Jinsi ya kupata thamani ya chaguo za kukokotoa kwenye mfano wa sehemu. Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa

Taarifa ya tatizo 2:

Kwa kuzingatia chaguo la kukokotoa ambalo limefafanuliwa na kuendelea kwa muda fulani. Unahitaji kupata thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa kwenye muda huu.

Msingi wa kinadharia.
Nadharia (Nadharia ya Pili ya Weierstrass):

Ikiwa kazi imefafanuliwa na inaendelea katika muda uliofungwa, basi hufikia maadili yake ya juu na ya chini katika muda huu.

Chaguo za kukokotoa zinaweza kufikia thamani zake kubwa na ndogo zaidi kwa pointi za ndani pengo au kwenye mipaka yake. Wacha tuonyeshe chaguzi zote zinazowezekana.

Maelezo:
1) Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kubwa zaidi kwenye mpaka wa kushoto wa muda katika point , na thamani yake ya chini kwenye mpaka wa kulia wa muda kwa uhakika.
2) Chaguo la kukokotoa linafikia thamani yake kubwa zaidi katika hatua (hii ni hatua ya juu), na thamani yake ya chini kwenye mpaka wa kulia wa muda katika hatua.
3) Kazi hufikia thamani yake ya juu kwenye mpaka wa kushoto wa muda kwa uhakika, na thamani yake ya chini kwa uhakika (hii ni hatua ya chini).
4) Kazi ni mara kwa mara kwenye muda, i.e. inafikia viwango vyake vya chini na vya juu katika hatua yoyote ya muda, na maadili ya chini na ya juu ni sawa kwa kila mmoja.
5) Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake ya juu kwa uhakika , na thamani yake ya chini kwa uhakika (licha ya ukweli kwamba chaguo la kukokotoa lina kiwango cha juu na cha chini katika muda huu).
6) Kazi hufikia thamani yake kubwa kwa uhakika (hii ni hatua ya juu), na thamani yake ya chini katika hatua (hii ni hatua ya chini).
Maoni:

"Upeo" na " thamani ya juu"- Mambo tofauti. Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa upeo na uelewa wa angavu wa maneno "thamani ya juu".

Algorithm ya kutatua shida 2.



4) Chagua kubwa zaidi (ndogo) kutoka kwa maadili yaliyopatikana na uandike jibu.

Mfano 4:

Kuamua kubwa na thamani ndogo kazi kwenye sehemu.
Suluhisho:
1) Tafuta derivative ya kitendakazi.

2) Tafuta pointi zisizosimama (na pointi zinazoshukiwa kuwa za hali ya juu) kwa kutatua mlingano. Zingatia nukta ambazo hakuna derivative yenye kikomo yenye pande mbili.

3) Kuhesabu maadili ya kazi katika sehemu za stationary na kwenye mipaka ya muda.

4) Chagua kubwa zaidi (ndogo) kutoka kwa maadili yaliyopatikana na uandike jibu.

Chaguo za kukokotoa kwenye sehemu hii hufikia thamani yake kuu kwa uhakika na kuratibu .

Chaguo za kukokotoa kwenye sehemu hii hufikia thamani yake ya chini kabisa katika sehemu iliyo na viwianishi .

Unaweza kuthibitisha usahihi wa mahesabu kwa kuangalia grafu ya kazi inayochunguzwa.


Maoni: Chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake kubwa zaidi katika kiwango cha juu zaidi, na kiwango cha chini chake kwenye mpaka wa sehemu.

Kesi maalum.

Tuseme tunahitaji kupata kiwango cha juu na thamani ya chini baadhi ya utendaji kwa muda. Baada ya kukamilisha hatua ya kwanza ya algorithm, i.e. hesabu ya derivative, inakuwa wazi kwamba, kwa mfano, inachukua tu maadili hasi juu ya sehemu nzima inayozingatiwa. Kumbuka kwamba ikiwa derivative ni hasi, basi kazi itapungua. Tuligundua kuwa chaguo la kukokotoa hupungua juu ya sehemu nzima. Hali hii imeonyeshwa kwenye grafu Na. 1 mwanzoni mwa makala hiyo.

Kazi hupungua kwenye sehemu, i.e. haina pointi kali. Kutoka kwenye picha ni wazi kwamba kazi itachukua thamani yake ndogo kwenye mpaka wa kulia wa sehemu, na thamani ya juu- kushoto. ikiwa derivative kwenye sehemu ni chanya kila mahali, basi kazi huongezeka. Thamani ndogo zaidi iko kwenye mpaka wa kushoto wa sehemu, kubwa zaidi iko upande wa kulia.

Na ili kutatua utahitaji ujuzi mdogo wa mada. Inayofuata inaisha mwaka wa masomo, kila mtu anataka kwenda likizo, na ili kuleta wakati huu karibu, nitaenda moja kwa moja kwenye uhakika:

Wacha tuanze na eneo. Eneo linalotajwa katika hali hiyo ni mdogo imefungwa seti ya pointi kwenye ndege. Kwa mfano, seti ya pointi imefungwa na pembetatu, ikiwa ni pamoja na pembetatu nzima (ikiwa kutoka mipaka"chomoa" angalau nukta moja, basi eneo halitafungwa tena). Katika mazoezi, pia kuna maeneo ambayo ni mstatili, mviringo, na kubwa kidogo. maumbo changamano. Ikumbukwe kwamba katika nadharia uchambuzi wa hisabati ufafanuzi mkali hutolewa mapungufu, kutengwa, mipaka, nk., lakini nadhani kila mtu anafahamu dhana hizi kwa kiwango cha angavu, na sasa hakuna kitu zaidi kinachohitajika.

Eneo la gorofa linaonyeshwa kwa kawaida na barua, na, kama sheria, imeainishwa kwa uchanganuzi - kwa hesabu kadhaa. (sio lazima mstari); mara chache ukosefu wa usawa. Kitenzi cha kawaida: "eneo lililofungwa, iliyofungwa na mistari ».

