Sifa za mstari wa moja kwa moja katika jiometri ya Euclidean.

Idadi isiyo na kikomo ya mistari iliyonyooka inaweza kuchorwa kupitia sehemu yoyote.

Kupitia pointi zozote mbili zisizo sanjari mstari mmoja wa moja kwa moja unaweza kuchorwa.

Mistari miwili tofauti katika ndege ama hukatiza katika sehemu moja au iko

sambamba (ifuatayo kutoka kwa uliopita).

Katika nafasi ya pande tatu, kuna chaguzi tatu kwa nafasi ya jamaa ya mistari miwili:

• mistari huingiliana;

• mistari ni sambamba;

• mistari iliyonyooka hukatiza.

Moja kwa moja mstari— curve algebraic ya utaratibu wa kwanza: mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian

inatolewa kwenye ndege kwa equation ya shahada ya kwanza (linear equation).

Mlinganyo wa jumla wa mstari wa moja kwa moja.

Ufafanuzi. Mstari wowote wa moja kwa moja kwenye ndege unaweza kubainishwa na mlinganyo wa mpangilio wa kwanza

Shoka + Wu + C = 0,

na mara kwa mara A, B si sawa na sifuri kwa wakati mmoja. Mlingano huu wa mpangilio wa kwanza unaitwa jumla

equation ya mstari wa moja kwa moja. Kulingana na maadili ya mara kwa mara A, B Na NA Kesi maalum zifuatazo zinawezekana:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- mstari wa moja kwa moja hupitia asili

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Kwa + C = 0)- mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili OU

. B = C = 0, A ≠0- mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili OU

. A = C = 0, B ≠0- mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili Oh

Equation ya mstari wa moja kwa moja inaweza kuwasilishwa kwa aina tofauti kulingana na yoyote iliyotolewa

masharti ya awali.

Equation ya mstari wa moja kwa moja kutoka kwa uhakika na vector ya kawaida.

Ufafanuzi. Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian, vekta yenye vipengele (A, B)

perpendicular kwa mstari uliotolewa na equation

Shoka + Wu + C = 0.

Mfano. Tafuta mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta A(1, 2) perpendicular kwa vector (3, -1).

Suluhisho. Kwa A = 3 na B = -1, hebu tutunge mlinganyo wa mstari ulionyooka: 3x - y + C = 0. Ili kupata mgawo C

Wacha tubadilishe viwianishi vya nukta A kwenye usemi unaosababisha. Tunapata: 3 - 2 + C = 0, kwa hivyo.

C = -1. Jumla: mlinganyo unaohitajika: 3x - y - 1 = 0.

Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili.

Hebu pointi mbili zipewe katika nafasi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Na M2 (x 2, y 2, z 2), Kisha equation ya mstari,

kupitia pointi hizi:

Ikiwa yoyote kati ya madhehebu ni sifuri, nambari inayolingana inapaswa kuwekwa sawa na sifuri. Washa

ndege, mlinganyo wa mstari ulionyooka ulioandikwa hapo juu umerahisishwa:

Kama x 1 ≠ x 2 Na x = x 1, Kama x 1 = x 2 .

Sehemu = k kuitwa mteremko moja kwa moja.

Mfano. Pata equation ya mstari unaopitia pointi A (1, 2) na B (3, 4).

Suluhisho. Kwa kutumia formula iliyoandikwa hapo juu, tunapata:

Equation ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na mteremko.

Ikiwa equation ya jumla ya mstari Shoka + Wu + C = 0 kusababisha:

na kuteua , basi equation inayotokana inaitwa

mlinganyo wa mstari ulionyooka na mteremko k.

Equation ya mstari wa moja kwa moja kutoka kwa uhakika na vector ya mwelekeo.

Kwa kulinganisha na hatua ya kuzingatia equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia vector ya kawaida, unaweza kuingiza kazi.

mstari wa moja kwa moja kupitia hatua na vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.

Ufafanuzi. Kila vekta isiyo ya sifuri (α 1, α 2), ambao vipengele vyake vinakidhi hali hiyo

Aα 1 + Bα 2 = 0 kuitwa kuelekeza vector ya mstari wa moja kwa moja.

Shoka + Wu + C = 0.

Mfano. Pata equation ya mstari wa moja kwa moja na vector ya mwelekeo (1, -1) na kupitia hatua A (1, 2).

Suluhisho. Tutatafuta equation ya mstari unaotaka katika fomu: Shoka + Kwa + C = 0. Kulingana na ufafanuzi,

coefficients lazima ikidhi masharti yafuatayo:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kisha equation ya mstari wa moja kwa moja ina fomu: Shoka + Ay + C = 0, au x + y + C / A = 0.

katika x = 1, y = 2 tunapata C/A = -3, i.e. mlinganyo unaohitajika:

x + y - 3 = 0

Equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi.

Ikiwa katika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja Ах + Ву + С = 0 С≠0, basi, kugawanya na -С, tunapata:

au wapi

Maana ya kijiometri ya coefficients ni kwamba mgawo a ni uratibu wa hatua ya makutano

moja kwa moja na mhimili Oh, A b- kuratibu hatua ya makutano ya mstari na mhimili OU.

Mfano. Equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja hutolewa x - y + 1 = 0. Tafuta equation ya mstari huu katika sehemu.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Mlinganyo wa kawaida wa mstari.

Ikiwa pande zote mbili za equation Shoka + Wu + C = 0 kugawanya kwa nambari ambayo inaitwa

sababu ya kawaida, basi tunapata

xcosφ + ysinφ - p = 0 -equation ya kawaida ya mstari.

Ishara ± ya sababu ya kawaida lazima ichaguliwe ili μ*C< 0.

R- urefu wa perpendicular imeshuka kutoka asili hadi mstari wa moja kwa moja;

A φ - angle inayoundwa na perpendicular hii na mwelekeo mzuri wa mhimili Oh.

Mfano. Equation ya jumla ya mstari imetolewa 12x - 5y - 65 = 0. Inahitajika kuandika aina tofauti za milinganyo

mstari ulionyooka huu.

