Sehemu ya mstari wa moja kwa moja inayounganisha sehemu za kati za pande za kando za trapezoid inaitwa mstari wa kati wa trapezoid. Kuhusu jinsi ya kupata mstari wa kati trapezium na jinsi inahusiana na vipengele vingine vya takwimu hii, tutaelezea hapa chini.
Nadharia ya mstari wa kati
Wacha tuchore trapezoid ambayo AD - msingi mkubwa, BC - msingi mdogo, EF - mstari wa kati. Hebu tupanue AD ya msingi zaidi ya uhakika D. Chora mstari wa BF na uendelee mpaka inapoingiliana na kuendelea kwa msingi wa AD kwenye hatua O. Fikiria pembetatu ∆BCF na ∆DFO. Pembe ∟BCF = ∟DFO kama wima. CF = DF, ∟BCF = ∟FDО, kwa sababu VS // JSC. Kwa hiyo, pembetatu ∆BCF = ∆DFO. Kwa hivyo pande BF = FO.
Sasa zingatia ∆ABO na ∆EBF. ∟ABO ni ya kawaida kwa pembetatu zote mbili. BE/AB = ½ kwa hali, BF/BO = ½, kwani ∆BCF = ∆DFO. Kwa hiyo, pembetatu ABO na EFB ni sawa. Kwa hivyo uwiano wa vyama EF/AO = ½, pamoja na uwiano wa vyama vingine.
Tunapata EF = ½ AO. Mchoro unaonyesha kuwa AO = AD + DO. FANYA = BC kama pande pembetatu sawa, ambayo ina maana AO = AD + BC. Kwa hivyo EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Wale. urefu wa mstari wa kati wa trapezoid ni sawa na nusu ya jumla ya besi.
Je, mstari wa kati wa trapezoid daima ni sawa na nusu ya jumla ya besi?
Tuseme kuna vile kesi maalum, wakati EF ≠ ½ (AD + BC). Kisha BC ≠ FANYA, kwa hiyo, ∆BCF ≠ ∆DCF. Lakini hii haiwezekani, kwa kuwa wana pembe mbili sawa na pande kati yao. Kwa hiyo, theorem ni kweli chini ya hali zote.
Tatizo la katikati
Tuseme, katika trapezoid yetu ABCD AD // BC, ∟A = 90 °, ∟C = 135 °, AB = 2 cm, AC ya diagonal ni perpendicular kwa upande. Pata mstari wa kati wa trapezoid EF.
Ikiwa ∟A = 90°, basi ∟B = 90°, ambayo ina maana ∆ABC ni mstatili.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90 ° kwa kawaida, kwa hiyo, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135 ° - 90 ° = 45 °. 
Ikiwa katika pembetatu ya kulia ∆ABC angle moja ni sawa na 45 °, basi miguu ndani yake ni sawa: AB = BC = 2 cm.
Hypotenuse AC = √(AB² + BC²) = √8 cm.
Hebu tuzingatie ∆ACD. ∟ACD = 90° kulingana na hali. ∟CAD = ∟BCA = 45° kama pembe zinazoundwa na uvukaji wa besi sambamba za trapezoidi. Kwa hiyo, miguu AC = CD = √8.
Hypotenuse AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 cm.
Mstari wa kati wa trapezoid EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 cm.
Katika makala hii, uteuzi mwingine wa matatizo na trapezoid umefanywa kwako. Masharti kwa namna fulani yanahusiana na mstari wake wa kati. Aina za kazi zilizochukuliwa kutoka benki wazi kazi za kawaida. Ukipenda, unaweza kuonyesha upya yako maarifa ya kinadharia. Blogu tayari imejadili kazi ambazo hali zao zinahusiana, na vile vile. Kwa kifupi juu ya mstari wa kati:
Mstari wa kati wa trapezoid huunganisha sehemu za kati za pande za kando. Ni sambamba na besi na ni sawa na nusu-jumla yao.
Kabla ya kutatua matatizo, hebu tuangalie mfano wa kinadharia.
Kutokana na ABCD ya trapezoid. Ulalo wa AC unaopishana na mstari wa kati hutengeneza sehemu ya K, BD yenye ulalo sehemu ya L. Thibitisha sehemu hiyo KL. sawa na nusu tofauti za msingi.