Sehemu muhimu Kazi inayohusika ni kujenga eneo kwenye mchoro. Jinsi ya kufanya hivyo? Unahitaji kuchora mistari yote iliyoorodheshwa (in kwa kesi hii 3 moja kwa moja) na kuchambua kilichotokea. Eneo lililotafutwa kawaida huwa na kivuli kidogo, na mpaka wake umewekwa alama ya mstari mnene:


Eneo sawa linaweza pia kuweka usawa wa mstari: , ambayo kwa sababu fulani mara nyingi huandikwa kama orodha iliyoorodheshwa badala ya mfumo.
Kwa kuwa mpaka ni wa mkoa, basi usawa wote, kwa kweli, legelea.

Na sasa kiini cha kazi. Fikiria kwamba mhimili unatoka moja kwa moja kuelekea kwako kutoka asili. Fikiria kipengele ambacho kuendelea kwa kila eneo la uhakika. Grafu ya chaguo hili la kukokotoa inawakilisha baadhi uso, na furaha ndogo ni kwamba kutatua tatizo la leo hatuhitaji kujua jinsi uso huu unavyoonekana. Inaweza kuwa iko juu, chini, kuingilia ndege - yote haya haijalishi. Na yafuatayo ni muhimu: kulingana na Nadharia za Weierstrass, kuendelea V mdogo imefungwa eneo kazi hufikia thamani yake kubwa ("juu") na mdogo zaidi ("chini") maadili ambayo yanahitaji kupatikana. Maadili kama haya yanapatikana au V pointi za stationary, mali ya mkoaD , au katika sehemu ambazo ziko kwenye mpaka wa eneo hili. Hii inasababisha algorithm rahisi na ya uwazi ya suluhisho:

Mfano 1

Katika mdogo eneo lililofungwa

Suluhisho: Kwanza kabisa, unahitaji kuonyesha eneo kwenye mchoro. Kwa bahati mbaya, ni vigumu kitaalam kwangu kufanya mfano wa mwingiliano wa tatizo, na kwa hiyo nitawasilisha mara moja kielelezo cha mwisho, ambacho kinaonyesha pointi zote za "tuhuma" zilizopatikana wakati wa utafiti. Kawaida zimeorodheshwa moja baada ya nyingine kama zinavyogunduliwa:

Kulingana na utangulizi, uamuzi unaweza kugawanywa kwa urahisi katika mambo mawili:

I) Tafuta sehemu za stationary. Hiki ni kitendo cha kawaida tulichofanya mara kwa mara darasani. kuhusu extrema ya vigezo kadhaa:

Kupatikana stationary uhakika ni mali maeneo: (weka alama kwenye mchoro), ambayo inamaanisha tunapaswa kuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua fulani:

- kama katika makala Thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu, matokeo muhimu Nitaangazia kwa maandishi mazito. Ni rahisi kuwafuata kwenye daftari na penseli.

Zingatia furaha yetu ya pili - hakuna maana katika kuangalia hali ya kutosha kwa hali ya juu. Kwa nini? Hata kama kwa hatua kazi inafikia, kwa mfano, kima cha chini cha ndani, basi hii HAIMAANISHI kuwa thamani inayotokana itakuwa Ndogo mkoa mzima (tazama mwanzo wa somo kuhusu kupindukia bila masharti) .

Nini cha kufanya ikiwa mahali pa kusimama SI mali ya eneo hilo? Karibu hakuna chochote! Ikumbukwe kwamba na kuendelea na hatua inayofuata.

II) Tunachunguza mpaka wa kanda.

Kwa kuwa mpaka una pande za pembetatu, ni rahisi kugawanya utafiti katika vifungu 3. Lakini ni bora kutofanya hivyo hata hivyo. Kwa mtazamo wangu, ni faida zaidi kwanza kuzingatia sehemu zinazofanana kuratibu shoka, na kwanza kabisa, wale wanaolala kwenye shoka wenyewe. Ili kufahamu mlolongo mzima na mantiki ya vitendo, jaribu kusoma mwisho "kwa pumzi moja":

1) Hebu tushughulike na upande wa chini wa pembetatu. Ili kufanya hivyo, badilisha moja kwa moja kwenye kitendakazi:

Vinginevyo, unaweza kuifanya kama hii:

Kijiometri hii ina maana kwamba kuratibu ndege (ambayo pia hutolewa na equation)"huchonga" nje ya nyuso parabola "ya anga", ambayo juu yake mara moja inakuja chini ya tuhuma. Hebu tujue yuko wapi:

- thamani iliyosababishwa "ilianguka" kwenye eneo hilo, na inaweza kugeuka kuwa kwa uhakika (iliyowekwa alama kwenye mchoro) chaguo za kukokotoa hufikia thamani kubwa au ndogo zaidi katika eneo zima. Njia moja au nyingine, wacha tufanye mahesabu:

"Wagombea" wengine ni, bila shaka, mwisho wa sehemu. Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye vidokezo (iliyowekwa alama kwenye mchoro):

Hapa, kwa njia, unaweza kufanya ukaguzi mdogo wa mdomo kwa kutumia toleo la "kuvuliwa":

2) Kwa utafiti upande wa kulia tunabadilisha pembetatu kwenye kazi na "kuweka vitu kwa mpangilio":

Hapa tutafanya ukaguzi mbaya mara moja, "tukipigia" mwisho uliochakatwa wa sehemu:
, Kubwa.