Mlinganyo wa mstari huu katika sehemu:

Equation ya mstari huu na mteremko: (gawanya kwa 5)

Mlinganyo wa mstari:

cos φ = 12/13; dhambi φ= -5/13; p = 5.

Ikumbukwe kwamba sio kila mstari ulionyooka unaweza kuwakilishwa na equation katika sehemu, kwa mfano, mistari iliyonyooka,

sambamba na shoka au kupita asili.

Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye ndege.

Ufafanuzi. Ikiwa mistari miwili imetolewa y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, kisha pembe ya papo hapo kati ya mistari hii

itafafanuliwa kama

Mistari miwili ni sambamba ikiwa k 1 = k 2. Mistari miwili ni perpendicular

Kama k 1 = -1/ k 2 .

Nadharia.

Moja kwa moja Shoka + Wu + C = 0 Na A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sambamba wakati coefficients ni sawia

A 1 = λA, B 1 = λB. Ikiwa pia С 1 = λС, basi mistari inalingana. Kuratibu za hatua ya makutano ya mistari miwili

zinapatikana kama suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mistari hii.

Mlinganyo wa mstari unaopita kwenye sehemu fulani ya mstari uliopeanwa.

Ufafanuzi. Mstari unaopita kwa uhakika M 1 (x 1, y 1) na perpendicular kwa mstari y = kx + b

kuwakilishwa na equation:

Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.

Nadharia. Ikiwa hatua imetolewa M(x 0, y 0), kisha umbali wa mstari wa moja kwa moja Shoka + Wu + C = 0 hufafanuliwa kama:

Ushahidi. Hebu uhakika M 1 (x 1, y 1)- msingi wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika M kwa kupewa

moja kwa moja. Kisha umbali kati ya pointi M Na M 1:

(1)

Kuratibu x 1 Na saa 1 inaweza kupatikana kama suluhisho la mfumo wa equations:

Equation ya pili ya mfumo ni equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua fulani M 0 perpendicularly.

kupewa mstari ulionyooka. Ikiwa tutabadilisha equation ya kwanza ya mfumo kuwa fomu:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Shoka 0 + Kwa 0 + C = 0,

basi, kutatua, tunapata:

Kubadilisha misemo hii katika equation (1), tunapata:

Nadharia imethibitishwa.

Somo kutoka kwa mfululizo "algorithms ya kijiometri"

Habari mpenzi msomaji!

Leo tutaanza kujifunza algorithms zinazohusiana na jiometri. Ukweli ni kwamba kuna shida nyingi za Olympiad katika sayansi ya kompyuta inayohusiana na jiometri ya hesabu, na kutatua shida kama hizo mara nyingi husababisha shida.

Kwa kipindi cha masomo kadhaa, tutazingatia idadi ya kazi ndogo za msingi ambazo suluhisho la shida nyingi katika jiometri ya hesabu inategemea.

Katika somo hili tutaunda programu ya kutafuta equation ya mstari, kupita kwa kupewa pointi mbili. Ili kutatua matatizo ya kijiometri, tunahitaji ujuzi fulani wa jiometri ya computational. Tutatoa sehemu ya somo ili kuwafahamu.

Maarifa kutoka kwa Jiometri ya Kompyuta

Jiometri ya hesabu ni tawi la sayansi ya kompyuta ambalo husoma algoriti za kutatua matatizo ya kijiometri.

Data ya awali ya matatizo hayo inaweza kuwa seti ya pointi kwenye ndege, seti ya makundi, polygon (iliyoainishwa, kwa mfano, na orodha ya wima yake kwa utaratibu wa saa), nk.

Matokeo yake yanaweza kuwa jibu la swali fulani (kama vile nukta ni ya sehemu, fanya sehemu mbili zikatike, ...), au kitu fulani cha kijiometri (kwa mfano, sehemu ndogo zaidi ya poligoni inayounganisha, eneo la poligoni, nk).

Tutazingatia matatizo ya jiometri ya computational tu kwenye ndege na tu katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian.

Vekta na kuratibu

Ili kutumia mbinu za jiometri ya computational, ni muhimu kutafsiri picha za kijiometri katika lugha ya nambari. Tutafikiri kwamba ndege inapewa mfumo wa kuratibu wa Cartesian, ambapo mwelekeo wa mzunguko kinyume cha saa huitwa chanya.

Sasa vitu vya kijiometri hupokea usemi wa uchambuzi. Kwa hivyo, kutaja hatua, inatosha kuonyesha kuratibu zake: jozi ya nambari (x; y). Sehemu inaweza kubainishwa kwa kubainisha kuratibu za miisho yake; mstari wa moja kwa moja unaweza kubainishwa kwa kubainisha kuratibu za jozi ya pointi zake.

Lakini chombo chetu kuu cha kutatua matatizo kitakuwa vekta. Kwa hivyo, wacha nikumbuke habari fulani juu yao.

Sehemu ya mstari AB, ambayo ina maana A inachukuliwa kuwa mwanzo (hatua ya matumizi), na hatua KATIKA- mwisho, inayoitwa vekta AB na inaonyeshwa kwa aidha au kwa herufi kubwa ndogo, kwa mfano A .

Ili kuashiria urefu wa vekta (yaani, urefu wa sehemu inayolingana), tutatumia ishara ya moduli (kwa mfano,).

Vekta ya kiholela itakuwa na kuratibu sawa na tofauti kati ya kuratibu zinazolingana za mwisho wake na mwanzo:

,

hapa kuna pointi A Na B kuwa na kuratibu kwa mtiririko huo.

Kwa mahesabu tutatumia dhana angle iliyoelekezwa, yaani, angle ambayo inazingatia nafasi ya jamaa ya vectors.

Pembe iliyoelekezwa kati ya vekta a Na b chanya ikiwa mzunguko unatoka kwa vekta a kwa vekta b inafanywa kwa mwelekeo mzuri (kinyume cha saa) na hasi katika kesi nyingine. Tazama Mchoro.1a, Mtini.1b. Pia inasemekana kuwa jozi ya vekta a Na b yenye mwelekeo chanya (hasi).

Kwa hivyo, thamani ya pembe iliyoelekezwa inategemea mpangilio ambao veta zimeorodheshwa na zinaweza kuchukua maadili kwa muda.

Matatizo mengi katika jiometri ya computational hutumia dhana ya vector (skew au pseudoscalar) bidhaa za vectors.

Bidhaa ya vekta ya vekta a na b ni bidhaa ya urefu wa vekta hizi na sine ya pembe kati yao:

.

Bidhaa tofauti za vekta katika kuratibu:

Usemi ulio upande wa kulia ni kibainishi cha mpangilio wa pili:

Tofauti na ufafanuzi uliotolewa katika jiometri ya uchambuzi, ni scalar.

Ishara ya bidhaa ya vector huamua nafasi ya vekta kuhusiana na kila mmoja:

a Na b yenye mwelekeo chanya.

Ikiwa thamani ni , basi jozi ya vekta a Na b yenye mwelekeo hasi.

Bidhaa ya msalaba ya vekta za nonzero ni sifuri ikiwa na tu ikiwa ni collinear ( ) Hii ina maana kwamba wanalala kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana.

Hebu tuangalie matatizo machache rahisi ambayo ni muhimu wakati wa kutatua magumu zaidi.

Wacha tuamue equation ya mstari wa moja kwa moja kutoka kwa kuratibu za alama mbili.

Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili tofauti zilizobainishwa na viwianishi vyao.

Acha alama mbili zisizo sanjari zitolewe kwa mstari ulionyooka: na viwianishi (x1; y1) na viwianishi (x2; y2). Ipasavyo, vekta iliyo na mwanzo kwa uhakika na mwisho kwa uhakika ina kuratibu (x2-x1, y2-y1). Ikiwa P (x, y) ni hatua ya kiholela kwenye mstari wetu, basi kuratibu za vector ni sawa na (x-x1, y - y1).

Kutumia bidhaa ya vekta, hali ya collinearity ya vekta na inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Wale. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Tunaandika tena mlinganyo wa mwisho kama ifuatavyo:

shoka + kwa + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja unaweza kutajwa na equation ya fomu (1).

Tatizo 1. Kuratibu za pointi mbili zinatolewa. Pata uwakilishi wake katika fomu ax + by + c = 0.

Katika somo hili tulijifunza habari fulani kuhusu jiometri ya hesabu. Tulitatua tatizo la kutafuta equation ya mstari kutoka kwa kuratibu za pointi mbili.

Katika somo linalofuata, tutaunda programu ya kupata sehemu ya makutano ya mistari miwili iliyotolewa na milinganyo yetu.

Mlinganyo wa jumla wa mstari wa moja kwa moja:

Kesi maalum za equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja:

na kama C= 0, equation (2) itakuwa na fomu

Shoka + Na = 0,

na mstari wa moja kwa moja unaofafanuliwa na equation hii hupitia asili, kwani kuratibu za asili ni x = 0, y= 0 kutosheleza mlingano huu.

b) Ikiwa katika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja (2) B= 0, basi equation inachukua fomu

Shoka + NA= 0, au .

Mlinganyo hauna kigezo y, na mstari wa moja kwa moja unaofafanuliwa na equation hii ni sambamba na mhimili Oy.

c) Ikiwa katika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja (2) A= 0, basi equation hii itachukua fomu

Na + NA= 0, au;

equation haina kutofautiana x, na mstari wa moja kwa moja unaofafanua ni sawa na mhimili Ng'ombe.

Inapaswa kukumbuka: ikiwa mstari wa moja kwa moja unafanana na mhimili fulani wa kuratibu, basi katika equation yake hakuna neno lililo na uratibu wa jina sawa na mhimili huu.

d) Wakati C= 0 na A= 0 equation (2) inachukua fomu Na= 0, au y = 0.

Huu ni mlinganyo wa mhimili Ng'ombe.

d) Wakati C= 0 na B= 0 equation (2) itaandikwa katika fomu Shoka= 0 au x = 0.

Huu ni mlinganyo wa mhimili Oy.

Nafasi ya jamaa ya mistari kwenye ndege. Pembe kati ya mistari iliyonyooka kwenye ndege. Masharti ya mistari sambamba. Hali ya perpendicularity ya mistari.

l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

S 2 S 1 Vekta S 1 na S 2 huitwa miongozo ya mistari yao.

Pembe kati ya mistari ya moja kwa moja l 1 na l 2 imedhamiriwa na angle kati ya vectors ya mwelekeo.
Nadharia ya 1: cos ya pembe kati ya l 1 na l 2 = cos (l 1; l 2) =

Nadharia ya 2: Ili mistari 2 iwe sawa ni muhimu na inatosha:

Nadharia ya 3: Ili mistari 2 iliyonyooka iwe ya pembeni ni muhimu na inatosha:

L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0

Mlinganyo wa jumla wa ndege na kesi zake maalum. Equation ya ndege katika sehemu.

Mlinganyo wa jumla wa ndege:

Ax + By + Cz + D = 0

Kesi maalum:

1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - ndege hupitia asili

2. С=0 Axe+By+D = 0 - ndege || OZ

3. B=0 Ax+Cz+d = 0 – ndege || OY

4. A=0 By+Cz+D = 0 – ndege || OX

5. A=0 na D=0 By+Cz = 0 - ndege hupitia OX

6. B=0 na D=0 Ax+Cz = 0 - ndege hupitia OY

7. C = 0 na D = 0 Ax + By = 0 - ndege inapita kupitia OZ

Nafasi ya jamaa ya ndege na mistari iliyonyooka kwenye nafasi:

1. Pembe kati ya mistari ya moja kwa moja katika nafasi ni pembe kati ya vectors yao ya mwelekeo.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1; S 2) = =

2. Pembe kati ya ndege imedhamiriwa kwa njia ya pembe kati ya vectors yao ya kawaida.

Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1; N 2) = =

3. Cosine ya pembe kati ya mstari na ndege inaweza kupatikana kwa njia ya dhambi ya pembe kati ya vector ya mwelekeo wa mstari na vector ya kawaida ya ndege.

4. 2 moja kwa moja | katika nafasi wakati wao || miongozo ya vector

5. Ndege 2 || lini || vekta za kawaida

6. Dhana za perpendicularity ya mistari na ndege zinaletwa sawa.

Swali la 14

Aina anuwai za equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege (equation ya mstari wa moja kwa moja katika sehemu, na mgawo wa pembe, nk)

Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja katika sehemu:
Wacha tufikirie kuwa katika equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja:

1. C = 0 Ах + Ву = 0 - mstari wa moja kwa moja hupitia asili.

2. a = 0 Vu + C = 0 y =

3. b = 0 Ax + C = 0 x =

4. b=C=0 Shoka = 0 x = 0

5. a=C=0 Ву = 0 у = 0

Mlinganyo wa mstari wa moja kwa moja na mteremko:

Mstari wowote ulionyooka ambao si sawa na mhimili wa op-amp (B si = 0) unaweza kuandikwa kwenye mstari unaofuata. fomu:

k = tanα α - pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na mstari ulioelekezwa vyema OX

b - hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na mhimili wa op-amp

Hati:

Ax+By+C = 0

Wu= -Ah-S |:B

Equation ya mstari wa moja kwa moja kulingana na pointi mbili:

Swali la 16

Kikomo kikomo cha chaguo za kukokotoa kwa uhakika na kwa x→∞

Kikomo cha mwisho kwa x0:

Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa x→x 0 ikiwa kwa E yoyote > 0 kuna b > 0 vile kwamba kwa x ≠x 0 kukidhi ukosefu wa usawa |x – x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

Kikomo kinaonyeshwa na: = A

Kikomo cha mwisho kwa uhakika +∞:

Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa y = f(x) katika x → + ∞ , ikiwa kwa E > 0 yoyote kuna C > 0 kama kwamba kwa x > C ukosefu wa usawa |f(x) - A|< Е

Kikomo kinaonyeshwa na: = A

Kikomo cha mwisho kwa uhakika -∞:

Nambari A inaitwa kikomo cha chaguo za kukokotoa y = f(x) kwa x→-∞, ikiwa kwa E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili. Katika makala" " Nilikuahidi uangalie njia ya pili ya kutatua matatizo yaliyowasilishwa ya kupata derivative, kutokana na grafu ya kazi na tangent kwa grafu hii. Tutazungumza juu ya njia hii , Usikose! Kwa nini katika ijayo?

Ukweli ni kwamba formula ya equation ya mstari wa moja kwa moja itatumika hapo. Bila shaka, tunaweza kuonyesha fomula hii kwa urahisi na kukushauri ujifunze. Lakini ni bora kuelezea inatoka wapi (jinsi inavyotokana). Ni lazima! Ikiwa utaisahau, unaweza kurejesha harakahaitakuwa ngumu. Kila kitu kimeelezewa hapa chini kwa undani. Kwa hiyo, tuna pointi mbili A kwenye ndege ya kuratibu(x 1;y 1) na B(x 2;y 2), mstari wa moja kwa moja huchorwa kupitia pointi zilizoonyeshwa:

Hapa kuna formula yenyewe ya moja kwa moja:

*Yaani, tunapobadilisha viwianishi maalum vya pointi, tunapata mlinganyo wa fomu y=kx+b.

**Ikiwa "utakariri" fomula hii tu, basi kuna uwezekano mkubwa wa kuchanganyikiwa na fahirisi lini X. Kwa kuongeza, fahirisi zinaweza kuteuliwa kwa njia tofauti, kwa mfano:

Ndiyo maana ni muhimu kuelewa maana.

Sasa kupatikana kwa fomula hii. Kila kitu ni rahisi sana!

Pembetatu ABE na ACF ni sawa katika pembe ya papo hapo (ishara ya kwanza ya kufanana kwa pembetatu za kulia). Inafuata kutoka kwa hii kwamba uwiano wa vitu vinavyolingana ni sawa, ambayo ni:

Sasa tunaelezea tu sehemu hizi kupitia tofauti katika kuratibu za vidokezo:

Kwa kweli, hakutakuwa na kosa ikiwa utaandika uhusiano wa vitu kwa mpangilio tofauti (jambo kuu ni kudumisha msimamo):

Matokeo yake yatakuwa equation sawa ya mstari. Hii ni yote!

Hiyo ni, bila kujali jinsi pointi wenyewe (na kuratibu zao) zimeteuliwa, kwa kuelewa formula hii utapata daima equation ya mstari wa moja kwa moja.

Fomu hiyo inaweza kutolewa kwa kutumia mali ya vectors, lakini kanuni ya derivation itakuwa sawa, kwani tutazungumza juu ya uwiano wa kuratibu zao. Katika kesi hii, kufanana sawa kwa pembetatu za kulia hufanya kazi. Kwa maoni yangu, hitimisho lililoelezwa hapo juu ni wazi zaidi)).

Tazama pato kupitia kuratibu za vekta >>>

Acha mstari wa moja kwa moja ujengwe kwenye ndege ya kuratibu inayopitia pointi mbili zilizotolewa A(x 1;y 1) na B(x 2;y 2). Wacha tuweke alama ya kiholela C kwenye mstari na kuratibu ( x; y) Pia tunaashiria vekta mbili:

Inajulikana kuwa kwa vekta zilizolala kwenye mistari inayofanana (au kwenye mstari huo huo), kuratibu zao zinazolingana ni sawia, ambayo ni:

- tunaandika usawa wa uwiano wa kuratibu zinazolingana:

Hebu tuangalie mfano:

Tafuta mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia pointi mbili na viwianishi (2;5) na (7:3).

Huna hata kujenga mstari wa moja kwa moja yenyewe. Tunatumia formula:

Ni muhimu kufahamu mawasiliano wakati wa kuandaa uwiano. Huwezi kwenda vibaya ikiwa utaandika:

Jibu: y=-2/5x+29/5 kwenda y=-0.4x+5.8

Ili kuhakikisha kuwa equation inayopatikana inapatikana kwa usahihi, hakikisha uangalie - ubadilishe kuratibu za data katika hali ya pointi ndani yake. Milinganyo inapaswa kuwa sahihi.

Ni hayo tu. Natumai nyenzo hiyo ilikuwa muhimu kwako.

Kwa dhati, Alexander.

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege.
Vector ya mwelekeo ni sawa. Vector ya kawaida

Mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ni moja ya takwimu rahisi za kijiometri, unazozifahamu kutoka shule ya msingi, na leo tutajifunza jinsi ya kukabiliana nayo kwa kutumia mbinu za jiometri ya uchambuzi. Ili kujua nyenzo, lazima uweze kujenga mstari wa moja kwa moja; kujua ni equation gani inafafanua mstari wa moja kwa moja, hasa, mstari wa moja kwa moja unaopitia asili ya kuratibu na mistari ya moja kwa moja sambamba na axes za kuratibu. Habari hii inaweza kupatikana katika mwongozo Grafu na mali ya kazi za msingi, niliiumba kwa Mathan, lakini sehemu kuhusu kazi ya mstari ilifanikiwa sana na ya kina. Kwa hivyo, wapenzi teapots, joto juu huko kwanza. Kwa kuongeza, unahitaji kuwa na ujuzi wa msingi kuhusu vekta, vinginevyo uelewa wa nyenzo hautakuwa kamili.

Katika somo hili tutaangalia njia ambazo unaweza kuunda equation ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege. Ninapendekeza usipuuze mifano ya vitendo (hata ikiwa inaonekana kuwa rahisi sana), kwani nitawapa ukweli wa kimsingi na muhimu, mbinu za kiufundi ambazo zitahitajika katika siku zijazo, pamoja na katika sehemu zingine za hesabu za juu.

• Jinsi ya kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa pembe?
• Vipi ?
• Jinsi ya kupata vekta ya mwelekeo kwa kutumia equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja?
• Jinsi ya kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja uliopewa uhakika na vector ya kawaida?

na tunaanza:

Equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko

Fomu inayojulikana ya "shule" ya usawa wa mstari wa moja kwa moja inaitwa equation ya mstari wa moja kwa moja na mteremko. Kwa mfano, ikiwa mstari wa moja kwa moja unatolewa na equation, basi mteremko wake ni:. Wacha tuchunguze maana ya kijiometri ya mgawo huu na jinsi thamani yake inavyoathiri eneo la mstari:

Katika kozi ya jiometri imethibitishwa kuwa mteremko wa mstari wa moja kwa moja ni sawa na tangent ya pembe kati ya mwelekeo chanya wa mhimilina mstari huu:, na pembe "inafungua" kinyume cha saa.

Ili sio kuunganisha mchoro, nilichora pembe tu kwa mistari miwili ya moja kwa moja. Wacha tuangalie mstari "nyekundu" na mteremko wake. Kulingana na hapo juu: (pembe ya "alpha" inaonyeshwa na arc ya kijani). Kwa mstari wa moja kwa moja wa "bluu" na mgawo wa pembe, usawa ni kweli (pembe "beta" inaonyeshwa na arc kahawia). Na ikiwa tangent ya angle inajulikana, basi ikiwa ni lazima ni rahisi kupata na kona yenyewe kutumia kazi ya inverse - arctangent. Kama wanasema, meza ya trigonometric au microcalculator mikononi mwako. Hivyo, mgawo wa angular unaonyesha kiwango cha mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja kwa mhimili wa abscissa.

Kesi zifuatazo zinawezekana:

1) Ikiwa mteremko ni hasi: basi mstari, takribani kuzungumza, huenda kutoka juu hadi chini. Mifano ni mistari ya moja kwa moja ya "bluu" na "raspberry" katika kuchora.

2) Ikiwa mteremko ni chanya: basi mstari unatoka chini hadi juu. Mifano - mistari "nyeusi" na "nyekundu" kwenye mchoro.

3) Ikiwa mteremko ni sifuri:, basi equation inachukua fomu, na mstari wa moja kwa moja unaofanana unafanana na mhimili. Mfano ni mstari wa moja kwa moja wa "njano".

4) Kwa familia ya mistari inayofanana na mhimili (hakuna mfano katika kuchora, isipokuwa kwa mhimili yenyewe), mgawo wa angular. haipo (tangent ya digrii 90 haijafafanuliwa).

Kadiri mgawo wa mteremko ulivyo katika thamani kamili, ndivyo grafu ya mstari wa moja kwa moja inavyozidi kuongezeka..

Kwa mfano, fikiria mistari miwili iliyonyooka. Hapa, kwa hiyo, mstari wa moja kwa moja una mteremko mkubwa zaidi. Acha nikukumbushe kwamba moduli hukuruhusu kupuuza ishara, tunavutiwa nayo tu maadili kamili mgawo wa angular.

Kwa upande wake, mstari wa moja kwa moja ni mwinuko kuliko mistari iliyonyooka .

Kinyume chake: jinsi mgawo wa mteremko unavyopungua katika thamani kamili, ndivyo laini iliyonyooka inavyoboresha..

Kwa mistari iliyonyooka kukosekana kwa usawa ni kweli, kwa hivyo mstari ulio sawa ni laini zaidi. Slide ya watoto, ili usijipe michubuko na matuta.

Kwa nini hii ni muhimu?

Kuongeza mateso yako Ujuzi wa ukweli hapo juu hukuruhusu kuona mara moja makosa yako, haswa, makosa wakati wa kuunda grafu - ikiwa mchoro unageuka kuwa "dhahiri kuna kitu kibaya." Inashauriwa wewe mara moja ilikuwa wazi kwamba, kwa mfano, mstari wa moja kwa moja ni mwinuko sana na huenda kutoka chini hadi juu, na mstari wa moja kwa moja ni gorofa sana, umesisitizwa karibu na mhimili na huenda kutoka juu hadi chini.

Katika shida za kijiometri, mistari kadhaa ya moja kwa moja huonekana mara nyingi, kwa hivyo ni rahisi kuichagua kwa njia fulani.

Uteuzi: mistari ya moja kwa moja imeteuliwa kwa herufi ndogo za Kilatini:. Chaguo maarufu ni kuwateua kwa kutumia barua sawa na usajili wa asili. Kwa mfano, mistari mitano tuliyotazama hivi punde inaweza kuonyeshwa .

Kwa kuwa mstari wowote wa moja kwa moja umedhamiriwa kipekee na alama mbili, inaweza kuonyeshwa na vidokezo hivi: na kadhalika. Uteuzi huo unamaanisha wazi kuwa alama ni za mstari.

Ni wakati wa kuwasha moto kidogo:

Jinsi ya kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja na mgawo wa pembe?

Ikiwa hatua ya mstari fulani na mgawo wa angular ya mstari huu inajulikana, basi equation ya mstari huu inaonyeshwa na formula:

Mfano 1

Andika equation kwa mstari na mteremko ikiwa inajulikana kuwa uhakika ni wa mstari uliotolewa.

Suluhisho: Wacha tutunge mlingano wa mstari ulionyooka kwa kutumia fomula . Kwa kesi hii:

Jibu:

Uchunguzi inafanywa kwa urahisi. Kwanza, tunaangalia usawa unaosababisha na hakikisha kwamba mteremko wetu upo. Pili, viwianishi vya hoja lazima vikidhi equation hii. Wacha tuwaunganishe kwenye equation:

Usawa sahihi unapatikana, ambayo ina maana kwamba uhakika unakidhi equation inayosababisha.

Hitimisho: Mlinganyo ulipatikana kwa usahihi.

Mfano mgumu zaidi wa kutatua peke yako:

Mfano 2

Andika equation kwa mstari wa moja kwa moja ikiwa inajulikana kuwa angle yake ya mwelekeo kwa mwelekeo mzuri wa mhimili ni , na uhakika ni wa mstari huu wa moja kwa moja.

Ikiwa una shida yoyote, soma tena nyenzo za kinadharia. Kwa usahihi zaidi, kwa vitendo zaidi, ninaruka ushahidi mwingi.

Kengele ya mwisho ililia, sherehe ya kuhitimu imekamilika, na nje ya lango la shule yetu ya asili, jiometri ya uchambuzi yenyewe inatungojea. Vichekesho vimeisha... Au labda ndio wanaanza =)

Tunatikisa kalamu yetu kwa watu wanaojulikana na kufahamiana na mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka. Kwa sababu katika jiometri ya uchanganuzi hii ndio hasa inatumika:

Equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja ina fomu:, nambari zingine ziko wapi. Wakati huo huo, coefficients kwa wakati mmoja si sawa na sifuri, kwani equation inapoteza maana yake.

Hebu tuvae suti na tufunge equation na mgawo wa mteremko. Kwanza, hebu tuhamishe masharti yote kwa upande wa kushoto:

Neno lenye "X" lazima liwekwe mahali pa kwanza:

Kimsingi, equation tayari ina fomu , lakini kwa mujibu wa sheria za etiquette ya hisabati, mgawo wa muda wa kwanza (katika kesi hii) lazima iwe chanya. Kubadilisha ishara:

Kumbuka kipengele hiki cha kiufundi! Tunafanya mgawo wa kwanza (mara nyingi) kuwa mzuri!

Katika jiometri ya uchambuzi, equation ya mstari wa moja kwa moja karibu kila mara itatolewa kwa fomu ya jumla. Naam, ikiwa ni lazima, inaweza kupunguzwa kwa urahisi kwa fomu ya "shule" na mgawo wa angular (isipokuwa mistari ya moja kwa moja inayofanana na mhimili wa kuratibu).

Hebu tujiulize nini kutosha unajua kutengeneza mstari ulionyooka? Pointi mbili. Lakini zaidi kuhusu tukio hili la utoto, sasa vijiti na utawala wa mishale. Kila mstari wa moja kwa moja una mteremko maalum sana, ambayo ni rahisi "kukabiliana" nayo. vekta.

Vekta ambayo ni sambamba na mstari inaitwa vekta ya mwelekeo wa mstari huo. Ni dhahiri kwamba mstari wowote wa moja kwa moja una idadi isiyo na kikomo ya vekta za mwelekeo, na zote zitakuwa za colinear (co-directional au la - haijalishi).

Nitaashiria vekta ya mwelekeo kama ifuatavyo: .

Lakini vekta moja haitoshi kuunda mstari wa moja kwa moja; vekta ni bure na haijafungwa kwa hatua yoyote kwenye ndege. Kwa hivyo, inahitajika pia kujua hatua fulani ambayo ni ya mstari.

Jinsi ya kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na vector ya mwelekeo?

Ikiwa hatua fulani ya mstari na vekta ya mwelekeo wa mstari huu inajulikana, basi equation ya mstari huu inaweza kukusanywa kwa kutumia formula:

Wakati mwingine inaitwa mlinganyo wa kisheria wa mstari .

Nini cha kufanya wakati moja ya kuratibu ni sawa na sifuri, tutaelewa katika mifano ya vitendo hapa chini. Kwa njia, tafadhali kumbuka - zote mbili mara moja kuratibu haziwezi kuwa sawa na sifuri, kwani vekta ya sifuri haielezei mwelekeo maalum.

Mfano 3

Andika equation kwa mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na vekta ya mwelekeo

Suluhisho: Wacha tutunge mlingano wa mstari ulionyooka kwa kutumia fomula. Kwa kesi hii:

Kutumia mali ya uwiano tunaondoa sehemu:

Na tunaleta equation kwa fomu yake ya jumla:

Jibu:

Kama sheria, hakuna haja ya kufanya mchoro katika mifano kama hii, lakini kwa ajili ya kuelewa:

Katika kuchora tunaona hatua ya mwanzo, vector ya mwelekeo wa awali (inaweza kupangwa kutoka kwa hatua yoyote kwenye ndege) na mstari wa moja kwa moja uliojengwa. Kwa njia, katika hali nyingi ni rahisi zaidi kujenga mstari wa moja kwa moja kwa kutumia equation na mgawo wa angular. Ni rahisi kubadilisha mlingano wetu kuwa umbo na kwa urahisi kuchagua sehemu nyingine ili kuunda mstari ulionyooka.

Kama ilivyoonyeshwa mwanzoni mwa aya, mstari wa moja kwa moja una vekta nyingi za mwelekeo, na zote ni za collinear. Kwa mfano, nilichora vekta tatu kama hizi: . Vyeta yoyote ya mwelekeo tunayochagua, matokeo yatakuwa sawa kila wakati equation ya mstari wa moja kwa moja.

Wacha tuunda equation ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Kutatua uwiano:

Gawa pande zote mbili kwa -2 na upate mlinganyo unaofahamika:

Wale wanaopendezwa wanaweza kujaribu vekta kwa njia ile ile au vekta nyingine yoyote ya collinear.

Sasa hebu tutatue tatizo la kinyume:

Jinsi ya kupata vekta ya mwelekeo kwa kutumia equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja?

Rahisi sana:

Ikiwa mstari unatolewa na equation ya jumla katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, basi vector ni vector ya mwelekeo wa mstari huu.

Mifano ya kupata vekta za mwelekeo wa mistari iliyonyooka:

Taarifa hiyo inaturuhusu kupata vekta moja tu ya mwelekeo kutoka kwa nambari isiyo na kikomo, lakini hatuitaji zaidi. Ingawa katika hali zingine inashauriwa kupunguza kuratibu za veta za mwelekeo:

Kwa hivyo, equation inabainisha mstari wa moja kwa moja unaofanana na mhimili na viwianishi vya vekta ya mwelekeo hugawanywa kwa urahisi na -2, kupata hasa vekta ya msingi kama vekta ya mwelekeo. Mantiki.

Vile vile, equation inabainisha mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili, na kwa kugawanya kuratibu za vector na 5, tunapata vector ya kitengo kama vector ya mwelekeo.

Sasa tuifanye kuangalia Mfano 3. Mfano ulikwenda juu, kwa hivyo nakukumbusha kwamba ndani yake tulikusanya usawa wa mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo.

Kwanza, kwa kutumia equation ya mstari wa moja kwa moja tunaunda tena vekta ya mwelekeo wake: - kila kitu kiko sawa, tumepokea vekta ya asili (katika hali zingine matokeo yanaweza kuwa vekta ya collinear kwa ile ya asili, na hii kawaida ni rahisi kugundua kwa usawa wa kuratibu zinazolingana).

Pili, viwianishi vya uhakika lazima vikidhi mlingano. Tunawabadilisha katika equation:

Usawa sahihi ulipatikana, ambao tunafurahi sana.

Hitimisho: Kazi ilikamilishwa kwa usahihi.

Mfano 4

Andika equation kwa mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na vekta ya mwelekeo

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhu na jibu ni mwisho wa somo. Inashauriwa sana kuangalia kwa kutumia algorithm iliyojadiliwa hivi punde. Jaribu kila wakati (ikiwezekana) kuangalia rasimu. Ni ujinga kufanya makosa ambapo yanaweza kuepukwa 100%.

Katika tukio ambalo moja ya kuratibu za vekta ya mwelekeo ni sifuri, endelea kwa urahisi sana:

Mfano 5

Suluhisho: Fomula hiyo haifai kwa kuwa dhehebu iliyo upande wa kulia ni sifuri. Kuna njia ya kutoka! Kutumia mali ya uwiano, tunaandika tena fomula katika fomu, na iliyobaki ikavingirwa kwa kina kirefu:

Jibu:

Uchunguzi:

1) Rejesha vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja:
- vekta inayosababisha ni collinear kwa vekta ya mwelekeo wa asili.

2) Badilisha viwianishi vya nukta kwenye mlinganyo:

Usawa sahihi unapatikana

Hitimisho: kazi imekamilika kwa usahihi

Swali linatokea, kwa nini ujisumbue na formula ikiwa kuna toleo la ulimwengu ambalo litafanya kazi kwa hali yoyote? Kuna sababu mbili. Kwanza, fomula iko katika mfumo wa sehemu bora zaidi ikumbukwe. Na pili, ubaya wa formula ya ulimwengu wote ni hiyo hatari ya kuchanganyikiwa huongezeka sana wakati wa kubadilisha kuratibu.

Mfano 6

Andika equation kwa mstari wa moja kwa moja kwa kutumia uhakika na vekta ya mwelekeo.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako.

Wacha turudi kwenye nukta mbili zinazopatikana kila mahali:

Jinsi ya kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia pointi mbili?

Ikiwa pointi mbili zinajulikana, basi equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia pointi hizi inaweza kukusanywa kwa kutumia formula:

Kwa kweli, hii ni aina ya formula na hii ndiyo sababu: ikiwa pointi mbili zinajulikana, basi vector itakuwa vector ya mwelekeo wa mstari uliopewa. Kwenye somo Vectors kwa dummies tulizingatia shida rahisi - jinsi ya kupata kuratibu za vekta kutoka kwa alama mbili. Kulingana na shida hii, kuratibu za vekta ya mwelekeo ni:

Kumbuka : pointi zinaweza "kubadilishwa" na fomula inaweza kutumika . Suluhisho kama hilo litakuwa sawa.

Mfano 7

Andika mlinganyo wa mstari ulionyooka kwa kutumia pointi mbili .

Suluhisho: Tunatumia formula:

Kuchanganya madhehebu:

Na uchanganye staha:

Sasa ni wakati wa kuondoa nambari za sehemu. Katika kesi hii, unahitaji kuzidisha pande zote mbili na 6:

Fungua mabano na ukumbushe equation:

Jibu:

Uchunguzi ni dhahiri - viwianishi vya alama za mwanzo lazima vikidhi hesabu inayotokana:

1) Badilisha viwianishi vya nukta:

Usawa wa kweli.

2) Badilisha viwianishi vya nukta:

Usawa wa kweli.

Hitimisho: Equation ya mstari imeandikwa kwa usahihi.

Kama hata moja ya pointi haikidhi equation, tafuta kosa.

Inafaa kumbuka kuwa uthibitisho wa picha katika kesi hii ni ngumu, kwani tengeneza mstari ulionyooka na uone ikiwa vidokezo ni vyake. , sio rahisi sana.

Nitazingatia vipengele kadhaa vya kiufundi vya suluhisho. Labda katika shida hii ni faida zaidi kutumia formula ya kioo na, kwa pointi sawa tengeneza mlinganyo:

Sehemu ndogo. Ikiwa unataka, unaweza kutekeleza suluhisho hadi mwisho, matokeo yanapaswa kuwa equation sawa.

Jambo la pili ni kuangalia jibu la mwisho na kujua kama linaweza kurahisishwa zaidi? Kwa mfano, ikiwa unapata equation , basi inashauriwa kupunguza kwa mbili: - equation itafafanua mstari sawa sawa. Walakini, hii tayari ni mada ya mazungumzo nafasi ya jamaa ya mistari.

Baada ya kupata jibu katika Mfano wa 7, ikiwa tu, niliangalia ikiwa coefficients ZOTE za equation zinaweza kugawanywa na 2, 3 au 7. Ingawa, mara nyingi upunguzaji kama huo hufanywa wakati wa suluhisho.

Mfano 8

Andika equation kwa mstari unaopita kwenye pointi .

Huu ni mfano kwa ufumbuzi wa kujitegemea, ambayo itawawezesha kuelewa vizuri na kufanya mazoezi ya mbinu za hesabu.

Sawa na aya iliyotangulia: ikiwa katika fomula moja ya madhehebu (uratibu wa vector ya mwelekeo) inakuwa sifuri, kisha tunaandika tena kwa fomu. Tena, ona jinsi anavyoonekana kuwa msumbufu na aliyechanganyikiwa. Sioni maana kubwa katika kutoa mifano ya vitendo, kwa kuwa tayari tumetatua tatizo hili (tazama No. 5, 6).

Vekta ya moja kwa moja ya kawaida (vekta ya kawaida)

Ni nini kawaida? Kwa maneno rahisi, kawaida ni perpendicular. Hiyo ni, vector ya kawaida ya mstari ni perpendicular kwa mstari fulani. Kwa wazi, mstari wowote wa moja kwa moja una idadi yao isiyo na kipimo (pamoja na vekta za mwelekeo), na vectors zote za kawaida za mstari wa moja kwa moja zitakuwa collinear (codirectional au la, haifanyi tofauti).

Kushughulika nao itakuwa rahisi zaidi kuliko na vekta za mwongozo:

Ikiwa mstari unatolewa na equation ya jumla katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, basi vector ni vector ya kawaida ya mstari huu.

Ikiwa kuratibu za vector ya mwelekeo zinapaswa "kutolewa" kwa uangalifu kutoka kwa equation, basi kuratibu za vector ya kawaida zinaweza "kuondolewa" tu.

Vector ya kawaida daima ni orthogonal kwa vector ya mwelekeo wa mstari. Wacha tuhakikishe usawa wa vekta hizi kwa kutumia bidhaa ya nukta:

Nitatoa mifano na hesabu sawa na kwa vekta ya mwelekeo:

Inawezekana kuunda equation ya mstari wa moja kwa moja uliopewa nukta moja na vekta ya kawaida? Ninahisi kwenye utumbo wangu, inawezekana. Ikiwa vekta ya kawaida inajulikana, basi mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja yenyewe umefafanuliwa wazi - hii ni "muundo mgumu" na angle ya digrii 90.

Jinsi ya kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja uliopewa uhakika na vector ya kawaida?

Ikiwa hatua fulani ya mstari na vector ya kawaida ya mstari huu inajulikana, basi equation ya mstari huu inaonyeshwa na formula:

Hapa kila kitu kilifanya kazi bila sehemu na mshangao mwingine. Hii ni vector yetu ya kawaida. Mpende. Na heshima =)

Mfano 9

Andika equation ya mstari wa moja kwa moja uliopewa uhakika na vector ya kawaida. Pata vector ya mwelekeo wa mstari.

Suluhisho: Tunatumia formula:

Equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja imepatikana, wacha tuangalie:

1) "Ondoa" kuratibu za vekta ya kawaida kutoka kwa equation: - ndiyo, kwa kweli, vector ya awali ilipatikana kutoka kwa hali (au vector ya collinear inapaswa kupatikana).

2) Wacha tuangalie ikiwa hoja hiyo inakidhi equation:

Usawa wa kweli.

Baada ya kuwa na hakika kwamba equation imeundwa kwa usahihi, tutakamilisha sehemu ya pili, rahisi zaidi ya kazi. Tunachukua vector inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja:

Jibu:

Katika mchoro, hali inaonekana kama hii:

Kwa madhumuni ya mafunzo, kazi sawa ya kutatua kwa kujitegemea:

Mfano 10

Andika equation ya mstari wa moja kwa moja uliopewa uhakika na vector ya kawaida. Pata vector ya mwelekeo wa mstari.

Sehemu ya mwisho ya somo itatolewa kwa aina zisizo za kawaida, lakini pia aina muhimu za hesabu za mstari kwenye ndege.

Equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi.
Equation ya mstari katika fomu ya parametric

Equation ya mstari wa moja kwa moja katika makundi ina fomu, ambapo ni nonzero constants. Aina fulani za equations haziwezi kuwakilishwa katika fomu hii, kwa mfano, uwiano wa moja kwa moja (kwani neno la bure ni sawa na sifuri na hakuna njia ya kupata moja upande wa kulia).

Hii ni, kwa kusema kwa mfano, aina ya "kiufundi" ya equation. Kazi ya kawaida ni kuwakilisha mlinganyo wa jumla wa mstari kama mlinganyo wa mstari katika sehemu. Je, ni rahisi vipi? Equation ya mstari katika makundi inakuwezesha kupata haraka pointi za makutano ya mstari na axes za kuratibu, ambayo inaweza kuwa muhimu sana katika matatizo fulani ya hisabati ya juu.

Wacha tupate hatua ya makutano ya mstari na mhimili. Tunaweka upya "y" hadi sifuri, na equation inachukua fomu. Hatua inayotakiwa inapatikana moja kwa moja:.

Sawa na mhimili - mahali ambapo mstari wa moja kwa moja unaingiliana na mhimili wa kuratibu.