ్యస్థ విరామం కనుగొనబడుతుంది, ఆపై మధ్యస్థాన్ని లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మధ్యస్థం యొక్క విలువ నిర్ణయించబడుతుంది:

ఇక్కడ Me అనేది మధ్యస్థ విలువ; x నేను -మధ్యస్థ విరామం యొక్క తక్కువ పరిమితి; h-మధ్యస్థ విరామం యొక్క వెడల్పు; - పంపిణీ శ్రేణి యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీల మొత్తం; / D - ప్రీ-మీడియన్ విరామం యొక్క సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ; / Me - మధ్యస్థ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ.

సంచితాన్ని ఉపయోగించి మధ్యస్థాన్ని గ్రాఫికల్‌గా కనుగొనవచ్చు. ఇది చేయుటకు, సంచితం యొక్క సంచిత పౌనఃపున్యాల (ఫ్రీక్వెన్సీలు) స్కేల్‌పై, మధ్యస్థం యొక్క ఆర్డినల్ సంఖ్యకు సంబంధించిన పాయింట్ నుండి, అబ్సిస్సా అక్షం సంచితంతో కలుస్తుంది వరకు ఒక సరళ రేఖ సమాంతరంగా గీస్తారు. తరువాత, సంచితంతో సూచించబడిన రేఖ యొక్క ఖండన స్థానం నుండి, అబ్సిస్సా అక్షానికి లంబంగా తగ్గించబడుతుంది. గీసిన ఆర్డినేట్ (లంబంగా)కి సంబంధించిన x-అక్షంలోని లక్షణం విలువ మధ్యస్థం.

మధ్యస్థం క్రింది లక్షణాల ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది.

• 1. ఇది దాని ఇరువైపులా ఉన్న ఆ లక్షణ విలువలపై ఆధారపడి ఉండదు.
• 2. ఇది మినిమాలిటీ యొక్క ఆస్తిని కలిగి ఉంది, అంటే మధ్యస్థం నుండి లక్షణ విలువల యొక్క సంపూర్ణ విచలనాల మొత్తం ఏదైనా ఇతర విలువ నుండి లక్షణ విలువల విచలనంతో పోలిస్తే కనీస విలువను సూచిస్తుంది.
• 3. తెలిసిన మధ్యస్థాలతో రెండు పంపిణీలను కలిపినప్పుడు, కొత్త పంపిణీ మధ్యస్థం యొక్క విలువను ముందుగానే అంచనా వేయడం అసాధ్యం.

పాఠశాలలు, క్లినిక్లు, గ్యాస్ స్టేషన్లు, నీటి పంపులు మొదలైనవి - పబ్లిక్ సర్వీస్ పాయింట్ల స్థానాన్ని రూపకల్పన చేసేటప్పుడు మధ్యస్థం యొక్క ఈ లక్షణాలు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి. ఉదాహరణకు, నగరంలోని ఒక నిర్దిష్ట బ్లాక్‌లో క్లినిక్‌ని నిర్మించాలని ప్లాన్ చేస్తే, బ్లాక్‌లోని ఒక బిందువు వద్ద దానిని గుర్తించడం మరింత ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, అది బ్లాక్ యొక్క పొడవును కాకుండా నివాసితుల సంఖ్యను సగానికి తగ్గించింది.

మోడ్, మధ్యస్థ మరియు అంకగణిత సగటు నిష్పత్తి మొత్తంలో లక్షణం యొక్క పంపిణీ యొక్క స్వభావాన్ని సూచిస్తుంది మరియు పంపిణీ యొక్క సమరూపతను అంచనా వేయడానికి అనుమతిస్తుంది. ఉంటే x Me అప్పుడు సిరీస్ యొక్క కుడి-వైపు అసమానత ఉంది. సాధారణ పంపిణీతో X -నేను - మో.

K. పియర్సన్, వివిధ రకాల వక్రరేఖల అమరిక ఆధారంగా, మధ్యస్థ అసమాన పంపిణీల కోసం అంకగణిత సగటు, మధ్యస్థ మరియు మోడ్‌ల మధ్య కింది ఉజ్జాయింపు సంబంధాలు చెల్లుబాటు అవుతాయని నిర్ధారించారు:

ఇక్కడ Me అనేది మధ్యస్థ విలువ; మో - యొక్క అర్థం; x అంకగణితం - అంకగణిత సగటు విలువ.

వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క నిర్మాణాన్ని మరింత వివరంగా అధ్యయనం చేయాల్సిన అవసరం ఉంటే, మధ్యస్థానికి సమానమైన లక్షణ విలువలను లెక్కించండి. ఇటువంటి లక్షణ విలువలు అన్ని పంపిణీ యూనిట్లను సమాన సంఖ్యలుగా విభజిస్తాయి; వాటిని క్వాంటైల్స్ లేదా గ్రేడియంట్స్ అంటారు. క్వాంటైల్‌లను క్వార్టైల్స్, డెసిల్స్, పర్సంటైల్స్ మొదలైనవిగా విభజించారు.

క్వార్టైల్స్ జనాభాను నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. మొదటి త్రైమాసిక విరామాన్ని ముందుగా నిర్ణయించిన తర్వాత, మొదటి క్వార్టైల్‌ను లెక్కించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి క్వార్టైల్ మధ్యస్థం వలె లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ Qi అనేది మొదటి క్వార్టైల్ విలువ; xQ^-మొదటి క్వార్టైల్ పరిధి యొక్క తక్కువ పరిమితి; h- మొదటి త్రైమాసిక విరామం యొక్క వెడల్పు; /, - విరామం సిరీస్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలు;

మొదటి క్వార్టైల్ విరామానికి ముందు విరామంలో సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ; Jq (- మొదటి క్వార్టైల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ.

మొదటి క్వార్టైల్ జనాభా యూనిట్లలో 25% దాని విలువ కంటే తక్కువ మరియు 75% ఎక్కువ అని చూపిస్తుంది. రెండవ క్వార్టైల్ మధ్యస్థానికి సమానం, అనగా. Q 2 =నేను.

సారూప్యత ద్వారా, మూడవ త్రైమాసిక విరామాన్ని మొదట కనుగొన్న తర్వాత, మూడవ క్వార్టైల్ లెక్కించబడుతుంది:

మూడవ క్వార్టైల్ పరిధి యొక్క దిగువ పరిమితి ఎక్కడ ఉంది; h- మూడవ క్వార్టైల్ విరామం యొక్క వెడల్పు; /, - విరామం సిరీస్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలు; /X" -అంతకుముందు విరామంలో సేకరించిన ఫ్రీక్వెన్సీ

జి

మూడవ క్వార్టైల్ విరామం; Jq అనేది మూడవ క్వార్టైల్ విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ.

మూడవ క్వార్టైల్ జనాభా యూనిట్లలో 75% దాని విలువ కంటే తక్కువ మరియు 25% ఎక్కువ అని చూపిస్తుంది.

మూడవ మరియు మొదటి క్వార్టైల్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి:

ఇక్కడ Aq అనేది ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి యొక్క విలువ; Q 3 -మూడవ క్వార్టైల్ విలువ; Q, మొదటి క్వార్టైల్ విలువ.

డెసిల్స్ జనాభాను 10 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. డెసిల్ అనేది జనాభా పరిమాణంలో పదవ వంతుకు అనుగుణంగా ఉండే పంపిణీ శ్రేణిలోని లక్షణం యొక్క విలువ. క్వార్టైల్స్‌తో సారూప్యతతో, మొదటి దశాంశం జనాభా యూనిట్లలో 10% దాని విలువ కంటే తక్కువ మరియు 90% ఎక్కువ అని చూపిస్తుంది మరియు తొమ్మిదవ దశాంశం 90% జనాభా యూనిట్లు దాని విలువ కంటే తక్కువగా ఉన్నాయని మరియు 10% వెల్లడిస్తుంది. ఎక్కువ. తొమ్మిదవ మరియు మొదటి దశాంశాల నిష్పత్తి, అనగా. 10% అత్యంత సంపన్నులు మరియు 10% అత్యల్ప సంపన్న జనాభాలో ఆదాయ స్థాయిల నిష్పత్తిని కొలవడానికి ఆదాయ భేదం అధ్యయనంలో డెసిల్ కోఎఫీషియంట్ విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. శాతాలు ర్యాంక్ జనాభాను 100 సమాన భాగాలుగా విభజిస్తాయి. పర్సంటైల్‌ల గణన, అర్థం మరియు అప్లికేషన్ డెసిల్స్‌ను పోలి ఉంటాయి.

క్వార్టైల్స్, డెసిల్స్ మరియు ఇతర నిర్మాణ లక్షణాలను క్యుములేట్‌లను ఉపయోగించి మధ్యస్థంతో సారూప్యత ద్వారా గ్రాఫికల్‌గా నిర్ణయించవచ్చు.

వైవిధ్యం యొక్క పరిమాణాన్ని కొలవడానికి, క్రింది సూచికలు ఉపయోగించబడతాయి: వైవిధ్యం యొక్క పరిధి, సగటు సరళ విచలనం, ప్రామాణిక విచలనం, వ్యాప్తి. వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క పరిమాణం పూర్తిగా సిరీస్‌లోని తీవ్ర సభ్యుల పంపిణీ యొక్క యాదృచ్ఛికతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. లక్షణం యొక్క విలువలలో హెచ్చుతగ్గుల వ్యాప్తి ఏమిటో తెలుసుకోవడం ముఖ్యం అయిన సందర్భాలలో ఈ సూచిక ఆసక్తిని కలిగిస్తుంది:

ఎక్కడ R-వైవిధ్యం యొక్క పరిధి విలువ; x గరిష్టం - లక్షణం యొక్క గరిష్ట విలువ; x tt -లక్షణం యొక్క కనీస విలువ.

వైవిధ్యం యొక్క పరిధిని గణిస్తున్నప్పుడు, అధిక సంఖ్యలో శ్రేణి సభ్యుల విలువ పరిగణనలోకి తీసుకోబడదు, అయితే వైవిధ్యం సిరీస్ సభ్యుని యొక్క ప్రతి విలువతో అనుబంధించబడుతుంది. వారి సగటు విలువ నుండి ఒక లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల వ్యత్యాసాల నుండి పొందిన సగటు సూచికలకు ఈ లోపం లేదు: సగటు సరళ విచలనం మరియు ప్రామాణిక విచలనం. సగటు నుండి వ్యక్తిగత వ్యత్యాసాలు మరియు నిర్దిష్ట లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం మధ్య ప్రత్యక్ష సంబంధం ఉంది. హెచ్చుతగ్గులు ఎంత బలంగా ఉంటే, సగటు నుండి విచలనాల యొక్క సంపూర్ణ పరిమాణం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

సగటు సరళ విచలనం అనేది వారి సగటు విలువ నుండి వ్యక్తిగత ఎంపికల విచలనాల యొక్క సంపూర్ణ విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు.

సమూహం చేయని డేటా కోసం సగటు సరళ విచలనం

ఇక్కడ /pr అనేది సగటు సరళ విచలనం యొక్క విలువ; x, - అనేది లక్షణం యొక్క విలువ; X - పి -జనాభాలో యూనిట్ల సంఖ్య.

సమూహ శ్రేణి యొక్క సగటు సరళ విచలనం

ఎక్కడ / vz - సగటు సరళ విచలనం యొక్క విలువ; x, లక్షణం యొక్క విలువ; X -అధ్యయనం చేయబడిన జనాభాకు లక్షణం యొక్క సగటు విలువ; / - ప్రత్యేక సమూహంలోని జనాభా యూనిట్ల సంఖ్య.

ఈ సందర్భంలో, విచలనాల సంకేతాలు విస్మరించబడతాయి, లేకుంటే అన్ని విచలనాల మొత్తం సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది. సగటు సరళ విచలనం, విశ్లేషించబడిన డేటా యొక్క సమూహాన్ని బట్టి, వివిధ సూత్రాలను ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది: సమూహం చేయబడిన మరియు సమూహం చేయని డేటా కోసం. దాని కన్వెన్షన్ కారణంగా, సగటు సరళ విచలనం, వైవిధ్యం యొక్క ఇతర సూచికల నుండి విడిగా, ఆచరణలో చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది (ముఖ్యంగా, డెలివరీ యొక్క ఏకరూపతకు సంబంధించి ఒప్పంద బాధ్యతల నెరవేర్పును వర్గీకరించడానికి; విదేశీ వాణిజ్య టర్నోవర్ విశ్లేషణలో, కూర్పు ఉద్యోగులు, ఉత్పత్తి యొక్క లయ, ఉత్పత్తి నాణ్యత, ఉత్పత్తి యొక్క సాంకేతిక లక్షణాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం మరియు మొదలైనవి).

ప్రామాణిక విచలనం అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువలు జనాభా యొక్క సగటు విలువ నుండి సగటున ఎంత వైదొలగుతున్నాయో వివరిస్తుంది మరియు అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క కొలత యూనిట్లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది. ప్రామాణిక విచలనం, వైవిధ్యం యొక్క ప్రధాన కొలతలలో ఒకటి, సజాతీయ జనాభాలో ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పరిమితులను అంచనా వేయడంలో, సాధారణ పంపిణీ వక్రరేఖ యొక్క ఆర్డినేట్ విలువలను నిర్ణయించడంలో, అలాగే దీనికి సంబంధించిన గణనలలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. నమూనా పరిశీలన యొక్క సంస్థ మరియు నమూనా లక్షణాల యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని స్థాపించడం. సమూహం చేయని డేటా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం క్రింది అల్గోరిథం ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది: సగటు నుండి ప్రతి విచలనం స్క్వేర్ చేయబడింది, అన్ని స్క్వేర్‌లు సంగ్రహించబడతాయి, ఆ తర్వాత స్క్వేర్‌ల మొత్తాన్ని సిరీస్‌లోని నిబంధనల సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది మరియు వర్గమూలం నుండి సంగ్రహించబడుతుంది భాగం:

ఇక్కడ ఒక Iip అనేది ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ; Xj-లక్షణం విలువ; X- అధ్యయనం చేయబడిన జనాభాకు లక్షణం యొక్క సగటు విలువ; పి -జనాభాలో యూనిట్ల సంఖ్య.

సమూహ విశ్లేషించబడిన డేటా కోసం, డేటా యొక్క ప్రామాణిక విచలనం వెయిటెడ్ ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఎక్కడ - ప్రామాణిక విచలనం విలువ; Xj-లక్షణం విలువ; X -అధ్యయనం చేయబడిన జనాభాకు లక్షణం యొక్క సగటు విలువ; f x -నిర్దిష్ట సమూహంలోని జనాభా యూనిట్ల సంఖ్య.

రెండు సందర్భాలలో రూట్ కింద వ్యక్తీకరణను వైవిధ్యం అంటారు. అందువల్ల, వ్యాప్తి అనేది వాటి సగటు విలువ నుండి లక్షణ విలువల వ్యత్యాసాల సగటు స్క్వేర్‌గా లెక్కించబడుతుంది. వెయిట్ చేయని (సరళమైన) అట్రిబ్యూట్ విలువల కోసం, వ్యత్యాసం క్రింది విధంగా నిర్ణయించబడుతుంది:

బరువున్న లక్షణ విలువల కోసం

వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించడానికి ఒక ప్రత్యేక సరళీకృత పద్ధతి కూడా ఉంది: సాధారణంగా

బరువులేని (సరళమైన) లక్షణ విలువల కోసం బరువున్న లక్షణ విలువల కోసం
సున్నా-ఆధారిత పద్ధతిని ఉపయోగించడం

ఇక్కడ a 2 అనేది వ్యాప్తి విలువ; x, - అనేది లక్షణం యొక్క విలువ; X -లక్షణం యొక్క సగటు విలువ, h-సమూహ విరామం విలువ, t 1 -బరువు (A =

వ్యాప్తి అనేది గణాంకాలలో దాని స్వంత వ్యక్తీకరణను కలిగి ఉంది మరియు వైవిధ్యం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన సూచికలలో ఒకటి. ఇది అధ్యయనం చేయబడుతున్న లక్షణం యొక్క కొలత యూనిట్ల వర్గానికి సంబంధించిన యూనిట్లలో కొలుస్తారు.

వ్యాప్తి క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది.

• 1. స్థిరమైన విలువ యొక్క వైవిధ్యం సున్నా.
• 2. ఒక లక్షణం యొక్క అన్ని విలువలను ఒకే విలువతో A తగ్గించడం వల్ల డిస్పర్షన్ విలువ మారదు. దీనర్థం విచలనాల సగటు వర్గాన్ని ఒక లక్షణం యొక్క ఇచ్చిన విలువల నుండి కాకుండా, కొంత స్థిరమైన సంఖ్య నుండి వాటి విచలనాల నుండి లెక్కించవచ్చు.
• 3. ఏదైనా లక్షణ విలువలను తగ్గించడం కెసార్లు ద్వారా వ్యాప్తి తగ్గిస్తుంది కె 2 సార్లు, మరియు ప్రామాణిక విచలనం ఉంది కెసార్లు, అనగా. లక్షణం యొక్క అన్ని విలువలను కొంత స్థిరమైన సంఖ్యతో విభజించవచ్చు (చెప్పండి, సిరీస్ విరామం యొక్క విలువ ద్వారా), ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించవచ్చు, ఆపై స్థిరమైన సంఖ్యతో గుణించవచ్చు.
• 4. మేము ఏదైనా విలువ నుండి వ్యత్యాసాల సగటు వర్గాన్ని లెక్కించినట్లయితే మరియుఅంకగణిత సగటు నుండి ఒక డిగ్రీ లేదా మరొకదానికి భిన్నంగా ఉంటుంది, అప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ అంకగణిత సగటు నుండి లెక్కించబడిన విచలనాల సగటు స్క్వేర్ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. విచలనాల సగటు స్క్వేర్ చాలా నిర్దిష్ట మొత్తంలో ఎక్కువగా ఉంటుంది - సగటు మరియు ఈ సాంప్రదాయకంగా తీసుకున్న విలువ మధ్య వ్యత్యాసం యొక్క స్క్వేర్ ద్వారా.

ప్రత్యామ్నాయ లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం జనాభా యూనిట్లలో అధ్యయనం చేయబడిన ఆస్తి ఉనికి లేదా లేకపోవడంతో ఉంటుంది. పరిమాణాత్మకంగా, ప్రత్యామ్నాయ లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం రెండు విలువల ద్వారా వ్యక్తీకరించబడుతుంది: అధ్యయనం చేయబడిన ఆస్తి యొక్క యూనిట్ ఉనికిని ఒకటి (1), మరియు దాని లేకపోవడం సున్నా (0) ద్వారా సూచించబడుతుంది. అధ్యయనంలో ఉన్న ఆస్తిని కలిగి ఉన్న యూనిట్ల నిష్పత్తి P ద్వారా సూచించబడుతుంది మరియు ఈ ఆస్తి లేని యూనిట్ల నిష్పత్తి దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది జి.ఈ విధంగా, ప్రత్యామ్నాయ లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం ఈ ఆస్తిని కలిగి లేని యూనిట్ల నిష్పత్తి ద్వారా ఈ ఆస్తిని (P) కలిగి ఉన్న యూనిట్ల నిష్పత్తి యొక్క ఉత్పత్తికి సమానం (జి)జనాభా యొక్క మొత్తం పరిమాణంలో 50% ఉన్న జనాభాలో కొంత భాగం ఒక లక్షణాన్ని కలిగి ఉన్న సందర్భాలలో మరియు 50%కి సమానమైన జనాభాలో మరొక భాగం కూడా ఈ లక్షణం లేని సందర్భాల్లో జనాభా యొక్క గొప్ప వైవిధ్యం సాధించబడుతుంది, మరియు వ్యాప్తి గరిష్ట విలువ 0.25కి చేరుకుంటుంది, t.e. P = 0.5, G= 1 - P = 1 - 0.5 = 0.5 మరియు o 2 = 0.5 0.5 = 0.25. ఈ సూచిక యొక్క దిగువ పరిమితి సున్నా, ఇది మొత్తంలో వైవిధ్యం లేని పరిస్థితికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. ప్రత్యామ్నాయ లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం నమూనా పరిశీలనలను నిర్వహించేటప్పుడు విశ్వాస విరామాలను నిర్మించడం.

చిన్న వ్యత్యాసం మరియు ప్రామాణిక విచలనం, మరింత సజాతీయ జనాభా మరియు మరింత సాధారణ సగటు ఉంటుంది. గణాంకాల ఆచరణలో, వివిధ లక్షణాల యొక్క వైవిధ్యాలను పోల్చడం తరచుగా అవసరం. ఉదాహరణకు, కార్మికుల వయస్సు మరియు వారి అర్హతలు, సేవ యొక్క పొడవు మరియు వేతనాలు, ఖర్చు మరియు లాభం, సేవ యొక్క పొడవు మరియు కార్మిక ఉత్పాదకత మొదలైనవాటిలో వైవిధ్యాలను పోల్చడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. అటువంటి పోలికలకు, లక్షణాల యొక్క సంపూర్ణ వైవిధ్యం యొక్క సూచికలు తగనివి: సంవత్సరాలలో వ్యక్తీకరించబడిన పని అనుభవం యొక్క వైవిధ్యాన్ని, రూబిళ్లలో వ్యక్తీకరించబడిన వేతనాల వైవిధ్యంతో పోల్చడం అసాధ్యం. అటువంటి పోలికలను నిర్వహించడానికి, అలాగే వివిధ అంకగణిత సగటులతో అనేక జనాభాలో ఒకే లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పోలికలు, వైవిధ్య సూచికలు ఉపయోగించబడతాయి - డోలనం యొక్క గుణకం, వైవిధ్యం యొక్క సరళ గుణకం మరియు వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, ఇది కొలతను చూపుతుంది. సగటు చుట్టూ తీవ్రమైన విలువల హెచ్చుతగ్గులు.

డోలనం గుణకం:

ఎక్కడ V R -డోలనం గుణకం విలువ; ఆర్- వైవిధ్యం యొక్క పరిధి విలువ; X -

వైవిధ్యం యొక్క సరళ గుణకం".

ఎక్కడ Vj-వైవిధ్యం యొక్క సరళ గుణకం యొక్క విలువ; నేను -సగటు సరళ విచలనం యొక్క విలువ; X -అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యొక్క లక్షణం యొక్క సగటు విలువ.

వైవిధ్యం యొక్క గుణకం:

ఎక్కడ V a -వైవిధ్య విలువ యొక్క గుణకం; a అనేది ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ; X -అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యొక్క లక్షణం యొక్క సగటు విలువ.

డోలనం యొక్క గుణకం అనేది అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క సగటు విలువకు వైవిధ్యం యొక్క శ్రేణి యొక్క శాతం నిష్పత్తి, మరియు వైవిధ్యం యొక్క సరళ గుణకం అనేది అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క సగటు విలువకు సగటు సరళ విచలనం యొక్క నిష్పత్తి, శాతం. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం అనేది అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క సగటు విలువకు ప్రామాణిక విచలనం యొక్క శాతం. సాపేక్ష విలువగా, శాతంగా వ్యక్తీకరించబడింది, వివిధ లక్షణాల వైవిధ్యం యొక్క డిగ్రీని పోల్చడానికి వైవిధ్యం యొక్క గుణకం ఉపయోగించబడుతుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం ఉపయోగించి, గణాంక జనాభా యొక్క సజాతీయత అంచనా వేయబడుతుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం 33% కంటే తక్కువగా ఉంటే, అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభా సజాతీయంగా ఉంటుంది మరియు వైవిధ్యం బలహీనంగా ఉంటుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం 33% కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభా భిన్నమైనది, వైవిధ్యం బలంగా ఉంటుంది మరియు సగటు విలువ విలక్షణమైనది మరియు ఈ జనాభా యొక్క సాధారణ సూచికగా ఉపయోగించబడదు. అదనంగా, విభిన్న జనాభాలో ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని పోల్చడానికి వైవిధ్యం యొక్క గుణకాలు ఉపయోగించబడతాయి. ఉదాహరణకు, రెండు సంస్థలలో కార్మికుల సేవ యొక్క పొడవులో వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి. అధిక గుణకం విలువ, లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం మరింత ముఖ్యమైనది.

లెక్కించిన క్వార్టైల్స్ ఆధారంగా, సూత్రాన్ని ఉపయోగించి త్రైమాసిక వైవిధ్యం యొక్క సాపేక్ష సూచికను లెక్కించడం కూడా సాధ్యమవుతుంది

ఎక్కడ Q 2 మరియు

ఇంటర్‌క్వార్టైల్ పరిధి ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

విపరీతమైన విలువలను ఉపయోగించడం వల్ల కలిగే ప్రతికూలతలను నివారించడానికి వైవిధ్యం యొక్క పరిధికి బదులుగా క్వార్టైల్ విచలనం ఉపయోగించబడుతుంది:

అసమాన విరామ వైవిధ్య శ్రేణి కోసం, పంపిణీ సాంద్రత కూడా లెక్కించబడుతుంది. ఇది సంబంధిత పౌనఃపున్యం లేదా పౌనఃపున్యం యొక్క గుణకం వలె నిర్వచించబడింది, ఇది విరామం యొక్క విలువతో విభజించబడింది. అసమాన విరామ శ్రేణిలో, సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష పంపిణీ సాంద్రతలు ఉపయోగించబడతాయి. సంపూర్ణ పంపిణీ సాంద్రత అనేది విరామం యొక్క యూనిట్ పొడవుకు ఫ్రీక్వెన్సీ. సాపేక్ష పంపిణీ సాంద్రత - యూనిట్ విరామం పొడవుకు ఫ్రీక్వెన్సీ.

పైన పేర్కొన్నవన్నీ పంపిణీ శ్రేణికి సంబంధించినవి, దీని పంపిణీ చట్టం సాధారణ పంపిణీ చట్టం ద్వారా బాగా వివరించబడింది లేదా దానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

వైవిధ్యమైనపరిమాణాత్మక ప్రాతిపదికన నిర్మించిన పంపిణీ శ్రేణి అంటారు. జనాభా యొక్క వ్యక్తిగత యూనిట్లలో పరిమాణాత్మక లక్షణాల విలువలు స్థిరంగా ఉండవు మరియు ఒకదానికొకటి ఎక్కువ లేదా తక్కువ భిన్నంగా ఉంటాయి.

వైవిధ్యం- హెచ్చుతగ్గులు, జనాభా యొక్క యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువ యొక్క మార్పు. అధ్యయనం చేయబడిన జనాభాలో కనిపించే లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత సంఖ్యా విలువలు అంటారు ఎంపికలువిలువలు. జనాభాను పూర్తిగా వర్గీకరించడానికి సగటు విలువ యొక్క లోపం అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని (వైవిధ్యం) కొలవడం ద్వారా ఈ సగటుల యొక్క విలక్షణతను అంచనా వేయడానికి అనుమతించే సూచికలతో సగటు విలువలను భర్తీ చేయడానికి మమ్మల్ని బలవంతం చేస్తుంది.

వైవిధ్యం యొక్క ఉనికి లక్షణం యొక్క స్థాయి ఏర్పడటానికి పెద్ద సంఖ్యలో కారకాల ప్రభావం కారణంగా ఉంటుంది. ఈ కారకాలు అసమాన బలంతో మరియు వేర్వేరు దిశల్లో పనిచేస్తాయి. లక్షణ వైవిధ్యం యొక్క కొలతను వివరించడానికి వైవిధ్య సూచికలు ఉపయోగించబడతాయి.

వైవిధ్యం యొక్క గణాంక అధ్యయనం యొక్క లక్ష్యాలు:

• 1) జనాభా యొక్క వ్యక్తిగత యూనిట్లలో లక్షణాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క స్వభావం మరియు డిగ్రీని అధ్యయనం చేయడం;
• 2) జనాభా యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణాల వైవిధ్యంలో వ్యక్తిగత కారకాలు లేదా వారి సమూహాల పాత్రను నిర్ణయించడం.

గణాంకాలలో, సూచికల వ్యవస్థను ఉపయోగించడం ఆధారంగా వైవిధ్యాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి ప్రత్యేక పద్ధతులు ఉపయోగించబడతాయి, తోదీని ద్వారా వైవిధ్యాన్ని కొలుస్తారు.

వైవిధ్యంపై పరిశోధన ముఖ్యం. నమూనా పరిశీలన, సహసంబంధం మరియు వ్యత్యాస విశ్లేషణ మొదలైన వాటిని నిర్వహించేటప్పుడు వైవిధ్యాలను కొలవడం అవసరం. ఎర్మోలేవ్ O.Yu. మనస్తత్వవేత్తల కోసం గణిత గణాంకాలు: పాఠ్య పుస్తకం [టెక్స్ట్]/ O.Yu. ఎర్మోలేవ్. - M.: ఫ్లింట్ పబ్లిషింగ్ హౌస్ ఆఫ్ ది మాస్కో సైకలాజికల్ అండ్ సోషల్ ఇన్స్టిట్యూట్, 2012. - 335 p.

వైవిధ్యం యొక్క డిగ్రీ ద్వారా జనాభా యొక్క సజాతీయత, లక్షణాల యొక్క వ్యక్తిగత విలువల స్థిరత్వం మరియు సగటు యొక్క విలక్షణతను నిర్ధారించవచ్చు. వాటి ఆధారంగా, నమూనా పరిశీలన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని అంచనా వేయడానికి లక్షణాలు మరియు సూచికల మధ్య సంబంధం యొక్క సామీప్యత యొక్క సూచికలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.

స్థలంలో వైవిధ్యం మరియు సమయం వైవిధ్యం మధ్య వ్యత్యాసం ఉంటుంది.

స్థలంలో వైవిధ్యం అనేది వ్యక్తిగత భూభాగాలను సూచించే జనాభా యూనిట్ల మధ్య లక్షణ విలువల హెచ్చుతగ్గులుగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. సమయ వైవిధ్యం అనేది వివిధ కాలాలలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువలలో మార్పులను సూచిస్తుంది.

పంపిణీ వరుసలలో వైవిధ్యాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి, లక్షణ విలువల యొక్క అన్ని రూపాంతరాలు ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటాయి. ఈ ప్రక్రియను సిరీస్ ర్యాంకింగ్ అంటారు.

వైవిధ్యం యొక్క సరళమైన సంకేతాలు కనిష్ట మరియు గరిష్ట- మొత్తంలో లక్షణం యొక్క అతి చిన్న మరియు అతిపెద్ద విలువ. ఫీచర్ విలువల యొక్క వ్యక్తిగత వైవిధ్యాల పునరావృతాల సంఖ్యను పునరావృత ఫ్రీక్వెన్సీ (fi) అంటారు. ఫ్రీక్వెన్సీలను ఫ్రీక్వెన్సీలతో భర్తీ చేయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది - wi. ఫ్రీక్వెన్సీ అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క సాపేక్ష సూచిక, ఇది యూనిట్ లేదా శాతం యొక్క భిన్నాలలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు విభిన్న సంఖ్యల పరిశీలనలతో వైవిధ్య శ్రేణిని పోల్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. సూత్రం ద్వారా వ్యక్తీకరించబడింది:

ఇక్కడ Xmax, Xmin అనేది మొత్తంలో లక్షణం యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువలు; n - సమూహాల సంఖ్య.

ఒక లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని కొలవడానికి, వివిధ సంపూర్ణ మరియు సాపేక్ష సూచికలు ఉపయోగించబడతాయి. వైవిధ్యం యొక్క సంపూర్ణ సూచికలలో వైవిధ్యం యొక్క పరిధి, సగటు సరళ విచలనం, వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనం ఉన్నాయి. డోలనం యొక్క సాపేక్ష సూచికలలో డోలనం యొక్క గుణకం, సాపేక్ష సరళ విచలనం మరియు వైవిధ్యం యొక్క గుణకం ఉన్నాయి.

వైవిధ్య శ్రేణిని కనుగొనే ఉదాహరణ

వ్యాయామం.ఈ నమూనా కోసం:

• ఎ) వైవిధ్య శ్రేణిని కనుగొనండి;
• బి) పంపిణీ ఫంక్షన్‌ను నిర్మించండి;

నం.=42. నమూనా అంశాలు:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

పరిష్కారం.

• ఎ) ర్యాంక్ వైవిధ్య శ్రేణి నిర్మాణం:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• బి) వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణి నిర్మాణం.

Sturgess సూత్రాన్ని ఉపయోగించి వైవిధ్య శ్రేణిలోని సమూహాల సంఖ్యను గణిద్దాం:

7కి సమానమైన సమూహాల సంఖ్యను తీసుకుందాం.

సమూహాల సంఖ్యను తెలుసుకోవడం, మేము విరామం యొక్క పరిమాణాన్ని లెక్కిస్తాము:

పట్టికను నిర్మించే సౌలభ్యం కోసం, మేము 8కి సమానమైన సమూహాల సంఖ్యను తీసుకుంటాము, విరామం 1 అవుతుంది.

అన్నం. 1 ఒక నిర్దిష్ట కాలానికి స్టోర్ ద్వారా వస్తువుల అమ్మకాల పరిమాణం

వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క భావన.గణాంక పరిశీలన సామగ్రిని క్రమబద్ధీకరించడంలో మొదటి దశ నిర్దిష్ట లక్షణాన్ని కలిగి ఉన్న యూనిట్ల సంఖ్యను లెక్కించడం. యూనిట్‌లను వాటి పరిమాణాత్మక లక్షణం యొక్క ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చడం ద్వారా మరియు లక్షణం యొక్క నిర్దిష్ట విలువతో యూనిట్ల సంఖ్యను లెక్కించడం ద్వారా, మేము వైవిధ్య శ్రేణిని పొందుతాము. వైవిధ్య శ్రేణి కొన్ని పరిమాణాత్మక లక్షణాల ప్రకారం నిర్దిష్ట గణాంక జనాభా యొక్క యూనిట్ల పంపిణీని వర్గీకరిస్తుంది.

వైవిధ్య శ్రేణిలో రెండు నిలువు వరుసలు ఉంటాయి, ఎడమ కాలమ్‌లో విభిన్న లక్షణాల విలువలు ఉంటాయి, వీటిని వేరియంట్‌లు అని పిలుస్తారు మరియు సూచించబడతాయి (x), మరియు కుడి కాలమ్ ప్రతి రూపాంతరం ఎన్నిసార్లు సంభవిస్తుందో చూపే సంపూర్ణ సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ నిలువు వరుసలోని సూచికలను పౌనఃపున్యాలు అని పిలుస్తారు మరియు అవి (f)గా సూచించబడతాయి.

వైవిధ్య శ్రేణిని పట్టిక 5.1 రూపంలో క్రమపద్ధతిలో ప్రదర్శించవచ్చు:

పట్టిక 5.1

వైవిధ్య శ్రేణి రకం

ఎంపికలు (x)	ఫ్రీక్వెన్సీలు (ఎఫ్)

కుడి కాలమ్‌లో, సాపేక్ష సూచికలను కూడా ఉపయోగించవచ్చు, మొత్తం పౌనఃపున్యాల మొత్తంలో వ్యక్తిగత ఎంపికల ఫ్రీక్వెన్సీ వాటాను వర్గీకరిస్తుంది. ఈ సాపేక్ష సూచికలను పౌనఃపున్యాలు అని పిలుస్తారు మరియు సాంప్రదాయకంగా సూచించబడతాయి, అనగా. . అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తం ఒకదానికి సమానం. ఫ్రీక్వెన్సీలను శాతాలుగా కూడా వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఆపై వాటి మొత్తం 100%కి సమానంగా ఉంటుంది.

వివిధ సంకేతాలు విభిన్న స్వభావం కలిగి ఉండవచ్చు. కొన్ని లక్షణాల వైవిధ్యాలు పూర్ణాంకాలలో వ్యక్తీకరించబడతాయి, ఉదాహరణకు, అపార్ట్మెంట్లోని గదుల సంఖ్య, ప్రచురించబడిన పుస్తకాల సంఖ్య మొదలైనవి. ఈ సంకేతాలను నిరంతరాయంగా లేదా వివిక్తంగా పిలుస్తారు. ప్రణాళికాబద్ధమైన పనులు, వేతనాలు మొదలైన వాటి నెరవేర్పు వంటి నిర్దిష్ట పరిమితుల్లో ఇతర లక్షణాల వైవిధ్యాలు ఏవైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు. ఈ లక్షణాలను నిరంతరాయంగా పిలుస్తారు.

వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణి.వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యాలు వివిక్త పరిమాణాల రూపంలో వ్యక్తీకరించబడితే, అటువంటి వైవిధ్య శ్రేణిని వివిక్త అని పిలుస్తారు; దాని రూపాన్ని పట్టికలో ప్రదర్శించారు. 5.2:

పట్టిక 5.2

పరీక్ష గ్రేడ్‌ల ప్రకారం విద్యార్థుల పంపిణీ

రేటింగ్‌లు (x)	విద్యార్థుల సంఖ్య (ఎఫ్)	మొత్తం ()లో %

వివిక్త శ్రేణిలో పంపిణీ యొక్క స్వభావం పంపిణీ బహుభుజి రూపంలో గ్రాఫికల్‌గా చిత్రీకరించబడింది, అంజీర్ 5.1.

అన్నం. 5.1 పరీక్షలో పొందిన గ్రేడ్‌ల ప్రకారం విద్యార్థుల పంపిణీ.

ఇంటర్వెల్ వేరియేషన్ సిరీస్.నిరంతర లక్షణాల కోసం, వైవిధ్య శ్రేణులు విరామంగా నిర్మించబడతాయి, అనగా. వాటిలోని లక్షణం యొక్క విలువలు "నుండి మరియు" విరామాల రూపంలో వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఈ సందర్భంలో, అటువంటి విరామంలో లక్షణం యొక్క కనిష్ట విలువను విరామం యొక్క దిగువ పరిమితి అని పిలుస్తారు మరియు గరిష్టంగా విరామం యొక్క ఎగువ పరిమితి అని పిలుస్తారు.

విరామ వైవిధ్య శ్రేణులు నిరంతరాయ లక్షణాలు (వివిక్త) మరియు పెద్ద పరిధిలో మారుతున్న వాటి కోసం నిర్మించబడ్డాయి. విరామ వరుసలు సమాన లేదా అసమాన విరామాలతో ఉండవచ్చు. ఆర్థిక ఆచరణలో, చాలా అసమాన విరామాలు ఉపయోగించబడతాయి, క్రమంగా పెరుగుతాయి లేదా తగ్గుతాయి. ఒక లక్షణం యొక్క హెచ్చుతగ్గులు అసమానంగా మరియు పెద్ద పరిమితుల్లో సంభవించే సందర్భాల్లో ఈ అవసరం ప్రత్యేకంగా తలెత్తుతుంది.

సమాన విరామాలు, పట్టికతో విరామ శ్రేణి రకాన్ని పరిశీలిద్దాం. 5.3:

పట్టిక 5.3

ఉత్పత్తి ద్వారా కార్మికుల పంపిణీ

అవుట్‌పుట్, t.r. (X)	కార్మికుల సంఖ్య (ఎఫ్)	సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ (f´)

విరామ పంపిణీ శ్రేణి గ్రాఫికల్‌గా హిస్టోగ్రాం రూపంలో చిత్రీకరించబడింది, Fig. 5.2.

Fig.5.2. ఉత్పత్తి ద్వారా కార్మికుల పంపిణీ

సంచిత (సంచిత) ఫ్రీక్వెన్సీ.ఆచరణలో, పంపిణీ శ్రేణిని మార్చాల్సిన అవసరం ఉంది సంచిత సిరీస్,సేకరించిన పౌనఃపున్యాల ప్రకారం నిర్మించబడింది. వారి సహాయంతో, మీరు పంపిణీ శ్రేణి డేటా యొక్క విశ్లేషణను సులభతరం చేసే నిర్మాణ సగటులను నిర్ణయించవచ్చు.

పంపిణీ శ్రేణి యొక్క తదుపరి సమూహాల యొక్క ఈ సూచికలను మొదటి సమూహం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలకు (లేదా ఫ్రీక్వెన్సీలు) వరుసగా జోడించడం ద్వారా సంచిత పౌనఃపున్యాలు నిర్ణయించబడతాయి. పంపిణీ శ్రేణిని వివరించడానికి సంచితాలు మరియు ఒగివ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి. వాటిని నిర్మించడానికి, వివిక్త లక్షణం యొక్క విలువలు (లేదా విరామాల చివరలు) అబ్సిస్సా అక్షం మీద గుర్తించబడతాయి మరియు పౌనఃపున్యాల సంచిత మొత్తాలు (సంచితాలు) ఆర్డినేట్ అక్షంపై గుర్తించబడతాయి, అంజీర్ 5.3.

అన్నం. 5.3 ఉత్పత్తి ద్వారా కార్మికుల సంచిత పంపిణీ

పౌనఃపున్యాలు మరియు ఎంపికల ప్రమాణాలు రివర్స్ చేయబడితే, అనగా. abscissa అక్షం సంచిత పౌనఃపున్యాలను ప్రతిబింబిస్తుంది, మరియు ఆర్డినేట్ అక్షం వైవిధ్యాల విలువలను చూపుతుంది, అప్పుడు సమూహం నుండి సమూహానికి పౌనఃపున్యాల మార్పును వర్గీకరించే వక్రరేఖను పంపిణీ ogive అని పిలుస్తారు, Fig. 5.4.

అన్నం. 5.4 ఉత్పత్తి ద్వారా కార్మికుల పంపిణీ యొక్క Ogiva

సమాన విరామాలతో వేరియేషన్ సిరీస్ గణాంక పంపిణీ శ్రేణికి అత్యంత ముఖ్యమైన అవసరాలలో ఒకటి, సమయం మరియు ప్రదేశంలో వాటి పోలికను నిర్ధారిస్తుంది.

పంపిణీ సాంద్రత.అయినప్పటికీ, పేరు పెట్టబడిన శ్రేణిలోని వ్యక్తిగత అసమాన విరామాల పౌనఃపున్యాలు నేరుగా పోల్చదగినవి కావు. అటువంటి సందర్భాలలో, అవసరమైన పోలికను నిర్ధారించడానికి, పంపిణీ సాంద్రత లెక్కించబడుతుంది, అనగా. విరామ విలువ యొక్క యూనిట్‌కు ప్రతి సమూహంలో ఎన్ని యూనిట్లు ఉన్నాయో నిర్ణయించండి.

అసమాన విరామాలతో వైవిధ్య శ్రేణి పంపిణీ యొక్క గ్రాఫ్‌ను నిర్మించేటప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రాల ఎత్తు పౌనఃపున్యాలకు కాకుండా, సంబంధిత లక్షణాల విలువల పంపిణీ యొక్క సాంద్రత సూచికలకు అనులోమానుపాతంలో నిర్ణయించబడుతుంది. విరామాలు.

వైవిధ్య శ్రేణిని గీయడం మరియు దాని గ్రాఫికల్ ప్రాతినిధ్యం అనేది ప్రాథమిక డేటాను ప్రాసెస్ చేయడంలో మొదటి దశ మరియు అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా విశ్లేషణలో మొదటి దశ. వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క విశ్లేషణలో తదుపరి దశ ప్రధాన సాధారణ సూచికలను నిర్ణయించడం, సిరీస్ యొక్క లక్షణాలు అని పిలుస్తారు. ఈ లక్షణాలు జనాభా యూనిట్లలో లక్షణం యొక్క సగటు విలువ గురించి ఒక ఆలోచన ఇవ్వాలి.

సగటు విలువ. సగటు విలువ అనేది అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభాలో అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క సాధారణీకరించబడిన లక్షణం, ఇది స్థలం మరియు సమయం యొక్క నిర్దిష్ట పరిస్థితులలో జనాభా యొక్క యూనిట్‌కు దాని సాధారణ స్థాయిని ప్రతిబింబిస్తుంది.

సగటు విలువ ఎల్లప్పుడూ పేరు పెట్టబడుతుంది మరియు జనాభా యొక్క వ్యక్తిగత యూనిట్ల లక్షణం వలె అదే కోణాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

సగటు విలువలను లెక్కించే ముందు, గుణాత్మకంగా సజాతీయ సమూహాలను గుర్తించడం ద్వారా అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభా యొక్క యూనిట్లను సమూహపరచడం అవసరం.

మొత్తం జనాభా కోసం లెక్కించిన సగటును మొత్తం సగటు అని పిలుస్తారు మరియు ప్రతి సమూహానికి - సమూహ సగటులు.

రెండు రకాల సగటులు ఉన్నాయి: శక్తి (అంకగణిత సగటు, హార్మోనిక్ సగటు, రేఖాగణిత సగటు, చతుర్భుజ సగటు); నిర్మాణాత్మక (మోడ్, మధ్యస్థ, క్వార్టైల్స్, డెసిల్స్).

గణన కోసం సగటు ఎంపిక ప్రయోజనం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.

శక్తి సగటుల రకాలు మరియు వాటి గణన కోసం పద్ధతులు.సేకరించిన పదార్థం యొక్క గణాంక ప్రాసెసింగ్ ఆచరణలో, వివిధ సమస్యలు తలెత్తుతాయి, దీని పరిష్కారం వివిధ సగటులు అవసరం.

గణిత గణాంకాలు శక్తి సగటు సూత్రాల నుండి వివిధ సగటులను పొందుతాయి:

సగటు విలువ ఎక్కడ ఉంది; x – వ్యక్తిగత ఎంపికలు (ఫీచర్ విలువలు); z – ఘాతాంకం (z = 1 తో – అంకగణిత సగటు, z = 0 రేఖాగణిత సగటు, z = - 1 – హార్మోనిక్ మీన్, z = 2 – స్క్వేర్ మీన్).

ఏదేమైనా, ప్రతి వ్యక్తి కేసులో ఏ రకమైన సగటును వర్తింపజేయాలి అనే ప్రశ్న అధ్యయనం చేయబడిన జనాభా యొక్క నిర్దిష్ట విశ్లేషణ ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.

గణాంకాలలో అత్యంత సాధారణ రకం సగటు అంకగణిత సగటు. అధ్యయనం చేయబడిన గణాంక జనాభా యొక్క వ్యక్తిగత యూనిట్ల కోసం సగటు లక్షణం యొక్క వాల్యూమ్ దాని విలువల మొత్తంగా ఏర్పడిన సందర్భాలలో ఇది లెక్కించబడుతుంది.

మూలాధార డేటా యొక్క స్వభావంపై ఆధారపడి, అంకగణిత సగటు వివిధ మార్గాల్లో నిర్ణయించబడుతుంది:

డేటా సమూహం చేయబడకపోతే, సాధారణ సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి గణన నిర్వహించబడుతుంది

వివిక్త శ్రేణిలో అంకగణిత సగటు యొక్క గణనఫార్ములా 3.4 ప్రకారం జరుగుతుంది.

విరామ శ్రేణిలో అంకగణిత సగటు యొక్క గణన.విరామ వైవిధ్య శ్రేణిలో, ప్రతి సమూహంలోని లక్షణం యొక్క విలువ సాంప్రదాయకంగా విరామం మధ్యలో పరిగణించబడుతుంది, అంకగణిత సగటు సమూహం చేయని డేటా నుండి లెక్కించిన సగటు నుండి భిన్నంగా ఉండవచ్చు. అంతేకాకుండా, సమూహాలలో పెద్ద విరామం, సమూహం చేయని డేటా నుండి లెక్కించిన సగటు నుండి సమూహ డేటా నుండి లెక్కించిన సగటు యొక్క సాధ్యమైన వ్యత్యాసాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

విరామ వైవిధ్య శ్రేణిపై సగటును లెక్కించేటప్పుడు, అవసరమైన గణనలను నిర్వహించడానికి, విరామాల నుండి వాటి మధ్య బిందువులకు కదులుతుంది. ఆపై సగటు బరువున్న అంకగణిత సగటు సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.

అంకగణిత సగటు యొక్క లక్షణాలు.అంకగణిత సగటు గణనలను సులభతరం చేసే కొన్ని లక్షణాలను కలిగి ఉంది; వాటిని పరిశీలిద్దాం.

1. స్థిర సంఖ్యల అంకగణిత సగటు ఈ స్థిరమైన సంఖ్యకు సమానం.

x = a అయితే. అప్పుడు .

2. అన్ని ఎంపికల బరువులు దామాషా ప్రకారం మార్చబడితే, అనగా. అదే సంఖ్యలో పెంచండి లేదా తగ్గించండి, అప్పుడు కొత్త సిరీస్ యొక్క అంకగణిత సగటు మారదు.

అన్ని బరువులు fలు k రెట్లు తగ్గితే, అప్పుడు .

3. సగటు నుండి వ్యక్తిగత ఎంపికల యొక్క సానుకూల మరియు ప్రతికూల విచలనాల మొత్తం, బరువులతో గుణించడం, సున్నాకి సమానం, అనగా.

ఒకవేళ, అప్పుడు. ఇక్కడనుంచి.

అన్ని ఎంపికలు ఏదైనా సంఖ్యతో తగ్గించబడినా లేదా పెంచబడినా, కొత్త సిరీస్ యొక్క అంకగణిత సగటు అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది లేదా పెరుగుతుంది.

అన్ని ఎంపికలను తగ్గించండి xపై a, అనగా x´ = x– a.

అప్పుడు

ఎంపికల నుండి గతంలో తీసివేసిన సంఖ్యను తగ్గించిన సగటుకు జోడించడం ద్వారా అసలు శ్రేణి యొక్క అంకగణిత సగటును పొందవచ్చు. a, అనగా .

5. అన్ని ఎంపికలు తగ్గించబడినా లేదా పెంచబడినా కెసార్లు, అప్పుడు కొత్త సిరీస్ యొక్క అంకగణిత సగటు అదే మొత్తంలో తగ్గుతుంది లేదా పెరుగుతుంది, అనగా. వి కెఒకసారి.

అది అప్పుడు ఉండనివ్వండి .

అందువల్ల, అనగా. అసలైన శ్రేణి యొక్క సగటును పొందడానికి, కొత్త సిరీస్ యొక్క అంకగణిత సగటు (తగ్గిన ఎంపికలతో) తప్పనిసరిగా పెంచాలి కెఒకసారి.

హార్మోనిక్ అంటే.హార్మోనిక్ సగటు అనేది అంకగణిత సగటు యొక్క పరస్పరం. జనాభా యొక్క వ్యక్తిగత వైవిధ్యాల కోసం గణాంక సమాచారం ఫ్రీక్వెన్సీలను కలిగి లేనప్పుడు ఇది ఉపయోగించబడుతుంది, కానీ వాటి ఉత్పత్తిగా ప్రదర్శించబడుతుంది (M = xf). ఫార్ములా 3.5 ఉపయోగించి హార్మోనిక్ సగటు లెక్కించబడుతుంది

హార్మోనిక్ మీన్ యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనం కొన్ని సూచికలను లెక్కించడం, ప్రత్యేకించి, ధర సూచిక.

రేఖాగణిత సగటు.రేఖాగణిత సగటును ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, ఒక లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువలు, ఒక నియమం వలె, డైనమిక్స్ యొక్క సాపేక్ష విలువలు, డైనమిక్స్ శ్రేణిలో ప్రతి స్థాయి యొక్క మునుపటి స్థాయికి నిష్పత్తిగా గొలుసు విలువల రూపంలో నిర్మించబడతాయి. సగటు ఈ విధంగా సగటు వృద్ధి రేటును వర్ణిస్తుంది.

రేఖాగణిత సగటు విలువ లక్షణం యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల నుండి సమాన దూర విలువను నిర్ణయించడానికి కూడా ఉపయోగించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఒక బీమా కంపెనీ ఆటో బీమా సేవలను అందించడానికి ఒప్పందాలను కుదుర్చుకుంటుంది. నిర్దిష్ట బీమా ఈవెంట్‌పై ఆధారపడి, బీమా చెల్లింపు సంవత్సరానికి 10,000 నుండి 100,000 డాలర్ల వరకు ఉంటుంది. బీమా చెల్లింపుల సగటు మొత్తం USD అవుతుంది.

రేఖాగణిత సగటు అనేది z = 0 అయినప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి రూపంలో సమర్పించబడిన నిష్పత్తుల సగటు లేదా పంపిణీ శ్రేణిలో ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ సగటు అనేది సంపూర్ణ వ్యత్యాసాలకు కాకుండా రెండు నిష్పత్తులకు శ్రద్ధ చూపినప్పుడు ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది. సంఖ్యలు.

గణన కోసం సూత్రాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి

సరాసరి లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి; - ఎంపికల ఉత్పత్తి; f- ఎంపికల ఫ్రీక్వెన్సీ.

సగటు వార్షిక వృద్ధి రేట్ల గణనలలో రేఖాగణిత సగటు ఉపయోగించబడుతుంది.

చదరపు అర్థం.పంపిణీ శ్రేణిలోని అంకగణిత సగటు చుట్టూ ఉన్న లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల హెచ్చుతగ్గుల స్థాయిని కొలవడానికి సగటు చదరపు సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విధంగా, వైవిధ్య సూచికలను లెక్కించేటప్పుడు, సగటు అంకగణిత సగటు నుండి ఒక లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల నుండి లెక్కించబడుతుంది.

మూల సగటు వర్గ విలువ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది

ఆర్థిక పరిశోధనలో, చెదరగొట్టడం మరియు ప్రామాణిక విచలనం వంటి లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క సూచికలను లెక్కించడంలో సవరించిన సగటు చతురస్రం విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

మెజారిటీ పాలన.శక్తి సగటుల మధ్య కింది సంబంధం ఉంది - ఘాతాంకం పెద్దది, సగటు విలువ ఎక్కువ, టేబుల్ 5.4:

పట్టిక 5.4

సగటుల మధ్య సంబంధం

z విలువ
సగటుల మధ్య సంబంధం

ఈ సంబంధాన్ని మెజారిటీ నియమం అంటారు.

నిర్మాణ సగటులు.జనాభా యొక్క నిర్మాణాన్ని వర్గీకరించడానికి, ప్రత్యేక సూచికలు ఉపయోగించబడతాయి, వీటిని నిర్మాణ సగటులు అని పిలుస్తారు. ఈ సూచికలలో మోడ్, మీడియన్, క్వార్టైల్స్ మరియు డెసిల్స్ ఉన్నాయి.

ఫ్యాషన్.మోడ్ (Mo) అనేది పాపులేషన్ యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క అత్యంత తరచుగా సంభవించే విలువ. మోడ్ అనేది సైద్ధాంతిక పంపిణీ వక్రరేఖ యొక్క గరిష్ట బిందువుకు అనుగుణంగా ఉండే లక్షణం యొక్క విలువ.

వినియోగదారుల డిమాండ్‌ను అధ్యయనం చేసేటప్పుడు (విస్తృత డిమాండ్ ఉన్న బట్టలు మరియు బూట్ల పరిమాణాలను నిర్ణయించేటప్పుడు) మరియు ధరలను నమోదు చేసేటప్పుడు ఫ్యాషన్ వాణిజ్య ఆచరణలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. మొత్తంగా అనేక మోడ్‌లు ఉండవచ్చు.

వివిక్త శ్రేణిలో మోడ్ యొక్క గణన.వివిక్త శ్రేణిలో, మోడ్ అనేది అత్యధిక పౌనఃపున్యం కలిగిన వేరియంట్. వివిక్త సిరీస్‌లో మోడ్‌ను కనుగొనడాన్ని పరిశీలిద్దాం.

విరామ శ్రేణిలో మోడ్ యొక్క గణన.విరామ వైవిధ్య శ్రేణిలో, మోడ్ సుమారుగా మోడల్ విరామం యొక్క కేంద్ర రూపాంతరంగా పరిగణించబడుతుంది, అనగా. అత్యధిక ఫ్రీక్వెన్సీ (ఫ్రీక్వెన్సీ) ఉన్న విరామం. విరామంలో, మీరు మోడ్ అయిన లక్షణం యొక్క విలువను కనుగొనాలి. విరామ శ్రేణి కోసం, మోడ్ సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

మోడల్ విరామం యొక్క దిగువ పరిమితి ఎక్కడ ఉంది; - మోడల్ విరామం యొక్క విలువ; - మోడల్ విరామానికి సంబంధించిన ఫ్రీక్వెన్సీ; - మోడల్ విరామానికి ముందు ఫ్రీక్వెన్సీ; - మోడల్ తర్వాత విరామం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ.

మధ్యస్థ.మధ్యస్థ () అనేది ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణి యొక్క మధ్య యూనిట్ యొక్క లక్షణం యొక్క విలువ. ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణి అనేది గుణ విలువలు ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో వ్రాయబడిన శ్రేణి. లేదా మధ్యస్థం అనేది ఆర్డర్ చేయబడిన వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క సంఖ్యను రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించే విలువ: ఒక భాగం సగటు ఎంపిక కంటే తక్కువగా ఉండే విభిన్న లక్షణం యొక్క విలువను కలిగి ఉంటుంది మరియు మరొకటి ఎక్కువ విలువను కలిగి ఉంటుంది.

మధ్యస్థాన్ని కనుగొనడానికి, ముందుగా దాని ఆర్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయించండి. దీన్ని చేయడానికి, యూనిట్ల సంఖ్య బేసిగా ఉంటే, అన్ని పౌనఃపున్యాల మొత్తానికి ఒకటి జోడించబడుతుంది మరియు ప్రతిదీ రెండుగా విభజించబడుతుంది. యూనిట్ల సరి సంఖ్యతో, మధ్యస్థం ఒక యూనిట్ యొక్క లక్షణం యొక్క విలువగా కనుగొనబడుతుంది, దీని క్రమ సంఖ్య మొత్తం పౌనఃపున్యాల మొత్తం రెండుతో భాగించబడుతుంది. మధ్యస్థం యొక్క క్రమ సంఖ్యను తెలుసుకోవడం, సేకరించిన పౌనఃపున్యాలను ఉపయోగించి దాని విలువను కనుగొనడం సులభం.

వివిక్త శ్రేణిలో మధ్యస్థం యొక్క గణన.నమూనా సర్వే ప్రకారం, పిల్లల సంఖ్య ద్వారా కుటుంబాల పంపిణీపై డేటా పొందబడింది, పట్టిక. 5.5 మధ్యస్థాన్ని నిర్ణయించడానికి, మేము మొదట దాని ఆర్డినల్ సంఖ్యను నిర్ణయిస్తాము

ఈ కుటుంబాలలో పిల్లల సంఖ్య 2కి సమానం, కాబట్టి = 2. ఈ విధంగా, 50% కుటుంబాలలో పిల్లల సంఖ్య 2కి మించదు.

- మధ్యస్థ విరామానికి ముందు సంచిత ఫ్రీక్వెన్సీ;

ఒక వైపు, ఇది చాలా సానుకూల ఆస్తి ఎందుకంటే ఈ సందర్భంలో, అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభాలోని అన్ని యూనిట్లను ప్రభావితం చేసే అన్ని కారణాల ప్రభావం పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది. మరోవైపు, సోర్స్ డేటాలో యాదృచ్ఛికంగా చేర్చబడిన ఒక పరిశీలన కూడా పరిశీలనలో ఉన్న జనాభాలో (ముఖ్యంగా సంక్షిప్త శ్రేణిలో) అధ్యయనం చేయబడే లక్షణం యొక్క అభివృద్ధి స్థాయిని గణనీయంగా వక్రీకరిస్తుంది.

క్వార్టైల్స్ మరియు డెసిల్స్.వైవిధ్య శ్రేణిలో మధ్యస్థాన్ని కనుగొనడంలో సారూప్యత ద్వారా, మీరు ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణిలోని ఏదైనా యూనిట్ కోసం లక్షణం యొక్క విలువను కనుగొనవచ్చు. కాబట్టి, ప్రత్యేకంగా, మీరు శ్రేణిని 4 సమాన భాగాలుగా, 10గా విభజించే యూనిట్ల కోసం లక్షణం యొక్క విలువను కనుగొనవచ్చు.

క్వార్టైల్స్.ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణిని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించే ఎంపికలను క్వార్టైల్స్ అంటారు.

ఈ సందర్భంలో, వారు వేరు చేస్తారు: దిగువ (లేదా మొదటి) క్వార్టైల్ (Q1) - ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణి యొక్క యూనిట్ కోసం లక్షణం యొక్క విలువ, జనాభాను ¼ నుండి ¾ నిష్పత్తిలో మరియు ఎగువ (లేదా మూడవ) క్వార్టైల్ ( Q3) - ర్యాంక్ చేయబడిన శ్రేణి యొక్క యూనిట్ కోసం లక్షణం యొక్క విలువ, జనాభాను ¾ నుండి ¼ నిష్పత్తిలో విభజించడం.

- క్వార్టైల్ విరామాల పౌనఃపున్యాలు (దిగువ మరియు ఎగువ)

Q1 మరియు Q3 కలిగిన విరామాలు సంచిత పౌనఃపున్యాలు (లేదా పౌనఃపున్యాలు) ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.

డెసిల్స్.క్వార్టైల్స్‌తో పాటు, డెసిల్స్ లెక్కించబడతాయి - ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్‌ను 10 సమాన భాగాలుగా విభజించే ఎంపికలు.

వారు D చేత నియమించబడ్డారు, మొదటి దశ D1 శ్రేణిని 1/10 మరియు 9/10 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది, రెండవ D2 - 2/10 మరియు 8/10, మొదలైనవి. అవి మధ్యస్థ మరియు క్వార్టైల్‌ల వలె అదే పథకం ప్రకారం లెక్కించబడతాయి.

మధ్యస్థం, క్వార్టైల్స్ మరియు డెసిల్స్ రెండూ ఆర్డినల్ స్టాటిస్టిక్స్ అని పిలవబడే వాటికి చెందినవి, ఇది ర్యాంక్ సిరీస్‌లో నిర్దిష్ట ఆర్డినల్ స్థానాన్ని ఆక్రమించే ఒక ఎంపికగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది.

సమూహ పద్ధతి కూడా మిమ్మల్ని కొలవడానికి అనుమతిస్తుంది వైవిధ్యం(వైవిధ్యం, హెచ్చుతగ్గులు) సంకేతాలు. జనాభాలో యూనిట్ల సంఖ్య సాపేక్షంగా తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, జనాభాను రూపొందించే యూనిట్ల ర్యాంక్ సంఖ్య ఆధారంగా వైవిధ్యం కొలుస్తారు. సిరీస్ అంటారు ర్యాంక్,యూనిట్లు లక్షణం యొక్క ఆరోహణ (అవరోహణ) క్రమంలో అమర్చబడి ఉంటే.

ఏది ఏమైనప్పటికీ, వైవిధ్యం యొక్క తులనాత్మక లక్షణం అవసరమైనప్పుడు ర్యాంక్ చేయబడిన సిరీస్‌లు చాలా సూచనగా ఉంటాయి. అదనంగా, అనేక సందర్భాల్లో మేము పెద్ద సంఖ్యలో యూనిట్లను కలిగి ఉన్న గణాంక జనాభాతో వ్యవహరించాల్సి ఉంటుంది, ఇది నిర్దిష్ట సిరీస్ రూపంలో ప్రాతినిధ్యం వహించడం ఆచరణాత్మకంగా కష్టం. ఈ విషయంలో, గణాంక డేటాతో ప్రారంభ సాధారణ పరిచయం కోసం మరియు ప్రత్యేకించి లక్షణాలలో వైవిధ్యాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి, అధ్యయనంలో ఉన్న దృగ్విషయాలు మరియు ప్రక్రియలు సాధారణంగా సమూహాలుగా మిళితం చేయబడతాయి మరియు సమూహ ఫలితాలు సమూహ పట్టికల రూపంలో ప్రదర్శించబడతాయి.

సమూహ పట్టికలో రెండు నిలువు వరుసలు మాత్రమే ఉంటే - ఎంచుకున్న లక్షణం (ఐచ్ఛికాలు) మరియు సమూహాల సంఖ్య (ఫ్రీక్వెన్సీ లేదా ఫ్రీక్వెన్సీ) ప్రకారం సమూహాలు ఉంటే, దానిని అంటారు పంపిణీ దగ్గర.

పంపిణీ పరిధి -ఒక లక్షణం ఆధారంగా నిర్మాణాత్మక సమూహం యొక్క సరళమైన రకం, రెండు నిలువు వరుసలతో కూడిన సమూహ పట్టికలో ప్రదర్శించబడుతుంది, ఇందులో వైవిధ్యాలు మరియు లక్షణం యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలు ఉంటాయి. అనేక సందర్భాల్లో, అటువంటి నిర్మాణాత్మక సమూహంతో, అనగా. పంపిణీ శ్రేణి యొక్క సంకలనంతో, ప్రారంభ గణాంక పదార్థం యొక్క అధ్యయనం ప్రారంభమవుతుంది.

ఎంచుకున్న సమూహాలు పౌనఃపున్యాల ద్వారా మాత్రమే కాకుండా ఇతర గణాంక సూచికల ద్వారా కూడా వర్గీకరించబడినట్లయితే పంపిణీ శ్రేణి రూపంలో నిర్మాణాత్మక సమూహాన్ని నిజమైన నిర్మాణ సమూహంగా మార్చవచ్చు. పంపిణీ శ్రేణి యొక్క ముఖ్య ఉద్దేశ్యం లక్షణాల వైవిధ్యాన్ని అధ్యయనం చేయడం. పంపిణీ శ్రేణి సిద్ధాంతం గణిత గణాంకాల ద్వారా వివరంగా అభివృద్ధి చేయబడింది.

పంపిణీ శ్రేణులు విభజించబడ్డాయి గుణాత్మకమైన(లక్షణ లక్షణాల ప్రకారం వర్గీకరించడం, ఉదాహరణకు, లింగం, జాతీయత, వైవాహిక స్థితి మొదలైన వాటి ద్వారా జనాభాను విభజించడం) మరియు వైవిధ్యమైన(పరిమాణాత్మక లక్షణాల ద్వారా వర్గీకరించడం).

వైవిధ్యం సిరీస్రెండు నిలువు వరుసలను కలిగి ఉన్న సమూహ పట్టిక: ఒక పరిమాణాత్మక లక్షణం మరియు ప్రతి సమూహంలోని యూనిట్ల సంఖ్య ప్రకారం యూనిట్ల సమూహం. వైవిధ్య శ్రేణిలోని విరామాలు సాధారణంగా సమానంగా ఏర్పడతాయి మరియు మూసివేయబడతాయి. వైవిధ్యం సిరీస్ సగటు తలసరి ద్రవ్య ఆదాయం (టేబుల్ 3.10) ద్వారా రష్యన్ జనాభా యొక్క క్రింది సమూహం.

పట్టిక 3.10

2004-2009లో సగటు తలసరి ఆదాయం ద్వారా రష్యా జనాభా పంపిణీ.

సగటు తలసరి నగదు ఆదాయం ఆధారంగా జనాభా సమూహాలు, రుబ్./నెల	సమూహంలో జనాభా, మొత్తంలో %
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
25,000.0 కంటే ఎక్కువ
మొత్తం జనాభా

వేరియేషన్ సిరీస్, క్రమంగా, వివిక్త మరియు విరామంగా విభజించబడింది. వివిక్తవైవిధ్య శ్రేణి ఇరుకైన పరిమితుల్లో మారుతూ ఉండే వివిక్త లక్షణాల వైవిధ్యాలను మిళితం చేస్తుంది. వివిక్త వైవిధ్య శ్రేణికి ఉదాహరణ రష్యన్ కుటుంబాలు వారి పిల్లల సంఖ్య ద్వారా పంపిణీ.

విరామంవైవిధ్య శ్రేణి విస్తృత పరిధిలో మారుతున్న నిరంతర లక్షణాలు లేదా వివిక్త లక్షణాల వైవిధ్యాలను మిళితం చేస్తుంది. ఇంటర్వెల్ అనేది సగటు తలసరి ద్రవ్య ఆదాయం ద్వారా రష్యన్ జనాభా పంపిణీ యొక్క వైవిధ్య శ్రేణి.

వివిక్త వైవిధ్యం సిరీస్ ఆచరణలో చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడదు. ఇంతలో, వాటిని కంపైల్ చేయడం కష్టం కాదు, ఎందుకంటే సమూహాల కూర్పు అధ్యయనం చేయబడిన సమూహ లక్షణాలు వాస్తవానికి కలిగి ఉన్న నిర్దిష్ట వైవిధ్యాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

ఇంటర్వెల్ వేరియేషన్ సిరీస్‌లు మరింత విస్తృతంగా ఉన్నాయి. వాటిని కంపైల్ చేసేటప్పుడు, సమూహాల సంఖ్య, అలాగే ఏర్పాటు చేయవలసిన విరామాల పరిమాణం గురించి కష్టమైన ప్రశ్న తలెత్తుతుంది.

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి సూత్రాలు గణాంక సమూహాలను నిర్మించే పద్దతిపై అధ్యాయంలో పేర్కొనబడ్డాయి (పేరా 3.3 చూడండి).

వైవిధ్య శ్రేణి అనేది విభిన్న సమాచారాన్ని కాంపాక్ట్ రూపంలోకి కుదించడానికి లేదా కుదించడానికి ఒక సాధనం; వాటి నుండి వైవిధ్యం యొక్క స్వభావం గురించి చాలా స్పష్టమైన తీర్పు ఇవ్వవచ్చు మరియు అధ్యయనంలో ఉన్న సెట్‌లో చేర్చబడిన దృగ్విషయాల లక్షణాలలో తేడాలను అధ్యయనం చేయవచ్చు. కానీ వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క అతి ముఖ్యమైన ప్రాముఖ్యత ఏమిటంటే, వాటి ఆధారంగా వైవిధ్యం యొక్క ప్రత్యేక సాధారణీకరణ లక్షణాలు లెక్కించబడతాయి (చాప్టర్ 7 చూడండి).

గణాంక విశ్లేషణలో ఒక ప్రత్యేక స్థానం అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం లేదా దృగ్విషయం యొక్క సగటు స్థాయిని నిర్ణయించడానికి చెందినది. లక్షణం యొక్క సగటు స్థాయిని సగటు విలువలతో కొలుస్తారు.

సగటు విలువ అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క సాధారణ పరిమాణాత్మక స్థాయిని వర్గీకరిస్తుంది మరియు ఇది గణాంక జనాభా యొక్క సమూహ ఆస్తి. ఇది సమం చేస్తుంది, వ్యక్తిగత పరిశీలనల యొక్క యాదృచ్ఛిక విచలనాలను ఒక దిశలో లేదా మరొక దిశలో బలహీనపరుస్తుంది మరియు అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క ప్రధాన, విలక్షణమైన ఆస్తిని హైలైట్ చేస్తుంది.

సగటులు విస్తృతంగా ఉపయోగించబడతాయి:

1. జనాభా ఆరోగ్య స్థితిని అంచనా వేయడానికి: శారీరక అభివృద్ధి లక్షణాలు (ఎత్తు, బరువు, ఛాతీ చుట్టుకొలత మొదలైనవి), వివిధ వ్యాధుల ప్రాబల్యం మరియు వ్యవధిని గుర్తించడం, జనాభా సూచికలను విశ్లేషించడం (జనాభా యొక్క కీలక కదలిక, సగటు ఆయుర్దాయం, జనాభా పునరుత్పత్తి, సగటు జనాభా మరియు మొదలైనవి).

2. వైద్య సంస్థలు, వైద్య సిబ్బంది కార్యకలాపాలను అధ్యయనం చేయడం మరియు వారి పని నాణ్యతను అంచనా వేయడం, వివిధ రకాల వైద్య సంరక్షణ కోసం జనాభా అవసరాలను ప్లాన్ చేయడం మరియు నిర్ణయించడం (సంవత్సరానికి ప్రతి నివాసికి సగటు అభ్యర్థనలు లేదా సందర్శనల సంఖ్య, బస యొక్క సగటు పొడవు ఆసుపత్రిలో రోగి, పరీక్ష రోగి యొక్క సగటు వ్యవధి, వైద్యులు సగటు లభ్యత, పడకలు మొదలైనవి).

3. సానిటరీ మరియు ఎపిడెమియోలాజికల్ స్థితిని వర్గీకరించడానికి (వర్క్‌షాప్‌లో సగటు గాలి దుమ్ము కంటెంట్, వ్యక్తికి సగటు ప్రాంతం, ప్రోటీన్లు, కొవ్వులు మరియు కార్బోహైడ్రేట్ల సగటు వినియోగం మొదలైనవి).

4. సాధారణ మరియు రోగలక్షణ పరిస్థితులలో వైద్య మరియు శారీరక సూచికలను గుర్తించడానికి, ప్రయోగశాల డేటాను ప్రాసెస్ చేస్తున్నప్పుడు, సామాజిక, పరిశుభ్రమైన, క్లినికల్ మరియు ప్రయోగాత్మక అధ్యయనాలలో నమూనా అధ్యయనం యొక్క ఫలితాల విశ్వసనీయతను స్థాపించడానికి.

సగటు విలువల గణన వైవిధ్య శ్రేణి ఆధారంగా నిర్వహించబడుతుంది. వైవిధ్యం సిరీస్గుణాత్మకంగా సజాతీయ గణాంక జనాభా, దీని యొక్క వ్యక్తిగత యూనిట్లు అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం లేదా దృగ్విషయం యొక్క పరిమాణాత్మక వ్యత్యాసాలను వర్ణిస్తాయి.

పరిమాణాత్మక వైవిధ్యం రెండు రకాలుగా ఉంటుంది: నిరంతర (వివిక్త) మరియు నిరంతర.

ఒక నిరంతర (వివిక్త) లక్షణం పూర్ణాంకం వలె మాత్రమే వ్యక్తీకరించబడుతుంది మరియు ఎటువంటి ఇంటర్మీడియట్ విలువలను కలిగి ఉండదు (ఉదాహరణకు, సందర్శనల సంఖ్య, సైట్ యొక్క జనాభా, కుటుంబంలోని పిల్లల సంఖ్య, పాయింట్లలో వ్యాధి యొక్క తీవ్రత , మొదలైనవి).

నిరంతర సంకేతం పాక్షిక వాటితో సహా నిర్దిష్ట పరిమితుల్లో ఏదైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు మరియు ఇది సుమారుగా మాత్రమే వ్యక్తీకరించబడుతుంది (ఉదాహరణకు, బరువు - పెద్దలకు ఇది కిలోగ్రాములకు పరిమితం చేయబడుతుంది మరియు నవజాత శిశువులకు - గ్రాములు; ఎత్తు, రక్తపోటు, సమయం రోగిని చూడటం మరియు మొదలైనవి).

వైవిధ్య శ్రేణిలో చేర్చబడిన ప్రతి వ్యక్తి లక్షణం లేదా దృగ్విషయం యొక్క డిజిటల్ విలువను వేరియంట్ అంటారు మరియు అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది వి . ఇతర సంకేతాలు గణిత సాహిత్యంలో కూడా కనిపిస్తాయి, ఉదాహరణకు x లేదా వై.

ప్రతి ఎంపికను ఒకసారి సూచించే వైవిధ్య శ్రేణిని సింపుల్ అంటారు.కంప్యూటర్ డేటా ప్రాసెసింగ్ విషయంలో చాలా గణాంక సమస్యలలో ఇటువంటి సిరీస్‌లు ఉపయోగించబడతాయి.

పరిశీలనల సంఖ్య పెరిగేకొద్దీ, పునరావృతమయ్యే వేరియంట్ విలువలు సంభవిస్తాయి. ఈ సందర్భంలో, ఇది సృష్టించబడుతుంది సమూహ వైవిధ్య శ్రేణి, ఇక్కడ పునరావృతాల సంఖ్య సూచించబడుతుంది (ఫ్రీక్వెన్సీ, "అక్షరం ద్వారా సూచించబడుతుంది ఆర్ »).

ర్యాంక్ వైవిధ్యం సిరీస్ఆరోహణ లేదా అవరోహణ క్రమంలో అమర్చబడిన ఎంపికలను కలిగి ఉంటుంది. సాధారణ మరియు సమూహ సిరీస్‌లు రెండింటినీ ర్యాంకింగ్‌తో సంకలనం చేయవచ్చు.

ఇంటర్వెల్ వైవిధ్యం సిరీస్చాలా పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలన యూనిట్‌లతో (1000 కంటే ఎక్కువ) కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించకుండా ప్రదర్శించిన తదుపరి గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి సంకలనం చేయబడింది.

నిరంతర వైవిధ్య శ్రేణిఎంపిక విలువలను కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఏదైనా విలువ కావచ్చు.

వైవిధ్య శ్రేణిలో ఒక లక్షణం (వైవిధ్యాలు) యొక్క విలువలు వ్యక్తిగత నిర్దిష్ట సంఖ్యల రూపంలో ఇవ్వబడితే, అటువంటి శ్రేణిని అంటారు వివిక్త.

వైవిధ్య శ్రేణిలో ప్రతిబింబించే లక్షణం యొక్క విలువల యొక్క సాధారణ లక్షణాలు సగటు విలువలు. వాటిలో, ఎక్కువగా ఉపయోగించేవి: అంకగణిత సగటు M,ఫ్యాషన్ మోమరియు మధ్యస్థ నేను.ఈ లక్షణాలలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రత్యేకమైనవి. అవి ఒకదానికొకటి భర్తీ చేయలేవు మరియు అవి వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క లక్షణాలను పూర్తిగా మరియు ఘనీభవించిన రూపంలో మాత్రమే సూచిస్తాయి.

ఫ్యాషన్ (మో) చాలా తరచుగా సంభవించే ఎంపికల విలువను పేర్కొనండి.

మధ్యస్థ (నేను) - ఇది ర్యాంక్ చేయబడిన వైవిధ్య శ్రేణిని సగానికి విభజించే ఎంపిక యొక్క విలువ (మధ్యస్థం యొక్క ప్రతి వైపున ఎంపికలో సగం ఉంటుంది). అరుదైన సందర్భాల్లో, సుష్ట వైవిధ్య శ్రేణి ఉన్నప్పుడు, మోడ్ మరియు మధ్యస్థం ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి మరియు అంకగణిత సగటు విలువతో సమానంగా ఉంటాయి.

ఎంపిక విలువల యొక్క అత్యంత విలక్షణమైన లక్షణం అంకగణిత సగటువిలువ( ఎం ) గణిత సాహిత్యంలో ఇది సూచించబడుతుంది .

అంకగణిత అర్థం (M, ) అనేది అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క నిర్దిష్ట లక్షణం యొక్క సాధారణ పరిమాణాత్మక లక్షణం, గుణాత్మకంగా సజాతీయ గణాంక జనాభాను ఏర్పరుస్తుంది. సాధారణ మరియు బరువున్న అంకగణిత సగటులు ఉన్నాయి. సాధారణ అంకగణిత సగటు అనేది అన్ని ఎంపికలను సంగ్రహించడం ద్వారా మరియు ఈ వైవిధ్య శ్రేణిలో చేర్చబడిన మొత్తం ఎంపికల సంఖ్యతో ఈ మొత్తాన్ని భాగించడం ద్వారా సాధారణ వైవిధ్య శ్రేణి కోసం లెక్కించబడుతుంది. సూత్రం ప్రకారం లెక్కలు నిర్వహించబడతాయి:

,

ఎక్కడ: ఎం - సాధారణ అంకగణిత అర్థం;

Σ వి - మొత్తం ఎంపిక;

n- పరిశీలనల సంఖ్య.

సమూహ వైవిధ్య శ్రేణిలో, బరువున్న అంకగణిత సగటు నిర్ణయించబడుతుంది. దానిని లెక్కించడానికి సూత్రం:

,

ఎక్కడ: ఎం - అంకగణిత బరువు సగటు;

Σ Vp - వారి పౌనఃపున్యాల ద్వారా వేరియంట్ యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం;

n- పరిశీలనల సంఖ్య.

పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలతో, మాన్యువల్ లెక్కల విషయంలో, క్షణాల పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు.

అంకగణిత సగటు క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

సగటు నుండి విచలనాల మొత్తం ( Σ డి ) సున్నాకి సమానం (టేబుల్ 15 చూడండి);

· అన్ని ఎంపికలను ఒకే కారకం (డివైజర్) ద్వారా గుణించినప్పుడు (భాగించేటప్పుడు), అంకగణిత సగటు అదే కారకం (డివైజర్) ద్వారా గుణించబడుతుంది (భాగించబడుతుంది);

· మీరు అన్ని ఎంపికలకు ఒకే సంఖ్యను జోడిస్తే (తీసివేస్తే), అంకగణిత సగటు అదే సంఖ్యతో పెరుగుతుంది (తగ్గుతుంది).

అంకగణిత సగటులు, అవి లెక్కించబడే శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా, వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క లక్షణాలను పూర్తిగా ప్రతిబింబించకపోవచ్చు, ప్రత్యేకించి ఇతర సగటులతో పోల్చడం అవసరమైనప్పుడు. విలువకు దగ్గరగా ఉండే సగటులను వివిధ స్థాయిల స్కాటరింగ్‌తో సిరీస్ నుండి పొందవచ్చు. వ్యక్తిగత ఎంపికలు వాటి పరిమాణాత్మక లక్షణాల పరంగా ఒకదానికొకటి దగ్గరగా ఉంటాయి, తక్కువ వ్యాప్తి (డోలనం, వైవిధ్యం)సిరీస్, మరింత సాధారణ దాని సగటు.

లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేయడానికి మాకు అనుమతించే ప్రధాన పారామితులు:

· పరిధి;

· వ్యాప్తి;

· ప్రామాణిక విచలనం;

· వైవిధ్యం యొక్క గుణకం.

వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క పరిధి మరియు వ్యాప్తిని బట్టి లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని సుమారుగా అంచనా వేయవచ్చు. పరిధి సిరీస్‌లో గరిష్ట (V max) మరియు కనిష్ట (V min) ఎంపికలను సూచిస్తుంది. వ్యాప్తి (A m) అనేది ఈ ఎంపికల మధ్య వ్యత్యాసం: A m = V max - V min.

వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క వైవిధ్యం యొక్క ప్రధాన, సాధారణంగా ఆమోదించబడిన కొలత చెదరగొట్టడం (డి ) కానీ చాలా తరచుగా ఉపయోగించేది చెదరగొట్టడం ఆధారంగా లెక్కించిన మరింత అనుకూలమైన పరామితి - ప్రామాణిక విచలనం ( σ ) ఇది విచలనం యొక్క పరిమాణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది ( డి ) దాని అంకగణిత సగటు నుండి ప్రతి వైవిధ్య శ్రేణి ( d=V - M ).

సగటు నుండి విచలనాలు సానుకూలంగా మరియు ప్రతికూలంగా ఉంటాయి కాబట్టి, సంగ్రహించినప్పుడు అవి “0” విలువను ఇస్తాయి (S d=0) దీనిని నివారించడానికి, విచలనం విలువలు ( డి) రెండవ శక్తికి పెంచబడతాయి మరియు సగటున ఉంటాయి. ఈ విధంగా, వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క వ్యాప్తి అనేది అంకగణిత సగటు నుండి వేరియంట్ యొక్క విచలనాల సగటు స్క్వేర్ మరియు ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

.

ఇది వైవిధ్యం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణం మరియు అనేక గణాంక ప్రమాణాలను లెక్కించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

విచలనం విచలనాల వర్గంగా వ్యక్తీకరించబడినందున, దాని విలువను అంకగణిత సగటుతో పోల్చడం సాధ్యం కాదు. ఈ ప్రయోజనాల కోసం ఇది ఉపయోగించబడుతుంది ప్రామాణిక విచలనం, ఇది "సిగ్మా" గుర్తుచే సూచించబడుతుంది ( σ ) ఇది సగటు విలువ వలె అదే యూనిట్లలోని అంకగణిత సగటు విలువ నుండి వైవిధ్య శ్రేణి యొక్క అన్ని వేరియంట్‌ల యొక్క సగటు విచలనాన్ని వర్ణిస్తుంది, కాబట్టి అవి కలిసి ఉపయోగించబడతాయి.

ప్రామాణిక విచలనం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:

పరిశీలనల సంఖ్య ఉన్నప్పుడు పేర్కొన్న సూత్రం వర్తించబడుతుంది ( n ) 30 కంటే ఎక్కువ. చిన్న సంఖ్యతో n ప్రామాణిక విచలనం విలువ గణిత ఆఫ్‌సెట్‌తో అనుబంధించబడిన లోపాన్ని కలిగి ఉంటుంది ( n - 1). ఈ విషయంలో, ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించే సూత్రంలో అటువంటి పక్షపాతాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా మరింత ఖచ్చితమైన ఫలితం పొందవచ్చు:

ప్రామాణిక విచలనం (లు ) అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం యొక్క అంచనా Xదాని వైవిధ్యం యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనా ఆధారంగా దాని గణిత నిరీక్షణకు సంబంధించి.

విలువలతో n > 30 ప్రామాణిక విచలనం ( σ ) మరియు ప్రామాణిక విచలనం ( లు ) అలాగే ఉంటుంది ( σ = లు ). అందువల్ల, చాలా ఆచరణాత్మక మాన్యువల్స్‌లో ఈ ప్రమాణాలు వేర్వేరు అర్థాలను కలిగి ఉంటాయి. Excelలో, ప్రామాణిక విచలనాన్ని =STDEV(పరిధి) ఫంక్షన్‌ని ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు. మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించడానికి, మీరు తగిన సూత్రాన్ని సృష్టించాలి.

సగటు చతురస్రం లేదా ప్రామాణిక విచలనం అనేది ఒక లక్షణం యొక్క విలువలు సగటు విలువ నుండి ఎంత భిన్నంగా ఉండవచ్చో నిర్ణయించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వేసవిలో ఒకే సగటు రోజువారీ ఉష్ణోగ్రత ఉన్న రెండు నగరాలు ఉన్నాయని అనుకుందాం. ఈ నగరాల్లో ఒకటి తీరంలో, మరొకటి ఖండంలో ఉంది. తీరప్రాంతంలో ఉన్న నగరాల్లో పగటిపూట ఉష్ణోగ్రతల్లో తేడాలు లోతట్టు నగరాల కంటే తక్కువగా ఉంటాయని తెలిసింది. అందువల్ల, తీరప్రాంత నగరానికి పగటిపూట ఉష్ణోగ్రతల యొక్క ప్రామాణిక విచలనం రెండవ నగరం కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. ఆచరణలో, ఖండంలో ఉన్న ఒక నగరంలో ప్రతి నిర్దిష్ట రోజు యొక్క సగటు గాలి ఉష్ణోగ్రత తీరంలోని నగరం కంటే సగటు కంటే భిన్నంగా ఉంటుంది. అదనంగా, ప్రామాణిక విచలనం అవసరమైన స్థాయి సంభావ్యతతో సగటు నుండి సాధ్యమయ్యే ఉష్ణోగ్రత వ్యత్యాసాలను అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

సంభావ్యత సిద్ధాంతం ప్రకారం, సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని పాటించే దృగ్విషయాలలో, అంకగణిత సగటు, ప్రామాణిక విచలనం మరియు ఎంపికల విలువల మధ్య కఠినమైన సంబంధం ఉంది ( మూడు సిగ్మా నియమం) ఉదాహరణకు, విభిన్న లక్షణం యొక్క 68.3% విలువలు M ± 1 లోపల ఉన్నాయి σ , 95.5% - M ± 2 లోపల σ మరియు 99.7% - M ± 3 లోపల σ .

ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ వైవిధ్య శ్రేణి మరియు అధ్యయన సమూహం యొక్క సజాతీయత యొక్క స్వభావాన్ని నిర్ధారించడానికి అనుమతిస్తుంది. ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ తక్కువగా ఉంటే, ఇది అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం యొక్క అధిక సజాతీయతను సూచిస్తుంది. ఇచ్చిన వైవిధ్య శ్రేణికి ఈ సందర్భంలో అంకగణిత సగటు చాలా లక్షణంగా పరిగణించబడాలి. అయినప్పటికీ, చాలా చిన్న సిగ్మా విలువ పరిశీలనల యొక్క కృత్రిమ ఎంపిక గురించి ఆలోచించేలా చేస్తుంది. చాలా పెద్ద సిగ్మాతో, అంకగణిత సగటు వైవిధ్య శ్రేణిని తక్కువ స్థాయిలో వర్గీకరిస్తుంది, ఇది అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం లేదా దృగ్విషయం యొక్క గణనీయమైన వైవిధ్యం లేదా అధ్యయనంలో ఉన్న సమూహం యొక్క వైవిధ్యతను సూచిస్తుంది. అయినప్పటికీ, ప్రామాణిక విచలనం యొక్క విలువ యొక్క పోలిక ఒకే పరిమాణంలోని లక్షణాలకు మాత్రమే సాధ్యమవుతుంది. నిజమే, మేము నవజాత పిల్లలు మరియు పెద్దల బరువుల వైవిధ్యాన్ని పోల్చినట్లయితే, మేము ఎల్లప్పుడూ పెద్దలలో అధిక సిగ్మా విలువలను పొందుతాము.

వివిధ పరిమాణాల లక్షణాల వైవిధ్యం యొక్క పోలిక ఉపయోగించి చేయవచ్చు భేద గుణకం. ఇది వైవిధ్యాన్ని సగటు శాతంగా వ్యక్తీకరిస్తుంది, వివిధ లక్షణాల మధ్య పోలికలను అనుమతిస్తుంది. వైద్య సాహిత్యంలో వైవిధ్యం యొక్క గుణకం "" అనే సంకేతం ద్వారా సూచించబడుతుంది. తో ", మరియు గణితంలో" v"మరియు ఫార్ములా ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

.

10% కంటే తక్కువ వైవిధ్యం యొక్క గుణకం యొక్క విలువలు 10 నుండి 20% వరకు చిన్న వికీర్ణాన్ని సూచిస్తాయి - సగటు గురించి, 20% కంటే ఎక్కువ - అంకగణిత సగటు చుట్టూ బలమైన వికీర్ణం గురించి.

అంకగణిత సగటు సాధారణంగా నమూనా జనాభా నుండి డేటా ఆధారంగా లెక్కించబడుతుంది. పునరావృత అధ్యయనాలతో, యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాల ప్రభావంతో, అంకగణిత సగటు మారవచ్చు. ఇది ఒక నియమం వలె, పరిశీలన యొక్క సాధ్యమయ్యే యూనిట్లలో కొంత భాగాన్ని మాత్రమే అధ్యయనం చేయబడుతుంది, అంటే నమూనా జనాభా. అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయాన్ని సూచించే అన్ని సాధ్యమైన యూనిట్ల గురించి సమాచారాన్ని మొత్తం జనాభాను అధ్యయనం చేయడం ద్వారా పొందవచ్చు, ఇది ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడదు. అదే సమయంలో, ప్రయోగాత్మక డేటాను సాధారణీకరించే ఉద్దేశ్యంతో, సాధారణ జనాభాలో సగటు విలువ ఆసక్తిని కలిగి ఉంటుంది. అందువల్ల, అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం గురించి సాధారణ ముగింపును రూపొందించడానికి, నమూనా జనాభా ఆధారంగా పొందిన ఫలితాలను గణాంక పద్ధతులను ఉపయోగించి సాధారణ జనాభాకు బదిలీ చేయాలి.

నమూనా అధ్యయనం మరియు సాధారణ జనాభా మధ్య ఒప్పందం స్థాయిని నిర్ణయించడానికి, నమూనా పరిశీలన సమయంలో అనివార్యంగా తలెత్తే లోపం యొక్క పరిమాణాన్ని అంచనా వేయడం అవసరం. ఈ లోపం అంటారు " ప్రాతినిధ్య లోపం"లేదా" అంకగణిత సగటు యొక్క సగటు లోపం." ఇది వాస్తవానికి సెలెక్టివ్ స్టాటిస్టికల్ అబ్జర్వేషన్ నుండి పొందిన సగటులు మరియు అదే వస్తువు యొక్క నిరంతర అధ్యయనం నుండి పొందబడే సారూప్య విలువల మధ్య వ్యత్యాసం, అనగా. సాధారణ జనాభాను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు. నమూనా సగటు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కాబట్టి, అటువంటి సూచన పరిశోధకుడికి ఆమోదయోగ్యమైన సంభావ్యత స్థాయితో నిర్వహించబడుతుంది. వైద్య పరిశోధనలో ఇది కనీసం 95%.

ప్రాతినిధ్య లోపాన్ని నమోదు లోపాలు లేదా అటెన్షన్ ఎర్రర్‌లతో (స్లిప్‌లు, తప్పుడు లెక్కలు, అక్షరదోషాలు మొదలైనవి) అయోమయం చేయలేము, వీటిని ప్రయోగం సమయంలో ఉపయోగించే తగిన పద్ధతులు మరియు సాధనాల ద్వారా తగ్గించాలి.

ప్రాతినిధ్య లోపం యొక్క పరిమాణం నమూనా పరిమాణం మరియు లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం రెండింటిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలు, నమూనా జనాభాకు దగ్గరగా ఉంటుంది మరియు చిన్న లోపం. సంకేతం ఎంత వేరియబుల్ అయితే, గణాంక లోపం అంత ఎక్కువ.

ఆచరణలో, వైవిధ్య శ్రేణిలో ప్రాతినిధ్య లోపాన్ని గుర్తించడానికి, క్రింది సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది:

,

ఎక్కడ: m - ప్రాతినిధ్య లోపం;

σ - ప్రామాణిక విచలనం;

n- నమూనాలో పరిశీలనల సంఖ్య.

సగటు లోపం యొక్క పరిమాణం ప్రామాణిక విచలనానికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని సూత్రం చూపుతుంది, అనగా, అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం మరియు పరిశీలనల సంఖ్య యొక్క వర్గమూలానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

సాపేక్ష విలువలను లెక్కించడం ఆధారంగా గణాంక విశ్లేషణ చేస్తున్నప్పుడు, వైవిధ్య శ్రేణిని నిర్మించడం అవసరం లేదు. ఈ సందర్భంలో, సాపేక్ష సూచికల కోసం సగటు లోపం యొక్క నిర్ణయం సరళీకృత సూత్రాన్ని ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది:

,

ఎక్కడ: ఆర్- సాపేక్ష సూచిక యొక్క విలువ, శాతంగా వ్యక్తీకరించబడింది, ppm, మొదలైనవి;

q– P యొక్క పరస్పరం మరియు (1-P), (100-P), (1000-P) మొదలైనవాటిగా వ్యక్తీకరించబడింది, ఇది సూచికను లెక్కించే ప్రాతిపదికపై ఆధారపడి ఉంటుంది;

n- నమూనా జనాభాలో పరిశీలనల సంఖ్య.

ఏదేమైనా, సూచిక యొక్క విలువ దాని బేస్ కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే సాపేక్ష విలువల కోసం ప్రాతినిధ్య లోపాన్ని లెక్కించడానికి పేర్కొన్న ఫార్ములా వర్తించబడుతుంది. ఇంటెన్సివ్ ఇండికేటర్‌లను లెక్కించే అనేక సందర్భాల్లో, ఈ పరిస్థితి నెరవేరలేదు మరియు సూచిక 100% లేదా 1000% కంటే ఎక్కువ సంఖ్యలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది. అటువంటి పరిస్థితిలో, వైవిధ్య శ్రేణి నిర్మించబడింది మరియు ప్రామాణిక విచలనం ఆధారంగా సగటు విలువల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ప్రాతినిధ్య లోపం లెక్కించబడుతుంది.

జనాభాలో అంకగణిత సగటు విలువను అంచనా వేయడం రెండు విలువలను సూచించడం ద్వారా నిర్వహించబడుతుంది - కనిష్ట మరియు గరిష్టం. సంభావ్య విచలనాల యొక్క ఈ విపరీతమైన విలువలు, వీటిలో జనాభా యొక్క కావలసిన సగటు విలువ హెచ్చుతగ్గులకు లోనవుతుంది, వీటిని అంటారు " సరిహద్దులను విశ్వసించండి».

99.7% సంభావ్యతతో లక్షణం యొక్క సాధారణ పంపిణీతో, సగటు యొక్క విచలనాల యొక్క విపరీతమైన విలువలు ట్రిపుల్ ప్రాతినిధ్య లోపం యొక్క విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉండవని సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క పోస్ట్యులేట్లు నిరూపించాయి ( ఎం ± 3 m ); 95.5%లో - సగటు విలువ యొక్క సగటు లోపం కంటే రెండింతలు మించకూడదు ( ఎం ± 2 m ); 68.3%లో – ఒకటి కంటే ఎక్కువ సగటు లోపం లేదు ( ఎం ± 1 m ) (Fig. 9).

P%

అన్నం. 9. సాధారణ పంపిణీ యొక్క సంభావ్యత సాంద్రత.

సాధారణ గాస్సియన్ పంపిణీ చట్టాన్ని పాటించే ఫీచర్‌కు మాత్రమే పై ప్రకటన సరైనదని గమనించండి.

మెడిసిన్ రంగంలో సహా చాలా ప్రయోగాత్మక అధ్యయనాలు కొలతలతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి, దీని ఫలితాలు ఇచ్చిన విరామంలో దాదాపు ఏదైనా విలువను తీసుకోవచ్చు, కాబట్టి, ఒక నియమం వలె, అవి నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క నమూనా ద్వారా వివరించబడ్డాయి. ఈ విషయంలో, చాలా గణాంక పద్ధతులు నిరంతర పంపిణీలను పరిగణలోకి తీసుకుంటాయి. గణిత గణాంకాలలో ప్రాథమిక పాత్రను కలిగి ఉన్న అటువంటి పంపిణీ ఒకటి సాధారణ, లేదా గాస్సియన్, పంపిణీ.

ఇది అనేక కారణాల వల్ల.

1. అన్నింటిలో మొదటిది, సాధారణ పంపిణీని ఉపయోగించి అనేక ప్రయోగాత్మక పరిశీలనలను విజయవంతంగా వివరించవచ్చు. సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నుండి శ్రేణి వరకు ఉంటుంది, ఇది ఆచరణలో ఎప్పుడూ ఎదుర్కొనబడదు కాబట్టి, ఖచ్చితంగా సాధారణమైన అనుభావిక డేటా పంపిణీలు ఏవీ లేవని వెంటనే గమనించాలి. అయినప్పటికీ, సాధారణ పంపిణీ చాలా తరచుగా ఉజ్జాయింపుగా పనిచేస్తుంది.

మానవ శరీరం యొక్క బరువు, ఎత్తు మరియు ఇతర శారీరక పారామితులు కొలవబడినా, ఫలితాలు ఎల్లప్పుడూ చాలా పెద్ద సంఖ్యలో యాదృచ్ఛిక కారకాలు (సహజ కారణాలు మరియు కొలత లోపాలు) ద్వారా ప్రభావితమవుతాయి. అంతేకాకుండా, ఒక నియమం వలె, ఈ కారకాలు ప్రతి ప్రభావం చాలా తక్కువగా ఉంటుంది. అటువంటి సందర్భాలలో ఫలితాలు దాదాపు సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడతాయని అనుభవం చూపిస్తుంది.

2. యాదృచ్ఛిక నమూనాతో అనుబంధించబడిన అనేక పంపిణీలు తరువాతి పరిమాణం పెరిగేకొద్దీ సాధారణం అవుతాయి.

3. సాధారణ పంపిణీ ఇతర నిరంతర పంపిణీల ఉజ్జాయింపుగా బాగా సరిపోతుంది (ఉదాహరణకు, వక్రంగా).

4. సాధారణ పంపిణీ అనేక అనుకూలమైన గణిత లక్షణాలను కలిగి ఉంది, ఇది గణాంకాలలో దాని విస్తృత వినియోగాన్ని ఎక్కువగా నిర్ధారిస్తుంది.

అదే సమయంలో, వైద్య డేటాలో సాధారణ పంపిణీ నమూనా ద్వారా వివరించలేని అనేక ప్రయోగాత్మక పంపిణీలు ఉన్నాయని గమనించాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, గణాంకాలు సాధారణంగా "నాన్‌పారామెట్రిక్" అని పిలువబడే పద్ధతులను అభివృద్ధి చేశాయి.

ఒక నిర్దిష్ట ప్రయోగం నుండి డేటాను ప్రాసెస్ చేయడానికి అనువైన గణాంక పద్ధతి యొక్క ఎంపిక, పొందిన డేటా సాధారణ పంపిణీ చట్టానికి చెందినదా అనే దానిపై ఆధారపడి చేయాలి. సాధారణ పంపిణీ చట్టానికి సంకేతం యొక్క అధీనం కోసం పరికల్పనను పరీక్షించడం అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ డిస్ట్రిబ్యూషన్ హిస్టోగ్రాం (గ్రాఫ్), అలాగే అనేక గణాంక ప్రమాణాలను ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది. వారందరిలో:

అసమానత ప్రమాణం ( బి );

కుర్టోసిస్ పరీక్ష కోసం ప్రమాణం ( g );

షాపిరో-విల్క్స్ పరీక్ష ( W ) .

డేటా పంపిణీ యొక్క స్వభావం యొక్క విశ్లేషణ (పంపిణీ యొక్క సాధారణత కోసం పరీక్ష అని కూడా పిలుస్తారు) ప్రతి పరామితి కోసం నిర్వహించబడుతుంది. పరామితి పంపిణీ సాధారణ చట్టానికి అనుగుణంగా ఉందో లేదో నమ్మకంగా నిర్ధారించడానికి, తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలన యూనిట్లు (కనీసం 30 విలువలు) అవసరం.

సాధారణ పంపిణీ కోసం, వక్రత మరియు కుర్టోసిస్ ప్రమాణాలు విలువ 0ని తీసుకుంటాయి. పంపిణీని కుడివైపుకి మార్చినట్లయితే బి > 0 (పాజిటివ్ అసిమెట్రీ), తో బి < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона g =0. వద్ద g > 0 అయితే పంపిణీ వక్రరేఖ పదునుగా ఉంటుంది g < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

షాపిరో-విల్క్స్ ప్రమాణాన్ని ఉపయోగించి సాధారణతను తనిఖీ చేయడానికి, అవసరమైన స్థాయి ప్రాముఖ్యత వద్ద మరియు పరిశీలన యూనిట్ల సంఖ్య (స్వేచ్ఛ డిగ్రీలు) ఆధారంగా గణాంక పట్టికలను ఉపయోగించి ఈ ప్రమాణం యొక్క విలువను కనుగొనడం అవసరం. అనుబంధం 1. సాధారణ పరికల్పన ఈ ప్రమాణం యొక్క చిన్న విలువలతో తిరస్కరించబడింది, ఒక నియమం వలె, వద్ద w <0,8.