Hali ya kijiometri inahusiana hatua iliyotangulia:

- thamani iliyosababishwa pia "ilikuja katika nyanja ya masilahi yetu," ambayo inamaanisha tunahitaji kuhesabu ni kazi gani katika sehemu inayoonekana ni sawa na:

Wacha tuchunguze mwisho wa pili wa sehemu:

Kwa kutumia kipengele , wacha tufanye ukaguzi wa udhibiti:

3) Pengine kila mtu anaweza nadhani jinsi ya kuchunguza upande uliobaki. Tunaibadilisha katika kazi na kufanya kurahisisha:

Mwisho wa sehemu tayari zimefanyiwa utafiti, lakini katika rasimu bado tunaangalia kama tumepata kazi kwa usahihi :
- sanjari na matokeo ya kifungu kidogo cha 1;
- sanjari na matokeo ya aya ndogo ya 2.

Inabakia kujua ikiwa kuna kitu cha kufurahisha ndani ya sehemu hiyo:

- Kuna! Kubadilisha mstari wa moja kwa moja kwenye equation, tunapata uratibu wa "kuvutia" hii:

Tunaweka alama kwenye mchoro na kupata thamani inayolingana ya kazi:

Hebu tuangalie mahesabu kwa kutumia toleo la "bajeti". :
, agizo.

Na hatua ya mwisho: Tunaangalia kwa uangalifu nambari zote "za ujasiri", ninapendekeza kwamba wanaoanza hata watengeneze orodha moja:

ambayo tunachagua maadili makubwa na madogo zaidi. Jibu Hebu tuandike kwa mtindo wa tatizo la kutafuta thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa kwenye sehemu:

Ikiwezekana, nitatoa maoni tena maana ya kijiometri matokeo:
- hapa ndio zaidi hatua ya juu nyuso katika eneo hilo;
- hapa ndio zaidi kiwango cha chini nyuso katika eneo hilo.

Katika kazi iliyochambuliwa, tulitambua pointi 7 za "tuhuma", lakini idadi yao inatofautiana kutoka kwa kazi hadi kazi. Kwa eneo la pembetatu, kiwango cha chini cha "seti ya utafiti" kinajumuisha pointi tatu. Hii hutokea wakati kazi, kwa mfano, inabainisha ndege- ni wazi kabisa kuwa hakuna alama za kusimama, na kazi inaweza kufikia maadili yake ya juu / ndogo tu kwenye wima ya pembetatu. Lakini kuna mfano mmoja tu au mbili zinazofanana - kawaida lazima ushughulike na zingine uso wa utaratibu wa 2.

Ikiwa utajaribu kutatua kazi kama hizo kidogo, basi pembetatu zinaweza kugeuza kichwa chako, na ndiyo sababu nilikuandalia. mifano isiyo ya kawaida ili iwe mraba :))

Mfano 2

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa katika eneo lililofungwa lililofungwa na mistari

Mfano 3

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa katika eneo dogo lililofungwa.

Tahadhari maalum Zingatia mpangilio wa busara na mbinu ya kusoma mpaka wa mkoa, na pia kwa mlolongo wa ukaguzi wa kati, ambao karibu utaepuka kabisa makosa ya hesabu. Kwa ujumla, unaweza kuitatua kwa njia yoyote unayopenda, lakini katika baadhi ya matatizo, kwa mfano, katika Mfano wa 2, kuna kila nafasi ya kufanya maisha yako kuwa magumu zaidi. Sampuli ya takriban kumaliza kazi mwishoni mwa somo.

Wacha tupange algorithm ya suluhisho, vinginevyo kwa bidii yangu kama buibui, kwa njia fulani ilipotea kwenye safu ndefu ya maoni ya mfano wa 1:

- Katika hatua ya kwanza, tunajenga eneo, ni vyema kuifanya kivuli na kuonyesha mpaka kwa mstari wa ujasiri. Wakati wa suluhisho, pointi zitaonekana ambazo zinahitajika kuweka alama kwenye kuchora.

- Pata alama za stationary na uhesabu maadili ya kazi tu katika hao ambayo ni ya mkoa. Tunaangazia maadili yanayotokana katika maandishi (kwa mfano, duru kwa penseli). Iwapo sehemu tuliyosimama SI ya eneo, basi tunatia alama ukweli huu kwa ikoni au kwa maneno. Ikiwa hakuna alama za stationary kabisa, basi tunatoa hitimisho lililoandikwa kwamba hawapo. Kwa hali yoyote, hatua hii haiwezi kuruka!

- Tunachunguza mpaka wa mkoa. Kwanza, ni vyema kuelewa mistari iliyonyooka ambayo ni sambamba na shoka za kuratibu (ikiwa kuna yoyote). Pia tunaangazia maadili ya kazi yaliyohesabiwa katika sehemu za "tuhuma". Mengi yamesemwa hapo juu juu ya mbinu ya suluhisho na kitu kingine kitasemwa hapa chini - soma, soma tena, chunguza ndani yake!

- Kutoka kwa nambari zilizochaguliwa, chagua maadili makubwa na madogo na upe jibu. Wakati mwingine hutokea kwamba kazi hufikia maadili hayo kwa pointi kadhaa mara moja - katika kesi hii, pointi hizi zote zinapaswa kuonyeshwa kwenye jibu. Hebu, kwa mfano, na ikawa kwamba hii ndiyo thamani ndogo zaidi. Kisha tunaandika hilo

Mifano ya mwisho imejitolea kwa wengine mawazo yenye manufaa ambayo itakuwa muhimu katika mazoezi:

Mfano 4

Pata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo za kukokotoa katika eneo lililofungwa .

Nimehifadhi uundaji wa mwandishi, ambapo eneo limetolewa kwa njia ya usawa mara mbili. Hali hii inaweza kuandikwa na mfumo sawa au katika hali ya kitamaduni zaidi kwa tatizo hili:

Nakukumbusha na isiyo ya mstari tulikumbana na ukosefu wa usawa, na ikiwa huelewi maana ya kijiometri ya nukuu, basi tafadhali usicheleweshe na ueleze hali sasa hivi;-)

Suluhisho, kama kawaida, huanza na kujenga eneo ambalo linawakilisha aina ya "pekee":

Hmm, wakati mwingine lazima utafuna sio tu granite ya sayansi ...

