ప్రజలు నిరంతరం వివిధ వస్తువుల సేకరణలతో వ్యవహరించవలసి ఉంటుంది, ఇది సంఖ్య యొక్క భావన యొక్క ఆవిర్భావానికి దారితీసింది, ఆపై సెట్ యొక్క భావన, ఇది ప్రాథమిక సరళమైన వాటిలో ఒకటి. గణిత భావనలుమరియు ఇవ్వదు ఖచ్చితమైన నిర్వచనం. కింది వ్యాఖ్యలు స్పష్టం చేయడానికి ఉద్దేశించబడ్డాయి ఒక సెట్ అంటే ఏమిటి, కానీ దానిని నిర్వచించడానికి ఉద్దేశించవద్దు.

సమితి అనేది కొన్ని లక్షణాల ప్రకారం లేదా కొన్ని నియమాల ప్రకారం ఏకం చేయబడిన వస్తువుల సేకరణ, సెట్, సేకరణ. సమితి భావన సంగ్రహణ ద్వారా పుడుతుంది. ఏదైనా వస్తువుల సేకరణను సమితిగా పరిగణిస్తే, ఒకటి అన్ని కనెక్షన్‌లు మరియు సంబంధాల నుండి సంగ్రహించబడుతుంది వివిధ అంశాలు, సెట్ల భాగాలు, కానీ వాటి వస్తువులను కలిగి ఉంటాయి వ్యక్తిత్వ లక్షణాలు. ఈ విధంగా, ఐదు నాణేలతో కూడిన సెట్ మరియు ఐదు ఆపిల్లతో కూడిన సెట్ వేర్వేరు సెట్లు. మరోవైపు, ఒక వృత్తంలో అమర్చబడిన ఐదు నాణేల సెట్ మరియు ఒకదానిపై ఒకటి ఉంచిన అదే నాణేల సెట్ ఒకే సెట్.

సెట్స్ యొక్క కొన్ని ఉదాహరణలు ఇద్దాం. ఇసుక కుప్పగా ఏర్పడే ఇసుక రేణువుల గురించి, మనలోని అన్ని గ్రహాల గురించి మాట్లాడవచ్చు. సౌర వ్యవస్థ, మొత్తం వ్యక్తుల సెట్ గురించి ఈ క్షణంఏదైనా ఇంట్లో, ఈ పుస్తకంలోని అన్ని పేజీల సెట్ గురించి. గణితంలో కూడా మనం నిరంతరం కలుస్తుంటాం వివిధ సెట్లు, ఉదాహరణకు అన్ని మూలాల సమితి ఇచ్చిన సమీకరణం, ప్రతి ఒక్కరూ చాలా సహజ సంఖ్యలు, ఒక లైన్‌లోని అన్ని పాయింట్ల సమితి మొదలైనవి.

సెట్ల యొక్క సాధారణ లక్షణాలను అధ్యయనం చేసే గణిత క్రమశిక్షణ, అంటే, వాటి భాగమైన వస్తువుల స్వభావంపై ఆధారపడని సెట్ల లక్షణాలను సెట్ థియరీ అంటారు. ఈ క్రమశిక్షణ వేగంగా అభివృద్ధి చెందడం ప్రారంభమైంది చివరి XIXమరియు 20వ శతాబ్దం ప్రారంభంలో. వ్యవస్థాపకుడు శాస్త్రీయ సిద్ధాంతంసెట్లు - జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడుజి. కాంటర్

సెట్ థియరీపై కాంటర్ యొక్క పని కన్వర్జెన్స్ ప్రశ్నలను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా పెరిగింది త్రికోణమితి సిరీస్. ఇది చాలా సాధారణ దృగ్విషయం: చాలా తరచుగా నిర్దిష్టంగా పరిగణించబడుతుంది గణిత సమస్యలుచాలా నైరూప్య నిర్మాణానికి దారితీస్తుంది మరియు సాధారణ సిద్ధాంతాలు. అటువంటి నైరూప్య నిర్మాణాల యొక్క ప్రాముఖ్యత వారు దానితో మాత్రమే సంబంధం కలిగి ఉన్నారనే వాస్తవం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది నిర్దిష్ట పని, వారు పెరిగారు, కానీ అనేక ఇతర విషయాలలో అప్లికేషన్లు ఉన్నాయి. ప్రత్యేకించి, సెట్ థియరీ విషయంలో ఇది ఖచ్చితంగా జరుగుతుంది. సెట్ థియరీ యొక్క ఆలోచనలు మరియు భావనలు అక్షరాలా గణితశాస్త్రంలోని అన్ని విభాగాలలోకి చొచ్చుకుపోయాయి మరియు దాని ముఖాన్ని గణనీయంగా మార్చాయి. అందువల్ల, సరైన ఆలోచనను పొందడం అసాధ్యం ఆధునిక గణితంసెట్ థియరీ యొక్క అంశాలతో పరిచయం లేకుండా. ముఖ్యంగా గొప్ప ప్రాముఖ్యతనిజమైన వేరియబుల్ యొక్క ఫంక్షన్ల సిద్ధాంతం కోసం సిద్ధాంతాన్ని సెట్ చేసింది.

ఏదైనా వస్తువుకు సంబంధించి అది సెట్‌కు చెందినదా లేదా చెందినది కాదా అని చెప్పగలిగితే ఒక సెట్ ఇచ్చినదిగా పరిగణించబడుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఒక సెట్ పూర్తిగా దానికి చెందిన అన్ని వస్తువుల స్పెసిఫికేషన్ ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది. \(M\) సెట్‌లో ఆబ్జెక్ట్‌లు \(a,\,b,\,c,\,\ldots\) ఉంటే మరియు ఈ ఆబ్జెక్ట్‌లు మాత్రమే ఉంటాయి, అప్పుడు మనం వ్రాస్తాము

\(M=\(a,\,b,\,c,\,\ldots\)\)

సమితిని తయారు చేసే వస్తువులను సాధారణంగా దాని మూలకాలు అంటారు. ఆబ్జెక్ట్ m అనేది సెట్ \(M\) యొక్క మూలకం అనే వాస్తవం రూపంలో వ్రాయబడింది

\(\పెద్ద(m\in M)\)

మరియు చదువుతుంది: “\(m\) \(M\)”కి చెందినది, లేదా “\(m\) \(M\) యొక్క మూలకం”. \(m\) ఆబ్జెక్ట్ \(M\) సెట్‌కు చెందకపోతే, వారు ఇలా వ్రాస్తారు: \(m\notin M\) . ప్రతి అంశం ఒక మూలకం వలె మాత్రమే పని చేస్తుంది సెట్ ఇచ్చారు; మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అన్ని అంశాలు (ఒకే సెట్‌లోని విభిన్నమైనవి
ప్రతి ఇతర నుండి.

సెట్ \(M\) యొక్క మూలకాలు వాటికవే సెట్‌లుగా ఉంటాయి, అయితే, వైరుధ్యాలను నివారించడానికి, సెట్ \(M\) దాని స్వంత మూలకాలలో ఒకటిగా ఉండకూడదని మేము కోరాలి: \(M\notin M\) .

ఒకే మూలకం లేని సమితిని అంటారు ఖాళీ సెట్. ఉదాహరణకు, అన్ని సెట్ నిజమైన మూలాలుసమీకరణాలు

\(x^2+1=0\)

ఖాళీ సెట్ ఉంది. ఖాళీ సెట్కింది వాటిలో \(\varnothing\) ద్వారా సూచిస్తాము.

రెండు సెట్‌ల కోసం \(M\) మరియు \(N\) సెట్‌లోని ప్రతి మూలకం \(x\) \(M\) కూడా సెట్ యొక్క మూలకం \(N\) అయితే మేము \(M\) అని అంటాము. \(M\) \(M\) అనేది \(N\) భాగమని, \(M\) అనేది \(M\) యొక్క ఉపసమితి లేదా \(M\) \ లో ఉన్న \ (\)లో చేర్చబడింది. (N\) ; ఇది ఇలా వ్రాయబడింది

\(M\subseteq N\) లేదా \(N\supseteq M\)

ఉదాహరణకు, సెట్ \(M=\(1,2\)\) సెట్ \(N=\(1,2,3\)\) .

ఎల్లప్పుడూ \(M\subseteq M\) ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఖాళీ సెట్ ఏదైనా సెట్‌లో భాగమని భావించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

రెండు సెట్లు సమానం, అవి ఒకే మూలకాలను కలిగి ఉంటే. ఉదాహరణకు, సమీకరణం యొక్క మూలాల సమితి \(x^2-3x+2=0\) మరియు సెట్ \(M=\(1,2\)\) ఒకదానికొకటి సమానంగా ఉంటాయి.

