Nadharia na uthibitisho. Ni nini nadharia na uthibitisho wa nadharia? Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean

Kulingana na njia ya kuunganisha hoja kutoka kwa hali hadi hitimisho, ushahidi umegawanywa katika moja kwa moja Na isiyo ya moja kwa moja.

Ushahidi wa moja kwa moja kulingana na kanuni fulani isiyo na shaka ambayo ukweli wa nadharia huthibitishwa moja kwa moja.

Mbinu ushahidi wa moja kwa moja:

- syntetisk,

- uchambuzi,

- njia induction ya hisabati.

Mbinu ya syntetisk: wakati wa kuunda mlolongo wa sylogisms, mawazo huhamia kutoka kwa hali ya nadharia hadi hitimisho lake.

Vitabu vya kiada hutoa uthibitisho wa maandishi. Faida zao ni ukamilifu, ufupi, ufupi. Hasara - ukosefu wa motisha kwa hatua, kuhesabiwa haki kwa ujenzi wa ziada; wao ni rasmi zaidi kuliko ushahidi wa uchambuzi.

Mfano

Nadharia. Ikiwa chodi mbili za mduara zinaingiliana, basi bidhaa ya sehemu za chord moja ni sawa na bidhaa ya sehemu za chord nyingine.

Imetolewa: AB na CD ni chords za duara, E ni sehemu yao ya makutano.

Thibitisha: AE×BE = CE×DE. (1)

Uthibitisho (sanisi)

Fikiria pembetatu ADE na CBE. Katika pembetatu hizi, pembe 1 na 2 ni sawa, kwa kuwa zimeandikwa na kupumzika kwenye arc VMD sawa, na pembe 3 na 4 ni sawa na wima. Kulingana na ishara ya kwanza ya kufanana kwa pembetatu DADE ~ DCBE. Inafuata kwamba , au AE×BE = CE×DE. Nadharia imethibitishwa.

Mbinu ya uchambuzi : Wakati wa kutafuta uthibitisho, mawazo hutoka kwenye hitimisho la nadharia hadi hali yake. Faida za njia hii ni kwamba kuna mahali pa kuanzia kwa uthibitisho, ujenzi wa ziada unahamasishwa, na shughuli za ubunifu za wanafunzi huongezeka. Hasara: hasara kubwa za muda, ujenzi wa ziada wa bandia ni vigumu kuhalalisha.

Mfano. Nadharia juu ya chords za duara.

Uthibitisho (uchambuzi)

Ili kuthibitisha usawa (1), inatosha kuonyesha kwamba (2).

Ili kupata uwiano (2), inatosha kuthibitisha kufanana kwa pembetatu ambazo pande zake ni wanachama wa uwiano huu. Ili kupata pembetatu kama hizo, tunaunganisha alama C na B, A na D.

Ili kuhalalisha usahihi wa uwiano (2), inatosha kuthibitisha kwamba DADE ~ DCBE. Pembetatu hizi zinafanana kulingana na kigezo cha kwanza cha kufanana kwa pembetatu: Ð1 = Ð2 kama pembe zilizoandikwa kulingana na arc sawa ya VMD, na Ð3 = Ð4 kama zile za wima. Kwa hiyo, theorem ni kweli.

Uthibitisho wowote wa uchanganuzi unaweza kubadilishwa kuwa wa syntetisk na kinyume chake. Inatumika sana katika mchakato wa elimu. Teknolojia inaweza kuwa:

1) uthibitisho wa synthetic unatanguliwa na utafutaji wa uchambuzi wa mpango wake;

2) uthibitisho wa synthetic hubadilishwa na moja ya uchambuzi, kama kazi ya nyumbani- kusoma uthibitisho wa maandishi kutoka kwa kitabu cha kiada;

3) wakati wa kutumia njia ya mihadhara (haswa nje ya kozi ya shule ya msingi), njia ya uthibitisho ya sintetiki hutumiwa mara nyingi.

Njia ya induction ya hisabati haijaenea katika jiometri, kwa kuwa inategemea mali ya kuweka nambari za asili, huenda zaidi ya upeo wa shule ya msingi, kwa hivyo hatutaiweka kwa masomo maalum.

Ushahidi usio wa moja kwa moja: Ukweli wa nadharia huthibitika kwa kukanusha baadhi ya mapendekezo yaliyomo katika nadharia hiyo.

Njia ya kawaida na inayotumika tu ya uthibitisho usio wa moja kwa moja katika kozi ya planimetry ni ushahidi kwa kupingana.

Kiini cha mantiki-hisabati ya njia ni kwa kupingana: badala ya mstari wa moja kwa moja (p Þ q), theorem inverse () inathibitishwa na theorem kinyume.

Kwa hivyo, uthibitisho wa kupingana hujengwa kulingana na mpango ufuatao:

1) acha q iwe ya uwongo, yaani, kweli;

2) tunathibitisha kuwa p ni ya uwongo, ambayo ni kweli;

3) alihakikisha kuwa kutoka;

4) kwa hiyo, p Þ q (kutokana na usawa wa athari p Þ q na ), ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kozi ya msingi ya jiometri ya shule hutumia sana uthibitisho kwa kupingana, kuanzia kihalisi kutoka kwa masomo ya kwanza katika darasa la saba. Katika kesi hii, ni muhimu kutumia mbinu ya algorithmic.

Algorithm kwa uthibitisho kwa kupingana.

1. Tunafikiri kwamba hitimisho la theorem ni uongo. Kisha kauli inayopingana itakuwa kweli.

2. Tunatambua kesi zinazowezekana.

3. Tunahakikisha kwamba katika kila kisa tunafikia matokeo ambayo yanakinzana:

- hali ya nadharia;

- ukweli wa hisabati ulioanzishwa hapo awali.

4. Kuwepo kwa ukinzani humlazimisha mtu kuachana na hitimisho linalokubalika.

5. Tunakubali uhalali wa hitimisho la nadharia inayothibitishwa.

Tumeelezea kuu mbinu za kimantiki uthibitisho wa nadharia: moja kwa moja na isiyo ya moja kwa moja, ambayo kwa upande inaweza kuwa ya uchambuzi na ya syntetisk, uthibitisho kwa kupingana.

Tunaweza kuzungumza juu ya kuu mbinu za hisabati uthibitisho wa nadharia. Katika jiometri hizi ni pamoja na zifuatazo mbinu za msingi:

1) njia mabadiliko ya kijiometri : ufanisi, thabiti dhana ya kisasa kufundisha jiometri shuleni, lakini inahitaji mawazo ya kufikirika na anga; mbinu ya matumizi yake shuleni haijatengenezwa vya kutosha;

2) njia ya usawa na kufanana kwa pembetatu - inalingana na dhana ya classical ya kufundisha jiometri shuleni, imejulikana tangu wakati wa Euclid, kwa hiyo mbinu yake imeendelezwa vizuri; ujuzi katika matumizi yake huundwa hatua kwa hatua, katika mchakato wa kutatua matatizo na kuthibitisha nadharia.

Mbali na msingi maalum mbinu za hisabati uthibitisho wa nadharia za planimetry, tunaweza kuzungumza juu ya njia maalum zaidi: njia ya ulinganifu, njia ya mzunguko, njia ya vector, njia ya algebra, mbinu ya kufanana, njia ya kuratibu na nk.

Mbinu za uthibitisho zinazotumiwa katika kozi ya msingi ya jiometri ya shule zinaweza kufupishwa katika mfumo wa Mpango wa I.