I) Tafuta sehemu za stationary:

Mfumo ni ndoto ya idiot :)

Sehemu ya stationary ni ya mkoa, ambayo ni, iko kwenye mpaka wake.

Na kwa hivyo, ni sawa ... somo lilienda vizuri - hii ndio inamaanisha kunywa chai inayofaa =)

II) Tunachunguza mpaka wa kanda. Bila ado zaidi, wacha tuanze na mhimili wa x:

1) Ikiwa, basi

Wacha tupate ambapo vertex ya parabola iko:
- thamini wakati kama huo - "umepiga" hadi mahali ambapo kila kitu kiko wazi. Lakini bado hatusahau kuhusu kuangalia:

Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu:

2) C chini Wacha tuchunguze "chini" "katika kikao kimoja" - tunazibadilisha kwa kazi bila muundo wowote, na tutapendezwa tu na sehemu hiyo:

Udhibiti:

Hili tayari huleta msisimko fulani kwa kuendesha gari kwa njia isiyo ya kawaida kwenye njia iliyosonga. Hebu tupate pointi muhimu:

Hebu tuamue mlinganyo wa quadratic, unakumbuka kitu kingine chochote kuhusu hili? ...Hata hivyo, kumbuka, bila shaka, vinginevyo haungekuwa unasoma mistari hii =) Ikiwa katika mifano miwili iliyopita mahesabu katika desimali(ambayo, kwa njia, ni nadra), basi wale wa kawaida wanatungojea hapa sehemu za kawaida. Tunapata mizizi ya "X" na kutumia mlinganyo ili kubainisha viwianishi vya "mchezo" vinavyolingana vya pointi za "mgombea":


Wacha tuhesabu maadili ya kazi katika sehemu zilizopatikana:

Angalia utendaji mwenyewe.

Sasa tunasoma kwa uangalifu nyara zilizoshinda na kuandika jibu:

Hawa ni "wagombea", hawa ni "wagombea"!

Ili kutatua mwenyewe:

Mfano 5

Pata thamani ndogo na kubwa zaidi za chaguo la kukokotoa katika eneo lililofungwa

Ingizo lililo na brashi zilizopinda husomeka kama hii: "seti ya vidokezo kama hivyo."

Wakati mwingine ndani mifano inayofanana kutumia Njia ya kuzidisha lagrange, lakini kuna uwezekano wa kuwa na hitaji la kweli la kuitumia. Kwa hiyo, kwa mfano, ikiwa kazi yenye eneo sawa "de" inatolewa, basi baada ya kuingizwa ndani yake - na derivative kutoka kwa matatizo hakuna; Kwa kuongezea, kila kitu kimeundwa kwa "mstari mmoja" (na ishara) bila hitaji la kuzingatia semicircle za juu na chini kando. Lakini, bila shaka, kuna zaidi kesi ngumu, ambapo bila kazi ya Lagrange (ambapo, kwa mfano, ni mlinganyo sawa wa duara) Ni vigumu kupata - kama vile ni vigumu kupata bila kupumzika vizuri!

Kuwa na wakati mzuri kila mtu na kukuona hivi karibuni msimu ujao!

Suluhisho na majibu:

Mfano 2: Suluhisho: Wacha tuonyeshe eneo kwenye mchoro:

Katika makala hii nitazungumzia jinsi ya kutumia ujuzi wa kutafuta kwa utafiti wa kazi: kupata thamani yake kubwa au ndogo zaidi. Na kisha tutatatua matatizo kadhaa kutoka kwa Task B15 kutoka Fungua Benki kazi za.

Kama kawaida, wacha kwanza tukumbuke nadharia.

Mwanzoni mwa utafiti wowote wa kazi, tunaipata

Ili kupata thamani kubwa au ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa, unahitaji kuchunguza ni vipindi gani kazi huongezeka na ambayo inapungua.

Ili kufanya hivyo, tunahitaji kupata derivative ya kazi na kuchunguza vipindi vyake vya ishara ya mara kwa mara, yaani, vipindi ambavyo derivative huhifadhi ishara yake.

Vipindi ambavyo derivative ya chaguo za kukokotoa ni chanya ni vipindi vya utendakazi vinavyoongezeka.

Vipindi ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa ni hasi ni vipindi vya utendakazi unaopungua.

1 . Wacha tutatue kazi B15 (Na. 245184)

Ili kuisuluhisha, tutafuata algorithm ifuatayo:

a) Tafuta kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa

b) Wacha tupate derivative ya kazi.

c) Hebu tuilinganishe na sifuri.

d) Hebu tupate vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya kazi.

e) Tafuta mahali ambapo kitendakazi kinachukua thamani kubwa zaidi.

f) Tafuta thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua hii.

Ninaelezea suluhisho la kina la kazi hii kwenye MAFUNZO YA VIDEO:

Huenda kivinjari chako hakitumiki. Kutumia mkufunzi" Saa ya Mtihani wa Jimbo la Umoja", jaribu kupakua
Firefox

2. Wacha tutatue kazi B15 (Na. 282862)

Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu

Ni dhahiri kuwa chaguo la kukokotoa huchukua thamani kubwa zaidi kwenye sehemu katika kiwango cha juu zaidi, kwa x=2. Wacha tupate thamani ya kazi katika hatua hii:

Jibu: 5

3. Wacha tutatue kazi B15 (Na. 245180):

Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Kwa sababu kulingana na kikoa cha ufafanuzi wa jina la kazi asili = "4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Nambari sawa na sifuri katika . Wacha tuangalie ikiwa inafaa Kazi za ODZ. Ili kufanya hivyo, hebu tuangalie ikiwa hali title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Kichwa="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

hii ina maana kwamba uhakika ni wa kazi ya ODZ

Wacha tuchunguze ishara ya derivative kulia na kushoto ya uhakika:

Tunaona kwamba chaguo za kukokotoa huchukua thamani yake kuu zaidi. Sasa hebu tupate thamani ya chaguo la kukokotoa kwa:

Kumbuka 1. Kumbuka kuwa katika tatizo hili hatukupata kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa: tulirekebisha vizuizi tu na kuangalia ikiwa hatua ambayo derivative ni sawa na sifuri ni ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Hii iligeuka kuwa ya kutosha kwa kazi hii. Hata hivyo, hii sio wakati wote. Inategemea kazi.

