Ufafanuzi
Piramidi ni polihedroni inayoundwa na poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(n\) pembetatu yenye kipeo cha kawaida \(P\) (isiyolala kwenye ndege ya poligoni) na pande zinazoelekeana nayo. pande za poligoni.
Wajibu: \(PA_1A_2...A_n\) .
Mfano: piramidi ya pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Pembetatu \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), nk. zinaitwa nyuso za upande piramidi, sehemu \(PA_1, PA_2\), n.k. - mbavu za pembeni, poligoni \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - msingi, uhakika \(P\) - juu.
Urefu piramidi ni perpendicular iliyoshuka kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi.
Piramidi yenye pembetatu kwenye msingi wake inaitwa tetrahedron.
Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:
\((a)\) upande kingo za piramidi sawa;
\((b)\) urefu wa piramidi hupitia katikati ya duara iliyozungushwa karibu na msingi;
\((c)\) mbavu za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.
\((d)\) nyuso za upande inaelekea kwenye ndege ya msingi kwa pembe sawa.
Tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya pembetatu, ambayo nyuso zake zote ni pembetatu sawa.
Nadharia
Masharti \((a), (b), (c), (d)\) ni sawa.
Ushahidi
Wacha tupate urefu wa piramidi \(PH\) . Hebu \(\alpha\) iwe ndege ya msingi wa piramidi.
1) Hebu tuthibitishe kwamba kutoka \((a)\) inafuata \((b)\) . Hebu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Kwa sababu \(PH\perp \alpha\), kisha \(PH\) ni sawa na mstari wowote ulio kwenye ndege hii, ambayo inamaanisha kuwa pembetatu zina pembe ya kulia. Hii inamaanisha kuwa pembetatu hizi ni sawa kwa mguu wa kawaida \(PH\) na hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Hii ina maana \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Hii ina maana kwamba pointi \(A_1, A_2, ..., A_n\) ziko katika umbali sawa kutoka kwa uhakika \(H\), kwa hivyo, ziko kwenye mduara sawa na radius \(A_1H\) . Mduara huu, kwa ufafanuzi, umezungushwa kuhusu poligoni \(A_1A_2...A_n\) .
2) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili na sawa kwa miguu miwili. Hii ina maana kwamba pembe zao pia ni sawa, kwa hiyo, \(\pembe PA_1H=\pembe PA_2H=...=\pembe PA_nH\).
3) Hebu tuthibitishe kwamba \((c)\) inamaanisha \((a)\) .
Sawa na hatua ya kwanza, pembetatu \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili na kando ya mguu na kona kali. Hii ina maana kwamba hypotenuses zao pia ni sawa, yaani, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((d)\) .
Kwa sababu katika poligoni ya kawaida vituo vya miduara iliyozungushwa na kuandikwa vinapatana (kwa ujumla, hatua hii inaitwa kitovu cha poligoni ya kawaida), kisha \(H\) ni kitovu cha duara iliyoandikwa. Wacha tuchore perpendiculars kutoka kwa uhakika \(H\) hadi kando ya msingi: \(HK_1, HK_2\), nk. Hizi ni radii za mduara ulioandikwa (kwa ufafanuzi). Kisha, kulingana na TTP (\(PH\) ni perpendicular kwa ndege, \(HK_1, HK_2\), nk. ni makadirio perpendicular kwa pande) kutega \(PK_1, PK_2\), nk. perpendicular kwa pande \(A_1A_2, A_2A_3\), nk. kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, kwa ufafanuzi \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H\) sawa na pembe kati ya nyuso za upande na msingi. Kwa sababu pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kwenye pande mbili), kisha pembe \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H, ...\) ni sawa.
5) Hebu tuthibitishe kwamba \((d)\) inamaanisha \((b)\) .
Sawa na nukta ya nne, pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kando ya mguu na pembe ya papo hapo), ambayo inamaanisha kuwa sehemu \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ni sawa. Hii inamaanisha, kwa ufafanuzi, \(H\) ni kitovu cha duara kilichoandikwa kwenye msingi. Lakini kwa sababu katika poligoni za kawaida vituo vya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa sanjari, kisha \(H\) ni kitovu cha duara iliyozungushwa. Chtd.