Sio ngumu sana kujua yaliyomo katika nadharia (sheria, fomula, vitambulisho, n.k.) ambazo husomwa shuleni. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kujaribu kwa utaratibu kuelewa maana ya theorem (sheria, fomula, vitambulisho, nk, kuzitumia mara nyingi iwezekanavyo wakati wa kutatua matatizo, wakati wa kuthibitisha nadharia nyingine. Kazi kama hiyo, kama inavyoonyesha mazoezi, inaongoza. kuiga yaliyomo bila hiari, kukariri uundaji wao. Ni ngumu zaidi kujifunza jinsi ya kudhibitisha nadharia. Katika kesi hii, hatuzungumzii juu ya kukariri uthibitisho wa nadharia fulani ambayo ilijadiliwa darasani. Hakuna haja ili kukariri uthibitisho haswa, unahitaji kujifunza jinsi ya kudhibitisha nadharia mwenyewe.Uthibitisho wa nadharia katika kitabu cha kiada unapaswa kuzingatiwa kama kielelezo (kiwango) cha hoja wakati wa kudhibitisha taarifa.

Inamaanisha nini kudhibitisha nadharia, ni uthibitisho gani?

Ushahidi katika kwa maana pana- hii ni hoja ya kimantiki, wakati ambapo ukweli wa mawazo ni haki kwa msaada wa masharti mengine.

Kwa hivyo, unapomshawishi rafiki yako juu ya jambo fulani au kutetea maoni yako, maoni yako katika mzozo naye, basi kimsingi unaleta uthibitisho (kwa ustadi au bila ustadi - hilo ni swali lingine). Katika maisha, wakati wote, kila siku katika mawasiliano na watu wengine, unapaswa kuthibitisha mawazo fulani, taarifa, unapaswa kushawishi kitu, yaani kuthibitisha.

Ushahidi nadharia za hisabati Kuna kesi maalum ushahidi kwa ujumla. Inatofautiana na uthibitisho katika hali za kila siku au katika sayansi nyingine kwa kuwa inafanywa kwa usafi iwezekanavyo. kwa kupunguza(kutoka neno la Kilatini kupunguzwa - inference), i.e., kupatikana kwa wazo mpya linaloweza kuthibitishwa (kauli, hukumu) kutoka kwa kuthibitishwa hapo awali au kukubaliwa bila mawazo ya uthibitisho (axioms) kulingana na sheria za mantiki bila kumbukumbu yoyote ya mifano au uzoefu. Katika sayansi zingine, katika hali za kila siku, mara nyingi sisi hutumia mifano na uzoefu kwa uthibitisho. Tunasema, "Angalia," na hii inaweza kutumika kama uthibitisho. Katika hisabati, njia hii ya uthibitisho haikubaliki; kurejelea, kwa mfano, kwa uhusiano dhahiri unaoonyeshwa na mchoro hairuhusiwi. Ushahidi wa hisabati inapaswa kuwa mlolongo wa matokeo ya kimantiki kutoka kwa mihimili ya awali, ufafanuzi, masharti ya nadharia na nadharia zilizothibitishwa hapo awali hadi hitimisho linalohitajika.

Kwa hiyo, wakati wa kuthibitisha nadharia, tunaipunguza kwa nadharia zilizothibitishwa hapo awali, na hizi, kwa upande mwingine, kwa wengine, nk. Kwa wazi, mchakato huu wa kupunguza lazima uwe wa mwisho, na kwa hiyo uthibitisho wowote hatimaye hupunguza theorem kuthibitishwa kwa ufafanuzi wa awali na. axioms kukubaliwa bila uthibitisho.

Kwa hivyo, axioms hutumikia sio tu kwa ufafanuzi usio wa moja kwa moja dhana za msingi, lakini pia kama msingi wa uthibitisho wa nadharia zote za hisabati. Ndiyo maana kati ya axioms pia kuna wale wanaoonyesha mali maalum dhana ambazo zina ufafanuzi wa kimantiki. Kwa hivyo, kwa mfano, mistari inayofanana katika kozi ya jiometri sio dhana ya msingi, lakini iliyofafanuliwa. Walakini, moja ya mali ya mistari inayofanana, ambayo ni kwamba kupitia hatua ambayo haijalala kwenye mstari fulani, inawezekana kuteka kwenye ndege si zaidi ya mstari mmoja wa moja kwa moja sambamba na uliopewa, tunalazimishwa kuchukua kama axiom. , kwa sababu, kama ilianzishwa na geometer kubwa ya Kirusi N.I. Lobachevsky (1792-1856), pamoja na Mwanahisabati wa Ujerumani K. F. Gauss (1777-1855) na mwanahisabati wa Hungarian J. Bolyai (1802-1860), haiwezekani kuthibitisha mali hii ya mistari inayofanana kulingana na axioms iliyobaki ya jiometri.

Kila hatua ya uthibitisho ina sehemu tatu:

1) pendekezo (axiom, theorem, ufafanuzi) kwa misingi ambayo hatua hii ya uthibitisho inafanywa; msingi huu wa hatua ya uthibitisho unaitwa msingi au hoja;

2) hoja ya kimantiki, wakati ambapo Nguzo inatumika kwa masharti ya nadharia au matokeo yaliyopatikana hapo awali;

3) matokeo ya kimantiki ya kutumia Nguzo kwa masharti au matokeo yaliyopatikana hapo awali.

Katika hatua ya mwisho ya uthibitisho wa nadharia, kama muhtasari tunapata taarifa iliyohitaji kuthibitishwa. Wacha tuonyeshe mchakato wa uthibitisho kwa kutumia nadharia ifuatayo kama mfano: "Milalo ya mstatili ni sawa."

Katika nadharia hii, tumepewa mstatili wa kiholela (wowote). Ili kurahisisha hoja wakati wa mchakato wa uthibitishaji, tunafanya. kwa njia ifuatayo. Wacha tuchore mstatili uliofafanuliwa vizuri wa ABCD, lakini katika uthibitisho hatutatumia sifa zozote za mstatili huu (kwa mfano, kwamba upande wake AB ni takriban mara 2. pande zaidi AD, nk). Kwa hivyo, hoja zetu kuhusu mstatili huu maalum zitakuwa halali kwa mstatili mwingine wowote, yaani watakuwa na tabia ya jumla kwa mistatili yote.

Wacha tuchore diagonal AC na BD. Wacha tuzingatie zilizopokelewa pembetatu ABC na ABD. Pembetatu hizi pembe za ABC na BAD ni sawa na mistari iliyonyooka, mguu AB ni wa kawaida, na miguu BC na AD ni sawa na pande tofauti za mstatili. Kwa hiyo, pembetatu hizi ni sanjari. Inafuata kwamba pande za AC na BD pia ni sawa, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Uthibitisho mzima wa nadharia hii unaweza kuonyeshwa kwenye mchoro ufuatao.

Hatua Na.	Majengo (hoja)	Masharti	Matokeo
1.	Ufafanuzi: mstatili ni pembe nne yenye pembe zote za kulia	ABCD - mstatili	A - moja kwa moja B> - moja kwa moja.
2.	Nadharia: Pembe za kulia ni sawa.	A - moja kwa moja B - moja kwa moja.	A = B.
3.	Nadharia: Pande zinazopingana za mstatili ni sawa.	ABCD - mstatili	BC=AD
4.	Ishara ya kwanza ya usawa wa pembetatu mbili.	BC=AD, AB=AB, B=A	ABC=BAD.
5.	Kuamua usawa wa pembetatu.	ABC = MBAYA AC na BD ni vyama husika	AC=BD.