Kumbuka 2. Wakati wa kusoma tabia kazi tata unaweza kutumia sheria hii:

• ikiwa kazi ya nje ya kazi ngumu inaongezeka, basi kazi inachukua thamani yake kubwa katika hatua sawa ambayo kazi ya ndani inachukua thamani kubwa zaidi. Hii inafuata kutokana na ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazoongezeka: chaguo za kukokotoa huongezeka kwa muda wa I ikiwa thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.
• ikiwa kazi ya nje ya kitendakazi changamano inapungua, basi kitendakazi huchukua thamani yake kubwa zaidi katika sehemu ile ile ambapo kitendakazi cha ndani huchukua thamani yake ndogo zaidi. . Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi wa kitendakazi kinachopungua: chaguo za kukokotoa hupungua kwa muda wa I ikiwa thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

Katika mfano wetu, kazi ya nje huongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Chini ya ishara ya logarithm kuna usemi - quadratic trinomial, ambayo, ikiwa na mgawo hasi wa kuongoza, inachukua thamani kubwa zaidi kwa uhakika . Ifuatayo, tunabadilisha thamani hii ya x kwenye mlinganyo wa kukokotoa na kupata thamani yake kuu.

Algorithm ya kawaida ya kutatua matatizo hayo inahusisha, baada ya kupata zero za kazi, kuamua ishara za derivative kwenye vipindi. Kisha hesabu ya maadili kwa kiwango cha juu (au cha chini) kilichopatikana na kwenye mpaka wa muda, kulingana na swali gani liko katika hali hiyo.

Nakushauri ufanye mambo tofauti kidogo. Kwa nini? Niliandika kuhusu hili.

Ninapendekeza kutatua shida kama hizi:

1. Tafuta derivative.
2. Tafuta zero za derivative.
3. Amua ni nani kati yao muda huu.
4. Tunahesabu maadili ya kazi kwenye mipaka ya muda na pointi za hatua ya 3.
5. Tunatoa hitimisho (jibu swali lililoulizwa).

Wakati wa kutatua mifano iliyowasilishwa, suluhisho halikuzingatiwa kwa undani milinganyo ya quadratic, lazima uweze kufanya hivi. Wanapaswa pia kujua.

Hebu tuangalie mifano:

77422. Tafuta thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y=x 3 –3x+4 kwenye sehemu [–2;0].

Wacha tupate sufuri za derivative:

Pointi x = -1 ni ya muda uliobainishwa katika hali.

Tunahesabu maadili ya chaguo la kukokotoa katika pointi -2, -1 na 0:

Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 6.

Jibu: 6

77425. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi y = x 3 - 3x 2 + 2 kwenye sehemu.

Hebu tutafute derivative kazi iliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative:

Hatua x = 2 ni ya muda uliowekwa katika hali.

Tunahesabu maadili ya kazi katika pointi 1, 2 na 4:

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni -2.

Jibu: -2

77426. Pata thamani kubwa zaidi ya kazi y = x 3 - 6x 2 kwenye sehemu [-3;3].

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative:

Muda ulioainishwa katika hali una uhakika x = 0.

Tunahesabu maadili ya kazi katika pointi -3, 0 na 3:

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 0.

Jibu: 0

77429. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi y = x 3 - 2x 2 + x +3 kwenye sehemu.

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

3x 2 - 4x + 1 = 0

Tunapata mizizi: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Muda uliobainishwa katika hali una x = 1 pekee.

Wacha tupate maadili ya kazi katika alama 1 na 4:

Tuligundua kuwa thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 3.

Jibu: 3

77430. Pata thamani kubwa zaidi ya kazi y = x 3 + 2x 2 + x + 3 kwenye sehemu [- 4; -1].

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative na tutatue equation ya quadratic:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Wacha tupate mizizi:

Muda uliobainishwa katika hali una mzizi x = -1.

Tunapata maadili ya chaguo la kukokotoa katika pointi -4, -1, -1/3 na 1:

Tuligundua kuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa ni 3.

Jibu: 3

77433. Pata thamani ndogo zaidi ya kazi y = x 3 - x 2 - 40x +3 kwenye sehemu.

Wacha tupate derivative ya kazi uliyopewa:

Wacha tupate sufuri za derivative na tutatue equation ya quadratic:

3x 2 - 2x - 40 = 0

Wacha tupate mizizi:

Muda ulioainishwa katika hali una mzizi x = 4.

Pata maadili ya kazi katika pointi 0 na 4:

Tuligundua kuwa thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa ni -109.

Jibu: -109

Wacha tuchunguze njia ya kuamua maadili makubwa na madogo ya kazi bila derivative. Njia hii inaweza kutumika ikiwa unayo matatizo makubwa. Kanuni ni rahisi - tunabadilisha maadili yote kamili kutoka kwa muda hadi kazini (ukweli ni kwamba katika prototypes zote kama hizo jibu ni nambari kamili).

77437. Pata thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y=7+12x–x 3 kwenye sehemu [-2;2].

Alama mbadala kutoka -2 hadi 2: Tazama suluhisho

77434. Pata thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y=x 3 + 2x 2 - 4x + 4 kwenye sehemu [-2;0].

Ni hayo tu. Bahati nzuri kwako!