Wacha kwanza tuangalie ukweli kwamba mstari wa kati wa trapezoid hutenganisha sehemu yoyote ambayo miisho yake iko kwenye misingi yake. Hitimisho hili linajipendekeza. Hebu fikiria sehemu inayounganisha pointi mbili za besi, itagawanyika trapezoid hii kwa wengine wawili. Inageuka kuwa sehemu hiyo sambamba na misingi trapezoid na kupita katikati ya upande upande wa pili itapita katikati yake.
Hii pia inatokana na nadharia ya Thales:
Ikiwa kwenye moja ya mistari miwili ya moja kwa moja tunapanga kadhaa makundi sawa na kupitia ncha zao chora mistari inayofanana inayokatiza mstari wa pili, kisha watakata sehemu sawa kwenye mstari wa pili.
Hiyo ni, katika kwa kesi hii K ni katikati ya AC na L ni katikati ya BD. Kwa hivyo EK ndio mstari wa kati pembetatu ABC, LF ni mstari wa kati wa pembetatu DCB. Kulingana na mali ya mstari wa kati wa pembetatu:
Sasa tunaweza kuelezea sehemu ya KL kulingana na misingi:
Imethibitishwa!
Mfano huu unatolewa kwa sababu. Katika majukumu ya uamuzi wa kujitegemea kuna kazi kama hiyo tu. Ni tu haisemi kuwa sehemu inayounganisha sehemu za kati za diagonal iko kwenye mstari wa kati. Wacha tuzingatie majukumu:
27819. Tafuta mstari wa kati wa trapezoid ikiwa besi zake ni 30 na 16.
Tunahesabu kwa kutumia formula:
27820. Mstari wa kati wa trapezoid ni 28 na msingi mdogo ni 18. Pata msingi mkubwa wa trapezoid.
Wacha tuonyeshe msingi mkubwa zaidi:
Hivyo:
27836. Perpendicular imeshuka kutoka kwenye vertex angle butu kwa msingi mkubwa zaidi trapezoid ya isosceles, inaigawanya katika sehemu zenye urefu wa 10 na 4. Tafuta mstari wa kati wa trapezoid hii.
Ili kupata mstari wa kati unahitaji kujua besi. Msingi wa AB ni rahisi kupata: 10+4=14. Tumtafute DC.
Wacha tujenge DF ya pili ya perpendicular:
Sehemu za AF, FE na EB zitakuwa sawa na 4, 6 na 4 mtawalia. Kwa nini?
Katika trapezoid ya isosceles, perpendiculars iliyopunguzwa kwa msingi mkubwa huigawanya katika sehemu tatu. Mbili kati yao, ambayo hukatwa miguu pembetatu za kulia, ni sawa kwa kila mmoja. Sehemu ya tatu ni sawa na msingi mdogo, kwani wakati wa kujenga urefu ulioonyeshwa mstatili huundwa, na katika mstatili. pande zinazopingana ni sawa. Katika kazi hii:
Hivyo DC=6. Tunahesabu:
27839. Misingi ya trapezoid iko katika uwiano wa 2: 3, na mstari wa kati ni 5. Pata msingi mdogo.
Wacha tuanzishe mgawo wa uwiano x. Kisha AB=3x, DC=2x. Tunaweza kuandika:
Kwa hivyo, msingi mdogo ni 2∙2=4.
27840. Mzunguko wa trapezoid ya isosceles ni 80, mstari wake wa kati ni sawa na upande wa upande. Tafuta upande trapezoids.
Kulingana na hali, tunaweza kuandika:
Ikiwa tunaashiria mstari wa kati kupitia thamani x, tunapata:
Equation ya pili inaweza tayari kuandikwa kama:
27841. Mstari wa kati wa trapezoid ni 7, na moja ya besi zake ni 4 zaidi kuliko nyingine. Tafuta msingi mkubwa wa trapezoid.
Wacha tuonyeshe msingi mdogo (DC) kama x, kisha kubwa (AB) itakuwa sawa na x+4. Tunaweza kuiandika
Tuligundua kuwa msingi mdogo ni wa tano mapema, ambayo inamaanisha kuwa kubwa ni sawa na 9.
27842. Mstari wa kati wa trapezoid ni 12. Moja ya diagonals hugawanya katika sehemu mbili, tofauti ambayo ni 2. Pata msingi mkubwa wa trapezoid.
Tunaweza kupata kwa urahisi msingi mkubwa wa trapezoid ikiwa tutahesabu sehemu ya EO. Ni mstari wa kati katika pembetatu ADB, na AB=2∙EO.
Tuna nini? Inasemekana kuwa mstari wa kati ni sawa na 12 na tofauti kati ya makundi EO na ОF ni sawa na 2. Tunaweza kuandika equations mbili na kutatua mfumo:
Ni wazi kwamba katika kesi hii unaweza kuchagua jozi ya namba bila mahesabu, hizi ni 5 na 7. Lakini, hata hivyo, hebu tutatue mfumo:
Kwa hivyo EO=12–5=7. Kwa hivyo, msingi mkubwa ni sawa na AB=2∙EO=14.
27844. Katika trapezoid ya isosceles, diagonals ni perpendicular. Urefu wa trapezoid ni 12. Pata mstari wake wa kati.
Wacha tuangalie mara moja kuwa urefu uliochorwa kupitia sehemu ya makutano ya diagonal kwenye trapezoid ya isosceles iko kwenye mhimili wa ulinganifu na hugawanya trapezoid kuwa mbili sawa. trapezoids ya mstatili, yaani, misingi ya urefu huu imegawanywa kwa nusu.
Inaweza kuonekana kuwa kuhesabu mstari wa kati lazima tupate sababu. Hapa mwisho mdogo wa wafu hutokea ... Jinsi gani, kujua urefu, katika kesi hii, kuhesabu besi? Hapana! Kuna trapezoids nyingi kama hizo zilizo na urefu uliowekwa na diagonal zinazoingiliana kwa pembe ya digrii 90. Nifanye nini?
Angalia fomula ya mstari wa kati wa trapezoid. Baada ya yote, hatuhitaji kujua sababu zenyewe; inatosha kujua jumla yao (au nusu-jumla). Tunaweza kufanya hivi.
Kwa kuwa diagonal huingiliana kwa pembe za kulia, pembetatu za isosceles za kulia huundwa na urefu wa EF:
Kutoka hapo juu inafuata kwamba FO=DF=FC, na OE=AE=EB. Sasa hebu tuandike urefu ni sawa na, ulioonyeshwa kupitia sehemu za DF na AE:
Kwa hivyo mstari wa kati ni 12.
*Kwa ujumla, hii ni kazi, kama unavyoelewa, kwa kuhesabu akili. Lakini nina uhakika iliyotolewa maelezo ya kina muhimu. Na hivyo ... Ikiwa unatazama takwimu (mradi tu kwamba angle kati ya diagonals inazingatiwa wakati wa ujenzi), usawa FO = DF = FC, na OE = AE = EB mara moja huchukua jicho lako.
Prototypes pia ni pamoja na aina za kazi zilizo na trapezoids. Imejengwa kwenye karatasi katika mraba na unahitaji kupata mstari wa kati; upande wa seli kawaida ni sawa na 1, lakini inaweza kuwa thamani tofauti.
27848. Pata mstari wa kati wa trapezoid ABCD, ikiwa pande za seli za mraba ni sawa na 1.
Ni rahisi, hesabu besi kwa seli na utumie fomula: (2+4)/2=3
Ikiwa besi zimejengwa kwa pembe kwa gridi ya seli, basi kuna njia mbili. Kwa mfano!
Mstari wa kati wa trapezoid ni sawa na nusu ya jumla misingi. Inaunganisha katikati ya pande za trapezoid na daima ni sawa na besi.
Ikiwa besi za trapezoid ni sawa na a na b, basi mstari wa kati m ni sawa na m=(a+b)/2.
Ikiwa eneo la trapezoid linajulikana, basi mstari wa kati unaweza kupatikana na kwa njia nyingine, kugawa eneo la trapezoid S kwa urefu wa trapezoid h:
Hiyo ni, mstari wa kati wa trapezoid m=S/h
Kuna njia nyingi za kupata urefu wa mstari wa kati wa trapezoid. Uchaguzi wa njia inategemea data ya awali.
Hapa fomula za urefu wa mstari wa kati wa trapezoid:
Ili kupata mstari wa kati wa trapezoid, unaweza kutumia moja ya fomula tano (sitaziandika, kwani tayari ziko kwenye majibu mengine), lakini hii ni katika hali tu ambapo maadili ya data ya awali tunayohitaji. wanajulikana.
Katika mazoezi, tunapaswa kutatua matatizo mengi wakati hakuna data ya kutosha na ukubwa wa kulia bado haja ya kuipata.
Kuna chaguzi kama hizi hapa
suluhisho la hatua kwa hatua kuleta kila kitu chini ya formula;
kwa kutumia fomula zingine, tunga na suluhisha milinganyo muhimu.
kutafuta urefu wa katikati ya trapezoid kwa kutumia formula tunayohitaji kwa msaada wa ujuzi mwingine kuhusu jiometri na kutumia milinganyo ya algebra:
Tuna trapezoid ya isosceles, diagonal zake huingiliana kwa pembe za kulia, urefu wake ni 9 cm.
Tunachora na kuona kwamba tatizo hili haliwezi kutatuliwa moja kwa moja (hakuna data ya kutosha)
Kwa hiyo, tutarahisisha kidogo na kuteka urefu kupitia hatua ya makutano ya diagonals.
Hii ni ya kwanza hatua muhimu, ambayo inaongoza kwa ufumbuzi wa haraka.
hebu tuteue urefu na mbili zisizojulikana, tutaona zile tunazohitaji pembetatu za isosceles pamoja na vyama X Na katika
na tunaweza kuipata kwa urahisi jumla ya misingi trapezoids
ni sawa 2х+2у
Na sasa tu tunaweza kutumia formula wapi
na ni sawa x+y na kulingana na hali ya tatizo, hii ni urefu wa urefu sawa na 9 cm.
Na sasa tumepata dakika kadhaa kwa trapezoid ya isosceles, diagonal ambazo huingiliana kwa pembe za kulia.
katika trapezoids kama hizo
mstari wa kati daima ni sawa na urefu
eneo daima ni sawa na mraba wa urefu.
Mstari wa kati wa trapezoid ni sehemu inayounganisha katikati ya pande za trapezoid.
Mstari wa kati wa trapezoid yoyote ni rahisi kupata ikiwa unatumia formula:
m = (a + b)/2
m ni urefu wa mstari wa kati wa trapezoid;
a, b urefu wa besi za trapezoid.
Kwa hiyo, urefu wa mstari wa kati wa trapezoid ni sawa na nusu ya jumla ya urefu wa besi.
Kanuni ya msingi ya fomula ya mstari wa kati wa trapezoidi: urefu wa mstari wa kati wa trapezoidi ni sawa na nusu ya jumla ya besi a na b: MN=(a+b)2. Uthibitisho wa fomula hii ni fomula ya mstari wa kati wa pembetatu. Trapezoidi yoyote inaweza kuwakilishwa baada ya kuchora kutoka ncha msingi mdogo wa urefu hadi msingi mkubwa. Pembetatu 2 zinazotokana na mstatili huzingatiwa. Baada ya hayo, fomula ya mstari wa kati wa trapezoid huzingatiwa. kuthibitishwa kwa urahisi.
Ili kupata mstari wa kati wa trapezoid tunahitaji kujua maadili ya besi.
Baada ya kupata maadili haya, au labda yalijulikana kwetu, tunaongeza nambari hizi na kuzigawanya kwa nusu.
Hiki ndicho kitakachotokea mstari wa kati wa trapezoid.
Kwa kadiri ninavyokumbuka masomo yangu ya jiometri ya shule, ili kupata urefu wa mstari wa kati wa trapezoid, unahitaji kuongeza urefu wa besi na kugawanya kwa mbili. Kwa hivyo, urefu wa mstari wa kati wa trapezoid ni sawa na nusu ya jumla ya besi.