Jambo gumu zaidi katika uthibitisho ni kupata mlolongo wa majengo (axioms, theorems, ufafanuzi), ukitumia ambayo kwa hali ya nadharia au matokeo ya kati (matokeo) unaweza kupata matokeo unayotaka - msimamo unathibitishwa.

Ni sheria gani unapaswa kufuata unapotafuta mlolongo huu? Ni wazi, sheria hizi haziwezi kuwa za lazima; zinaonyesha tu njia zinazowezekana tafuta. Kwa hivyo, zinaitwa sheria za heuristic au heuristics tu (kutoka neno la Kigiriki eureka - napata, nimepata). Nyingi wanahisabati bora, kama vile Papp (mwanahisabati wa kale wa Kigiriki aliyeishi katika karne ya 3), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Derge Poya (1887) na wengine wengi, alisoma maendeleo ya heuristics kwa kutafuta uthibitisho wa nadharia na kutatua shida. Hapa kuna baadhi ya heuristics ambayo ni muhimu kukumbuka:

1. Ni muhimu kuchukua nafasi ya majina ya vitu kuhusu ambayo tunazungumzia katika nadharia (tatizo), ufafanuzi au sifa zao.

Kwa mfano, nadharia iliyojadiliwa hapo juu ilikuwa kuhusu mstatili, na tulitumia ufafanuzi wa mstatili ili kuthibitisha.

2. Ikiwezekana, basi nafasi ya kuthibitishwa inapaswa kugawanywa katika sehemu na kila sehemu inapaswa kuthibitishwa tofauti.

Kwa hivyo, kwa mfano, uthibitisho wa nadharia: "Ikiwa katika pembe nne diagonals huingiliana na kugawanywa kwa nusu na hatua ya makutano, basi quadrilateral hii ni parallelogram" inaweza kugawanywa katika sehemu mbili: kwanza kuthibitisha kwamba jozi moja. pande tofauti inayopewa pande nne ni sambamba, na kisha kuthibitisha kwamba jozi ya pili ya pande kinyume pia ni sambamba.

Hii inapaswa kufanywa kila wakati inapowezekana kuvunja taarifa inayothibitishwa katika sehemu kadhaa za taarifa rahisi.

3. Katika kutafuta uthibitisho wa nadharia, ni muhimu kwenda kutoka pande mbili: kutoka kwa hali ya nadharia hadi hitimisho na kutoka kwa hitimisho hadi masharti.

Kwa mfano, unahitaji kuthibitisha nadharia ifuatayo: "Ikiwa mlolongo fulani ni kwamba yeyote wa wanachama wake, kuanzia wa pili, ni maana ya hesabu ya wanachama waliotangulia na wanaofuata, basi mlolongo huu ni. maendeleo ya hesabu».

Wacha tuanze kutoka kwa hali ya nadharia. Tumepewa nini? Imepewa kwamba kila mshiriki wa mlolongo, kuanzia ya pili (tunaashiria n, ambapo n ³ 2), ni maana ya hesabu ya istilahi zilizotangulia na zinazofuata, i.e.

a n- 1 na n+1. Kwa hivyo usawa ufuatao ni kweli:
(1)

Sasa hebu tuendelee kutoka kwa hitimisho. Tunahitaji kuthibitisha nini? Tunahitaji kuthibitisha kwamba mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu. Ni mlolongo gani unaoitwa maendeleo ya hesabu? Wacha tukumbuke ufafanuzi:

n = n-1 + d, Wapi n 2, d — nambari ya kudumu. (2)

Tunalinganisha sharti (1) tulilopewa na hitimisho (2). Ili hali ichukue fomu ya hitimisho, lazima ibadilishwe kama ifuatavyo:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Kutoka hapa a n - n-1 = a n+1 - a n. (4)

Upande wa kushoto na kulia wa (4) unamaanisha kitu kimoja, yaani tofauti kati ya istilahi mbili zinazofuatana kupewa mlolongo. Ikiwa katika usawa (4) P toa maadili mfuatano 2, 3, nk, tunapata: a 2 -a 1 = a 3 -a 2, basi a 3 - a 2 = a 4 - a 3 nk Kwa hiyo, tofauti hizi zote ni sawa kwa kila mmoja, ambayo ina maana kwamba tofauti a p - a uk-1 ni nambari isiyobadilika ambayo inaweza kuonyeshwa kwa herufi, kwa mfano herufi d:

a n - a n-1 = d.

Kutoka hapa tunapata: a n = a n-1 + d, ambayo ina maana kwamba kulingana na ufafanuzi (2) kupewa mlolongo kuna maendeleo ya hesabu, ambayo ndiyo tulipaswa kuthibitisha.

Heuristic hii inaweza kutengenezwa kwa njia hii: lazima tujaribu kuleta hali na hitimisho la nadharia karibu zaidi, kuzibadilisha au kuzibadilisha na matokeo.

Pia kuna idadi ya sheria maalum zaidi za heuristic ambazo hutumiwa wakati wa kutafuta tu nadharia fulani. Kwa mfano, heuristic hii: ili kuthibitisha usawa wa makundi yoyote, ni muhimu kupata au kujenga takwimu ambazo pande zinazofanana ni sehemu hizi; ikiwa takwimu zinageuka kuwa sawa, basi sehemu zinazofanana zitakuwa sawa.

Wakati wa kusoma nadharia, hauitaji kukariri tu uthibitisho wao, lakini kila wakati fikiria na uthibitishe kwa njia gani zimethibitishwa, ni sheria gani za kiheuristic zilitumika kupata uthibitisho huu, jinsi ulivyokisia (ulikuja na) uthibitisho huu.

Katika idadi ya matukio, kuthibitisha nadharia hutumiwa karibu maalum, inayoitwa "ushahidi kwa kupingana" au "kupunguza kwa upuuzi".

Kiini cha mbinu hii ni kwamba wanachukulia dhulma (uongo) wa hitimisho la nadharia fulani na kuthibitisha kwamba dhana kama hiyo inaongoza kwa kupingana na hali au kwa nadharia zilizothibitishwa hapo awali au axioms. Na kwa kuwa taarifa yoyote inaweza kuwa ya kweli au ya uwongo (hakuna kitu kingine chochote kinachoweza kuwa), mkanganyiko unaotokea unaonyesha kwamba dhana kwamba hitimisho la nadharia ni ya uwongo na, kwa hivyo, hitimisho ni kweli, na hivyo kudhibitisha nadharia hiyo.

Hebu tutoe mfano.

Nadharia. Mistari miwili, tofauti sambamba na ya tatu, ni sambamba kwa kila mmoja.

Imetolewa: a||c, b||c.
Thibitisha: a||b.

Hebu tuthibitishe nadharia hii kwa kupingana. Hebu tuchukulie kwamba hitimisho la nadharia si sahihi, yaani, mstari a hauwiani na mstari b. Kisha wanaingiliana kwa hatua fulani M. Na kwa kuwa, kwa hali, kila moja ya mistari hii inafanana na mstari c, inageuka kuwa mistari miwili a na b hutolewa kupitia hatua M, sambamba na mstari huo c. Na tunajua kutokana na dhana ya usambamba kwamba kupitia nukta nje ya mstari hatuwezi kuchora zaidi ya mstari mmoja sambamba na uliyopewa. Tulikuja kupingana na axiom. Hii inaonyesha kwamba dhana yetu kwamba mistari a na b haiwiani si sahihi, kwa hivyo, a||b, ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Mfano mwingine.

Nadharia. Maana ya hesabu ya mbili nambari chanya si chini (maana: kubwa kuliko au sawa na) maana ya kijiometri ya nambari hizi.

Nadharia hii inaweza kuandikwa kama hii:

Ambapo a>0, b>0, (1)

Inaweza kuthibitishwa ama moja kwa moja au kwa kupingana. Hebu tuthibitishe kwa kupingana.

Ili kufanya hivyo, hebu tufikirie kuwa sio sahihi, yaani, maana ya hesabu ni chini ya maana ya kijiometri ya namba mbili nzuri:; (2)

Zidisha pande zote mbili za (2) kwa 2 na mraba, tunapata: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.

Matokeo yake yalikuwa upuuzi dhahiri: mraba wa nambari fulani (a - b) ni hasi, ambayo haiwezi kuwa. Kwa hivyo, dhana kwamba nadharia hiyo ni ya uwongo ilisababisha mkanganyiko, ambayo inathibitisha uhalali wa nadharia hiyo.

Kwa hivyo, uthibitisho kwa kupingana kwa nadharia fulani ni ukweli kwamba tunafanya dhana kwamba hitimisho la nadharia sio sahihi. Kisha tunafanya mfululizo wa hitimisho la kimantiki kulingana na dhana hii, kwa sababu hiyo tunafika kwenye nafasi ya wazi ya upuuzi (upinzani na hali au nadharia zilizothibitishwa hapo awali, axioms). Halafu, tunasababu kama hii: ikiwa dhana yetu ilikuwa ya kweli, basi tungeweza tu kufikia hitimisho sahihi, na kwa kuwa tulifikia hitimisho lisilo sahihi, hii ina maana kwamba dhana yetu ilikuwa ya uongo, kwa hiyo, tulikuwa na hakika kwamba hitimisho theorem ni kweli.

Kumbuka kwamba ikiwa kama matokeo ya hoja hatukupata upuuzi (upinzani), hii haimaanishi kuwa dhana hiyo ni kweli. Kwa maneno mengine, ikiwa tutaendelea kutoka kwa usahihi (uadilifu) wa hitimisho la nadharia na kutoka kwa dhana hii tunapata tokeo sahihi (dhahiri), hii haimaanishi kwamba dhana hiyo ni ya kweli: inaweza kutokea kwamba nadharia ya asili ni. vibaya tu.

Sophisms nyingi zimejengwa juu ya hili (hitimisho lililojengwa kwa makusudi ambalo linaonekana kuwa sahihi tu), hii inaelezea makosa mengi yaliyofanywa wakati wa kutatua matatizo.

Fikiria, kwa mfano, usawa ufuatao: a - b = b - a(1), wapi A Na b- nambari za kiholela. Wacha tuchukue kuwa (1) ni kweli, basi tunaweka pande zote mbili za (1) na kupata:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Kwa kusonga masharti yote kwa upande mmoja na kuleta sawa, tunafika kwa usawa sahihi kabisa: 0 = 0. Lakini kutokana na hili hatuwezi kuhitimisha kwamba usawa wa awali (1) pia ni kweli. Ikiwa tungefanya hitimisho kama hilo, tungefikia sophism ifuatayo: 2a = 2b au a = b, ambayo ni, nambari zozote za kiholela ni sawa kwa kila mmoja. Kosa ni kwamba usawa wa miraba ya nambari mbili haimaanishi usawa wa nambari hizi zenyewe. Kwa mfano, (-2) 2 = 2 2 , lakini -2 2.

Hapa kuna mfano wa suluhisho lisilo sahihi kwa shida.

Kazi. Tatua mlingano 3 + x + 2 = 0 (1).

Hebu tuchukulie kwamba mlingano (1) una suluhu na, kwa hiyo, usawa (1) ni kweli. Kisha tunapata: 3 = - x - 2. Hebu tufanye mraba pande zote mbili za usawa: 9x = x 2 + 4x + 4 au x 2 -5x + 4 = 0, kwa hiyo x 1 = 4, x 2 = 1. Je! Thamani za x zilizopatikana zinaweza kuchukuliwa kuwa mizizi ya equation (1)? Wanafunzi wengine hujibu swali hili kwa uthibitisho, kwa sababu mabadiliko yote ya equation ni sahihi. Na bado hakuna maadili yoyote yaliyopatikana ya x ndio mzizi wa (1). Hii inathibitishwa na uthibitishaji. Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya x hadi (1), tunapata usawa wa upuuzi wazi: 12 = 0 na 6 = 0.

Lakini unawezaje kutatua equation hii? Kumbuka kwamba usemi ulio upande wa kushoto wa equation una maana ikiwa x 0. Kisha upande wa kushoto wa equation, kwa maadili yoyote yanayokubalika ya x, huchukua tu maadili chanya na hawezi kwa njia yoyote kuwa sawa na 0, kwa hivyo, mlinganyo huu hauna mizizi.

Kwa hivyo, lazima ujifunze kudhibitisha nadharia (formula, vitambulisho, n.k.), njia kuu za jumla za kutafuta uthibitisho wa nadharia.

Aljebra mara kwa mara lazima ithibitishe nadharia. Nadharia iliyothibitishwa itakusaidia katika kutatua. Kwa hivyo, ni muhimu sana sio kukariri uthibitisho kwa kiufundi, lakini kuelewa kiini cha nadharia, ili uweze kuongozwa nayo kwa vitendo.

Kwanza, chora mchoro wazi na safi wa theorem. Weka alama juu yake kwa herufi za Kilatini kile unachokijua mwanzoni. Andika idadi yote inayojulikana katika safu ya "Imetolewa". Ifuatayo, katika safu ya "Thibitisha", tengeneza kile cha kuthibitisha. Sasa tunaweza kuanza ushahidi. Ni mlolongo wa mawazo yenye mantiki, kama matokeo ambayo ukweli wa taarifa unaonyeshwa. Wakati wa kuthibitisha nadharia, unaweza (na wakati mwingine hata unahitaji) kutumia vifungu mbalimbali, axioms, utata, na hata nadharia nyingine zilizothibitishwa hapo awali.

Kwa hivyo, uthibitisho ni mlolongo wa vitendo kama matokeo ambayo unapata jambo lisilopingika. Ugumu mkubwa zaidi katika kuthibitisha nadharia ni kupata hasa mlolongo wa hoja za kimantiki ambao utasababisha utafutaji wa kile kinachohitajika kuthibitishwa.

Vunja theorem katika sehemu na, ukithibitisha kando, hatimaye utakuja kwa matokeo yaliyohitajika. Ni muhimu kujua ustadi wa "ushahidi kwa kupingana"; katika hali zingine, hii ndio njia rahisi zaidi ya kudhibitisha nadharia. Wale. anza uthibitisho wako kwa maneno "fikiria kinyume", na uthibitishe hatua kwa hatua kuwa hii haiwezi kuwa. Maliza uthibitisho kwa “kwa hiyo, taarifa asilia ni kweli. Nadharia imethibitishwa."

Francois Viète ni mwanahisabati maarufu wa Ufaransa. Nadharia ya Vieta hukuruhusu kusuluhisha hesabu za quadratic kwa kutumia mpango uliorahisishwa, ambao matokeo yake huokoa muda uliotumika kwenye mahesabu. Lakini ili kuelewa vizuri kiini cha theorem, mtu anapaswa kupenya ndani ya kiini cha uundaji na kuthibitisha.

Nadharia ya Vieta

Kiini cha mbinu hii ni kupata mizizi bila msaada wa kibaguzi. Kwa equation ya fomu x2 + bx + c = 0, ambapo kuna mizizi miwili tofauti, taarifa mbili ni kweli.

Taarifa ya kwanza inasema kwamba jumla ya mizizi ya equation hii ni sawa na thamani ya mgawo wa mabadiliko x (katika kwa kesi hii hii ni b), lakini kwa ishara kinyume. Kwa kuibua inaonekana kama hii: x1 + x2 = -b.

Taarifa ya pili haihusiani tena na jumla, lakini kwa bidhaa ya mizizi hii miwili. Bidhaa hii inalinganishwa na mgawo wa bure, i.e. c. Au, x1 * x2 = c. Mifano zote hizi mbili zinatatuliwa katika mfumo.

Nadharia ya Vieta hurahisisha sana suluhisho, lakini ina kizuizi kimoja. Equation ya quadratic ambayo mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia mbinu hii lazima ipunguzwe. Katika equation hapo juu, mgawo a, moja mbele ya x2, ni sawa na moja. Mlinganyo wowote unaweza kuletwa kwa umbo sawa kwa kugawanya usemi na mgawo wa kwanza, lakini operesheni hii sio ya busara kila wakati.

Uthibitisho wa nadharia

Kuanza, tunapaswa kukumbuka jinsi jadi ni kawaida kutafuta mizizi ya equation ya quadratic. Mizizi ya kwanza na ya pili hupatikana, yaani: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Kwa ujumla inaweza kugawanywa na 2a, lakini, kama ilivyotajwa tayari, nadharia inaweza kutumika tu wakati a=1.

Kutoka kwa nadharia ya Vieta inajulikana kuwa jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara ya minus. Hii ina maana kwamba x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Vile vile ni kweli kwa bidhaa ya mizizi isiyojulikana: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Kwa upande wake, D = b2-4c (tena na a=1). Inatokea kwamba matokeo ni: x1 * x2 = (b2- b2)/4 + c = c.

Kutoka kwa uthibitisho rahisi uliotolewa, hitimisho moja tu linaweza kutolewa: Theorem ya Vieta imethibitishwa kabisa.

Uundaji wa pili na uthibitisho

Nadharia ya Vieta ina tafsiri nyingine. Ili kuwa sahihi zaidi, sio tafsiri, lakini uundaji. Ukweli ni kwamba ikiwa hali sawa zinakabiliwa na katika kesi ya kwanza: kuna mizizi miwili tofauti ya kweli, basi theorem inaweza kuandikwa na formula nyingine.

Usawa huu unaonekana kama hii: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Ikiwa kazi ya P(x) inaingiliana kwa pointi mbili x1 na x2, basi inaweza kuandikwa kama P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x). Katika kesi wakati P ina shahada ya pili, na hii ndivyo hasa usemi wa awali unavyoonekana, basi R ni nambari kuu, yaani 1. Taarifa hii ni kweli kwa sababu vinginevyo usawa hautashikilia. Mgawo x2 wakati wa kufungua mabano haipaswi kuwa kubwa kuliko moja, na usemi unapaswa kubaki mraba.

Utangulizi- aina ya kufikiria ambayo mawazo huelekezwa kwa kanuni fulani ya jumla, nafasi ya jumla katika vitu vyote maalum vya darasa lolote.
Makato- namna ya kufikiri wakati wazo jipya linapotolewa kimantiki kutoka kwa mawazo ya awali. Mlolongo huu wa mawazo unaitwa hitimisho, na kila sehemu ya hitimisho hili ni mawazo yaliyothibitishwa hapo awali, axiom, au hypothesis.
Ushahidi wa kupunguza- moja ya aina za ushahidi wakati thesis, ambayo ni aina fulani ya hukumu ya mtu binafsi au fulani, inaletwa chini ya kanuni ya jumla.
Kila uthibitisho una sehemu tatu:
nadharia, hoja, maandamano.
Kanuni za ushahidi:
1. Thesis na hoja lazima iwe wazi na ya uhakika.
2. Tasnifu lazima ibaki sawa katika uthibitisho wote.
3. Thesis haipaswi kuwa na ukinzani wa kimantiki.
4. Tasnifu itakayothibitishwa isiwe katika mgongano wa kimantiki na hukumu zilizotolewa hapo awali.
5. Hoja zinazotolewa kuunga mkono thesis zisipingane.
6. Kupunguzwa kwa upuuzi. Ukweli wa tasnifu moja au nyingine inaweza kuthibitishwa kwa kuthibitisha uwongo wa tasnifu iliyo kinyume.
7. Tasnifu na hoja lazima ziungwe mkono na ukweli.
8. Uthibitisho lazima uwe kamili.
9. Hoja zinazotolewa kuthibitisha ukweli wa tasnifu lazima ziwe za kutosha kwa tasnifu hii.
10. Hoja zinazotolewa kuthibitisha ukweli wa thesis lazima zenyewe ziwe za kweli.
11. Hoja lazima ziwe hukumu, ukweli ambao umethibitishwa kwa kujitegemea, bila kujali thesis.
KUMBUKA: Tasnifu - wazo au pendekezo ambalo ukweli wake unahitaji kuthibitishwa.

Hebu tujifunze kuthibitisha nadharia.

Inamaanisha nini kudhibitisha nadharia, ni uthibitisho gani?

Uthibitisho katika maana pana ni hoja zenye mantiki, wakati ambapo ukweli wa wazo unathibitishwa kwa msaada wa vifungu vingine.

Uthibitisho wa nadharia za hisabati ni kesi maalum ya uthibitisho kwa ujumla. Inatofautiana na uthibitisho katika hali za kila siku au katika sayansi nyingine kwa kuwa inafanywa kwa njia ya kupunguzwa iwezekanavyo (kutoka kwa neno la Kilatini deduction - inference), yaani, kwa kutoa wazo jipya linaloweza kuthibitishwa (kauli, hukumu) kutoka kwa kuthibitishwa hapo awali au kukubaliwa bila. mawazo ya uthibitisho (axioms) kulingana na kanuni za mantiki bila marejeleo yoyote ya mifano au uzoefu. Katika sayansi zingine, katika hali za kila siku, mara nyingi sisi hutumia mifano na uzoefu kwa uthibitisho. Tunasema: "Angalia" - na hii inaweza kutumika kama uthibitisho. Katika hisabati, njia hii ya uthibitisho haikubaliki; kurejelea, kwa mfano, kwa uhusiano dhahiri unaoonyeshwa na mchoro hairuhusiwi. Uthibitisho wa hisabati lazima uwe mlolongo wa matokeo ya kimantiki kutoka kwa mihimili ya awali, ufafanuzi, masharti ya nadharia na nadharia zilizothibitishwa hapo awali hadi hitimisho linalohitajika.

Kwa hivyo, axioms hutumikia sio tu kufafanua dhana za kimsingi, lakini pia kama msingi wa uthibitisho wa nadharia zote za hisabati. Ndio maana kati ya axioms pia kuna zile zinazoonyesha sifa maalum za dhana ambazo zina ufafanuzi wa kimantiki. Kwa hivyo, kwa mfano, mistari inayofanana katika kozi ya jiometri sio dhana ya msingi, lakini iliyofafanuliwa. Walakini, moja ya mali ya mistari inayofanana, ambayo ni hiyo h Kupitia hatua ambayo haijalala kwenye mstari uliopeanwa, inawezekana kuchora kwenye ndege kwa zaidi ya mstari mmoja wa moja kwa moja sambamba na ile iliyotolewa, tunalazimika kuichukua kama axiom, kwa sababu, kama ilivyoanzishwa na geometer kubwa ya Kirusi N. I. Lobachevsky (1792-1856), pamoja na mwanahisabati wa Ujerumani K. F. Gauss (1777-1855) na mwanahisabati wa Hungarian J. Bolyai (1802-1860), haiwezekani kuthibitisha mali hii ya mistari sambamba kulingana na axioms iliyobaki. ya jiometri.

Kila hatua ya uthibitisho ina sehemu tatu:

1) pendekezo (axiom, theorem, ufafanuzi) kwa misingi ambayo hatua hii ya uthibitisho inafanywa; msingi huu wa hatua ya uthibitisho unaitwa msingi au hoja;

2) hoja ya kimantiki, wakati ambapo Nguzo inatumika kwa masharti ya nadharia au matokeo yaliyopatikana hapo awali;

3) matokeo ya kimantiki ya kutumia Nguzo kwa masharti au matokeo yaliyopatikana hapo awali.

Katika nadharia hii, tumepewa mstatili (wowote) wa kiholela. Ili kurahisisha hoja wakati wa mchakato wa uthibitishaji, endelea kama ifuatavyo. Wacha tuchore mstatili uliofafanuliwa vizuri wa ABCD, lakini katika uthibitisho hatutatumia vipengele vyovyote vya mstatili huu (kwa mfano, kwamba upande wake AB ni takriban mara 2 zaidi kuliko upande wa AD, nk). Kwa hivyo, hoja zetu kuhusu mstatili huu zitakuwa kweli kwa mstatili mwingine wowote, yaani, zitakuwa za asili ya jumla kwa mistatili yote.

Wacha tuchore diagonal AC na BD. Fikiria pembetatu zinazosababisha ABC na ABD. Kwa pembetatu hizi, pembe ABC na BAD ni sawa na pembe za kulia, mguu AB ni wa kawaida, na miguu BC na AD ni sawa na pande tofauti za mstatili. Kwa hiyo, pembetatu hizi ni sanjari. Inafuata kwamba pande za AC na BD pia ni sawa, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.

Uthibitisho mzima wa nadharia hii unaweza kuonyeshwa kwenye mchoro ufuatao.

Hatua Na.	Majengo (hoja)	Masharti	Matokeo
1.	Ufafanuzi: mstatili ni pembe nne yenye pembe zote za kulia	ABCD - mstatili	A - moja kwa moja B> - moja kwa moja.
2.	Nadharia: Pembe za kulia ni sawa.	A - moja kwa moja B - moja kwa moja.	A=B.
3.	Nadharia: Pande zinazopingana za mstatili ni sawa.	ABCD - mstatili	BC=AD
4.	Ishara ya kwanza ya usawa wa pembetatu mbili.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC=BAD.
5.	Kuamua usawa wa pembetatu.	ABC = MBAYA AC na BD ni vyama husika	AC=BD.

Ni sheria gani unapaswa kufuata unapotafuta mlolongo huu? Kwa wazi, sheria hizi haziwezi kuwa za lazima; zinaonyesha tu njia zinazowezekana za utafutaji. Kwa hiyo, huitwa sheria za heuristic au heuristics tu (kutoka kwa neno la Kigiriki eureka - ninapata, kupatikana). Wanahisabati wengi mashuhuri, kama vile Pappus (mwanahisabati wa Kigiriki wa kale aliyeishi katika karne ya 3), Blaise Pascal (1623-1662), René Descartes (1596-1650), Jacques Hadamard (1865-1963), Derge Polya (1887) na wengine wengi walikuwa wakitengeneza heuristics kwa ajili ya kutafuta uthibitisho wa nadharia na kutatua matatizo. Hapa kuna baadhi ya heuristics ambayo ni muhimu kukumbuka:

1. Ni muhimu kuchukua nafasi ya majina ya vitu vilivyojadiliwa katika nadharia (tatizo) na ufafanuzi au sifa zao.

Kwa mfano, nadharia iliyojadiliwa hapo juu ilikuwa kuhusu mstatili, na tulitumia ufafanuzi wa mstatili ili kuthibitisha.

2. Ikiwezekana, basi unahitaji kugawanya nafasi ya kuthibitishwa katika sehemu na kuthibitisha kila sehemu tofauti.

Kwa hivyo, kwa mfano, uthibitisho wa nadharia: "Ikiwa katika pembe nne diagonals huingiliana na kugawanywa kwa nusu na hatua ya makutano, basi sehemu hii ya pembetatu ni parallelogram" - inaweza kugawanywa katika sehemu mbili: kwanza thibitisha kwamba jozi moja. ya pande tofauti za quadrilateral hii ni sambamba, na kisha kuthibitisha kwamba jozi ya pili ya pande kinyume pia ni sambamba.

Hii inapaswa kufanywa kila wakati inapowezekana kuvunja taarifa inayothibitishwa katika sehemu kadhaa za taarifa rahisi.

3. Katika kutafuta uthibitisho wa nadharia, ni muhimu kwenda kutoka pande mbili: kutoka kwa hali ya nadharia hadi hitimisho na kutoka kwa hitimisho hadi masharti.

Kwa mfano, unahitaji kudhibitisha nadharia ifuatayo: "Ikiwa mlolongo fulani ni kwamba mwanachama wake yeyote, kuanzia wa pili, ni njia ya hesabu ya washiriki waliotangulia na wanaofuata, basi mlolongo huu ni mwendelezo wa hesabu."

Wacha tuanze kutoka kwa hali ya nadharia. Tumepewa nini? Imepewa kwamba kila mshiriki wa mlolongo, kuanzia ya pili (tunaashiria n, ambapo n³ 2), ni maana ya hesabu ya maneno yaliyotangulia na yanayofuata, i.e.

a n- 1 na n+1. Kwa hivyo usawa ufuatao ni kweli:
(1)

n = n-1 + d, Wapi n2,d- nambari ya mara kwa mara. (2)

Tunalinganisha sharti (1) tulilopewa na hitimisho (2). Ili hali ichukue fomu ya hitimisho, lazima ibadilishwe kama ifuatavyo:

2a n = a n-1 + a n+1 , (3)

Kutoka hapa a n- n-1= a n+1 - a n. (4)

Pande za kushoto na kulia za (4) zinamaanisha kitu kimoja, yaani tofauti kati ya istilahi mbili zinazofuatana za mfuatano fulani. Ikiwa katika usawa (4) P toa maadili mfuatano 2, 3, nk, tunapata: a 2 -a 1 = a 3 - a 2, basi a 3 - a 2 = a 4 - a 3 nk Kwa hiyo, tofauti hizi zote ni sawa kwa kila mmoja, ambayo ina maana kwamba tofauti a p - a uk-1 ni nambari isiyobadilika ambayo inaweza kuonyeshwa kwa herufi, kwa mfano herufi d:

a n - a n-1 = d.

Kutoka hapa tunapata: a n = a n-1 + d, na hii ina maana kwamba, kwa mujibu wa ufafanuzi (2), mfuatano huu ni maendeleo ya hesabu, ambayo ndiyo tulipaswa kuthibitisha.

Heuristic hii inaweza kutengenezwa kwa njia hii: lazima tujaribu kuleta hali na hitimisho la nadharia karibu zaidi, kuzibadilisha au kuzibadilisha na matokeo.

Katika idadi ya matukio, mbinu maalum inayoitwa "ushahidi kwa kupinga" au "kupunguza kwa upuuzi" hutumiwa kuthibitisha nadharia.

Hebu tutoe mfano.

Nadharia. Mistari miwili, tofauti sambamba na ya tatu, ni sambamba kwa kila mmoja.

Imetolewa: a||c, b||c.
Thibitisha: a||b.

Mfano mwingine.

Nadharia. Maana ya hesabu ya nambari mbili chanya sio chini (maana: kubwa kuliko au sawa na) maana ya kijiometri ya nambari hizi.

Nadharia hii inaweza kuandikwa kama hii:

Ambapo a>0, b>0, (1)

Inaweza kuthibitishwa ama moja kwa moja au kwa kupingana. Hebu tuthibitishe kwa kupingana.

Ili kufanya hivyo, hebu tufikirie kuwa sio sahihi, yaani, maana ya hesabu ni chini ya maana ya kijiometri ya namba mbili nzuri :; (2)

Zidisha pande zote mbili za (2) kwa 2 na mraba, tunapata: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Sophisms nyingi zimejengwa juu ya hili (hitimisho lililojengwa kwa makusudi ambalo linaonekana kuwa sahihi tu), hii inaelezea makosa mengi yaliyofanywa wakati wa kutatua matatizo.

Fikiria, kwa mfano, usawa ufuatao: a - b = b - a(1), wapi A Na b- nambari za kiholela. Wacha tuchukue kuwa (1) ni kweli, basi tunaweka pande zote mbili za (1) na kupata:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Hapa kuna mfano wa suluhisho lisilo sahihi kwa shida.

Kazi. Tatua mlingano 3+ x + 2 = 0 (1).

Lakini unawezaje kutatua equation hii? Kumbuka kuwa usemi ulio upande wa kushoto wa equation unaeleweka ikiwa x0. Halafu upande wa kushoto wa equation, kwa maadili yoyote yanayokubalika ya x, huchukua maadili chanya tu na haiwezi kwa njia yoyote kuwa sawa na 0, kwa hivyo, equation hii haina mizizi.

Kwa hivyo, lazima ujifunze kudhibitisha nadharia (formula, vitambulisho, n.k.), njia kuu za jumla za kutafuta uthibitisho wa nadharia.

Kazi ya mwalimu juu ya nadharia ni ya hatua nyingi. Wacha tuangazie kuu ya hatua hizi: 1) kusasisha maarifa, motisha ya kusoma nadharia; 2) uundaji wa nadharia na uigaji wa yaliyomo; 3) uthibitisho wa nadharia; 4) ujumuishaji na matumizi ya nadharia

Kumbuka kwamba katika kila kesi maalum mwalimu mwenyewe anaamua ni hatua gani za kutumia kwa kiwango gani na zipi zinaweza kutolewa. Inategemea sifa za darasa, uzoefu wa awali wa mwalimu, ugumu wa nadharia ya mtazamo, nk.

Hatua ya 1 - kusasisha maarifa(marudio ya msingi) na motisha ya kusoma nadharia.

Teknolojia ya kuandaa marudio ya kumbukumbu: mwalimu

- hugawanya uthibitisho katika idadi ya juu ya hatua;

- inabainisha ukweli wote wa hisabati ambao uthibitisho umeegemezwa;

- huchanganua ikiwa zote na ni kwa kiwango gani zinajulikana kwa wanafunzi;

- hupanga marudio ya kimsingi katika mfumo wa mazungumzo, uchunguzi wa mbele, mfumo wa kazi za maandalizi (mara nyingi "kwenye michoro iliyotengenezwa tayari" - tazama hapa chini).

Mwalimu mara nyingi huhusisha motisha ya kusoma nadharia na kutatua tatizo la vitendo ambalo linahitaji ukweli unaoakisiwa katika nadharia (tazama mfano kwenye uk. 30).

Hatua ya 2 - kuanzisha uundaji wa nadharia na kusimamia yaliyomo.

Hebu tueleze njia kuu mbili za kuanzisha uundaji wa nadharia.

Mbinu ya 1. Mwalimu mwenyewe anaunda nadharia kwa au bila motisha ya awali.

Hakuna haja ya kukimbilia katika uundaji. Ikiwa tu ni rahisi na inaeleweka unaweza kuanza na maneno. Ikiwa uundaji si rahisi, basi mwalimu kwanza kabisa huchota takwimu, hupata na kuandika kwenye ubao hali, hitimisho la theorem, na tu baada ya kuunda kabisa.

Faida za njia ni ufupi, uwazi, kuokoa muda; hasara - formalism na dogmatism zinawezekana.

Mbinu ya 2. Wanafunzi wako tayari kuunda nadharia kwa uhuru.

Katika planimetry, mazoezi ya kujenga na kupima takwimu zinazolingana mara nyingi hutumiwa kwa kusudi hili.

Mfano. Ili wanafunzi wagundue nadharia kwa uhuru kuhusu chords za duara, mwalimu hutoa maswali na kazi zifuatazo:

- Chora chora mbili zisizo sawa kwenye duara.

- Anzisha kwa jicho lipi lililo karibu na kituo.

- Tengeneza hitimisho lako.

Faida za njia ni maendeleo ya uwezo wa ubunifu wa wanafunzi, kuongeza maslahi katika utafiti wa jiometri; Hasara - muda mwingi, uwezekano wa utawanyiko wa tahadhari kwa maelezo yasiyo muhimu.

Baada ya nadharia kutengenezwa, tunafanya kazi kwa ufafanuzi: tunataja istilahi, onyesha hali na hitimisho la nadharia. Wakati huo huo, rekodi fupi ya data na kile kinachohitajika kuthibitishwa hufanyika; mchoro unajengwa.

Mahitaji ya kuchora:

- kesi ya jumla inapaswa kuonyeshwa, sio kesi fulani;

- vipimo vya mchoro lazima iwe bora;

- data na zilizotafutwa zimeangaziwa kwa rangi katika mchoro, alama maalum na alama hutumiwa kwa kuteuliwa.

Hatua ya 3 - uthibitisho wa nadharia.

Mapema (tazama 3.2) tulielezea mbinu za msingi za kimantiki na za hisabati za kuthibitisha nadharia.

Kitabu cha maandishi kwa kiasi kikubwa huamua uchaguzi wa njia ya uthibitisho: mantiki (moja kwa moja au isiyo ya moja kwa moja, uchambuzi, synthetic au njia kwa kupingana) na hisabati (njia ya mabadiliko ya kijiometri au njia ya usawa au kufanana kwa pembetatu).

Mwalimu lazima awe na uelewa mzuri wa muundo wa aina zote za uthibitisho na aweze kutafsiri uthibitisho wa sintetiki katika uchambuzi na kinyume chake; kwa uangalifu kuchagua njia ya uchambuzi au ya syntetisk ya hoja katika somo (kulingana na umri na kiwango cha mafunzo ya wanafunzi, wasifu wa darasa, matumizi ya wakati iwezekanavyo, nk).

Wanafunzi lazima waelewe kwamba mchakato wa uthibitisho unajumuisha kuunda mlolongo thabiti wa hoja, unaohesabiwa haki kwa kutumia ukweli wa hisabati unaojulikana tayari. Hitimisho ni kiungo chake cha mwisho.

Kama tunavyojua, kila hatua ya mnyororo huu ni sillogism. Shuleni hakuna uwezekano, na kwa kweli hakuna haja ya kuanzisha maneno "syllogism", "nguzo kuu", "nguzo ndogo". Kwa kawaida, katika kufundisha jiometri katika shule ya msingi, maneno "hatua", "hatua" hutumiwa: katika kila hatua ya uthibitisho, taarifa na uhalali wake huonyeshwa.

Mara ya kwanza, kuelewa muundo wa uthibitisho, baada ya kupatikana, ni muhimu kuitengeneza kwa namna ya nguzo mbili, moja ambayo ina taarifa, na nyingine ina uhalali.

Mfano. Ishara ya mistari inayofanana.

Nadharia: Ikiwa, wakati mistari miwili inaingiliana na transversal, pembe zinazofanana ni sawa, basi mistari ni sambamba.

Ugumu mkubwa ni kusimamia mantiki ya uthibitisho. Kadi maalum zinaweza kusaidia sana hapa, ambazo zinaweza kutumika kama kazi ya kujitegemea, kazi ya nyumbani, kazi za uchunguzi wa kibinafsi, nk.

Mbinu ya kuzitengeneza ni rahisi: kuachilia baadhi ya vidokezo kwenye safu wima za "taarifa" na "kuhalalisha", tunapata chaguo moja kwa kadi ya mtu binafsi, ambayo inaweza kutumika kama karatasi iliyo na msingi uliochapishwa (mwanafunzi anaingia katika kukosa. vipande vya ushahidi).

Mbinu ya kutumia kadi: kadi imetolewa na unaulizwa kujaza nafasi zilizoachwa wazi; vikundi tofauti vya wanafunzi hutolewa kadi zilizo na maandishi tofauti, na hivyo kubinafsisha ufundishaji wa hisabati.

Kwa kuandaa wanafunzi kusoma ushahidi walimu wengi hutumia nadharia njia ya kuandaa mpango wa ushahidi. Kawaida kuna hatua mbili.

1 mbinu. Imetolewa mpango tayari uthibitisho wa nadharia mpya, wanafunzi wanaulizwa kuthibitisha wenyewe kwa kutumia mpango.

Mfano. Mpango ufuatao unapendekezwa kwa nadharia "Ikiwa pande tofauti za pembe nne ni sawa kwa jozi, basi ni parallelogramu":

1. Chora diagonal

2. Thibitisha usawa wa pembetatu zinazosababisha

3. Thibitisha usawazishaji wa pande tofauti za quadrilateral

4. Chora hitimisho. ⁬

Mpango huo unaonyeshwa kwa darasa, kwa mfano, kwenye skrini kwa kutumia ubao mweupe unaoingiliana, projekta ya media titika au projekta ya juu. Wanafunzi hutambua aina hii mpya ya mgawo kwa maslahi ya kipekee. Mara tu mpango unapoonekana kwenye skrini, huwa kimya - wanafikiri. Watu wengi basi huonyesha hamu ya kujibu. Je, tunawezaje kueleza nia hii iliyoongezeka?

Kwanza, mpango unagawanya uthibitisho wa nadharia katika mfululizo wa hatua rahisi, za msingi ambazo wanafunzi wanaweza kufuata tayari. Ikiwa bado hawajajifunza jinsi ya kuzitekeleza, basi hakuna maana katika kuwapa mpango.

Pili, wanafunzi wanahisi kwamba wanaweza kutumia mpango huo kuthibitisha nadharia mpya. Usikilize na kukariri, lakini uthibitishe mwenyewe. Hii inawavutia sana.

Tatu, mpango hukuruhusu kufunika uthibitisho wote kwa ujumla na kufikia uelewa kamili. Kwa hivyo, athari mbaya hudhoofika wakati mawazo ya kukariri hufanya kuelewa kuwa ngumu. Hii inasababisha kujiamini na hamu ya kufanya kazi huongezeka.

Mbinu ya 2. Wanafunzi wanafundishwa chora mpango wa nadharia iliyothibitishwa tayari. Kwanza kazi hii inafanywa kwa pamoja, na kisha kwa kujitegemea. Kwa kuongezea, hapa mwalimu anapaswa kuonyesha mara kwa mara mifano ya kuchora mpango. Wanafunzi huona kwa uhuru mpango uliotengenezwa tayari, lakini hawaendelei mara moja ujuzi wa kuunda mpango. Matokeo mazuri sana yanapatikana katika kesi ambapo mpango mmoja wa jumla hutolewa ili kuthibitisha nadharia kadhaa. Nadharia kama hizo, zikiunganishwa na wazo moja, hujifunza kwa tija haswa.

Kama tulivyokwisha sema, vitabu vya kiada vya planimetry vinatoa uthibitisho mfupi wa kinadharia wa nadharia. Mwalimu lazima afundishe wanafunzi kwa utaratibu:

1) tengeneza uthibitisho kutoka kwa hatua;

2) geuza uthibitisho wa kitabu kilichofupishwa kuwa minyororo ya kina ya hatua zinazoonyesha uhalali;

3) chora rekodi kamili za uthibitisho wa nadharia za mtu binafsi.

Hebu tutoe mfano wa uthibitisho kamili wa theorem hatua kwa hatua.

Mfano. Uthibitisho kamili wa mtihani wa usawa kwa mistari (uundaji na muhtasari wa uthibitisho umetolewa kwenye ukurasa uliopita).

Hebu kwenye makutano ya mistari A Na V secant Na tuna pembe, kwa mfano, 2 na 3 - wima, 1 na 3 - kulala kinyume.

1. Kwa kuwa 3 na 2 ni pembe za wima, basi 3 = 2 (pembe za wima ni sawa).

2. Kwa kuwa 1 = 2 na 3 = 2, basi 1 = 3 (ikiwa pande za kulia katika usawa wa kweli ni sawa, basi pande zao za kushoto ni sawa).

3. Kwa kuwa 1 na 3 ni pembe zinazovuka katika makutano ya mistari. A Na V secant Na na 1 = 3, basi A V(ikiwa wakati mistari miwili ya moja kwa moja inaingiliana na transversal, pembe za uongo ni sawa, basi mistari ya moja kwa moja inafanana).

Nadharia imethibitishwa .

Katika mchakato wa uthibitisho, ni muhimu kutumia kikamilifu masharti ya theorem. Mojawapo ya njia ni kujadili katika hatua gani na jinsi hii au sehemu hiyo ya hali inatumika, na ikiwa zote zinatumika katika uthibitisho.

Ili kuhakikisha uigaji wa ushahidi, hutumiwa sana kukubalika kwa ushahidi mara mbili: kwanza, wazo tu, mpango unajadiliwa; uthibitisho umetolewa katika vipande. Baada ya hayo, uthibitisho unawasilishwa kwa ukamilifu, na hila zote na nuances.

Katika majaribio ya V.F. Shatalov hutumia marudio mengi ya uthibitisho, mara nyingi katika kiwango cha wazo au mpango.

Hatua ya 4 - ujumuishaji na matumizi ya nadharia

Hatua ya kujumuisha nadharia inahusisha kufanya kazi ili kubainisha iwapo kiini cha nadharia yenyewe, wazo, mbinu ya uthibitisho na hatua zake binafsi zinaeleweka. Mbinu za kufunga zinaweza kuwa kama ifuatavyo:

- katika mchakato wa mazungumzo na wanafunzi, kwa mara nyingine tena onyesha wazo kuu, njia na hatua za uthibitisho;

- kutoa kuelezea hatua za mtu binafsi za uthibitisho;

- kuorodhesha axioms, nadharia na ufafanuzi wote ambao hutumiwa katika uthibitisho;

- tafuta mahali ambapo hii au hali hiyo inatumiwa, ikiwa yote yalitumiwa;

- kuna njia zingine za uthibitisho;

- wakati wa kurekebisha, ni muhimu kutofautisha muundo kwenye mchoro, na vile vile mchoro yenyewe, nk.

Utumiaji wa nadharia hupangwa katika mchakato wa kutatua shida ambazo hutumiwa. Ikumbukwe kwamba kitabu cha maandishi haitoi mfumo wa shida kila wakati wa kutumia nadharia fulani; mara nyingi, shida za mtu binafsi hupewa, ambayo mwalimu mwenye uzoefu anaweza kuongezea. Nadharia hizo pia hutumika kuthibitisha nadharia nyingine katika kozi inayofuata ya upangaji ramani na stereometry.