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Kwa mazoezi, ni kawaida kutumia derivative ili kukokotoa thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa. Tunafanya kitendo hiki tunapogundua jinsi ya kupunguza gharama, kuongeza faida, kuhesabu mzigo mzuri kwenye uzalishaji, nk, ambayo ni, katika hali ambapo tunahitaji kuamua dhamana bora ya parameta. Ili kutatua shida kama hizo kwa usahihi, unahitaji kuwa na ufahamu mzuri wa maadili makubwa na madogo ya kazi ni nini.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kwa kawaida tunafafanua maadili haya ndani ya muda fulani x, ambayo inaweza kuendana na kikoa kizima cha chaguo za kukokotoa au sehemu yake. Inaweza kuwa kama sehemu [a; b ] , na muda wazi (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), muda usio na kikomo (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) au muda usio na kikomo - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞).

Katika nyenzo hii tutakuambia jinsi ya kuhesabu thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa lililofafanuliwa kwa uwazi na kigeu kimoja y=f(x) y = f (x) .

Ufafanuzi wa kimsingi

Wacha tuanze, kama kawaida, na uundaji wa ufafanuzi wa kimsingi.

Ufafanuzi 1

Thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa y = f (x) kwenye muda fulani x ni thamani m a x y = f (x 0) x ∈ X, ambayo kwa thamani yoyote x ∈ X, x ≠ x 0 hufanya kutofautiana kwa f (x) ≤ f (x) halali 0) .

Ufafanuzi 2

Thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa y = f (x) kwenye muda fulani x ni thamani m i n x ∈ X y = f (x 0) , ambayo kwa thamani yoyote x ∈ X, x ≠ x 0 hufanya usawa f(X f) (x) ≥ f (x 0) .

Fasili hizi ziko wazi kabisa. Hata rahisi zaidi, tunaweza kusema hivi: thamani kuu ya chaguo la kukokotoa ndiyo zaidi umuhimu mkubwa kwa muda unaojulikana katika abscissa x 0, na ndogo zaidi ni thamani ndogo inayokubalika kwa muda sawa katika x 0.

Ufafanuzi 3

Pointi za stationary ni zile maadili ya hoja ya chaguo za kukokotoa ambapo derivative yake inakuwa 0.

Kwa nini tunahitaji kujua pointi za stationary ni nini? Ili kujibu swali hili, tunahitaji kukumbuka nadharia ya Fermat. Inafuata kutoka kwake kwamba hatua ya stationary ni hatua ambayo mwisho wa kazi inayoweza kutofautishwa iko (yaani, kiwango cha chini cha ndani au kiwango cha juu). Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa litachukua thamani ndogo au kubwa zaidi kwa muda fulani kwa usahihi katika mojawapo ya sehemu zisizosimama.

Chaguo za kukokotoa pia zinaweza kuchukua thamani kubwa zaidi au ndogo zaidi katika sehemu hizo ambapo chaguo za kukokotoa zenyewe hufafanuliwa na derivative yake ya kwanza haipo.

Swali la kwanza linalojitokeza wakati wa kusoma mada hii ni: katika hali zote, tunaweza kuamua thamani kubwa au ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwa sehemu hii? Hapana, hatuwezi kufanya hivi wakati mipaka ya muda fulani inalingana na mipaka ya eneo la ufafanuzi, au ikiwa tunashughulika na muda usio na kikomo. Pia hutokea kwamba kazi katika sehemu fulani au infinity itachukua ndogo sana au isiyo na kikomo. maadili makubwa. Katika kesi hizi, haiwezekani kuamua thamani kubwa na/au ndogo zaidi.

Hoja hizi zitakuwa wazi zaidi baada ya kuonyeshwa kwenye grafu:

Kielelezo cha kwanza kinatuonyesha kazi ambayo inachukua maadili makubwa na ndogo zaidi (m a x y na m i n y) katika sehemu za stationary ziko kwenye sehemu [- 6 ; 6].

Wacha tuchunguze kwa undani kesi iliyoonyeshwa kwenye grafu ya pili. Wacha tubadilishe thamani ya sehemu kuwa [ 1; 6 ] na tunaona kwamba thamani kubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa itafikiwa kwa uhakika na abscissa kwenye mpaka wa kulia wa muda, na ndogo zaidi kwa hatua ya stationary.

Katika takwimu ya tatu, abscissas ya pointi inawakilisha pointi za mipaka ya sehemu [- 3; 2]. Zinalingana na thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo maalum la kukokotoa.

Sasa tuangalie picha ya nne. Ndani yake, chaguo la kukokotoa huchukua m a x y (thamani kubwa zaidi) na m i n y (thamani ndogo zaidi) katika sehemu za stationary kwenye muda wazi (- 6 ; 6) .

Ikiwa tutachukua muda [ 1 ; 6), basi tunaweza kusema kwamba thamani ndogo zaidi ya kazi juu yake itafikiwa katika hatua ya kusimama. Thamani kubwa zaidi haitajulikana kwetu. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuchukua thamani yake ya juu zaidi kuwa x sawa na 6 ikiwa x = 6 ilikuwa ya muda. Hii ndio kesi iliyoonyeshwa kwenye graph 5.

Kwenye grafu ya 6 thamani ya chini kabisa kipengele hiki hupata kwenye mpaka wa kulia wa muda (- 3; 2 ], na hatuwezi kufikia hitimisho la uhakika kuhusu thamani kubwa zaidi.

Katika Mchoro wa 7 tunaona kwamba kipengele cha kukokotoa kitakuwa na m a x y katika sehemu isiyosimama ikiwa na abscissa sawa na 1. Chaguo za kukokotoa zitafikia thamani yake ya chini kwenye mpaka wa muda ulio upande wa kulia. Katika minus infinity, maadili ya kazi yatakaribia y = 3 bila dalili.