Matokeo
Nyuso za upande wa piramidi ya kawaida ni pembetatu sawa za isosceles.
Ufafanuzi
Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem.
Maneno ya nyuso zote za upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na kila mmoja na pia ni wapatanishi na wagawanyaji.
Vidokezo Muhimu
1. Urefu ni sahihi piramidi ya pembe tatu huanguka kwenye hatua ya makutano ya urefu (au bisectors, au medians) ya msingi (msingi ni pembetatu ya kawaida).
2. Urefu ni sahihi piramidi ya quadrangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni mraba).
3. Urefu ni sahihi piramidi ya hexagonal huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni hexagon ya kawaida).
4. Urefu wa piramidi ni perpendicular kwa mstari wowote wa moja kwa moja ulio chini.
Ufafanuzi
Piramidi inaitwa mstatili, ikiwa moja ya kingo zake za upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi.
Vidokezo Muhimu
1. Katika piramidi ya mstatili, makali ya perpendicular kwa msingi ni urefu wa piramidi. Hiyo ni, \(SR\) ni urefu.
2. Kwa sababu \(SR\) ni perpendicular kwa mstari wowote kutoka msingi, basi \(\pembetatu SRM, \pembetatu SRP\) – pembetatu za kulia.
3. Pembetatu \(\pembetatu SRN, \pembetatu SRK\)- pia mstatili.
Hiyo ni, pembetatu yoyote inayoundwa na makali haya na diagonal inayojitokeza kutoka kwenye vertex ya makali haya yaliyo kwenye msingi itakuwa mstatili.
\[(\Kubwa(\maandishi(Kiasi na eneo la uso wa piramidi)))\]
Nadharia
Kiasi cha piramidi ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi na urefu wa piramidi: \
Matokeo
Acha \(a\) iwe upande wa msingi, \(h\) iwe urefu wa piramidi.
1. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya triangular ni \(V_(\text(pembetatu ya kulia.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular ni \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya hexagonal ni \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Kiasi tetrahedron ya kawaida sawa \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Nadharia
Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem.
\[(\Kubwa(\text(Frustum)))\]
Ufafanuzi
Fikiria piramidi ya kiholela \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Hebu tuchore ndege sambamba na msingi wa piramidi kupitia hatua fulani iliyolala kwenye makali ya upande wa piramidi. Ndege hii itagawanya piramidi katika polihedra mbili, moja ambayo ni piramidi (\(PB_1B_2...B_n\) ), na nyingine inaitwa. piramidi iliyopunguzwa(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Piramidi iliyokatwa ina besi mbili - poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(B_1B_2...B_n\) ambazo zinafanana.
Urefu wa piramidi iliyopunguzwa ni perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua fulani ya msingi wa juu hadi ndege ya msingi wa chini.
Vidokezo Muhimu
1. Nyuso zote za upande wa piramidi iliyopunguzwa ni trapezoid.
2. Sehemu inayounganisha vituo vya besi za piramidi ya kawaida iliyopunguzwa (yaani, piramidi iliyopatikana kwa sehemu ya msalaba wa piramidi ya kawaida) ni urefu.
Hebu tuchunguze ni mali gani ya piramidi, ambayo nyuso za upande ni perpendicular kwa msingi.
Kama nyuso mbili zilizo karibu za piramidi ni za usawa kwa msingi, Hiyo makali ya kawaida ya upande wa nyuso hizi ni urefu wa piramidi. Ikiwa shida inasema hivyo makali ya piramidi ni urefu wake, Hiyo tunazungumzia hasa kuhusu aina hii ya piramidi.
Nyuso za piramidi perpendicular kwa msingi ni pembetatu sahihi.
Ikiwa msingi wa piramidi ni pembetatu
Uso wa upande wa piramidi kama hiyo ndani kesi ya jumla tunaitafuta kama jumla ya maeneo ya nyuso zote za upande.
