గమనించిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ, గణిత నిరీక్షణ మరియు వైవిధ్యం ద్వారా యాదృచ్ఛిక నమూనాను రూపొందించనివ్వండి తెలియనివి. ఈ లక్షణాల కోసం అంచనాలుగా నమూనా సగటును ఉపయోగించాలని ప్రతిపాదించబడింది

మరియు నమూనా వ్యత్యాసం

. (3.14)

గణిత అంచనా మరియు వ్యాప్తి యొక్క అంచనాల యొక్క కొన్ని లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

1. నమూనా సగటు యొక్క గణిత అంచనాను లెక్కించండి:

కాబట్టి, నమూనా సగటు అనేది నిష్పాక్షికమైన అంచనా.

2. ఫలితాలు గుర్తుకు తెచ్చుకోండి పరిశీలనలు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి విలువ వలె ఒకే పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే , , . వైవిధ్యం అంతంతమాత్రంగానే ఉంటుందని మేము ఊహిస్తాము. అప్పుడు, పెద్ద సంఖ్యల చట్టంపై చెబిషెవ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఏదైనా ε > 0 సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది ,

ఇది ఇలా వ్రాయవచ్చు: . (3.16) (3.16) అనుగుణ్యత ప్రాపర్టీ (3.11) యొక్క నిర్వచనంతో పోల్చి చూస్తే, అంచనా అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క స్థిరమైన అంచనా అని మేము చూస్తాము.

3. నమూనా సగటు యొక్క వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనండి:

. (3.17)

అందువలన, గణిత నిరీక్షణ అంచనా యొక్క వ్యత్యాసం నమూనా పరిమాణానికి విలోమ నిష్పత్తిలో తగ్గుతుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ξ సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడితే, నమూనా సగటు అనేది గణిత నిరీక్షణ యొక్క ప్రభావవంతమైన అంచనా, అంటే, గణిత నిరీక్షణ యొక్క ఇతర అంచనాలతో పోలిస్తే వ్యత్యాసం అతిచిన్న విలువను తీసుకుంటుందని నిరూపించవచ్చు. ఇతర పంపిణీ చట్టాలకు ξ ఇది అలా ఉండకపోవచ్చు.

నమూనా వైవిధ్యం అనేది వ్యత్యాసం యొక్క పక్షపాత అంచనా ఎందుకంటే . (3.18)

నిజానికి, గణిత నిరీక్షణ మరియు ఫార్ములా (3.17) యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి, మేము కనుగొంటాము

.

వైవిధ్యం యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనాను పొందేందుకు, అంచనా (3.14) తప్పక సరిచేయబడాలి, అంటే, గుణించాలి. అప్పుడు మనకు నిష్పాక్షికమైన నమూనా వైవిధ్యం లభిస్తుంది

. (3.19)

సూత్రాలు (3.14) మరియు (3.19) హారంలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయని మరియు పెద్ద విలువలకు నమూనా మరియు నిష్పక్షపాత వ్యత్యాసాలు తక్కువగా ఉన్నాయని గమనించండి. అయినప్పటికీ, చిన్న నమూనా పరిమాణంతో, సంబంధం (3.19) ఉపయోగించాలి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనాన్ని అంచనా వేయడానికి, "సరిదిద్దబడిన" ప్రామాణిక విచలనం అని పిలవబడేది ఉపయోగించబడుతుంది, ఇది నిష్పాక్షిక వ్యత్యాసం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం: .

ఇంటర్వెల్ అంచనాలు

గణాంకాలలో, పంపిణీల యొక్క తెలియని పారామితులను అంచనా వేయడానికి రెండు విధానాలు ఉన్నాయి: పాయింట్ మరియు విరామం. మునుపటి విభాగంలో చర్చించబడిన పాయింట్ అంచనాకు అనుగుణంగా, అంచనా వేసిన పరామితి ఉన్న పాయింట్ మాత్రమే సూచించబడుతుంది. అయితే, ఈ పరామితి వాస్తవానికి వివిధ శ్రేణి పరిశీలనలలోని అంచనాల యొక్క సాధ్యమైన సాక్షాత్కారాల నుండి ఎంత దూరంలో ఉందో తెలుసుకోవడం మంచిది.

ఈ ప్రశ్నకు సమాధానం - కూడా సుమారుగా - పారామితులను అంచనా వేసే మరొక పద్ధతి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది - విరామం. ఈ అంచనా పద్ధతికి అనుగుణంగా, ఒకదానికి దగ్గరగా ఉండే సంభావ్యతతో, పరామితి యొక్క తెలియని సంఖ్యా విలువను కవర్ చేసే విరామం కనుగొనబడింది.

విరామం అంచనా యొక్క భావన

పాయింట్ అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు సాధ్యమయ్యే నమూనా అమలుల కోసం పరామితి యొక్క నిజమైన విలువకు దాదాపు సమానమైన విలువలను మాత్రమే తీసుకుంటుంది. చిన్న వ్యత్యాసం, మరింత ఖచ్చితమైన అంచనా. అందువలన, దీనికి సానుకూల సంఖ్య , అంచనా యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని వర్ణిస్తుంది మరియు దీనిని పిలుస్తారు అంచనా లోపం (లేదా ఉపాంత లోపం).

విశ్వాస సంభావ్యత(లేదా విశ్వసనీయత)సంభావ్యత అని పిలుస్తారు β , దీనితో అసమానత గ్రహించబడుతుంది , అనగా

. (3.20)

అసమానతను భర్తీ చేయడం సమానమైన డబుల్ అసమానత , లేదా , మాకు దొరికింది

విరామం , సంభావ్యతతో కవర్ చేయడం β , , తెలియని పరామితి, అంటారు విశ్వాస విరామం (లేదా విరామం అంచనా),సంబంధిత విశ్వాస సంభావ్యత β .

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ అనేది అంచనా మాత్రమే కాదు, లోపం కూడా: దాని విలువ సంభావ్యతపై ఆధారపడి ఉంటుంది β మరియు, ఒక నియమం వలె, నమూనా నుండి. కాబట్టి, విశ్వాస విరామం యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది మరియు వ్యక్తీకరణ (3.21) క్రింది విధంగా చదవాలి: “విరామం సంభావ్యతతో పరామితిని కవర్ చేస్తుంది β ”, మరియు ఇలా కాదు: “పరామితి సంభావ్యతతో విరామంలోకి వస్తుంది β ”.

కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్ యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, నమూనా వాల్యూమ్‌ను చాలాసార్లు పునరావృతం చేస్తున్నప్పుడు సమానమైన కేసుల సాపేక్ష నిష్పత్తిలో β , విశ్వాస సంభావ్యతకు అనుగుణంగా విశ్వాస విరామం β , అంచనా వేసిన పరామితి యొక్క నిజమైన విలువను కవర్ చేస్తుంది. అందువలన, విశ్వాస సంభావ్యత β వర్ణిస్తుంది విశ్వసనీయతవిశ్వాస అంచనా: మరింత β , కాన్ఫిడెన్స్ ఇంటర్వెల్ అమలులో తెలియని పరామితి ఉండే అవకాశం ఉంది.

ఫలితాలను అందించిన తెలియని గణిత నిరీక్షణ మరియు వైవిధ్యంతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌పై స్వతంత్ర ప్రయోగాలు జరగనివ్వండి - . పారామితుల కోసం స్థిరమైన మరియు నిష్పాక్షికమైన అంచనాలను గణిద్దాం మరియు .

గణిత నిరీక్షణకు అంచనాగా, మేము ప్రయోగాత్మక విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును తీసుకుంటాము

. (2.9.1)

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం ప్రకారం, ఈ అంచనా సంపన్నుడు , సంభావ్యత ద్వారా విలువతో. ఇదే అంచనా కూడా నిష్పక్షపాతంగా , ఎందుకంటే

. (2.9.2)

ఈ అంచనా యొక్క వైవిధ్యం

. (2.9.3)

సాధారణ పంపిణీ చట్టం కోసం ఈ అంచనా అని చూపవచ్చు సమర్థవంతమైన . ఇతర చట్టాలకు ఇది అలా ఉండకపోవచ్చు.

ఇప్పుడు వ్యత్యాసాన్ని అంచనా వేద్దాం. ముందుగా అంచనా కోసం సూత్రాన్ని ఎంచుకుందాం గణాంక వైవిధ్యం

. (2.9.4)

వ్యత్యాస అంచనా యొక్క స్థిరత్వాన్ని తనిఖీ చేద్దాం. ఫార్ములా (2.9.4)లో బ్రాకెట్లను తెరవండి

.

మొదటి పదం విలువకు సంభావ్యతతో కలిసినప్పుడు , రెండవ లో - కు. అందువలన, మా అంచనా వ్యత్యాసానికి సంభావ్యతతో కలుస్తుంది

,

అందువలన ఆమె సంపన్నుడు .

తనిఖీ చేద్దాం స్థానభ్రంశం చెందని పరిమాణం కోసం అంచనాలు. దీన్ని చేయడానికి, మేము వ్యక్తీకరణ (2.9.1)ని ఫార్ములా (2.9.4)గా మారుస్తాము మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ అని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము స్వతంత్ర

,

. (2.9.5)

మనం ఫార్ములా (2.9.5)లో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క హెచ్చుతగ్గులకు వెళ్దాం

బ్రాకెట్లను తెరవడం, మేము పొందుతాము

,

. (2.9.6)

దానిని పరిగణనలోకి తీసుకుని, విలువ (2.9.6) యొక్క గణిత అంచనాను గణిద్దాం

. (2.9.7)

ఫార్ములా (2.9.4) ఉపయోగించి లెక్కించబడిన విలువను సంబంధం (2.9.7) చూపిస్తుంది అనేది నిష్పాక్షికమైన అంచనా కాదు వ్యాప్తి కోసం. దాని గణిత అంచనా సమానంగా లేదు, కానీ కొంత తక్కువగా ఉంటుంది. అటువంటి అంచనా క్రమబద్ధమైన లోపానికి దారి తీస్తుంది. అటువంటి పక్షపాతాన్ని తొలగించడానికి, మీరు విలువను గుణించడం ద్వారా దిద్దుబాటును పరిచయం చేయాలి. ఈ సరిదిద్దబడిన గణాంక వైవిధ్యం అప్పుడు వ్యత్యాసానికి నిష్పక్షపాత అంచనాగా ఉపయోగపడుతుంది

. (2.9.8)

ఈ అంచనా విలువ ఎప్పటి నుండి అంచనా వేసినట్లే చెల్లుబాటు అవుతుంది .

ఆచరణలో, అంచనాకు బదులుగా (2.9.8), రెండవ ప్రారంభ గణాంక క్షణంతో అనుబంధించబడిన సమానమైన అంచనాను ఉపయోగించడం కొన్నిసార్లు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

. (2.9.9)

అంచనాలు (2.9.8), (2.9.9) ప్రభావవంతంగా లేవు. సాధారణ పంపిణీ చట్టం విషయంలో అవి ఉంటాయని చూపవచ్చు లక్షణరహితంగా సమర్థవంతమైన (కనిష్ట సాధ్యమైన విలువను కలిగి ఉంటుంది).

అందువల్ల, వాల్యూమ్‌లో పరిమితం చేయబడిన గణాంక పదార్థాన్ని ప్రాసెస్ చేయడానికి క్రింది నియమాలను రూపొందించవచ్చు. స్వతంత్ర ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ విలువలను తీసుకుంటే తెలియని గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తితో, ఈ పారామితులను గుర్తించడానికి సుమారు అంచనాలను ఉపయోగించాలి

(2.9.10)

పని ముగింపు -

ఈ అంశం ఈ విభాగానికి చెందినది:

లెక్చర్ నోట్స్ ఇన్ మ్యాథమెటిక్స్ ప్రాబబిలిటీ థియరీ మ్యాథమెటికల్ స్టాటిస్టిక్స్

డిపార్ట్‌మెంట్ ఆఫ్ హయ్యర్ మ్యాథమెటిక్స్ అండ్ కంప్యూటర్ సైన్స్.. లెక్చర్ నోట్స్.. ఇన్ మ్యాథమెటిక్స్..

మీకు ఈ అంశంపై అదనపు మెటీరియల్ అవసరమైతే లేదా మీరు వెతుకుతున్నది మీకు కనిపించకుంటే, మా రచనల డేటాబేస్‌లో శోధనను ఉపయోగించమని మేము సిఫార్సు చేస్తున్నాము:

అందుకున్న మెటీరియల్‌తో మేము ఏమి చేస్తాము:

ఈ విషయం మీకు ఉపయోగకరంగా ఉంటే, మీరు దీన్ని సోషల్ నెట్‌వర్క్‌లలోని మీ పేజీకి సేవ్ చేయవచ్చు:

ట్వీట్ చేయండి

ఈ విభాగంలోని అన్ని అంశాలు:

సంభావ్యత సిద్ధాంతం
సంభావ్యత సిద్ధాంతం అనేది గణితశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, దీనిలో యాదృచ్ఛిక ద్రవ్యరాశి దృగ్విషయాల నమూనాలు అధ్యయనం చేయబడతాయి. యాదృచ్ఛికంగా ఉండే ఒక దృగ్విషయాన్ని అంటారు

సంభావ్యత యొక్క గణాంక నిర్వచనం
సంఘటన అనేది యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయం, ఇది అనుభవం ఫలితంగా కనిపించవచ్చు లేదా కనిపించకపోవచ్చు (అస్పష్టమైన దృగ్విషయం). క్యాపిటల్ లాటిన్ అక్షరాలలో ఈవెంట్‌లను సూచించండి

ప్రాథమిక సంఘటనల స్థలం
కొంత అనుభవంతో అనుబంధించబడిన అనేక సంఘటనలు ఉండనివ్వండి మరియు: 1) అనుభవం ఫలితంగా ఒకే ఒక్క విషయం కనిపిస్తుంది

సంఘటనలపై చర్యలు
రెండు సంఘటనల మొత్తం మరియు

పునర్వ్యవస్థీకరణలు
మూలకాల యొక్క వివిధ ప్రస్తారణల సంఖ్య దీని ద్వారా సూచించబడుతుంది

ప్లేస్‌మెంట్స్
ప్రకారం మూలకాలను ఉంచడం ద్వారా

కలయికలు
మూలకాల కలయిక

అననుకూల ఈవెంట్‌ల కోసం సంభావ్యతలను జోడించడానికి ఫార్ములా
సిద్ధాంతం. రెండు అననుకూల సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం. (1

ఏకపక్ష ఈవెంట్‌ల కోసం సంభావ్యతలను జోడించడానికి సూత్రం
సిద్ధాంతం. రెండు సంఘటనల మొత్తం సంభావ్యత వాటి ఉత్పత్తి యొక్క సంభావ్యత లేకుండా ఈ సంఘటనల సంభావ్యత యొక్క మొత్తానికి సమానం.

సంభావ్యత గుణకార సూత్రం
రెండు సంఘటనలు లెట్ మరియు ఇవ్వబడుతుంది. సంఘటనను పరిగణించండి

మొత్తం సంభావ్యత ఫార్ములా
అననుకూల సంఘటనల పూర్తి సమూహంగా ఉండనివ్వండి; వాటిని పరికల్పనలు అంటారు. కొన్ని సంఘటనలను పరిగణించండి

పరికల్పన సంభావ్యత ఫార్ములా (బేస్)
మళ్ళీ పరిశీలిద్దాం - అననుకూల పరికల్పనల పూర్తి సమూహం మరియు సంఘటన

అసిమ్ప్టోటిక్ పాయిజన్ ఫార్ములా
పరీక్షల సంఖ్య ఎక్కువగా ఉన్న సందర్భాల్లో మరియు ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత

యాదృచ్ఛిక వివిక్త పరిమాణాలు
యాదృచ్ఛిక పరిమాణం అనేది ప్రయోగం పునరావృతం అయినప్పుడు, అసమాన సంఖ్యా విలువలను తీసుకోగల పరిమాణం. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను వివిక్త అని పిలుస్తారు,

యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్స్
ప్రయోగం ఫలితంగా, ఒక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ నిర్దిష్ట సెగ్మెంట్ లేదా మొత్తం వాస్తవ అక్షం నుండి ఏదైనా విలువను తీసుకోగలిగితే, అది నిరంతరాయంగా పిలువబడుతుంది. చట్టం

యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత సాంద్రత ఫంక్షన్
ఉండని. ఒక పాయింట్‌ని పరిగణలోకి తీసుకుని దానికి ఇంక్రిమెంట్లు ఇద్దాం

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు
యాదృచ్ఛిక వివిక్త లేదా నిరంతర వేరియబుల్స్ వాటి పంపిణీ చట్టాలు తెలిసినట్లయితే అవి పూర్తిగా పేర్కొన్నవిగా పరిగణించబడతాయి. వాస్తవానికి, పంపిణీ చట్టాలను తెలుసుకోవడం, మీరు ఎల్లప్పుడూ కొట్టే సంభావ్యతను లెక్కించవచ్చు

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క పరిమాణాలు
యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్ యొక్క క్రమం యొక్క పరిమాణం

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనా
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా దాని సగటు విలువను వర్ణిస్తుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని విలువలు ఈ విలువ చుట్టూ సమూహం చేయబడ్డాయి. ముందుగా యాదృచ్ఛిక వివిక్త వేరియబుల్‌ని పరిశీలిద్దాం

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం మరియు వ్యాప్తి
ముందుగా యాదృచ్ఛిక వివిక్త వేరియబుల్‌ని పరిశీలిద్దాం. సంఖ్యా లక్షణాలు మోడ్, మధ్యస్థ, పరిమాణాలు మరియు గణిత నిరీక్షణ

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క క్షణాలు
గణిత నిరీక్షణ మరియు వ్యాప్తికి అదనంగా, సంభావ్యత సిద్ధాంతం అధిక ఆర్డర్‌ల సంఖ్యా లక్షణాలను ఉపయోగిస్తుంది, వీటిని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క క్షణాలు అంటారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలపై సిద్ధాంతాలు
సిద్ధాంతం 1. యాదృచ్ఛికం కాని విలువ యొక్క గణిత అంచనా ఈ విలువకు సమానంగా ఉంటుంది. రుజువు: లెట్

ద్విపద పంపిణీ చట్టం

విషం పంపిణీ చట్టం
యాదృచ్ఛిక వివిక్త వేరియబుల్ విలువలను తీసుకోనివ్వండి

ఏకరూప పంపిణీ చట్టం
యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్ పంపిణీ యొక్క ఏకరీతి చట్టం సంభావ్యత సాంద్రత ఫంక్షన్ యొక్క చట్టం, ఇది

సాధారణ పంపిణీ చట్టం
యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్ యొక్క సాధారణ పంపిణీ చట్టం సాంద్రత ఫంక్షన్ చట్టం

ఘాతాంక పంపిణీ చట్టం
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ లేదా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ క్యూయింగ్ థియరీ, రిలయబిలిటీ థియరీ వంటి సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అప్లికేషన్‌లలో ఉపయోగించబడుతుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సిస్టమ్స్
ఆచరణలో, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అనువర్తనాల్లో, ఒక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు ఒక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ద్వారా కాకుండా, ఒకేసారి అనేక యాదృచ్ఛిక వాటి ద్వారా వివరించబడే సమస్యలను తరచుగా ఎదుర్కొంటారు.

రెండు యాదృచ్ఛిక వివిక్త వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ
రెండు యాదృచ్ఛిక వివిక్త వేరియబుల్స్ సిస్టమ్‌ను రూపొందించనివ్వండి. యాదృచ్ఛిక విలువ

రెండు యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ
ఇప్పుడు సిస్టమ్ రెండు యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్స్ ద్వారా ఏర్పడుతుంది. ఈ వ్యవస్థ యొక్క పంపిణీ చట్టాన్ని బహుశా అంటారు

పంపిణీ యొక్క షరతులతో కూడిన చట్టాలు
ఆధారిత యాదృచ్ఛిక నిరంతర పరిమాణాలను అనుమతించండి

రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ యొక్క ఆర్డర్ యొక్క ప్రారంభ క్షణం

అనేక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ
రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సిస్టమ్ కోసం పొందిన ఫలితాలు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏకపక్ష సంఖ్యతో కూడిన సిస్టమ్‌ల విషయంలో సాధారణీకరించబడతాయి. ఒక సెట్ ద్వారా వ్యవస్థ ఏర్పడనివ్వండి

రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ యొక్క సాధారణ పంపిణీ చట్టం
రెండు యాదృచ్ఛిక నిరంతర వేరియబుల్స్ వ్యవస్థను పరిశీలిద్దాం. ఈ వ్యవస్థ యొక్క పంపిణీ చట్టం సాధారణ పంపిణీ చట్టం

సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క సిద్ధాంతాలను పరిమితం చేయండి
సంభావ్యత యొక్క క్రమశిక్షణ సిద్ధాంతం యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం యాదృచ్ఛిక ద్రవ్యరాశి దృగ్విషయాల నమూనాలను అధ్యయనం చేయడం. సజాతీయ యాదృచ్ఛిక దృగ్విషయాల ద్రవ్యరాశిని గమనించడం వెల్లడిస్తుందని ప్రాక్టీస్ చూపిస్తుంది

చెబిషెవ్ యొక్క అసమానత
గణిత నిరీక్షణతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి

చెబిషెవ్ యొక్క సిద్ధాంతం
యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ జతగా స్వతంత్రంగా మరియు పరిమితమైన, సమిష్టిగా పరిమితమైన వ్యత్యాసాలను కలిగి ఉంటే

బెర్నౌలీ సిద్ధాంతం
ప్రయోగాల సంఖ్యలో అపరిమిత పెరుగుదలతో, ఈవెంట్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యతకు సంభావ్యతలో కలుస్తుంది

కేంద్ర పరిమితి సిద్ధాంతం
ఏదైనా పంపిణీ చట్టాలతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌లను జోడించేటప్పుడు, కానీ ఉమ్మడిగా పరిమిత వ్యత్యాసాలతో, పంపిణీ చట్టం

గణిత గణాంకాల యొక్క ప్రధాన సమస్యలు
పైన చర్చించిన సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క చట్టాలు వివిధ యాదృచ్ఛిక మాస్ దృగ్విషయాలలో వాస్తవంగా ఉన్న వాస్తవ నమూనాల గణిత వ్యక్తీకరణను సూచిస్తాయి. అభ్యసించడం

సాధారణ గణాంక జనాభా. గణాంక పంపిణీ ఫంక్షన్
పంపిణీ చట్టం తెలియని కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ని పరిశీలిద్దాం. అనుభవం ఆధారంగా అవసరం

గణాంక శ్రేణి. బార్ చార్ట్
పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలతో (వందల క్రమంలో), జనాభా గణాంక విషయాలను రికార్డ్ చేయడానికి అసౌకర్యంగా మరియు గజిబిజిగా మారుతుంది. స్పష్టత మరియు కాంపాక్ట్‌నెస్ కోసం, గణాంక పదార్థం

గణాంక పంపిణీ యొక్క సంఖ్యా లక్షణాలు
సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క వివిధ సంఖ్యా లక్షణాలు పరిగణించబడ్డాయి: గణిత నిరీక్షణ, వ్యాప్తి, వివిధ ఆర్డర్‌ల ప్రారంభ మరియు కేంద్ర క్షణాలు. సారూప్య సంఖ్యలు

క్షణాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సైద్ధాంతిక పంపిణీ ఎంపిక
ఏదైనా గణాంక పంపిణీ అనివార్యంగా పరిమిత సంఖ్యలో పరిశీలనలతో అనుబంధించబడిన యాదృచ్ఛికత యొక్క అంశాలను కలిగి ఉంటుంది. పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలతో, యాదృచ్ఛికత యొక్క ఈ అంశాలు సున్నితంగా ఉంటాయి,

పంపిణీ చట్టం యొక్క రూపం గురించి పరికల్పన యొక్క ఆమోదయోగ్యతను తనిఖీ చేస్తోంది
ఇచ్చిన గణాంక పంపిణీని కొంత సైద్ధాంతిక వక్రరేఖ ద్వారా అంచనా వేయనివ్వండి లేదా

సమ్మతి ప్రమాణాలు
పియర్సన్ ప్రమాణం అని పిలవబడే - సాధారణంగా ఉపయోగించే మంచి-ఆఫ్-ఫిట్ ప్రమాణాలలో ఒకదానిని పరిశీలిద్దాం. ఊహించండి

తెలియని పంపిణీ పారామితుల కోసం పాయింట్ అంచనాలు
పేజీలలో. 2.1 - 2.7 గణిత గణాంకాల యొక్క మొదటి మరియు రెండవ ప్రధాన సమస్యలను ఎలా పరిష్కరించాలో మేము వివరంగా పరిశీలించాము. ప్రయోగాత్మక డేటా ఆధారంగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పంపిణీ చట్టాలను నిర్ణయించడంలో ఇవి సమస్యలు

విశ్వాస విరామం. విశ్వాస సంభావ్యత
ఆచరణలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌పై తక్కువ సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, తెలియని పరామితి యొక్క ఉజ్జాయింపు భర్తీ

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X ఉండనివ్వండి మరియు దాని పారామితులు గణిత అంచనా ఎమరియు వైవిధ్యం తెలియదు. N స్వతంత్ర ప్రయోగాలు X విలువపై నిర్వహించబడ్డాయి, ఇది x 1, x 2, x n ఫలితాలను ఇచ్చింది.

తార్కికం యొక్క సాధారణతను తగ్గించకుండా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ఈ విలువలను మేము భిన్నంగా పరిగణిస్తాము. మేము x 1, x 2, x n విలువలను స్వతంత్రంగా, ఒకే విధంగా పంపిణీ చేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ X 1, X 2, X nగా పరిగణిస్తాము.

గణాంక అంచనా యొక్క సరళమైన పద్ధతి - ప్రత్యామ్నాయం మరియు సారూప్యత యొక్క పద్ధతి - నమూనా పంపిణీ యొక్క సంబంధిత లక్షణం - నమూనా లక్షణం - సాధారణ జనాభా యొక్క ఒకటి లేదా మరొక సంఖ్యా లక్షణం (సగటు, వ్యత్యాసం మొదలైనవి) యొక్క అంచనాగా తీసుకోవడంలో ఉంటుంది. .

గణిత నిరీక్షణ యొక్క అంచనాగా ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతిని ఉపయోగించడం ఎమేము నమూనా పంపిణీ యొక్క గణిత నిరీక్షణను తీసుకోవాలి - నమూనా సగటు. అందువలన, మేము పొందుతాము

నమూనా యొక్క నిష్పాక్షికత మరియు అనుగుణ్యతను తనిఖీ చేయడానికి అంచనాగా అర్థం ఎ, ఈ గణాంకాన్ని ఎంచుకున్న వెక్టర్ (X 1, X 2, X n) యొక్క విధిగా పరిగణించండి. X 1, X 2, X n ప్రతి పరిమాణాలు X విలువ వలె పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉన్నాయని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఈ పరిమాణాల సంఖ్యా లక్షణాలు మరియు X విలువ ఒకే విధంగా ఉన్నాయని మేము నిర్ధారించాము: M(X i) = M(X) = a, D(X i) = D(X) = , i = 1, 2, n , ఇక్కడ X i అనేది సమిష్టిగా స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్.

అందుకే,

ఇక్కడ నుండి, నిర్వచనం ప్రకారం, అది నిష్పాక్షికమైన అంచనా అని మేము పొందుతాము ఎ, మరియు n®¥ కోసం D()®0 నుండి, ఆపై మునుపటి పేరా యొక్క సిద్ధాంతం ద్వారా గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క స్థిరమైన అంచనా ఎసామాన్య జనాభా.

అంచనా యొక్క ప్రభావం లేదా అసమర్థత అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X యొక్క పంపిణీ చట్టం రకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. X విలువ సాధారణ చట్టం ప్రకారం పంపిణీ చేయబడితే, అంచనా ప్రభావవంతంగా ఉంటుందని నిరూపించవచ్చు. ఇతర పంపిణీ చట్టాలకు ఇది అలా ఉండకపోవచ్చు.

సాధారణ వైవిధ్యం యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనాసరిదిద్దబడిన నమూనా వైవిధ్యంగా పనిచేస్తుంది

,

ఎందుకంటే , సాధారణ వ్యత్యాసం ఎక్కడ ఉంది. నిజంగా,

సాధారణ వైవిధ్యం కోసం అంచనా s -- 2 కూడా చెల్లుబాటు అవుతుంది, కానీ అది సమర్థవంతంగా లేదు. ఏది ఏమైనప్పటికీ, సాధారణ పంపిణీ విషయంలో, ఇది “అసింప్టోటికల్‌గా ఎఫెక్టివ్”, అంటే, n పెరిగేకొద్దీ, దాని వైవిధ్యం యొక్క నిష్పత్తి కనీస సాధ్యమైనదానికి నిరవధికంగా ఐక్యతను చేరుకుంటుంది.

కాబట్టి, పంపిణీ నుండి నమూనా ఇచ్చినట్లయితే F( x) తెలియని గణిత నిరీక్షణతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X ఎమరియు చెదరగొట్టడం, ఈ పారామితుల విలువలను లెక్కించడానికి ఈ క్రింది ఉజ్జాయింపు సూత్రాలను ఉపయోగించే హక్కు మనకు ఉంది:

a ,

.

ఇక్కడ x- i - - నమూనా ఎంపిక, n- i - - ఫ్రీక్వెన్సీ ఎంపికలు x i, - - నమూనా పరిమాణం.
సరిదిద్దబడిన నమూనా వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించేందుకు, ఫార్ములా మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది

.

గణనను సరళీకృతం చేయడానికి, షరతులతో కూడిన ఎంపికలకు మారడం మంచిది (ఇంటర్వెల్ వేరియేషన్ సిరీస్ మధ్యలో ఉన్న ఒరిజినల్ వెర్షన్‌ను తీసుకోవడం లాభదాయకంగా ఉంటుంది). అప్పుడు

, .

విరామం అంచనా

పైన మేము తెలియని పరామితిని అంచనా వేసే సమస్యను పరిగణించాము ఎఒక సంఖ్య. మేము అటువంటి అంచనాలను పాయింట్ అంచనాలు అని పిలుస్తాము. చిన్న నమూనా పరిమాణంతో వారు అంచనా వేసిన పారామితుల నుండి గణనీయంగా భిన్నంగా ఉండగల ప్రతికూలత వారికి ఉంది. అందువల్ల, పరామితి మరియు దాని అంచనా మధ్య సామీప్యత గురించి ఒక ఆలోచన పొందడానికి, గణిత గణాంకాలలో విరామ అంచనాలు అని పిలవబడేవి ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి.

పరామితి q కోసం నమూనాలో పాయింట్ అంచనా q *ని కనుగొననివ్వండి. సాధారణంగా, పరిశోధకులకు ముందుగానే కొంత పెద్ద సంభావ్యత g (ఉదాహరణకు, 0.95, 0.99 లేదా 0.999) ఇవ్వబడుతుంది, తద్వారా సంభావ్యత g ఉన్న సంఘటన ఆచరణాత్మకంగా నమ్మదగినదిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు వారు అటువంటి విలువను కనుగొనే ప్రశ్నను లేవనెత్తారు e > 0

.

ఈ సమానత్వాన్ని సవరించడం ద్వారా, మనకు లభిస్తుంది:

మరియు ఈ సందర్భంలో మేము విరామం ]q * - ఇ; q * + e[ సంభావ్యత gతో అంచనా వేయబడిన పరామితి qని కవర్ చేస్తుంది.

విరామం ]q * -e; q * +e [ అంటారు విశ్వాస విరామం .

సంభావ్యత g అంటారు విశ్వసనీయత (విశ్వసనీయ సంభావ్యత) విరామం అంచనా.

విశ్వాస విరామం ముగింపులు, అనగా. పాయింట్లు q * -e మరియు q * +e అంటారు ట్రస్ట్ సరిహద్దులు .

సంఖ్య ఇ అంటారు అంచనా ఖచ్చితత్వం .

విశ్వాస పరిమితులను నిర్ణయించే సమస్యకు ఉదాహరణగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ X యొక్క గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేసే ప్రశ్నను పరిగణించండి, ఇది పారామితులతో సాధారణ పంపిణీ చట్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఎమరియు s, అనగా. X = N( a, లు). ఈ సందర్భంలో గణిత అంచనా సమానంగా ఉంటుంది ఎ. పరిశీలనల ఆధారంగా X 1, X 2, X n, మేము సగటును లెక్కిస్తాము మరియు అంచనా వ్యాప్తి s 2.

నమూనా డేటా నుండి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుందని ఇది మారుతుంది

ఇది n = n -1 డిగ్రీల స్వేచ్ఛతో విద్యార్థి పంపిణీని (లేదా t-డిస్ట్రిబ్యూషన్) కలిగి ఉంటుంది.

పట్టిక A.1.3ని ఉపయోగిస్తాము మరియు ఇచ్చిన సంభావ్యత కోసం g మరియు సంఖ్య n సంఖ్య t g అంటే సంభావ్యత

P(|t(n)|< t g) = g,

.

స్పష్టమైన పరివర్తనలు చేసిన తర్వాత మనం పొందుతాము,

F-పరీక్షను వర్తించే విధానం క్రింది విధంగా ఉంది:

1. జనాభా పంపిణీ సాధారణమైనదిగా భావించబడుతుంది. ఇచ్చిన ప్రాముఖ్యత స్థాయి a వద్ద, శూన్య పరికల్పన H 0: s x 2 = s y 2 పోటీ పరికల్పన H 1: s x 2 > s y 2 క్రింద సాధారణ జనాభా యొక్క సాధారణ వ్యత్యాసాల సమానత్వం గురించి రూపొందించబడింది.

2. రెండు స్వతంత్ర నమూనాలు వరుసగా n x మరియు n y వాల్యూమ్ యొక్క X మరియు Y జనాభా నుండి పొందబడ్డాయి.

3. సరిదిద్దబడిన నమూనా వ్యత్యాసాల విలువలను లెక్కించండి s x 2 మరియు s y 2 (గణన పద్ధతులు §13.4లో చర్చించబడ్డాయి). వైవిధ్యాలలో పెద్దది (s x 2 లేదా s y 2) s 1 2, చిన్నది - s 2 2గా సూచించబడుతుంది.

4. F-ప్రమాణం యొక్క విలువ F obs = s 1 2 / s 2 2 సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది.

5. ఫిషర్-స్నెడెకర్ పంపిణీ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్ల పట్టికను ఉపయోగించి, ఇచ్చిన ప్రాముఖ్యత స్థాయి a మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్య n 1 = n 1 - 1, n 2 = n 2 - 1 (n 1 అనేది సంఖ్య పెద్ద సరిదిద్దబడిన వైవిధ్యం యొక్క స్వేచ్ఛ డిగ్రీలు), క్లిష్టమైన పాయింట్ కనుగొనబడింది F cr (a, n 1, n 2).

పట్టిక A.1.7 ఏకపక్ష F-పరీక్ష యొక్క క్లిష్టమైన విలువలను చూపుతుందని గమనించండి. కాబట్టి, రెండు-వైపుల ప్రమాణం వర్తించబడితే (H 1: s x 2 ¹ s y 2), అప్పుడు కుడి-వైపు క్రిటికల్ పాయింట్ F cr (a/2, n 1, n 2) ప్రాముఖ్యత స్థాయి ద్వారా కోరబడుతుంది a/ 2 (పేర్కొన్న విలువలో సగం) మరియు శక్తుల సంఖ్య స్వేచ్ఛ n 1 మరియు n 2 (n 1 అనేది ఎక్కువ వ్యాప్తి యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య). ఎడమ చేతి క్రిటికల్ పాయింట్ కనుగొనబడకపోవచ్చు.

6. ముగింపు డ్రా చేయబడింది: F- ప్రమాణం యొక్క లెక్కించిన విలువ క్లిష్టమైన విలువ (F obs ³ F cr) కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు వైవిధ్యాలు ఇచ్చిన ప్రాముఖ్యత స్థాయిలో గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి. లేకపోతే (F obs.< F кр) нет оснований для отклонения нулевой гипотезы о равенстве двух дисперсий.

సమస్య 15.1. పాత సాంకేతిక పరిజ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి ఉత్పత్తి యూనిట్‌కు ముడి పదార్థాల వినియోగం:

కొత్త టెక్నాలజీని ఉపయోగించడం:

సంబంధిత సాధారణ జనాభా X మరియు Y సాధారణ పంపిణీలను కలిగి ఉన్నాయని ఊహిస్తూ, మేము ప్రాముఖ్యత స్థాయి a = 0.1ని తీసుకుంటే, వైవిధ్యం పరంగా, కొత్త మరియు పాత సాంకేతికతలకు ముడి పదార్థాల వినియోగం తేడా లేదని తనిఖీ చేయండి.

పరిష్కారం. మేము పైన సూచించిన క్రమంలో కొనసాగుతాము.

1. మేము వ్యాప్తి విలువల ఆధారంగా కొత్త మరియు పాత సాంకేతికతల ద్వారా ముడి పదార్థ వినియోగం యొక్క వైవిధ్యాన్ని అంచనా వేస్తాము. అందువలన, శూన్య పరికల్పన H 0: s x 2 = s y 2 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. పోటీ పరికల్పనగా, మేము పరికల్పన H 1: s x 2 ¹ s y 2ని అంగీకరిస్తాము, ఎందుకంటే సాధారణ వ్యత్యాసాలలో ఏదైనా ఇతర వాటి కంటే ఎక్కువగా ఉందని మాకు ముందుగానే తెలియదు.

2-3. నమూనా వ్యత్యాసాలను కనుగొనండి. గణనలను సరళీకృతం చేయడానికి, షరతులతో కూడిన ఎంపికలకు వెళ్దాం:

u i = x i - 307, v i = y i - 304.

మేము అన్ని గణనలను క్రింది పట్టికల రూపంలో ఏర్పాటు చేస్తాము:

u i	m i	m i u i	నేను నేను 2	m i (u i +1) 2		v i	n i	n i v i	n i v i 2	n i (v i +1) 2
-3		-3				-1		-2
å	-
						å	-

నియంత్రణ: å m i u i 2 + 2å m i u i + m i = నియంత్రణ: å n i v i 2 + 2å n i v i + n i = 13 + 2 + 9 = 24 = 34 + 20 + 13 = 67

సరిదిద్దబడిన నమూనా వ్యత్యాసాలను కనుగొనండి:

4. వ్యత్యాసాలను పోల్చి చూద్దాం. పెద్ద సరిదిద్దబడిన వైవిధ్యం చిన్నదానికి నిష్పత్తిని కనుగొనండి:

.

5. షరతు ప్రకారం, పోటీ పరికల్పన s x 2 ¹ s y 2 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి క్లిష్టమైన ప్రాంతం రెండు-వైపులా ఉంటుంది మరియు క్లిష్టమైన పాయింట్‌ను కనుగొనేటప్పుడు, పేర్కొన్న విలువలో సగం ఉన్న ప్రాముఖ్యత స్థాయిలను తీసుకోవాలి.

టేబుల్ A.1.7 ప్రకారం, ప్రాముఖ్యత స్థాయి a/2 = 0.1/2 = 0.05 మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యను ఉపయోగించి n 1 = n 1 - 1 = 12, n 2 = n 2 - 1 = 8, మేము కనుగొన్నాము క్లిష్టమైన పాయింట్ F cr (0.05; 12; 8) = 3.28.

6. F obs నుండి.< F кр то гипотезу о равенстве дисперсий расхода сырья при старой и новой технологиях принимаем.

పైన, పరికల్పనలను పరీక్షించేటప్పుడు, అధ్యయనంలో ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క సాధారణ పంపిణీని మేము ఊహించాము. అయినప్పటికీ, సాధారణ పంపిణీ నుండి విచలనాలకు సంబంధించి ప్రతిపాదిత అల్గారిథమ్‌లు చాలా స్థిరంగా ఉన్నాయని (ముఖ్యంగా పెద్ద నమూనా పరిమాణాలతో) ప్రత్యేక అధ్యయనాలు చూపించాయి.

పంపిణీ పారామితులు మరియు గణాంకాలు

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీకి సంబంధించిన ఏదైనా పారామితులు, ఉదాహరణకు, గణిత నిరీక్షణ లేదా వైవిధ్యం వంటివి, నేరుగా కొలవలేని సైద్ధాంతిక పరిమాణాలు, అయితే వాటిని అంచనా వేయవచ్చు. అవి పరిమాణాత్మక లక్షణాన్ని సూచిస్తాయి జనాభా మరియు సాధారణ జనాభాలోనే యాదృచ్ఛిక చరరాశి యొక్క పంపిణీ యొక్క లక్షణాలను వారు వివరిస్తున్నందున, వాటిని సైద్ధాంతిక నమూనాల సమయంలో మాత్రమే ఊహాజనిత విలువలుగా నిర్ణయించవచ్చు. వాటిని ఆచరణలో గుర్తించడానికి, ప్రయోగాన్ని నిర్వహించే పరిశోధకుడు వాటి యొక్క ఎంపిక అంచనాను నిర్వహిస్తాడు. ఈ అంచనాలో గణాంక గణన ఉంటుంది.

గణాంకాలు నమూనా విలువల అధ్యయనం ఆధారంగా పొందిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీని వివరించే అధ్యయనం చేసిన పారామితుల యొక్క పరిమాణాత్మక లక్షణం. నమూనాను వివరించడానికి లేదా ప్రాథమిక ప్రయోగాత్మక పరిశోధనలో అత్యంత ప్రాముఖ్యత కలిగిన, అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభాలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ యొక్క పారామితులను అంచనా వేయడానికి గణాంకాలు ఉపయోగించబడతాయి.

భావనల విభజన "పరామితి" మరియు "గణాంకాలు" చాలా ముఖ్యమైనది, ఎందుకంటే ఇది ప్రయోగంలో పొందిన డేటా యొక్క తప్పు వివరణతో అనుబంధించబడిన అనేక లోపాలను నివారించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. వాస్తవం ఏమిటంటే, మేము గణాంక డేటాను ఉపయోగించి పంపిణీ పారామితులను అంచనా వేసినప్పుడు, మేము అంచనా వేసిన పారామితులకు కొంత వరకు దగ్గరగా ఉండే విలువలను పొందుతాము. పారామితులు మరియు గణాంకాల మధ్య దాదాపు ఎల్లప్పుడూ కొంత వ్యత్యాసం ఉంటుంది మరియు ఈ వ్యత్యాసం ఎంత పెద్దదో మనం సాధారణంగా చెప్పలేము. సిద్ధాంతపరంగా, పెద్ద నమూనా, అంచనా వేసిన పారామితులు వాటి నమూనా లక్షణాలకు దగ్గరగా ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, నమూనా పరిమాణాన్ని పెంచడం ద్వారా, మేము తప్పనిసరిగా అంచనా వేసిన పరామితికి దగ్గరగా వస్తాము మరియు దాని మరియు లెక్కించిన గణాంకాల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని తగ్గిస్తాము అని దీని అర్థం కాదు. ఆచరణలో, ప్రతిదీ చాలా క్లిష్టంగా మారుతుంది.

సిద్ధాంతపరంగా, గణాంకం యొక్క అంచనా విలువ అంచనా వేసిన పరామితితో సమానంగా ఉంటే, అటువంటి అంచనాను అంటారు స్థానభ్రంశం చెందని. అంచనా వేయబడిన పరామితి యొక్క అంచనా విలువ పరామితి నుండి కొంత మొత్తంలో భిన్నంగా ఉండే అంచనాను అంటారు స్థానభ్రంశం చెందారు.

మీరు పంపిణీ పారామితుల యొక్క పాయింట్ మరియు ఇంటర్వెల్ అంచనాల మధ్య కూడా తేడాను గుర్తించాలి. స్పాట్ సంఖ్యను ఉపయోగించి అసెస్‌మెంట్ అంటారు. ఉదాహరణకు, ఇచ్చిన పరిస్థితులలో మరియు నిర్దిష్ట చర్మంపై ఇచ్చిన సబ్జెక్ట్ కోసం స్పర్శ సున్నితత్వం యొక్క ప్రాదేశిక థ్రెషోల్డ్ విలువ 21.8 మిమీ అని మేము చెబితే, అటువంటి అంచనా పాయింట్ అవుతుంది. అదే విధంగా, వాతావరణ నివేదిక విండో వెలుపల 25°C అని చెప్పినప్పుడు పాయింట్ అంచనా ఏర్పడుతుంది. విరామం అంచనా అంచనాలో సంఖ్యల సమితి లేదా పరిధిని ఉపయోగించడం. స్పర్శ సున్నితత్వం యొక్క ప్రాదేశిక థ్రెషోల్డ్‌ను అంచనా వేయడం, ఇది 20 నుండి 25 మిమీ పరిధిలో ఉందని మేము చెప్పగలం. అదేవిధంగా, వాతావరణ భవిష్య సూచకులు వారి అంచనాల ప్రకారం, రాబోయే 24 గంటల్లో గాలి ఉష్ణోగ్రత 22-24 ° Cకి చేరుకుంటుందని నివేదించవచ్చు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విరామ అంచనా ఈ పరిమాణం యొక్క కావలసిన విలువను గుర్తించడానికి మాత్రమే కాకుండా, అటువంటి అంచనా కోసం సాధ్యమయ్యే ఖచ్చితత్వాన్ని సెట్ చేయడానికి కూడా అనుమతిస్తుంది.

గణిత అంచనా మరియు దాని మూల్యాంకనం

మన కాయిన్ టాస్ ప్రయోగానికి తిరిగి వద్దాం.

ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం: మనం ఒక నాణెంను పదిసార్లు తిప్పితే "తలలు" ఎన్నిసార్లు కనిపించాలి? సమాధానం స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ప్రతి రెండు ఫలితాల సంభావ్యత సమానంగా ఉంటే, ఫలితాలు సమానంగా పంపిణీ చేయబడాలి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సాధారణ నాణెంను పదిసార్లు విసిరినప్పుడు, దాని వైపులా ఒకటి, ఉదాహరణకు, "తలలు" సరిగ్గా ఐదు సార్లు ల్యాండ్ అవుతుందని మనం ఆశించవచ్చు. అదేవిధంగా, ఒక నాణెంను 100 సార్లు విసిరినప్పుడు, “తలలు” సరిగ్గా 50 సార్లు కనిపించాలి మరియు నాణెం 4236 సార్లు విసిరినట్లయితే, మనకు ఆసక్తి ఉన్న వైపు 2118 సార్లు కనిపించాలి, ఎక్కువ మరియు తక్కువ కాదు.

కాబట్టి, యాదృచ్ఛిక సంఘటన యొక్క సైద్ధాంతిక అర్థాన్ని సాధారణంగా అంటారు గణిత నిరీక్షణ. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సైద్ధాంతిక సంభావ్యతను ట్రయల్స్ సంఖ్యతో గుణించడం ద్వారా ఆశించిన విలువను కనుగొనవచ్చు. అయితే, మరింత అధికారికంగా, ఇది ఫస్ట్-ఆర్డర్ సెంట్రల్ మూమెంట్‌గా నిర్వచించబడింది. అందువల్ల, గణిత నిరీక్షణ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువ, ఇది పునరావృతమయ్యే పరీక్షల సమయంలో సిద్ధాంతపరంగా మారుతుంది, దాని చుట్టూ అది మారుతుంది.

పంపిణీ పరామితిగా గణిత నిరీక్షణ యొక్క సైద్ధాంతిక విలువ ఎల్లప్పుడూ గణాంకాలలో వ్యక్తీకరించబడిన మనకు ఆసక్తి ఉన్న యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అనుభావిక విలువకు సమానంగా ఉండదని స్పష్టమవుతుంది. మేము ఒక నాణెం విసిరే ప్రయోగం చేస్తే, పది ఫలితాలలో, “తలలు” నాలుగు లేదా మూడు సార్లు మాత్రమే వచ్చే అవకాశం ఉంది, లేదా దీనికి విరుద్ధంగా, అది ఎనిమిది సార్లు వస్తుంది, లేదా ఉండవచ్చు. అస్సలు పైకి రాదు. ఈ ఫలితాల్లో కొన్ని ఎక్కువ, కొన్ని తక్కువ అవకాశం ఉన్నట్లు స్పష్టమవుతోంది. మేము సాధారణ పంపిణీ యొక్క చట్టాన్ని ఉపయోగిస్తే, గణిత అంచనా విలువ ద్వారా పేర్కొన్న సిద్ధాంతపరంగా ఆశించిన దాని నుండి ఫలితం ఎంత ఎక్కువ వైదొలగుతుందో, అది ఆచరణలో తక్కువగా ఉంటుందని మేము నిర్ధారణకు రావచ్చు.

మేము ఇదే విధానాన్ని చాలాసార్లు చేసాము మరియు సిద్ధాంతపరంగా ఆశించిన విలువను ఎన్నడూ గమనించలేదని మనం మరింత ఊహిద్దాం. అప్పుడు నాణెం యొక్క ప్రామాణికతపై మనకు సందేహాలు ఉండవచ్చు. మన నాణెం కోసం తలలు పొందే సంభావ్యత వాస్తవానికి 50% కాదని మనం భావించవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, ఈ సంఘటన యొక్క సంభావ్యతను అంచనా వేయడం అవసరం కావచ్చు మరియు తదనుగుణంగా, గణిత అంచనా విలువ. ఒక ప్రయోగంలో ముందుగా ఎటువంటి సైద్ధాంతిక నమూనా లేకుండా ప్రతిచర్య సమయం వంటి నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీని అధ్యయనం చేసినప్పుడు ఈ అవసరం ఏర్పడుతుంది. నియమం ప్రకారం, ప్రయోగాత్మక ఫలితాల పరిమాణాత్మక ప్రాసెసింగ్‌లో ఇది మొదటి తప్పనిసరి దశ.

గణిత నిరీక్షణను మూడు విధాలుగా అంచనా వేయవచ్చు, ఇది ఆచరణలో కొద్దిగా భిన్నమైన ఫలితాలను ఇస్తుంది, కానీ సిద్ధాంతపరంగా అవి ఖచ్చితంగా గణిత నిరీక్షణ యొక్క విలువకు దారి తీస్తాయి.

అటువంటి అంచనా యొక్క తర్కం అంజీర్లో చూపబడింది. 1.2 ఊహించిన విలువను యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీలో కేంద్ర ధోరణిగా పరిగణించవచ్చు X, దాని అత్యంత సంభావ్య మరియు అందువల్ల చాలా తరచుగా సంభవించే విలువ మరియు పంపిణీని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించే పాయింట్‌గా.

అన్నం. 1.2

ఒక నాణెంతో మన ఊహాత్మక ప్రయోగాలను కొనసాగిద్దాం మరియు దానిని పదిసార్లు విసిరి మూడు ప్రయోగాలు చేద్దాం. మొదటి ప్రయోగంలో “తలలు” నాలుగు సార్లు వచ్చిందని అనుకుందాం, రెండవ ప్రయోగంలో అదే జరిగింది, మూడవ ప్రయోగంలో “తలలు” ఒకటిన్నర రెట్లు ఎక్కువ తరచుగా వచ్చాయి - ఏడు సార్లు. మనకు ఆసక్తి ఉన్న సంఘటన యొక్క గణిత నిరీక్షణ వాస్తవానికి ఈ విలువల మధ్య ఎక్కడో ఉందని భావించడం తార్కికం.

ప్రధమ, సరళమైనది అంచనా పద్ధతి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కనుగొనేందుకు ఉంటుంది అంకగణిత సగటు. అప్పుడు పైన పేర్కొన్న మూడు కొలతల ఆధారంగా అంచనా వేయబడిన విలువ అంచనా అవుతుంది (4 + 4 + 7)/3 = 5. అదేవిధంగా, ప్రతిచర్య సమయ ప్రయోగాలలో, పొందిన అన్ని విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును తీసుకోవడం ద్వారా ఆశించిన విలువను అంచనా వేయవచ్చు. X. కాబట్టి, మేము ఖర్చు చేస్తే పి ప్రతిచర్య సమయ కొలతలు X, అప్పుడు మనం ఈ క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, ఇది అంకగణిత సగటును లెక్కించడానికి మాకు చూపుతుంది X అనుభవపూర్వకంగా పొందిన అన్ని విలువలను జోడించడం మరియు వాటిని పరిశీలనల సంఖ్యతో విభజించడం అవసరం:

సూత్రంలో (1.2), గణిత నిరీక్షణ యొక్క కొలత సాధారణంగా ̅గా సూచించబడుతుంది X ("X విత్ ఎ బార్" అని చదవండి), అయితే కొన్నిసార్లు దీనిని ఇలా వ్రాయవచ్చు ఎం (ఇంగ్లీష్ నుండి అర్థం - సగటు).

అంకగణిత సగటు అనేది గణిత నిరీక్షణ యొక్క అత్యంత సాధారణంగా ఉపయోగించే అంచనా. అటువంటి సందర్భాలలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ కొలవబడుతుందని భావించబడుతుంది మెట్రిక్ స్థాయి. పొందిన ఫలితం మనకు ఎప్పటికీ తెలియని గణిత నిరీక్షణ యొక్క నిజమైన విలువతో ఏకీభవించకపోవచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు. అయితే, ఈ పద్ధతి ఉండటం ముఖ్యం నిష్పక్షపాతంగా గణిత నిరీక్షణ అంచనా. దీని అర్థం అంచనా వేయబడిన విలువ యొక్క అంచనా విలువ దాని గణిత అంచనాకు సమానంగా ఉంటుంది: .

రెండవ మూల్యాంకన పద్ధతి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది మనకు ఆసక్తి ఉన్న వేరియబుల్ యొక్క అత్యంత తరచుగా సంభవించే విలువను దాని విలువగా తీసుకోవడం. ఈ విలువ అంటారు పంపిణీ మోడ్. ఉదాహరణకు, ఇప్పుడే పరిగణించబడిన నాణెం విసిరే సందర్భంలో, "నాలుగు" గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క విలువగా తీసుకోవచ్చు, ఎందుకంటే నిర్వహించిన మూడు పరీక్షలలో ఈ విలువ రెండుసార్లు కనిపించింది; అందుకే ఈ సందర్భంలో పంపిణీ మోడ్ నాలుగుకి సమానంగా మారింది. ప్రయోగాత్మకంగా పేర్కొన్న వివిక్త విలువలను తీసుకునే వేరియబుల్స్‌తో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు మోడ్ అంచనా ప్రధానంగా ఉపయోగించబడుతుంది. నాన్-మెట్రిక్ స్థాయి.

ఉదాహరణకు, పరీక్షలో విద్యార్థుల గ్రేడ్‌ల పంపిణీని వివరించడం ద్వారా, విద్యార్థులు అందుకున్న గ్రేడ్‌ల ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీని నిర్మించవచ్చు. ఈ ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీ అంటారు హిస్టోగ్రాం. ఈ సందర్భంలో, అత్యంత సాధారణ అంచనాను కేంద్ర ధోరణి (గణిత అంచనా) విలువగా తీసుకోవచ్చు. నిరంతర విలువల ద్వారా వర్గీకరించబడిన వేరియబుల్స్ అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, ఈ కొలత ఆచరణాత్మకంగా ఉపయోగించబడదు లేదా చాలా అరుదుగా ఉపయోగించబడుతుంది. పొందిన ఫలితాల ఫ్రీక్వెన్సీ పంపిణీ అయినప్పటికీ నిర్మించబడితే, ఒక నియమం ప్రకారం, ఇది అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క ప్రయోగాత్మకంగా పొందిన విలువలకు సంబంధించినది కాదు, కానీ దాని అభివ్యక్తి యొక్క కొన్ని విరామాలకు సంబంధించినది. ఉదాహరణకు, వ్యక్తుల ఎత్తును అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, ఎంత మంది వ్యక్తులు 150 సెంటీమీటర్ల వరకు ఎత్తులో ఉన్నారు, ఎంత మంది 150 నుండి 155 సెంటీమీటర్ల పరిధిలోకి వస్తారు, మొదలైనవాటిని చూడవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, మోడ్ అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క విరామ విలువలకు సంబంధించినది, ఈ సందర్భంలో, ఎత్తు.

అంకగణిత సగటు వంటి మోడ్, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క వాస్తవ విలువతో ఏకీభవించకపోవచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు. కానీ అంకగణిత సగటు వలె, మోడ్ అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనా.

నమూనాలోని రెండు విలువలు సమానంగా తరచుగా సంభవిస్తే, అటువంటి పంపిణీని పిలుస్తారు ద్విపద. నమూనాలో మూడు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ విలువలు సమానంగా తరచుగా సంభవిస్తే, అటువంటి నమూనాకు మోడ్ లేదని చెప్పబడుతుంది. ఇటువంటి సందర్భాలు, తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో పరిశీలనలతో, ఒక నియమం వలె, డేటా సాధారణ జనాభా నుండి సంగ్రహించబడిందని సూచిస్తుంది, దీని పంపిణీ యొక్క స్వభావం సాధారణ నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది.

చివరగా, మూడవ అంచనా పద్ధతి గణిత నిరీక్షణ అనేది మనకు ఆసక్తి ఉన్న పారామీటర్ ప్రకారం సబ్జెక్టుల నమూనాను సరిగ్గా సగానికి విభజించడం. ఈ సరిహద్దును వర్ణించే పరిమాణాన్ని అంటారు మధ్యస్థ పంపిణీలు.

మేము స్కీయింగ్ పోటీలో ఉన్నామని అనుకుందాం మరియు అది ముగిసిన తర్వాత మేము ఏ అథ్లెట్‌లలో సగటు కంటే ఎక్కువ ఫలితాలు చూపించారో మరియు ఏది తక్కువ అని అంచనా వేయాలనుకుంటున్నాము. పాల్గొనేవారి కూర్పు ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉంటే, సగటు ఫలితాన్ని అంచనా వేసేటప్పుడు అంకగణిత సగటును లెక్కించడం తార్కికం. అయితే, ప్రొఫెషనల్ పార్టిసిపెంట్లలో చాలా మంది ఔత్సాహికులు ఉన్నారని అనుకుందాం. వాటిలో కొన్ని ఉన్నాయి, కానీ అవి ఇతరుల కంటే గణనీయంగా తక్కువ ఫలితాలను చూపుతాయి. ఈ సందర్భంలో, పోటీలో పాల్గొన్న 100 మందిలో, ఉదాహరణకు, 87 మంది సగటు కంటే ఎక్కువ ఫలితాలను చూపించారు. సగటు ధోరణి యొక్క అటువంటి అంచనా ఎల్లప్పుడూ మాకు సంతృప్తిని కలిగించదని స్పష్టమవుతుంది. ఈ సందర్భంలో, 50వ లేదా 51వ స్థానంలో ఎక్కడా తీసుకున్న పాల్గొనేవారిచే సగటు ఫలితం చూపబడిందని భావించడం తార్కికం. ఇది పంపిణీకి మధ్యస్థం అవుతుంది. 50వ ఫైనలిస్ట్‌కు ముందు, 49 మంది పార్టిసిపెంట్‌లు పూర్తి చేసారు, 51వ తర్వాత - కూడా 49 మంది. అయితే, వారిలో ఎవరి ఫలితాన్ని సగటుగా తీసుకోవాలి అనేది స్పష్టంగా లేదు. వాస్తవానికి, వారు ఒకే సమయంలో ముగించారని తేలింది. అప్పుడు సమస్య లేదు. పరిశీలనల సంఖ్య బేసిగా ఉన్నప్పుడు సమస్య తలెత్తదు. ఇతర సందర్భాల్లో, అయితే, మీరు ఇద్దరు పాల్గొనేవారి ఫలితాల సగటును ఉపయోగించవచ్చు.

మధ్యస్థ అనేది పంపిణీ పరిమాణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం. క్వాంటైల్ పంపిణీలో భాగం. అధికారికంగా, ఇది వేరియబుల్ యొక్క రెండు విలువల మధ్య పంపిణీ యొక్క సమగ్ర విలువగా నిర్వచించబడుతుంది X. అందువలన, విలువ X పంపిణీ యొక్క సమగ్ర విలువ (సంభావ్యత సాంద్రత) నుండి -∞ వరకు ఉంటే పంపిణీ మధ్యస్థంగా ఉంటుంది X నుండి పంపిణీ యొక్క సమగ్ర విలువకు సమానం X కు +∞. అదేవిధంగా, పంపిణీని నాలుగు, పది లేదా 100 భాగాలుగా విభజించవచ్చు. అటువంటి పరిమాణాలను తదనుగుణంగా పిలుస్తారు క్వార్టైల్స్, డెసిల్స్ మరియు శాతాలు. ఇతర రకాల క్వాంటైల్స్ ఉన్నాయి.

గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేయడానికి మునుపటి రెండు పద్ధతుల వలె, మధ్యస్థం అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క నిష్పాక్షిక అంచనా.

సిద్ధాంతపరంగా, మనం నిజంగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధారణ పంపిణీతో వ్యవహరిస్తున్నట్లయితే, గణిత అంచనా యొక్క మూడు అంచనాలు ఒకే ఫలితాన్ని ఇవ్వాలి, ఎందుకంటే అవన్నీ వేరియంట్‌ను సూచిస్తాయి. నిష్పక్షపాతంగా అంచనా వేయబడిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అదే పంపిణీ పరామితి యొక్క అంచనాలు (Fig. 1.2 చూడండి). అయితే, ఆచరణలో, ఇది చాలా అరుదుగా జరుగుతుంది. ముఖ్యంగా, విశ్లేషించబడిన పంపిణీ సాధారణం నుండి భిన్నంగా ఉండటం దీనికి కారణం కావచ్చు. కానీ అటువంటి వ్యత్యాసాలకు ప్రధాన కారణం, ఒక నియమం వలె, గణిత నిరీక్షణ యొక్క విలువను అంచనా వేయడం ద్వారా, దాని నిజమైన విలువ నుండి చాలా గణనీయంగా భిన్నంగా ఉండే విలువను పొందవచ్చు. అయితే, పైన పేర్కొన్నట్లుగా, పరిశీలనలో ఉన్న వేరియబుల్ యొక్క మరింత స్వతంత్ర పరీక్షలు నిర్వహించబడుతున్నాయని గణిత గణాంకాలలో నిరూపించబడింది, అంచనా విలువ నిజమైనదానికి దగ్గరగా ఉండాలి.

అందువలన, ఆచరణలో, గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేయడానికి పద్ధతి యొక్క ఎంపిక ఈ పరామితి యొక్క మరింత ఖచ్చితమైన మరియు నమ్మదగిన అంచనాను పొందాలనే కోరికతో కాకుండా, సౌలభ్యం యొక్క పరిశీలనల ద్వారా మాత్రమే నిర్ణయించబడుతుంది. అలాగే, గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేయడానికి ఒక పద్ధతిని ఎంచుకోవడంలో ఒక నిర్దిష్ట పాత్ర కొలత స్కేల్ ద్వారా ఆడబడుతుంది, ఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మూల్యాంకనాలను ప్రతిబింబిస్తుంది.

నిరీక్షణ అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ

గణిత నిరీక్షణ, నిర్వచనం, వివిక్త మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ, నమూనా, షరతులతో కూడిన నిరీక్షణ, గణన, లక్షణాలు, సమస్యలు, అంచనా అంచనా, వ్యాప్తి, పంపిణీ ఫంక్షన్, సూత్రాలు, గణన ఉదాహరణలు

విషయాలను విస్తరించండి

కంటెంట్‌ని కుదించు

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది నిర్వచనం

గణిత గణాంకాలు మరియు సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకటి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువలు లేదా సంభావ్యతలను పంపిణీ చేస్తుంది. సాధారణంగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని పారామితుల యొక్క బరువున్న సగటుగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది. సాంకేతిక విశ్లేషణ, సంఖ్యల శ్రేణి అధ్యయనం మరియు నిరంతర మరియు సమయం తీసుకునే ప్రక్రియల అధ్యయనంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది నష్టాలను అంచనా వేయడంలో ముఖ్యమైనది, ఆర్థిక మార్కెట్లలో ట్రేడింగ్ చేసేటప్పుడు ధర సూచికలను అంచనా వేయడం మరియు జూదం సిద్ధాంతంలో గేమింగ్ వ్యూహాల వ్యూహాలు మరియు పద్ధతులను అభివృద్ధి చేయడంలో ఉపయోగించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో పరిగణించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ యొక్క కొలత. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ xద్వారా సూచించబడుతుంది M(x).

గణిత నిరీక్షణ ఉంది

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ తీసుకోగల అన్ని సాధ్యమైన విలువల సగటు.

గణిత నిరీక్షణ ఉందియాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సాధ్యమయ్యే అన్ని విలువల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయం పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించబడుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిజూదం సిద్ధాంతంలో, ఒక ఆటగాడు ప్రతి పందెం కోసం సగటున సంపాదించగల లేదా కోల్పోగల విజయాల మొత్తం. జూదం పరిభాషలో, దీనిని కొన్నిసార్లు "ప్లేయర్స్ ఎడ్జ్" (ఆటగాడికి సానుకూలంగా ఉంటే) లేదా "హౌస్ ఎడ్జ్" (ఆటగాడికి ప్రతికూలంగా ఉంటే) అని పిలుస్తారు.

గణిత నిరీక్షణ ఉందిసగటు లాభంతో గుణించిన లాభం శాతం, నష్ట సంభావ్యత సగటు నష్టంతో గుణించబడుతుంది.

గణిత సిద్ధాంతంలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ముఖ్యమైన సంఖ్యా లక్షణాలలో ఒకటి దాని గణిత అంచనా. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ వ్యవస్థ యొక్క భావనను పరిచయం చేద్దాం. అదే యాదృచ్ఛిక ప్రయోగం యొక్క ఫలితాలు అయిన యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ సమితిని పరిశీలిద్దాం. సిస్టమ్ యొక్క సాధ్యమయ్యే విలువలలో ఒకటి అయితే, ఈ సంఘటన కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సిద్ధాంతాలను సంతృప్తిపరిచే నిర్దిష్ట సంభావ్యతకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఏదైనా సాధ్యమైన విలువల కోసం నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్‌ను ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం అంటారు. ఈ ఫంక్షన్ ఏదైనా ఈవెంట్‌ల సంభావ్యతను లెక్కించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ప్రత్యేకించి, రాండమ్ వేరియబుల్స్ యొక్క ఉమ్మడి పంపిణీ చట్టం మరియు, ఇది సెట్ నుండి విలువలను తీసుకుంటుంది మరియు సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.

"గణిత నిరీక్షణ" అనే పదాన్ని పియరీ సైమన్ మార్క్విస్ డి లాప్లేస్ (1795) పరిచయం చేశారు మరియు ఇది "విజయాల అంచనా విలువ" అనే భావన నుండి వచ్చింది, ఇది 17వ శతాబ్దంలో బ్లైస్ పాస్కల్ మరియు క్రిస్టియాన్ రచనలలో జూదం యొక్క సిద్ధాంతంలో మొదటిసారి కనిపించింది. హైజెన్స్. ఏదేమైనా, ఈ భావన యొక్క మొదటి పూర్తి సైద్ధాంతిక అవగాహన మరియు అంచనాను పాఫ్నుటీ ల్వోవిచ్ చెబిషెవ్ (19వ శతాబ్దం మధ్య) అందించారు.

యాదృచ్ఛిక సంఖ్యా చరరాశుల పంపిణీ చట్టం (పంపిణీ ఫంక్షన్ మరియు పంపిణీ శ్రేణి లేదా సంభావ్యత సాంద్రత) యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరిస్తుంది. కానీ అనేక సమస్యలలో, అడిగిన ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి అధ్యయనంలో ఉన్న పరిమాణం యొక్క కొన్ని సంఖ్యా లక్షణాలను (ఉదాహరణకు, దాని సగటు విలువ మరియు దాని నుండి సాధ్యమయ్యే విచలనం) తెలుసుకోవడం సరిపోతుంది. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రధాన సంఖ్యా లక్షణాలు గణిత అంచనా, వైవిధ్యం, మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ అనేది దాని సాధ్యమైన విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత సంభావ్యత యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం. కొన్నిసార్లు గణిత అంచనాను వెయిటెడ్ యావరేజ్ అని పిలుస్తారు, ఎందుకంటే ఇది పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుకు దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది. గణిత నిరీక్షణ యొక్క నిర్వచనం నుండి దాని విలువ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అతిచిన్న సాధ్యం విలువ కంటే తక్కువ కాదు మరియు అతిపెద్దది కంటే ఎక్కువ కాదు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛికం కాని (స్థిరమైన) వేరియబుల్.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు సరళమైన భౌతిక అర్ధం ఉంటుంది: మీరు ఒక యూనిట్ ద్రవ్యరాశిని సరళ రేఖపై ఉంచినట్లయితే, నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశిని కొన్ని పాయింట్ల వద్ద (వివిక్త పంపిణీ కోసం) ఉంచడం లేదా నిర్దిష్ట సాంద్రతతో "స్మెరింగ్" చేయడం (పూర్తిగా నిరంతర పంపిణీ కోసం) , అప్పుడు గణిత నిరీక్షణకు సంబంధించిన పాయింట్ కోఆర్డినేట్ "గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం" నేరుగా ఉంటుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య, అంటే దాని "ప్రతినిధి" మరియు దానిని సుమారుగా ఉజ్జాయింపు లెక్కల్లో భర్తీ చేస్తుంది. మేము ఇలా చెప్పినప్పుడు: "సగటు దీపం ఆపరేటింగ్ సమయం 100 గంటలు" లేదా "ప్రభావం యొక్క సగటు పాయింట్ లక్ష్యానికి సంబంధించి 2 మీటర్లు కుడివైపుకి మార్చబడుతుంది" అని మేము దాని స్థానాన్ని వివరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిర్దిష్ట సంఖ్యా లక్షణాన్ని సూచిస్తాము. సంఖ్యా అక్షం మీద, అనగా. "స్థాన లక్షణాలు".

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో స్థానం యొక్క లక్షణాలలో, చాలా ముఖ్యమైన పాత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ ద్వారా ఆడబడుతుంది, దీనిని కొన్నిసార్లు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ అని పిలుస్తారు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి X, సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటుంది x1, x2, ..., xnసంభావ్యతతో p1, p2, ..., pn. ఈ విలువలు వేర్వేరు సంభావ్యతలను కలిగి ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుని, x- అక్షంపై యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క విలువల స్థానాన్ని మనం కొంత సంఖ్యతో వర్గీకరించాలి. ఈ ప్రయోజనం కోసం, విలువల యొక్క "వెయిటెడ్ యావరేజ్" అని పిలవబడేది ఉపయోగించడం సహజం xi, మరియు సగటు సమయంలో ప్రతి విలువ xi ఈ విలువ యొక్క సంభావ్యతకు అనులోమానుపాతంలో "బరువు"తో పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. అందువలన, మేము యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటును గణిస్తాము X, మేము సూచిస్తాము M |X|:

ఈ వెయిటెడ్ యావరేజ్‌ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అంటారు. అందువల్ల, సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క అత్యంత ముఖ్యమైన భావనలలో ఒకదాన్ని మేము పరిగణనలోకి తీసుకున్నాము - గణిత నిరీక్షణ భావన. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క అన్ని సాధ్యమైన విలువల యొక్క ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు ఈ విలువల సంభావ్యత.

Xపెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటుతో విచిత్రమైన ఆధారపడటం ద్వారా అనుసంధానించబడింది. ఈ ఆధారపడటం అనేది ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య ఆధారపడటం వంటిది, అవి: పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు దాని గణిత నిరీక్షణకు (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది) విధానాలు. ఫ్రీక్వెన్సీ మరియు సంభావ్యత మధ్య కనెక్షన్ ఉనికి నుండి, అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య సారూప్య కనెక్షన్ ఉనికిని పర్యవసానంగా అంచనా వేయవచ్చు. నిజానికి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌ను పరిగణించండి X, పంపిణీ శ్రేణి ద్వారా వర్గీకరించబడుతుంది:

దానిని ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి ఎన్స్వతంత్ర ప్రయోగాలు, ప్రతి దానిలో విలువ Xఒక నిర్దిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. విలువ అని అనుకుందాం x1కనిపించాడు m1సార్లు, విలువ x2కనిపించాడు m2సార్లు, సాధారణ అర్థం xi mi సార్లు కనిపించింది. X విలువ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును గణిద్దాం, ఇది గణిత అంచనాకు భిన్నంగా ఉంటుంది. M|X|మేము సూచిస్తాము M*|X|:

పెరుగుతున్న ప్రయోగాలతో ఎన్ఫ్రీక్వెన్సీలు పైసంబంధిత సంభావ్యతలను చేరుస్తుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది). పర్యవసానంగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గమనించిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటు M|X|ప్రయోగాల సంఖ్య పెరుగుదలతో అది దాని గణిత నిరీక్షణకు చేరుకుంటుంది (సంభావ్యతలో కలుస్తుంది). పైన రూపొందించిన అంకగణిత సగటు మరియు గణిత అంచనాల మధ్య కనెక్షన్ పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క రూపాలలో ఒకదాని యొక్క కంటెంట్‌ను ఏర్పరుస్తుంది.

పెద్ద సంఖ్యల చట్టం యొక్క అన్ని రూపాలు పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలలో కొన్ని సగటులు స్థిరంగా ఉన్నాయనే వాస్తవాన్ని తెలియజేస్తాయని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఇక్కడ మనం అదే పరిమాణంలోని పరిశీలనల శ్రేణి నుండి అంకగణిత సగటు యొక్క స్థిరత్వం గురించి మాట్లాడుతున్నాము. తక్కువ సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, వాటి ఫలితాల యొక్క అంకగణిత సగటు యాదృచ్ఛికంగా ఉంటుంది; ప్రయోగాల సంఖ్యలో తగినంత పెరుగుదలతో, ఇది "దాదాపు యాదృచ్ఛికం" అవుతుంది మరియు స్థిరీకరించడం, స్థిరమైన విలువను చేరుకుంటుంది - గణిత అంచనా.

పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలపై సగటుల స్థిరత్వం ప్రయోగాత్మకంగా సులభంగా ధృవీకరించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఖచ్చితమైన ప్రమాణాలపై ప్రయోగశాలలో శరీరాన్ని బరువుగా ఉంచినప్పుడు, బరువు ఫలితంగా ప్రతిసారీ కొత్త విలువను పొందుతాము; పరిశీలన లోపాన్ని తగ్గించడానికి, మేము శరీరాన్ని అనేక సార్లు బరువుగా ఉంచుతాము మరియు పొందిన విలువల యొక్క అంకగణిత సగటును ఉపయోగిస్తాము. ప్రయోగాల సంఖ్య (బరువులు) మరింత పెరగడంతో, అంకగణిత సగటు ఈ పెరుగుదలకు తక్కువ మరియు తక్కువ ప్రతిస్పందిస్తుంది మరియు తగినంత పెద్ద సంఖ్యలో ప్రయోగాలతో, ఆచరణాత్మకంగా మారడం ఆగిపోతుందని చూడటం సులభం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణం - గణిత అంచనా - అన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు ఉనికిలో లేదని గమనించాలి. గణిత నిరీక్షణ ఉనికిలో లేని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క ఉదాహరణలను కంపోజ్ చేయడం సాధ్యపడుతుంది, ఎందుకంటే సంబంధిత మొత్తం లేదా సమగ్రం వేరుగా ఉంటుంది. అయితే, ఇటువంటి కేసులు ఆచరణలో ముఖ్యమైన ఆసక్తిని కలిగి ఉండవు. సాధారణంగా, మేము వ్యవహరించే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పరిమిత శ్రేణి సాధ్యమైన విలువలను కలిగి ఉంటాయి మరియు వాస్తవానికి, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను కలిగి ఉంటాయి.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క స్థానం యొక్క అతి ముఖ్యమైన లక్షణాలతో పాటు - గణిత నిరీక్షణ - ఆచరణలో, స్థానం యొక్క ఇతర లక్షణాలు కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడతాయి, ప్రత్యేకించి, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు మధ్యస్థం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ దాని అత్యంత సంభావ్య విలువ. ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే "అత్యంత సంభావ్య విలువ" అనే పదం నిరంతర పరిమాణాలకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది; నిరంతర పరిమాణం కోసం, మోడ్ అనేది సంభావ్యత సాంద్రత గరిష్టంగా ఉండే విలువ. బొమ్మలు వరుసగా నిరంతర మరియు నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మోడ్‌ను చూపుతాయి.

పంపిణీ బహుభుజి (పంపిణీ వక్రరేఖ) గరిష్టంగా ఒకటి కంటే ఎక్కువ ఉంటే, పంపిణీని "మల్టీమోడల్" అంటారు.

కొన్నిసార్లు గరిష్టంగా కాకుండా మధ్యలో కనిష్టంగా ఉండే పంపిణీలు ఉన్నాయి. ఇటువంటి పంపిణీలను "యాంటీ-మోడల్" అంటారు.

సాధారణ సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మోడ్ మరియు గణిత నిరీక్షణ ఏకీభవించవు. నిర్దిష్ట సందర్భంలో, పంపిణీ సుష్టంగా మరియు మోడల్‌గా ఉన్నప్పుడు (అనగా మోడ్‌ను కలిగి ఉంటుంది) మరియు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఉన్నప్పుడు, అది పంపిణీ యొక్క మోడ్ మరియు సెంటర్ ఆఫ్ సిమెట్రీతో సమానంగా ఉంటుంది.

మరొక స్థానం లక్షణం తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క మధ్యస్థం అని పిలవబడేది. ఈ లక్షణం సాధారణంగా నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ కోసం మాత్రమే ఉపయోగించబడుతుంది, అయినప్పటికీ ఇది నిరంతర వేరియబుల్ కోసం అధికారికంగా నిర్వచించబడుతుంది. రేఖాగణితంగా, మధ్యస్థం అనేది డిస్ట్రిబ్యూషన్ వక్రరేఖతో చుట్టబడిన ప్రాంతం సగానికి విభజించబడిన బిందువు యొక్క అబ్సిస్సా.

సిమెట్రిక్ మోడల్ పంపిణీ విషయంలో, మధ్యస్థం గణిత అంచనా మరియు మోడ్‌తో సమానంగా ఉంటుంది.

గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ - యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత పంపిణీ యొక్క సంఖ్యా లక్షణం. అత్యంత సాధారణ మార్గంలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ X(w)సంభావ్యత కొలతకు సంబంధించి Lebesgue సమగ్రంగా నిర్వచించబడింది ఆర్అసలు సంభావ్యత స్థలంలో:

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను లెబెస్గూ సమగ్రంగా కూడా లెక్కించవచ్చు Xసంభావ్యత పంపిణీ ద్వారా pxపరిమాణంలో X:

అనంతమైన గణిత నిరీక్షణతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ భావనను సహజ మార్గంలో నిర్వచించవచ్చు. కొన్ని యాదృచ్ఛిక నడకల రిటర్న్ టైమ్స్ ఒక విలక్షణ ఉదాహరణ.

గణిత నిరీక్షణను ఉపయోగించి, పంపిణీ యొక్క అనేక సంఖ్యా మరియు క్రియాత్మక లక్షణాలు నిర్ణయించబడతాయి (యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సంబంధిత ఫంక్షన్ల యొక్క గణిత నిరీక్షణగా), ఉదాహరణకు, ఉత్పాదక ఫంక్షన్, లక్షణం ఫంక్షన్, ఏదైనా క్రమం యొక్క క్షణాలు, ప్రత్యేకించి వ్యాప్తి, సహసంబంధం .

గణిత అంచనా అనేది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (దాని పంపిణీ యొక్క సగటు విలువ) యొక్క విలువల స్థానం యొక్క లక్షణం. ఈ సామర్థ్యంలో, గణిత నిరీక్షణ అనేది కొన్ని "విలక్షణమైన" పంపిణీ పారామీటర్‌గా పనిచేస్తుంది మరియు దాని పాత్ర మెకానిక్స్‌లో స్టాటిక్ మూమెంట్ - మాస్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం యొక్క కోఆర్డినేట్ పాత్రను పోలి ఉంటుంది. పంపిణీని సాధారణ పరంగా వివరించిన ప్రదేశం యొక్క ఇతర లక్షణాల నుండి - మధ్యస్థాలు, మోడ్‌లు, గణిత నిరీక్షణ సంభావ్యత సిద్ధాంతం యొక్క పరిమితి సిద్ధాంతాలలో అది మరియు సంబంధిత స్కాటరింగ్ లక్షణం - వ్యాప్తి - ఎక్కువ విలువలో భిన్నంగా ఉంటుంది. గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క అర్థం పెద్ద సంఖ్యల చట్టం (చెబిషెవ్ యొక్క అసమానత) మరియు పెద్ద సంఖ్యల యొక్క బలపరిచిన చట్టం ద్వారా పూర్తిగా వెల్లడి చేయబడింది.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

అనేక సంఖ్యా విలువలలో ఒకదానిని తీసుకోగల కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ఉండనివ్వండి (ఉదాహరణకు, పాచికలు విసిరేటప్పుడు పాయింట్ల సంఖ్య 1, 2, 3, 4, 5 లేదా 6 కావచ్చు). తరచుగా ఆచరణలో, అటువంటి విలువ కోసం, ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలతో "సగటున" ఏ విలువను తీసుకుంటుంది? ప్రతి ప్రమాదకర లావాదేవీల నుండి మన సగటు ఆదాయం (లేదా నష్టం) ఎంత?

ఏదో లాటరీ ఉందనుకుందాం. దానిలో పాల్గొనడం లాభదాయకంగా ఉందా లేదా (లేదా పదేపదే, క్రమం తప్పకుండా పాల్గొనడం) మేము అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటున్నాము. ప్రతి నాల్గవ టికెట్ విజేత అని చెప్పండి, బహుమతి 300 రూబిళ్లు మరియు ఏదైనా టిక్కెట్ ధర 100 రూబిళ్లు. అనంతమైన పెద్ద సంఖ్యలో పాల్గొనడంతో, ఇది జరుగుతుంది. మూడు వంతుల కేసులలో మనం కోల్పోతాము, ప్రతి మూడు నష్టాలకు 300 రూబిళ్లు ఖర్చు అవుతుంది. ప్రతి నాల్గవ సందర్భంలో మేము 200 రూబిళ్లు గెలుస్తాము. (బహుమతి మైనస్ ఖర్చు), అంటే, నాలుగు పాల్గొనడం కోసం మేము సగటున 100 రూబిళ్లు కోల్పోతాము, ఒకదానికి - సగటున 25 రూబిళ్లు. మొత్తంగా, మా వినాశనం యొక్క సగటు రేటు టిక్కెట్‌కు 25 రూబిళ్లు.

మేము పాచికలు త్రో. ఇది మోసం కాకపోతే (గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని మార్చకుండా, మొదలైనవి), అప్పుడు మనకు సగటున ఒక సమయంలో ఎన్ని పాయింట్లు ఉంటాయి? ప్రతి ఎంపిక సమానంగా ఉంటుంది కాబట్టి, మేము కేవలం అంకగణిత సగటును తీసుకొని 3.5ని పొందుతాము. ఇది సగటు కాబట్టి, నిర్దిష్ట రోల్ 3.5 పాయింట్లను ఇవ్వదని ఆగ్రహం చెందాల్సిన అవసరం లేదు - సరే, ఈ క్యూబ్‌కు అలాంటి సంఖ్యతో ముఖం లేదు!

ఇప్పుడు మన ఉదాహరణలను సంగ్రహిద్దాం:

ఇప్పుడే ఇచ్చిన చిత్రాన్ని చూద్దాం. ఎడమవైపు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ పంపిణీ పట్టిక ఉంది. X విలువ n సాధ్యమయ్యే విలువలలో ఒకదాన్ని తీసుకోవచ్చు (ఎగువ లైన్‌లో చూపబడింది). వేరే అర్థాలు ఉండకూడదు. ప్రతి సాధ్యమైన విలువ క్రింద, దాని సంభావ్యత క్రింద వ్రాయబడింది. కుడివైపున ఫార్ములా ఉంది, ఇక్కడ M(X)ని గణిత నిరీక్షణ అంటారు. ఈ విలువ యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, పెద్ద సంఖ్యలో పరీక్షలతో (పెద్ద నమూనాతో), సగటు విలువ ఇదే గణిత నిరీక్షణకు మొగ్గు చూపుతుంది.

మళ్లీ అదే ప్లేయింగ్ క్యూబ్‌కి తిరిగి వెళ్దాం. విసిరేటప్పుడు పాయింట్ల సంఖ్య యొక్క గణిత అంచనా 3.5 (మీరు నన్ను నమ్మకపోతే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మీరే లెక్కించండి). మీరు రెండు సార్లు విసిరారు అనుకుందాం. ఫలితాలు 4 మరియు 6. సగటు 5, ఇది 3.5కి దూరంగా ఉంది. వారు దానిని మరోసారి విసిరారు, వారికి 3 వచ్చింది, అంటే సగటున (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు కొంత దూరంలో ఉంది. ఇప్పుడు ఒక వెర్రి ప్రయోగం చేయండి - క్యూబ్‌ను 1000 సార్లు చుట్టండి! మరియు సగటు సరిగ్గా 3.5 కాకపోయినా, అది దానికి దగ్గరగా ఉంటుంది.

పైన వివరించిన లాటరీ కోసం గణిత అంచనాను గణిద్దాం. ప్లేట్ ఇలా కనిపిస్తుంది:

మేము పైన స్థాపించిన విధంగా గణిత నిరీక్షణ ఉంటుంది:

మరొక విషయం ఏమిటంటే, "వేళ్లపై" చేయడం, ఫార్ములా లేకుండా, మరిన్ని ఎంపికలు ఉంటే కష్టంగా ఉంటుంది. సరే, 75% ఓడిపోయిన టిక్కెట్లు, 20% గెలిచిన టిక్కెట్లు మరియు 5% ముఖ్యంగా గెలిచినవి ఉన్నాయని అనుకుందాం.

ఇప్పుడు గణిత నిరీక్షణ యొక్క కొన్ని లక్షణాలు.

నిరూపించడం సులభం:

స్థిరమైన కారకాన్ని గణిత నిరీక్షణకు చిహ్నంగా తీసుకోవచ్చు, అంటే:

ఇది గణిత నిరీక్షణ యొక్క రేఖీయత లక్షణం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం.

గణిత నిరీక్షణ యొక్క సరళత యొక్క మరొక పరిణామం:

అంటే, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ మొత్తం యొక్క గణిత నిరీక్షణ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ యొక్క గణిత అంచనాల మొత్తానికి సమానం.

X, Y స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక చరరాశులుగా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు:

ఇది నిరూపించడం కూడా సులభం) పని XYఇది యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, మరియు ప్రారంభ విలువలు తీసుకోగలిగితే nమరియు mవిలువలు తదనుగుణంగా, అప్పుడు XY nm విలువలను తీసుకోవచ్చు. స్వతంత్ర సంఘటనల సంభావ్యత గుణించబడుతుందనే వాస్తవం ఆధారంగా ప్రతి విలువ యొక్క సంభావ్యత లెక్కించబడుతుంది. ఫలితంగా, మేము దీన్ని పొందుతాము:

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క నిరీక్షణ

నిరంతర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్ పంపిణీ సాంద్రత (సంభావ్యత సాంద్రత) వంటి లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ వాస్తవ సంఖ్యల సమితి నుండి కొన్ని విలువలను మరింత తరచుగా మరియు కొన్ని తక్కువ తరచుగా తీసుకునే పరిస్థితిని ఇది తప్పనిసరిగా వర్ణిస్తుంది. ఉదాహరణకు, ఈ గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి:

ఇక్కడ X- వాస్తవ యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, f(x)- పంపిణీ సాంద్రత. ఈ గ్రాఫ్ ద్వారా నిర్ణయించడం, ప్రయోగాల సమయంలో విలువ Xతరచుగా సున్నాకి దగ్గరగా ఉండే సంఖ్య. అవకాశాలు మించిపోయాయి 3 లేదా చిన్నగా ఉంటుంది -3 కాకుండా పూర్తిగా సైద్ధాంతికంగా.

ఉదాహరణకు, ఏకరీతి పంపిణీ ఉండనివ్వండి:

ఇది సహజమైన అవగాహనతో చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది. మనం అనేక యాదృచ్ఛిక వాస్తవ సంఖ్యలను ఏకరీతి పంపిణీతో స్వీకరిస్తే, ప్రతి సెగ్మెంట్ |0; 1| , అప్పుడు అంకగణిత సగటు సుమారు 0.5 ఉండాలి.

వివిక్త యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌కు వర్తించే గణిత నిరీక్షణ - లీనియారిటీ మొదలైన లక్షణాలు ఇక్కడ కూడా వర్తిస్తాయి.

గణిత నిరీక్షణ మరియు ఇతర గణాంక సూచికల మధ్య సంబంధం

గణాంక విశ్లేషణలో, గణిత అంచనాతో పాటు, దృగ్విషయాల సజాతీయత మరియు ప్రక్రియల స్థిరత్వాన్ని ప్రతిబింబించే పరస్పర ఆధారిత సూచికల వ్యవస్థ ఉంది. వైవిధ్య సూచికలకు తరచుగా స్వతంత్ర అర్ధం ఉండదు మరియు తదుపరి డేటా విశ్లేషణ కోసం ఉపయోగించబడతాయి. మినహాయింపు అనేది వైవిధ్యం యొక్క గుణకం, ఇది డేటా యొక్క సజాతీయతను వర్ణిస్తుంది, ఇది విలువైన గణాంక లక్షణం.

గణాంక శాస్త్రంలో ప్రక్రియల వైవిధ్యం లేదా స్థిరత్వం యొక్క డిగ్రీని అనేక సూచికలను ఉపయోగించి కొలవవచ్చు.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వేరియబిలిటీని వివరించే అతి ముఖ్యమైన సూచిక చెదరగొట్టడం, ఇది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు చాలా దగ్గరగా మరియు నేరుగా సంబంధించినది. ఈ పరామితి ఇతర రకాల గణాంక విశ్లేషణలలో చురుకుగా ఉపయోగించబడుతుంది (పరికల్పన పరీక్ష, కారణం-మరియు-ప్రభావ సంబంధాల విశ్లేషణ మొదలైనవి). సగటు లీనియర్ విచలనం వలె, వ్యత్యాసం సగటు విలువ చుట్టూ డేటా వ్యాప్తి యొక్క పరిధిని కూడా ప్రతిబింబిస్తుంది.

సంకేతాల భాషని పదాల భాషలోకి అనువదించడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. చెదరగొట్టడం అనేది విచలనాల సగటు చతురస్రం అని తేలింది. అంటే, సగటు విలువ మొదట లెక్కించబడుతుంది, ఆపై ప్రతి అసలు మరియు సగటు విలువ మధ్య వ్యత్యాసం తీసుకోబడుతుంది, స్క్వేర్ చేయబడింది, జోడించబడుతుంది, ఆపై జనాభాలోని విలువల సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది. వ్యక్తిగత విలువ మరియు సగటు మధ్య వ్యత్యాసం విచలనం యొక్క కొలతను ప్రతిబింబిస్తుంది. ఇది స్క్వేర్ చేయబడింది, తద్వారా అన్ని విచలనాలు ప్రత్యేకంగా సానుకూల సంఖ్యలుగా మారతాయి మరియు వాటిని సంగ్రహించేటప్పుడు సానుకూల మరియు ప్రతికూల విచలనాల పరస్పర విధ్వంసం నివారించడానికి. అప్పుడు, స్క్వేర్డ్ విచలనాలు ఇచ్చినప్పుడు, మేము కేవలం అంకగణిత సగటును గణిస్తాము. సగటు - చదరపు - విచలనాలు. విచలనాలు వర్గీకరించబడ్డాయి మరియు సగటు లెక్కించబడుతుంది. "డిస్పర్షన్" అనే మేజిక్ పదానికి సమాధానం కేవలం మూడు పదాలలో ఉంది.

అయినప్పటికీ, అంకగణిత సగటు లేదా సూచిక వంటి దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో, వ్యాప్తి ఉపయోగించబడదు. ఇది ఇతర రకాల గణాంక విశ్లేషణల కోసం ఉపయోగించే సహాయక మరియు ఇంటర్మీడియట్ సూచిక. దీనికి సాధారణ కొలత యూనిట్ కూడా లేదు. ఫార్ములా ద్వారా నిర్ణయించడం, ఇది అసలు డేటా యొక్క కొలత యూనిట్ యొక్క స్క్వేర్.

యాదృచ్ఛిక చరరాశిని కొలుద్దాం ఎన్సార్లు, ఉదాహరణకు, మేము గాలి వేగాన్ని పదిసార్లు కొలుస్తాము మరియు సగటు విలువను కనుగొనాలనుకుంటున్నాము. పంపిణీ ఫంక్షన్‌కి సగటు విలువ ఎలా సంబంధం కలిగి ఉంటుంది?

లేదా మేము పాచికలు పెద్ద సంఖ్యలో రోల్ చేస్తాము. ప్రతి త్రోతో డైస్‌పై కనిపించే పాయింట్ల సంఖ్య యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ మరియు 1 నుండి 6 వరకు ఏదైనా సహజ విలువను తీసుకోవచ్చు. అన్ని డైస్ త్రోల కోసం లెక్కించిన డ్రాప్ చేయబడిన పాయింట్‌ల అంకగణిత సగటు కూడా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్, కానీ పెద్దది ఎన్ఇది చాలా నిర్దిష్ట సంఖ్యకు మొగ్గు చూపుతుంది - గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ Mx. ఈ సందర్భంలో Mx = 3.5.

మీరు ఈ విలువను ఎలా పొందారు? లోనికి అనుమతించు ఎన్పరీక్షలు n1మీరు 1 పాయింట్‌ని పొందిన తర్వాత, n2ఒకసారి - 2 పాయింట్లు మరియు మొదలైనవి. అప్పుడు ఒక పాయింట్ పడిపోయిన ఫలితాల సంఖ్య:

అదేవిధంగా 2, 3, 4, 5 మరియు 6 పాయింట్లు రోల్ చేయబడినప్పుడు ఫలితాల కోసం.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క పంపిణీ చట్టం మనకు తెలుసని ఇప్పుడు మనం ఊహించుదాం, అనగా, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x సంభావ్యతలతో p1, p2, ..., x1, x2, ..., xk విలువలను తీసుకోగలదని మనకు తెలుసు. pk.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x యొక్క గణిత అంచనా Mx దీనికి సమానం:

గణిత నిరీక్షణ ఎల్లప్పుడూ కొన్ని యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సహేతుకమైన అంచనా కాదు. అందువల్ల, సగటు జీతం అంచనా వేయడానికి, మధ్యస్థం అనే భావనను ఉపయోగించడం మరింత సహేతుకమైనది, అంటే, సగటు కంటే తక్కువ మరియు ఎక్కువ మంది జీతం పొందే వ్యక్తుల సంఖ్య సమానంగా ఉంటుంది.

యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x x1/2 కంటే తక్కువగా ఉండే సంభావ్యత p1 మరియు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ x x1/2 కంటే ఎక్కువగా ఉండే సంభావ్యత p2 ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు 1/2కి సమానంగా ఉంటాయి. అన్ని పంపిణీలకు మధ్యస్థం ప్రత్యేకంగా నిర్ణయించబడదు.

ప్రామాణిక లేదా ప్రామాణిక విచలనంగణాంకాలలో, సగటు విలువ నుండి పరిశీలనాత్మక డేటా లేదా సెట్‌ల విచలనం యొక్క డిగ్రీని అంటారు. s లేదా s అక్షరాలతో సూచించబడుతుంది. ఒక చిన్న ప్రామాణిక విచలనం సగటు చుట్టూ డేటా క్లస్టర్‌లను సూచిస్తుంది, అయితే పెద్ద ప్రామాణిక విచలనం ప్రారంభ డేటా దాని నుండి దూరంగా ఉందని సూచిస్తుంది. ప్రామాణిక విచలనం వైవిధ్యం అని పిలువబడే పరిమాణం యొక్క వర్గమూలానికి సమానం. ఇది సగటు విలువ నుండి వైదొలిగే ప్రారంభ డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ తేడాల మొత్తం సగటు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క ప్రామాణిక విచలనం భేదం యొక్క వర్గమూలం:

ఉదాహరణ. లక్ష్యాన్ని కాల్చేటప్పుడు పరీక్ష పరిస్థితులలో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క వ్యాప్తి మరియు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి:

వైవిధ్యం- హెచ్చుతగ్గులు, జనాభా యొక్క యూనిట్లలో ఒక లక్షణం యొక్క విలువ యొక్క మార్పు. అధ్యయనంలో ఉన్న జనాభాలో కనిపించే లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత సంఖ్యా విలువలను విలువల వైవిధ్యాలు అంటారు. జనాభాను పూర్తిగా వర్గీకరించడానికి సగటు విలువ యొక్క లోపం అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యాన్ని (వైవిధ్యం) కొలవడం ద్వారా ఈ సగటుల యొక్క విలక్షణతను అంచనా వేయడానికి అనుమతించే సూచికలతో సగటు విలువలను భర్తీ చేయడానికి మమ్మల్ని బలవంతం చేస్తుంది. వైవిధ్యం యొక్క గుణకం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడుతుంది:

వైవిధ్యం యొక్క పరిధి(R) అధ్యయనం చేయబడుతున్న జనాభాలో లక్షణం యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ సూచిక అధ్యయనం చేయబడిన లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క అత్యంత సాధారణ ఆలోచనను ఇస్తుంది, ఎందుకంటే ఇది ఎంపికల గరిష్ట విలువల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని మాత్రమే చూపుతుంది. ఒక లక్షణం యొక్క విపరీతమైన విలువలపై ఆధారపడటం వైవిధ్యం యొక్క పరిధిని అస్థిరమైన, యాదృచ్ఛిక పాత్రను ఇస్తుంది.

సగటు సరళ విచలనంవారి సగటు విలువ నుండి విశ్లేషించబడిన జనాభా యొక్క అన్ని విలువల యొక్క సంపూర్ణ (మాడ్యులో) వ్యత్యాసాల యొక్క అంకగణిత సగటును సూచిస్తుంది:

జూదం సిద్ధాంతంలో గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ

గణిత నిరీక్షణ ఉందిజూదగాడు ఇచ్చిన బెట్టింగ్‌లో గెలవగల లేదా ఓడిపోగల సగటు డబ్బు. ఆటగాడికి ఇది చాలా ముఖ్యమైన అంశం ఎందుకంటే ఇది చాలా గేమింగ్ పరిస్థితులను అంచనా వేయడానికి ప్రాథమికమైనది. ప్రాథమిక కార్డ్ లేఅవుట్‌లు మరియు గేమింగ్ పరిస్థితులను విశ్లేషించడానికి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ సరైన సాధనం.

మీరు స్నేహితుడితో కాయిన్ గేమ్ ఆడుతున్నారని అనుకుందాం, ప్రతిసారీ $1కి సమానంగా బెట్టింగ్‌లు వేస్తున్నారు. తోకలు అంటే మీరు గెలుస్తారు, తలలు అంటే మీరు ఓడిపోతారు. అసమానతలు ఒకదానికొకటి పైకి వస్తాయి, కాబట్టి మీరు $1 నుండి $1 వరకు పందెం వేయండి. అందువలన, మీ గణిత నిరీక్షణ సున్నా, ఎందుకంటే గణిత కోణం నుండి, మీరు రెండు త్రోల తర్వాత లేదా 200 తర్వాత లీడ్ చేస్తారా లేదా ఓడిపోతారా అనేది మీకు తెలియదు.

మీ గంటకు వచ్చే లాభం సున్నా. గంట వారీ విజయాలు అంటే మీరు ఒక గంటలో గెలవాలని ఆశించే మొత్తం. మీరు ఒక గంటలో 500 సార్లు నాణేన్ని టాసు చేయవచ్చు, కానీ మీరు గెలవలేరు లేదా ఓడిపోరు ఎందుకంటే... మీ అవకాశాలు సానుకూలంగా లేదా ప్రతికూలంగా ఉండవు. సీరియస్ ప్లేయర్ కోణంలో చూస్తే.. ఈ బెట్టింగ్ విధానం చెడ్డది కాదు. కానీ ఇది కేవలం సమయం వృధా.

అయితే అదే గేమ్‌లో మీ $1కి వ్యతిరేకంగా ఎవరైనా $2 పందెం వేయాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. అప్పుడు మీరు వెంటనే ప్రతి పందెం నుండి 50 సెంట్ల సానుకూల నిరీక్షణను కలిగి ఉంటారు. 50 సెంట్లు ఎందుకు? సగటున, మీరు ఒక పందెం గెలిచి రెండవదాన్ని కోల్పోతారు. మొదటి డాలర్‌ను పందెం వేయండి మరియు మీరు $1 కోల్పోతారు, రెండవది పందెం వేయండి మరియు మీరు $2 గెలుస్తారు. మీరు రెండుసార్లు $1 పందెం వేసి $1 కంటే ముందున్నారు. కాబట్టి మీ ఒక్కొక్క డాలర్ పందెం మీకు 50 సెంట్లు ఇచ్చింది.

ఒక నాణెం ఒక గంటలో 500 సార్లు కనిపిస్తే, మీ గంటకు ఇప్పటికే $250 ఉంటుంది, ఎందుకంటే... సగటున, మీరు ఒక డాలర్‌ను 250 సార్లు కోల్పోయారు మరియు రెండు డాలర్లను 250 సార్లు గెలుచుకున్నారు. $500 మైనస్ $250 $250కి సమానం, ఇది మొత్తం విజయాలు. దయచేసి మీరు ఒక్కో పందెం గెలిచిన సగటు మొత్తం అంచనా విలువ 50 సెంట్లు అని గమనించండి. మీరు ఒక డాలర్‌ను 500 సార్లు బెట్టింగ్ చేయడం ద్వారా $250 గెలుచుకున్నారు, ఇది ఒక్కో పందెంకు 50 సెంట్లు.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు స్వల్పకాలిక ఫలితాలతో సంబంధం లేదు. మీకు వ్యతిరేకంగా $2 పందెం వేయాలని నిర్ణయించుకున్న మీ ప్రత్యర్థి, వరుసగా మొదటి పది రోల్స్‌లో మిమ్మల్ని ఓడించగలడు, కానీ మీరు 2 నుండి 1 బెట్టింగ్ ప్రయోజనాన్ని కలిగి ఉంటే, అన్ని ఇతర అంశాలు సమానంగా ఉంటే, ప్రతి $1 పందెం మీద 50 సెంట్లు సంపాదిస్తారు పరిస్థితులలో. మీరు ఒక పందెం లేదా అనేక పందాలను గెలిచినా లేదా ఓడిపోయినా తేడా లేదు, ఖర్చులను సౌకర్యవంతంగా కవర్ చేయడానికి మీకు తగినంత నగదు ఉన్నంత వరకు. మీరు అదే విధంగా పందెం వేయడం కొనసాగిస్తే, చాలా కాలం పాటు మీ విజయాలు వ్యక్తిగత త్రోలలోని అంచనాల మొత్తానికి చేరుకుంటాయి.

మీరు ఉత్తమ పందెం వేసిన ప్రతిసారీ (దీర్ఘకాలంలో లాభదాయకంగా మారే పందెం), అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉన్నప్పుడు, మీరు దానిలో ఓడిపోయినా, కోల్పోకపోయినా, మీరు దానిపై ఏదో ఒకదానిని గెలవవలసి ఉంటుంది. చేతికి ఇచ్చారు. దీనికి విరుద్ధంగా, అసమానత మీకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పుడు మీరు అండర్‌డాగ్ పందెం (దీర్ఘకాలంలో లాభదాయకం లేని పందెం) చేస్తే, మీరు గెలిచినా లేదా ఓడినా అనే దానితో సంబంధం లేకుండా మీరు ఏదైనా కోల్పోతారు.

మీ నిరీక్షణ సానుకూలంగా ఉంటే మీరు ఉత్తమ ఫలితంతో పందెం వేస్తారు మరియు అసమానత మీ వైపు ఉంటే అది సానుకూలంగా ఉంటుంది. మీరు చెత్త ఫలితంతో పందెం వేసినప్పుడు, మీకు ప్రతికూల నిరీక్షణ ఉంటుంది, అసమానత మీకు వ్యతిరేకంగా ఉన్నప్పుడు ఇది జరుగుతుంది. తీవ్రమైన ఆటగాళ్ళు ఉత్తమ ఫలితంపై మాత్రమే పందెం వేస్తారు; చెత్తగా జరిగితే, వారు మడతపెట్టారు. మీకు అనుకూలంగా ఉన్న అసమానతలు అంటే ఏమిటి? మీరు నిజమైన అసమానతల కంటే ఎక్కువ గెలుపొందవచ్చు. ల్యాండింగ్ హెడ్‌ల యొక్క నిజమైన అసమానత 1 నుండి 1 వరకు ఉంటుంది, కానీ అసమానత నిష్పత్తి కారణంగా మీరు 2 నుండి 1 వరకు పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో, అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. ప్రతి పందెంకు 50 సెంట్ల సానుకూల అంచనాతో మీరు ఖచ్చితంగా ఉత్తమ ఫలితాన్ని పొందుతారు.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణకు మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణ ఇక్కడ ఉంది. ఒక స్నేహితుడు ఒకటి నుండి ఐదు వరకు సంఖ్యలను వ్రాస్తాడు మరియు మీరు నంబర్‌ను ఊహించలేరని మీ $1కి వ్యతిరేకంగా $5 పందెం వేస్తాడు. అలాంటి పందెానికి మీరు అంగీకరించాలా? ఇక్కడ నిరీక్షణ ఏమిటి?

సగటున మీరు నాలుగు సార్లు తప్పు చేస్తారు. దీని ఆధారంగా, మీరు ఊహించిన సంఖ్యకు వ్యతిరేకంగా ఉన్న అసమానత 4 నుండి 1. ఒక ప్రయత్నంలో మీరు డాలర్‌ను కోల్పోయే అవకాశం ఉంది. అయితే, మీరు 5 నుండి 1 గెలుస్తారు, 4 నుండి 1 ఓడిపోయే అవకాశం ఉంది. కాబట్టి అసమానత మీకు అనుకూలంగా ఉంటుంది, మీరు పందెం తీసుకోవచ్చు మరియు ఉత్తమ ఫలితం కోసం ఆశిస్తున్నాము. మీరు ఈ పందెం ఐదు సార్లు చేస్తే, సగటున మీరు నాలుగు సార్లు $1 కోల్పోతారు మరియు ఒకసారి $5 గెలుస్తారు. దీని ఆధారంగా, మొత్తం ఐదు ప్రయత్నాలకు మీరు ప్రతి పందెం 20 సెంట్ల సానుకూల గణిత అంచనాతో $1 సంపాదిస్తారు.

పై ఉదాహరణలో ఉన్నట్లుగా, అతను పందెం వేసిన దానికంటే ఎక్కువ గెలవబోతున్న ఆటగాడు, అవకాశాలను తీసుకుంటున్నాడు. దీనికి విరుద్ధంగా, అతను బెట్టింగ్ కంటే తక్కువ గెలవాలని ఆశించినప్పుడు అతను తన అవకాశాలను నాశనం చేస్తాడు. పందెం వేసే వ్యక్తి సానుకూల లేదా ప్రతికూల అంచనాలను కలిగి ఉండవచ్చు, ఇది అతను గెలుస్తాడా లేదా అసమానతలను నాశనం చేస్తాడా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మీరు 4 నుండి 1 గెలిచే అవకాశంతో $10 గెలవడానికి $50 పందెం వేస్తే, మీరు $2 ప్రతికూల అంచనాను పొందుతారు ఎందుకంటే సగటున, మీరు నాలుగు సార్లు $10 గెలుస్తారు మరియు ఒకసారి $50 కోల్పోతారు, ఇది ఒక్కో పందెం నష్టాన్ని $10 అని చూపిస్తుంది. మీరు $10 గెలవడానికి $30 పందెం వేస్తే, అదే అసమానతతో 4 నుండి 1 గెలుపొందినట్లయితే, ఈ సందర్భంలో మీకు $2 సానుకూల అంచనా ఉంటుంది, ఎందుకంటే మీరు మళ్లీ $10ని నాలుగుసార్లు గెలుస్తారు మరియు $10 లాభం కోసం ఒకసారి $30ని కోల్పోతారు. ఈ ఉదాహరణలు మొదటి పందెం చెడ్డదని మరియు రెండవది మంచిదని చూపిస్తుంది.

ఏదైనా గేమింగ్ పరిస్థితికి గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కేంద్రంగా ఉంటుంది. ఒక బుక్‌మేకర్ ఫుట్‌బాల్ అభిమానులను $11 పందెం వేసి $10 గెలవమని ప్రోత్సహించినప్పుడు, అతను ప్రతి $10పై 50 సెంట్లు సానుకూలంగా అంచనా వేస్తాడు. కాసినో పాస్ లైన్ నుండి కూడా డబ్బును క్రాప్స్‌లో చెల్లిస్తే, కాసినో యొక్క సానుకూల అంచనా ప్రతి $100కి సుమారు $1.40 అవుతుంది, ఎందుకంటే ఈ గేమ్ నిర్మాణాత్మకమైనది, తద్వారా ఈ లైన్‌లో పందెం కాసే ఎవరైనా సగటున 50.7% కోల్పోతారు మరియు మొత్తం సమయంలో 49.3% గెలుస్తారు. నిస్సందేహంగా, ఇది ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న కాసినో యజమానులకు అపారమైన లాభాలను తెచ్చిపెట్టే కనీస సానుకూల అంచనా. వెగాస్ వరల్డ్ క్యాసినో యజమాని బాబ్ స్టుపక్ పేర్కొన్నట్లుగా, "తగినంత దూరం కంటే వెయ్యి శాతం ప్రతికూల సంభావ్యత ప్రపంచంలోని అత్యంత సంపన్నుడిని నాశనం చేస్తుంది."

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు నిరీక్షణ

పోకర్ గేమ్ అనేది గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క సిద్ధాంతం మరియు లక్షణాలను ఉపయోగించే దృక్కోణం నుండి అత్యంత సచిత్ర మరియు దృష్టాంత ఉదాహరణ.

పోకర్‌లో ఆశించిన విలువ అనేది ఒక నిర్దిష్ట నిర్ణయం నుండి సగటు ప్రయోజనం, అటువంటి నిర్ణయాన్ని పెద్ద సంఖ్యలు మరియు సుదూర సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో పరిగణించవచ్చు. విజయవంతమైన పోకర్ గేమ్ ఎల్లప్పుడూ సానుకూల అంచనా విలువతో కదలికలను అంగీకరించడం.

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ యొక్క గణిత అర్థం ఏమిటంటే, నిర్ణయాలు తీసుకునేటప్పుడు మనం తరచుగా యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్‌ను ఎదుర్కొంటాము (ప్రత్యర్థి చేతిలో ఏ కార్డులు ఉన్నాయో మాకు తెలియదు, తదుపరి రౌండ్లలో బెట్టింగ్‌లలో ఏ కార్డులు వస్తాయి). పెద్ద సంఖ్య సిద్ధాంతం యొక్క దృక్కోణం నుండి మేము ప్రతి పరిష్కారాలను పరిగణించాలి, ఇది తగినంత పెద్ద నమూనాతో, యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువ దాని గణిత అంచనాకు అనుగుణంగా ఉంటుందని పేర్కొంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణను గణించే ప్రత్యేక సూత్రాలలో, కిందివి పోకర్‌లో ఎక్కువగా వర్తిస్తాయి:

పోకర్ ఆడుతున్నప్పుడు, పందెం మరియు కాల్‌లు రెండింటికీ అంచనా విలువను లెక్కించవచ్చు. మొదటి సందర్భంలో, మడత ఈక్విటీని పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి, రెండవది, బ్యాంకు యొక్క స్వంత అసమానతలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి. నిర్దిష్ట కదలిక యొక్క గణిత నిరీక్షణను అంచనా వేసేటప్పుడు, ఒక మడతకు ఎల్లప్పుడూ సున్నా నిరీక్షణ ఉంటుందని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, ఏదైనా ప్రతికూల చర్య కంటే కార్డ్‌లను విస్మరించడం ఎల్లప్పుడూ లాభదాయకమైన నిర్ణయం.

మీరు రిస్క్ చేసే ప్రతి డాలర్‌కు మీరు ఏమి ఆశించవచ్చో (లాభం లేదా నష్టం) నిరీక్షణ మీకు తెలియజేస్తుంది. క్యాసినోలు డబ్బు సంపాదిస్తాయి ఎందుకంటే వాటిలో ఆడే అన్ని ఆటల గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ కాసినోకు అనుకూలంగా ఉంటుంది. "అసమానతలు" కాసినోకు అనుకూలంగా ఉన్నందున, తగినంత సుదీర్ఘమైన గేమ్‌లతో, క్లయింట్ తన డబ్బును కోల్పోతారని మీరు ఆశించవచ్చు. అయినప్పటికీ, ప్రొఫెషనల్ క్యాసినో ప్లేయర్‌లు తమ గేమ్‌లను తక్కువ వ్యవధికి పరిమితం చేస్తారు, తద్వారా వారికి అనుకూలంగా అసమానతలను పేర్చుకుంటారు. పెట్టుబడికి కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది. మీ నిరీక్షణ సానుకూలంగా ఉంటే, మీరు తక్కువ వ్యవధిలో అనేక లావాదేవీలు చేయడం ద్వారా ఎక్కువ డబ్బు సంపాదించవచ్చు. నిరీక్షణ అనేది మీ సగటు లాభంతో గుణించబడిన ప్రతి విజయానికి మీ లాభం శాతం, మైనస్ మీ నష్ట సంభావ్యత మీ సగటు నష్టంతో గుణించబడుతుంది.

పోకర్ గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ దృక్కోణం నుండి కూడా పరిగణించబడుతుంది. ఒక నిర్దిష్ట కదలిక లాభదాయకంగా ఉంటుందని మీరు అనుకోవచ్చు, కానీ కొన్ని సందర్భాల్లో ఇది ఉత్తమమైనది కాకపోవచ్చు ఎందుకంటే మరొక కదలిక మరింత లాభదాయకంగా ఉంటుంది. మీరు ఐదు కార్డుల డ్రా పోకర్‌లో పూర్తి హౌస్‌ని కొట్టారని అనుకుందాం. మీ ప్రత్యర్థి పందెం వేస్తాడు. మీరు పందెం పెంచితే, అతను స్పందిస్తాడని మీకు తెలుసు. అందువల్ల, పెంచడం ఉత్తమ వ్యూహంగా కనిపిస్తుంది. కానీ మీరు పందెం పెంచితే, మిగిలిన ఇద్దరు ఆటగాళ్ళు ఖచ్చితంగా మడతపెడతారు. కానీ మీరు కాల్ చేస్తే, మీ వెనుక ఉన్న మరో ఇద్దరు ఆటగాళ్లు కూడా అదే చేస్తారని మీకు పూర్తి విశ్వాసం ఉంది. మీరు మీ పందెం పెంచినప్పుడు మీకు ఒక యూనిట్ లభిస్తుంది మరియు మీరు కాల్ చేసినప్పుడు మీకు రెండు లభిస్తాయి. అందువల్ల, కాలింగ్ మీకు అధిక సానుకూల అంచనా విలువను ఇస్తుంది మరియు ఇది ఉత్తమ వ్యూహంగా ఉంటుంది.

గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ ఏ పోకర్ వ్యూహాలు తక్కువ లాభదాయకం మరియు ఏది ఎక్కువ లాభదాయకం అనే ఆలోచనను కూడా ఇస్తుంది. ఉదాహరణకు, మీరు ఒక నిర్దిష్ట చేతిని ఆడితే మరియు మీ నష్టం యాంటీతో సహా సగటున 75 సెంట్లు ఉంటుందని మీరు భావిస్తే, మీరు ఆ చేతిని ఆడాలి ఎందుకంటే పూర్వం $1 అయినప్పుడు మడతపెట్టడం కంటే ఇది ఉత్తమం.

ఆశించిన విలువ యొక్క భావనను అర్థం చేసుకోవడానికి మరొక ముఖ్యమైన కారణం ఏమిటంటే, మీరు పందెం గెలిచినా, గెలవకపోయినా మీకు మనశ్శాంతి కలిగిస్తుంది: మీరు మంచి పందెం వేసినా లేదా సరైన సమయంలో మడతపెట్టినా, మీరు సంపాదించినట్లు మీకు తెలుస్తుంది లేదా బలహీనమైన ఆటగాడు ఆదా చేయలేని కొంత మొత్తాన్ని ఆదా చేశాడు. మీ ప్రత్యర్థి చేతిని బలంగా లాగినందున మీరు కలత చెందితే మడవడం చాలా కష్టం. వీటన్నింటితో, బెట్టింగ్‌లకు బదులుగా మీరు ఆదా చేయని డబ్బు రాత్రి లేదా నెలలో మీ విజయాలకు జోడించబడుతుంది.

మీరు మీ చేతులను మార్చినట్లయితే, మీ ప్రత్యర్థి మిమ్మల్ని పిలిచేవారని గుర్తుంచుకోండి మరియు మీరు పోకర్ యొక్క ప్రాథమిక సిద్ధాంతంలో చూసినట్లుగా, ఇది మీ ప్రయోజనాల్లో ఒకటి మాత్రమే. ఇది జరిగినప్పుడు మీరు సంతోషంగా ఉండాలి. మీరు చేతిని కోల్పోవడాన్ని ఆనందించడం కూడా నేర్చుకోవచ్చు, ఎందుకంటే మీ స్థానంలో ఉన్న ఇతర ఆటగాళ్లు చాలా ఎక్కువ నష్టపోతారని మీకు తెలుసు.

ప్రారంభంలో కాయిన్ గేమ్ ఉదాహరణలో పేర్కొన్నట్లుగా, లాభం యొక్క గంట రేటు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణతో పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటుంది మరియు వృత్తిపరమైన ఆటగాళ్లకు ఈ భావన చాలా ముఖ్యమైనది. మీరు పేకాట ఆడటానికి వెళ్ళినప్పుడు, మీరు ఒక గంట ఆటలో ఎంత గెలుస్తారో మానసికంగా అంచనా వేయాలి. చాలా సందర్భాలలో మీరు మీ అంతర్ దృష్టి మరియు అనుభవంపై ఆధారపడవలసి ఉంటుంది, కానీ మీరు కొంత గణితాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు డ్రా లోబాల్ ఆడుతున్నారు మరియు ముగ్గురు ఆటగాళ్ళు $10 పందెం వేసి, ఆపై రెండు కార్డ్‌లను వర్తకం చేయడాన్ని మీరు చూస్తారు, ఇది చాలా చెడ్డ వ్యూహం, వారు $10 పందెం వేసిన ప్రతిసారీ వారు సుమారు $2 కోల్పోతారని మీరు గుర్తించవచ్చు. ప్రతి ఒక్కరు గంటకు ఎనిమిది సార్లు ఇలా చేస్తారు, అంటే ముగ్గురూ గంటకు సుమారు $48 కోల్పోతారు. మీరు దాదాపు సమానంగా ఉన్న మిగిలిన నలుగురు ఆటగాళ్లలో ఒకరు, కాబట్టి ఈ నలుగురు ఆటగాళ్ళు (మరియు వారిలో మీరు) తప్పనిసరిగా $48ని విభజించాలి, ఒక్కొక్కరు గంటకు $12 లాభాన్ని పొందుతారు. ఈ సందర్భంలో మీ గంట వారీ అసమానత కేవలం ఒక గంటలో ముగ్గురు చెడ్డ ఆటగాళ్లు కోల్పోయిన డబ్బు మొత్తంలో మీ వాటాకు సమానంగా ఉంటుంది.

చాలా కాలం పాటు, ఆటగాడి మొత్తం విజయాలు వ్యక్తిగత చేతుల్లో అతని గణిత అంచనాల మొత్తం. మీరు సానుకూల నిరీక్షణతో ఎంత ఎక్కువ చేతులు ఆడితే, మీరు అంత ఎక్కువగా గెలుస్తారు మరియు ప్రతికూల అంచనాలతో మీరు ఎంత ఎక్కువ చేతులు ఆడితే అంత ఎక్కువగా మీరు కోల్పోతారు. ఫలితంగా, మీరు మీ సానుకూల నిరీక్షణను పెంచే గేమ్‌ను ఎంచుకోవాలి లేదా మీ ప్రతికూల అంచనాలను తిరస్కరించవచ్చు, తద్వారా మీరు మీ గంటవారీ విజయాలను పెంచుకోవచ్చు.

గేమింగ్ వ్యూహంలో సానుకూల గణిత నిరీక్షణ

కార్డ్‌లను ఎలా లెక్కించాలో మీకు తెలిస్తే, వారు గమనించి మిమ్మల్ని బయటకు విసిరేయనంత కాలం, మీరు క్యాసినోపై ప్రయోజనాన్ని పొందవచ్చు. క్యాసినోలు తాగిన ఆటగాళ్ళను ఇష్టపడతారు మరియు కార్డ్ లెక్కింపు ఆటగాళ్లను సహించరు. కాలక్రమేణా మీరు ఓడిపోయిన దానికంటే ఎక్కువ సార్లు గెలవడానికి ఒక ప్రయోజనం మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. ఆశించిన విలువ గణనలను ఉపయోగించి మంచి డబ్బు నిర్వహణ మీ అంచు నుండి మరింత లాభం పొందడంలో మరియు మీ నష్టాలను తగ్గించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది. ప్రయోజనం లేకుండా, మీరు దాతృత్వానికి డబ్బు ఇవ్వడం మంచిది. స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్లో ఆటలో, గేమ్ సిస్టమ్ ద్వారా ప్రయోజనం ఇవ్వబడుతుంది, ఇది నష్టాలు, ధర వ్యత్యాసాలు మరియు కమీషన్ల కంటే ఎక్కువ లాభాలను సృష్టిస్తుంది. ఎటువంటి డబ్బు నిర్వహణ చెడు గేమింగ్ సిస్టమ్‌ను సేవ్ చేయదు.

సానుకూల అంచనా సున్నా కంటే ఎక్కువ విలువగా నిర్వచించబడింది. ఈ సంఖ్య ఎంత పెద్దదైతే, గణాంక అంచనాలు అంత బలంగా ఉంటాయి. విలువ సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, గణిత అంచనా కూడా ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ప్రతికూల విలువ యొక్క మాడ్యూల్ పెద్దది, పరిస్థితి అధ్వాన్నంగా ఉంటుంది. ఫలితం సున్నా అయితే, వేచి ఉండటం బ్రేక్-ఈవెన్. మీకు సానుకూల గణిత నిరీక్షణ మరియు సహేతుకమైన ఆట విధానం ఉన్నప్పుడు మాత్రమే మీరు గెలవగలరు. అంతర్ దృష్టితో ఆడటం విపత్తుకు దారితీస్తుంది.

గణిత అంచనా మరియు స్టాక్ ట్రేడింగ్

ఫైనాన్షియల్ మార్కెట్లలో ఎక్స్ఛేంజ్ ట్రేడింగ్ నిర్వహించేటప్పుడు గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ అనేది చాలా విస్తృతంగా ఉపయోగించబడే మరియు ప్రజాదరణ పొందిన గణాంక సూచిక. అన్నింటిలో మొదటిది, ట్రేడింగ్ యొక్క విజయాన్ని విశ్లేషించడానికి ఈ పరామితి ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ విలువ ఎక్కువ అని ఊహించడం కష్టం కాదు, అధ్యయనం చేయబడుతున్న వాణిజ్యాన్ని విజయవంతంగా పరిగణించడానికి మరిన్ని కారణాలు. వాస్తవానికి, ఈ పరామితిని ఉపయోగించి మాత్రమే వ్యాపారి పని యొక్క విశ్లేషణ నిర్వహించబడదు. అయితే, లెక్కించిన విలువ, పని నాణ్యతను అంచనా వేసే ఇతర పద్ధతులతో కలిపి, విశ్లేషణ యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని గణనీయంగా పెంచుతుంది.

గణిత నిరీక్షణ తరచుగా ట్రేడింగ్ ఖాతా పర్యవేక్షణ సేవలలో లెక్కించబడుతుంది, ఇది డిపాజిట్‌పై చేసిన పనిని త్వరగా అంచనా వేయడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది. మినహాయింపులలో లాభదాయకం లేని ట్రేడ్‌లను "సిట్టింగ్ అవుట్" ఉపయోగించే వ్యూహాలు ఉన్నాయి. ఒక వ్యాపారి కొంతకాలం అదృష్టవంతుడు కావచ్చు, అందువల్ల అతని పనిలో ఎటువంటి నష్టాలు ఉండకపోవచ్చు. ఈ సందర్భంలో, గణిత నిరీక్షణ ద్వారా మాత్రమే మార్గనిర్దేశం చేయడం సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే పనిలో ఉపయోగించే నష్టాలు పరిగణనలోకి తీసుకోబడవు.

మార్కెట్ ట్రేడింగ్‌లో, ఏదైనా ట్రేడింగ్ వ్యూహం యొక్క లాభదాయకతను అంచనా వేసేటప్పుడు లేదా అతని మునుపటి ట్రేడింగ్ నుండి గణాంక డేటా ఆధారంగా వ్యాపారి ఆదాయాన్ని అంచనా వేసేటప్పుడు గణిత నిరీక్షణ చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది.

మనీ మేనేజ్‌మెంట్‌కు సంబంధించి, ప్రతికూల అంచనాలతో లావాదేవీలు చేస్తున్నప్పుడు, ఖచ్చితంగా అధిక లాభాలను తెచ్చే మనీ మేనేజ్‌మెంట్ స్కీమ్ లేదని అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం. మీరు ఈ పరిస్థితులలో స్టాక్ మార్కెట్‌ను ఆడటం కొనసాగిస్తే, మీరు మీ డబ్బును ఎలా నిర్వహించారనే దానితో సంబంధం లేకుండా, మీరు మీ మొత్తం ఖాతాను కోల్పోతారు, అది ఎంత పెద్దదైనా ప్రారంభించబడుతుంది.

ఈ సిద్ధాంతం ప్రతికూల అంచనాలతో గేమ్‌లు లేదా ట్రేడ్‌లకు మాత్రమే కాదు, సమాన అవకాశాలు ఉన్న గేమ్‌లకు కూడా వర్తిస్తుంది. అందువల్ల, మీరు సానుకూల అంచనా విలువతో ట్రేడ్‌లను తీసుకుంటే మాత్రమే మీకు దీర్ఘకాలిక లాభం పొందే అవకాశం ఉంటుంది.

ప్రతికూల నిరీక్షణ మరియు సానుకూల నిరీక్షణ మధ్య వ్యత్యాసం జీవితం మరియు మరణం మధ్య వ్యత్యాసం. నిరీక్షణ ఎంత సానుకూలంగా ఉన్నా లేదా ఎంత ప్రతికూలంగా ఉన్నా అది పట్టింపు లేదు; ఇది సానుకూలమా లేదా ప్రతికూలమా అనేది ముఖ్యం. అందువల్ల, డబ్బు నిర్వహణను పరిగణనలోకి తీసుకునే ముందు, మీరు సానుకూల అంచనాతో గేమ్‌ను కనుగొనాలి.

మీకు ఆ గేమ్ లేకపోతే, ప్రపంచంలోని డబ్బు నిర్వహణ అంతా మిమ్మల్ని రక్షించదు. మరోవైపు, మీరు సానుకూల నిరీక్షణను కలిగి ఉంటే, మీరు సరైన డబ్బు నిర్వహణ ద్వారా దానిని ఘాతాంక వృద్ధి ఫంక్షన్‌గా మార్చవచ్చు. సానుకూల అంచనాలు ఎంత తక్కువగా ఉన్నా పర్వాలేదు! మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒకే ఒప్పందంపై ఆధారపడిన వ్యాపార వ్యవస్థ ఎంత లాభదాయకంగా ఉంది. మీరు ఒక్కో ట్రేడ్‌కు $10 చొప్పున గెలుచుకునే సిస్టమ్‌ను కలిగి ఉంటే (కమీషన్‌లు మరియు జారడం తర్వాత), ప్రతి ట్రేడ్‌కు సగటున $1,000 (కమీషన్‌లు మరియు జారడం తర్వాత) ఉండే సిస్టమ్ కంటే మీరు దానిని మరింత లాభదాయకంగా మార్చడానికి డబ్బు నిర్వహణ పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు.

సిస్టమ్ ఎంత లాభదాయకంగా ఉంది అనేది ముఖ్యం కాదు, కానీ భవిష్యత్తులో కనీసం కనీస లాభాన్ని చూపుతుందని సిస్టమ్ ఎంత ఖచ్చితంగా చెప్పగలదు. అందువల్ల, ఒక వ్యాపారి చేయగలిగే అతి ముఖ్యమైన తయారీ వ్యవస్థ భవిష్యత్తులో సానుకూల అంచనా విలువను చూపుతుందని నిర్ధారించుకోవడం.

భవిష్యత్తులో సానుకూల అంచనా విలువను కలిగి ఉండటానికి, మీ సిస్టమ్ యొక్క స్వేచ్ఛ స్థాయిలను పరిమితం చేయకుండా ఉండటం చాలా ముఖ్యం. ఇది ఆప్టిమైజ్ చేయవలసిన పారామితుల సంఖ్యను తొలగించడం లేదా తగ్గించడం ద్వారా మాత్రమే కాకుండా, వీలైనన్ని ఎక్కువ సిస్టమ్ నియమాలను తగ్గించడం ద్వారా కూడా సాధించబడుతుంది. మీరు జోడించే ప్రతి పరామితి, మీరు చేసే ప్రతి నియమం, సిస్టమ్‌లో మీరు చేసే ప్రతి చిన్న మార్పు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యను తగ్గిస్తుంది. ఆదర్శవంతంగా, మీరు దాదాపు ఏదైనా మార్కెట్‌లో స్థిరంగా చిన్న లాభాలను సృష్టించే చాలా ప్రాచీనమైన మరియు సరళమైన వ్యవస్థను నిర్మించాలి. మళ్ళీ, ఇది లాభదాయకంగా ఉన్నంత వరకు వ్యవస్థ ఎంత లాభదాయకంగా ఉన్నప్పటికీ అది ముఖ్యం కాదని మీరు అర్థం చేసుకోవడం ముఖ్యం. మీరు ట్రేడింగ్‌లో సంపాదించే డబ్బు సమర్థవంతమైన మనీ మేనేజ్‌మెంట్ ద్వారా చేయబడుతుంది.

ట్రేడింగ్ సిస్టమ్ అనేది మీకు సానుకూల అంచనా విలువను అందించే సాధనం, తద్వారా మీరు డబ్బు నిర్వహణను ఉపయోగించవచ్చు. ఒకటి లేదా కొన్ని మార్కెట్‌లలో మాత్రమే పని చేసే (కనీసం కనిష్ట లాభాలను చూపే) సిస్టమ్‌లు లేదా వివిధ మార్కెట్‌ల కోసం వేర్వేరు నియమాలు లేదా పారామితులను కలిగి ఉంటాయి, చాలా వరకు నిజ సమయంలో పని చేయవు. చాలా సాంకేతికంగా ఆధారిత వ్యాపారుల సమస్య ఏమిటంటే, వారు వాణిజ్య వ్యవస్థ యొక్క వివిధ నియమాలు మరియు పారామీటర్ విలువలను ఆప్టిమైజ్ చేయడానికి ఎక్కువ సమయం మరియు కృషిని వెచ్చిస్తారు. ఇది పూర్తిగా వ్యతిరేక ఫలితాలను ఇస్తుంది. వాణిజ్య వ్యవస్థ యొక్క లాభాలను పెంచడానికి శక్తి మరియు కంప్యూటర్ సమయాన్ని వృధా చేయడానికి బదులుగా, కనీస లాభం పొందే విశ్వసనీయత స్థాయిని పెంచడానికి మీ శక్తిని నిర్దేశించండి.

మనీ మేనేజ్‌మెంట్ అనేది కేవలం నంబర్‌ల గేమ్ అని తెలుసుకోవడం వల్ల సానుకూల అంచనాలను ఉపయోగించడం అవసరం, ఒక వ్యాపారి స్టాక్ ట్రేడింగ్ యొక్క "హోలీ గ్రెయిల్" కోసం శోధించడం మానివేయవచ్చు. బదులుగా, అతను తన వ్యాపార పద్ధతిని పరీక్షించడం ప్రారంభించవచ్చు, ఈ పద్ధతి ఎంత తార్కికంగా ఉందో మరియు అది సానుకూల అంచనాలను ఇస్తుందో లేదో తెలుసుకోవచ్చు. సరైన డబ్బు నిర్వహణ పద్ధతులు, ఏదైనా, చాలా మధ్యస్థమైన వ్యాపార పద్ధతులకు కూడా వర్తింపజేస్తే, మిగిలిన పనిని స్వయంగా చేస్తారు.

ఏ వ్యాపారి అయినా తన పనిలో విజయం సాధించాలంటే, అతను మూడు ముఖ్యమైన పనులను పరిష్కరించాలి: . విజయవంతమైన లావాదేవీల సంఖ్య అనివార్యమైన తప్పులు మరియు తప్పుడు లెక్కల కంటే ఎక్కువగా ఉందని నిర్ధారించడానికి; మీ వ్యాపార వ్యవస్థను సెటప్ చేయండి, తద్వారా మీరు వీలైనంత తరచుగా డబ్బు సంపాదించడానికి అవకాశం ఉంటుంది; మీ కార్యకలాపాల నుండి స్థిరమైన సానుకూల ఫలితాలను సాధించండి.

మరియు ఇక్కడ, మాకు పని చేసే వ్యాపారులకు, గణిత శాస్త్ర నిరీక్షణ గొప్ప సహాయంగా ఉంటుంది. ఈ పదం సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో కీలకమైన వాటిలో ఒకటి. దాని సహాయంతో, మీరు కొంత యాదృచ్ఛిక విలువ యొక్క సగటు అంచనాను ఇవ్వవచ్చు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ యొక్క గణిత నిరీక్షణ గురుత్వాకర్షణ కేంద్రాన్ని పోలి ఉంటుంది, మీరు అన్ని సంభావ్య సంభావ్యతలను వేర్వేరు ద్రవ్యరాశితో పాయింట్లుగా ఊహించినట్లయితే.

వ్యాపార వ్యూహానికి సంబంధించి, లాభం (లేదా నష్టం) యొక్క గణిత అంచనా దాని ప్రభావాన్ని అంచనా వేయడానికి చాలా తరచుగా ఉపయోగించబడుతుంది. ఈ పరామితి లాభం మరియు నష్టాల యొక్క ఇచ్చిన స్థాయిల ఉత్పత్తుల మొత్తం మరియు వాటి సంభవించే సంభావ్యతగా నిర్వచించబడింది. ఉదాహరణకు, అభివృద్ధి చెందిన వ్యాపార వ్యూహం మొత్తం లావాదేవీలలో 37% లాభాన్ని తెస్తుంది మరియు మిగిలిన భాగం - 63% - లాభదాయకం కాదు. అదే సమయంలో, విజయవంతమైన లావాదేవీ నుండి సగటు ఆదాయం $7 ఉంటుంది మరియు సగటు నష్టం $1.4 అవుతుంది. ఈ వ్యవస్థను ఉపయోగించి ట్రేడింగ్ యొక్క గణిత నిరీక్షణను గణిద్దాం:

ఈ సంఖ్య అంటే ఏమిటి? ఈ సిస్టమ్ యొక్క నియమాలను అనుసరించి, మేము ప్రతి క్లోజ్డ్ లావాదేవీ నుండి సగటున $1,708 అందుకుంటామని ఇది చెప్పింది. ఫలితంగా సమర్ధత రేటింగ్ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉన్నందున, అటువంటి వ్యవస్థ నిజమైన పని కోసం ఉపయోగించబడుతుంది. గణన ఫలితంగా, గణిత నిరీక్షణ ప్రతికూలంగా మారినట్లయితే, ఇది ఇప్పటికే సగటు నష్టాన్ని సూచిస్తుంది మరియు అటువంటి ట్రేడింగ్ నాశనానికి దారి తీస్తుంది.

లావాదేవీకి వచ్చే లాభం మొత్తాన్ని కూడా % రూపంలో సాపేక్ష విలువగా వ్యక్తీకరించవచ్చు. ఉదాహరణకి:

– 1 లావాదేవీకి ఆదాయం శాతం - 5%;

– విజయవంతమైన ట్రేడింగ్ కార్యకలాపాల శాతం - 62%;

– 1 లావాదేవీకి నష్టం శాతం - 3%;

– విజయవంతం కాని లావాదేవీల శాతం - 38%;

అంటే, సగటు వాణిజ్యం 1.96% తెస్తుంది.

లాభదాయకమైన ట్రేడ్‌ల ప్రాబల్యం ఉన్నప్పటికీ, దాని MO>0 నుండి సానుకూల ఫలితాన్ని అందించే వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేయడం సాధ్యపడుతుంది.

అయితే, ఒక్క నిరీక్షణ సరిపోదు. సిస్టమ్ చాలా తక్కువ ట్రేడింగ్ సిగ్నల్స్ ఇస్తే డబ్బు సంపాదించడం కష్టం. ఈ సందర్భంలో, దాని లాభదాయకత బ్యాంకు వడ్డీతో పోల్చవచ్చు. ప్రతి ఆపరేషన్ సగటున 0.5 డాలర్లు మాత్రమే ఉత్పత్తి చేయనివ్వండి, అయితే సిస్టమ్ సంవత్సరానికి 1000 కార్యకలాపాలను కలిగి ఉంటే ఏమి చేయాలి? సాపేక్షంగా తక్కువ సమయంలో ఇది చాలా ముఖ్యమైన మొత్తం అవుతుంది. ఇది తార్కికంగా మంచి వ్యాపార వ్యవస్థ యొక్క మరొక విలక్షణమైన లక్షణాన్ని హోల్డింగ్ పొజిషన్ల స్వల్ప వ్యవధిగా పరిగణించవచ్చు.

మూలాలు మరియు లింక్‌లు

dic.academic.ru – అకడమిక్ ఆన్‌లైన్ నిఘంటువు

mathematics.ru – గణితంలో విద్యా వెబ్‌సైట్

nsu.ru - నోవోసిబిర్స్క్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ యొక్క విద్యా వెబ్‌సైట్

webmath.ru అనేది విద్యార్థులు, దరఖాస్తుదారులు మరియు పాఠశాల పిల్లల కోసం ఒక విద్యా పోర్టల్.

exponenta.ru విద్యా గణిత వెబ్‌సైట్

ru.tradimo.com – ఉచిత ఆన్‌లైన్ ట్రేడింగ్ స్కూల్

crypto.hut2.ru - మల్టీడిసిప్లినరీ ఇన్ఫర్మేషన్ రిసోర్స్

poker-wiki.ru – పోకర్ యొక్క ఉచిత ఎన్సైక్లోపీడియా

sernam.ru – ఎంచుకున్న సహజ విజ్ఞాన ప్రచురణల యొక్క శాస్త్రీయ లైబ్రరీ

reshim.su – వెబ్‌సైట్ మేము పరీక్షా కోర్సు సమస్యలను పరిష్కరిస్తాము

unfx.ru - UNFXలో ఫారెక్స్: శిక్షణ, ట్రేడింగ్ సిగ్నల్స్, ట్రస్ట్ మేనేజ్‌మెంట్

slovopedia.com – బిగ్ ఎన్సైక్లోపెడిక్ డిక్షనరీ స్లోవోపీడియా

pokermansion.3dn.ru – పోకర్ ప్రపంచంలో మీ గైడ్

statanaliz.info – సమాచార బ్లాగ్ “గణాంక డేటా విశ్లేషణ”

forex-trader.rf - ఫారెక్స్-ట్రేడర్ పోర్టల్

megafx.ru - ప్రస్తుత ఫారెక్స్ విశ్లేషణలు

fx-by.com - వ్యాపారి కోసం ప్రతిదీ