Ikiwa tutachukua muda x ∈ 2; + ∞ , basi tutaona kwamba kitendakazi kilichotolewa hakitachukua thamani ndogo zaidi wala kubwa zaidi juu yake. Ikiwa x inaelekea 2, basi maadili ya chaguo za kukokotoa yataelekea minus infinity, kwani mstari wa moja kwa moja x = 2 ni asymptote wima. Ikiwa abscissa inaelekea pamoja na infinity, basi maadili ya kazi yatakaribia y = 3 bila dalili. Hii ndio kesi iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 8.

Katika aya hii tutawasilisha mlolongo wa vitendo vinavyohitaji kufanywa ili kupata thamani kubwa au ndogo zaidi ya chaguo la kukokotoa kwenye sehemu fulani.

1. Kwanza, hebu tupate kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa. Wacha tuangalie ikiwa sehemu iliyoainishwa katika hali imejumuishwa ndani yake.
2. Sasa hebu tuhesabu pointi zilizomo katika sehemu hii ambayo derivative ya kwanza haipo. Mara nyingi zinaweza kupatikana katika kazi ambazo hoja yake imeandikwa chini ya ishara ya moduli, au ndani kazi za nguvu, kipeo chake ambacho ni nambari ya kimantiki.
3. Ifuatayo, hebu tujue ni sehemu gani za stationary zinaanguka sehemu iliyotolewa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuhesabu derivative ya kazi, kisha ulinganishe na 0 na kutatua usawa unaosababisha, na kisha uchague mizizi inayofaa. Ikiwa hatupati hatua moja ya stationary au hawaingii katika sehemu iliyotolewa, basi tunaendelea kwenye hatua inayofuata.
4. Tunaamua ni maadili gani ambayo chaguo la kukokotoa litachukua katika sehemu zilizowekwa (ikiwa zipo), au katika sehemu ambazo derivative ya kwanza haipo (ikiwa ipo), au tunahesabu maadili ya x = a na. x = b.
5. 5. Tuna idadi ya maadili ya kazi, ambayo sasa tunahitaji kuchagua kubwa na ndogo zaidi. Hizi zitakuwa maadili kubwa na ndogo zaidi ya kazi ambayo tunahitaji kupata.

Wacha tuone jinsi ya kutumia algorithm hii kwa usahihi wakati wa kutatua shida.

Mfano 1

Hali: kazi y = x 3 + 4 x 2 imetolewa. Amua maadili yake makubwa na madogo kwenye sehemu [1; 4] na [- 4; - 1 ] .

Suluhisho:

Wacha tuanze kwa kutafuta kikoa cha ufafanuzi wa kitendakazi fulani. Katika kesi hii, atakuwa na mengi ya kila mtu nambari za kweli, isipokuwa 0 . Kwa maneno mengine, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Sehemu zote mbili zilizobainishwa katika hali zitakuwa ndani ya eneo la ufafanuzi.

Sasa tunahesabu derivative ya kazi kulingana na sheria ya utofautishaji wa sehemu:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Tulijifunza kwamba derivative ya kazi itakuwepo katika sehemu zote za makundi [1; 4] na [- 4; - 1 ] .

Sasa tunahitaji kuamua pointi za stationary za kazi. Wacha tufanye hivi kwa kutumia equation x 3 - 8 x 3 = 0. Ana moja tu mizizi halisi, sawa na 2. Itakuwa hatua ya kusimama ya kazi na itaanguka katika sehemu ya kwanza [1; 4 ] .

Wacha tuhesabu maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu ya kwanza na katika hatua hii, i.e. kwa x = 1, x = 2 na x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Tuligundua kuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 itapatikana kwa x = 1, na ndogo zaidi m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 - saa x = 2.

Sehemu ya pili haijumuishi nukta moja ya kusimama, kwa hivyo tunahitaji kuhesabu maadili ya kazi kwenye miisho ya sehemu uliyopewa:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Hii ina maana m a x y x ∈ [- 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Jibu: Kwa sehemu [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, kwa sehemu [- 4; - 1 ] - m a x y x ∈ [- 4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [- 4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Tazama picha:

Kabla ya kusoma njia hii, tunakushauri uhakiki jinsi ya kuhesabu kwa usahihi kikomo cha upande mmoja na kikomo kwa infinity, na pia kujifunza mbinu za msingi za kuzipata. Ili kupata thamani kubwa na/au ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye muda ulio wazi au usio na kikomo, fanya hatua zifuatazo kwa mfuatano.

1. Kwanza, unahitaji kuangalia ikiwa muda uliotolewa utakuwa sehemu ndogo ya kikoa cha chaguo la kukokotoa ulilopewa.
2. Hebu tuamue pointi zote ambazo ziko katika muda unaohitajika na ambayo derivative ya kwanza haipo. Kwa kawaida hutokea katika vitendakazi ambapo hoja imefungwa katika ishara ya moduli, na katika utendaji kazi wa nguvu na sehemu kiashiria cha busara. Ikiwa pointi hizi hazipo, basi unaweza kuendelea na hatua inayofuata.
3. Sasa hebu tuamue ni pointi gani za stationary zitaanguka ndani ya muda uliotolewa. Kwanza, tunalinganisha derivative kwa 0, kutatua equation na kuchagua mizizi inayofaa. Ikiwa hatuna sehemu moja ya kusimama au haziingii ndani ya muda uliowekwa, basi tunaendelea mara moja kwa vitendo zaidi. Wao ni kuamua na aina ya muda.