Msingi wa piramidi ni makadirio ya orthogonal uso usio na usawa kwa msingi (in kwa kesi hii, SBC). Hii inamaanisha, kulingana na nadharia ya eneo la makadirio ya orthogonal, eneo la msingi ni sawa na bidhaa ya eneo la uso huu na cosine ya pembe kati yake na ndege ya msingi. .
Ikiwa msingi wa piramidi ni pembetatu ya kulia
Kwa kesi hii nyuso zote za piramidi ni pembetatu za kulia.
Pembetatu SAB na SAC ni mstatili, kwani SA ni urefu wa piramidi. Pembetatu ABC mstatili kwa hali.
Ukweli kwamba pembetatu SBC ina pembe-kulia hufuata kutoka kwa nadharia ya pembetatu tatu (AB ni makadirio ya SB iliyoelekezwa kwenye ndege ya msingi. Kwa kuwa AB ni perpendicular kwa BC kwa hali, basi SB ni perpendicular kwa BC).
Pembe kati ya uso wa upande wa SBC na msingi katika kesi hii ni ABS ya pembe.
Eneo la uso wa pembeni ni sawa na jumla ya maeneo ya pembetatu za kulia:
Tangu katika kesi hii
Ikiwa msingi wa piramidi ni pembetatu ya isosceles
Katika kesi hii, pembe kati ya ndege ya uso wa upande BCS na ndege ya msingi ni AFS ya pembe, ambapo AF ni urefu, wastani na sehemu mbili. pembetatu ya isosceles ABC.
Vile vile, ikiwa chini ya piramidi iko pembetatu ya usawa ABC.
Ikiwa msingi wa piramidi ni parallelogram
Katika kesi hii, msingi wa piramidi ni makadirio ya orthogonal ya nyuso za upande ambazo sio perpendicular kwa msingi.
Ikiwa tunagawanya msingi katika pembetatu mbili, basi
ambapo α na β ni pembe kati ya ndege za ADS na CDS na ndege ya msingi, mtawalia.
Ikiwa BF na BK ni urefu wa parallelogram, basi angle BFS ni angle ya mwelekeo wa CDS ya uso wa upande kwa ndege ya msingi, na angle BKS ni angle ya mwelekeo wa ADS ya upande.
(mchoro ulifanywa kwa kesi wakati B ni pembe ya obtuse).
Ikiwa msingi wa piramidi ni ABCD ya rhombus, basi pembe za BFS na BKS ni sawa. Pembetatu ABS na CBS, pamoja na ADS na CDS, pia ni sawa katika kesi hii.
Ikiwa msingi wa piramidi ni mstatili
Katika kesi hii, pembe kati ya ndege ya uso wa upande SAD na ndege ya msingi ni angle SAB,
na pembe kati ya ndege ya SCD ya uso wa upande na ndege ya msingi ni SCB ya pembe
(kwa nadharia ya perpendiculars tatu).
Kwa mtiririko huo,
Kutoka hapa uso wa upande inaweza kupatikana kama
Hapa nyuso zote za upande wa piramidi ni pembetatu za kulia(pembe za SAD na SCD ni pembe za kulia kulingana na theorem ya perpendiculars tatu). Kwa hivyo, uso wa upande unaweza kutafutwa moja kwa moja:
Ikiwa msingi wa piramidi ni ABCD ya mraba, basi tatizo ni rahisi: pembetatu ABS na BCS, pamoja na pembetatu ADS na CDS, ni sawa katika kesi hii.
15 Desemba 2012
Maoni (12) juu ya "Piramidi ambazo kingo zake ni za msingi kwa msingi"
-
Ikiwa una google "piramidi ya mstatili" kwa Kirusi, basi nyenzo zako ziko katika tano za juu. Ninaona kuwa kuna piramidi moja tu ya mstatili kwenye ukurasa huu, ya mwisho, na majina sio sahihi kabisa. Google, pamoja na Wikipedia, walikuja na ufafanuzi wa ajabu - makali ya perpendicular na sawa na chini ya piramidi. Kwa njia, juu Lugha ya Kiingereza Kwa ujumla, piramidi ya mstatili ni piramidi chini ambayo kuna mstatili na haijalishi ambapo urefu ni wakati wote.
Hakuna neno katika maandishi kuhusu piramidi ya mstatili. Mara nyingi sana, katika shida zinazohusisha piramidi ambazo kuna nyuso mbili za upande kwa msingi, tunazungumza juu ya pembe kati ya ndege ya uso wa upande na ndege ya msingi.
KATIKA nyenzo hii fikiria jinsi ya kuamua pembe hii kulingana na poligoni kwenye msingi. Ikiwa msingi una parallelogram (pamoja na rhombus), unahitaji kuteka urefu wa parallelogram kutoka msingi wa piramidi hadi pande tofauti(au mstari wa moja kwa moja ulio na pande hizi). Ikiwa msingi ni mstatili (ikiwa ni pamoja na mraba), hakuna haja ya kuteka urefu, kwani pande za mstatili ni pande zote za perpendicular. Katika kesi hii, pembe kati ya msingi na makali ya upande imedhamiriwa pembe ya mstari, iliyoundwa na kando ya piramidi; nyuso za upande ni pembetatu za kulia.
Pembe za kulia kwenye msingi zimeangaziwa ili kuangazia tofauti hii kutoka kwa kisa ambapo msingi ni msambamba ambao si mstatili.Kwa sababu uliondoa "piramidi ya mstatili", lakini teknolojia zinazojua na kuelewa jinsi injini za utafutaji zinavyofanya kazi haziwezekani kushawishiwa na hoja zako. Jifunze IT, sio hesabu tu.
Mpendwa Natashok! Je, unanituhumu kwa uwongo? Nilikuambia kuwa situmii neno "piramidi ya mstatili" katika kazi yangu.
P.S. Mimi si mtaalamu wa IT, kwa bahati mbaya. Nakubali, ujuzi wa kusoma na kuandika unahitajika katika maeneo yote: katika hisabati na ndani teknolojia ya habari, na katika tahajia.
Kielelezo kinaonyesha kesi wakati kuna mstatili chini ya piramidi. Katika muundo sambamba, pembe hazihifadhiwa, kwa hivyo mstatili hutolewa kama parallelogram. Pembe ya pili ya kulia katika takwimu imebainishwa kuhusiana na theorem ya perpendiculars tatu.
Kwanza, sio mchoro, lakini mchoro. Unachora michoro katika kuchora, lakini katika hisabati bado ni michoro. Pili, angalia mchoro wa mwisho. Hakuna nadharia kuhusu perpendiculars tatu. Narudia, msingi katika mchoro wa mwisho sio mstatili. Haijalishi jinsi unavyoionyesha. Ninafuata vidokezo. Ingawa niligundua kuwa mchoro wa tatu hapa chini hauko wazi kwangu pia. Paralelogramu haijawekwa alama kwenye mchoro. Tu quadrangle! Muonekano wake ni sawa na parallelogram, lakini uteuzi huacha kuhitajika.
1) Ndiyo, katika jiometri tunafanya kuchora, lakini kielelezo cha maandishi ni kuchora. Katika kitabu chochote cha jiometri wanaandika "katika Mchoro 1", si "katika Kuchora 1".
2) Mstatili katika stereometry unaonyeshwa kama msambamba, kwani pembe hazihifadhiwi wakati wa kubuni sambamba. Lakini ulinganifu wa mistari umehifadhiwa. Pande tofauti za pembe nne zinaonyeshwa zimelazwa kwenye mistari sambamba. Inafuata kutoka kwa hili kwamba hii quadrilateral ni parallelogram.Pande tofauti za pembe nne zinaonyeshwa zimelazwa kwenye mistari sambamba. Sioni dalili yoyote kwamba mistari hii inafanana na muundo sambamba haukuonyeshwa kwenye maandishi. Kwa hivyo kwangu msingi bado uko kwenye mchoro wa mwisho kiholela quadrilateral
Mpendwa Natasha! Picha takwimu za anga kwenye ndege hufanyika kwa mujibu wa sheria kubuni sambamba. Hii ina maana kwamba mistari sambamba katika mchoro inaonyeshwa kama mistari inayofanana, na mistari isiyolingana haiwiani.
Sikubaliani na ufafanuzi wa piramidi ya mstatili. Piramidi ya mstatili ni piramidi, kwenye vertex moja ambayo kuna pembe tatu za kulia. Niandikie kwa nini unaeneza nyenzo potofu kwa kiwango cha Wikipedia isiyo na ufahamu.
Ikiwa msingi wa piramidi ni mstatili, basi kwa nini pembe mbili za kinyume zimewekwa alama kwenye picha ili kuionyesha? Katika kuchora mwisho, msingi huu unaweza kuwa rhomboid na mwingine quadrilateral.
Ambayo moja ya mbavu za upande ni perpendicular kwa msingi.
Katika kesi hii, makali haya yatakuwa urefu wa piramidi.
Tabia za piramidi.
1. Wakati kingo zote za upande zina ukubwa sawa, basi:
- karibu na msingi wa piramidi ni rahisi kuelezea mduara, wakati sehemu ya juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu;
- mbavu za upande huunda sawa pembe ;
- Aidha, kinyume chake pia ni kweli, i.e. wakati mbavu za upande huunda na ndege ya msingi pembe sawa, au wakati mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu, ambayo ina maana kwamba kando zote za upande wa piramidi zina ukubwa sawa.
2. Wakati nyuso za upande zina pembe ya mwelekeo kwa ndege ya msingi wa thamani sawa, basi:
- ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mzunguko huu;
- urefu wa nyuso za upande ni urefu sawa;
- eneo la uso wa upande ni sawa na ½ bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa uso wa upande.
3. Kuhusu piramidi inaweza kuelezwa tufe katika tukio ambalo chini ya piramidi kuna poligoni ambayo mduara unaweza kuelezewa (lazima na hali ya kutosha) Katikati ya tufe itakuwa nukta makutano ya ndege zinazopita katikati ya kingo za piramidi zinazoelekea kwao. Kutokana na nadharia hii tunahitimisha kwamba nyanja inaweza kuelezewa karibu na pembetatu yoyote na karibu na piramidi yoyote ya kawaida;
4. Tufe inaweza kuandikwa katika piramidi ikiwa ndege mbili za ndani. pembe za dihedral piramidi huingilia kwenye hatua ya 1 (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.
5. Koni itaandikwa kwenye piramidi wakati wima zao zinapatana, na msingi wa koni utaandikwa kwenye msingi wa piramidi. Katika kesi hii, inawezekana kuingiza koni ndani ya piramidi tu ikiwa apothems ya piramidi ina ukubwa sawa (hali ya lazima na ya kutosha);
6. Koni itaelezewa karibu na piramidi ikiwa wima zao zinalingana, na msingi wa koni utaelezewa karibu na msingi wa piramidi. Katika kesi hii, unaweza kuelezea koni karibu na piramidi tu ikiwa kingo zote za upande wa piramidi zina. maadili sawa(hali ya lazima na ya kutosha). Urefu wa mbegu hizi na piramidi ni sawa.
7. Silinda itaandikwa kwenye piramidi ikiwa moja ya misingi yake inafanana na mduara ambao umeandikwa katika sehemu ya piramidi na ndege inayofanana na msingi, na msingi wa pili ni wa msingi wa piramidi.
8. Silinda itaelezewa karibu na piramidi wakati juu ya piramidi ni ya moja ya misingi yake, na msingi wa pili wa silinda utaelezwa karibu na msingi wa piramidi. Katika kesi hii, inawezekana kuelezea silinda karibu na piramidi tu ikiwa msingi wa piramidi ni polygon iliyoandikwa (hali ya lazima na ya kutosha).
Njia za kuamua kiasi na eneo la piramidi ya mstatili.
V- kiasi cha piramidi,
S- eneo la msingi wa piramidi,
h- urefu wa piramidi;
Sb- eneo la uso wa nyuma wa piramidi;
a- apothem (sio kuchanganyikiwa na α piramidi,
P- mzunguko wa msingi wa piramidi;
n- idadi ya pande za msingi wa piramidi;
b- urefu ubavu wa pembeni piramidi,
α - pembe ya gorofa juu ya piramidi.