నిర్వచించుకుందాం సెట్లలో పనిచేయడానికి నియమాలు.

యూనియన్ లేదా సెట్ల మొత్తం

సెట్లు ఉండనివ్వండి \(M,N,P,\ldots\) . ఈ సెట్ల యొక్క యూనియన్ లేదా మొత్తం అనేది కనీసం ఒక “సమ్మేండ్స్”కి చెందిన అన్ని మూలకాలతో కూడిన సెట్ \(X\)

\(X=M+N+P+\ldots\) లేదా \(X=M\cup N\cup P\cup\ldots\)

అంతేకాకుండా, మూలకం \(x\) అనేక పదాలకు చెందినది అయినప్పటికీ, అది మొత్తం \(M\)లో ఒక్కసారి మాత్రమే కనిపిస్తుంది. అన్నది స్పష్టం

\(M+M=M\cup M=M\)

మరియు \(M\subseteq N\) , అప్పుడు

\(M+N=M\cup N=N\)

అనేక ఖండన

దాటడం ద్వారా లేదా సాధారణ భాగంసెట్లు \(M,N,P,\ldots\) . \(M,N,P,\ldots\) అన్ని సెట్‌లకు ఏకకాలంలో చెందిన అన్ని మూలకాలతో కూడిన సెట్ \(Y\) అని పిలుస్తారు.

\(M\cdot M=M\) , మరియు \(M\subseteq N\) , అప్పుడు \(M\cdot N=M\) .

\(M\) మరియు \(N\) సెట్‌ల ఖండన ఖాళీగా ఉంటే: \(M\cdot N=\varnothing\) , అప్పుడు ఈ సెట్‌లు ఇలా చెప్పబడతాయి కలుస్తాయి.

సెట్ల మొత్తం మరియు ఖండన యొక్క ఆపరేషన్‌ను సూచించడానికి, \(\textstyle(\sum)\) మరియు \(\textstyle(\prod)\) సంకేతాలు కూడా ఉపయోగించబడతాయి. ఈ విధంగా,

\(E=\sum E_i\) అనేది సెట్‌ల మొత్తం \(E_i\) , మరియు \(F=\prod E_i\) అనేది వాటి ఖండన.

\(M(N+P)=MN+MP,\)

అలాగే చట్టం ద్వారా

\(M+NP=(M+N)(M+P).\)

వ్యత్యాసాన్ని సెట్ చేయండి

\(M\) మరియు \(N\) అనే రెండు సెట్‌ల వ్యత్యాసం \(Z\) నుండి \(N\)కి చెందని అన్ని మూలకాల యొక్క సెట్ \(Z\):

\(Z=M-N\) లేదా \(Z=M\setminus N\) .

\(N\subseteq M\) , అప్పుడు తేడా \(Z=M\setminus N=M-N\) కూడా \(M\) కు సంబంధించి \(N\) సెట్‌కు పూరకంగా పిలువబడుతుంది.

ఇది ఎల్లప్పుడూ అని చూపించడం కష్టం కాదు

\(M(N-P)=MN-MP\) మరియు \((M-N)+MN=M.\)

అందువలన, సెట్లలో పనిచేసే నియమాలు గణనీయంగా భిన్నంగా ఉంటాయి సాధారణ నియమాలుఅంకగణితం.

పరిమిత మరియు అనంతమైన సెట్లు

కలిగి ఉన్న సెట్లు పరిమిత సంఖ్యమూలకాలను పరిమిత సెట్లు అంటారు. సమితి యొక్క మూలకాల సంఖ్య అపరిమితంగా ఉంటే, అటువంటి సమితిని అనంతం అంటారు. ఉదాహరణకు, అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితి అనంతం.

\(M\) మరియు \(N\) అనే రెండు సెట్‌లను పరిశీలిద్దాం మరియు ఈ సెట్‌లలోని మూలకాల సంఖ్య ఒకేలా ఉందా లేదా అనే ప్రశ్న అడగండి.

సెట్ \(M\) పరిమితమైతే, దాని మూలకాల సంఖ్య కొంత సహజ సంఖ్యతో వర్గీకరించబడుతుంది - దాని మూలకాల సంఖ్య. ఈ సందర్భంలో, \(M\) మరియు \(N\) సెట్‌ల మూలకాల సంఖ్యను సరిపోల్చడానికి, \(M\), \(N\లోని మూలకాల సంఖ్యను లెక్కించడం సరిపోతుంది. ) మరియు ఫలిత సంఖ్యలను సరిపోల్చండి. \(M\) మరియు \(N\) గణాలలో ఒకటి పరిమితమైనది మరియు మరొకటి అనంతం అయినట్లయితే, అనంతమైన సమితి కలిగి ఉంటుందని ఊహించడం కూడా సహజం. మరిన్ని అంశాలుచివరిదాని కంటే.

అయితే, \(M\) మరియు \(N\) రెండు సెట్‌లు అనంతంగా ఉంటే, మూలకాలను లెక్కించడం వల్ల ఏమీ లభించదు. అందువల్ల, కింది ప్రశ్నలు వెంటనే తలెత్తుతాయి: ప్రతిదీ అనంతమైన సెట్లుఒకే సంఖ్యలో మూలకాలు ఉన్నాయా లేదా ఎక్కువ మరియు తక్కువ మూలకాలతో అనంతమైన సెట్‌లు ఉన్నాయా? రెండవది నిజమైతే, అనంతమైన సెట్లలోని మూలకాల సంఖ్యను మనం ఎలా పోల్చవచ్చు? మేము ఇప్పుడు ఈ ప్రశ్నలతో వ్యవహరిస్తాము.

సెట్ల యొక్క ఒకదానికొకటి సరిపోలే

మళ్లీ \(M\) మరియు \(N\) రెండు పరిమిత సెట్‌లుగా ఉండనివ్వండి. ప్రతి సెట్‌లోని మూలకాల సంఖ్యను లెక్కించకుండా ఈ సెట్‌లలో ఏది ఎక్కువ మూలకాలను కలిగి ఉందో మీకు ఎలా తెలుస్తుంది? దీన్ని చేయడానికి, మేము \(M\) నుండి ఒక మూలకాన్ని మరియు \(N\) నుండి ఒక మూలకాన్ని జతగా కలపడం ద్వారా జతలను చేస్తాము. అప్పుడు, \(M\) నుండి కొంత మూలకం \(N\) నుండి జత చేయబడిన మూలకాన్ని కలిగి ఉండకపోతే, \(M\) \(N\) కంటే ఎక్కువ మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. ఈ తర్కాన్ని ఒక ఉదాహరణతో ఉదహరించుకుందాం.

హాలులో నిర్దిష్ట సంఖ్యలో వ్యక్తులు మరియు నిర్దిష్ట సంఖ్యలో కుర్చీలు ఉండనివ్వండి. ఇంకా ఏముందో తెలుసుకోవడానికి, ప్రజలను వారి సీట్లలో కూర్చోమని అడగండి. ఎవరికైనా సీటు లేకుండా పోతుంటే, ఎక్కువ మంది ఉన్నారు, మరియు, అందరూ కూర్చుని, అన్ని సీట్లు ఆక్రమించినట్లయితే, కుర్చీలు ఉన్నంత మంది ఉన్నారు. సెట్‌లలోని మూలకాల సంఖ్యను పోల్చడానికి వివరించిన పద్ధతి మూలకాల యొక్క ప్రత్యక్ష గణన కంటే ప్రయోజనాన్ని కలిగి ఉంది, ఇది పరిమితికి మాత్రమే కాకుండా అనంతమైన సెట్‌లకు కూడా ఎటువంటి ప్రత్యేక మార్పులు లేకుండా వర్తించవచ్చు.

అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితిని పరిగణించండి

\(M=\(1,\,2,\,3,\,4,\,\ldots\)\)

మరియు అన్ని సరి సంఖ్యల సమితి

\(N=\(2,\,4,\,6,\,8,\,\ldots\)\)

ఏ సెట్‌లో ఎక్కువ అంశాలు ఉన్నాయి? మొదటి చూపులో మొదటిది అని అనిపిస్తుంది. అయితే, ఈ సెట్‌ల మూలకాల నుండి మనం ఈ క్రింది విధంగా జతలను ఏర్పరచవచ్చు.

టేబుల్ 1

\((\రంగు(నీలం)\బిగిన్(అరే)(సి|సి|సి|సి|సి|సి) (\రంగు(నలుపు)ఎం) &(\రంగు(నలుపు)1) &(\రంగు(నలుపు) 2) &(\రంగు(నలుపు)3) &(\రంగు(నలుపు)4) &(\రంగు(నలుపు)\cdots)\\\hline (\color(black)N) &(\color(black)2 ) &(\రంగు(నలుపు)4) &(\రంగు(నలుపు)6) &(\రంగు(నలుపు)8) &(\రంగు(నలుపు)\cdots) \end(array))\)

\(M\) యొక్క మూలకం మరియు \(N\) యొక్క మూలకం ఏదీ జత లేకుండా మిగిలి ఉండదు. నిజమే, మనం ఇలాంటి జంటలను కూడా ఏర్పరచవచ్చు:

పట్టిక 2

\((\రంగు(నీలం)\ప్రారంభం(శ్రేణి)(c|c|c|c|c|c|c) (\color(black)M)&(\color(black)1)&(\color( నలుపు)2)&(\రంగు(నలుపు)3)&(\రంగు(నలుపు)4)&(\రంగు(నలుపు)5)&(\రంగు(నలుపు)\cdots)\\\hline (\color(నలుపు) )N)&(\రంగు(నలుపు)-)&(\రంగు(నలుపు)2)&(\రంగు(నలుపు)-)&(\రంగు(నలుపు)4)&(\రంగు(నలుపు)-)&( \color(నలుపు)\cdots) \end(array))\)

అప్పుడు \(M\) నుండి అనేక అంశాలు జతలు లేకుండా మిగిలిపోతాయి. మరోవైపు, మేము ఇలా జంటలను తయారు చేయవచ్చు:

పట్టిక 3

\((\రంగు(నీలం)\బిగిన్(శ్రేణి)(c|c|c|c|c|c|c|c|c) (\color(black)M)&(\color(black)-)& (\రంగు(నలుపు)1)&(\రంగు(నలుపు)-)&(\రంగు(నలుపు)2)&(\రంగు(నలుపు)-)&(\రంగు(నలుపు)3)&(\రంగు(నలుపు) )-)&(\రంగు(నలుపు)\cdots)\\\hline (\color(నలుపు)N)&(\రంగు(నలుపు)2)&(\రంగు(నలుపు)4)&(\రంగు(నలుపు) 6)&(\రంగు(నలుపు)8)&(\రంగు(నలుపు)10)&(\రంగు(నలుపు)12)&(\రంగు(నలుపు)14)&(\రంగు(నలుపు)\cడాట్లు) \ ముగింపు (అమరిక))\)

ఇప్పుడు \(M\) నుండి అనేక అంశాలు జతలు లేకుండా మిగిలి ఉన్నాయి.

కనుక, \(A\) మరియు \(B\) సెట్‌లు అనంతంగా ఉంటే, అప్పుడు వివిధ మార్గాల్లోజంట నిర్మాణాలు వేర్వేరు ఫలితాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి. ప్రతి మూలకం \(A\) మరియు ప్రతి మూలకం \(B\) జత చేయబడిన మూలకాన్ని కలిగి ఉండే జంటలను ఏర్పరిచే మార్గం ఉంటే, అప్పుడు మేము \(A\) మరియు \(B\) సెట్‌ల మధ్య ఇది ఏర్పాటు సాధ్యం ఒకరితో ఒకరు కరస్పాండెన్స్. ఉదాహరణకు, పైన పరిగణించబడిన \(M\) మరియు \(N\) సెట్‌ల మధ్య, ఒకరు ఒకరితో ఒకరు కరస్పాండెన్స్‌ని ఏర్పాటు చేసుకోవచ్చు.
ఇది టేబుల్ నుండి చూడవచ్చు. 1.

\(A\) మరియు \(B\) సెట్‌ల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఏర్పాటు చేయగలిగితే, అప్పుడు అవి కలిగి ఉన్నట్లు చెప్పబడింది అదేమూలకాల సంఖ్య లేదా సమానంగా శక్తివంతమైనవి. వద్ద ఉంటే ఏదైనాజత ఏర్పడే పద్ధతి, \(A\) నుండి కొన్ని మూలకాలు ఎల్లప్పుడూ జతలు లేకుండానే ఉంటాయి, అప్పుడు మేము \(A\) సెట్ \(B\) కంటే ఎక్కువ మూలకాలను కలిగి ఉందని లేదా సెట్ \(A\) ఎక్కువగా ఉందని చెబుతాము. \(B\) కంటే కార్డినాలిటీ .

ఈ విధంగా, పైన పేర్కొన్న ప్రశ్నలలో ఒకదానికి మేము సమాధానం పొందాము: అనంతమైన సెట్లలోని మూలకాల సంఖ్యను ఎలా పోల్చాలి. అయితే, ఇది మరొక ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి మాకు దగ్గరగా ఉండదు: అనంతమైన సెట్‌లు ఏమైనా ఉన్నాయా? విభిన్న శక్తులు ఉన్నాయా? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని పొందడానికి, అనంతమైన సెట్ల యొక్క కొన్ని సరళమైన రకాలను పరిశీలిద్దాం.

లెక్కించదగిన సెట్లు. సెట్ యొక్క మూలకాలు \(A\) మరియు అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితి యొక్క మూలకాల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూపాన్ని ఏర్పాటు చేయడం సాధ్యమైతే

\(Z=\(1,\,2,\,3,\,\ldots\),\)

అప్పుడు వారు సెట్ \(A\) అని చెప్పారు లెక్కించదగిన. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సెట్ \(A\) అన్ని మూలకాలను సహజ సంఖ్యలను ఉపయోగించి లెక్కించగలిగితే, అంటే రూపంలో వ్రాయబడితే లెక్కించబడుతుంది. సీక్వెన్సులు

\(a_1,~a_2,~\ldots,~a_n,~\ldots\)

అన్ని సరి సంఖ్యల సమితి లెక్కించదగినదని టేబుల్ 1 చూపిస్తుంది (ఎగువ సంఖ్య ఇప్పుడు సంబంధిత దిగువ సంఖ్య యొక్క సంఖ్యగా పరిగణించబడుతుంది).

గణించదగిన సెట్లు, మాట్లాడటానికి, అనంతమైన సెట్లలో అతి చిన్నవి: ప్రతి అనంతమైన సెట్‌లో లెక్కించదగిన ఉపసమితి ఉంటుంది.

రెండు నాన్-ఖాళీ ఫినిట్ సెట్‌లు కలుస్తాయి కానట్లయితే, వాటి మొత్తం ప్రతి నిబంధనల కంటే ఎక్కువ మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. అనంతమైన సెట్‌ల కోసం ఈ నియమం ఉండకపోవచ్చు. నిజానికి, \(G\) అనేది అన్ని సరి సంఖ్యల సమితి, \(H\) అన్ని బేసి సంఖ్యల సమితి మరియు \(Z\) అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితిగా ఉండనివ్వండి. టేబుల్ 4 చూపినట్లుగా, సెట్‌లు \(G\) మరియు \(H\) లెక్కించదగినవి. అయితే, సెట్ \(Z=G+H\) మళ్లీ లెక్కించబడుతుంది.

పట్టిక 4

\((\రంగు(నీలం)\బిగిన్(అరే)(సి|సి|సి|సి|సి|సి) (\రంగు(నలుపు)జి)&(\రంగు(నలుపు)2)&(\రంగు(నలుపు) 4)&(\రంగు(నలుపు)6)&(\రంగు(నలుపు)8)&(\రంగు(నలుపు)\cdots)\\\hline (\color(black)H)&(\color(black)1 )&(\రంగు(నలుపు)3)&(\రంగు(నలుపు)5)&(\రంగు(నలుపు)7)&(\రంగు(నలుపు)\cdots)\\\hline (\color(నలుపు)Z) &(\రంగు(నలుపు)1)&(\రంగు(నలుపు)2)&(\రంగు(నలుపు)3)&(\రంగు(నలుపు)4)&(\రంగు(నలుపు)\cడాట్లు) \ఎండ్(శ్రేణి ))\)

అనంతమైన సెట్‌ల కోసం "మొత్తం భాగం కంటే ఎక్కువ" అనే నియమాన్ని ఉల్లంఘించడం, అనంతమైన సెట్‌ల లక్షణాలు పరిమిత సెట్ల లక్షణాల నుండి గుణాత్మకంగా భిన్నంగా ఉన్నాయని చూపిస్తుంది. పరిమిత నుండి అనంతానికి పరివర్తన మాండలికం యొక్క ప్రసిద్ధ స్థానంతో పూర్తి ఒప్పందంతో కూడి ఉంటుంది - గుణాత్మక మార్పులక్షణాలు.

అని నిరూపిద్దాం అన్ని సెట్ హేతుబద్ధ సంఖ్యలులెక్కించదగిన. దీన్ని చేయడానికి, కింది పట్టికలో అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలను అమర్చండి:

పట్టిక 5

\(\)

ఇక్కడ మొదటి పంక్తి అన్ని సహజ సంఖ్యలను ఆరోహణ క్రమంలో కలిగి ఉంటుంది, రెండవ పంక్తిలో 0 మరియు పూర్ణాంకాలు ఉంటాయి ప్రతికూల సంఖ్యలుఅవరోహణ క్రమంలో, మూడవ పంక్తిలో - పాజిటివ్ తగ్గించలేని భిన్నాలుహారం 2 ఆరోహణ క్రమంలో, నాల్గవ వరుసలో - అవరోహణ క్రమంలో హారం 2తో ప్రతికూల తగ్గించలేని భిన్నాలు, మొదలైనవి. ఈ పట్టికలో ప్రతి హేతుబద్ధ సంఖ్య ఒకసారి మరియు ఒకసారి మాత్రమే కనిపిస్తుంది. ఇప్పుడు మళ్లీ నంబర్ చేద్దాం
ఈ పట్టికలోని అన్ని సంఖ్యలు బాణాలచే సూచించబడిన క్రమంలో ఉన్నాయి. అప్పుడు అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలు ఒక వరుస క్రమంలో ఉంచబడతాయి:

ఆక్రమించిన సీటు సంఖ్య
హేతుబద్ధ సంఖ్య 1 2 3 4 5 6 7 8 9. . .
హేతుబద్ధ సంఖ్య 1. 2, O, 3, - 1, 4 -2 _

ఇది అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యలు మరియు అన్ని సహజ సంఖ్యల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూపాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. కాబట్టి, అన్ని హేతుబద్ధ సంఖ్యల సమితి లెక్కించదగినది.

కంటిన్యూమ్ పవర్ సెట్లు

సెట్ యొక్క మూలకాలు \(M\) మరియు సెగ్మెంట్ \(0\leqslant x\leqslant1\) పాయింట్ల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూపాన్ని ఏర్పాటు చేయడం సాధ్యమైతే, అప్పుడు సెట్ \(M\) కలిగి ఉందని చెప్పారు నిరంతర శక్తి. ప్రత్యేకించి, ఈ నిర్వచనం ప్రకారం, సెగ్మెంట్ \(0\leqslant x\leqslant1\) యొక్క బిందువుల సముదాయం కూడా నిరంతరాయంగా కార్డినాలిటీని కలిగి ఉంటుంది.

అంజీర్ నుండి. 1 ఏదైనా సెగ్మెంట్ యొక్క పాయింట్ల సెట్ \(AB\) ఒక కంటిన్యూమ్ యొక్క కార్డినాలిటీని కలిగి ఉందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది. ఇక్కడ, డిజైన్ ద్వారా జ్యామితీయంగా ఒకరి నుండి ఒకరు అనురూప్యం ఏర్పాటు చేయబడింది.

ఏదైనా విరామం యొక్క పాయింట్ల సెట్లు \(x\in\) మరియు మొత్తం సంఖ్య రేఖ \(x\in[-\infty,+\infty]\) నిరంతరాయంగా కార్డినాలిటీని కలిగి ఉన్నాయని చూపడం సులభం.

ఈ వాస్తవం మరింత ఆసక్తికరంగా ఉంది: స్క్వేర్ \(0\leqslant x\leqslant1,\) \(0\leqslant y\leqslant1\) యొక్క బిందువుల సముదాయం కంటిన్యూమ్ యొక్క కార్డినాలిటీని కలిగి ఉంటుంది. ఈ విధంగా, స్థూలంగా చెప్పాలంటే, ఒక విభాగంలో ఉన్నట్లే ఒక చతురస్రంలో “అనేక” పాయింట్లు ఉంటాయి.

మీ బ్రౌజర్‌లో జావాస్క్రిప్ట్ నిలిపివేయబడింది.
గణనలను నిర్వహించడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా ActiveX నియంత్రణలను ప్రారంభించాలి!

గణితశాస్త్రంలో, సెట్ యొక్క భావన ప్రధానమైన, ప్రాథమికమైన వాటిలో ఒకటి, కానీ సెట్‌కు ఒకే నిర్వచనం లేదు. సమితి యొక్క అత్యంత సుస్థిరమైన నిర్వచనాలలో ఒకటి ఈ క్రింది విధంగా ఉంది: ఒక సమితి అనేది ఒకే మొత్తంగా భావించబడే నిర్దిష్ట మరియు విభిన్న వస్తువుల యొక్క ఏదైనా సేకరణ. సెట్ థియరీ సృష్టికర్త, జర్మన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జార్జ్ కాంటర్ (1845-1918) ఇలా అన్నాడు: "సమితి అనేది మనం మొత్తంగా భావించే అనేక విషయాలు."

ప్రోగ్రామింగ్ కాంప్లెక్స్ కోసం డేటా రకంగా సెట్లు చాలా సౌకర్యవంతంగా ఉన్నాయని నిరూపించబడింది జీవిత పరిస్థితులు, వాస్తవ-ప్రపంచ వస్తువులను ఖచ్చితంగా మోడల్ చేయడానికి మరియు సంక్లిష్ట తార్కిక సంబంధాలను కాంపాక్ట్‌గా ప్రదర్శించడానికి అవి ఉపయోగించబడతాయి. సెట్‌లు పాస్కల్ ప్రోగ్రామింగ్ లాంగ్వేజ్‌లో ఉపయోగించబడతాయి మరియు మేము దిగువ పరిష్కారం యొక్క ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిస్తాము. అదనంగా, సెట్ సిద్ధాంతం ఆధారంగా, రిలేషనల్ డేటాబేస్‌ల భావన సృష్టించబడింది మరియు సెట్‌లపై కార్యకలాపాల ఆధారంగా - రిలేషనల్ బీజగణితం మరియు దాని కార్యకలాపాలు- డేటాబేస్ ప్రశ్న భాషలలో ఉపయోగించబడుతుంది, ప్రత్యేకించి SQL.

ఉదాహరణ 0 (పాస్కల్).నగరంలోని అనేక దుకాణాలలో విక్రయించబడే ఉత్పత్తుల ఎంపిక ఉంది. నిర్ణయించండి: నగరంలోని అన్ని దుకాణాలలో ఏ ఉత్పత్తులు అందుబాటులో ఉన్నాయి; నగరంలో పూర్తి స్థాయి ఉత్పత్తులు.

పరిష్కారం. మేము ప్రాథమిక డేటా రకాన్ని ఆహారం (ఉత్పత్తులు) నిర్వచించాము, ఇది ఉత్పత్తుల పేర్లకు అనుగుణంగా విలువలను తీసుకోవచ్చు (ఉదాహరణకు, hleb). మేము సెట్ రకాన్ని ప్రకటిస్తాము, ఇది విలువల కలయికతో రూపొందించబడిన అన్ని ఉపసమితులను నిర్వచిస్తుంది ప్రాథమిక రకం, అంటే, ఆహారం (ఉత్పత్తులు). మరియు మేము ఉపసమితులను ఏర్పరుస్తాము: దుకాణాలు "Solnyshko", "Veterok", "Ogonyok", అలాగే ఉత్పన్నమైన ఉపసమితులు: MinFood (అన్ని దుకాణాల్లో లభించే ఉత్పత్తులు), MaxFood (నగరంలో పూర్తి స్థాయి ఉత్పత్తులు). తరువాత, మేము ఉత్పన్నమైన ఉపసమితులను పొందేందుకు ఆపరేషన్లను సూచిస్తాము. MinFood ఉపసమితి Solnyshko, Veterok మరియు Ogonyok ఉపసమితుల ఖండన ఫలితంగా పొందబడింది మరియు ఈ ఉపసమితుల్లో ప్రతి ఒక్కటి చేర్చబడిన ఈ ఉపసమితులలోని వాటిని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది (పాస్కల్‌లో, సెట్‌ల ఖండన యొక్క ఆపరేషన్ సూచించబడుతుంది. నక్షత్రం ద్వారా: A * B * C, సెట్ల ఖండన కోసం గణిత హోదా క్రింద ఇవ్వబడింది ). మాక్స్‌ఫుడ్ ఉపసమితి ఒకే ఉపసమితులను కలపడం ద్వారా పొందబడుతుంది మరియు అన్ని ఉపసమితుల్లో చేర్చబడిన అంశాలను కలిగి ఉంటుంది (పాస్కల్‌లో, సెట్‌లను కలపడం యొక్క ఆపరేషన్ ప్లస్ గుర్తుతో సూచించబడుతుంది: A + B + C, సెట్‌లను కలపడానికి గణిత హోదా క్రింద ఇవ్వబడింది )

కోడ్ PASCAL

ప్రోగ్రామ్ దుకాణాలు; టైప్ ఫుడ్=(హ్లెబ్, మోలోకో, మైసో, సిర్, సోల్, షుగర్, మాస్లో, రైబా); షాప్ = ఆహార సమితి; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: షాప్; Solnyshko ప్రారంభం:=; వెటరోక్:=; ఒగోనియోక్:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; ముగింపు.

ఏ రకమైన సెట్లు ఉన్నాయి?

సెట్‌లను రూపొందించే వస్తువులు - మన అంతర్ దృష్టి లేదా తెలివి యొక్క వస్తువులు - చాలా భిన్నమైన స్వభావం కలిగి ఉంటాయి. మొదటి పేరాలోని ఉదాహరణలో, మేము ఉత్పత్తుల సమితిని కలిగి ఉన్న సెట్‌లను విశ్లేషించాము. సెట్‌లు రష్యన్ వర్ణమాలలోని అన్ని అక్షరాలను కలిగి ఉంటాయి. గణితంలో, సంఖ్యల సెట్లు అధ్యయనం చేయబడతాయి, ఉదాహరణకు, అన్నింటినీ కలిగి ఉంటుంది:

సహజ సంఖ్యలు 0, 1, 2, 3, 4, ...

ప్రధాన సంఖ్యలు

పూర్ణాంకాలు కూడా

మరియు అందువలన న. (ప్రధాన సంఖ్యా సెట్లు ఈ పదార్థంలో చర్చించబడ్డాయి).

సమితిని తయారుచేసే వస్తువులను దాని మూలకాలు అంటారు. సమితిని “మూలకాల సంచి” అని మనం చెప్పగలం. ఇది చాలా ముఖ్యం: సెట్‌లో ఒకే విధమైన అంశాలు లేవు.

సెట్లు పరిమిత మరియు అనంతం కావచ్చు. పరిమిత సమితి అనేది సహజ సంఖ్యను కలిగి ఉండే సమితి, దాని మూలకాల సంఖ్య. ఉదాహరణకు, మొదటి ఐదు నాన్-నెగటివ్ బేసి పూర్ణాంకాల సమితి పరిమిత సెట్.అంతం కాని సమితిని అనంతం అంటారు. ఉదాహరణకు, అన్ని సహజ సంఖ్యల సమితి అనంతమైన సమితి.

ఉంటే ఎం- చాలా, మరియు a- దాని మూలకం, అప్పుడు వారు వ్రాస్తారు: a∈ఎం, ఏమిటంటే " aసమితికి చెందినది ఎం".

నిర్దిష్ట స్టోర్‌లలో లభించే ఉత్పత్తులతో పాస్కల్‌లోని మొదటి (సున్నా) ఉదాహరణ నుండి:

hleb∈VETEROK ,

అంటే: "hleb" మూలకం "VETEROK" స్టోర్‌లో అందుబాటులో ఉన్న అనేక ఉత్పత్తులకు చెందినది.

సమితులను నిర్వచించడానికి రెండు ప్రధాన మార్గాలు ఉన్నాయి: గణన మరియు వివరణ.

ఒక సమితిని దానిలోని అన్ని అంశాలను జాబితా చేయడం ద్వారా నిర్వచించవచ్చు, ఉదాహరణకు:

VETEROK = {hleb, syr, వెన్న} ,

ఎ = {7 , 14 , 28 } .

ఒక గణన పరిమిత సమితిని మాత్రమే నిర్వచించగలదు. మీరు దీన్ని వివరణతో చేయగలిగినప్పటికీ. కానీ అనంతమైన సెట్లు వివరణ ద్వారా మాత్రమే నిర్వచించబడతాయి.

సెట్లను వివరించడానికి క్రింది పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది. వీలు p(x) - వేరియబుల్ యొక్క లక్షణాలను వివరించే కొన్ని ప్రకటన x, దీని పరిధి సెట్ ఎం. అప్పుడు ద్వారా ఎం = {x | p(x)} స్టేట్‌మెంట్ కోసం అన్ని అంశాలతో కూడిన సెట్‌ను సూచిస్తుంది p(x) నిజం. ఈ వ్యక్తీకరణ ఇలా చదువుతుంది: "చాలామంది ఎం, అన్నింటిని కలిగి ఉంటుంది x, ఏమి p(x) ".

ఉదాహరణకు, రికార్డ్ చేయండి

ఎం = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

ఉదాహరణ 6.సిట్రస్ పండ్లను కొనుగోలు చేసిన 100 మంది మార్కెట్ కొనుగోలుదారుల సర్వే ప్రకారం, నారింజను 29 మంది కొనుగోలుదారులు, నిమ్మకాయలు - 30 మంది కొనుగోలుదారులు, టాన్జేరిన్లు - 9, టాన్జేరిన్లు మాత్రమే - 1, నారింజ మరియు నిమ్మకాయలు - 10, నిమ్మకాయలు మరియు టాన్జేరిన్లు - 4, మొత్తం మూడు రకాల పండు - 3 కొనుగోలుదారులు. ఇక్కడ జాబితా చేయబడిన సిట్రస్ పండ్లను ఎంత మంది కస్టమర్‌లు కొనుగోలు చేయలేదు? ఎంత మంది కస్టమర్లు నిమ్మకాయలను మాత్రమే కొనుగోలు చేశారు?

సెట్ల కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క ఆపరేషన్

మరొకటి నిర్ణయించడానికి ముఖ్యమైన ఆపరేషన్ఓవర్ సెట్స్ - సెట్ల కార్టేసియన్ ఉత్పత్తిఆర్డర్ చేసిన పొడవుల సమితి భావనను పరిచయం చేద్దాం n.

సెట్ యొక్క పొడవు సంఖ్య nదాని భాగం. సరిగ్గా ఈ క్రమంలో తీసుకున్న మూలకాలతో కూడిన సమితి సూచించబడుతుంది . ఇందులో i i () సెట్ భాగం .

ఇప్పుడు ఖచ్చితమైన నిర్వచనం అనుసరించబడుతుంది, ఇది వెంటనే స్పష్టంగా తెలియకపోవచ్చు, కానీ ఈ నిర్వచనం తర్వాత సెట్ల యొక్క కార్టీసియన్ ఉత్పత్తిని ఎలా పొందాలో స్పష్టంగా తెలియజేసే చిత్రం ఉంటుంది.

సెట్ల కార్టేసియన్ (ప్రత్యక్ష) ఉత్పత్తిద్వారా సూచించబడిన సమితి అంటారు మరియు ఆ పొడవు యొక్క అన్ని సెట్లను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది n, i-వ భాగం చెందినది .

ఉదాహరణకు, ఉంటే , , ,

ఇప్పుడు మనం సరళమైన సెట్-సిద్ధాంత భావనలు మరియు సమితి-సిద్ధాంత కార్యకలాపాలను క్లుప్తంగా పరిశీలిద్దాం: ఖండన, యూనియన్, అదనంగా, కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి మొదలైనవి. పరిమిత సెట్ల విషయంలో, అవి ఆధారాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. అంకగణిత కార్యకలాపాలుసహజ సంఖ్యల కంటే చాలా ముఖ్యమైనది పాఠశాల గణితం. మనల్ని మనం పూర్తిగా పరిమితం చేసుకుంటాము సంక్షిప్త నిర్వచనాలుమరియు వివరణలు.

ఒక మూలకం లేని సమితిని ఖాళీ సెట్ అంటారు.ఇది ఒక సంకేతం ద్వారా సూచించబడుతుంది. ఖాళీ సెట్‌ను ఏదైనా విరుద్ధమైన ఆస్తితో నిర్వచించవచ్చు, ఉదాహరణకు = (x | xx) సెట్‌ల డొమైన్‌లో ఇది సున్నా పాత్రను పోషిస్తుంది.

N సమితిని M సెట్ యొక్క ఉపసమితి అంటారుఒకవేళ మరియు N సెట్‌లోని ప్రతి మూలకం M సెట్‌కు చెందినది అయితే మాత్రమే. M సెట్ మరియు దాని ఉపసమితులలో ఏదైనా N మధ్య సంబంధాన్ని చేర్చడం అంటారు మరియు ఇది గుర్తుతో సూచించబడుతుంది: MN.

నిర్వచనం నుండి నేరుగా అనుసరించే ఉపసమితి మరియు చేరిక యొక్క భావనల గురించి కింది ప్రాథమిక ప్రకటనలను గమనించండి.

ఎ) ప్రతి సెట్ M దాని యొక్క ఉపసమితి: MM. M నుండి భిన్నమైన M సెట్ యొక్క ఏదైనా ఉపసమితి N, M సెట్ యొక్క సరైన ఉపసమితి అంటారు; సంబంధిత చేరికను సరైనది అని కూడా పిలుస్తారు మరియు ఇది సూచించబడుతుంది: MN. ఖాళీ సెట్ ఏదైనా M యొక్క ఉపసమితి అని సాధారణంగా అంగీకరించబడింది.

బి) చేరిక సంబంధం ట్రాన్సిటివ్, అంటే NM మరియు PN నుండి అది ఆ PMని అనుసరిస్తుంది. సరైన చేరిక యొక్క సంబంధం కూడా ట్రాన్సిటివ్.

సి) చెందిన మరియు చేరిక యొక్క సంబంధాలను గందరగోళానికి గురిచేయకుండా ఉండటం చాలా ముఖ్యం: (a) M అయితే, అప్పుడు aM, మరియు వైస్ వెర్సా; కానీ (a)M నుండి అది (a)Mని అనుసరించదు. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, M = (1, 2) అయితే, దీని అర్థం 1M మరియు 2M, కానీ అన్ని ఇతర వస్తువులకు x xM నిజం; చేర్చడానికి, కింది ప్రకటనలు సరైనవి:

M, (1)M, (2)M., (1, 2)M.

మరొక ఉదాహరణ. ఖాళీ సెట్‌లో ఏదైనా వస్తువు x కోసం xM మూలకాలు లేవు. ఇంతలో, ఇది ఒక ఉపసమితిని కలిగి ఉంది, అవి స్వయంగా.

సెట్లలో అనేక కార్యకలాపాలను పరిచయం చేద్దాం.

ఎ) M మరియు N సెట్ల ఖండనఒకే సమయంలో M మరియు N సెట్‌లకు చెందిన వస్తువుల సమితికి పేరు పెట్టండి.

హోదా: ​​MN = (x|xM మరియు xN).

బి) M మరియు N సెట్ల యూనియన్ M లేదా N సెట్‌లలో కనీసం ఒకదానిలో ఉన్న మూలకాల సమితిని కాల్ చేయండి. సంజ్ఞామానం: MN = (x | xM లేదా xN).

V) M మరియు N సెట్ల మధ్య వ్యత్యాసం M సెట్‌కి చెందిన మరియు N సెట్‌కు చెందని మూలకాల సమితిని కాల్ చేయండి. సంజ్ఞామానం: M\N = (x | xM మరియు xN).

జి) M మరియు N సెట్ల సుష్ట వ్యత్యాసం M సెట్‌కు మాత్రమే చెందిన మూలకాల సమితికి పేరు పెట్టండి - లేదా N సెట్‌కు మాత్రమే.

సంజ్ఞామానం: MN =( x | (xM మరియు xN) లేదా (xN మరియు xM)).

పరిచయం చేయబడిన సెట్-సిద్ధాంత కార్యకలాపాలు మూర్తి 2లో స్పష్టంగా వివరించబడ్డాయి, ఇక్కడ M మరియు N సెట్‌లు ఖండన వృత్తాల ద్వారా వర్ణించబడ్డాయి:

MN - ప్రాంతం II యొక్క పాయింట్లు;

MN - I, II, III ప్రాంతాల పాయింట్లు;

M\N - ప్రాంతం I యొక్క పాయింట్లు;

N\M - ప్రాంతం III యొక్క పాయింట్లు;

MN - I మరియు III ప్రాంతాల పాయింట్లు.

ఇ) నిర్దిష్టంగా గణిత రంగాలుపరిశీలనలో ఉన్న అన్ని సెట్‌లు దాని ఉపసమితులుగా మారే విధంగా విస్తృతమైన U సెట్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అటువంటి సెట్ U సాధారణంగా యూనివర్సల్ సెట్ లేదా యూనివర్స్ అంటారు. "యూనివర్సల్ సెట్" అనేది సాపేక్ష భావన అని గమనించండి: ఇది సైన్స్ యొక్క నిర్దిష్ట విభాగానికి ఎంపిక చేయబడింది మరియు అంతేకాకుండా, తరచుగా స్పష్టంగా నిర్వచించబడదు, కానీ కేవలం సూచించబడుతుంది.

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, ప్రాథమిక ప్లానిమెట్రీలో, విమానం యొక్క అన్ని పాయింట్ల సమితిని సార్వత్రిక సెట్‌గా పరిగణించడం ఆచారం. రకరకాల బొమ్మలు, ప్లానిమెట్రీలో అధ్యయనం చేయబడినవి, పాయింట్ల సెట్‌లుగా పరిగణించబడతాయి, అనగా, ఎంచుకున్న సార్వత్రిక సమితి యొక్క ఉపసమితులు.

ప్రాథమిక అంకగణితంలో, సార్వత్రిక సమితి అన్ని హేతుబద్ధమైన పూర్ణాంకాల యొక్క Z సెట్‌గా పరిగణించబడుతుంది, మొదలైనవి.

f) కొన్ని యూనివర్సల్ సెట్‌ని ఎంచుకున్నట్లయితే యు, అప్పుడు కొత్త సెట్-సిద్ధాంత ఆపరేషన్ పుడుతుంది - అదనంగా. ఏదైనా సెట్ M కోసం (M అనేది సార్వత్రిక సమితి యొక్క ఉపసమితి అని భావించబడుతుంది యుదాని పూరకంగా, M చే సూచించబడుతుంది, ఇది M సెట్‌కు చెందని విశ్వంలోని అన్ని మూలకాల సమితి:

M = (x | x యుమరియు xM)

కాబట్టి అదనంగా ఉంది ప్రత్యేక సంధర్భంతేడాలు:

M = యు\M,
ఇక్కడ మొత్తం తేడా ఏమిటంటే, ఈ కనెక్షన్‌లో పరిగణించబడే అన్ని సెట్‌లను కలిగి ఉన్న స్థిర సెట్‌కు సంబంధించి వ్యత్యాసం తీసుకోబడుతుంది.

ఇప్పుడు మనం సెట్ల కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క కార్యకలాపాలను పరిశీలిద్దాం. A మరియు B రెండు సెట్లుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు C = ((a, b) | aA, bB)ని సెట్ చేయండి
అన్ని జతలలో (a, b), ఇక్కడ a మరియు b ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా అన్ని విలువలను తీసుకుంటాయి, A మరియు B సెట్‌ల నుండి వరుసగా A మరియు B సెట్‌ల కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి అంటారు మరియు A x Bతో సూచించబడుతుంది. A అయితే మరియు B వరుసగా m మరియు n మూలకాలను కలిగి ఉన్న పరిమిత సెట్‌లు, అప్పుడు A x B సెట్‌లో mn మూలకాలు ఉన్నాయని వెంటనే స్పష్టమవుతుంది.

A మరియు B సెట్‌లు ఏకీభవించినప్పుడు స్వతంత్ర ఆసక్తి ఉన్న ప్రత్యేక సందర్భం: A = B. దీనిని పరిగణనలోకి తీసుకోవడానికి, మేము కొత్త పదాన్ని పరిచయం చేస్తాము.

సెట్ A యొక్క క్రమబద్ధమైన జత మూలకాలు ఒక వస్తువు (a 1, a 2), రెండు (తప్పనిసరిగా వేర్వేరు కాదు) మూలకాలు 1, a 2 A, వీటిలో ఏది మొదటిదిగా పరిగణించబడాలి మరియు ఏది ఉండాలి అని సూచిస్తుంది రెండవదిగా పరిగణించబడుతుంది. కాబట్టి, ఉదాహరణకు, A = (1, 2, 3, 4., 5) అయితే, ఆర్డర్ చేసిన జతల (2, 3) మరియు (3, 2) నిర్వచనం ప్రకారం భిన్నంగా పరిగణించాలి. ఆబ్జెక్ట్‌లు (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) కూడా A నుండి ఆర్డర్ చేయబడిన మూలకాల జంటలుగా పరిగణించబడతాయి. మేము ఆర్డర్ చేసిన జతలను కుండలీకరణాల్లో జతచేస్తాము మరియు వాటిని బోల్డ్ చిన్న అక్షరాలతో సూచిస్తాము లాటిన్ అక్షరాలతో: a= (a 1 a 2), క్రమం లేని జతలకు విరుద్ధంగా, మూలకాల సెట్ల వలె, కర్లీ బ్రాకెట్లలో వ్రాయబడుతుంది: (a 1 a 2).

సెట్ కి పిలుద్దాం

C = ((a 1, a 2) | a 1 A, a 2 A)
A సెట్ యొక్క కార్టీసియన్ స్క్వేర్ ద్వారా A నుండి అన్ని ఆర్డర్ చేసిన జతల (a 1 a 2) మూలకాలు మరియు మేము దానిని A 2 ద్వారా సూచిస్తాము.

సెట్‌ల యొక్క పరిగణించబడిన లక్షణాలు మరియు వాటిపై కార్యకలాపాలు అవ్యక్తంగా ఉన్నాయి ప్రాథమిక బోధనఅంకగణితం. మేము ప్రత్యేకంగా నొక్కి చెబుతున్నాము మేము మాట్లాడుతున్నామువారి అవ్యక్త ఉనికి గురించి: I లేదా II గ్రేడ్‌లలో అంకగణిత కార్యకలాపాలకు స్పష్టమైన నిర్వచనాలు ఇవ్వడం అర్థరహితం. "చర్య" అనే పదం అంకగణిత కార్యకలాపాలుఅని సూచిస్తుంది ప్రవేశ స్థాయిపిల్లల అభివృద్ధి సమయంలో, కూడిక, తీసివేత, గుణకారం మరియు విభజన అనేది పాఠశాల పిల్లల ప్రపంచ లక్షణం నుండి నిర్దిష్ట సెట్లపై చర్యలుగా ఉత్పన్నమవుతాయి. అన్ని స్థాయిలలో నేర్చుకోవడంలో శతాబ్దాల అనుభవం ఒక వ్యక్తి సాధారణంగా మొదట ఏదైనా చేస్తాడని చూపిస్తుంది, ఆపై మాత్రమే ఏమి ఆలోచిస్తాడు సాధారణ లక్షణాలుదాని చర్యలు ఉన్నాయి.

సహజ సంఖ్యలపై అంకగణిత కార్యకలాపాల యొక్క సెట్-సిద్ధాంత సమర్థన చాలా సరళంగా ఇవ్వబడింది, ఎందుకంటే మరింత కఠినమైన సమర్థన చాలా శ్రమతో కూడుకున్నదిగా మారుతుంది మరియు అవసరమైన అన్ని క్షుణ్ణంగా ఇక్కడ నిర్వహించడానికి మాకు అవకాశం లేదు. మేము ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, సెట్ సిద్ధాంతం యొక్క దృక్కోణం నుండి, సహజ కార్డినల్ సంఖ్యలు సమాన-శక్తి పరిమిత సెట్ల తరగతులకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, సున్నా సంఖ్య ఖాళీ సెట్‌కు సంబంధించిన కార్డినల్ సంఖ్యగా జోడించబడుతుంది. అప్పుడు సహజ సంఖ్యలపై ప్రాథమిక సంబంధాలు మరియు కార్యకలాపాలు క్రింది విధంగా ప్రవేశపెట్టబడ్డాయి.

1.సంబంధం "సమానమైనది", "దానికంటే ఎక్కువ", "తక్కువ". m మరియు n రెండు సహజ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి మరియు M మరియు N లు వరుసగా m మరియు n అనే కార్డినల్ సంఖ్యలను కలిగి ఉండే రెండు సెట్లుగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు m అనేది n కంటే తక్కువగా ఉంటుంది (మరియు n అనేది m కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది) ఒకవేళ M సెట్ N యొక్క కొన్ని సరైన ఉపసమితికి సమానంగా ఉంటే, అదే నిర్వచనం నుండి చూడవచ్చు, m = n అంటే M మరియు N సెట్‌లు సమానంగా ఉంటాయి. . అటువంటి నిర్వచనాన్ని సమర్థించడానికి, అది ఎంచుకున్న సెట్‌ల M మరియు Nపై ఆధారపడదని చూపించడం అవసరం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, M" మరియు N" అనే రెండు ఇతర సెట్‌లు వరుసగా m మరియు n మూలకాల సంఖ్య, మరియు అదే సమయంలో M అనేది సెట్ N" యొక్క సరైన ఉపసమితికి సమానం అయితే, M" అనేది N సెట్ యొక్క సరైన ఉపసమితికి సమానంగా శక్తివంతమైనది మరియు దీనికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది. మేము వదిలివేస్తాము. ఈ రుజువు అనంతమైన కార్డినల్ సంఖ్యల అసమానత యొక్క నిర్వచనం మరింత క్లిష్టంగా ఉందని గమనించండి.

2.అదనం.కార్డినల్ సంఖ్యల మొత్తాన్ని నిర్ణయించడానికి, ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగండి. m మరియు n రెండు సహజ సంఖ్యలుగా ఉండనివ్వండి. మేము మళ్లీ ఏకపక్షంగా n మూలకాలతో m Nతో M Nతో ఏకపక్ష సెట్‌లను ఎంచుకుంటాము మరియు S వారి యూనియన్‌గా ఉండనివ్వండి: S = MN. అప్పుడు, నిర్వచనం ప్రకారం, మొత్తం s = m + n అనేది సెట్ S యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య. మొత్తం s అనేది M మరియు N సెట్‌ల ఎంపికపై ఆధారపడి ఉండదు, కానీ వాటి కార్డినాలిటీలపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుందని చూపిద్దాం. M" మరియు N" వరుసగా M మరియు N సెట్‌లకు సమానమైన కార్డినాలిటీ యొక్క ఇతర సెట్‌లుగా ఉండనివ్వండి మరియు M"N" = అని కూడా అనుకుందాం; అప్పుడు S" = М"N" అనేది S = МN సెట్‌కి సమానం. యూనియన్ యొక్క కార్డినల్ సంఖ్య అనేది రెండోది లేకుంటే మాత్రమే విలీనం చేయబడిన సెట్‌ల కార్డినల్ సంఖ్యల మొత్తం అని ఎల్లప్పుడూ గుర్తుంచుకోవాలి. సాధారణ అంశాలు(ఖాళీ ఖండన ఉంది). ఖండన సెట్ల విషయంలో, మరింత సాధారణ నియమం ఉంటుంది.

గణితంలో సమితి అంటే ఏమిటి? గణిత సమితి - ఇవి ఒకే మొత్తంగా పరిగణించబడే అనేక వ్యక్తిగత అంశాలు. మేము అటువంటి మూలకాన్ని a అక్షరంతో మరియు సెట్‌ను A అక్షరంతో సూచిస్తే, అప్పుడు ఎంట్రీ ఇలా కనిపిస్తుంది:

ఈ సంజ్ఞామానం ఇలా ఉచ్ఛరిస్తారు: a అనేది Aకి చెందినది, లేదా Aలో a ఉంటుంది, లేదా a అనేది A యొక్క మూలకం.

సమితి యొక్క మూలకాలను జాబితా చేయడానికి, కర్లీ జంట కలుపులు - () ఉపయోగించబడతాయి. అంటే, ఉదాహరణకు, ఒక ∈ A, b ∈ A మరియు c ∈ A క్రింది రూపంలో వ్రాయబడే సమితి:

సెట్ల రకాలు.

ఖాళీ సెట్లు.

ఖాళీ సెట్- ఇది ఎటువంటి మూలకాలను కలిగి ఉండని సెట్. ఇది సంఖ్య 0 లేదా ప్రత్యేక చిహ్నం ∅ ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఖాళీ సెట్‌కి ఉదాహరణ ఏదైనా అశాస్త్రీయ భావన, దానికి విరుద్ధంగా - "సముద్రం దిగువన నివసించే అనేక పక్షులు" లేదా "చంద్రునిపై చాలా చెట్లు". రెండు సెట్లు అర్థరహితమైనవి మరియు వాస్తవికతకు అనుగుణంగా లేవు కాబట్టి, అవి ఖాళీగా ఉన్నాయి. చంద్రునిపై ఉన్న చెట్ల సంఖ్య 0 అని చెప్పండి, కాబట్టి “చంద్రునిపై చెట్ల సెట్” ఖాళీగా ఉంటుంది (ఒక మూలకం కూడా ఉండదు).

సమాన సెట్లు.

సమాన సెట్లుసమానమైన మూలకాలతో కూడిన రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సెట్లు. ఒక ఉదాహరణ ఇద్దాం. మీ కుటుంబ సభ్యులందరూ వంటగదిలో ఉన్నారని అనుకుందాం. అందువలన, "వంటగదిలో కుటుంబ సభ్యులు" సెట్ "అపార్ట్‌మెంట్‌లోని కుటుంబ సభ్యులు" సెట్‌కి సమానంగా ఉంటుంది.

రెండు సెట్లు - A మరియు B - ఒకే మూలకాల సమూహాన్ని కలిగి ఉంటే, అవి సమానంగా ఉంటాయి, అంటే A = B. సెట్‌ల మూలకాలు ఏ క్రమంలోనైనా జాబితా చేయబడతాయి, ఇది ఫలితాన్ని ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయదు. సమితి (a, b, c)ని (a, c, b), లేదా (c, b, a), లేదా (b, c, a) వలె సులభంగా వ్రాయవచ్చు.

ఉపసమితులు మరియు సూపర్‌సెట్‌లు.

A మరియు B సెట్‌లు ఒకే మూలకాలను (a, b, c) కలిగి ఉంటే, A అనేది B యొక్క ఉపసమితిగా పరిగణించబడుతుంది మరియు B A యొక్క సూపర్‌సెట్‌గా పరిగణించబడుతుంది. ఇది క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది:

ఎ ⊆ బి, బి ⊇ ఎ.

B సెట్ A యొక్క ప్రతి మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది, కానీ అదే సమయంలో ఇది A సెట్‌కు చెందని ఇతర అంశాలను కూడా కలిగి ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, సెట్ B అవుతుంది సొంత సూపర్సెట్ A, సెట్ A అవుతుంది సొంత ఉపసమితి IN.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, A ⊆ B అయితే A ≠ B అయితే A ⊂ B, B ⊃ A.

సెట్ సిద్ధాంతం యొక్క అంశాలు. వాటిపై సెట్లు మరియు కార్యకలాపాలు

సెట్ యొక్క భావన ప్రాథమిక గణిత భావనలలో ఒకటి. ఇది నిర్వచించబడని భావన మరియు ఉదాహరణల ద్వారా మాత్రమే వివరించబడుతుంది లేదా వివరించబడుతుంది. ఈ విధంగా, లాటిన్ వర్ణమాలలోని అక్షరాల సమితి, ఇచ్చిన లైబ్రరీలోని అన్ని పుస్తకాల సెట్, ఇచ్చిన సమూహంలోని విద్యార్థుల సెట్, ఇచ్చిన లైన్‌లోని అన్ని పాయింట్ల సెట్ గురించి మనం మాట్లాడవచ్చు. సమితిని నిర్వచించడానికి, ఎలిమెంట్‌లను జాబితా చేయండి లేదా పేర్కొనండి లక్షణంమూలకాల లక్షణాలు, అనగా. ఇచ్చిన సెట్‌లోని అన్ని ఎలిమెంట్స్ కలిగి ఉన్న ఆస్తి మరియు అవి మాత్రమే.

నిర్వచనం 1.1.నిర్దిష్ట సెట్‌ను రూపొందించే వస్తువులను (వస్తువులు) దాని అంటారు అంశాలు.

క్యాపిటల్ లాటిన్ అక్షరాలలో సెట్‌ను సూచించడం ఆచారం, మరియు సెట్‌లోని అంశాలు చిన్న అక్షరాలు. ఏమిటి xసెట్ యొక్క ఒక మూలకం ఎ, ఇలా వ్రాయబడింది: xA(xచెందినది ఎ) రికార్డింగ్ రకం xA(xA) దాని అర్ధము xచెందినది కాదు ఎ, అనగా సమితి యొక్క మూలకం కాదు ఎ.

సెట్ యొక్క మూలకాలు సాధారణంగా వంకర జంట కలుపుల్లో వ్రాయబడతాయి. ఉదాహరణకు, ఉంటే A –మొదటి మూడు అక్షరాలతో కూడిన సెట్ లాటిన్ వర్ణమాల, అప్పుడు ఇది ఇలా వ్రాయబడింది: A={a,b,c} .

సమితిలో అనంతమైన మూలకాల సంఖ్య (ఒక పంక్తిలోని పాయింట్ల సమితి, సహజ సంఖ్యల సమితి), పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలు (ఒక తరగతిలోని పాఠశాల పిల్లల సమితి) లేదా ఏ మూలకాన్ని కలిగి ఉండకపోవచ్చు (సమితి ఖాళీ తరగతి గదిలో విద్యార్థులు).

నిర్వచనం 1.2.ఒకే మూలకం లేని సమితిని అంటారు ఖాళీ సెట్, Ø ద్వారా సూచించబడుతుంది.

నిర్వచనం 1.3.ఒక గుత్తి ఎఅని పిలిచారు ఉపసమితిసెట్లు బి, సెట్ యొక్క ప్రతి మూలకం ఉంటే ఎఅనేకులకు చెందినది బి. ఇది సూచించబడింది ఎ బి(A –ఉపసమితి బి).

ఖాళీ సెట్ ఏదైనా సెట్ యొక్క ఉపసమితిగా పరిగణించబడుతుంది. సెట్ అయితే ఎసమితి యొక్క ఉపసమితి కాదు బి, అప్పుడు వారు వ్రాస్తారు ఎ బి.

నిర్వచనం 1.4.రెండు సెట్లు ఎమరియు బిఅని పిలిచారు సమానం, అవి ఒకదానికొకటి ఉపసమితులు అయితే. నియమించు ఎ = బి.దీని అర్థం ఉంటే xA, ఆ xBమరియు వైస్ వెర్సా, అనగా. ఉంటే మరియు , అప్పుడు .

నిర్వచనం 1.5.కూడలిసెట్లు ఎమరియు బిఒక సెట్ కాల్ ఎం, దీని మూలకాలు ఏకకాలంలో రెండు సెట్‌ల మూలకాలు ఎమరియు బి.నియమించు M=A బి.ఆ. xA బి, ఆ xAమరియు x బి.

రాసుకోండి ఎ B={x | xAమరియు xB) (యూనియన్‌కు బదులుగా మరియు -సంకేతాలు , &).

నిర్వచనం 1.6.ఉంటే ఎ B=Ø, అప్పుడు సెట్స్ అని చెప్పారు ఎమరియు B కలుస్తాయి.

అదేవిధంగా, మీరు 3, 4 మరియు ఏదైనా పరిమిత సంఖ్యలో సెట్‌ల ఖండనను నిర్వచించవచ్చు.

నిర్వచనం 1.7.అసోసియేషన్సెట్లు ఎమరియు బిఒక సెట్ కాల్ ఎం, దీని మూలకాలు ఈ సెట్‌లలో కనీసం ఒకదానికి చెందినవి M=A బి.ఆ. ఎ B={x | xAలేదా xB) (యూనియన్‌కు బదులుగా లేదా -గుర్తు ఉంచబడింది).

సెట్ అదే విధంగా నిర్వచించబడింది A 1 A 2 … ఎ ఎన్ .ఇది మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి సెట్లలో కనీసం ఒకదానికి చెందినది A 1,A 2,…,ఒక ఎన్(మరియు ఒకేసారి అనేకం) .

ఉదాహరణ 1.8. 1) ఉంటే A=(1;2;3;4;5) మరియు B=(1;3;5;7;9), అప్పుడు ఎ B=(1;3;5) మరియు ఎ B={1;2;3;4;5;7;9}.

2) ఉంటే A=(2;4) మరియు B=(3;7), అప్పుడు ఎ B=Ø మరియు ఎ B={2;3;4;7}.

3) ఉంటే A=(వేసవి నెలలు) మరియు B=(30 రోజులతో నెలలు), ఆపై ఎ B=(జూన్) మరియు ఎ B=(ఏప్రిల్; జూన్; జూలై; ఆగస్టు; సెప్టెంబర్; నవంబర్).

నిర్వచనం 1.9.సహజ 1,2,3,4,... అనే సంఖ్యలను వస్తువులను లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు.

సహజ సంఖ్యల సమితి N, N=(1;2;3;4;...;n;...)చే సూచించబడుతుంది. ఇది అనంతమైనది, అతి చిన్న మూలకం 1ని కలిగి ఉంది మరియు పెద్ద మూలకం లేదు.

ఉదాహరణ 1.10. ఎ- ఒక గుత్తి సహజ విభజనలుసంఖ్యలు 40. ఈ సెట్ యొక్క మూలకాలను జాబితా చేయండి. 5 అన్నది నిజమేనా A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.

ఎ= (1,2,4,5,8,10,20,40). (V,V,N,N,N,V)