• Ikiwa muda ni wa fomu [ a ; b) , basi tunahitaji kuhesabu thamani ya kazi katika hatua x = a na upande mmoja kikomo lim x → b - 0 f (x) .
• Ikiwa muda una fomu (a; b ], basi tunahitaji kuhesabu thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua x = b na kikomo cha upande mmoja lim x → a + 0 f (x).
• Ikiwa muda una fomu (a; b), basi tunahitaji kuhesabu mipaka ya upande mmoja lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ikiwa muda ni wa fomu [ a ; + ∞), basi tunahitaji kukokotoa thamani katika uhakika x = a na kikomo kwa plus infinity lim x → + ∞ f (x) .
• Ikiwa muda unaonekana kama (- ∞ ; b ] , tunakokotoa thamani katika uhakika x = b na kikomo katika minus infinity lim x → - ∞ f (x) .
• Ikiwa - ∞ ; b , kisha tunazingatia kikomo cha upande mmoja lim x → b - 0 f (x) na kikomo katika minus infinity lim x → - ∞ f (x)
• Ikiwa - ∞; + ∞ , kisha tunazingatia mipaka ya minus na plus infinity lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. Mwishowe, unahitaji kuteka hitimisho kulingana na maadili na mipaka ya kazi iliyopatikana. Kuna chaguzi nyingi zinazopatikana hapa. Kwa hivyo, ikiwa kikomo cha upande mmoja ni sawa na minus infinity au plus infinity, basi ni wazi mara moja kuwa hakuna kitu kinachoweza kusema juu ya maadili madogo na makubwa zaidi ya kazi. Hapa chini tutaangalia mfano mmoja wa kawaida. Maelezo ya Kina itakusaidia kuelewa ni nini. Ikiwa ni lazima, unaweza kurudi kwenye Takwimu 4 - 8 katika sehemu ya kwanza ya nyenzo.

Mfano 2

Hali: kazi iliyotolewa y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Kuhesabu thamani yake kubwa na ndogo katika vipindi - ∞ ; - 4, - ∞; - 3, (- 3; 1], (- 3; 2), [1; 2), 2; + ∞ , [ 4; + ∞).

Suluhisho

Kwanza kabisa, tunapata kikoa cha ufafanuzi wa kazi. Denominator ya sehemu ina trinomial ya quadratic, ambayo haipaswi kugeuka kuwa 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Tumepata kikoa cha ufafanuzi wa kazi ambayo vipindi vyote vilivyoainishwa katika hali hiyo ni vyake.

Sasa wacha tutofautishe kazi na tupate:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Kwa hivyo, derivatives ya chaguo za kukokotoa zipo katika kikoa chake chote cha ufafanuzi.

Wacha tuendelee kutafuta alama za stationary. Derivative ya kazi inakuwa 0 kwa x = - 1 2 . Hii ni hatua ya kusimama ambayo iko katika vipindi (- 3; 1 ] na (- 3; 2) .

Hebu tuhesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika x = - 4 kwa muda (- ∞ ; - 4 ], pamoja na kikomo kwa minus infinity:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Kwa kuwa 3 e 1 6 - 4 > - 1, ina maana kwamba m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Hii haituruhusu kuamua kipekee thamani ndogo zaidi ya Tunaweza tu kuhitimisha kuwa kuna kizuizi hapa chini - 1, kwa kuwa ni kwa thamani hii ambapo chaguo za kukokotoa hukaribia bila dalili kwa minus infinity.

Upekee wa muda wa pili ni kwamba hakuna hatua moja ya kusimama na hakuna mpaka mmoja mkali ndani yake. Kwa hivyo, hatutaweza kukokotoa thamani kubwa au ndogo zaidi ya chaguo hili la kukokotoa. Baada ya kufafanua kikomo kwa minus infinity na kama hoja inaelekea - 3 upande wa kushoto, tunapata tu muda wa maadili:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Hii inamaanisha kuwa maadili ya kazi yatapatikana katika muda - 1; +∞

Ili kupata thamani kubwa zaidi ya kazi katika muda wa tatu, tunaamua thamani yake katika hatua ya stationary x = - 1 2 ikiwa x = 1. Tutahitaji pia kujua kikomo cha upande mmoja kwa kesi wakati hoja inaelekea - 3 upande wa kulia:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Ilibainika kuwa chaguo la kukokotoa litachukua thamani kubwa zaidi katika hatua ya kusimama m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Kuhusu thamani ndogo zaidi, hatuwezi kuibainisha. Kila kitu tunachojua , ni uwepo wa kikomo cha chini hadi - 4 .

Kwa muda (- 3 ; 2), chukua matokeo ya hesabu iliyotangulia na uhesabu tena kikomo cha upande mmoja ni sawa na wakati wa kutunza 2 upande wa kushoto:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1. 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Hii ina maana kwamba m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, na thamani ndogo haiwezi kuamua, na maadili ya kazi ni mdogo kutoka chini na nambari - 4. .

Kulingana na kile tulichopata katika mahesabu mawili ya awali, tunaweza kusema kwamba kwa muda [ 1; 2) kazi itachukua thamani kubwa zaidi kwa x = 1, lakini haiwezekani kupata ndogo zaidi.

Kwa muda (2 ; + ∞) chaguo la kukokotoa halitafikia thamani kubwa zaidi au ndogo zaidi, i.e. itachukua maadili kutoka kwa muda - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Baada ya kuhesabu nini thamani ya chaguo la kukokotoa itakuwa sawa na x = 4, tunapata kwamba m a x y x ∈ [4; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , na kazi iliyotolewa kwa plus infinity itakaribia mstari wa moja kwa moja y = - 1 bila dalili.

Wacha tulinganishe kile tulichopata katika kila hesabu na grafu ya kitendakazi ulichopewa. Katika takwimu, asymptotes zinaonyeshwa kwa mistari ya dotted.

Hiyo ndiyo tu tulitaka kukuambia juu ya kupata thamani kubwa na ndogo zaidi za chaguo la kukokotoa. Mlolongo wa hatua ambazo tumetoa zitakusaidia kufanya mahesabu muhimu haraka na kwa urahisi iwezekanavyo. Lakini kumbuka kuwa mara nyingi ni muhimu kujua kwanza ni kwa muda gani kazi itapungua na ambayo itaongezeka, baada ya hapo unaweza kupata hitimisho zaidi. Kwa njia hii unaweza kuamua kwa usahihi zaidi maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi na kuhalalisha matokeo yaliyopatikana.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter